专题03 函数（5大考点）（辽宁专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题03 函数 5大考点概览 考点01平面直角坐标系 考点02函数及函数图象的分析与判断 考点03一次函数的图象、性质及应用 考点04反比例函数的图象、性质及应用 考点05二次函数的图象、性质及应用 平面直角坐标系 考点01 1．（2026·辽宁阜新·一模）如图，菱形的顶点，，若菱形绕点逆时针旋转每秒旋转，则第秒时，菱形的对角线交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1或5 B．1 C．1或3 D．3 3．（2026·辽宁盘锦·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线与相交于点E．若，则点E的坐标为__________． 4．（2026·辽宁本溪·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是坐标平面内一点，且，点是线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为_________． 函数及函数图象的分析与判断 考点02 1．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，为等边三角形，点在上运动，点在上运动，点在上运动，且，点为中点，点为中点，连接，，若，的面积为，则关于的函数图象大致是（） A．B．C． D． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图1，在矩形中，，点P从点A出发，沿的路径匀速移动，设点P运动的路程为x，的面积为y，图2是y与x之间的关系图象．当时，x的值为（   ） A．16 B．4或16 C．4或 D．20 3．（2026·辽宁阜新·一模）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发，图中的折线段表示甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，则a的值是____． 4．（2026·辽宁铁岭·一模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的关系如图所示，则图中点B的横坐标为________． 5．（2026·辽宁鞍山·一模）解析式法、列表法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： _______ _______ (1)求的值，并补全表格； (2)结合表格，当的图象在的图象上方时，直接写出的取值范围． 一次函数的图象、性质及应用 考点03 1．（2026·辽宁抚顺·一模）将点向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点B，点B恰好落在直线上，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）已知点在函数的图象上，则的值为______． 3．（2026·辽宁锦州·一模）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的图象与轴的交点坐标是______． 4．（2026·辽宁盘锦·一模）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为______． 5．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，与x轴交于点B，直线与x轴交于点C．点P在直线上，过点P作轴交于点Q． (1)若点P在第一象限，且，求点Q的坐标； (2)已知点，连接、，当是直角三角形时，求的面积． 6．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点D，E，直线：分别交x轴、y轴于点C，． (1)求点A的坐标和的面积； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 7．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B．点P从点O出发，沿x轴以每秒一个单位长度的速度向点A运动，到达点A时停止运动，运动时间为t秒． (1)求点A，B的坐标． (2)过点P作x轴的垂线，交直线l于点Q，设的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围． (3)当t为何值时S最大？最大面积是多少？ 8．（2026·辽宁抚顺·一模）如图：平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，，为线段上任意一点，垂直于轴，垂足为点，垂直于轴，垂足为点． (1)求点，点的坐标； (2)点在线段上运动，当四边形面积最大时，求点的坐标． 9．（2026·辽宁阜新·一模）某物流公司引进A，B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运．A种机器人于某日0时开始搬运，过了，B种机器人也开始搬运．如图，线段表示A种机器人的搬运量（）与时间x（时）的函数图象，线段表示B种机器人的搬运量（）与时间x（时）的函数图象．根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)求关于x的函数解析式． (2)如果A，B两种机器人各连续搬运，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？ 10．（2026·辽宁葫芦岛·一模）某花店老板购入一批进价为10元/束的满天星进行售卖，经市场调研发现：销售单价不低于进价时，日销售量（束）与销售单价（元）是一次函数关系，其部分图象如图所示： (1)求与之间的函数表达式，并写出的取值范围； (2)设该老板每天销售利润为元，求与之间的函数关系式； (3)当满天星的销售价格定为多少元时，该花店销售满天星所获日销售利润为400元． 反比例函数的图象、性质及应用 考点04 1．（2026·辽宁阜新·一模）点，在反比例函数，则，的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法判断 2．（2026·辽宁鞍山·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁朝阳·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为（   ）． A． B． C． D． 4．（2026·辽宁鞍山·一模）如图，矩形的边在轴的正半轴上，函数的图象经过点和边的中点．若，，则的值是_______． 5．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，过y轴上任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A，B．若C为x轴上任意一点，连接，则的面积为______． 6．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，连接并延长至点B，使，过点B作轴于点C，连接．若的面积为4，则k的值为________． 7．（2026·辽宁本溪·一模）如图，点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，已知，，则的值为_____． 8．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，菱形的顶点O与原点重合，点A落在x轴上，点B在第一象限，反比例函数的图象经过点C，交于点D，点A的坐标为，菱形的面积为20． (1)求k的值； (2)求点D的坐标． 二次函数的图象、性质及应用 考点05 1．（2026·辽宁盘锦·一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．阴影部分的面积为4 3．（2026·辽宁阜新·一模）二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D．方程有两个相等实根 4．（2026·辽宁抚顺·一模）二次函数的顶点坐标为______． 5．（2026·辽宁抚顺·一模）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．现有下列说法：①；②；③的解集是；④（为任意实数）．其中正确的是___________（填序号）． 6．（2026·辽宁鞍山·一模）抛物线：与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），将抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线，抛物线与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），抛物线与抛物线相交于点E，连接．若，则m的值是______． 7．（2026·辽宁抚顺·一模）如图所示的是隧道的截面，其由抛物线和矩形构成，矩形的长是、宽是，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点到的水平距离为，到地面的竖直距离为． (1)求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶到地面的距离； (2)在抛物线形拱壁上安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果两排灯的水平距离不大于，那么灯离地面的最小高度是多少米？ 8．（2026·辽宁铁岭·一模）春节期间，某仓储超市代销礼盒，根据以往销售经验：当一盒利润为元时，日销售量可达到盒，一盒售价每提高元，日销售量减少盒（注：礼盒成本不变）． (1)求一盒售价提高多少元时，销售礼盒的日销售利润为元； (2)求一盒售价提高多少元时，销售礼盒的日销售利润最大，最大利润是多少． 9．（2026·辽宁抚顺·一模）为响应十五五规划“乡村振兴”与“绿色能源发展”战略，某村合作社推进集中式屋顶光伏电站建设（呼应“千家万户沐光行动”）．该项目既优化农村能源结构，又为村集体增加稳定收益，其收益与光伏板安装面积密切相关．经调研发现，光伏板安装面积x（单位：百平方米）与年发电量y（单位：千千瓦时）满足一次函数关系，当时，；当时，．已知每千千瓦时发电收入为0.5万元，建设总成本P（单位：万元）与安装面积x之间的函数关系式为（含设备、施工及维护费用）．年收益W（单位：万元）=年发电总收入-总成本＋政策补贴，其中十五五期间每百平方米安装面积补贴2万元． (1)求年收益W关于x的关系式； (2)若该村可利用的屋顶总面积不超过50百平方米，求年收益的最大值及对应的安装面积； (3)在（2）的条件下，若政策调整后，补贴标准变为每百平方米3万元，其他条件不变，此时最大年收益会增加______万元． 10．（2026·辽宁葫芦岛·一模）综合与实践 问题情境：窑洞是中国黄土高原传统民居，它不仅是当地居民适应自然环境的智慧结晶，也承载着深厚的历史记忆和地域文化．图1和图2是小红家乡刚建好的窑洞及内部结构图． 数学建模： 如图3所示是窑洞的截面图，可近似看成是由抛物线的一部分和矩形构成，已知窑洞的宽为，窑洞顶部最高点O离地面，点A离地面． (1)在图3中画出以点O为原点，平行于的直线为x轴、竖直方向为y轴的平面直角坐标系，并求抛物线的函数解析式； (2)问题解决：如图4，装修公司计划在窑洞两侧离地面的C，D处安装水平吊顶（吊顶为长方形，长为窑洞的深度），若窑洞的深度为，求吊顶所需材料的面积（结果精确到，参考数据：）． 11．（2026·辽宁辽阳·一模）综合与实践 深圳自然博物馆位于广东省深圳市坪山区燕子湖片区，共划分为陈列展览区、藏品保管保护区、公共服务区、科普教育区、综合业务与学术研究区以及地下车库和设备用房六大功能部分，是深圳市“新时代十大文化设施”之一，建成后将成为粤港澳大湾区首座大型综合类自然博物馆，填补了该区在综合类自然博物馆方面的空白．坪山区某中学数学兴趣小组对该项目设计图进行了研究： 把建筑俯视图的一部分抽象为以下图像：曲线、曲线、曲线和曲线，它们均可以看成某二次函数图像的一部分，后三者都可以看成由曲线平移得到，的长度为．如图，兴趣小组建立平面直角坐标系，已知曲线最高点点坐标为． (1)求曲线所在抛物线的解析式（不需要写自变量的取值范围）． (2)如图，现在需要在建筑的顶部划出一片矩形区域来做绿化，下图所示，其中轴，求矩形花园周长的最大值． 12．（2026·辽宁阜新·一模）已知抛物线（a，b，c是常数，且），自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 … y m 1 … (1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为直线______． (2)求抛物线的解析式和m的值． (3)新定义：将抛物线（）的图象记为，并将绕点O旋转后得到的图象记为，，合起来得到的图象记为G，图象G对应的函数称为“联动函数”．完成以下问题： ①在图中所示的坐标系中画出“联动函数”G的图象． ②若直线与“联动函数”G有且只有两个交点，直接写出n的取值范围为______． 13．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，抛物线与抛物线交于点B，过点B作x轴的平行线分别交两条抛物线于点A、C． (1)求a，m的值和点C的坐标． (2)已知F为直线上方抛物线上一点，连接．当为直角三角形时，求点F的坐标． (3)抛物线为抛物线关于抛物线的对称轴对称的抛物线，P为抛物线上一点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线，于点Q，H． ①求出抛物线的表达式； ②当P，Q，H其中一点为其他两点连接线段的中点时，求出点P的坐标． 14．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a，c是常数）与x轴交于A，两点，与y轴交于点，已知点P的坐标为，点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为m． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)当点Q在x轴的下方时，抛物线在点Q和点B之间的部分（包括Q，B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求m的值． (3)当点Q在x轴的下方时，设抛物线在点Q和点A之间的部分（包括Q，A两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为，抛物线在点Q和点B之间的部分（包括Q，B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为； ①当时，求此时点P的坐标； ②当时，求m的取值范围． 15．（2026·辽宁朝阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)已知直线，点在轴上，过点作于点，绕点逆时针旋转，得线段，当点恰好落在第四象限的抛物线上，求点的横坐标； (3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为，请直接写出的值． 16．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，抛物线的顶点为，交轴于点，将抛物线绕原点旋转得到抛物线，抛物线的顶点为，交轴于点，与相交于点和点（点在轴左侧）． (1)求点，，的坐标（用含的式子表示）； (2)顺次连接，，，四点，当四边形的面积为时． ①求的值； ②将抛物线，位于直线上方的图象（包含，两点）记为，图象L对应的函数为，当时，函数的最大值与最小值的差等于，求的值． 17．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)点P是抛物线在第四象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点E．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围． 18．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴负半轴相交于点A，与x轴正半轴相交于点B，与y轴相交于点C，直线与y轴相交于点，E是第一象限抛物线上一点，连接，交y轴于点G，过点E作轴交直线于点F，交x轴于点H，设E点横坐标为m． (1)求点A，B，C的坐标； (2)当时，求的长； (3)作轴，且M点横坐标为，以为邻边构造矩形． ①当矩形的边与抛物线有三个交点时，求m的取值范围； ②当抛物线经过矩形某一边的中点时，请直接写出m的值． 19．（2026·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（c为常数）经过点，点A在抛物线上，且点A的横坐标为． (1)求抛物线的表达式，并求出顶点的坐标． (2)当时，y的取值范围是，求t的值． (3)已知点B在函数的图象上，它的横坐标为，线段不与坐标轴平行，以为对角线构造正方形，使正方形的各边与坐标轴垂直．设正方形的边与函数的图象除点A，B外的另一个交点为P，求点P的坐标． 20．（2026·辽宁盘锦·一模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”． (1)①判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标； ②判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标； (2)设函数，的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围． 20．（2026·辽宁抚顺·一模）定义：对于平面直角坐标系中的函数叫做“对美函数”，其中f(x)是用自变量x表示的函数，“对美函数”的本质是分段函数． 例如：“对美函数”， (1)将“对美函数”写成分段函数的形式； (2)直线与（1）中的“对美函数”的图象交于A，B两点（点A在点B的左侧），点C在直线下方的“对美函数”上，且，求点C的坐标； (3)直线与（1）中的“对美函数”有2个交点时，请直接写出k的取值范围． 22．（2026·辽宁抚顺·一模）定义：对于二次项系数之和为，对称轴相同，且图象与轴的交点也相同的两个二次函数，我们称这两个函数互为“和谐二次函数”． 例如：的“和谐二次函数”为． (1)函数的对称轴为　　　，其“和谐二次函数”为　　　； (2)已知二次函数，其“和谐二次函数”记为． 若函数的图象与函数的图象交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标），动点在点，之间的函数的图象上，当时，求点的横坐标； 函数的图象与函数的图象组成新函数，当时，函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 23．（2026·辽宁鞍山·一模）已知直线与抛物线相交于点和，反比例函数经过A点，将直线沿（为常数）在平面内翻折后，得到直线，设函数． (1)求m，n的值及抛物线的解析式； (2)若与恰好有2个公共点，求的值； (3)若与恰好有3个公共点，从左至右依次记为，，，且，求的值． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网 www.zxxk.com 让教与 专题03函数 考点01 平面直角坐标系 1.A 2.A 3.5, 4.(2,23 考点02 函数及函数图象的分析与判断 1.A 2.B 3.1 4.7.5 7 5.0a=-2,b=5,(2)2<r<0或x>1 考点03 一次函数的图象、性质及应用 1.A 2 3.(02 4.2 5.022 .15 (2)60或10或4. 11 △EAC的面积为2 1/3 学更高效 廊学科网 www.zxxk.com 达 15 (22 7.(点A的坐标为4,0，点B的坐标为0,8) S=-t2+4t(0≤t≤4) (2) (3)当t=2时，S取最大值，最大面积是4 8.)40,65,B6,0 2D3,35 9.(0=90r-901≤x≤6) (2)150千克 10.(0)少-2+80 0≤x<40 “的取值范围为 2"=-2r+100x-80110≤r<401 (3)20元或30元 反比例函数的图象、性质及应用 考点04 1.A 2.D 3.A 4.12 5.3 69 7.6 8.(1)12 5+V626-5 2 2,3 2/3 领与学更高效 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二次函数的图象、性质及应用 考点05 1.A 2.D 3.D 4.(2,0) 5.①②③ 6.2或6 2.0y=名+2x+4,10m 6 (2)8m 8.