北京市通州区2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷

通州区2026年高三年级模拟考试 数学试卷 2026年4月 本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（），则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 40 D. 80 4. 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列，则“，（k为常数）”是“为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知直线与圆交于点M，N．当k变化时，的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 等边的边长为6，若，，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 8. 在深度学习模型训练中，模型的训练损失值会随训练轮次增加而逐渐下降．当损失值低于初始损失值的时就要对模型进行调整，假设某深度学习模型的训练损失值（为初始损失值，t为训练轮次，k为衰减系数），已知训练到第10轮时（当 时），训练损失值降至初始损失值的，则训练到第几轮就要对模型调整（参考数据）（ ） A. 24 B. 35 C. 47 D. 100 9. 已知函数（），若存在，使得，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足，给出下面3个结论， ①若为常数列，则； ②当时，总有； ③当时，为递增数列，且存在常数，使得 恒成立． 其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数，则________． 12. 已知直线过抛物线的焦点，则________． 13. 如图某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的高为，则此组合体的体积为________；表面积为________ 14. “垛积术”是我国古代数学的重要成就之一．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中记载了关于“方垛”的描述及计算方法：如图1所示“方垛”，自上而下每层每边物体数依次递增1个，第1层放1个物体，第2层放4个物体，…，第层放个物体，则这层方垛所放的物体总数为．现有某“三角垛”如图2所示，自上而下每层每边物体数依次递增1个，第1层放1个物体，第2层放3个，第3层放6个，第4层放10个，第5层放15个物体，…，则第8层放________个物体，若该三角垛共有层，利用“方垛”的结论，计算该“三角垛”所放物体的总数为________． 15. 已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数．关于有下列四个结论： ①的图象关于对称； ②是周期函数； ③若，则； ④若时，，则函数的零点个数为10． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，． （1）求c的值； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得为钝角三角形，求边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为18． 17. 如图，在三棱锥 中，为边长为的等边三角形， ，，为棱的中点． （1）求证：平面平面 ； （2）棱上（端点除外）是否存在一点，使得平面 与平面 的夹角为．若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 18. 随着人工智能技术的发展，智能体已被广泛应用于处理各类任务．在实际应用中，智能体处理的任务通常会根据内容属性、处理难度、业务场景划分为不同类型．常见的任务类型主要有：基础功能类任务、逻辑推理类任务、内容生成类任务、感知识别类任务、交互协作类任务等．由于模型设计与训练方向不同，不同智能体在处理各类任务时的表现存在一定差异．某人工智能实验室为测评甲、乙两款智能体在逻辑推理类任务（类任务）、交互协作类任务（类任务）中的实际表现，对类、类各项任务开展测试，测试结果如下表： 任务类别 智能体甲 智能体乙 测试任务数量 成功完成的数量 测试任务数量 成功完成的数量 类任务 类任务 假设每次测试结果相互独立，用频率估计概率． （1）分别估计智能体甲、智能体乙成功完成任务的概率； （2）现使用甲、乙两款智能体完成项类任务和项类任务，每项任务仅由其中一款智能体完成，根据两款智能体成功完成不同类型任务的概率，选择概率结果大的智能体完成其擅长的任务类型，估计这项任务中恰有项被成功完成的概率； （3）某企业拟从甲、乙两款智能体中选购一款并获得其使用权，假设该企业所承担的任务中，类任务占比，类任务占比，且两款智能体的购置及使用成本相同，试判断该企业应选购哪款智能体．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线l与椭圆分别交于，两点，已知点，直线与直线交于点．求证：直线的斜率为定值． 20. 已知函数的定义域为R，． （1）求函数的单调区间； （2）判断曲线上是否存在两点P，Q，使得P，Q关于对称，并说明理由； （3）直线是曲线在处的切线，过点A作垂直于的直线，直线，与y轴交点的纵坐标分别为，，求的取值范围． 21. 不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作．例如，，．设函数． （1）已知函数，集合，设为集合中元素的个数． （ⅰ）写出，及数列的通项公式； （ⅱ）对任意正整数，等式恒成立，求所有满足条件的正实数的值． （2）求证：对给定的正整数，当时，对于任意的实数，存在，使得，成立． 通州区2026年高三年级模拟考试 数学试卷 2026年4月 本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】## 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】②③ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1）5 （2）选择条件①或③时，边上的高为；选择条件②时，不满足题意. 【17题答案】 【答案】（1） ∵ 为边长为2的等边三角形，为中点， ∴ ，且. ∵ ，为中点， ∴ ，且 ，故 ， ∴ . ∵ ， ∴ ，故. ∵ ， 平面， ∴ 平面. ∵ 平面 ， ∴ 平面平面 . （2） 由第一小问，以为坐标原点，为轴，为轴，为 轴建立空间直角坐标系， ， ， ， ， . 设 ，则，所以点坐标为 . ∵ ，且 平面 ∴ 平面 ∴平面 的法向量为 . 设平面 的法向量为 ，其中 ， ， ∴ 令 ，代入解得 ， ， ∴. 已知平面 与平面 的夹角为， ∴ 代入数据得 两边约去后平方整理得 ，解得或 . ∵ ， ∴. 因此存在满足条件的点，且. 【18题答案】 【答案】（1）智能体甲成功完成任务的概率为 ，智能体乙成功完成任务的概率为； （2） （3）选购智能体甲。 【19题答案】 【答案】（1） （2）直线的斜率为定值，理由如下： 如图： 当直线与轴重合时， 先取，，则直线：， 所以，； 再取，，则直线：， 所以，. 当直线不与轴重合时，设直线： ，代入椭圆方程 ， 得，整理得：. 设 ， ，则，. 直线：， 令，可得， 即. 所以 . 综上可知，直线的斜率为定值. 【20题答案】 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）存在，理由见解析 （3） 【21题答案】 【答案】（1）（ⅰ）.（ⅱ）满足条件的正实数. （2）证明见解析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $