(五)利用导数研究函数的性质(一)- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第二册同步周测卷(北师大版)  

高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册（五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 知识点 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 函数的极小值点 易 0.80 由函数的单调区间 2 选择题 5 易 0.72 求参 3 选择题 5 由函数不单调求参 中 0.65 函数单调性与充要性 4 选择题 5 的综合 分 0.55 由函数极值点个数 5 选择题 分 0.45 求参 6 选择题 5 利用导数比较大小 √ 中0.35 7 选择题 利用导函数图象研究 6 中 0.65 函数性质 与函数单调性有关的 8 选择题 6 新定义题 农 0.35 9 填空题 由函数的极值求参 易 0.72 利用导数解抽象不 10 填空题 等式 L L 分 0.35 由切线方程求参，利用 11 解答题 13 导数求函数的单调区 分 0.65 间和极值 12 解答题 15 函数的单调性及图象， 由方程解的个数求参 L / 分 0.45 判断含参函数的单调 13 解答题 20 / 性，由函数极值求参 L 中 0.35 ·81· ·数学（北师大版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 叁考答案及解析 一、选择题 1.D【解析】由题得f(x)=3(x2-1),则当-1<x< >名g(x)=乙的图象如图所示， 1时，f(x)<0;当x<-1或x>1时，f(x)>0,所 e e y=g(x) 以f(x)在(-∞，-1)，(1，+∞)上单调递增，在 2e (一1,1)上单调递减，所以f(x)的极小值点为1.故选 e 0 2.A【解析】由题得f'(x)=-6x2十2ax=-2x· (3x-a),令f(x)=0,得x=0或x=号，因为 结合图象可得 。,所以实数a的取值范围为 <a< f(x)的单调递增区间是(0,2)，所以号=2，则a= (凭，)故选B 6.故选A. 6.C 【解析】因为f'(x)<-tanx·f(x),所以子(x) 3.C【解析】由f(x)=lnx-a,x>0,得f(x)=1 十n·了)<n.有造函数)=gxe 一a,因为f(x)在区间[1,3]上不单调，所以f(x)= (0,受），则g()=os·f(x)+sinx…f2 cos2x 0在区间1,3》上有变号实根，则a=∈（号1）， 广(x)+tanx·f)<0,所以g(z)在(0，受)上 故选C. cos x 4.D【解析】由题意得f(x)=3x+2ax十2，：'f(x)在 单调递减，因为0<晋<平<晋<受，所以g(晋)> R上单调递增，∴.(x)≥0恒成立，△=4a2-24≤ 0,解得-√6≤a≤6，∴“a≤1"是“f(x)在R上单调 (受)小>g(倍)，即)（ ）f() ,所 递增”的既不充分也不必要条件.故选D. cos开 c0s号 5.B【解析】由题得子(x)=ae-x,因为f(x)在区 以2r(告)>厄í（要）>2f(受).对于A, 间（分，2）内存在两个极值点，所以∫(x)在区间 (分2）内有两个变号零点，令f(x)=0,得a=忌 ()>():但()>f()不-定成 则直线y=a与g(x)=芒的图象在区间（分，2）内 立，故A错误；对于B,∫()>3f(于)，但 有两个交点.由g()=号，得g(x)=二，令 f()>f(牙)不一定成立，故B错误：对于C, e 8(x)>0,得2<x<1:令g(2)<0,得1<1<2， f()>f()成立，故C正确：对于D, 所以g(x)在（号，1）上单调递增，在(1,2)上单调 2f(石)>f(无)，故D错误.故选C 二、选择题 递减，所以g(x)=g()=名，又g(合）=是 7.BD【解析】由图可知，当x∈(1,3)时，f(x)>0, 则f(x)在区间(1,3)上单调递增，故A错误；当x∈ ·82· 高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第二册· (-是0)时，f(x)<0,则f(x)在区间 x)-3>1,因为f(1)=4,所以g(1)= e e (一之，0)上单调递减，故B正确：因为f(1)≠0，所 )3=名，所以g()>g1),解得x<1,所 以f(x)在x=1处取不到极值，故C错误；由B可知 以不等式f(x)-3>e1的解集为(-o,1). f(x)在区间(-之0）上单调递减，又当x∈ 四、解答题 11.解：(1)因为f(x)=(x-1)e-ax2十b, (0,4)时，f(x)>0,所以f(x)在区间(0,4)上单 所以f(x)=e+(x-1)e-2a.x=xe-2ax, 调递增，所以∫(x)在x=0处取得极小值，故D正 (2分) 确.故选BD. 由题意得f(1)=e-2a=e-2,则a=1,(3分) 8.ABD【解析】：f(x)=x+g,x≠0，F(x) 所以f(1)=-1+b=e-2+3-e=1, 解得b=2. (5分) 2=1+S x≠0，F(x)=e2,当x∈ (2)由(1)得f(x)=xe-2x=x(e-2), (-∞，0)U(2,十o∞)时，F(x)>0,.F(x)在 则当x∈(-∞，0)时，f'(x)>0,f(x)单调递增； （-60,0),(2,十o∞)上单调递增.：f(x)=x+ e 当x∈(0，ln2)时，f(x)<0,f(x)单调递减： 当x∈(ln2,十oo)时，f(x)>0,f(x)单调递增， x≠0，f(x)=1+eD,当x∈(2，十o)时， 所以f(x)的单调递增区间是（一o,0), x (ln2,十oo),单调递减区间是(0，ln2). (10分) f(x)>0,f(x)在(2，十o)上单调递增，.区间I (3)由(1)得f(x)=(x-1)e-x+2, 可能为(2，十∞).令g(x)=1+e(1),x≠0， 则由(2)可得f(x)的极大值为f(0)=1,极小值为 则g（x)=g(r-2+2),:c>0,x-2z+2>0 f(ln2)=ln2(2-ln2). (13分) x 恒成立，∴当x∈(-o∞，0)时，g(x)<0,g(x)即 12.解：(1)因为fx)=+1 ,x∈R, (x)单调递减，又f(一1)=1一 2>0, 所以f()=-是 了(-专)=1是<03(-1，安)，使得 令f(x)>0,得x<0;令f'(x)<0,得x>0, 所以f(x)在（一∞，0）上单调递增，在(0，十∞)上 f(x)=0,则当x∈(-∞，x。)时，f(x)>0,f(x) 单调递减， (4分) 单调递增，结合选项可知AB满足.故选ABD. 则f(x)的极大值为f(0)=1,无极小值， 三、填空题 且当x趋向一∞时，f(x)趋向一o∞；当x趋向十∞ 9.3【解析】由题得f(x)=(x-c)十2x(x-c)= 时，f(x)趋向0， (x一c)(3x一c),:∫(x)在x=1处取得极大值， 易知f(x)的图象经过点(-1,0)，(0,1)，且x>0 .f(1)=0,即(1-c)(3-c)=0,解得c=1或3.经 时，f(x)>0: 检验当c=1时，f(x)在x=1处取得极小值，不符合 画出f(x)的大致图象如图所示. 题意，故c=3. 10.(-∞，1)【解析】构造函数g(x)=fx)-3 x∈R,则g(x)=f(x)二f)+3<0,故 e g(x)在R上单调递减.由f(x)-3>e1,得 ·83· ·数学（北师大版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 5 令f(x)<0,得1n2<x<0, 所以f(x)在(n忌，0)上单羯递减，在(-， -5-4-3:-2-012345 :-il n名)，(0，十∞)上单调递增 (7分) 2列 3 综上，当0<a<2时，f(x)在(0，ln名)上单调递 (9分) 减，在(-0,0)，(n名，+∞)上单调递增： (2)若方程f(x)=2m-m有2个解， 当a=2时，f(x)在(-∞，十∞)上单调递增； 则f(x)的图象和y=2m2一m的图象有2个交点， 结合(1)中f(x)的图象可得0<22-m<1, 当a>2时，f(x)在（血号，0）上单调递减，在 1 m<0或m>之 (-,1n吕），(0，十∞)上单调递增。 (8分) 2m2->0 解得 (12分) 2m2-<1 交<m<1 (2)由(1)可知当0<a<2时，f(x)在(0，ln三)上 所以-<m<0或号<m<1, 单调递减，在(-60,0).（加名，十∞）上单润递增。 故实数m的取值范围为(-20U(分，1)： 此时f(x)的极大值点为0，极小值为f(1n2) (15分) 4 4+4n2 (10分) 13.解：(1)因为f(x)=ae2a-2(a十2)e+4x, 所以f(x)=2ae2-2(a+2)e十4 令4=2>1，g)=4n1-21-4, a =2(e-1)(ae-2), 则g(t)=4-2=2(2-2 t t 当a>0时，令f(x)=0,得=0，=1n2 当1<t长2时，g'(t)>0,g(t)单调递增： (2分) 当t>2时，g'(t)<0,g(t)单调递减， 当0<a<2时，h2>0, 又g(2)=4ln2-8, 所以2=2，则a=1. (12分) 令(x)>0,得x<0或x>ln2 当a≤0时，令f(x)>0,得x<0,令f(x)<0,得 令f(x)<0,得0<x<1n2 a x>0, 所以f(x)在(0，n名)上单调递减，在（一0,0） 所以f(x)在（一∞，0）上单调递增，在(0，十∞)上 单调递减， (m名，十6∞)上单调递增。 (4分) ∫(x)没有极小值，不符合题意. 当a=2时，n名-0，此时了广(2)≥0恒成立， 综上，a=1. (14分) (3)由(1)可得f(x)=2(e-1)(ae-2), 所以f(x)在（一∞，十∞）上单调递增。 (5分) 令h(x)=2(e-1)(ae-2), 当a>2时，l1n2<0, 则h'(x)=2e(2ae-a-2), a 因为∫(x)只有一个极值点， 令了(x)>0,得x<n2或x>0: 所以关于x的方程2ae-a一2=0只有一个异号 ·84· 高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第二册· 根。 (17分) 所以+2>0，解得a<-2或a>0, 2a 显然当a=0时，方程2ae-a-2=0无解， 所以实数a的取值范围为（一∞，一2）U(0,十∞). 所以e=a十2 2a (20分) 则曲线y=心与直线y=岩只有-个交点， ·85·高二同步周测卷/数学选择性必修第二册 (五)利用导数研究函数的性质（一） (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.函数f(x)=x3一3x一1的极小值点为 A.(-1,-2) B.(1,2) C.-1 D.1 2.若函数f(x)=一2x3十ax2一3的单调递增区间是(0,2)，则a= A.6 B.12 C.14 D.18 3.已知函数f(x)=lnx-ax在区间[1,3]上不单调，则实数a的取值范围为 A.[1,+∞) B(-,5] c(合 D[3 4.已知函数f(x)=x3十ax2+2x,则“a≤1”是“f(x)在R上单调递增”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知函数f(x)=ae- 号2在区间（合2）内存在两个极值点，则实数a的取值范围 为（参考数据：√e≈1.65，e2≈7.39） A(层 B(,) c() ( 6.定义在(0，)上的函数f(.x)的导函数为f(x),若f(x)<-tanx·f(x)恒成立， 则下列不等式一定成立的是 A.f()>2f) B.5f)>f() c.f()>3f(3） D.2f()<3fF) 数学（北师大版）选择性必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.定义在区 [-24上的函数fx)的导网数了'(x)的图象如图所示，下列结论正确 的是 A.f(x)在区间(1,3)上单调递减 B.f(x)在区间（一），0)上单调递减 3 C.f(x)在x=1处取得极大值 D.f(x)在x=0处取得极小值 8.若函数f()在定义域D内的某个区间I上是单调递增函数，且F(x)=C在区间 I上也是单调递增函数，则称f(x)是I上的“一致递增函数”.已知函数f(x)=x x 是区间I上的“一致递增函数”，则区间I可能为 A.(-∞，-2) B.(-o∞，-1) C.(0,+∞) D.(2,十∞) 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知函数f(x)=x(x一c)2在x=1处取得极大值，则c的值为 10.已知函数f(x)的定义域为R,导函数为f(x),若f(x)一f(x)>3,且f(1)=4,则 不等式f(x)一3>e1的解集为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.（本小题满分13分) 已知函数f(x)=(x一1)e一ax2十b,曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y=(e-2)x+3-e. (1)求实数a,b的值； (2)求f(x)的单调区间； (3)求f(x)的极值， 高二同步周测卷五 数学（北师大版）选择性必修第二册第2页（共4页) 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=十1 (1)判断f(x)的单调性，并画出f(x)的大致图象； -54-3:-2-1012345x 3 (2)若方程f(x)=2m2一m有2个解，求实数m的取值范围. 数学（北师大版）选择性必修第二册第3页（共4页） 13.(本小题满分20分) 已知函数f(x)=ae2r-2(a十2)e十4.x. (1)当a>0时，判断f(x)的单调性； (2)若f(x)的极大值点为0，且极小值为4ln2一8，求实数a的值； (3)若f(x)的导函数f'(x)只有一个极值点，求实数a的取值范围. 衡水金卷·先享题·高二同步周测卷五 数学（北师大版）选择性必修第二册第4页（共4页）