(1)一盒售价提高10元或30元时，销售A礼盒的日销售利润为8000元 (2)一盒售价提高20元时，销售A礼盒的日销售利润最大，最大利润是9000元 9.0形=-0.5r2+67x (2)当安装面积为50百平方米时，年收益最大，最大值为2100万元 (3)50 223m3 1.0=-44 (2)20 12.(1)上，x=1 2=(x--3,m=-3 3/3 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 80--42-912B45② 或或 -11 -29 3 m=7-12 4 4-2￡n￡2 13.()a=-;m=4:点C的坐标为3，-2刘 2点F的坐标为5-1，-或一V5-1-1 5467_82 3)①y=-x+10x-23;②点P的坐标为39或39 14.(0)x-2-3 3+5 (2)m的值为0或2 0女P的坐标为Q-列政2-小：国m的取值范阴为m<政m 1 13 Γ3 15.(④)该抛物线的解析式为'=r-2x-3 (2)点D的横坐标为g 1-√5 (3)m的值为2或√2 C(0,-16aD(0,16a)N(3,25a) 16.(1) (2)①：②n的值为3 17.a=400y=x2-2x-3 4/3 命学科网 81 (2)32 81sm53或m=3 16 18.0)4-1.0),B3.0.C0,3) 9 (2) B0gm<1:②或号或号 31117 19.①=r-4r+3:顶点坐标为2- (2)的值为1-2或2 (58)8_5 (3)点P的坐标为39或39 (0,0).(2,2) 20.(1)①不存在；②存在， 或 225成45 或 (3)m< 8或-1<m<2 -x2+4x-2(0≤x≤4) 21.(y=2-4x-2x0,4: ②点C的坐标为1+6,26-或(53到： 2<×号或6-2N7 22.(0)x=2,y=4r2-4x+1日 2①1或3：②2≤n≤2+25 23.0m=4n=4,片=-++1 2 www.zxxk.com 让 5/3 收与学更高效 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13 (24 或1 (3)2 6/3 专题03 函数 5大考点概览 考点01平面直角坐标系 考点02函数及函数图象的分析与判断 考点03一次函数的图象、性质及应用 考点04反比例函数的图象、性质及应用 考点05二次函数的图象、性质及应用 平面直角坐标系 考点01 1．（2026·辽宁阜新·一模）如图，菱形的顶点，，若菱形绕点逆时针旋转每秒旋转，则第秒时，菱形的对角线交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、图形的旋转，探索图形的规律，根据点的坐标可知是平面直角坐标系中第一、三象限的角平分线，根据点的坐标和菱形的性质可知点的坐标是，根据每秒旋转可知每秒旋转一圈，秒时菱形旋转了圈又秒，根据秒菱形旋转的角度，判断点所在的象限，根据象限求出坐标． 【详解】解：设直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 是平面直角坐标系中第一、三象限的角平分线， 四边形是菱形， 点是的中点， 点的坐标是， ， 旋转秒时点回到初始位置， ， 第秒时，点旋转了圈又秒， ， 点旋转到第四象限， 点的坐标是． 故选：A． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1或5 B．1 C．1或3 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分为圆在y轴的左侧和在y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】解：∵圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径2， ∵当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 综上所述，将沿轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为1或5． 故选：A． 3．（2026·辽宁盘锦·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线与相交于点E．若，则点E的坐标为__________． 【答案】 【分析】连接，设交于，由作图方法可得垂直平分，则，，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，设交于， 由作图方法可得垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴点E的坐标为． 4．（2026·辽宁本溪·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是坐标平面内一点，且，点是线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，确定为最大值时点的位置是解题的关键． 作点关于点的对称点根据中位线的性质得到，根据点在以为圆心，为半径的上运动，可知当经过圆心时，最大，即点在图中位置，根据勾股定理求出，进而可求出，即，设点的横坐标为，根据中位线的性质可知点的纵坐标为，再根据勾股定理即可求出的值，随即可知点的坐标． 【详解】解：如图，作点关于点的对称点， 则点是的中点， 又点是的中点， 是的中位线， ，， 当最大时，最大， 点为坐标平面内的一点，且， 点在以为圆心，为半径的上运动， 当经过圆心时，最大，即点在图中位置， ， ， ， 设点的横坐标为， ∵，， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得（负值去除），即点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 函数及函数图象的分析与判断 考点02 1．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，为等边三角形，点在上运动，点在上运动，点在上运动，且，点为中点，点为中点，连接，，若，的面积为，则关于的函数图象大致是（） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】设等边三角形边长为，分别表示出的底边和高，进而得到与的函数关系式，根据函数类型判断图象． 【详解】解：设等边的边长为， ∵为中点，， ∴，， 如图，过点、分别作的垂线，垂足分别为、，过点作于， ∵为中点， ∴为梯形的中位线，即， 在中，，， ∴， 在中，，, ∴， ∴的高， ∴， ∴， ∴是关于的分段一次函数，图象为“”字形折线，且当时，，观察选项，只有符合． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图1，在矩形中，，点P从点A出发，沿的路径匀速移动，设点P运动的路程为x，的面积为y，图2是y与x之间的关系图象．当时，x的值为（   ） A．16 B．4或16 C．4或 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查从图像中获取信息和解方程组，由图像可知三角形的最大面积为24，此时点P位于边BC，当点P与点C重合时x为14，设和，即可列出，结合已知即可化简得到，解得a和b，进一步分点P位于上和点P位于上时，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：设，， 由图像知，， 化简得， 解得， ∵， ∴， 则， 当点P位于上时，， 解得，则； 当点P位于上时，， 解得， 则； 3．（2026·辽宁阜新·一模）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发，图中的折线段表示甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，则a的值是____． 【答案】1 【分析】本题考查函数图象，从函数图象中有效地获取信息，是解题的关键，由图象可知，乙车出发0.5小时后，甲车开始出发，根据乙车0.5小时行驶了30千米，求出乙车的速度，进而求出乙车到达A地所用的时间，进而求出甲车到达B地所用时间，求出甲车的速度，根据小时，两车相遇，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：乙车出发0.5小时后，甲车开始出发，乙车0.5小时行驶了千米，A地与B地之间的距离为100千米，小时后，两车相遇， ∴乙车的速度为（千米/小时）； ∴乙车到达A地所用时间为（小时）， ∴乙车先到达地， ∴甲车从A地到B地所用时间为（小时）， ∴甲车的速度为（千米/小时）， ∴，解得； 故答案为：1． 4．（2026·辽宁铁岭·一模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的关系如图所示，则图中点B的横坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用与行程问题的综合应用．轿车到达目的地用时5小时，两辆车第一次相遇用时3小时，根据“速度路程时间”计算得出轿车和货车的平均速度．可得出货车到终点的时间，从而得到答案． 【详解】解：依题意得 故答案为：． 5．（2026·辽宁鞍山·一模）解析式法、列表法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： _______ _______ (1)求的值，并补全表格； (2)结合表格，当的图象在的图象上方时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，，见解析 (2)或 【分析】（）利用待定系数法可求出的值，进而求出函数解析式，再补全表格即可； （）画出函数图象，再根据图象解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数函数的交点问题，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：由表格可得，， 解得， 即，， ∴一次函数为， 当时，， 把，代入，得， ∴， ∴反比例函数为， 当时，， ∴补全表格如下： （2）解：画函数图象如下： 由函数图象可知，当的图象在的图象上方时，的取值范围为 一次函数的图象、性质及应用 考点03 1．（2026·辽宁抚顺·一模）将点向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点B，点B恰好落在直线上，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平移规律得到含参数的点B坐标，再代入直线方程求解，即可得到点B的坐标． 【详解】解：由题意得点的坐标为， ∵点在直线上，将坐标代入方程得： ， 解得：， 将代入得． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）已知点在函数的图象上，则的值为______． 【答案】 【分析】把点代入，然后解关于的方程即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴ ， ∴的值为． 3．（2026·辽宁锦州·一模）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的图象与轴的交点坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点问题，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的一次函数解析式，进而把代入求出的值即可求解，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，得到的新的一次函数的解析式为， 当时，， ∴新的一次函数的图象与轴的交点坐标是， 故答案为：． 4．（2026·辽宁盘锦·一模）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为______． 【答案】2 【分析】先根据待定系数法求得的解析式，过点作于点，过点作于点，证明，即可得到的长，再证明，即可得到点坐标，再根据平移可得平移后的坐标，代入直线，即可解答． 【详解】解：点在直线上， ， ， 直线解析式为， 如图，过点作于点，过点作于点， 则，， ， 在正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， 将正方形沿y轴向下平移个单位长度后，点C恰好落在直线l上， 则平移后点， ， 解得． 5．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，与x轴交于点B，直线与x轴交于点C．点P在直线上，过点P作轴交于点Q． (1)若点P在第一象限，且，求点Q的坐标； (2)已知点，连接、，当是直角三角形时，求的面积． 【答案】(1) (2)或或． 【分析】（1）先求出、，得到，从而得出，设，则，则，即可得解； （2）设，则，分三种情况讨论：①当时，利用勾股定理列方程求解；②当时，则轴；③当时，则轴，根据点的坐标求解即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点B， 令，则，解得：， ； 直线与直线相交于点A， 联立，解得：， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ； （2）解：设，则， 分三种情况讨论： ①当时，， ，，， ， 解得：， ，， ， ； ②当时，则轴， ， 解得：， ，， ，， ； ③当时，则轴， ， 解得：， ，， ，， ； 综上可知，的面积为或或． 6．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点D，E，直线：分别交x轴、y轴于点C，． (1)求点A的坐标和的面积； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【答案】(1)；的面积为 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的表达式，联立两直线解析式可得点A的坐标，然后再根据列式计算即可； （2）求出，利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴直线的表达式为， 联立， 解得， ∴点， 对于直线， 令，则， ∴点 令，则， ∴点， ， 对于直线， 令，则， ∴点， ∴， ； （2）点在线段AB上，点，点，点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴的值随t的增大而减小， ∵， 当时，取最大值，最大值为． 7．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B．点P从点O出发，沿x轴以每秒一个单位长度的速度向点A运动，到达点A时停止运动，运动时间为t秒． (1)求点A，B的坐标． (2)过点P作x轴的垂线，交直线l于点Q，设的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围． (3)当t为何值时S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)点的坐标为，点B的坐标为 (2) (3)当时，取最大值，最大面积是4 【分析】（1）分别令求解即可； （2）由题意，得点的坐标为，即可得到，然后用的代数式表示出，再由三角形面积公式求解即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：对于一次函数． 令，则． 解得， 点的坐标为． 令，则 点B的坐标为． （2）解：由题意，得点的坐标为， ． 点 ． 轴，点在直线上， 点的坐标为． ． ∴S关于的函数关系式为 （3）解：． 抛物线的开口向下 ， 当时，取最大值，最大面积是4． 8．（2026·辽宁抚顺·一模）如图：平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，，为线段上任意一点，垂直于轴，垂足为点，垂直于轴，垂足为点． (1)求点，点的坐标； (2)点在线段上运动，当四边形面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与几何图形，二次函数的性质，熟练利用相关函数的性质是解题的关键． （1）根据含有的直角三角形中边的关系，得到，再利用勾股定理即可解答； （2）求得直线的解析式，再证明四边形为矩形，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ， . ； （2）解：设的解析式为， 将点，代入， 得， 解得， 的解析式为， 设点的横坐标为，则纵坐标为， ，， 垂直于轴，垂直于轴，， ， 四边形是矩形， ， ， 点在线段上， ， 当时，四边形的面积有最大值， 当时，点纵坐标为， ． 9．（2026·辽宁阜新·一模）某物流公司引进A，B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运．A种机器人于某日0时开始搬运，过了，B种机器人也开始搬运．如图，线段表示A种机器人的搬运量（）与时间x（时）的函数图象，线段表示B种机器人的搬运量（）与时间x（时）的函数图象．根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)求关于x的函数解析式． (2)如果A，B两种机器人各连续搬运，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？ 【答案】(1)（） (2)150千克 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，求函数值，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）设关于的函数解析式为，把E、P的坐标代入求解即可； （2）设关于的函数解析式为，把P的坐标代入即可得到的函数解析式，求出当时的值，当时的值，两者相减即可解答． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， ∵线段过点和点， ∴，解得 ∴关于的函数解析式为（）． （2）解：设关于的函数解析式为， ∵线段过点， ∴，解得， ∴关于的函数解析式为（）． 当时，（千克）， 当时，（千克）， （千克）． 答：如果、两种机器人各连续搬运5小时，那么种机器人比种机器人多搬运了150千克． 10．（2026·辽宁葫芦岛·一模）某花店老板购入一批进价为10元/束的满天星进行售卖，经市场调研发现：销售单价不低于进价时，日销售量（束）与销售单价（元）是一次函数关系，其部分图象如图所示： (1)求与之间的函数表达式，并写出的取值范围； (2)设该老板每天销售利润为元，求与之间的函数关系式； (3)当满天星的销售价格定为多少元时，该花店销售满天星所获日销售利润为400元． 【答案】(1)（） (2)150千克 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，求函数值，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）设关于的函数解析式为，把E、P的坐标代入求解即可； （2）设关于的函数解析式为，把P的坐标代入即可得到的函数解析式，求出当时的值，当时的值，两者相减即可解答． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， ∵线段过点和点， ∴，解得 ∴关于的函数解析式为（）． （2）解：设关于的函数解析式为， ∵线段过点， ∴，解得， ∴关于的函数解析式为（）． 当时，（千克）， 当时，（千克）， （千克）． 答：如果、两种机器人各连续搬运5小时，那么种机器人比种机器人多搬运了150千克． 反比例函数的图象、性质及应用 考点04 1．（2026·辽宁阜新·一模）点，在反比例函数，则，的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，由可知反比例函数图象经过第二、四象限，通过判断点A，B的横坐标的正负性可得点A，B所在的象限，即可解答． 【详解】解：反比例函数的图象经过第二、四象限， ∵， ∴反比例函数图象上的点位于第二象限，点位于第四象限， ∴． 故选：A． 2．（2026·辽宁鞍山·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，在每个象限内，随的增大而增大，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据反比例函数的性质比较即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴当时，；当时，， ∵， ∴，故最小， 又∵在时，函数随着的增大而增大，且， ∴， ∴． 故选 ：D． 3．（2026·辽宁朝阳·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数解析式，得， ∴电流为． 4．（2026·辽宁鞍山·一模）如图，矩形的边在轴的正半轴上，函数的图象经过点和边的中点．若，，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键.依据题意，由是的中点，，从而，进而设，再表示出，进而代入反比例函数解析式可以得解． 【详解】解：由题意，∵由是的中点，， ∴， 设， 又， ∴， 又∵在函数， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，过y轴上任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A，B．若C为x轴上任意一点，连接，则的面积为______． 【答案】3 【分析】设，其中，通过反比例函数表示出点A和点B的坐标，可得的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设，其中， 则． 直线轴，则点A和点B的纵坐标都为， 又点A和点B分别在反比例函数和的图象上， ，， ， ． 6．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，连接并延长至点B，使，过点B作轴于点C，连接．若的面积为4，则k的值为________． 【答案】 【分析】过点A作轴于点D，先根据题意易求得，，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得，进而根据k的几何意义可得，据此即可解答． 【详解】解：如图，过点A作轴于点D， ∵， ， ， ∵的面积为4， ， 轴，轴， ， ∵， ， ， ， ∵点A在反比例函数的图象上， ， ， ． 7．（2026·辽宁本溪·一模）如图，点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，已知，，则的值为_____． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义．设，根据，得到，求得，，再根据，列式计算即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， ∴设， ∴，， ∵， ∴点的纵坐标为， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：6． 8．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，菱形的顶点O与原点重合，点A落在x轴上，点B在第一象限，反比例函数的图象经过点C，交于点D，点A的坐标为，菱形的面积为20． (1)求k的值； (2)求点D的坐标． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）由点A的坐标得，由菱形的面积可求出点C的纵坐标，根据勾股定理可求出，得出点，从而可求出k的值； （2）确定点B的坐标，求出直线的解析式，与反比例函数联立方程组，解方程组可得点D的坐标． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为， ∴， ∵菱形的面积为20， ∴， 解得， ∵点B在第一象限， ∴点C的纵坐标， ∵四边形是菱形， ∴， 过点C作轴于点E， 在中，，， 根据勾股定理得：， ∴点C的坐标为， ∵反比例函数过点， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，所以，, 又∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为，即． 设直线的解析式为 将点，代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与反比例函数的解析式得， 可得， 解得， ∵， ∴， 将代入 得： ∴点的坐标为． 二次函数的图象、性质及应用 考点05 1．（2026·辽宁盘锦·一模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【分析】由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，结合图象得出，，最后由一次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：由条件可知二次函数的顶点坐标为， ∵二次函数的顶点在第四象限， ∴，， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．阴影部分的面积为4 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象与系数的关系，平行四边形的性质等知识，解决此题的关键是熟练掌握二次函数的相关知识点． 根据二次函数的图象与性质和平行四边形的面积进行判断即可． 【详解】解：A、∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴， ∴， 故选项不符合题意； B、抛物线与轴交点在轴的下方， ∴， 故选项不符合题意； C、从图象可知当时，， ∴， 故选项不符合题意； D、∵抛物线向右平移了2个单位， ∴平行四边形的底是2， ∵函数的最小值是， ∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是：， 故选项符合题意． 故选：D． 3．（2026·辽宁阜新·一模）二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D．方程有两个相等实根 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，与方程相联系，掌握二次函数与方程的关系，利用数形结合的思想，确定代数式的值． 根据图象的开口可确定，再结合对称轴，可确定，根据图象与轴的交点位置，可确定，由二次函数的对称性确定抛物线与轴的另一个交点，由抛物线的顶点确定方程根的情况． 【详解】解：A、∵抛物线开口向下； ． ∵抛物线的对称轴为直线， ， ． ∵抛物线与轴交于正半轴， ． ． 故选项A错误． B、， ． 故选项B错误． C、∵抛物线与轴交于，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为． ∴当时，． ． 故选项C错误． D、∵抛物线的顶点为， ∴当时，． ∴方程的解为． ∴方程有两个相等实根． 故选项D正确． 故选：D． 4．（2026·辽宁抚顺·一模）二次函数的顶点坐标为______． 【答案】 【分析】考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，根据二次函数的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 故答案为：． 5．（2026·辽宁抚顺·一模）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．现有下列说法：①；②；③的解集是；④（为任意实数）．其中正确的是___________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】先根据抛物线开口向下、与y轴的交点位于y轴正半轴，，再根据对称轴可得，由此可判断说法①；将对称轴进行化简得到，代入二次函数中，即，将点代入二次函数的解析式可判断说法②；根据二次函数的对称性可知抛物线也经过点，结合图象得到当，，可判断说法③；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此可判断说法④，即可得出答案． 【详解】解：∵由图可知，开口向下，即，对称轴在轴右侧，即，与轴交于正半轴，即， ∴，故①符合题意； ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴二次函数可化简为， ∵二次函数经过点， ∴将代入，得，即，故②符合题意； ∵二次函数对称轴为直线，且经过点， ∴与轴另一个交点为，即， ∴由图象可知的解集为，故③符合题意； ∵由图可知，开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数有最大值， ∵假设（为任意实数），即， ∴，即， ∵当，，与假设矛盾，所以假设不成立，故④不符合题意； 综上，符合题意的有：①②③． 6．（2026·辽宁鞍山·一模）抛物线：与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），将抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线，抛物线与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），抛物线与抛物线相交于点E，连接．若，则m的值是______． 【答案】2或6 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，等腰三角形的性质和判定，二次函数图象的性质， 先求出点A，B的坐标，即可表示出点C，D的坐标，再分两种情况：当点E在x轴下方时，作轴，可得是等腰直角三角形，然后表示出点E的坐标，最后代入关系式得出答案；当点E在x轴上方时，仿照第一种情况解答即可． 【详解】解：当时，， 解得， ∴点，则． 如图，当点E在x轴下方时，过点E作轴于点F， 由抛物线的对称性可得， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴点F是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点． ∵点E在抛物线上， ∴， 解得（不合题意，舍去）； 如图，当点E在x轴上方时，过点E作轴于点F， 同理可得点． ∵点E在抛物线上上， ∴， 解得（不合题意，舍去）， 综上所述，m的值是2或6． 7．（2026·辽宁抚顺·一模）如图所示的是隧道的截面，其由抛物线和矩形构成，矩形的长是、宽是，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点到的水平距离为，到地面的竖直距离为． (1)求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶到地面的距离； (2)在抛物线形拱壁上安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果两排灯的水平距离不大于，那么灯离地面的最小高度是多少米？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先确定点和点坐标，然后利用待定系数法可以求出抛物线解析式；再利用配方法确定顶点的坐标，即可得到拱顶到地面的距离； （2）设两排灯的截面图分别为点、，当时，由抛物线的对称性可知点的横坐标，将横坐标代入解析式中求解对应的值，即可得解． 【详解】（1）解：由题意知，，， 将点，代入中，得 ，解得， 抛物线的函数表达式为， ， 抛物线的顶点坐标为， 拱顶到地面的距离为； （2）解：如图，设两排灯的截面图分别为点、． 当时，由抛物线的对称性可知：点的横坐标为， 将代入得：， 根据图象，易知当灯离地面的高度时，， 即灯离地面的最小高度是． 8．（2026·辽宁铁岭·一模）春节期间，某仓储超市代销礼盒，根据以往销售经验：当一盒利润为元时，日销售量可达到盒，一盒售价每提高元，日销售量减少盒（注：礼盒成本不变）． (1)求一盒售价提高多少元时，销售礼盒的日销售利润为元； (2)求一盒售价提高多少元时，销售礼盒的日销售利润最大，最大利润是多少． 【答案】(1)一盒售价提高元或元时，销售礼盒的日销售利润为元 (2)一盒售价提高元时，销售礼盒的日销售利润最大，最大利润是元 【分析】设一盒售价提高元时，销售礼盒的日销售利润为元，根据一盒售价每提高元，日销售量减少盒，利用利润每盒利润销售量，列方程求解即可； （2）设日销售利润为，利用利润每盒利润销售量，得出关于的关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设一盒售价提高元时，销售礼盒的日销售利润为元， ∵一盒利润为元时，日销售量可达到盒，一盒售价每提高元，日销售量减少盒， ∴， 整理得，， 解得：，， ∴一盒售价提高元或元时，销售礼盒的日销售利润为元． （2）解：设日销售利润为， ∴， ∵， ∴时，有最大值，最大值为元， ∴一盒售价提高元时，销售礼盒的日销售利润最大，最大利润是元． 9．（2026·辽宁抚顺·一模）为响应十五五规划“乡村振兴”与“绿色能源发展”战略，某村合作社推进集中式屋顶光伏电站建设（呼应“千家万户沐光行动”）．该项目既优化农村能源结构，又为村集体增加稳定收益，其收益与光伏板安装面积密切相关．经调研发现，光伏板安装面积x（单位：百平方米）与年发电量y（单位：千千瓦时）满足一次函数关系，当时，；当时，．已知每千千瓦时发电收入为0.5万元，建设总成本P（单位：万元）与安装面积x之间的函数关系式为（含设备、施工及维护费用）．年收益W（单位：万元）=年发电总收入-总成本＋政策补贴，其中十五五期间每百平方米安装面积补贴2万元． (1)求年收益W关于x的关系式； (2)若该村可利用的屋顶总面积不超过50百平方米，求年收益的最大值及对应的安装面积； (3)在（2）的条件下，若政策调整后，补贴标准变为每百平方米3万元，其他条件不变，此时最大年收益会增加______万元． 【答案】(1) (2)当安装面积为50百平方米时，年收益最大，最大值为2100万元 (3)50 【分析】（1）设，利用待定系数法得到，进而得到年收益W关于x的关系式； （2）利用二次函数的性质求最值即可； （3）利用二次函数的性质，分别求出两种情况下收益的最大值，再作差即可． 【详解】（1）解：y与x满足一次函数关系，设． 由题意，得，解得 ∴， ∴年发电总收入为万元，政策补贴为万元， （2）对于 ，抛物线的开口向下，对称轴为直线， 所以，当时，W随x的增大而增大． ∵， ∴当时，W取最大值，W 答：当安装面积为50百平方米时，年收益最大，最大值为2100万元． （3）设补贴调整后的年收益为万元． 根据题意，得 ，抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而增大． ∵， ∴当时，取最大值，， ∴， ∴此时最大年收益会增加万元． 10．（2026·辽宁葫芦岛·一模）综合与实践 问题情境：窑洞是中国黄土高原传统民居，它不仅是当地居民适应自然环境的智慧结晶，也承载着深厚的历史记忆和地域文化．图1和图2是小红家乡刚建好的窑洞及内部结构图． 数学建模： 如图3所示是窑洞的截面图，可近似看成是由抛物线的一部分和矩形构成，已知窑洞的宽为，窑洞顶部最高点O离地面，点A离地面． (1)在图3中画出以点O为原点，平行于的直线为x轴、竖直方向为y轴的平面直角坐标系，并求抛物线的函数解析式； (2)问题解决：如图4，装修公司计划在窑洞两侧离地面的C，D处安装水平吊顶（吊顶为长方形，长为窑洞的深度），若窑洞的深度为，求吊顶所需材料的面积（结果精确到，参考数据：）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出，，得到，即可求出答案； 【详解】（1）解：如图所示，建立平面直角坐标系， 窑洞顶部最高点O离地面3.75m，点A离地面2.25m， ， 点A，B的纵坐标为， ， 点A的坐标为，点B的坐标为， 点O为抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ； （2）如图， 离地面3m， ， 点C，D的纵坐标为， 点C，D在抛物线上， 将代入， 得， 解得，， ，， ， ． 答：吊顶所需材料的面积约为． 11．（2026·辽宁辽阳·一模）综合与实践 深圳自然博物馆位于广东省深圳市坪山区燕子湖片区，共划分为陈列展览区、藏品保管保护区、公共服务区、科普教育区、综合业务与学术研究区以及地下车库和设备用房六大功能部分，是深圳市“新时代十大文化设施”之一，建成后将成为粤港澳大湾区首座大型综合类自然博物馆，填补了该区在综合类自然博物馆方面的空白．坪山区某中学数学兴趣小组对该项目设计图进行了研究： 把建筑俯视图的一部分抽象为以下图像：曲线、曲线、曲线和曲线，它们均可以看成某二次函数图像的一部分，后三者都可以看成由曲线平移得到，的长度为．如图，兴趣小组建立平面直角坐标系，已知曲线最高点点坐标为． (1)求曲线所在抛物线的解析式（不需要写自变量的取值范围）． (2)如图，现在需要在建筑的顶部划出一片矩形区域来做绿化，下图所示，其中轴，求矩形花园周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设顶点式，再将代入求解即可； （2）先求出曲线的解析式，进而设出、坐标，继而求解即可． 【详解】（1）解：设曲线所在抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴曲线所在抛物线的解析式为； （2）解：由题意可知，曲线可看作曲线向上平移个单位长度得到， ∴曲线所在抛物线的解析式为， 设，则， ∴，， ∴矩形花园的周长为：， ∴当时，矩形花园的周长最大，最大值为． 12．（2026·辽宁阜新·一模）已知抛物线（a，b，c是常数，且），自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 … y m 1 … (1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为直线______． (2)求抛物线的解析式和m的值． (3)新定义：将抛物线（）的图象记为，并将绕点O旋转后得到的图象记为，，合起来得到的图象记为G，图象G对应的函数称为“联动函数”．完成以下问题： ①在图中所示的坐标系中画出“联动函数”G的图象． ②若直线与“联动函数”G有且只有两个交点，直接写出n的取值范围为______． 【答案】(1)上， (2)， (3)①见解析；②或或． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，正确求出函数解析式，准确的画出函数图象，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （）由表格数据和图象的性质即可求解； （）用待定系数法即可求解； （）①根据解析式，运用描点法画出函数图象； ②求出直线分别与图象，只有1个交点时n的值，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：根据表格数据有，抛物线过点，， ∴抛物线对称轴为直线， ∵由表格数据可知，在对称轴的右侧随的增大而增大， ∴抛物线开口向上， 故答案为：上，； （2）解：由（）得，对称轴为直线，根据表格数据可知顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：由（2）得，抛物线的解析式为（）； ∴顶点坐标为， 则绕点旋转后的图象为（）， 列表为： x … 0 1 2 3 … … 1 … … 2 3 2 … 描点并连线，得到函数图象为： 当直线与抛物线只有一个交点时，与抛物线也只有一个交点， 联立得， 整理，得， ∴， ∴． 当直线与抛物线只有一个交点时，与抛物线也只有一个交点， 联立得， 整理，得， ∴， ∴． 当直线过点时，； 当直线过点时，； ∴根据图象可得，直线与“联动函数”G有且只有两个交点， n的取值范围为或或． 故答案为：或或． 13．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，抛物线与抛物线交于点B，过点B作x轴的平行线分别交两条抛物线于点A、C． (1)求a，m的值和点C的坐标． (2)已知F为直线上方抛物线上一点，连接．当为直角三角形时，求点F的坐标． (3)抛物线为抛物线关于抛物线的对称轴对称的抛物线，P为抛物线上一点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线，于点Q，H． ①求出抛物线的表达式； ②当P，Q，H其中一点为其他两点连接线段的中点时，求出点P的坐标． 【答案】(1)；；点C的坐标为 (2)点的坐标为或 (3)①；②点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解的值，再求解点的坐标； （2）先求出点A的坐标为，当为直角三角形时，只能是，过点作于点，设点，则点，证明，再由相似三角形的性质求解即可； （3）①先求出抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为，由对称，得抛物线的顶点坐标为，再根据对称前后不变，即可求解抛物线的表达式； ②可设点，则点，再分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ∴． 解得 抛物线经过点， ∴． 解得 ． 轴，点C的纵坐标为． 令． 解得． 点C的坐标为． （2）解：由（1），知． 轴，点， ∴点A的纵坐标为． ． 解得． 点A的坐标为， 当为直角三角形时，只能是， 如图，过点作于点． 设点，则点． ． ． ． ∵ ， ． ∵ ． ，即． ， ∴解得． 点的坐标为或． （3）解：①抛物线， ∴对称轴为直线 抛物线， ∴顶点坐标为 由对称，得抛物线的顶点坐标为． 抛物线的表达式为． ②过点作轴的垂线分别交抛物线于点 可设点，则点． 其中一点为其他两点连接线段的中点， 分以下三种情况： I．当为的中点时． 解得． 点的坐标为． Ⅱ．当Q为的中点时． 此种情况无解． III．当H为的中点时． 解得 点的坐标为 综上所述，当其中一点为其他两点连接线段的中点时，点的坐标为或 14．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a，c是常数）与x轴交于A，两点，与y轴交于点，已知点P的坐标为，点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为m． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)当点Q在x轴的下方时，抛物线在点Q和点B之间的部分（包括Q，B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求m的值． (3)当点Q在x轴的下方时，设抛物线在点Q和点A之间的部分（包括Q，A两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为，抛物线在点Q和点B之间的部分（包括Q，B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为； ①当时，求此时点P的坐标； ②当时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)m的值为0或 (3)①点P的坐标为或；②m的取值范围为或 【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可； （2）由（1）可知抛物线的顶点坐标为，，，然后由题意可分当时，当时，进而求解即可； （3）①如图，由（2）得抛物线的对称轴为直线，设对称轴与抛物线的交点为N，与x轴的交点为M，则有，过点Q作于点E，则有，然后可得，进而求解即可； ②由①可知，然后可分当时，当时，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 令时，则有，解得：， ∴， 由题意可知点， ∵点Q在x轴的下方， ∴， 当时，最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得：； 当时，最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述：m的值为0或； （3）解：①如图， 由（2）得抛物线的对称轴为直线， 设对称轴与抛物线的交点为N，与x轴的交点为M， ∴， 过点Q作于点E， ∵， ∴， ∵点Q在x轴的下方， ∴， 由题意，知， ∴当时，即，解得：， ∴点P的坐标为或； ②由①得：， ∵点Q在x轴的下方， ∴， 由可知：， ∴， 当时，，即，解得：； 当时，，即，解得：； 综上所述：m的取值范围为或． 15．（2026·辽宁朝阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)已知直线，点在轴上，过点作于点，绕点逆时针旋转，得线段，当点恰好落在第四象限的抛物线上，求点的横坐标； (3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为，请直接写出的值． 【答案】(1)该抛物线的解析式为 (2)点的横坐标为​ (3)的值为​​或 【分析】（1）用待定系数法求抛物线解析式即可； （2）作、垂直轴，证、、均为等腰直角三角形，设，表示出、、、，由旋转证，表示出点坐标；将代入抛物线方程求解，舍去不合理解即得的横坐标； （3）先将两个抛物线的解析式作差，化简得到​关于的二次函数，确定其开口向上且对称轴为，分对称轴在左侧、内部、右侧三种情况，分别找到最小值对应的值，代入列关于的方程求解，舍去不符合题意的解，得到最终的值． 【详解】（1）解：将点和代入，得 ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设直线与轴交于点， 直线：与轴交于， 令，则， ∴， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， 又∵， ∴是等腰直角三角形，，， 设点 ，则，， ， 由旋转得，， ∴， ∵轴， ∴， 在和中， ， ​​∴， ∴，， ∴， ∵在第四象限， ∴的坐标为， 代入抛物线得 ， 解得​或（时与重合，舍去）， ∴点的横坐标为​； （3）解：∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴​， 令，则此抛物线开口向上，对称轴为， 当时，的最小值为，分三种情况讨论： ①当时，最小值在处： ， 解得或（舍去）； ②当时，最小值在处： ， 解得​或​（​，舍去）； ③当时，最小值在处： ， 解得（，舍去）； 综上，的值为​​或． 16．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，抛物线的顶点为，交轴于点，将抛物线绕原点旋转得到抛物线，抛物线的顶点为，交轴于点，与相交于点和点（点在轴左侧）． (1)求点，，的坐标（用含的式子表示）； (2)顺次连接，，，四点，当四边形的面积为时． ①求的值； ②将抛物线，位于直线上方的图象（包含，两点）记为，图象L对应的函数为，当时，函数的最大值与最小值的差等于，求的值． 【答案】(1)，， (2)①；②的值为 【分析】（1）把解析式配方，化为顶点式，得出，把代入解析式，得出，根据关于原点中心对称的点的特征得出，即可． （2）①先求出的解析式为，联立两个抛物线的解析式，解方程组求出，，根据四边形的面积为列方程求出值即可； ②根据得出，根据二次函数当性质，分类讨论得出值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，， ∴， ∵将抛物线绕原点旋转得到抛物线， ∴，． （2）解：①∵， ∴抛物线的解析式为， 联立、的解析式得，， ∴， 整理得，， ∵， ∴， 解得：， 当时，，当时，， ∴，， ∵，， ∴， ∵四边形的面积为， ∴，即， 解得：． ②∵， ∴的解析式为，的解析式为，，， ∵将抛物线，位于直线上方的图象（包含，两点）记为， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 当，时，此时，，最小值为， 当时为最大值时， ∵函数的最大值与最小值的差等于， ∴， 解得：，（舍去）， 当时为最大值时， ∴， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴， ∴时，不符合题意， 当时，， ∴， 当时，， 此时函数的最大值与最小值的差不能等于，此种情况不存在， 当时，，， 同理可得，此时函数的最大值与最小值的差大于； 综上所述，的值为． 17．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)点P是抛物线在第四象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点E．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据对称轴公式和点C的坐标求解即可； （2）求出，得到，则；设，则，，证明是等腰直角三角形，得到，则，可求出，据此可得答案； （3）求出图象M对应的抛物线解析式，进而求出图象M对应的抛物线恰好经过点A，点C和恰好与直线只有一个交点时m的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，其对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：在中，当时，则， 解得或， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 设，则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，的面积分别为，， ∴， ， ∴ ， ∵点P是抛物线在第四象限内的一点， ∴， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为； （3）解：原抛物线的函数解析式为，则顶点坐标为， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G， 则图象G对应的抛物线的顶点坐标为， ∵将图象G沿直线平移，得到新的图象M， ∴图象M对应的抛物线的顶点在平行于的直线上运动，即在直线上运动， 图象对应的抛物线的顶点坐标为， ∴图象对应的抛物线解析式为， 当图象过点（由（2）可得点A坐标）时， ，解得 或； 当图象过点时， ，解得或； ∴由函数图象可知，当时，符合题意； 同理可得直线的解析式为， 当抛物线与直线恰好只有一个交点时， 联立得， 即； 则， 解得， ∴， ∵， ∴此时抛物线与直线的交点恰好在线段上，符合题意； 综上所述，的范围是或． 18．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴负半轴相交于点A，与x轴正半轴相交于点B，与y轴相交于点C，直线与y轴相交于点，E是第一象限抛物线上一点，连接，交y轴于点G，过点E作轴交直线于点F，交x轴于点H，设E点横坐标为m． (1)求点A，B，C的坐标； (2)当时，求的长； (3)作轴，且M点横坐标为，以为邻边构造矩形． ①当矩形的边与抛物线有三个交点时，求m的取值范围； ②当抛物线经过矩形某一边的中点时，请直接写出m的值． 【答案】(1)，， (2) (3)①；②或或 【分析】（1）求出时的函数值，求出时的自变量的值，即可得出结果； （2）求出直线的解析式，易得，，，进而求出，根据，得到，证明，得到，进而得到，求出，进而得到，即可得出结果； （3）①根据点在抛物线上，矩形的边与抛物线有3个交点，边与抛物线交于点，得到抛物线与边除了点外还有一个交点，和边有一个交点，进而得到点在点的右侧，且两个点在对称轴的两侧，求出点恰好在抛物线上时的的值，即可得出结果；②分抛物线经过的中点，抛物线经过的中点或抛物线经过的中点三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，解得， ∴，，； （2）解：∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得，则， ∴， 由题意，，，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：①∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 由题意，， ∵轴， ∴， ∵点在抛物线上，矩形的边与抛物线有3个交点，边与抛物线交于点， ∴抛物线与边除了点外还有一个交点，和边有一个交点， ∴点在点的右侧，且两个点在对称轴的两侧， ∴， 当点恰好在抛物线上时，则， 解得（舍去）或， ∴当矩形的边与抛物线有3个交点时，； ②∵，，， 四边形为矩形， ∴， 当抛物线经过的中点时，如图，则点的横坐标为， ∵轴， ∴关于对称轴对称， ∴，解得； 当抛物线经过的中点时，如图， 则，即， ∴， 解得（舍去）或； 当抛物线经过的中点时，如图， 则，即， ∴， ∴解得（舍去）或； 综上：或或． 19．（2026·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（c为常数）经过点，点A在抛物线上，且点A的横坐标为． (1)求抛物线的表达式，并求出顶点的坐标． (2)当时，y的取值范围是，求t的值． (3)已知点B在函数的图象上，它的横坐标为，线段不与坐标轴平行，以为对角线构造正方形，使正方形的各边与坐标轴垂直．设正方形的边与函数的图象除点A，B外的另一个交点为P，求点P的坐标． 【答案】(1)；顶点坐标为 (2)t的值为或 (3)点P的坐标为或 【分析】1）利用待定系数法求出抛物线的表达式，将表达式化为顶点式可得顶点的坐标； （2）分t在对称轴的左侧和右侧两种情况，分别根据y的取值范围进行求解即可； （3）分点B在点A的下方和上方两种情况，分别利用正方形的性质列方程求出t的值，得到点B或点A的坐标，进而可得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵函数经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）当时，， 当时，， 由（1）知抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称的点为， ∵， ∴分以下两种情况讨论： ①当，即t在对称轴的左侧时． 当时，y取最小值，最小值为， ∴， 解得，（舍去）， ∴； ②当，即t在对称轴的右侧时． 当时，y取最小值，最小值为， ∴， 解得． 综上所述，t的值为或； （3）由题意，得点，B． ①如图1，当点B在点A的下方时． 可得： 解得（舍去）， ∴点 ． 解得． ∴点P的坐标为． ②如图2，当点B在点A的上方时． 可得：． 解得（舍去）． ∴点． ． 解得． ∴点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或． 20．（2026·辽宁盘锦·一模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”． (1)①判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标； ②判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标； (2)设函数，的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①不存在；②存在，或 (2)或 (3)或 【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案； （2）先根据“等值点”的定义求出函数的图象上有两个“等值点”，同理求出，根据的面积为3可得，求解即可； （3）先求出函数的图象上有两个“等值点”或，再利用翻折的性质分类讨论即可． 【详解】（1）解：①在中，令，得不成立， 函数的图象上不存在“等值点”； ②在中，令， 解得：，， 函数的图象上有两个“等值点”或； （2）解：在函数中，令， 解得：， ， 在函数中，令， 解得：， ， 轴， ， ， 的面积为3， ， 当时，， 解得， 当时，， ， 方程没有实数根， 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或； （3）解：令， 解得：，， 函数的图象上有两个“等值点”或， ①当时，，两部分组成的图象上必有2个“等值点”或， ， ， 令， 整理得：， 的图象上不存在“等值点”， ， ， ， ②当时，有3个“等值点”、、， ③当时，，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”， ④当时，，两部分组成的图象上恰有1个“等值点”， ⑤当时，，两部分组成的图象上没有“等值点”， 综上所述，当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，或． 20．（2026·辽宁抚顺·一模）定义：对于平面直角坐标系中的函数叫做“对美函数”，其中f(x)是用自变量x表示的函数，“对美函数”的本质是分段函数． 例如：“对美函数”， (1)将“对美函数”写成分段函数的形式； (2)直线与（1）中的“对美函数”的图象交于A，B两点（点A在点B的左侧），点C在直线下方的“对美函数”上，且，求点C的坐标； (3)直线与（1）中的“对美函数”有2个交点时，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1)； (2)点C的坐标为或； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到新定义问题，直线与二次函数的结合，难度比较大，解题的关键是理解题意和“对美函数”的概念，掌握好二次函数的有关基础知识． （1）分情况化简，即可求解； （2）先联立直线与“对美函数”，求出点A，B两点坐标，设点C的坐标为，则，分两种情况和，根据求解即可； （3）由直线可以确定过定点，分和两种情况，分别画出图象，根据交点个数，求解即可． 【详解】（1）解：令解得， 当，即时，， 当，即或时，， ∴； （2）解：当时，联立和， 可得， 解得（不合题意，舍去）， 点， 当或时，联立和， 得， 解得（不合题意，舍去）． 点， 设点C的坐标为，则， 如图1，过点C作轴，交直线于点D， 则点D的坐标为， ， ①当时，， ， ， ∴， 解得（舍去），， 点； ②当时，， ， ， ， 解得（舍去），， ∴点， 综上所述，点C的坐标为或； （3）解：直线过定点， ①当时，直线过点时，与（1）中的“对美函数”有1个交点，如图2，此时， 直线过点时，与（1）中的“对美函数”有3个交点，如图3，此时， 当时，直线与（1）中的“对美函数”有2个交点； ②当时，直线与函数有1个交点时（即相切时），如图4，直线与（1）中的“对美函数”有3个交点， 联立和，化简，得， 由题意，得， 解得， 当时，联立， 解得， 当时，联立， 解得， ∵， ∴， ∴当时，直线与（1）中的“对美函数”有2个交点， 综上所述，或． 22．（2026·辽宁抚顺·一模）定义：对于二次项系数之和为，对称轴相同，且图象与轴的交点也相同的两个二次函数，我们称这两个函数互为“和谐二次函数”． 例如：的“和谐二次函数”为． (1)函数的对称轴为　　　，其“和谐二次函数”为　　　； (2)已知二次函数，其“和谐二次函数”记为． 若函数的图象与函数的图象交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标），动点在点，之间的函数的图象上，当时，求点的横坐标； 函数的图象与函数的图象组成新函数，当时，函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或；． 【分析】（）先求出函数的对称轴为直线，然后通过“和谐二次函数”定义设，得出，再求出，的值即可； （）由题意知，，联立，从而得出点，，所以轴，，过点作于点，然后根据得出，对于，当时，，然后求出的值即可； 由题意，得函数的图象如图所示，当时，的最大值为，又函数的最大值与最小值的差为，所以最小值应为，过点作轴交的图象于点，将代入，从而可得点的坐标为，由图象可知，当时，函数的最大值与最小值的差为，从而求解． 【详解】（1）解：函数的对称轴为直线， 设其“和谐二次函数”为， ∴， 解得：， ∴其“和谐二次函数”为， 故答案为：，； （2）解：设其“和谐二次函数”为， ∴， 解得：， ， 联立，解得，， ∵点的横坐标小于点的横坐标， ∴点，， ∴轴，， 如图，过点作于点， ∵ ∴， ∴， ∴， 对于， 当时，， 解得或， ∴点的横坐标为或； 由题意，得函数的图象如图所示， ∵点， ∴当时，的最大值为， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴最小值应为， ∵， ∴的顶点的坐标为， 过点作轴交的图象于点， 将代入， 解得或（不合题意，舍去） ∴点的坐标为， ∴由图象可知，当时，函数的最大值与最小值的差为， ∴． 23．（2026·辽宁鞍山·一模）已知直线与抛物线相交于点和，反比例函数经过A点，将直线沿（为常数）在平面内翻折后，得到直线，设函数． (1)求m，n的值及抛物线的解析式； (2)若与恰好有2个公共点，求的值； (3)若与恰好有3个公共点，从左至右依次记为，，，且，求的值． 【答案】(1)， (2)或1 (3)2 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）把点代入，求出的值，待定系数法求出的值和二次函数的解析式即可； （2）根据对称性，求出，根据与恰好有2个公共点，分2种情况，画出图象，数形结合进行求解即可； （3）根据与恰好有3个公共点，得到与有一个交点，与有两个交点，联立两条直线的解析式，求出，联立直线和抛物线的解析式，根据根与系数的关系求出，再根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， ∴， 把，代入，得， 解得， ∴； ∵反比例函数经过A点， ∴； （2）∵， ∴当时，， ∴直线经过点， ∵点关于的对称点为，直线沿（为常数）在平面内翻折后，得到直线， ∴直线过点和， ∴，解得， ∴， 由（1）可知：，， ∴， 当与恰好有2个公共点时，分2种情况： ①当经过点时，如图， 则：； ②当直线与只有一个交点时，满足题意，如图， 令，整理，得， 则，解得； 综上：或； （3）由（2）可知：， 当与恰好有3个公共点时，则与有一个交点，与有两个交点，如图， 令，则，即， 令，整理，得， 由题意，方程的两个根为，故， ∵， ∴，解得． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $