专题08 计数原理与概率统计3个考点（北京专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题08 计数原理与概率统计 3大考点概览 考点01 排列组合与二项式定理 考点02 统计 考点03 概率与随机变量及其分布 排列组合与二项式定理 运算 考点1 1．（2026·北京丰台·一模）西汉海昏侯墓出土的两千多年前的“权”（砝码），是与“衡”（天平）配合使用的称量工具．已知五枚权的质量（单位：克）从小到大构成项数为5的等比数列，其中，，则___________；在称量物体时所用的权的质量之和叫称量值，则从这五枚权中取一枚或多枚，可组合出的不同称量值共有___________种． 【答案】 4 31 【分析】根据等比数列的通项公式，代入计算，即可得答案；根据组合数的计算性质，结合条件，即可得答案. 【详解】设公比为q，则，则，所以； 从这五枚权中取一枚或多枚， 由题意得，则数列单调递增，即， 下证明当时，， 由题意得，， 则， 所以成立， 结合等比数列的性质可得，任意不同组合的权的质量之和均不相等， 所以不同的称量值种数等于从5个权中取一个或者多个的组合数， 因此，可组合出的不同称量值共有种. 2．（2026·北京海淀·一模）已知，则（   ） A． B．10 C． D．80 【答案】D 【分析】先求得二项展开式的通项，根据题意，得到，即可求解. 【详解】由二项式展开式的通项为， 当时，可得， 因为， 所以，解得. 3．（2026·北京石景山·一模）若的展开式的二项式系数和为32，则__________，的系数为__________. 【答案】 5 【分析】已知二项式系数和，可求出，再利用通项公式即可求得的系数. 【详解】由题意知，展开式的二项式系数和为32，即，所以， 故展开式的通项公式， 令，可得， 所以展开式中的系数是. 4．（2026·北京西城·一模），则（   ） A．16 B．65 C．80 D．81 【答案】C 【分析】根据题意得，利用赋值法和二项式系数求解. 【详解】由于， 则， 令，得， 又因为， 所以. 5．（2026·北京昌平·一模）在的展开式中，含的项的系数为（   ） A． B． C．16 D．24 【答案】D 【详解】的展开式中含的项为：，故含的项的系数为 6．（2026·北京房山·一模）的二项展开式中的一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以ABC不是的二项展开式中的项，是的二项展开式中的项. 7．（2026·北京门头沟·一模）的展开式中的系数为，那么实数________． 【答案】 【分析】直接根据二项式的展开式的通项公式计算可得结果. 【详解】由，所以通项公式，， 令，解得，所以的系数为，. 8．（2026·北京丰台·一模）已知，则（   ） A．8 B． C．40 D． 【答案】D 【详解】二项式的通项公式为， ， ， 所以. 9．（2026·北京顺义·一模）已知，则________；________. 【答案】 / 【详解】的展开式的通项是， 令，得，则， 令，得，则， 令，得，则， ∴，． 10．（2026·北京密云·一模）的二项展开式中，第1项是__________；常数项是__________. 【答案】 24 【详解】的二项展开式的第1 项是， 常数项为. 统计 运算 考点2 11．（2026·北京西城·一模）某市图书馆为了解馆内图书借阅情况，随机对馆内的部分读者进行了为期一年的跟踪调查，得到下表数据，其中部分数据意外缺失，分别用字母a，b，c，d（）表示． 读者类型 调查人数 年人均借阅量（册） 某类读者图书借阅量分类占比情况 文学类 科技类 教辅类 社科类 其他 在职人员 600 18.5 35% 25% 10% 20% 10% 大学生 800 24.3 30% 40% 13% a b 中学生 500 15.2 25% 20% 40% c d 假设每位读者的每次借阅情况互不影响．用频率估计概率． (1)在参与调查的读者中，比较这一年里“在职人员”借阅的文学类图书量与“中学生”借阅的教辅类图书量的大小，说明理由： (2)在该市图书馆的所有读者中随机选出2名大学生和1名中学生，已知这3人每人借阅了1册书，估计所借的3册书中至少有2册为科技类图书的概率； (3)为分析同一类读者的偏好，市图书馆将图书借阅量分类占比的平均差定义为该类读者的“偏好度”，其中为其图书借阅量分类占比值，为所有的均值，n为图书的类别个数．记“在职人员”、“大学生”和“中学生”的“偏好度”分别为，写出这三个“偏好度”的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1)在职人员借阅的文学类图书量更大 (2) (3) 【分析】（1）先根据“总借阅量=调查人数×年人均借阅量×对应类别占比”的公式，分别列出在职人员文学类、中学生教辅类的借阅量计算式，再代入数据比较大小； （2）先根据大学生各类借阅占比和为，求出的值，得到大学生借阅科技类的概率；同理根据中学生各类借阅占比和为，求出的值，得到中学生借阅科技类的概率；然后将“3册书中至少有2册为科技类图书”分解为“2册科技类1册非科技类”和“3册都是科技类”两个子事件，利用独立事件概率公式和互斥事件概率加法公式计算总概率； （3）根据偏好度的定义，计算各类读者的“偏好度”，可得答案. 【详解】（1）在职人员借阅文学类图书总量： （册）， 中学生借阅教辅类图书总量： （册）， 因为，所以这一年里在职人员借阅的文学类图书量更大； （2）用频率估计概率：大学生借阅科技类的概率为，中学生借阅科技类的概率为， 三人借阅相互独立，“至少2册科技”包含三种情况： ① 2名大学生均借科技，中学生不借科技：， ② 仅1名大学生借科技，中学生借科技：， ③ 3人均借科技：， 总概率：. （3）在职人员的5个占比分别为：，即， ， ，故； 大学生的已知占比为：， 因此未知占比满足， 由题设得，因此，， 即都小于均值，因此，， ， ， 因此：； 中学生的已知占比为：， 因此未知占比满足， 同理，由得，， 因此，， ， ， 因此：. 综上： 12．（25-26高三下·北京朝阳·开学考试）为激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单位：分钟），得到下表： 时间 人数 类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 5 8 11 11 10 8 高中 6 13 12 7 5 4 (1)从该校随机抽取1名学生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率； (2)在随机抽取的100名学生中，从参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望； (3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中初、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为、．试比较、的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)的分布列为： 的期望为 (3)＞ 【分析】（1）利用频率来估计概率即可； （2）利用独立事件乘法公式来计算概率，即可得分布列求期望； （3）利用中点值来计算平均数，即可得到大小比较. 【详解】（1）由上表可得，100名学生中，参加体育锻炼活动时间在的学生有名， 所以从该校随机抽取1名学生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率为； （2）依题意，的所有可能值为0，1，2， 参加体育锻炼活动时间在的学生总人数为，其中初中生人， 参加体育锻炼活动时间在的学生总人数为，其中初中生人， 记事件为“从参加体育锻炼活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件为“从参加体育锻炼活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件相互独立，且， 则， ， ， 所以的分布列为： 的数学期望； （3）＞, 由表可知：根据利用中点值来估计，可得初中生的体育锻炼活动平均时间：， 根据利用中点值来估计，可得高中生的体育锻炼活动平均时间：， 即＞. 13．（25-26高三上·北京石景山·期末）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传9月1日至9月7日每天的步数信息，下表是职工甲和职工乙步数情况： (1)从9月1日至9月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙步数都不低于10000的概率； (2)从9月1日至9月7日中任选两天，记职工甲步数小于职工乙步数的天数为，求的分布列及数学期望； (3)由表中数据判断从哪天开始职工乙连续三天的步数方差最大？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见详解， (3)从9月4日开始. 【分析】（1）根据古典概率公式计算概率； （2）由题的可能取值为，求出相应的概率，求出分布列和期望； （3）根据方差的意义分析判断. 【详解】（1）根据题意，9月1日至9月7日这7天中，9月2日、5日、7日这3天中，甲乙步数都不低于10000， 所以这一天职工甲和乙的步数都不低于10000的概率为. （2）由题，9月1日和9月5日这两天甲的步数小于乙的步数，所以的可能取值为， ，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以. （3）由表中数据可得9月4日开始的三天职工乙的步数的数据为，数值波动最大，因此方差最大， 所以从9月4日开始职工乙连续三天的步数方差最大. 14．（25-26高三上·北京·月考）每年8月8日为我国的全民健身日，倡导大家健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单位：分钟），得到下表： 时间人数类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 8 11 11 10 8 高中 m 13 12 7 5 4 (1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率． (2)从该校参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望； (3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为，初中、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为、．写出一个m的值，使得．（结论不要证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据古典概型求解即可. （2）先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可. （3）分别计算关于的解析式可得答案. 【详解】（1）从该校随机抽取名学生，若已知抽到的是女生， 估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率为； （2）依题意，的所有可能值为0，1，2， 参加体育锻炼活动时间在的学生总人数为，其中初中生人， 参加体育锻炼活动时间在的学生总人数为，其中初中生人， 记事件为“从参加体育锻炼活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件为“从参加体育锻炼活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件相互独立，且， 则， ， ， 所以的分布列为： 的数学期望； （3）根据表格人数可知： 内初中生的总体育锻炼活动时间， 内高中生的总体育锻炼活动时间， 则， ， ， 由，得，解得. 概率与随机变量及其分布 运算 考点3 15．（2026·北京房山·一模）消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标．某市为了解消费者对于当前经济生活的评价以及对未来一段时期经济前景的预期,在全市范围内抽取名城乡居民进行调查,并运用数学方法对调查数据进行量化处理,编制成消费者信心指数．该市年各季度消费者信心指数数据如下： 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 2023年消费者信心指数 115.1 114.6 109.0 108.4 2024年消费者信心指数 108.4 105.9 95.5 94.7 2025年消费者信心指数 99.1 95.3 95.8 103.3 消费者信心指数越大，表明消费者信心越强．信心指数时，消费者信心处于弱信心区间，信心指数时，消费者信心处于强信心区间．假设每个季度消费者信心指数相互独立．用频率估计概率． (1)从上述个季度中随机抽取个季度，估计该季度消费者信心处于强信心区间的概率； (2)从2024年和2025年各随机抽取1个季度，记这2个季度中消费者信心处于强信心区间的个数为，求的分布列和数学期望； (3)2025年3月国家发布《提振消费专项行动方案》．记2025年第季度消费者信心指数较上一季度的增长率为．据估计：2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约等于中的最大值，写出2026年第一季度消费者信心指数的估计值．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 (3)111.4 【详解】（1）由表可知，上述12个季度中消费者信心处于强信心区间()的数据有： 2023年的115.1，114.6，109.0，108.4；2024年的108.4，105.9；2025年的103.3；共7个. 上述12个季度中随机抽取1个季度，该季度消费者信心处于强信心区间的概率为. （2）由表可知，2024年4个季度中有2个处于强信心区间，2个处于弱信心区间；2025年有1个处于强信心区间，3个处于弱信心区间. 设从2024年抽取的季度处于强信心区间为事件，则；从2025年抽取的季度处于强信心区间为事件，则； 则的可能取值为0，1，2. ， 的分布列为： 0 1 2 数学期望 （3）2025年各季度的增长率分别为： ，， ，. ，即 2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约为0.0783； 2026年第一季度消费者信心指数的估计值为：. 16．（2026·北京海淀·一模）为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表： 学区 甲 乙 性别 男 女 男 女 达到预期 260人 200人 240人 190人 未达到预期 190人 150人 60人 110人 假设所有教师的评价相互独立.用频率估计概率. (1)估计甲学区教师的评价为“达到预期”的概率； (2)若教师的评价为“达到预期”，则赋分为5；若教师的评价为“未达到预期”，则赋分为0. （i）从这两个学区的所有男教师中随机抽取2人，所有女教师中随机抽取1人，记随机变量X为这3人的赋分之和，估计X的数学期望； （ii）记甲学区样本赋分的方差为，乙学区样本赋分的方差为，两学区所有样本赋分的方差为.比较，，的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题设表格中的数据，结合古典概型的概率计算公式，即可求解； 设甲学区的教师评价为“达到预期”为事件， （2）（i）由表格中的数据得，分别求得男、女教师达到预期的概率为和，得到变量的取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （ii）分别求得甲、乙学区赋分为5的概率为和，以及所有样本赋分为5的概率为，结合二点分布的方差公式，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：设甲学区的教师评价为“达到预期”为事件， 由表格中的数据，甲学区教师的总人数为人， 其中评价为“达到预期”的人数为人， 所以，即估计甲学区教师评价为“达到预期”的概率为. （2）解：（i）由表格中的数据得，男教师达到预期的概率为， 女教师达到预期的概率为， 根据题意，随机变量的可能取值为， 可得， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 5 10 15 所以期望为. （ii）甲学区赋分为5的概率为，乙学区赋分为5的概率为， 两个学区所有样本赋分为5的概率为， 赋分数据为0或5时，其样本方差为， 由， ，， 因为，可得， 又由，所以. 17．（2026·北京门头沟·一模）某公司对其销售的A、B两种型号扫地机器人向消费者进行满意度调查，从购买这两种型号扫地机器人的消费者中各随机抽取12人进行评分调查（满分100分，该公司规定评分不低于80分为满意），评分结果如下： 数据Ⅰ（A型号）：75，81，85，74，83，77，86，85，92，70，86，90； 数据Ⅱ（B型号）：71，76，81，68，72，87，86，85，73，84，70，92． 假设所有消费者的评分结果相互独立，用频率估计概率． (1)从参与A型号扫地机器人评分调查的12名消费者中随机抽取2人，求至少1人满意的概率； (2)从购买A型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，购买B型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，设X为被抽到的2人中满意的人数，求X的分布列和数学期望； (3)假设购买A型号和B型号扫地机器人的消费者人数相同，公司从所有购买A、B两种型号扫地机器人的消费者中随机抽取1人，开展满意度跟进回访，若已知抽到的消费者对其购买的扫地机器人不满意，设其购买的是A型号的概率估计值为，其购买的是B型号的概率估计值为，试比较与的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) 0 1 2 ， (3) 【分析】（1）根据组合数先计算抽取两人都不满意的概率，再利用对立事件求概率； （2）由题可知的可能取值为0，1，2，再分别求出对应概率，列出分布列并计算期望即可； （3）利用样本估计总体即可比较与的大小． 【详解】（1）在数据I（型号）中，评分不低于80分的有81，85，83，86，85，92，86，90，共8人； 评分低于80分的有75，74，77，70，共4人， 从12名消费者中随机抽取2人，两人都不满意的概率为， 因为“至少1人满意”与“两人都不满意”是对立事件， 所以至少1人满意的概率； （2）由（1）可知，购买型号扫地机器人的消费者满意的概率， 则不满意的概率为， 在数据II（型号）中，评分不低于80分的有81，87，86，85，84，92，共6人， 所以购买型号扫地机器人的消费者满意的概率，则不满意的概率为， 的可能取值为0，1，2， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 ； （3）由题可知抽取样本中，A型号不满意的有4人， B型号不满意的有6人， 则的估计值为，的估计值为， 故． 18．（2026·北京顺义·一模）顺义区的水稻种植历史悠久，最早可追溯到东汉初年.某农科所在顺义区，两镇分别抽取3块试验田开展水稻种植方式实验.种植方式包括有机种植、机械种植、共生种植三种，测得各试验田的平均亩产量如下表（单位：）： 有机种植 机械种植 共生种植 镇 300 350 425 镇 300 375 400 用频率估计概率. (1)从上述试验田中随机抽取2块，求其平均亩产量均不低于375的概率； (2)从，两镇中各随机抽取1块试验田，设为平均亩产量不低于375的试验田的块数，求的分布列和数学期望； (3)为了评估种植方式的综合效益，农科所进一步统计了三种种植方式在某年度的成本与市场售价： 有机种植：每亩成本约为800元，市场售价约为8元/kg； 机械种植：每亩成本约为500元，市场售价约为5元/kg； 共生种植：每亩成本约为1200元，市场售价约为6元/kg. 假设该年度，两镇有机种植、机械种植、共生种植三种方式的种植试验田面积之比均为，记镇水稻种植试验田每亩平均利润为，镇水稻种植试验田每亩平均利润为，试比较与的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）分别计算总情况数和满足题意的情况数，据此可得概率； （2）由题设可得可为，据此可得分布列及期望； （3）设两地分别有地面积为，由题可得与表达式，据此可得答案. 【详解】（1）由题可得随机拿地的情况有： 种， 平均亩产量均不低于375的情况有种，故相应概率为：； （2）分别从两地拿地有9种情况，将拿地情况用坐标表示， 横坐标表示A地平均亩产数，纵坐标表示B地平均亩产数. 的情况有共2种； 的情况有共5种； 的情况有种，则分布列如下： 0 1 2 期望为： ； （3）设两地分别有土地面积为亩. 对于A地，用于有机种植的地有亩，有机种植总产量为 ， 则有机种植的总利润为：元， 类似可得A地机械种植总利润为：元， A地共生种植总利润为：元， 则A地平均利润为：元； 类似可得B地平均利润为：元. 则. 19．（2026·北京石景山·一模）为了研究需要，将高三年级男生肺活量检测值（单位：L）划分为如下6个等级： 肺活量（单位：L） 小于2.0 4.0及以上 等级 1 2 3 4 5 6 某校为研究高三年级男生1000米长跑成绩是否达标（成绩达到合格标准）与肺活量等级的关系，随机从该校抽取了100名高三年级男生作为研究对象，记录他们的长跑成绩与肺活量等级，整理得到如下统计图与统计表. 肺活量等级 频数 1 14 2 12 3 8 4 4 5 2 6 0 合计 40 长跑成绩未达标组 (1)从100名研究对象中随机选取1人，求此人肺活量等级为3的概率； (2)用频率估计概率，假设每名高三年级男生的肺活量等级相互独立，长跑成绩也相互独立.从该校全体高三年级男生中肺活量等级为4的学生中随机选取2人，肺活量等级为2的学生中随机选取1人，设这3人中长跑成绩达标的人数为，估计的数学期望EX； (3)研究人员提出可以按照下述方式判断高三年级男生长跑成绩是否达标：选取常数，若一名高三年级男生的肺活量等级大于，则判断其长跑成绩达标；若肺活量等级小于，则判断其长跑成绩未达标.从100名研究对象中随机选取1人，按照上述方式判断其长跑成绩是否达标.写出使得判断错误的概率最小的的值（只需写出结论）. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件求出未达标组中，肺活量等级为的人数和成绩达标组中，肺活量等级为的人数，根据古典概型概率公式求结论； （2）确定随机变量的可能取值，结合独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法求取各值的概率，再由期望定义求结论； （3）分别求和时判断 错误的人数，由此可得结论. 【详解】（1）由已知未达标组中，肺活量等级为的人数是，成绩未达标组共人； 故成绩达标组有人， 达标组中，肺活量等级为的频率为， 因此成绩达标组中，肺活量等级为的人数为； 所以人中，肺活量等级为的总人数为， 因此从名研究对象中随机选取人，求此人肺活量等级为的概率； （2）由已知未达标组中，肺活量等级为的人数为， 成绩达标组中，肺活量等级为的人数为； 所以肺活量等级为的学生的总人数为， 由已知未达标组中，肺活量等级为的人数为， 成绩达标组中，肺活量等级为的人数为； 所以肺活量等级为的学生的总人数为， 设事件为“从该校全体高三年级男生中肺活量等级为的学生中随机选取人，长跑成绩达标” 事件为“从该校全体高三年级男生中肺活量等级为的学生中随机选取人，长跑成绩达标” 所以可估计，， 根据题意随机变量的可能取值有，且 ， ， ， ， 所以可估计 （3）取，即若学生的肺活量等级为时判定其长跑未达标，肺活量等级为的任意一个值时判定其长跑达标，则判断错误的总人数为， 取，即若学生的肺活量等级为或时判定其长跑未达标，肺活量等级为的任意一个值时 判定其长跑达标，则判断错误的总人数为， 取，即若学生的肺活量等级为或或时判定其长跑未达标，肺活量等级为的任意一个值时 判定其长跑达标，则判断错误的总人数为， 取，即若学生的肺活量等级为或或或时判定其长跑未达标，肺活量等级为或时 判定其长跑达标，则判断错误的总人数为， 取，即若学生的肺活量等级为时判定其长跑达标，否则判定其长跑未达标，则判断错误的总人数为， 取时，则会判断所有学生未达标，判断错误的总人数为， 因此取时判断错误的概率最小， 故. 20．（2026·北京丰台·一模）为研究某大宗商品价格变化的规律，收集得到了该大宗商品连续30个交易日的价格变化情况，如下表所示．在描述价格变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天价格比前一个交易日价格高；用“↓”表示“下跌”，即当天价格比前一个交易日价格低；用“→”表示“不变”，即当天价格与前一个交易日价格相同． 时段 价格变化 第个交易日 ↓ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ 第个交易日 ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ 用频率估计概率． (1)试估计该大宗商品价格“上涨”的概率； (2)假设该大宗商品每个交易日的价格变化是相互独立的，在未来的交易日里任取天，试估计该大宗商品价格在这天中至少有天“上涨”且至少有天“不变”的概率； (3)假设该大宗商品当日价格“上涨”、“下跌”、“不变”时，当日成交概率分别为，且．若该大宗商品每个交易日的价格变化只受前一个交易日价格变化的影响，试比较第个交易日的成交概率与的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）统计上涨天数，根据频率估计概率； （2）分析符合条件的情况，根据独立事件的概率求解； （3）根据价格变化具有状态转移特性，第个交易日的成交概率是各状态转移概率的加权平均，且受前1个交易日价格变化的影响. 【详解】（1）根据题中数据，该大宗商品价格在个交易日中有天“上涨”． 设事件为“该大宗商品价格上涨”， 则. （2）设事件为“该大宗商品价格“不变”，事件为“该大宗商品价格“下跌”，事件为“该大宗商品价格在这5天中至少有3天“上涨”且至少有1天“不变”． 依题意可得，． . （3）由于，且价格变化具有状态转移特性， 第个交易日的成交概率是各状态转移概率的加权平均，权重偏向高成交概率的状态, 由于前1个交易日状态对第个交易日的影响具有正反馈性，且初始概率分布不均匀， 因此大于三种状态成交概率的算术平均值. 所以. 21．（2026·北京平谷·一模）根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生50米跑单项等级如下（单位：秒）： 50米跑单项等级 高一男生 高一女生 优秀 7.3及以下 8.0及以下 良好 7.4~7.5 8.1~8.6 及格 7.6~9.5 8.7~10.6 不及格 9.6及以上 10.7及以上 从某校高一男生和女生中各随机抽取15名同学，将其50米跑测试成绩整理如下： 男生 7.0 7.1 7.2 7.3 7.3 7.4 7.5 7.5 7.5 7.5 8.6 9.6 9.7 9.7 9.8 女生 7.4 7.6 7.6 7.8 7.9 8.0 8.1 8.8 9.0 9.2 9.7 10.4 10.4 10.5 10.8 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． (1)估计该校高一男生50米跑单项及格及以上的概率； (2)从该校高一男生和女生中各随机抽取2人，估计4人中恰有2人50米跑单项等级是优秀的概率； (3)通过一段时间锻炼，对该校在及格及以下成绩的学生进行再测试，结果又有的男生达到良好及以上的成绩，又有的女生达到良好及以上的成绩，记最后男女达到良好及以上的概率分别为，判断的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过求解； （2）通过对立事件、独立事件、互斥事件概率公式求解； （3）根据题目信息，利用古典概率的意义判断即得. 【详解】（1）样本中50米跑单项等级获得优秀的男生人数为5，获得良好的男生人数为5，获得及格的男生人数为1， 所以估计该校高一男生50米跑单项的及格及以上的概率； （2）记4人中恰有2人50米跑单项等级是优秀的事件为 记“高一男生50米跑单项等级是优秀”为事件； “高一女生50米跑单项等级是优秀”为事件； 其中是独立事件 由（1）得；． 记2名50米跑单项等级是优秀的人都是男同学的事件为 记2名50米跑单项等级是优秀的人都是女同学的事件为 记2名50米跑单项等级是优秀的人有1名是男同学1名是女同学的事件为 则． （3）男生及格及以下成绩人数为5人，再次测试后良好及以上成绩约1人， 女生及格及以下成绩8人，再次测试后良好及以上成绩为2人， 两次测试后，良好及以上成绩的总人数男生多于女生， 所以． 22．（2026·北京朝阳·模拟预测）地铁某换乘站设有编号为1，2，3，4，5的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 1，2 2，3 3，4 4，5 1，5 疏散乘客时间（） 120 220 160 140 200 则疏散乘客效率最高的一个安全出口的编号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】同时开放1、2两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为， 同时开放2、 3两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为， 所以1疏散乘客比3快； 同理可得4疏散乘客比2快，5疏散乘客比3快，4疏散乘客比1快， 2疏散乘客比5快，所以疏散乘客最快的一个安全出口的编号是4． 23．（2026·北京密云·一模）随着机器人的智能化､精细化发展，市场对其零部件的质量要求不断提高.现有甲､乙两台车床分别加工某种机器人的同一型号的零件.为评估这两台车床加工零件的质量，随机抽取甲､乙两台车床加工的零件各100个，记录零件质量检测结果，并整理得到数据如下表： 等级 优等品 非优等品 甲车床加工的零件数 75 25 乙车床加工的零件数 80 20 假设不同零件的质量等级相互独立，用频率估计概率. (1)分别估计甲､乙两台车床加工的零件是优等品的概率； (2)从甲车床加工的零件中随机抽取1个，乙车床加工的零件中随机抽取2个.设为这3个零件中优等品的个数，估计的数学期望； (3)在某一时段内，甲､乙两台车床加工的零件数之比为，现从这些零件中随机抽取1个，设该零件是优等品的概率估计值为，判断与的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）利用频率估计概率求解； （2）求出的可能取值，分别求出的每个可能取值的概率，利用离散型随机变量的期望公式求出期望； （3）甲、乙两台车床加工的零件数之比为，求出和得到与的大小. 