2025届年北京市中央民族大学附属中学高三高考一模冲刺模拟数学试卷一

2023-2024学年度高中数学高考一模冲刺模拟试题一 考试时间：120分钟；命题人：励昕老师 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题4分，共40分） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则z的虚部为（    ） A． B． C． D．1 3．已知双曲线的焦距为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．已知两个单位向量，的夹角为150°，则（    ） A．7 B．3 C． D．1 5．二项式的展开式中，含项的系数是（    ） A． B．462 C．792 D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．抛物线的焦点为，过抛物线上点作准线垂线，垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“”是“为等腰三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示. 根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中,其中正确说法的个数是（    ） ①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用； ②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒； ③每向隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用； ④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒. A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知，是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题(每题5分，共25分) 11．不等式的解集为 ． 12．在边长为1的正方形中裁去一个如图所示的扇形，再将剩余的阴影部分绕AB旋转一周，则所得几何体的表面积为 ． 13．函数（）的部分图象如图所示，则 ；函数在区间上的零点为 ．   14．已知数列满足：，，，，，且当n≥5时，，若数列满足对任意，有，则 ；当n≥5时， ． 15．已知函数，设． 给出下列四个结论：①当时，不存在最小值；②当时，在为增函数； ③当时，存在实数b，使得有三个零点；④当时，存在实数b，使得有三个零点． 其中正确结论的序号是 ． 三、解答题（共85分） 16．（14分）如图，在三棱锥中，和都是等边三角形，点为线段的中点.    (1)证明:； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值. ①；②. 17．（13分）如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.    (1)求的面积； (2)求的值及的长度. 18．（14分）为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验，为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如表： 传统艺术活动 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 书画 古琴 汉服 戏曲 面塑 高一体验人数 80 45 55 20 45 高二体验人数 40 60 60 80 40 高三体验人数 15 50 40 75 30 (1)从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率； (2)利用频率估计概率，从高一、高二、高三年级中各随机选取1名学生，设这三名学生中参加戏曲体验的人数为，求的分布列及数学期望； (3)为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取名学生进行访谈，设这3名学生均选择了第天传统艺术活动的概率为，当取得最大值时，写出的值，及对应的值．（直接写出答案即可） 19．（14分）椭圆的焦距为为椭圆右焦点，.    (1)求椭圆的方程与离心率； (2)设为原点，为椭圆上一点，的中点为.直线与直线交于点，过且平行于的直线与直线交于点.求证：. 20．（15分）已知函数． (1)当时，求的零点； (2)讨论在上的最大值； (3)是否存在实数，使得对任意，都有？若存在，求取值范围；若不存在，说明理由． 21．（15分）已知，均为给定的大于1的自然数，设集合，． （Ⅰ）当，时，用列举法表示集合； （Ⅱ）当时，，且集合满足下列条件： ①对任意，；②． 证明：（ⅰ）若，则（集合为集合在集合中的补集）； （ⅱ）为一个定值（不必求出此定值）； （Ⅲ）设，，，其中，，若，则． 参考答案： 1．D 【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】由可得：，解得：， 由可得，即，即， 解得：或， 故，，所以. 故选：D. 2．C 【分析】先将等式变形为，利用复数的除法运算求解即可. 【详解】依题意，得， ， 则复数z的虚部为：， 故选：C． 3．B 【分析】由题意可得，，由，解得，可得，求出渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到． 【详解】由题意可得，，焦点为， 则，解得，又， 则双曲线的渐近线方程为， 则焦点到渐近线的距离为． 故选：B． 4．D 【分析】根据平面向量数量积的运算律和模的定义求解. 【详解】， 所以． 故选:D. 5．D 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】展开式的通项为， 令，解得，所以项的系数是， 故选:D 6．D 【分析】根据指数函数，对数函数的单调性，以及正弦函数的性质求解. 【详解】因为， 所以， 故选:D. 7．A 【分析】由题意得，结合正切定义以及可得，进一步即可求解. 【详解】如图所示： 为准线与轴的交点， 因为，且，所以， 因为，所以， 而，所以， 所以. 故选：A. 8．D 【分析】利用正弦定理边化角，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】在中，由及正弦定理得， 即有，而，于是或，即或， 命题“若，则为等腰三角形”是假命题； 当为等腰三角形时，不一定是，命题“若为等腰三角形，则”是假命题， 所以“”是“为等腰三角形”的既不充分也不必要条件. 故选：D 9．C 【分析】根据图象，结合题意，逐个判断即可． 【详解】①根据图象可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，血液浓度达到最低有效浓度，药物发挥治疗作用，故正确； ②根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后血液浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，故正确； ③根据图象可知，每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使血药浓度大于最低有效浓度，药物持续发挥治疗作用，故正确； ④根据图象可知，首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故错误． 故选：C． 10．A 【分析】先确定MN中点的轨迹为圆，再利用圆上的点到直线的最值求解. 【详解】由题设知，圆C的圆心坐标，半径为1， 因为，所以． 设P为MN的中点，所以． 所以点P的轨迹方程为． 其轨迹是以为圆心，半径为的圆． 设点M，N，p到直线的距离分别为，d， 所以，，， 所以． 因为点C到直线的距离为， 所以，即， 所以．所以的取值范围为．    故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题考查圆的轨迹方程，解决问题的关键是找到动弦MN的中点轨迹为圆. 11． 【分析】直接由指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】由，可得，故解集为. 故答案为：. 12． 【分析】图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的旋转体是圆柱去掉一个半径为1的半球，利用圆柱和球的表面积公式进行计算可得答案． 【详解】图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的旋转体是圆柱去掉一个半径为1的半球， 半球的表面积为， 圆柱的底面半径为1，高为1，所以圆柱的底面面积为π×12＝π，圆柱的侧面积为2π×1×1＝2π， 则所得几何体的表面积为2π＋π＋2π＝5π． 故答案为：5π． 13． 2 【分析】先根据图象求得，再求出函数在区间上的零点． 【详解】由图象得， 所以． 故. 因为点在函数的图象上， 所以， 因此， 又， 所以， 所以函数的解析式为， 令，解得， 因为，故得． 即函数在区间上的零点为． 【点睛】研究函数的性质时，可将作为一个整体，然后结合正弦函数的相关性质求解，解题时要注意的符号对结果的影响． 14． 65 【分析】根据题意，直接计算，然后，因为，利用，进而得到为等差数列，列出通项公式即可求解 【详解】由题意得， 当时，由，可得， 又因为， 所以， 所以当时，数列的各项组成等差数列， 故； 故答案为：①65，② 15．②④ 【分析】结合一次函数与二次函数的性质，利用分段函数的性质与函数的零点逐项判断. 【详解】对于①：当时，， 易知函数在上的最小值为0， 函数，在内单调递增，即， 所以时，函数的最小值为0，故①错误； 对于②：当时，函数，在内单调递减，在内单调递增， 函数的对称轴为，所以在内单调递增， 又，即，解得， 综上可知，当时，在为增函数，故②正确； 对于③：当时， 函数，则，即，存在一个零点； 函数，在内单调递增，与存在一个交点， 又，即，解得或， 于是时，，如下图所示： 综上可知，当时，存在实数b，使得至多有两个零点，故③错误； ④当时， 函数，在内单调递减，在内单调递增， 则与存在两个个交点， 由③知，与存在一个交点，， 又，即，解得或， 于是时，如下图所示： 综上可知，当时，存在实数b，使得有三个零点. 故答案为：②④. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，根据线面垂直的判定定理可证明平面，即可根据下年垂直的性质定理证明结论； （2）选①，可证明，，两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法即可求得答案； 选②，可证明，进而证明，，两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法即可求得答案. 【详解】（1）证明：连接，，    因为和都是等边三角形，故，所以，同理得：， 又因为，平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以. （2）选择①，， 由题意可得，所以，同理得， 则,故，所以， 由（1）可得，所以，，两两垂直， 故以O为坐标原点，以为轴建立如图所示坐标系，    设，则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则可取， 平面的一个法向量可取，可得， 又因为由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 选择②： 由（1）得，，，平面，平面， ，所以， 由题，则， 可得为直角三角形，，设， 所以，，两两垂直， 以O为坐标原点，以为轴建立如图所示坐标系，    则，，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，则可取， 平面的一个法向量，可得， 又因为由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 17．(1) (2)， 【分析】（1）根据勾股定理可得，结合再根据面积公式求解即可； （2）根据等腰三角形性质可得，再用同角三角函数的关系与二倍角公式可得，然后根据，利用两角和的正弦公式求解，由正弦定理求解即可. 【详解】（1）∵，， ，，; （2），，，则. ，， ，， 又，在中， ， 由正弦定理可知，， . 18．(1) (2)分布列答案见解析， (3) 【分析】（1）结合古典概型可直接求解； （2）分别求出三个年级中任选一名体验的学生参加体验戏曲的概率，分析可知随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）结合相互独立事件概率公式求出，即可求解. 【详解】（1）解：由题意知，样本中学生共有人， 其中体验戏曲活动的学生共人， 设事件为“从样本学生中随机选取1名学生，这名学生体验戏曲活动”， 故所求概率为. （2）解：从高一、高二、高三年级的体验学生中各随机选取1名学生， 抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为， 抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为， 抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为， 由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， 所以，， ， ， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 因此，. （3）解：由题可知，，， ，，， 故，所以当取得最大值时，. 19．(1)，. (2)证明见解析. 【分析】（1）由题知,,求得,再由,即可求椭圆的方程与离心率. （2）设的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标，求得坐标，求得直线的方程，分别取得，点坐标，则，，在和中和都与互余，所以. 【详解】（1）椭圆的焦距为，所以，， 又，所以，椭圆的方程是， 离心率为. （2）由（1）得.设的中点为，. 设直线的方程为: ， 将其代入椭圆方程，整理得 ，所以， 所以，，即， 所以直线的斜率是， 所以直线的方程是，令得， 直线的方程是，令得， 由，得直线的斜率是，所以，记垂足为; 因为直线的斜率是，所以，记垂足为. 在和中，和都与互余，所以.    20．(1) (2)答案见解析 (3)存在，的取值范围是 【分析】（1）利用导函数判断的单调性，进而判断零点的情况即可； （2）利用导函数判断在区间的单调性，进而求最值即可； （3）由题意只需即可，利用（2）中结论即，利用导数求的范围即可. 【详解】（1）的定义域为， 当时，，， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又因为当时，，， 所以仅有一个零点，. （2），令，解得， 在区间内， 单调递增 极大值 单调递减 当（即）时，在上单调递减，， 当（即）时，在上单调递增，， 当（即）时，在上单调递增，在上单调递减，． 综上所述，当时，的最大值为，当时，的最大值为，当时，的最大值为. （3）由（2）知在上，， 构造函数，由题意应使， ，令，解得． 1 单调递减 极小值 单调递增 所以， 所以使的实数只有，即的取值范围是． 21．（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）详见解析．（ⅱ）详见解析.（Ⅲ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）当，时，，，，，，．即可得出． （Ⅱ）（i）当时，，2，3，，，又，，，，，，必然有，否则得出矛盾． （ii）由．可得．又，即可得出为定值． （iii）由设，，，，其中，，，2，，．，可得，通过求和即可证明结论． 【详解】（Ⅰ）解：当，时，，，，，． ． （Ⅱ）证明：（i）当时，，2，3，，， 又，，，，，， 必然有，否则，而，与已知对任意，矛盾． 因此有． （ii）． ． ， 为定值． （iii）由设，，，，其中，，，2，，．， ． ． 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 答案第14页，共15页 答案第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$