专题07 函数与导数6个考点（北京专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题07 函数与导数 6大考点概览 考点01 函数及其表示 考点02 函数的基本性质 考点03 指对幂函数 考点04 函数的应用 考点05 导数小题 考点06 导数的综合大题 函数及其表示 考点1 1．（2026·北京西城·一模）记表示不超过实数x的最大整数．设a，b为正整数，函数，给出以下四个结论： ①对于任意的，若，则； ②存在正整数a，b，使得曲线关于坐标原点对称； ③设，则方程有无数个解； ④设，则当时，函数的值域中有且仅有5个元素． 其中，所有正确结论的序号是_________． 2．（2026·北京昌平·一模）设函数若存在最小值，则的一个取值为____，的最小值为_____． 3．（2026·北京石景山·一模）设函数，当时，的值域为______；若方程有两个不同的解，则实数的一个取值可以是______. 4．（2026·北京丰台·一模）函数的定义域为___________． 5．（2026·北京平谷·一模）设，函数若，．当存在最小值时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·北京·模拟预测）对于函数与非零实数，定义函数 给出下列四个结论： ①函数的最小值为； ②若为上的单调函数，则； ③存在非零实数，使得函数有四个不同零点； ④存在不相等的实数，，使得函数为奇函数． 其中所有正确结论的序号为____________． 函数的基本性质 考点2 7．（2026·北京昌平·一模）设函数，则下列结论中正确的是（   ） A．当时，在上单调递减 B．当时，在上存在极值点 C．当时，有最大值，无最小值 D．存在，使得方程在上有且仅有两个不同实根 8．（2026·北京昌平·一模）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·北京海淀·一模）已知函数，则“”是“在上为单调函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2026·北京海淀·一模）若函数是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026·北京海淀·一模）将函数（）的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得图象位于图象的上方，则a的一个取值为______，a的最大值为______. 12．（2026·北京密云·一模）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 13．（2026·北京平谷·一模）已知函数（且），将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 14．（2026·北京门头沟·一模）对于定义域为的函数，令，给出下列四个结论： ①若对于，恒成立，则恒成立； ②若对于，恒成立，则恒成立； ③若是周期函数，则是周期函数； ④若偶函数的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称． 其中所有正确结论的序号是______． 15．（2026·北京门头沟·一模）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 16．（2026·北京房山·一模）设，函数则（    ） A．是偶函数，且有最大值 B．是偶函数，且没有最大值 C．是奇函数，且有最大值 D．是奇函数，且没有最大值 17．（2026·北京朝阳·模拟预测）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 18．（2026·北京密云·一模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，为偶函数； ②当时，对任意，都有； ③当时，在上单调递减； ④存在实数，使得有2个零点. 其中正确结论的序号为__________. 19．（2026·北京延庆·一模）下列函数中，是奇函数且最小正周期为的是（    ）． A． B． C． D． 指对幂函数 考点1 20．（2026·北京朝阳·一模）某深度学习框架提供了一种自然指数衰减的学习率调整模型（，，，），其中为初始学习率，为衰减率，为衰减步长，为训练步数，为第步时的学习率.现有两种学习率衰减策略和，初始学习率相同，策略的参数为，，策略的参数为，.已知当训练步数为时，策略的学习率首次大于策略的学习率的2倍，当训练步数为时，策略的学习率首次大于策略的学习率的8倍，则（   ）（参考数据：） A． B． C． D． 21．（2026·北京西城·一模）设关于x的不等式的解集为P，若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．（2026·北京平谷·一模）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（）（参考数据：） A． B． C． D． 23．（2026·北京门头沟·一模）农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力学模型，可用（，k为正常数）描述，其中C为喷施农药t天后，果蔬表面的农药残留量（单位：mg/kg），某品种有机磷农药的降解速率常数，现测得蔬菜喷施该农药后的初始残留量为8mg/kg，国家食品安全标准规定该农药的残留限值为1mg/kg，则该蔬菜的最短安全采收间隔期为（   ） A．3天 B．6天 C．9天 D．12天 24．（2026·北京房山·一模）年我国新能源汽车产量突破万辆．某车企研发了一款新型电池，使用 年后的容量为，其中为常数．已知该电池使用年后容量衰减为初始时容量的．若要保证电池容量不低于初始容量的，则该电池最长可使用约（    ） （参考数据：，） A．年 B．年 C．年 D．年 25．（2026·北京门头沟·一模）设，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 26．（2026·北京顺义·一模）一般地，用声压级来度量声音的强弱.定义声压级（单位：），其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.若测得交通主干道某时段的实际声压为，声压级大约为.某所图书馆某时段的实际声压为，声压级大约为. 给出下列三个结论： ①； ②； ③若某降噪设备可使交通主干道的实际声压降低到原来的，则声压级减少约为0.92dB； （参考数据：，） 其中正确结论的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 27．（2026·北京丰台·一模）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 28．（2026·北京石景山·一模）设，则（   ） A． B． C． D． 29．（2026·北京延庆·一模）在平面直角坐标系中，若对任意的点（且），都存在（且），使得，且，则（    ）． A． B． C． D． 30．（2026·北京延庆·一模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ）． A． B． C．对任意， D． 函数的应用 考点4 31．（2026·北京·模拟预测）已知函数且为常数，是函数大于0的零点，其构成数列，下列说法正确的有____ ①．函数有且只有一个零点 ②．若函数在区间内均存在零点，则 ③．若，则数列为递增数列 ④．存在实数，使得数列为常数列 32．（2026·北京顺义·一模）顺义区的水稻种植历史悠久，最早可追溯到东汉初年.某农科所在顺义区，两镇分别抽取3块试验田开展水稻种植方式实验.种植方式包括有机种植、机械种植、共生种植三种，测得各试验田的平均亩产量如下表（单位：）： 有机种植 机械种植 共生种植 镇 300 350 425 镇 300 375 400 用频率估计概率. (1)从上述试验田中随机抽取2块，求其平均亩产量均不低于375的概率； (2)从，两镇中各随机抽取1块试验田，设为平均亩产量不低于375的试验田的块数，求的分布列和数学期望； (3)为了评估种植方式的综合效益，农科所进一步统计了三种种植方式在某年度的成本与市场售价： 有机种植：每亩成本约为800元，市场售价约为8元/kg； 机械种植：每亩成本约为500元，市场售价约为5元/kg； 共生种植：每亩成本约为1200元，市场售价约为6元/kg. 假设该年度，两镇有机种植、机械种植、共生种植三种方式的种植试验田面积之比均为，记镇水稻种植试验田每亩平均利润为，镇水稻种植试验田每亩平均利润为，试比较与的大小.（结论不要求证明） 33．（2026·北京顺义·一模）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．（2026·北京丰台·一模）某聚乙烯材料的抗拉强度（单位：）与时间（单位：年）的关系为，其中和是正的常数．已知经过5年，该材料的抗拉强度衰减为原来的一半，则其抗拉强度衰减为原来的大约经过（参考数据：）（   ） A．7.3年 B．11.6年 C．12.5年 D．23.2年 导数小题 考点5 35．（2026·北京丰台·一模）已知函数，其中．给出下列四个命题： ①存在实数，使的值域为； ②存在实数，使有8个零点； ③对于任意实数，存在，使曲线是轴对称图形； ④对于任意实数，存在，使有3个极大值点． 其中所有正确命题的序号是___________． 36．（25-26高三上·北京西城·月考）若函数，则______；函数的零点个数为______． 37．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知，函数，则______；若存在实数k，使得函数恰有四个零点，则a的取值范围为______． 38．（25-26高三上·北京东城·月考）设函数，关于有下列四个结论： ①的导函数为周期函数，且最小正周期为； ②在上单调递增； ③的图象关于对称； ④方程在上有唯一解，则实数a的值为． 其中正确结论的序号为______． 39．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知函数，则 ①当时，函数的零点个数为__________； ②当函数有两个极值点时，的取值范围是__________. 40．（25-26高三上·北京·月考）已知函数， 当时，不等式的解集为_____； 若0是的一个极值点，则的取值范围是_____. 导数综合大题 考点6 41．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知，， (1)当时，讨论的单调性； (2)设，若在上有极值点： ①求的取值范围 ②证明：． 42．（2026·北京·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的极值； (3)已知，函数有两个不同的零点，和一个极值点，记，，，试判断与的大小关系，并说明理由． 43．（2026·北京海淀·一模）设函数（）. (1)当时，求证：直线是曲线的切线； (2)求的单调区间； (3)判断函数是否存在极值.如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由. 44．（2026·北京昌平·一模）已知函数． (1)当时，若曲线在点处的切线与平行，求点的坐标； (2)求证：对于任意的，且，都有； (3)当时，求证：有且只有一个零点，且． 45．（2026·北京西城·一模）已知函数，直线l为曲线在点处的切线．O为坐标原点． (1)求函数的单调区间； (2)设，研究函数的零点个数； (3)若l与x轴、y轴分别交于点A，B，且为等腰直角三角形，求的面积． 46．（2026·北京房山·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，分别讨论函数与在上的单调性； (3)证明：当时，． 47．（2026·北京石景山·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数是上的单调递增函数，求的值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围. 48．（2026·北京平谷·一模）已知函数． (1)当，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求函数极值点的个数； (3)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 49．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数 . (1)若，求函数的极值； (2)若 时，，求a的取值范围； (3)若函数有两个极大值点 ，求 的范围. 50．（2026·北京门头沟·一模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有2个不同的零点，且，求a的取值范围． 51．（2026·北京顺义·一模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，且，求的取值范围. 52．（2026·北京朝阳·一模）已知函数，，其中. (1)求的最大值； (2)若在区间上有且只有一个零点，证明：在区间上有且只有一个零点，且； (3)对于（2）中的，证明：. 53．（2026·北京丰台·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：当时，； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围． 54．（2026·北京密云·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零； (3)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围. 55．（2026·北京延庆·一模）已知函数，，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)是否存在a，使得不等式恒成立，若存在，求出a的所有值；不存在，请说明理由． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数与导数 6大考点概览 考点01 函数及其表示 考点02 函数的基本性质 考点03 指对幂函数 考点04 函数的应用 考点05 导数小题 考点06 导数的综合大题 函数及其表示 考点1 1．（2026·北京西城·一模）记表示不超过实数x的最大整数．设a，b为正整数，函数，给出以下四个结论： ①对于任意的，若，则； ②存在正整数a，b，使得曲线关于坐标原点对称； ③设，则方程有无数个解； ④设，则当时，函数的值域中有且仅有5个元素． 其中，所有正确结论的序号是_________． 【答案】①③ 【分析】根据题意，结合表示不超过实数x的最大整数，函数，以及为正整数，利用函数的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于①，因为表示不超过实数x的最大整数， 由为正整数，若，可得，则， 两式相加得，即，所以①正确； 对于②，当时，； 取，可得， 对于任意，可得， 当时，，可得； 而，显然， 对于任意正整数，取且非整数， 可得，所以， 又由，可得， 可得，此时， 所以不存在正整数，使得曲线关于坐标原点对称，所以②错误； 对于③，当时，， 设，可得， 所以， 令，可得，解得， 当时，可得，可得； 当时，可得，可得； 当时，可得，可得； 当时，可得，可得； 设，由且为整数， 当时，可得；当时，可得； 当时，可得；当时，可得； 所以当且时，满足，此时有无数个解，所以③正确； 对于④，当，且时，可得， 所以， 当时，可得，可得； 当时，可得，可得； 当时，可得，可得； 当时，可得，可得， 所以在上的取值为，共有4个元素，所以④错误. 2．（2026·北京昌平·一模）设函数若存在最小值，则的一个取值为____，的最小值为_____． 【答案】 （答案不唯一，取均可） 【详解】当，函数图像如图所示，不满足题意. 当，函数图像如图所示，符合题意 当，函数图像如图所示，要使函数有最小值，需满足. 所以. 当，函数图像如图所示，不满足题意. 当，函数图像如图所示，要使函数有最小值，需满足. 无解，故不满足题意. 综上所述，的取值范围为，最小值为. 3．（2026·北京石景山·一模）设函数，当时，的值域为______；若方程有两个不同的解，则实数的一个取值可以是______. 【答案】 （只需满足即可） 【分析】当时，化简函数的解析式，分别求出在、上的值域，即可得出函数的值域；分析可知，讨论不符合题意，则，可知函数在、上都单调，分别求出方程在和时的解，可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】当时，， 当时，， 当时，. 故当时，函数的值域为； 由题意可知， 当时，， 当时，由可得， 当时，恒成立，此时无解， 故当时，方程有且只有一个实数解，不合乎题意； 因为函数在上单调递增， 当时，函数在上单调， 因为方程有两个不同的解，所以方程在和时各有一解， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以，解得， 综上所述，. 故实数a的一个取值可以是（只需满足即可）. 4．（2026·北京丰台·一模）函数的定义域为___________． 【答案】 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，结合对数函数的单调性，即可得答案. 【详解】由题意得，则， 因为在上单调递增， 所以，则的定义域为. 5．（2026·北京平谷·一模）设，函数若，．当存在最小值时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析的图象，结合图象可知，要使取得最小值的条件，由此列不等式可得结论. 【详解】依题意，， 当时，，易知其图象为一条端点取不到的单调递增的射线； 当时，，易知其图象是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图象（即半圆）； 因为，设，， 当时，，此时不存在最小值， 当时，，当且仅当为线段与半圆的交点时等号成立， 过点作直线的垂线， 当垂足不在函数的图象上时， 则，此时，不存在最小值， 当垂足在函数的图象上时， ，此时， 当且仅当与重合，为线段与半圆的交点时等号成立， 所以当与重合，为线段与半圆的交点时，存在最小值，最小值为， 因为的斜率为，则， 故直线的方程为， 联立，解得，则， 所以若存在最小值，则，又， 故. 6．（2026·北京·模拟预测）对于函数与非零实数，定义函数 给出下列四个结论： ①函数的最小值为； ②若为上的单调函数，则； ③存在非零实数，使得函数有四个不同零点； ④存在不相等的实数，，使得函数为奇函数． 其中所有正确结论的序号为____________． 【答案】①②④ 【分析】对于①，由题意可得，根据函数性质求解判断；对于②，根据的几何意义，分类讨论求解即可判断；对于③，分，结合函数性质可判断；对于④，假设函数为奇函数，令，根据是偶函数，即可判断. 【详解】函数， 的几何意义为原点与点两点连线的直线， 所以的几何意义就是，当时，就是原曲线； 当时，是与原点连接的一条射线； 对于①，当时，， 当时，在处取得最小值为， 当时，函数单调递增，最小值为， 所以函数的最小值为，故①正确； 对于②，若，则是的真子集， 所以函数在区间上单调递减， 因为，直线也单调递减， 且，，分段点连续，故为上的单调递减函数， 若， 当时，，当时，为一条与轴平行的直线； 当时，，直线单调递增， 所以在上不是单调函数， 所以，若为上的单调函数，则，故②正确； 对于③，函数有四个不同零点等价于有四个解， 当时，，；当时，， 若，左侧最多只有两个解，右侧最多只有一个解， 若，左侧最多只有两个解，右侧最多只有一个解， 故不存在非零实数，使得函数有四个不同零点，故③错误； 对于④，若为奇函数，则， 即， 令，则上式可化为， 因为，所以是偶函数， 不妨取，即可满足，即成立， 所以存在不相等的实数，，使得函数为奇函数，故④正确. 函数的基本性质 考点2 7．（2026·北京昌平·一模）设函数，则下列结论中正确的是（   ） A．当时，在上单调递减 B．当时，在上存在极值点 C．当时，有最大值，无最小值 D．存在，使得方程在上有且仅有两个不同实根 【答案】D 【分析】A选项，直接根据选项区间包含无定义点判断错误；B选项，连续利用导数判断单调性即可得到极值信息；C选项，利用奇偶性判断即可；D选项，对题给区间分段处理，然后从方程出发构造出新的函数，并通过求导判断取值范围，最后综合得到根的个数即可. 【详解】对于A选项，时，应满足即， 由可得， 因为即，所以， 所以，所以在上存在无定义的点，A错误； 对于B选项，当且时， 得到，， 设， 则， 由可知，， 所以，所以在上单调递减， 有，从而， 故在上单调递减，不存在极值点，B错误； 对于C选项，当时，，即在上均有定义， 又因为，所以为奇函数， 那么如果有最大值，就一定有最小值，C错误； 对于D选项，显然方程无解， 当时，令即， 设，则，在上单调递减， 有即，而， 所以存在唯一的，使得，且（否则）， 即方程在上有一个实根； 当时，令即， 设，则， 设，由 可得即在上单调递增，又， 所以存在唯一零点使得， 则在上单调递减，在上单调递增， 而，， 故有，且， 所以，所以存在唯一的使得， 且（否则），即方程在上有一个实根， 综上所述，方程在上有且仅有两个不同实根，D正确. 8．（2026·北京昌平·一模）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A，直接根据反比例函数性质判断；对于B，根据二次函数性质判断；对于C，根据复合函数单调性法则判断；对于D，转化为分段函数，再结合指数函数性质判断. 【详解】对于A，由反比例函数性质知在上单调递增，故错误； 对于B，， 由二次函数性质在上单调递减，在上单调递增，故错误； 对于C，函数在上单调递增，在单调递减， 故由复合函数单调性法则（同增异减）得在上单调递减，故正确； 对于D，， 故函数在上单调递减，在上单调递增，故错误； 9．（2026·北京海淀·一模）已知函数，则“”是“在上为单调函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】取，结合分段函数单调性可判断必要性不成立；分、两种情况讨论，结合分段函数的单调性可判断充分性成立.由此可得出结论. 【详解】若，则， 当时，函数在上为增函数，函数在上为增函数， 又因为函数在上连续，此时函数在上单调递增； 当时，函数在上为减函数，函数在上为减函数， 又因为函数在上连续，此时函数在上单调递减； 所以“在上为单调函数”不能得到“”； 若，当且时， 函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数， 函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数， 又因为函数在上连续，故函数在上为增函数； 当且时，函数、在上均为减函数，则函数在上为减函数， 函数、在上均为减函数，则函数在上为减函数， 又因为函数在上连续，故函数在上为减函数； 故“”“在上为单调函数”. 故“”是“在上为单调函数”的充分不必要条件. 10．（2026·北京海淀·一模）若函数是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义可得出关于的等式，求出实数的值，再结合奇函数的定义域验证即可. 【详解】因为函数是奇函数，则， 即，所以，即， 所以，解得， 当时，，由可得，该函数的定义域为， 此时函数的定义域不关于原点对称，该函数不是奇函数，不符合题意； 当时，，由可得或， 即函数的定义域为或，定义域关于原点对称，符合题意. 综上所述，. 11．（2026·北京海淀·一模）将函数（）的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得图象位于图象的上方，则a的一个取值为______，a的最大值为______. 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先得出变换后的函数解析式，得出对于恒成立，先分、两种情况求出，再检验，时成立，再利用参变分离以及求导求出，时的取值范围. 【详解】由题意可得，平移后的图象的函数解析式为， 因为的函数图象位于图象的上方，所以对于恒成立， 即， 则对于恒成立， 令， 若，则， 则对于恒成立， 因为，所以； 若，则， 则对于恒成立， 因为，所以，故， 当，且时， 则， 由于在上单调递增，所以； 若，则对于恒成立， 令，则， 因为在上单调递减， 所以， 则，则在上单调递增，则， 故，得，则， 因为，所以实数的取值范围为， 故a的一个取值为，a的最大值为. 12．（2026·北京密云·一模）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 【答案】B 【详解】对于A，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得，A错误； 对于B，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得，B正确； 对于C，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得，C错误； 对于D，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得，D错误. 13．（2026·北京平谷·一模）已知函数（且），将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得， 则再将的图象向右平移1个单位长度后所得图象为函数的图象， 由题可知函数图象恰好与函数的图象重合， 所以，即， 又且，所以. 14．（2026·北京门头沟·一模）对于定义域为的函数，令，给出下列四个结论： ①若对于，恒成立，则恒成立； ②若对于，恒成立，则恒成立； ③若是周期函数，则是周期函数； ④若偶函数的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①④ 【分析】根据函数值域判断①；根据已知条件结合函数性质举反例判断②③，根据已知条件和函数的对称性判断④. 【详解】对于①，故对于，因为， 要使恒成立，即且恒成立， 那么恒成立，所以①正确； 对于②，对于，恒成立，即恒成立， 等价于且恒成立， 当时，，但当时，不一定大于， 例如，此时满足， 但不恒大于，所以②错误； 对于③，例如是周期函数， 对于函数， 由可知是偶函数， 故画出它的图象取轴右边部分，再将其右边部分关于轴对称，即可得到图象， 可知不是周期函数（因为不是周期函数）， 所以③错误； 对于④，由为偶函数，得， 由函数的图象关于直线对称得， 从而， 所以， 即的图象关于直线对称，所以④正确. 15．（2026·北京门头沟·一模）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以不是奇函数，即A错误； 对于 B，易知的定义为，定义域关于原点对称， 且满足，因此该函数为奇函数， 又，因此函数在上单调递减，即B正确； 对于C，由正切函数定义可知不在定义域内，因此C错误； 对于D，易知的定义域为，则, 令可得，当时，，当时，， 因此可得函数在上单调递减，在上单调递增， 因此在上不是单调递减的，即D错误. 16．（2026·北京房山·一模）设，函数则（    ） A．是偶函数，且有最大值 B．是偶函数，且没有最大值 C．是奇函数，且有最大值 D．是奇函数，且没有最大值 【答案】B 【分析】根据分段函数节点，结合函数奇偶性的定义分类讨论可以判断函数为偶函数；结合分段函数在不同区间的单调性和最值即可判断是否有最大值. 【详解】函数定义域为，关于原点对称，对任意可得： 若，则，代入得： 若，则，代入得： 若，代入得： 对所有都满足，因此是偶函数. ①当时，，，函数单调递增，因此，开区间取不到，因此无法达到； ②当时，，，函数单调递减， 所以，同理开区间也无法取得； ③当时，，由得：，即，所以中间段最大值也小于, 综上所述，所有函数值都小于，且不存在使得，所以没有最大值. 17．（2026·北京朝阳·模拟预测）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合一次、二次函数，以及指数函数与对数函数的性质，结合复合函数单调性的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，函数在上单调递减，在上单调递增，所以A不符合题意； 对于B，函数，因为函数和在上都是单调递增函数， 所以函数在上是单调递增函数，所以B符合题意； 对于C，函数， 根据指数函数的性质，可得在上单调递减，所以C不符合题意； 对于D，因为函数在上单调递减，且在上单调递增， 根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上是单调递减函数， 所以D不符合题意； 18．（2026·北京密云·一模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，为偶函数； ②当时，对任意，都有； ③当时，在上单调递减； ④存在实数，使得有2个零点. 其中正确结论的序号为__________. 【答案】①②③ 【分析】利用偶函数定义判断①；利用导数确定单调性判断②③；确定零点个数判断④. 【详解】函数的定义域为， 对于①，当时，，，为偶函数，①正确； 对于②，当时，，求导得， 函数在上单调递减，恒有，②正确； 对于③，当时，， 当时，；当    时，， 函数在上单调递减，在上单调递减，因此在上单调递减，③正确； 对于④，函数的零点即为方程的根， 亦即函数的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系内画出函数的图象及直线，如图： 直线过定点，令与函数相切的切点为， 由，求导得，则，解得， 则当时，函数的图象与直线有1个交点； 当时，直线还过点，函数的图象与直线有1个交点； 当时，直线还过点，函数的图象与直线有1个交点， 因此当时，函数的图象与直线有1个交点； 当时，函数的图象与直线没有交点； 当时，由对称性得函数的图象与直线有1个交点， 所以不存在实数，使得有2个零点，④错误. 19．（2026·北京延庆·一模）下列函数中，是奇函数且最小正周期为的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A：因为，为奇函数，且，故A满足条件； 对B：因为为偶函数，故B不满足条件； 对C：因为的最小正周期为，故C不满足条件； 对D：函数不是周期函数，故D不满足条件. 指对幂函数 考点1 20．（2026·北京朝阳·一模）某深度学习框架提供了一种自然指数衰减的学习率调整模型（，，，），其中为初始学习率，为衰减率，为衰减步长，为训练步数，为第步时的学习率.现有两种学习率衰减策略和，初始学习率相同，策略的参数为，，策略的参数为，.已知当训练步数为时，策略的学习率首次大于策略的学习率的2倍，当训练步数为时，策略的学习率首次大于策略的学习率的8倍，则（   ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出不同策略对应的学习率公式，当时，分别列出不等式，结合参考数据，计算后，再根据，求得，进而判断两者关系，即可选择. 【详解】根据题意，策略的学习率，策略的学习率； 当时，由题可知：，即，也即， 两边取对数可得：，故，又，故， 又，且为策略的学习率首次大于策略的学习率的倍，故； 当时，由题可知：，即，也即， 两边取对数可得：，故， 又，故， 又，且为策略的学习率首次大于策略的学习率的倍，故； 故，也即. 故选：A. 21．（2026·北京西城·一模）设关于x的不等式的解集为P，若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为恒成立问题，由对称性求出函数的值域，得到不等式，求出答案 【详解】，即的解集为P，设， 设，由于，故为偶函数， 由对称性可知， 又，故， 因为，，作出函数的图象如下图： 由图可知，要使，只需满足，解得. 22．（2026·北京平谷·一模）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，年臭氧剩一半可得衰减常数，代入臭氧剩的条件，再利用参考数据计算出. 【详解】根据题意，臭氧含量随时间变化的关系为， 已知经过年臭氧含量剩下一半，即， 两边同时取对数得：，所以， 要求臭氧含量剩初始含量的，即，所以，即， 由，，得， 代入得：年， 因此，经过约年臭氧含量只剩下初始含量的. 23．（2026·北京门头沟·一模）农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力学模型，可用（，k为正常数）描述，其中C为喷施农药t天后，果蔬表面的农药残留量（单位：mg/kg），某品种有机磷农药的降解速率常数，现测得蔬菜喷施该农药后的初始残留量为8mg/kg，国家食品安全标准规定该农药的残留限值为1mg/kg，则该蔬菜的最短安全采收间隔期为（   ） A．3天 B．6天 C．9天 D．12天 【答案】C 【分析】根据国家食品安全标准规定得出不等式，再由函数单调性解不等式即可求得结果. 【详解】设该蔬菜的最短安全采收间隔期为天, 依题意可得,其中，， 所以可得，即，解得； 因此该蔬菜的最短安全采收间隔期为9天. 24．（2026·北京房山·一模）年我国新能源汽车产量突破万辆．某车企研发了一款新型电池，使用 年后的容量为，其中为常数．已知该电池使用年后容量衰减为初始时容量的．若要保证电池容量不低于初始容量的，则该电池最长可使用约（    ） （参考数据：，） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】C 【分析】先求出，再根据题意可得，再根据指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】由题意，解得， 要保证电池容量不低于初始容量的， 则，则，所以， 即， 所以， 所以要保证电池容量不低于初始容量的，则该电池最长可使用约年. 25．（2026·北京门头沟·一模）设，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题知，，等价于，即原条件可化简为， 对正数，由基本不等式得，若，则，因此，充分性成立； 取满足，但，即不满足，因此必要性不成立. 综上，是的充分而不必要条件. 26．（2026·北京顺义·一模）一般地，用声压级来度量声音的强弱.定义声压级（单位：），其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.若测得交通主干道某时段的实际声压为，声压级大约为.某所图书馆某时段的实际声压为，声压级大约为. 给出下列三个结论： ①； ②； ③若某降噪设备可使交通主干道的实际声压降低到原来的，则声压级减少约为0.92dB； （参考数据：，） 其中正确结论的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题可根据声压级的定义公式，结合对数的运算性质，分别对三个结论进行分析判断. 【详解】根据声压级定义，可得. 对于①：，①正确； 对于②：,②正确； 对于③：因为，可得， 因为实际声压降低到原来的，可得 所以，则声压级减少约为，③正确 27．（2026·北京丰台·一模）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过比较与的大小关系，结合指数函数，三角函数，对数函数的性质，即可判断. 【详解】，因为在上单调递增，故，故； ，因为，在单调递减，故，故； ，因为在单调递增，故，故； 综上所述：. 28．（2026·北京石景山·一模）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用对数函数的单调性得出，再利用对数的运算性质得出即可. 【详解】，，则， ， ， 则，则. 29．（2026·北京延庆·一模）在平面直角坐标系中，若对任意的点（且），都存在（且），使得，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和列出方程组，利用代入消元法，可得的关系. 【详解】由题意得. 由①得：， 将其代入②得： ， 即. 因为，所以，即. 又，所以. 将其再代入①得： . 因为该式对都成立，所以 . 所以. 30．（2026·北京延庆·一模）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ）． A． B． C．对任意， D． 【答案】D 【详解】对A：当，时，不等式不能成立； 对B：当，时，不等式不能成立； 对C：当时，不等式不能成立； 对D：因为，所以函数在上单调递增，又，所以恒成立.故D正确. 函数的应用 考点4 31．（2026·北京·模拟预测）已知函数且为常数，是函数大于0的零点，其构成数列，下列说法正确的有____ ①．函数有且只有一个零点 ②．若函数在区间内均存在零点，则 ③．若，则数列为递增数列 ④．存在实数，使得数列为常数列 【答案】①③④ 【分析】利用导数判断函数的单调性即可说明①，由单调性可得，即可求出的范围判断②，当时可得，推导出，再利用函数的单调性判断③，设（常数），则对任意，恒成立，解出即可判断④． 【详解】选项①：因为，所以恒成立， 所以在上单调递增， 又时，时， 所以函数有且只有一个零点，①说法正确； 选项②：当时，恒成立，所以在上单调递增， 又，所以若函数在区间内均存在零点， 只需满足即可， 所以对任意成立即可， 而函数在上单调递减，所以， 所以，②说法错误； 选项③：由②的分析可得在上单调递增， 当时，，，所以， 当时， 由于是函数在的零点，所以， 所以，则，数列为递增数列，③说法正确； 选项④：若存在实数，使得数列为常数列，设（常数）， 则对任意，恒成立，故对任意的恒为常数，故或， 当时，代入得解得， 当时，代入得，因，故舍去， 所以当时，数列为常数列，，④说法正确. 32．（2026·北京顺义·一模）顺义区的水稻种植历史悠久，最早可追溯到东汉初年.某农科所在顺义区，两镇分别抽取3块试验田开展水稻种植方式实验.种植方式包括有机种植、机械种植、共生种植三种，测得各试验田的平均亩产量如下表（单位：）： 有机种植 机械种植 共生种植 镇 300 350 425 镇 300 375 400 用频率估计概率. (1)从上述试验田中随机抽取2块，求其平均亩产量均不低于375的概率； (2)从，两镇中各随机抽取1块试验田，设为平均亩产量不低于375的试验田的块数，求的分布列和数学期望； (3)为了评估种植方式的综合效益，农科所进一步统计了三种种植方式在某年度的成本与市场售价： 有机种植：每亩成本约为800元，市场售价约为8元/kg； 机械种植：每亩成本约为500元，市场售价约为5元/kg； 共生种植：每亩成本约为1200元，市场售价约为6元/kg. 假设该年度，两镇有机种植、机械种植、共生种植三种方式的种植试验田面积之比均为，记镇水稻种植试验田每亩平均利润为，镇水稻种植试验田每亩平均利润为，试比较与的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）分别计算总情况数和满足题意的情况数，据此可得概率； （2）由题设可得可为，据此可得分布列及期望； （3）设两地分别有地面积为，由题可得与表达式，据此可得答案. 【详解】（1）由题可得随机拿地的情况有： 种， 平均亩产量均不低于375的情况有种，故相应概率为：； （2）分别从两地拿地有9种情况，将拿地情况用坐标表示， 横坐标表示A地平均亩产数，纵坐标表示B地平均亩产数. 的情况有共2种； 的情况有共5种； 的情况有种，则分布列如下： 0 1 2 期望为： ； （3）设两地分别有土地面积为亩. 对于A地，用于有机种植的地有亩，有机种植总产量为 ， 则有机种植的总利润为：元， 类似可得A地机械种植总利润为：元， A地共生种植总利润为：元， 则A地平均利润为：元； 类似可得B地平均利润为：元. 则. 33．（2026·北京顺义·一模）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，按分段，结合一元二次方程实根分布列式求解. 【详解】方程， 当时，方程为，则，即，当时，方程有且只有一个实根； 当时，方程为，显然是此方程的一个实根， 当时，方程化为，要使方程有4个不同的实数解， 当且仅当方程有两个不同的正根，则，解得， 所以的取值范围是. 34．（2026·北京丰台·一模）某聚乙烯材料的抗拉强度（单位：）与时间（单位：年）的关系为，其中和是正的常数．已知经过5年，该材料的抗拉强度衰减为原来的一半，则其抗拉强度衰减为原来的大约经过（参考数据：）（   ） A．7.3年 B．11.6年 C．12.5年 D．23.2年 【答案】B 【详解】由题意，时，最开始的抗拉强度为， 当时，，则， 令，得，则， 所以，则， 所以，故抗拉强度衰减为原来的大约经过11.6年. 导数小题 考点5 35．（2026·北京丰台·一模）已知函数，其中．给出下列四个命题： ①存在实数，使的值域为； ②存在实数，使有8个零点； ③对于任意实数，存在，使曲线是轴对称图形； ④对于任意实数，存在，使有3个极大值点． 其中所有正确命题的序号是___________． 【答案】②③④ 【分析】举反例判断①，利用函数的性质结合函数图象判断②，对目标函数合理转化并利用轴对称的定义得到判断③，利用导数并结合零点存在性定理得到有2个极小值点，1个极大值点，进而得到的极值点情况判断④即可. 【详解】对于①，令，则，而，故①错误， 对于②，令，可得， 则，若有8个零点， 可得有4个零点， 且也有4个零点， 令，，，此时变为如下， 为， 令， 则研究与以及的交点即可， 如图，作出符合题意的图形， 此时与以及共有8个交点， 即存在实数，使有8个零点，故②正确， 对于③，令， 若曲线是轴对称图形，则是轴对称图形， 设的对称轴是，可得， 而 ， 可得，解得，故③正确， 对于④，由题意得， 当时，，当时，， 而，，， 对于任意实数，只需， 则，，， 结合零点存在性定理得存在作为零点， 且，，， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 可得有2个极小值点，1个极大值点， 又，所以， 有3个极大值点，故④正确. 36．（25-26高三上·北京西城·月考）若函数，则______；函数的零点个数为______． 【答案】 / 【分析】根据解析式求解即可；令，则，则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，作出其大致图象，结合图象即可得解. 【详解】，所以， 令，则， 则函数零点的个数即为函数图象交点的个数， 令， 当时，，则， 所以函数在上单调递增，且， 当时，， 当时，，则， 所以函数在上单调递增，且， 又当时，当时，， 作出函数的大致图象如图所示， 由图可知函数的图象有且仅有一个交点， 所以函数零点的个数为个. 故答案为：， 37．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知，函数，则______；若存在实数k，使得函数恰有四个零点，则a的取值范围为______． 【答案】 0 【分析】利用导数分析函数的单调性，将存在实数，使得方程恰有四个不同的实数解，转化为的图象与有四个不同的交点，分析可得当时，函数的图象与恰有三个交点，即可得到实数的取值范围. 【详解】因为，所以. 函数恰有四个零点，等价于方程恰有四个不同的实数解， 即函数的图象与有四个不同的交点. 当时，， 则， 所以函数在上单调递减； 当时，， 令，所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，且当时，， 所以在上单调递增，且； 所以，当时，函数的图象与最多有一个交点. 所以要想函数的图象与有四个不同的交点， 须使当时，函数的图象与恰有三个交点. 所以. 所以的取值范围为. 故答案为：0；. 38．（25-26高三上·北京东城·月考）设函数，关于有下列四个结论： ①的导函数为周期函数，且最小正周期为； ②在上单调递增； ③的图象关于对称； ④方程在上有唯一解，则实数a的值为． 其中正确结论的序号为______． 【答案】②③④ 【分析】求得，得到的最小正周期为，可判定①不正确；化简得到，可判定②正确；由，可判定③正确；化简函数，令，得到，结合二次函数和余弦函数的性质，可得判定④正确. 【详解】对于①，由， 可得， 因为的最小正周期为，的最小正周期为， 所以函数是周期函数，且最小正周期为，所以①不正确； 对于②，由， 当，可得，则， 所以，所以函数在上单调递增，所以②正确； 对于③，由， 即，所以函数关于对称，所以③正确； 对于④，由， 令，因为时，可得，所以 则，其图象开口向下，对称为， 所以，，且， 如图所示，当时，方程无解， 当时，只有一个解，此时有两个解； 当时，方程有两个解，设两解为，则， 此时有四个解； 当时，方程有一个解，且，此时有两个解； 当时，方程有一个解为，此时只有一个解； 当时，方程无解， 综上可得，方程在上有唯一解，则实数a的值为．所以④正确； 故答案为：②③④ 39．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知函数，则 ①当时，函数的零点个数为__________； ②当函数有两个极值点时，的取值范围是__________. 【答案】 2 【分析】①通过数形结合法求解或分段求解方程； ②先研究函数在哪些位置有可能出现极值点（候选人思维），再列不等式求解. 【详解】①方法一，当时，，， 若时，，函数在上单调递减， 若时，，函数在上单调递增， 又当时，， 当时，，当且时，， 画出函数的大致图象， 如图可知有两个零点； 方法二，当时，， 令，即或，解得， 所以有两个零点； ②对于函数， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数仅有一个极值点，所以函数在时最多有一个极值点， 由一次函数的性质可知函数在时没有极值点， 所以要使有两个极值点，需要是其极值点，且，此时函数在上单调递增，在单调递减，但函数不一定连续，结合极值点定义可得是其极值点还需要（即图象的空心点不高于实心点），即. 令 ，则， 所以在上单调递增（也可以直接利用增函数加增函数为增函数直接看出单调性）. 又因为，所以. 下图为三种情况下的函数图象，可供参考： 当时，如图有两个极值点， 当时，只有一个极值点， 当时，有两个极值点， 故答案为：；, 40．（25-26高三上·北京·月考）已知函数， 当时，不等式的解集为_____； 若0是的一个极值点，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】第一空：分别解指数不等式与一元二次不等式求解即可；第二空：分，，三种情况讨论即可求解. 【详解】第一空：当时，， 当时，由，得，所以，解得，所以； 当时，由，得，所以， 解得，所以； 综上所述：不等式的解集为； 第二空：当时，在上单调递减，在上单调递增， 若0是的一个极值点，则是极大值，所以， 解得，所以， 当时，在上为常数函数，在上单调递增， 故0不是的一个极值点， 当时，在上单调递增，在上单调递增， 若0是的一个极值点，则是极小值， 所以，解得，又，所以； 综上所述：所以的取值范围是. 故答案为：①；②. 导数综合大题 考点6 41．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知，， (1)当时，讨论的单调性； (2)设，若在上有极值点： ①求的取值范围 ②证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）先确定定义域，对求导，分类讨论； （2）①函数化简，确定定义域，在上有极值等价于在上有变号零点； ②方法一：根据极值点的单调性性质结合已知参数范围放缩；方法二：利用极值点条件代换，构造新函数分析单调性. 【详解】（1） 由题意知的定义域为， 当时，， 当时，，则在上单调递减， 当时，由，解得；由，解得. 即在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） ①由题意得，所以的定义域为， 在上有极值点等价于在上有变号零点. 令，即在上有变号零点. 当时，显然在上恒成立，无变号零点，不满足题意； 当时， 在上恒成立，所以在上单调递增， 令，解得，此时在上有唯一零点. ②∵在上单调递增， ∴当时，，即；当时，，即， 故在上单调递减； 在上单调递增，故是的极小值点. 方法一：由上，，∵，∴ 方法二：因， 由，可得，则， 令，显然在上单调递减， 则，即，故． 42．（2026·北京·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的极值； (3)已知，函数有两个不同的零点，和一个极值点，记，，，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)时，无极值；时，的极大值为，无极小值； (3) 【分析】（1）求出，由点斜式求切线方程； （2）求出导数，分和进行讨论，根据导数的符号确定函数的单调区间，从而可得极值； （3）由于，，利用导数证得，，故由零点存在定理有零点，由三角形性质可比较. 【详解】（1）当时，，则， 又， 所以在点处的切线方程为； （2）由，得， 当时，对任意，， 所以在单调递减，无极值； 当时，令，得；令，得． 在单调递增，在单调递减， 函数在处取得极大值，极大值为，无极小值， 综上所述，时，无极值； 时，在处取得极大值，极大值为，无极小值； （3）由，函数有两个不同的零点，和一个极值点， 由（2）知在单调递增，在单调递减， 故为的极大值点， 极大值，令． 则，故在单调递增， 故， 又注意到，故不妨设， 此外， 则，记， 则， 所以在上单调递减，所以， 即，故在单调递减， 故． 由零点存在性定理，知有零点， 则． 设，则为的高且，故. 43．（2026·北京海淀·一模）设函数（）. (1)当时，求证：直线是曲线的切线； (2)求的单调区间； (3)判断函数是否存在极值.如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)当，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 (3)无极值，理由见详解 【分析】（1）代入求导，分析可知当且仅当时，，且，结合导数的几何意义分析证明； （2）求导，分和两种情况，结合导数分析原函数单调性，注意函数定义域； （3）求导，分和两种情况，结合（2）中的单调性以及的符号分析的符号性，即可判断. 【详解】（1）若，则的定义域为，且， 令，可得，解得或（舍去）， 且，则在处的切线方程为， 所以直线是曲线的切线. （2）因为，， 令，解得或， 若，由解得，即的定义域为，且， 当时，；当时，； 可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，由解得，即的定义域为，且， 当时，；当时，； 可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 综上所述：当，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）无极值，理由如下： 因为，且， 若，则的定义域为， 当时，；当时，；则， 且函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则， 即，可知在定义域内单调递增，所以无极值； 若，则的定义域为， 当时，；当时，；则， 且函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则， 即，可知在定义域内单调递增，所以无极值； 综上所述：无极值. 44．（2026·北京昌平·一模）已知函数． (1)当时，若曲线在点处的切线与平行，求点的坐标； (2)求证：对于任意的，且，都有； (3)当时，求证：有且只有一个零点，且． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数几何意义，切线平行于轴即斜率为零，通过解导数为零的方程并结合函数表达式确定点坐标； （2）将分式不等式转化为函数单调性问题，构造函数并利用导数判断其单调性，从而证明原不等式成立； （3）先通过导数分析函数单调性与极值，结合极限与零点存在定理说明唯一零点；再借助函数单调性，将自变量范围比较转化为函数值大小比较，代入后利用已知参数范围证明不等式. 【详解】（1）当时，，求导得， 切线与轴平行，即切线斜率为0，故． 由，得，又， 故点的坐标为． （2）要证对任意且，都有， 等价于证， 令，只需证在上单调递增， 求导得， 令，， 又，则，在区间上单调递增， 即在区间上单调递增，又， ，因此在上单调递增，原不等式得证． （3），求导得， 令，得，又， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 故在处取得极小值，， 当，， 当时，，从而，结合在上单调递减， 可知当时，恒有，故在上无零点； 当时，，又且在上单调递增， 由零点存在定理及单调性知，在上存在唯一的零点， 综上，当，有且只有一个零点. 由于在上单调递增，且，要证， 只需证，      ， 因为，所以，从而，故， 又，所以，从而，得证. 45．（2026·北京西城·一模）已知函数，直线l为曲线在点处的切线．O为坐标原点． (1)求函数的单调区间； (2)设，研究函数的零点个数； (3)若l与x轴、y轴分别交于点A，B，且为等腰直角三角形，求的面积． 【答案】(1)单调递减区间为：，单调递增区间为：. (2)无零点. (3)面积. 【分析】（1）先求定义域，再求导找零点，划分区间判符号，确定单调减区间，再确定单调增区间. （2）提取公因式转化函数，求导找单调性与最小值，判断最小值恒正，推出函数恒正，故无零点. （3）先求切线方程得截距坐标，由等腰直角得边长相等，分类讨论去绝对值，构造函数求零点，算出坐标求面积. 【详解】（1）定义域：，函数求导得. 令，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述, 单调递减区间为：，单调递增区间为：. （2）由题可知， 所以研究函数的零点个数等价于研究的零点个数. ，令得. ，，单调递减； ，，单调递增. 所以函数有极小值同时也为最小值. 故恒成立，所以无零点. （3）函数求导得. 所以，切线：. 化简得. 所以由题可知分别令可得，. 为等腰直角三角形，且，故. 即， 因为，所以化简得. 若 即 . 代入：左边 ,右边 . 此时 都与原点重合,不能构成三角形,舍去. 若两边约去 ,得： 令 ,则 ,方程变为：. 情况1: ,即 , 设 , 时, , , 单调递增. 因为 ,故唯一解 即 ,此时 ,. 等腰直角三角形面积. 情况2: ,即 , 设 , 单调递增; , , 单调递减。 函数 有极大值同时也为最大值 . 所以 恒成立,方程无解. 综上,方程只有唯一解 , , ,面积 . 46．（2026·北京房山·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，分别讨论函数与在上的单调性； (3)证明：当时，． 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减；在上单调递增，在上单调递减． (3)证明见解析 【分析】（1）先求出函数在处的函数值和导数值，再根据点斜式方程求出切线方程； （2）分别对和求导，根据导数与函数单调性的关系判断函数的单调性； （3）构造，通过求导判断其单调性，进而证明不等式． 【详解】（1）由，得， 因为，， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由（1）知， 令，得；令，得．. 所以在上单调递增，在上单调递减. 由，得， 令，得；令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减. （3）因为，所以， ①当时，，由（2）知在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以， ②当时，令， 则，， 由（2）知在上单调递增，所以， 所以， 所以在上单调递减，所以， 即当时， 综上，当时，． 47．（2026·北京石景山·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数是上的单调递增函数，求的值； (3)若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对函数求导，求出切点处的导数值和函数值，进而求得切线方程. （2）若函数单调递增，则其导函数大于等于0恒成立，通过构造新函数，求新函数的最值来确定的值. （3）将转化为关于的不等式，通过构造新函数，求新函数的最值来确定的取值范围. 【详解】（1）对函数求导得，所以. 因为，所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）对函数求导得，因为函数是上的单调递增函数， 所以在上恒成立. 令，则. 当时，，所以，在上单调递增. 又因为，当时，，不满足在上恒成立，所以. 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在处取得最小值. 因为在上恒成立，所以，即. 令，对求导，可得. 令，即，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取得最大值. 因为，且，所以，此时. （3）令，所以原问题变为存在，使得成立， 对求导得，，令. 求导得，当时，， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以，即. 此时不存在，使得成立，不符合题意； 当时，令，则. 当时，；当时，； 当，即时，在上单调递增，所以. 所以在上单调递增，所以，即. 此时不存在，使得成立，不符合题意； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 因为 ，所以在区间上， 因此在上单调递减， 又，故存在，使得，即成立， 综上，所以. 48．（2026·北京平谷·一模）已知函数． (1)当，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求函数极值点的个数； (3)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)2个 (3) 【分析】（1）切线斜率等于函数在该点的导数值，结合点斜式直线方程即可求解； （2）多次求导得函数的单调性，进而求出函数的极值点即可判断； （3）分离参数得在上恒成立，令，多次求导得其单调性，然后求解最值即可． 【详解】（1）当时，，所以． 所以． 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）由，得， 令，则． 当时，，当时，， 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数． 所以的最小值为． ， 又在单调递减，在单调递增， 故存在，使得， 所以，在区间上，在区间上． 所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故是函数的极大值点． 同理：存在，使得， 所以，在区间上，在区间上． 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故是函数的极小值点． 综上：函数极值点有2个． （3）对任意的实数恒成立， 等价于在上恒成立，得， 令，则． 令，则．因为，所以， 所以在上是增函数，所以，所以， 所以在上是增函数，所以的最小值为．所以， 即实数的取值范围． 49．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数 . (1)若，求函数的极值； (2)若 时，，求a的取值范围； (3)若函数有两个极大值点 ，求 的范围. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) (3) 【分析】（1）首先求函数的导数，并求导函数的零点，根据导函数的正负判断函数的单调性，求函数的极值； （2）法1，首先根据，得到命题成立的必要条件，再证明时，不等式成立； 法2，首先利用对称性转化为时，，再分区间讨论函数的单调性，证明不等式； 法3，利用换元，，等价于时，，再根据，讨论的取值，判断函数的单调性，证明不等式； （3）首先根据导函数的零点个数，确定，再转化为在有两个不等实根，再代入韦达定理求得 ，即可求解. 【详解】（1） 时， 令 或（舍去）或（舍去） （0,2） 2 （2,4） + 0 - ↗ 极大值 ↘ 极大值为 ，函数无极小值； （2）法 1： 所以 时， ，所以 ． 当 时， ， ． 综上，的取值范围是 ． 法 2： 因为 ， 所以关于对称， 所以时，等价于时， ． 首先：由时，得 ． 其次：证明时，时， ， 当时，在递增， ． 当时， ① 当，即 时， 递增． ② 当 ，即时， 存在唯一使得 ，即 ． 递增：递减． ③ 当，即时， 递减． 综上，最小值为 ， 因为 ， 所以 时， ． 综上，的取值范围是 ． 法 3：令 ， ． 令 ， 时，，等价于时， ， ． ① 当 时，递增． ② 当 时，存在唯一使得 ． 递增， 递减． ③ 当 时，， 在 上递减，其最小值为 ， 欲满足题意，需 ，即 ， 结合条件，此情况下的范围是 ， 综上时， ， 因为 ， 所以时，，当且仅当 ． 综上，的取值范围是 . （3）当时， 只有一个极值点． 当时， ， 令或 ． 若函数有两个极大值点， 则在有两个不等实根 ， 所以 ，且 ． + 0 - 0 + 0 - ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 由表可知，函数 的两个极大值点为 ，极小值点为 ， ，， 50．（2026·北京门头沟·一模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有2个不同的零点，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)时，单调递减区间为，无增区间； 时，单调递减区间为，单调递增区间为. (3) 【分析】（1）根据导数几何意义求切线即可； （2）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （3）易知一个零点是，结合与（2）所求的单调性，讨论，与即可求出的范围. 【详解】（1）当时，，，切点为， ，切线斜率，因此切线方程为. （2）， 当时，，故恒成立，因此 在R上单调递减，无单调递增区间； 当时，令，得，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 综上所述，时，单调递减区间为，无增区间； 时，单调递减区间为，单调递增区间为. （3）由（2）可知当时单调递减，仅1个零点，不符合题意，故； 当时，由（2）知最小值为， 令，，令，解得， 所以当，，单调递增； 当，，单调递减， 所以，故， 故，要保证存在两个根，则且，即. 注意到对任意，，即恒为的一个零点， 因此有两个不同零点且等价于存在另一个零点，且， 当时，根据单调性可知，极小值点，且，解得； 当时，根据单调性可知，极小值点，且，解得， 综上的取值范围是. 51．（2026·北京顺义·一模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出曲线在给定点的切线斜率列方程求解即得； （2）将函数求导后，根据参数的取值进行分类，判断导函数的符号，即可确定函数的单调性； （3）由（2）的结论分析得，易得，设，则有，计算并化简得，设，求导分析其单调性可得，再由，利用函数单调性即可求得答案. 【详解】（1）由求导得， 依题意，，解得 （2）因函数的定义域为， ， 当时，，当时，，当时，， 即此时函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，若，恒成立，则，即函数在上单调递减； 若，由解得， 由可得，由可得或， 即函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，由可得，由可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）分析可知，存在两个极值点，则 此时是方程的两个实根，则. 由 ， 设，则，将代入，化简得，， 则，， 设，则，故函数在上单调递增， 由题意，，且，即有，故可得， 又因，函数在上单调递增，故， 又因，故得. 52．（2026·北京朝阳·一模）已知函数，，其中. (1)求的最大值； (2)若在区间上有且只有一个零点，证明：在区间上有且只有一个零点，且； (3)对于（2）中的，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用导数求出函数的最大值. （2）利用导数确定函数的单调性，再利用零点存在性定理推理得证. （3）结合（2）的结论，等价变形所证不等式，构造函数，再利用导数证得即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 所以当时，函数取得最大值. （2）当时，由，求导得，函数在上递增， 而，又在区间上有且只有一个零点，则， 因此，且， 由（1）知，函数在上递减，， 因此函数在区间上有且只有一个零点，且，又函数， 且， 因此，又当时，，， 所以，即. （3）由（2）得，即， 不等式， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数在上递增，则，即，函数在上递增， 因此，即，所以. 53．（2026·北京丰台·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，证明：当时，； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）利用导数的几何意义可求切线方程； （2）求出，令，利用导数可证，从而可得的单调性，故可证； （3）原不等式有解即为存在，使成立，，就、结合导数分类讨论可求参数的取值范围. 【详解】（1）时，，所以，故 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）． 令，则． 因为，所以当变化时，的变化情况如下表： 0 增 极大值 减 所以． 由，可知在上单调递减， 所以. （3）由题意，存在，使成立， 即存在，使成立， 即成立． 令， 则． ①当时，在上，故在单调递增， 所以，不合题意． ②当时，令． 因为，所以在单调递增， 又因为， 所以存在，使． 所以当变化时，的变化情况如下表： 0 0 减 极小值 增 ，取，故在上有解， 综上，的范围是. 54．（2026·北京密云·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若4是的极小值点，证明此时的极大值小于零； (3)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义及直线的点斜式方程求解即可. （2）根据4是极小值点求出，结合导数与单调性、极值的关系求出极大值，进一步证明即可. （3）在定义域内单调递增即在定义域内恒成立，结合分离常数法及基本不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，则，， 所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即. （2）函数的定义域为，. 因为4是的极小值点，所以，即，解得. 当时，，， 令，则，解得或. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极大值，， 故此时的极大值小于零. （3）因为在定义域内单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 在上恒成立，也即在上恒成立. 又，当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数的取值范围为. 55．（2026·北京延庆·一模）已知函数，，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)是否存在a，使得不等式恒成立，若存在，求出a的所有值；不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线在点处的切线方程. （2）利用导数，分情况讨论，求函数的单调性. （3）设，问题转化为在其定义域上恒成立，求的值. 【详解】（1）当时，. 因为， ，所以， 所以曲线在点处的切线方程为：即. （2），. 当时，由 ，此时，函数在上单调递减； 当时，由 ， 此时由 ，由 . 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上可知，当时，函数在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）设，问题转化为在其定义域上恒成立，求的值. 因为 . 若，则函数的定义域为，此时，即， 所以在上单调递增. 因为 . 设，. 则. 由 ；由 . 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 所以恒成立，所以在不可能恒成立. 若，则函数的定义域为，此时， 由 ，由 . 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 要想在上恒成立，需要. 设，. 则. 由 ，由 . 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 即当时，. 所以为所求. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $