专题04 三角形（6大考点）（辽宁专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题04 三角形 6大考点概览 考点01角、角平分线 考点02相交线与平行线 考点03等腰三角形的性质与判定 考点04直角三角形的性质与判定 考点05相似与全等 考点06锐角三角函数及其应用 角、角平分线 考点01 1．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，已知直线，将一块含角的直角三角板图示的方式放置，顶点A在直线上，顶点C在直线上，过点C作的平分线交于点D，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图为平面镜的光路图，入射光线经平面镜反射（入射角等于反射角），若，，，则为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁阜新·一模）一副直角三角尺如图摆放，点D在的延长线上，，则的度数是___． 相交线与平行线 考点02 1．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，，点C在直线上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在四边形中，是上一点，过点作，．若，________． 4．（2026·辽宁朝阳·一模）如图，直线，直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径画弧，分别交、于直线同侧的点、，，，则的长等于______． 等腰三角形的性质与判定 考点03 1．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，为等边三角形，点在上运动，点在上运动，点在上运动，且，点为中点，点为中点，连接，，若，的面积为，则关于的函数图象大致是（） A．B．C． D． 2．（2026·辽宁阜新·一模）如图，点D在等边三角形的边上，，若，，则的长为____．    3．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，已知等边的边长为8，点P是边上的动点，以为边向右作等边，点D是边的中点，连接，则的最小值是_____． 4．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在和中，与交于点，，． (1)求证：． (2)如图，将图中的“改成，并分别延长交于点，若，求的度数． (3)如图，是等边三角形， ，在平面内将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，是的中点，连接．若，，求的长． 5．（2026·辽宁沈阳·一模）【知识回顾】 （1）如图1，是等边三角形，将绕点逆时针旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点），连接交于点，连接交于点，交于点F，求的度数； 【变式应用】 （2）已知，将绕点顺时针旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点），连接． ①如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，求证； ②若，，直线交于点，，请直接写出的面积． 直角三角形的性质与判定 考点04 1．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，将线段沿方向向右平移，得到（点D的对应点为E，点C的对应点为F），连接，再将沿折叠，使点B落在平面内的点G处．当时，线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图在中，，，以点为旋转中心，将逆时针方向旋转得到，交于点． (1)如图1，当经过点时，求证：； (2)如图2，当，交于点，交于点，求证：． 3．（2026·辽宁铁岭·一模）中，，，分别为，的中点，点为边上一点，过点作垂足为，交直线于，连接． (1)的长度是________； (2)如图，当点在线段上时，求证：； (3)当时，求的面积． 4．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图1，在中，，，，将三角形纸片折叠，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕． (1)求证：； (2)在（1）基础上，将沿折痕剪开，然后将绕点D逆时针方向旋转，得到，点E，C的对应点分别是点F，G，与交于点M，与交于点P． ①如图2，当时，求长； ②如图3，当的延长线经过点B时，连接，求的面积． 5．（2026·辽宁抚顺·一模）在“综合与实践”活动课上，老师提出问题：将绕点B顺时针旋转得到，其中，． (1)如图1，当点E落在外部，且时，延长交于点G，求证：四边形是正方形； (2)如图2，当点E落在内部，且时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N，求证：； (3)将绕点B顺时针旋转的过程中，当时，连接．若，，求的面积． 6．（2026·辽宁大连·一模）如图，在中，，在上方作，使，且，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，，连接． ①求的度数； ②若，求的长． (3)若，点E为中点，连接并延长，交线段于点F，当为直角三角形时，请直接写出的值． 7．（2026·辽宁抚顺·一模）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，当，时，求的长． (3)如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点，与交于点． ①求证：． ②当，时，请直接写出的值． 相似与全等 考点05 1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，在中，D是边上的一点，交于点E，，，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·辽宁大连·一模）如图，在中，点D，E分别在，上，且，，若的面积为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在直角三角形中，，E为边上一点，连接，过点E作，且，连接，，在点E从点B运动到点C的过程中，点F的运动路径长为（   ） A．4 B． C．8 D． 4．（2026·辽宁锦州·一模）如图三点共线，与交于点，，若，则的值为_______________ ． 5．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，为的中点，点在线段上，连接，过点作于点，连接．若，则________． 6．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，，是边上一动点，将沿折叠，点落在点处，交于点，连接，当时，的长为___． 7．（2026·辽宁鞍山·一模）如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且，光屏上显示的缩小的实像高．若物体AH到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体的高为_____． 8．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在中，E为的中点，F为的中点，连接交于点G，则的值为____ 9．（2026·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，是轴上的一个动点． (1)如图1，点在第四象限，和都是等边三角形，点在的上方，当点在轴上运动到如图1所示的位置时，连接，求证：． (2)如图2，点在轴的正半轴上，和都是等腰直角三角形，点在的上方，，当点在轴上运动时，求的最小值． 10．（2026·辽宁鞍山·一模）（1）如图1，四边形的对角线，相交于点O，，且，．求证：； （2）如图2，点E是的中线上一点，连接并延长交于点G，连接并延长交于点F，此时，连接，．求证：； （3）如图3，在中，，E是边上一点，交的延长线于点H，若，，，求的长． 锐角三角函数及其应用 考点06 1．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，平行四边形的边上有一动点E，连接，以为边作平行四边形，且边过点D．若，，，，则平行四边形的面积为（   ）    A． B． C． D． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，湖心岛上有一凉亭，在凉亭的正东湖边有一棵大树，在湖边的处测得在其北偏西方向上，在其北偏东方向上，测得，之间的距离为米，则，之间的距离为___米．（结果精确到米．参考数据：， ） 3．（2026·辽宁朝阳·一模）如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为．请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） 4．（2026·辽宁阜新·一模）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼的高度进行测量．先测得居民楼与之间的距离为，后站在M点处测得居民楼的顶端D的仰角为，居民楼的顶端A的仰角为，已知居民楼的高度为，求居民楼的高度．（精确到） （参考数据：，，，，，） 5．（2026·辽宁朝阳·一模）如图，某轮船以的速度由东向西航行至处，测得灯塔在它的北偏西方向上，继续航行后到达处，测得灯塔在它的西北方向上． (1)求轮船在处时与灯塔的距离(精确到)； (2)若灯塔周围内有暗礁，且轮船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？ (参考数据，，，，，，) 6．（2026·辽宁葫芦岛·一模）图1是某汽车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． (1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； (2)若小明爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01，参考数据：，，，） 7．（2026·辽宁铁岭·一模）学习数学贵在解决实际问题，某校数学兴趣小组准备利用所学数学知识来测量一个山脚下的信号塔的高度（图①）．设计了如下测量方案： 课题 测量信号塔的高 实物图 测量工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 测量示意图 说明 如图②，点均在同一竖直平面内，线段的长度表示信号塔的高度，点B表示坡底角处，表示斜坡，表示坡底水平线，平行于水平线． 测量数据 如图②，同学们测得，斜坡的长为，在点D处测得信号塔最高点A的仰角为，的长为． 参考数据 ，，， 任务 求信号塔的高（结果精确到）． 8．（2026·辽宁盘锦·一模）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 ①选取与树底B位于同一水平地面的D处； ②测量D，B两点间的距离； ③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角； ④测量C到地面的高度． ①选取与树底B位于同一水平地面的E处； ②测量E，B两点间的距离； ③在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； ④测量E，D两点间的距离； ⑤测量C到地面的高度． 测量数据 ①； ②； ③． ①； ②； ③． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②均与地面垂直； ③参考数据：． ①图上所有点均在同一平面内： ②均与地面垂直； ③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 9．（2026·辽宁抚顺·一模）综合与实践 【主题】某市海上灯塔的高度测量与航道安全规划 在某市海洋经济发展项目中，海上灯塔是保障航道安全的重要设施．某中学数学社团开展“海上灯塔的数学测量与航道规划”项目式学习活动，利用数学知识探究灯塔高度测量与航道安全距离的计算问题．请结合活动素材，完成以下实践探究． 【素材准备】 1．某市某港口附近有一座海上灯塔，其底部N位于海平面，顶部M为灯光发射点； 2．社团成员在港口岸边的A点使用测角仪测量灯塔顶部的仰角，测角仪的高度米（B为测角仪顶部）； 3．为保障航道安全，船只航行时与灯塔底部N的水平距离不得小于200米，该距离称为安全航道半径． 【实践探究一】 (1)如图1，若社团成员在A处测得灯塔顶部M的仰角为，从A点向灯塔方向沿直线行走50米到达D点，在D处测得灯塔顶部M的仰角为（所有点都在同一平面内，且点A，D，N在同一条水平线上），求灯塔的高度．（结果保留根号） 【实践探究二】 (2)如图2，已知灯塔灯光最远的照射点为P，此时最大照射距离米．某船只在灯塔正东方向的点F处，若从点F测得灯塔顶部M的仰角为，判断上述点F是否在安全航道以及灯光照射范围内，并说明理由（灯塔高度取实践探究一的结果，船只看作一个点）．（结果保留整数．参考数据：） 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk 专题04 考点01 角、角平分线 1.A 2.D 3.15°/15度 考点02 相交线与平行线 1.B 2.D 3.65 4. 7π 2 考点03 等腰三角形的性质与判定 1.A 2 3.25 4.(I)△ABC≌△BAD (2)60° ③23 8 5.(1)60°；(2)①EG=FG,②85或204 直角三角形的性质与判定 考点04 1.D 2.(1)BA⊥CD 2AC=AG 3.(1)7 3/3 com 让教与 三角形 学更高效 命学科网 (2AF=BH+FH )△BFH的面积为或 3 4.(1)AD=BD (2)03:②147 100 5.(1)四边形BCGE是正方形 (2AM BE (3)△ABD的面积为16或32 6.(1)∠CAB=∠ABD (2)①90°；②2√2 85政25 7.(I)LA=∠CBE (②35 5 (3)①AC=CF;②32 相似与全等 考点05 1.B 2.C 3.B 4.2 5.25/2v2 55 21 6.5 7.18 8.2 9.(1)△ABD≌△0BC (2② 2 10.(1)AB=DC(2)AD⊥BC(3)10 www.zxxk.com 2/3 改与学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让 锐角三角函数及其应用 考点06 1.C 2.137 3.建筑物AC、BD的高度分别为140m,35m 4.居民楼AB的高度约为43m 5.(1)约18.8 amile; (2)有触礁的危险. 6.(1)2.15m (2)没有危险 7.27m 8.8m 9.①)76.5+253)米 (②)点F在安全航道范围内，且在灯光照射范围内. 3/3 致与学更高效 专题04 三角形 6大考点概览 考点01角、角平分线 考点02相交线与平行线 考点03等腰三角形的性质与判定 考点04直角三角形的性质与判定 考点05相似与全等 考点06锐角三角函数及其应用 角、角平分线 考点01 1．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，已知直线，将一块含角的直角三角板图示的方式放置，顶点A在直线上，顶点C在直线上，过点C作的平分线交于点D，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平分，可得，则可得，再由，根据同旁内角互补即可求解． 【详解】解： ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图为平面镜的光路图，入射光线经平面镜反射（入射角等于反射角），若，，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行线的性质可得，求出，再结合题意得出，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵入射光线经平面镜反射（入射角等于反射角） ∴， ∴． 3．（2026·辽宁阜新·一模）一副直角三角尺如图摆放，点D在的延长线上，，则的度数是___． 【答案】/15度 【分析】本题考查平行线性质，三角尺角度，角度计算等．根据题意可知，再利用平行线性质可得，继而求得本题答案． 【详解】解：∵一副直角三角尺， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 相交线与平行线 考点02 1．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，，点C在直线上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到，由三角形内角和定理得到，再利用等腰三角形的性质得到，从而求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质．根据三角形的外角的性质得出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在四边形中，是上一点，过点作，．若，________． 【答案】 【分析】由平行线的性质可得，，因此，结合三角形的内角和定理计算出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·辽宁朝阳·一模）如图，直线，直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径画弧，分别交、于直线同侧的点、，，，则的长等于______． 【答案】 【分析】连接，由等腰三角形等边对等角以及平行线的性质，求出的度数，再利用弧长公式进行求解即可． 【详解】解：连接，如下图所示： 由作图可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 等腰三角形的性质与判定 考点03 1．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，为等边三角形，点在上运动，点在上运动，点在上运动，且，点为中点，点为中点，连接，，若，的面积为，则关于的函数图象大致是（） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】设等边三角形边长为，分别表示出的底边和高，进而得到与的函数关系式，根据函数类型判断图象． 【详解】解：设等边的边长为， ∵为中点，， ∴，， 如图，过点、分别作的垂线，垂足分别为、，过点作于， ∵为中点， ∴为梯形的中位线，即， 在中，，， ∴， 在中，，, ∴， ∴的高， ∴， ∴， ∴是关于的分段一次函数，图象为“”字形折线，且当时，，观察选项，只有符合． 2．（2026·辽宁阜新·一模）如图，点D在等边三角形的边上，，若，，则的长为____．    【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边三角形的性质，得，，再运用三角形外角性质，得，证明，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 则， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，已知等边的边长为8，点P是边上的动点，以为边向右作等边，点D是边的中点，连接，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，准确判断点的运动轨迹是解题关键．首先结合等边三角形的性质证明，由全等三角形的性质可得，进而可得点的运动轨迹在经过点，且与夹角为的射线上，当时，取最小值，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”以及勾股定理解得此时的值，即可获得答案． 【详解】解：∵与均为等边三角形，且等边的边长为8， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹在经过点，且与夹角为的射线上， ∵垂线段最短， ∴当时，取最小值，如图， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在和中，与交于点，，． (1)求证：． (2)如图，将图中的“改成，并分别延长交于点，若，求的度数． (3)如图，是等边三角形， ，在平面内将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，是的中点，连接．若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）利用“”即可求证； （）在上取一点，使得，连接，由得，，即得，得到，进而得到，即得，即可求解； （）延长至点，使得，连接，过点作于，于，可证，得到，即得，得到，又由旋转得，即得，即可得是等边三角形，再证明，得，，可得是的平分线，得到，由得，又由直角三角形的性质得，得到，即可得到，最后根据三角形中位线的性质解答即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ∵， ∴； （2）解：如图，在上取一点，使得，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，延长至点，使得，连接，过点作于，于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴ 5．（2026·辽宁沈阳·一模）【知识回顾】 （1）如图1，是等边三角形，将绕点逆时针旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点），连接交于点，连接交于点，交于点F，求的度数； 【变式应用】 （2）已知，将绕点顺时针旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点），连接． ①如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，求证； ②若，，直线交于点，，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）①见解析，②85或204 【分析】（1）根据旋转的性质可知、为等腰直角三角形，，然后利用三角形内角和即可求得； （2）①根据旋转的性质可知，，，然后利用角的和差求得，，从而证得，得证；②分类讨论，点在左侧或者右侧，参考①中思路，线段绕点逆时针旋转得到线段，易证、、三点共线，，进而得出，过作，设，在中，利用勾股定理求得，最后根据面积公式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：将绕点逆时针旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点）， ，，，， 、为等腰直角三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）①证明：将绕点顺时针旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点）， ，为等腰直角三角形， ，，， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ，， ， ， 在和中， ， ； ②解：当点在右侧时，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，如图， 则为等腰直角三角形， ， 同①可知，、均是等腰直角三角形， ， ， ， 、、三点共线， ， ， 同①可证， ， 过作，设， ， ， 在中，，即 解得，（负值已舍去） ，， ， ； 当点在左侧时，如图所示， 同理得、、三点共线，，， 过作，设， ， ， 在中，，即 解得，（负值已舍去） ，， ， ； 综上所述，的面积为85或204． 直角三角形的性质与判定 考点04 1．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，将线段沿方向向右平移，得到（点D的对应点为E，点C的对应点为F），连接，再将沿折叠，使点B落在平面内的点G处．当时，线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】先说明四边形为平行四边形，再由翻折可得，进而得到，再解直角三角形即可． 【详解】在中，，， ， 四边形为平行四边形， ， ， 又沿折叠，点B落在平面内的点G处， ， 四边形为矩形， ， 又， ， ， ． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图在中，，，以点为旋转中心，将逆时针方向旋转得到，交于点． (1)如图1，当经过点时，求证：； (2)如图2，当，交于点，交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据旋转，得到，得到，推出是等边三角形，得到，平角求出，三角形的内角和定理推出，即可得证； （2）过点作，垂足为，旋转得到，等积法求出，进而得到是的角平分线，平行加上角平分线的定义，推出，即可得证． 【详解】（1）证明：是旋转得到的图形， ，， 是等边三角形． ． ， ， ． ， ． （2）证明：过点作，垂足为． ， ， ． 是旋转得到的图形， ，． ． ． ． 是的角平分线， ． ， 是等腰三角形， ． 3．（2026·辽宁铁岭·一模）中，，，分别为，的中点，点为边上一点，过点作垂足为，交直线于，连接． (1)的长度是________； (2)如图，当点在线段上时，求证：； (3)当时，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)的面积为或 【分析】（1）利用中位线的性质求解即可； （2）连接，延长交延长线于，利用等腰直角三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质得出，即可证明，得出，，进而可证明，得出，根据线段的和差关系即可得结论； （3）当点在上时，连接，过点作于，过点作于，利用勾股定理可求出，，根据直角三角形两锐角互余的性质得出，可得，即可求出，利用三角形面积公式即可得面积；同理，当点在上时，连接，过点作于，过点作于，求出，，即可得面积；综上即可得答案． 【详解】（1）解：∵，，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴． （2）证明：如图，连接，延长交延长线于， ∵中，，为的中点， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵为的中位线， ∴，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图，当点在上时，连接，过点作于，过点作于，此时，，即，则， 设，则， ∵，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴． 如图，当点在上时，连接，过点作于，过点作于，此时，，即，则， 同理可得，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴． 综上所述：的面积为或． 4．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图1，在中，，，，将三角形纸片折叠，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕． (1)求证：； (2)在（1）基础上，将沿折痕剪开，然后将绕点D逆时针方向旋转，得到，点E，C的对应点分别是点F，G，与交于点M，与交于点P． ①如图2，当时，求长； ②如图3，当的延长线经过点B时，连接，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①3；② 【分析】（1）利用折叠的性质和等角对等边进行解答即可； （2）①由（1）可知：，由旋转的性质得：，，由得到，进一步即可求出答案； ②证明．设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，得到，利用三角形的面积公式进一步解答即可． 【详解】（1）证明：由折叠可知：， ， ， ，， ， ； （2）①解：在中，， 由（1）可知：， 由旋转的性质得：，， ， ，， ，， ，， ， ， ； ②解：当的延长线经过点B时， ， ， ，， ，， ． 又， ， ， ． 设， 则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ． 与同高， ， ， ． 5．（2026·辽宁抚顺·一模）在“综合与实践”活动课上，老师提出问题：将绕点B顺时针旋转得到，其中，． (1)如图1，当点E落在外部，且时，延长交于点G，求证：四边形是正方形； (2)如图2，当点E落在内部，且时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N，求证：； (3)将绕点B顺时针旋转的过程中，当时，连接．若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的面积为或 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形； （2）由已知可得，再由等积方法，结合已知即可证明结论； （3）分类讨论当点E落在内部时，当点E落在外部时，分别根据已知条件计算即可． 【详解】（1）证明：∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， 即． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：当点E落在内部时，如答图3∶ 过点A作，垂足为F， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 当点E落在外部时，如答图4． ∵，，， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 综上所述，的面积为或． 6．（2026·辽宁大连·一模）如图，在中，，在上方作，使，且，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，，连接． ①求的度数； ②若，求的长． (3)若，点E为中点，连接并延长，交线段于点F，当为直角三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)或 【分析】（1）通过三角形内角和求证即可； （2）①延长，过点B作，垂足为E，导特殊角易得，可得，再证，即可得解； ②连接，设与相交于点F．解三角形易得，由勾股可得．再证，即可得解； （3）分类讨论，当时，导角易证，可得，，解即可得解；当时，易证是等边三角形，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①如图1，延长，过点B作，垂足为E， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：如图2，连接，设与相交于点F． 由①知，，． 在中，，， 在中，， 根据勾股定理得，． 由①知，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：根据题意可知，则分两种情况讨论： ①时， ∵E是中点， ∴设，则， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴； ②当时， 此时可知垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 综上，的值为或． 7．（2026·辽宁抚顺·一模）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，当，时，求的长． (3)如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点，与交于点． ①求证：． ②当，时，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）根据旋转可得知，进而即可得到结论； （2）根据，可得，由，利用相似三角形的性质即可解答； （3）①通过证明三角形全等得出线段相等关系；②先根据平行四边形的性质得到相关线段长度，再利用三角函数，全等三角形性质以及相似三角形性质求出的值． 【详解】（1）证明：由旋转的性质，知， ∵， ∴； （2） 解：如图1，过点C作于点H． 在中，， ∴ ， ∴ ∴，即 ∵ ∴； （3）解：①证明：由旋转的性质，得，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； ②如图2，延长交于点M． 设，则 ∵ ∴四边形为平行四边形. ∴. ∵在中，， ∴ ∴ （1）知 ∴ ∵ 在中，由勾股定理，得， 由①可知，则， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 相似与全等 考点05 1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，在中，D是边上的一点，交于点E，，，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．利用“”证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（2026·辽宁大连·一模）如图，在中，点D，E分别在，上，且，，若的面积为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，得出，因为的面积为，所以，再结合面积和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵,， ∴， ∵， ∴， ∴， 则 ∵的面积为， ∴ 则四边形的面积为， 故选：C． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在直角三角形中，，E为边上一点，连接，过点E作，且，连接，，在点E从点B运动到点C的过程中，点F的运动路径长为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，，，，证明得出，，进而可得点在以C为顶点且垂直于的射线上运动，由此即可得出结果． 【详解】解：∵是直角三角形，， ，， ，， ，， ． ∴． ∴，， ∴点在以C为顶点且垂直于的射线上运动．当点从点B运动到点C时，点的运动路径长为． 4．（2026·辽宁锦州·一模）如图三点共线，与交于点，，若，则的值为_______________ ． 【答案】 【分析】根据可得，继而，又根据可得，进而，最后面积之比可求． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，为的中点，点在线段上，连接，过点作于点，连接．若，则________． 【答案】/ 【分析】先通过勾股定理计算出，，容易证明，从而得到．通过计算可得，结合，可判定，因此，计算出后代入即可． 【详解】解：在中，， ∵为的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，，是边上一动点，将沿折叠，点落在点处，交于点，连接，当时，的长为___． 【答案】 【分析】用勾股定理得出，再推出，设，则，结合，列出比例式即可求解 【详解】解：由折叠的性质，知， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，设，则， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴ 7．（2026·辽宁鞍山·一模）如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且，光屏上显示的缩小的实像高．若物体AH到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体的高为_____． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，如图，根据题意得，再证明，则利用相似三角形的性质得到， 然后利用得到物体的高． 【详解】解：如图所示，由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵光屏上显示的缩小的实像高， 由题意可得，， ∴. 即物体的高为， 故答案为：． 8．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在中，E为的中点，F为的中点，连接交于点G，则的值为____ 【答案】 【分析】延长交于点H，证明，可得，从而得到，再由，解答即可． 【详解】解：如图，延长交于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 9．（2026·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，是轴上的一个动点． (1)如图1，点在第四象限，和都是等边三角形，点在的上方，当点在轴上运动到如图1所示的位置时，连接，求证：． (2)如图2，点在轴的正半轴上，和都是等腰直角三角形，点在的上方，，当点在轴上运动时，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，再根据证明即可； （2）连接，先证明，可得点D始终在第一象限的角平分线上运动，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，进而即可解答． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解： 连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴点D始终在第一象限的角平分线上运动，根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∵点的坐标为， ∴， ∴在中， 10．（2026·辽宁鞍山·一模）（1）如图1，四边形的对角线，相交于点O，，且，．求证：； （2）如图2，点E是的中线上一点，连接并延长交于点G，连接并延长交于点F，此时，连接，．求证：； （3）如图3，在中，，E是边上一点，交的延长线于点H，若，，，求的长． 【答案】（1）证明见详解，（2）证明见详解，（3）10 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理． （）方法一：延长、交于点，证明，利用全等三角形性质可得，，由此即可证明结论， （）证明出，得到，由是中线得到，由此利用等腰三角形三线合一的性质得出； （）先通过作辅助线构造矩形，利用矩形性质得到边与角的等量关系，再通过角的代换证明三角形相似，得，结合已知比例设，，最后利用相似三角形的性质列方程求解，进而得出的长度． 【详解】（）证明：延长、交于点， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴ （）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴． （）如图，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作于点，得四边形是矩形． ∴，， ∵，交的延长线于点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∴，，， ∵， ∵， ∴， 即， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 锐角三角函数及其应用 考点06 1．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，平行四边形的边上有一动点E，连接，以为边作平行四边形，且边过点D．若，，，，则平行四边形的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，过点D作于点H．先根据平行四边形的性质得到．利用锐角三角函数求得，然后根据平行四边形的面积公式求得即可． 【详解】如图，连接，过点D作于点H．   ， ． 在中，，， ∴． ， ． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，湖心岛上有一凉亭，在凉亭的正东湖边有一棵大树，在湖边的处测得在其北偏西方向上，在其北偏东方向上，测得，之间的距离为米，则，之间的距离为___米．（结果精确到米．参考数据：， ） 【答案】 【分析】过点作于点， 在中，求出、的值，然后在中，求出的长度，继而可求得的长度． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，米， （米）， （米）， 在中，， （米）， （米）， 即，之间的距离约为米． 3．（2026·辽宁朝阳·一模）如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为．请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） 【答案】建筑物、的高度分别为， 【分析】如图：过作交延长线于E，则四边形是矩形，即，；分别在、解直角三角形可得、，进而完成解答． 【详解】解：如图：过作交延长线于E，则四边形是矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴，即建筑物的高度为． 在中，，， ∴， ∴建筑物的高度为． 4．（2026·辽宁阜新·一模）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼的高度进行测量．先测得居民楼与之间的距离为，后站在M点处测得居民楼的顶端D的仰角为，居民楼的顶端A的仰角为，已知居民楼的高度为，求居民楼的高度．（精确到） （参考数据：，，，，，） 【答案】居民楼的高度约为 【分析】本题考查解直角三角形．在中，有，进而，从而在中，即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴． 答：居民楼的高度约为． 5．（2026·辽宁朝阳·一模）如图，某轮船以的速度由东向西航行至处，测得灯塔在它的北偏西方向上，继续航行后到达处，测得灯塔在它的西北方向上． (1)求轮船在处时与灯塔的距离(精确到)； (2)若灯塔周围内有暗礁，且轮船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？ (参考数据，，，，，，) 【答案】(1)约； (2)有触礁的危险． 【分析】（1）先计算的长度，过作的延长线于，由“西北方向”得出是等腰直角三角形，设，在中解三角函数建立方程求出，再利用等腰直角三角形的边长关系求出． （2）比较与的大小关系，若，则轮船继续航行有触礁危险，反之则没有． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， 根据题意，，，． 在中，，， ∴，设，则， ∴． 在中，，， ∴，解得． 在中，． 答：轮船在处时与灯塔的距离约为． （2）解：由（1）知， ∵， ∴轮船不改变航线继续向西航行，有触礁的危险． 答：轮船不改变航线继续向西航行，有触礁的危险． 6．（2026·辽宁葫芦岛·一模）图1是某汽车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． (1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； (2)若小明爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)没有危险，见解析 【分析】本题考查了解直角三角在实际生活中的应用，其中包括三角函数的运用，直角三角形的构造以及角度的推导，解题的关键在于借助解直角三角形的知识，把汽车后备箱开启的实际场景转化为数学几何问题，正确使用三角函数建立角与边的关系． （1）通过作辅助线构造直角三角形，应用的正弦值求解即可； （2）通过作辅助线构造直角三角形，应用的余弦值可求解点到地面的距离即可判断． 【详解】（1）解：过点作交于点E，如图， ∵，， 在中，，， ∴， ∴车后盖最高点到地面的距离为； （2）解：没有危险，理由如下， 过点作交于点F，如图， ∵， 在，， 又∵， ∴， ∵， 在中，， 则有， ∴车后盖点到地面的距离为， ∵小明爸爸的身高为， ∵， ∴没有危险． 7．（2026·辽宁铁岭·一模）学习数学贵在解决实际问题，某校数学兴趣小组准备利用所学数学知识来测量一个山脚下的信号塔的高度（图①）．设计了如下测量方案： 课题 测量信号塔的高 实物图 测量工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 测量示意图 说明 如图②，点均在同一竖直平面内，线段的长度表示信号塔的高度，点B表示坡底角处，表示斜坡，表示坡底水平线，平行于水平线． 测量数据 如图②，同学们测得，斜坡的长为，在点D处测得信号塔最高点A的仰角为，的长为． 参考数据 ，，， 任务 求信号塔的高（结果精确到）． 【答案】 【分析】延长交于点，在中，求出的长，在中，求出的长，利用求出的长即可． 【详解】解：延长交于点，则：， ∵， ∵， ∴， ， ∴ 在中，， ∴， 在中，， ∴． 答：信号塔的高为． 8．（2026·辽宁盘锦·一模）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 ①选取与树底B位于同一水平地面的D处； ②测量D，B两点间的距离； ③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角； ④测量C到地面的高度． ①选取与树底B位于同一水平地面的E处； ②测量E，B两点间的距离； ③在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； ④测量E，D两点间的距离； ⑤测量C到地面的高度． 测量数据 ①； ②； ③． ①； ②； ③． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②均与地面垂直； ③参考数据：． ①图上所有点均在同一平面内： ②均与地面垂直； ③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 【答案】 【分析】“测角仪”方案：根据矩形的性质得到,再根据三角函数的定义求解即可； “平面镜”方案：根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理求解即可． 【详解】解：选择“测角仪”方案： 如图：，， 在中，，， ， ． 选择“平面镜”方案： 由题意得，， ． 又， ， ，即， ． 9．（2026·辽宁抚顺·一模）综合与实践 【主题】某市海上灯塔的高度测量与航道安全规划 在某市海洋经济发展项目中，海上灯塔是保障航道安全的重要设施．某中学数学社团开展“海上灯塔的数学测量与航道规划”项目式学习活动，利用数学知识探究灯塔高度测量与航道安全距离的计算问题．请结合活动素材，完成以下实践探究． 【素材准备】 1．某市某港口附近有一座海上灯塔，其底部N位于海平面，顶部M为灯光发射点； 2．社团成员在港口岸边的A点使用测角仪测量灯塔顶部的仰角，测角仪的高度米（B为测角仪顶部）； 3．为保障航道安全，船只航行时与灯塔底部N的水平距离不得小于200米，该距离称为安全航道半径． 【实践探究一】 (1)如图1，若社团成员在A处测得灯塔顶部M的仰角为，从A点向灯塔方向沿直线行走50米到达D点，在D处测得灯塔顶部M的仰角为（所有点都在同一平面内，且点A，D，N在同一条水平线上），求灯塔的高度．（结果保留根号） 【实践探究二】 (2)如图2，已知灯塔灯光最远的照射点为P，此时最大照射距离米．某船只在灯塔正东方向的点F处，若从点F测得灯塔顶部M的仰角为，判断上述点F是否在安全航道以及灯光照射范围内，并说明理由（灯塔高度取实践探究一的结果，船只看作一个点）．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】(1)米 (2)点F在安全航道范围内，且在灯光照射范围内．理由见解析 【分析】（1）连接并延长交于点E，则四边形是矩形，四边形是矩形，在中，，在中，，得，即可求解； （2）在中，，即，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接并延长交于点E，则四边形是矩形，四边形是矩形， ∴米，米． 在中，， ， 设米，则米． ∴米． 在中， ， ， 解得， 米． 米． 答：灯塔的高度为米． （2）解：点F在安全航道范围内，且在灯光照射范围内．理由如下： 如图2．由题意，得米． 在中， 即； ∴（米），（米）． ∴，； ∴点F在安全航道范围内，且在灯光照射范围内． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $