(三)数列求和、数列在日常经济生活中的应用、数学归纳法- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第二册同步周测卷(北师大版)  

高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册（三） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 I,应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 知识点 题型 分 值 (主题内容) ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 数学归纳法，验证初值 易 0.80 等差数列与等比数列 2 选择题 5 / 的综合 的 0.72 3 周期数列与三角函数 选择题 6 中 0.65 的综合 4 选择题 5 错位相减法求和 中 0.60 5 选择题 5 累加法求数列的通项 √ N 0.55 6 选择题 5 分期还款 难 0.28 数学归纳法，确定n=k 选择题 至n=k十1时增加 / 邻 0.75 的项 与数列有关的数学文 选择题 6 你 0.28 化题 9 填空题 并项求和法求数列前n 0.55 项和 10 填空题 5 等比数列的实际应用 中 0.35 利用数学归纳法证明 11 解答题 13 / 命题 中 0.65 12 解答题 15 等比数列与不等式的 0.60 综合 分 13 解答题 20 裂项相消法求和 难 0.25 ·73· ·数学（北师大版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 9 叁考答案及解析 一、选择题 1.D【解析】当n=1时，2m+3=2×1十3=5，所以左 式相减得2十中2(24+2+万 11 1 边为1+2十3十4+5.故选D. 所以n=k推导n=k十1时，不等式的左边增加的式 2.C【解析】数列{an}是公差为3的等差数列，∴a1= 1 a2一3，a4=a2十6，，a1,a2,a成等比数列，∴a号 子是(2+1)(2h+2)故C正确，D错误，故选BC. a1a4,即a号=(a2一3)(a2十6)，解得a2=6,故a1十 8,BCD【解折】对于AB.:S=(a,十)当 a2=a2一3十a2=9.故选C. 3.A【解析】因为{am}是周期为4的周期数列，且 1 n≥2时25=S-S1十35>5-1=1. a1=√3，a2=-1,a3=-3,a1=1,所以S4=0,则 S226=S4x506+2=a1十a2=√5-1.故选A. 又5=号(a+)=aa>0.则a=1.数列 4.D【解析】令S=10×号+17×2十15× 十…十 {S}是首项为1，公差为1的等差数列，∴.S=n→ S.=n,an=√元一√-I,故A错，B对；对于C, 1×品，则25=19×是+17×分+15×分+…+1 ×六，两式相减得25=19×号-2（会+六+…十 -8+n+a(a- 6十M+…+:=号(V丽+V府-巨-1) 品）-1×-号+品所以s=17+2放选D 5.C【解析】由题意可知am+1一an=2n-1,则a, 号质+7-2)∈(6,7)[+6++be]- a-1=2n-3,…,a2一a1=1,累加可得an-a1=2n 2 3+…+1=2n-3+1)X(n-1=（m-1)2,且 6微C对：对于D:发-后>后 2 f(1)-f(0)=-1=a1-1,即a1=0,满足上式，所 2(v+T-m.…心5+号++5>2[wE- 以an=(n一1)，所以{am}的前n项和的表达式为 +(5-√2)+…+（√10I-100)]=2(√10I- ∑4，=nm-1D2m-D.放选C. 1)>18,故D对.故选BCD. 三、填空题 6.C【解析】设小胡每月月底还款x元，根据等额本息 9.一11【解析】根据题意得S2:=a1十a2十…十a2r= 还款法可得：第1次还款后欠银行贷款为A, -1+(2-3)+(4-5)+(6-7)+…+ a(1十t)-x,第2次还款后欠银行贷款为A2= (20-21)=-11. a(1+t)2一x(1十t)一x,·,第12次还款后欠银行 贷款为A2=a(1十t)12-x(1十t)1-x(1十t)10 10.2044一511x【解析】设⊙0，的半径为R.,易知 512 …-x(1+t)-x=a(1十t)2-x[(1十t)1+ (1+t)10+…+(1+t)+1]=a(1+t)2- O0,的半径为号R,即R1=号R所 R,÷② 1二)1=a1+)+1-1+)] 1-(1+t) t 以(R)是以R,=号为首项，号为公比的等比数 因为贷款12个月还清，所以A12=0,即a(1+t)2十 1-1+)]=0,所以x=a11+)9 (1十t)2-·故选C. 列，放=R(修)-(）-（号），得到 二、选择题 7BC【解析】当=1时，可得号<异：当a=2时，可 ⊙0，的面积为S,=R=x(分)厂=票，又第n次 得日十是票即使不等式成立的第一个自然 裁萌操作的正方形边长为2R.=(3)产，故第n 次裁剪操作裁掉的面积为(2R,)2一Sn= 数。=2，故A错误，B正确；当n=k时，可得左边= 1 1 1 十中十十2十十3十…十十当n=k十1时，可得 左边=中2+十中十…十中十中十欢中2两 1 1 1 次栽剪操作后，栽掉的面积之和为(4一x)(号+士 ·74· 高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第二册· 13.解：(1)因为2Sn=(n+1)am,n∈N*, 十…十 ）=(4-) [-(号)》门 所以当n≥2时，2Sm-1=na-1, 1-2 两式相减得2a,=(n十1)a,一na,-1,即=，” an-1 n-1 (4-x)(1一2)所以第9次操作后，所有被裁部 累乘得a.=×X…×号Xa1=× ag-14m-艺 分的面积之和为(4一元)(1-》 2044-511x 512 四、解答题 经检验a1=2也符合上式，所以an=2. (4分) 11.解：(1)由a1=3,得a2=a-2a1+1=4, (1分) 由a2=4,得a3=a号-3a2+1=5, (2分) (2)因为a名·所以6，=2mX2m十) 由a3=5,得a4=a号-4a1十1=6， (3分) 1 由此猜想{an}的一个通项公式：an=n十2. (6分) 2m(n+1)= (2)用数学归纳法证明： 所以M=[(-)+(-)+…+ ①当n=1时，a1=3满足am=n十2，命题成立： (8分) (日点)]=-克)： (7分) ②假设当n=k(k∈N*,k≥1)时命题成立，即as= 假设存在正整数m,n(2<m<n),使得M2,Mm,Mn k+2, (9分) 成等差数列，则M十Mn=2Mm, 则当n=k+1时，a+1=a一(k+1)ak十1= m+3+n十有即m=5-18 即2 =1+1 (k+2)2-(k+1)(k+2)+1=k+3=(k+1)+2, n+4” (9分) 命题仍然成立， (12分) 显然n十4是18的正约数， 由①和②可知am=n十2对Hn∈N都成立.(13分) 又因为n>m>2, 12.解：1)由题意，数列{a}满足a+1一2a.十 3an 所以n+4>6, 所以n十4=9或18， 可得1=20+1-1.1+名 当n十4=9，即n=5时，m=3; 3amT3 当n+4=18,即n=14时，m=4. 所以存在正整数，n(2<m<n),使得M2,M,Mn 3 an 3 成等差数列， 又a-号所以止-1-号0 此时m=3,n=5或m=4,n=14. (12分) (3)由题意知，cn=2”-1, (13分) 1一1 所以方 当=1时，号-2心3，不等武成立 (14分) 1 当≥？时，因为号=<2-2-2 2 所以数列{日-1是首项为子，公比为号的等比数 2"-1 ,(16分) 列. (7分) (21)由(10可得-1=号×（兮）=2· 所以立<2+(2十 (号)广所以2=2()广+1 7++2)=24(1-） 则s-… =3- 2"-1 (18分) =2(++安+…+安)十n 因为2”-1>0，所以2>0,3-2<3， [-()] 所以≥2时，空号 <3 1 +n=n+1- 3分」 (11分) (i)若5，>2026，即n+1->2026, 1 因为函数y=x十1一3为单调递增函数， 所以满足Sn>2026的最小整数n的值为2026. (15分) ·75·高二同步周测卷/数学选择性必修第二册 (三)数列求和、数列在日常经济生活中的应用、数学归纳法 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.用数学归纳法证明：1十2十…+(2n十3)=(+2)(2十3)，在验证n=1成立时，左边 所得的代数式是 A.1 B.1+3+5 C.1+2+3+4 D.1+2+3+4+5 2.已知等差数列{am}的公差为3，若a1,a2,a4成等比数列，则a1十a2= A.-10 B.6 C.9 D.12 3.已知数列a,满足a,=2sin(罗+晋)，其前n项和为S.,则S% A.3-1 B.-1 C.3 D.2 4.19×2+17×2+15×分+…+1×2 A18+是 B.17+3 Π C18+2是 D17+是 5.已知函数f(x)满足f(x十1)一f(x)=2x一1，且f(0)=1,设数列{am}满足am= f(n),则数列{an}的前n项和的表达式为 A.n2-2n+2 B.n2-n+1 C.n(n-1)(2n-1)） 6 D.nt1D-n十1 2 6.某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡于2025年5月1日向银行贷款a元 用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息（复利即利生利）.若每月 月底还银行相同金额的贷款，到2026年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则 小胡每个月月底需要还款 A.a(1十t)12元 B.a(1+t)12 12 元 C.at(1+t)2 at(1+t)12 ”(1+t)2-1元 D.12+0-1元 数学（北师大版）选择性必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7用数学归销法证明不等式，十十2十，写…十，>号的过程中，下列说法正 确的是 A.使不等式成立的第一个自然数o=1 B.使不等式成立的第一个自然数=2 C.n=k推导n=k十1时，不等式的左边增加的式子是(2k+1)(2k+2) D.1=k推导n=k十1时，不等式的左边增加的式子是(2k十2)(2k十3) 8.高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大的数学家，用他名字定义的函数f(x)= [x]([x]表示不超过x的最大整数)称为高斯函数.已知正项数列{am}的前n项和为 5且S,=口，+2)令6，一5十5则下列结论正确的有 A.am=n(n∈N*) B.Sn=√n(n∈N*) C.[b1+b2+…+b3]=6 1+1 1>18 S1 班级 姓名 分数 题号 2 3 5 6 7 P 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知数列{am}的前n项和为Sn,且an=(一1)”"n,则S21= 10.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动 的民间艺术.已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为1的圆形纸片，记为⊙O, 在⊙O内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为⊙O,并裁去该正方形与 内切圆之间的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，…，重复上述裁剪操作 n次，最终得到该剪纸，则第9次操作后，所有被裁部分的面积之和为 高二同步周测卷三 数学（北师大版）选择性必修第二册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 13.(本小题满分20分) 11.(本小题满分13分) 已知数列{an}的前n项和为Sm,且a1=2,2Sn=(n十1)am,n∈N, 设数列{an}满足a1=3,且am+1=a-(n十1)an十1(n∈N*). (1)求数列{am}的通项公式； (1)求a2,aa,a4,并由此猜想出{an}的一个通项公式； ②)令6，三，之二数列b,的前n项和为M,是否存在正整数m,n(2<m<m),便 (2)用数学归纳法证明你的猜想成立· 得M2,Mm,Mn成等差数列？若存在，求出m,n的值；若不存在，说明理由； ③记c=2-1,证明：空号<3m∈N. 12.(本小题满分15分) 3 已知数列{an)的首项a1= ，且满足a1= 2an+1 (1)求证：数列}-1为等比数列： an (2记数列侵的前n项和为5。 (i)求Sm; (i)求满足条件Sm>2026的最小整数n. 数学（北师大版）选择性必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高二同步周测卷目 数学（北师大版）选择性必修第二册第4页（共4页）