【详解】（1）甲车床：抽取100个零件，优等品有75个，则， 乙车床：抽取100个零件，优等品有80个，则. （2）为这3个零件中优等品的个数， 则的可能取值为， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取2个非优等品， ， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取1个优等品1个非优等品， 或从甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品且乙车床加工的零件中随机抽取2个非优等品， ， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取2个优等品， 或甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品乙车床加工的零件中随机抽取1个优等品1个非优等品， ， ，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品 且乙车床加工的零件中随机抽取2个优等品， ， . （3）， 甲、乙两台车床加工的零件数之比为， 现从这些零件中随机抽取1个，设该零件是优等品的概率估计值为， 则， ，，. 24．（2026·北京延庆·一模）2024年联合国教科文组织第46届世界遗产大会上，我国申报的“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．北京中轴线坐落于北京老城中心，全长7.8公里，始建于13世纪，是统领老城整体规划格局的建筑与遗址的组合体．它共包含15处遗产点，可分为A、B、C、D、E五种类型，具体如下表： 类 型 A古代皇家宫苑建筑 B古代皇家 祭祀建筑 C古代城市管理设施 D国家礼仪和公共建筑 E居中道路遗存 中轴线遗产点 故宫 景山 太庙 社稷坛 天坛 先农坛 钟鼓楼 万宁桥 端门 天安门 外金水桥 天安门广场及建筑群 正阳门 永定门 中轴线南段道路遗存 某研学团队计划随机选取3处遗产点开展研学活动． (1)若从15处遗产点中随机选取，求选取的3处遗产点均为D类的概率； (2)若从A、B、C这三类遗产点中随机选取3处，设选取的3处遗产点的类型种数为X，求X的分布列及数学期望； (3)该研学团队通过调查发现：所有参观北京中轴线的人群可分为老年人、中年人、青少年三个群体，其人数比值为，同时，这三个群体选择参观A类或D类遗产点的频率分布如下表： 人群 老年人 中年人 青少年 只参观A类型遗产点 60％ 25％ 30％ 只参观D类型遗产点 20％ 45％ 30％ 两类遗产点都参观 20％ 30％ 40％ 用频率估计概率，若从所有参观A类或D类遗产点的人群中随机选取1人，记“只参观A类型遗产点”的概率为，“只参观D类型遗产点”的概率为，请根据表中信息，判断与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)的分布列为： 1 2 3 (3) 【详解】（1）从15处遗产点中随机选取，选取的3处遗产点均为D类的概率为： . （2）由题意，的值可能为1,2,3， 且， ， . 所以的分布列为： 1 2 3 所以. （3）由题意, . 所以. 25．（2026·北京昌平·一模）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 【答案】(1) (2)的分布列为 数学期望 (3) 【分析】（1）根据频率估计概率，再由独立事件的乘法公式即可求解； （2）先算出男生和女生中各随机抽取一人“运动达标”的概率，确定随机变量的可能取值并计算概率，进而得出分布列及数学期望； （3）先确定服从的二项分布，由二项分布的性质确定概率最大时的值. 【详解】（1）由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为， 设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件， 则； （2）由表可知，从男生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 随机变量的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为 数学期望. （3）由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为， 服从二项分布， 则要使得使概率取得最大值需且， 则且， 解得， 为整数，所以， 使概率取得最大值时的值为. 26．（2026·北京·模拟预测）密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华同学和他的小伙伴们组团参加了一次密室逃脱游戏，他们选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A，B，C，他们通过三关的概率依次为：．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A，B，C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收． (1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率． (2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）． (3)请比较“不购买通关币的收益期望值” 与 “购买 1 枚通关币的收益期望值” 的大小.(直接写出结论无需证明) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分四类情况讨论李华使用通关币的情况即可； （2）分四类情况分别求出可能的收益，再求对应的概率即可求得期望值； （3）分别计算不购买通关币与购买1枚通关币的收益期望值，再进行比较即可. 【详解】（1）由题意可知：这一枚通关币的使用情况有四种： ①在第一关使用；②在第二关使用；③在第三关使用；④没有使用. 而通过三关的概率依次为：， 则李华通过该游戏的概率． （2）购买两枚通关币的费用为200元，报名费为150元， 则收益可能为：（未使用通关币过关）， （使用1枚通关币且过关）， （使用2枚通关币且过关）， （使用2枚通关币且未过关）， 则 则 . 所以他最终获得的收益期望值是元. （3）由题意得若不购买通关币，则李华通关的概率为， 此时期望收益， ， 故. 27．（2026·北京朝阳·一模）某研究团队发现人工智能助手的问题解决“满意度评分”（满分100分）与其使用场景密切相关.该团队将用户分为学习场景用户和工作场景用户两类，为了调研用户对人工智能助手的满意度评分情况，现从这两类用户中各随机抽取100人，记录他们的满意度评分，将数据分成6组：，，，，，，并分别整理得到如下两个频率分布直方图： 现规定满意度评分在80分及以上的满意度评级为，在区间的满意度评级为，在60分以下的满意度评级为.用频率估计概率，假设每个用户的评分相互独立. (1)求的值； (2)从使用人工智能助手的所有学习场景用户中随机抽取2人，从使用人工智能助手的所有工作场景用户中随机抽取1人，设为抽出的3人中满意度评级为A的人数，估计的分布列和数学期望； (3)该研究团队又对另外两款人工智能助手，进行了同样的调研，估计出其学习场景用户的满意度评级为A的概率分别为0.3，0.35.现分别从使用，，这三款人工智能助手的学习场景用户中各随机抽取1人，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为或.设，，判断，的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1)； (2) 0 1 2 3 0.45 0.4125 0.125 0.0125 ； (3). 【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形面积和为1求解. （2）分别求出学习、工作场景用户评级为的概率，再求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. （3）求出分别取的概率，再利用分布的方差公式求出方差，进而比较大小. 【详解】（1）依题意，，所以. （2）依题意，学习场景用户评级为的概率为， 工作场景用户评级为的概率为， 的所有可能值为， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 0.45 0.4125 0.125 0.0125 数学期望. （3）由（2）及已知，得，， ，显然服从分布， 因此， ， 所以. 28．（2026·北京房山·一模）人工智能在社会生活中的应用越来越广泛，某AI科技公司开发了一套人机交互软件，它会针对用户输入的问题从数据库中自动检索并生成答案．统计表明，当输入的问题无语法错误时，软件生成正确答案的概率为；当输入的问题存在语法错误时，软件生成正确答案的概率为，且每次生成答案相互独立．已知某用户每次输入的问题无语法错误的概率为，估计对于该用户此软件生成正确答案的概率为____． 【答案】/ 【分析】确定两个互斥的完备事件组分类求解概率，再结合全概率公式求解软件生成正确答案的概率. 【详解】第一种情况：输入无语法错误且生成正确答案 已知输入无语法错误的概率为，该情况下生成正确答案的概率为， 所以该情况的概率为： 第二种情况：输入有语法错误且生成正确答案 输入有语法错误的概率为，该情况下生成正确答案的概率为， 所以该情况的概率为： 两种情况互斥，所以软件生成正确答案的总概率为： 29．（25-26高三下·北京·开学考试）某工厂有两条生产线生产同一种产品，产品需要经过质量检测． 检测结果分为优质、合格和不合格三种． 从两条生产线上各随机抽取 120 件产品， 检测结果如下表． 优质 合格 不合格 甲生产线 80 件 40 件 0 件 乙生产线 60 件 30 件 30 件 假设各件产品的检测结果相互独立， 用频率估计概率． (1)从甲生产线抽取的样本中随机取 2 件，求这 2 件产品均合格的概率； (2)从甲、乙两条生产线的产品中各随机抽取 1 件，记这 2 件产品的利润总和为 元（利润标准： 优质 20 元，合格 5 元，不合格-15 元）． 求 的分布列及数学期望： (3)工厂考虑对乙生产线进行技术改造，改造后，乙生产线生产的产品优质率可提高到 0.7 ， 不合格率降为 0.05 ． 但改造需要一次性投入，会导致每件产品的生产成本增加 4 元． 试判断改造后乙生产线产品的平均利润是否比改造前有所提高． （直接写出结论） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)改造后乙生产线产品的平均利润比改造前提高 【分析】（1）由古典概型的概率公式求解即可； （2）由题意可得，求出对应的概率，列出分布列，根据期望公式求解即可； （3）求出改造前后平均利润，即可得结论. 【详解】（1）设事件 ：“从甲生产线抽取的样本中随机取 2 件，这 2 件产品均合格”，则所求概率 ． （2） ． 用频率估计概率，甲生产线取到优质品概率为 ，乙生产线取到优质品概率 ． ， 分布列 40 25 10 5 -10 （3）改造后乙生产线产品的平均利润比改造前提高． 改造前平均利润 ． 改造后平均利润 ． ， 所以改造后乙生产线产品的平均利润比改造前提高． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 计数原理与概率统计 3大考点概览 考点01 排列组合与二项式定理 考点02 统计 考点03 概率与随机变量及其分布 排列组合与二项式定理 运算 考点1 1．（2026·北京丰台·一模）西汉海昏侯墓出土的两千多年前的“权”（砝码），是与“衡”（天平）配合使用的称量工具．已知五枚权的质量（单位：克）从小到大构成项数为5的等比数列，其中，，则___________；在称量物体时所用的权的质量之和叫称量值，则从这五枚权中取一枚或多枚，可组合出的不同称量值共有___________种． 2．（2026·北京海淀·一模）已知，则（   ） A． B．10 C． D．80 3．（2026·北京石景山·一模）若的展开式的二项式系数和为32，则__________，的系数为__________. 4．（2026·北京西城·一模），则（   ） A．16 B．65 C．80 D．81 5．（2026·北京昌平·一模）在的展开式中，含的项的系数为（   ） A． B． C．16 D．24 6．（2026·北京房山·一模）的二项展开式中的一项是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·北京门头沟·一模）的展开式中的系数为，那么实数________． 8．（2026·北京丰台·一模）已知，则（   ） A．8 B． C．40 D． 9．（2026·北京顺义·一模）已知，则________；________. 10．（2026·北京密云·一模）的二项展开式中，第1项是__________；常数项是__________. 统计 运算 考点2 11．（2026·北京西城·一模）某市图书馆为了解馆内图书借阅情况，随机对馆内的部分读者进行了为期一年的跟踪调查，得到下表数据，其中部分数据意外缺失，分别用字母a，b，c，d（）表示． 读者类型 调查人数 年人均借阅量（册） 某类读者图书借阅量分类占比情况 文学类 科技类 教辅类 社科类 其他 在职人员 600 18.5 35% 25% 10% 20% 10% 大学生 800 24.3 30% 40% 13% a b 中学生 500 15.2 25% 20% 40% c d 假设每位读者的每次借阅情况互不影响．用频率估计概率． (1)在参与调查的读者中，比较这一年里“在职人员”借阅的文学类图书量与“中学生”借阅的教辅类图书量的大小，说明理由： (2)在该市图书馆的所有读者中随机选出2名大学生和1名中学生，已知这3人每人借阅了1册书，估计所借的3册书中至少有2册为科技类图书的概率； (3)为分析同一类读者的偏好，市图书馆将图书借阅量分类占比的平均差定义为该类读者的“偏好度”，其中为其图书借阅量分类占比值，为所有的均值，n为图书的类别个数．记“在职人员”、“大学生”和“中学生”的“偏好度”分别为，写出这三个“偏好度”的大小关系．（结论不要求证明） 12．（25-26高三下·北京朝阳·开学考试）为激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单位：分钟），得到下表： 时间 人数 类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 5 8 11 11 10 8 高中 6 13 12 7 5 4 (1)从该校随机抽取1名学生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率； (2)在随机抽取的100名学生中，从参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望； (3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中初、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为、．试比较、的大小．（结论不要求证明） 13．（25-26高三上·北京石景山·期末）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传9月1日至9月7日每天的步数信息，下表是职工甲和职工乙步数情况： (1)从9月1日至9月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙步数都不低于10000的概率； (2)从9月1日至9月7日中任选两天，记职工甲步数小于职工乙步数的天数为，求的分布列及数学期望； (3)由表中数据判断从哪天开始职工乙连续三天的步数方差最大？（结论不要求证明） 14．（25-26高三上·北京·月考）每年8月8日为我国的全民健身日，倡导大家健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单位：分钟），得到下表： 时间人数类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 8 11 11 10 8 高中 m 13 12 7 5 4 (1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率． (2)从该校参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望； (3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为，初中、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为、．写出一个m的值，使得．（结论不要证明） 概率与随机变量及其分布 运算 考点3 15．（2026·北京房山·一模）消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标．某市为了解消费者对于当前经济生活的评价以及对未来一段时期经济前景的预期,在全市范围内抽取名城乡居民进行调查,并运用数学方法对调查数据进行量化处理,编制成消费者信心指数．该市年各季度消费者信心指数数据如下： 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 2023年消费者信心指数 115.1 114.6 109.0 108.4 2024年消费者信心指数 108.4 105.9 95.5 94.7 2025年消费者信心指数 99.1 95.3 95.8 103.3 消费者信心指数越大，表明消费者信心越强．信心指数时，消费者信心处于弱信心区间，信心指数时，消费者信心处于强信心区间．假设每个季度消费者信心指数相互独立．用频率估计概率． (1)从上述个季度中随机抽取个季度，估计该季度消费者信心处于强信心区间的概率； (2)从2024年和2025年各随机抽取1个季度，记这2个季度中消费者信心处于强信心区间的个数为，求的分布列和数学期望； (3)2025年3月国家发布《提振消费专项行动方案》．记2025年第季度消费者信心指数较上一季度的增长率为．据估计：2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约等于中的最大值，写出2026年第一季度消费者信心指数的估计值．（结论不要求证明） 16．（2026·北京海淀·一模）为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表： 学区 甲 乙 性别 男 女 男 女 达到预期 260人 200人 240人 190人 未达到预期 190人 150人 60人 110人 假设所有教师的评价相互独立.用频率估计概率. (1)估计甲学区教师的评价为“达到预期”的概率； (2)若教师的评价为“达到预期”，则赋分为5；若教师的评价为“未达到预期”，则赋分为0. （i）从这两个学区的所有男教师中随机抽取2人，所有女教师中随机抽取1人，记随机变量X为这3人的赋分之和，估计X的数学期望； （ii）记甲学区样本赋分的方差为，乙学区样本赋分的方差为，两学区所有样本赋分的方差为.比较，，的大小.（结论不要求证明） 17．（2026·北京门头沟·一模）某公司对其销售的A、B两种型号扫地机器人向消费者进行满意度调查，从购买这两种型号扫地机器人的消费者中各随机抽取12人进行评分调查（满分100分，该公司规定评分不低于80分为满意），评分结果如下： 数据Ⅰ（A型号）：75，81，85，74，83，77，86，85，92，70，86，90； 数据Ⅱ（B型号）：71，76，81，68，72，87，86，85，73，84，70，92． 假设所有消费者的评分结果相互独立，用频率估计概率． (1)从参与A型号扫地机器人评分调查的12名消费者中随机抽取2人，求至少1人满意的概率； (2)从购买A型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，购买B型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，设X为被抽到的2人中满意的人数，求X的分布列和数学期望； (3)假设购买A型号和B型号扫地机器人的消费者人数相同，公司从所有购买A、B两种型号扫地机器人的消费者中随机抽取1人，开展满意度跟进回访，若已知抽到的消费者对其购买的扫地机器人不满意，设其购买的是A型号的概率估计值为，其购买的是B型号的概率估计值为，试比较与的大小．（结论不要求证明） 18．（2026·北京顺义·一模）顺义区的水稻种植历史悠久，最早可追溯到东汉初年.某农科所在顺义区，两镇分别抽取3块试验田开展水稻种植方式实验.种植方式包括有机种植、机械种植、共生种植三种，测得各试验田的平均亩产量如下表（单位：）： 有机种植 机械种植 共生种植 镇 300 350 425 镇 300 375 400 用频率估计概率. (1)从上述试验田中随机抽取2块，求其平均亩产量均不低于375的概率； (2)从，两镇中各随机抽取1块试验田，设为平均亩产量不低于375的试验田的块数，求的分布列和数学期望； (3)为了评估种植方式的综合效益，农科所进一步统计了三种种植方式在某年度的成本与市场售价： 有机种植：每亩成本约为800元，市场售价约为8元/kg； 机械种植：每亩成本约为500元，市场售价约为5元/kg； 共生种植：每亩成本约为1200元，市场售价约为6元/kg. 假设该年度，两镇有机种植、机械种植、共生种植三种方式的种植试验田面积之比均为，记镇水稻种植试验田每亩平均利润为，镇水稻种植试验田每亩平均利润为，试比较与的大小.（结论不要求证明） 19．（2026·北京石景山·一模）为了研究需要，将高三年级男生肺活量检测值（单位：L）划分为如下6个等级： 肺活量（单位：L） 小于2.0 4.0及以上 等级 1 2 3 4 5 6 某校为研究高三年级男生1000米长跑成绩是否达标（成绩达到合格标准）与肺活量等级的关系，随机从该校抽取了100名高三年级男生作为研究对象，记录他们的长跑成绩与肺活量等级，整理得到如下统计图与统计表. 肺活量等级 频数 1 14 2 12 3 8 4 4 5 2 6 0 合计 40 长跑成绩未达标组 (1)从100名研究对象中随机选取1人，求此人肺活量等级为3的概率； (2)用频率估计概率，假设每名高三年级男生的肺活量等级相互独立，长跑成绩也相互独立.从该校全体高三年级男生中肺活量等级为4的学生中随机选取2人，肺活量等级为2的学生中随机选取1人，设这3人中长跑成绩达标的人数为，估计的数学期望EX； (3)研究人员提出可以按照下述方式判断高三年级男生长跑成绩是否达标：选取常数，若一名高三年级男生的肺活量等级大于，则判断其长跑成绩达标；若肺活量等级小于，则判断其长跑成绩未达标.从100名研究对象中随机选取1人，按照上述方式判断其长跑成绩是否达标.写出使得判断错误的概率最小的的值（只需写出结论）. 20．（2026·北京丰台·一模）为研究某大宗商品价格变化的规律，收集得到了该大宗商品连续30个交易日的价格变化情况，如下表所示．在描述价格变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天价格比前一个交易日价格高；用“↓”表示“下跌”，即当天价格比前一个交易日价格低；用“→”表示“不变”，即当天价格与前一个交易日价格相同． 时段 价格变化 第个交易日 ↓ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ 第个交易日 ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ 用频率估计概率． (1)试估计该大宗商品价格“上涨”的概率； (2)假设该大宗商品每个交易日的价格变化是相互独立的，在未来的交易日里任取天，试估计该大宗商品价格在这天中至少有天“上涨”且至少有天“不变”的概率； (3)假设该大宗商品当日价格“上涨”、“下跌”、“不变”时，当日成交概率分别为，且．若该大宗商品每个交易日的价格变化只受前一个交易日价格变化的影响，试比较第个交易日的成交概率与的大小．（结论不要求证明） 21．（2026·北京平谷·一模）根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生50米跑单项等级如下（单位：秒）： 50米跑单项等级 高一男生 高一女生 优秀 7.3及以下 8.0及以下 良好 7.4~7.5 8.1~8.6 及格 7.6~9.5 8.7~10.6 不及格 9.6及以上 10.7及以上 从某校高一男生和女生中各随机抽取15名同学，将其50米跑测试成绩整理如下： 男生 7.0 7.1 7.2 7.3 7.3 7.4 7.5 7.5 7.5 7.5 8.6 9.6 9.7 9.7 9.8 女生 7.4 7.6 7.6 7.8 7.9 8.0 8.1 8.8 9.0 9.2 9.7 10.4 10.4 10.5 10.8 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． (1)估计该校高一男生50米跑单项及格及以上的概率； (2)从该校高一男生和女生中各随机抽取2人，估计4人中恰有2人50米跑单项等级是优秀的概率； (3)通过一段时间锻炼，对该校在及格及以下成绩的学生进行再测试，结果又有的男生达到良好及以上的成绩，又有的女生达到良好及以上的成绩，记最后男女达到良好及以上的概率分别为，判断的大小．（结论不要求证明） 22．（2026·北京朝阳·模拟预测）地铁某换乘站设有编号为1，2，3，4，5的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 1，2 2，3 3，4 4，5 1，5 疏散乘客时间（） 120 220 160 140 200 则疏散乘客效率最高的一个安全出口的编号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．（2026·北京密云·一模）随着机器人的智能化､精细化发展，市场对其零部件的质量要求不断提高.现有甲､乙两台车床分别加工某种机器人的同一型号的零件.为评估这两台车床加工零件的质量，随机抽取甲､乙两台车床加工的零件各100个，记录零件质量检测结果，并整理得到数据如下表： 等级 优等品 非优等品 甲车床加工的零件数 75 25 乙车床加工的零件数 80 20 假设不同零件的质量等级相互独立，用频率估计概率. (1)分别估计甲､乙两台车床加工的零件是优等品的概率； (2)从甲车床加工的零件中随机抽取1个，乙车床加工的零件中随机抽取2个.设为这3个零件中优等品的个数，估计的数学期望； (3)在某一时段内，甲､乙两台车床加工的零件数之比为，现从这些零件中随机抽取1个，设该零件是优等品的概率估计值为，判断与的大小.（结论不要求证明） 24．（2026·北京延庆·一模）2024年联合国教科文组织第46届世界遗产大会上，我国申报的“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．北京中轴线坐落于北京老城中心，全长7.8公里，始建于13世纪，是统领老城整体规划格局的建筑与遗址的组合体．它共包含15处遗产点，可分为A、B、C、D、E五种类型，具体如下表： 类 型 A古代皇家宫苑建筑 B古代皇家 祭祀建筑 C古代城市管理设施 D国家礼仪和公共建筑 E居中道路遗存 中轴线遗产点 故宫 景山 太庙 社稷坛 天坛 先农坛 钟鼓楼 万宁桥 端门 天安门 外金水桥 天安门广场及建筑群 正阳门 永定门 中轴线南段道路遗存 某研学团队计划随机选取3处遗产点开展研学活动． (1)若从15处遗产点中随机选取，求选取的3处遗产点均为D类的概率； (2)若从A、B、C这三类遗产点中随机选取3处，设选取的3处遗产点的类型种数为X，求X的分布列及数学期望； (3)该研学团队通过调查发现：所有参观北京中轴线的人群可分为老年人、中年人、青少年三个群体，其人数比值为，同时，这三个群体选择参观A类或D类遗产点的频率分布如下表： 人群 老年人 中年人 青少年 只参观A类型遗产点 60％ 25％ 30％ 只参观D类型遗产点 20％ 45％ 30％ 两类遗产点都参观 20％ 30％ 40％ 用频率估计概率，若从所有参观A类或D类遗产点的人群中随机选取1人，记“只参观A类型遗产点”的概率为，“只参观D类型遗产点”的概率为，请根据表中信息，判断与的大小关系．（结论不要求证明） 25．（2026·北京昌平·一模）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 26．（2026·北京·模拟预测）密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华同学和他的小伙伴们组团参加了一次密室逃脱游戏，他们选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A，B，C，他们通过三关的概率依次为：．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A，B，C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收． (1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率． (2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）． (3)请比较“不购买通关币的收益期望值” 与 “购买 1 枚通关币的收益期望值” 的大小.(直接写出结论无需证明) 27．（2026·北京朝阳·一模）某研究团队发现人工智能助手的问题解决“满意度评分”（满分100分）与其使用场景密切相关.该团队将用户分为学习场景用户和工作场景用户两类，为了调研用户对人工智能助手的满意度评分情况，现从这两类用户中各随机抽取100人，记录他们的满意度评分，将数据分成6组：，，，，，，并分别整理得到如下两个频率分布直方图： 现规定满意度评分在80分及以上的满意度评级为，在区间的满意度评级为，在60分以下的满意度评级为.用频率估计概率，假设每个用户的评分相互独立. (1)求的值； (2)从使用人工智能助手的所有学习场景用户中随机抽取2人，从使用人工智能助手的所有工作场景用户中随机抽取1人，设为抽出的3人中满意度评级为A的人数，估计的分布列和数学期望； (3)该研究团队又对另外两款人工智能助手，进行了同样的调研，估计出其学习场景用户的满意度评级为A的概率分别为0.3，0.35.现分别从使用，，这三款人工智能助手的学习场景用户中各随机抽取1人，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为或.设，，判断，的大小.（结论不要求证明） 28．（2026·北京房山·一模）人工智能在社会生活中的应用越来越广泛，某AI科技公司开发了一套人机交互软件，它会针对用户输入的问题从数据库中自动检索并生成答案．统计表明，当输入的问题无语法错误时，软件生成正确答案的概率为；当输入的问题存在语法错误时，软件生成正确答案的概率为，且每次生成答案相互独立．已知某用户每次输入的问题无语法错误的概率为，估计对于该用户此软件生成正确答案的概率为____． 29．（25-26高三下·北京·开学考试）某工厂有两条生产线生产同一种产品，产品需要经过质量检测． 检测结果分为优质、合格和不合格三种． 从两条生产线上各随机抽取 120 件产品， 检测结果如下表． 优质 合格 不合格 甲生产线 80 件 40 件 0 件 乙生产线 60 件 30 件 30 件 假设各件产品的检测结果相互独立， 用频率估计概率． (1)从甲生产线抽取的样本中随机取 2 件，求这 2 件产品均合格的概率； (2)从甲、乙两条生产线的产品中各随机抽取 1 件，记这 2 件产品的利润总和为 元（利润标准： 优质 20 元，合格 5 元，不合格-15 元）． 求 的分布列及数学期望： (3)工厂考虑对乙生产线进行技术改造，改造后，乙生产线生产的产品优质率可提高到 0.7 ， 不合格率降为 0.05 ． 但改造需要一次性投入，会导致每件产品的生产成本增加 4 元． 试判断改造后乙生产线产品的平均利润是否比改造前有所提高． （直接写出结论） 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $