专题06 平面解析几何6个考点（北京专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题06 平面解析几何 6大考点概览 考点01直线方程与圆的方程 考点02椭圆方程及其性质 考点03双曲线方程及其性质 考点04抛物线方程及其性质 考点05圆锥曲线综合 考点06圆锥曲线新定义 直线方程与圆的方程 考点1 1．（2026·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆C的圆心和半径，根据数量积的几何意义，可得，进而可得点P的轨迹方程，根据直线恒过定点，结合点与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】圆C的方程变形为，圆心，半径， 又，， 所以，即在方向上的投影为， 所以，又，所以， 则点P的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆， 又直线恒过定点， 所以， 则P到直线的距离的最大值为. 2．（2026·北京石景山·一模）直线与圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由圆的标准方程得到圆心和半径，再根据圆的半径、圆心到直线的距离、半弦长的关系求解. 【详解】由，可得标准方程：， 则圆心坐标为，圆的半径. 由直线的方程为，得圆心到直线的距离：， 所以. 3．（2026·北京顺义·一模）已知直线与圆交于两点.若圆弧的长恰为圆周长的，则________. 【答案】或 【分析】根据题意，得到，取的中点，得到，且，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 因为直线与圆交于两点，且圆弧的长恰为圆周长的， 如图所示，可得，即为等腰直角三角形， 取的中点，连接，可得， 因为，可得，即圆心到直线的距离为， 所以，解得或. 4．（2026·北京密云·一模）已知直线与相交于点，直线与圆交于两点，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】先确定点的轨迹，再确定线段中点的轨迹，将问题转化为两圆上两点的距离问题求解. 【详解】直线：，所以直线过定点； 直线：，所以直线过定点. 又，所以. 所以点的轨迹是以线段为直径的圆. 因为的中点为，， 所以点的轨迹方程为：. 因为直线与圆交于两点，且， 所以圆心到直线的距离为1，设的中点为，则. 如图： ，且, 所以，即的最大值为. 5．（2026·北京延庆·一模）三角形的重心是指三角形三条中线的交点，垂心是指三条高的交点，且已知三角形的重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则圆M上的点到直线的距离的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在中，，所以边上的高线和中线合一，则其“欧拉线”为边的垂直平分线， 因为点，点，， 因为直线的斜率为，所以的垂直平分线的斜率为， 所以的垂直平分线方程为，即， 因为“欧拉线”与圆相切，所以圆心到“欧拉线”的距离为，即， 圆心到直线的距离为， 由圆的对称性可知，圆M上的点到直线的距离的最小值为. 6．（2026·北京昌平·一模）已知圆与抛物线的准线的一个交点为（A在x轴上方），点关于轴的对称点在抛物线上，则_____；若直线上存在点，使得，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】由抛物线的准线方程为，则可设交点， 因为点在圆上，所以， 又点关于轴的对称点，代入抛物线方程得， 将代入可得：， 因为，所以解得，，    由题意，则可得，， 因为，则在以为直径的圆上， 所以该圆圆心为，半径，圆方程为， 由直线上存在满足条件的，等价于该直线与圆有公共点， 即圆心到直线的距离不大于半径：， 解得，即的取值范围为. 7．（2026·北京海淀·一模）已知平行四边形的两个顶点为，另两个顶点在圆上.对于给定的t，若这样的平行四边形有且只有一个，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合圆的性质，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】由圆，可知圆心为，半径为，可得直径， 又由点，，可得， ①当， 若以为平行四边形的一边时， 如图所示，作与直线平行的直线，使得截得的弦长为， 此时存在两条直线与圆相交，可构成两个平行四边形，不符合题意； 若以为平行四边形的一条对角线时，可得的中点， 过点作直线的垂线，此直线与圆有两个公共点，如图所示， 此时点分别是和的中点，所以四边形为平行四边形， 综上可得，此时构成的平行四边形的个数为3个，不符合题意； ②当，此时为平行四边形的对角线， 要使得这样的平行四边形有且只有一个，则满足且点在圆内， 由，可得，解得或， 又由在圆内，可得，整理得，解得， 所以，所以实数的取值范围为. 8．（2026·北京房山·一模）已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，由可得点轨迹为圆，结合极化恒等式可得，再结合点和圆的位置关系求解范围即可. 【详解】如图所示， 由得，是直角三角形，斜边，取中点， 根据直角三角形斜边中线性质，可得， 即在以原点为圆心、半径的圆上. 根据向量极化恒等式，对任意，为中点， 有 ，代入，得： 因为，在为圆心、半径1的圆上， 所以的范围是：， 即， 故. 9．（2026·北京朝阳·一模）已知抛物线，则的准线的方程为______；若圆分别与直线和轴都相切，且圆心在上，则圆的半径为______. 【答案】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程，设出圆心坐标，根据题意列方程求出圆心坐标，半径即为圆心到轴的距离. 【详解】由抛物线可知的准线的方程为， 因为圆心在上，设圆的圆心坐标， 又因为圆分别与直线和轴都相切， 所以，解得或， 所以圆的半径. 10．（2026·北京朝阳·一模）已知点，点（，）为圆：上的动点，若，则的一个取值为______. 【答案】 (区间内的值都对) 【详解】设，已知点，则， 点（，）为圆：上的动点， 当时，，此时， 由，得. 11．（2026·北京房山·一模）若直线是圆的一条对称轴，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上， 所以，解得． 12．（2026·北京丰台·一模）在平面内，为的中点，动点满足，动点满足，则的最大值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据化简整理得出，由此将化简，可得．根据且，得到点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点），以B为原点建立直角坐标系，求出所在圆的方程，设出点A的坐标，根据向量数量积的坐标运算法则与圆的性质求出的最大值即得． 【详解】由，得，即， 所以． 因为，，所以点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点）． 设所在圆的圆心为，连接，则，， 则，． 以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得， 则圆的方程为， 设，则，结合， 可得， 因为A点在圆上运动，则， 故当时，取得最大值为. 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 13．（2026·北京·模拟预测）直线与圆交于，两点，若是，的等差中项，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】由等差中项的条件确定直线过定点，且定点在圆内，所以时，的值最小. 【详解】由题意得，即，直线， 整理得，令，解得，故直线过定点， 设圆的圆心为，半径， 且圆心到的距离， 定点在圆内，所以当时，的值最小， 即. 14．（2026·北京平谷·一模）已知直线与圆相切，并且圆过点，则的最小值是______． 【答案】2 【分析】根据题意，得到，且，联立方程组，求得，由，得到，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为 因为直线与圆相切，可得， 又因为圆过点，可得， 所以，可得，解得， 因为，可得，所以， 又因为，所以当时，取得最小值，最小值为. 椭圆方程及其性质 考点2 15．（2026·北京顺义·一模）若双曲线：与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】对椭圆，因为，且，所以椭圆的焦点坐标为. 对双曲线： ，其中，所以，. 又椭圆与双曲线焦点相同，所以. 所以双曲线的离心率为：.故选项C正确. 16．（2026·北京房山·一模）如图，在正方体中，，点满足，为的中点，给出下列四个结论： ①若，则点的轨迹的长度为； ②若，则点的轨迹的长度为； ③若，则的最小值为； ④若，则的最小值为. 其中正确结论的序号是____． 【答案】①②③ 【分析】由题意可得在四边形边界及其内部；对①：由正方体性质可得平面，结合中点在平面内，可得点的轨迹为四边形边界及其内部与平面交线，即为线段，计算即可得；对②：由正方体性质可得平面，则点的轨迹为四边形边界及其内部与平面交线，即为线段，其中为中点，解出即可得；对③：利用椭圆定义可得点的轨迹为椭圆与长方形边界及内部相交部分，计算即可得解；对④：利用双曲线定义可得点的轨迹为双曲线右支与长方形边界及内部相交部分，计算即可得解. 【详解】由，则在四边形边界及其内部； 对①：由，，，、平面， 可得平面，又中点在平面内， 则平面内任一点到点与点距离相等，又在四边形边界及其内部， 则当时，点的轨迹为四边形边界及其内部与平面交线， 即为线段，又，故点的轨迹的长度为，故①正确； 对②：由，，，、平面， 可得平面，又平面，故， 由①知平面，又平面，故， 又，、平面，故平面， 若，则点的轨迹为四边形边界及其内部与平面交线， 即为线段，其中为中点，， 即点的轨迹的长度为，故②正确； 对③：若，由， 则点轨迹为以、为焦点的椭圆一部分， 以为原点建立如图平面直角坐标系， 则该椭圆方程为， 点的轨迹为该椭圆与长方形边界及内部相交部分， 设，则有，， 则， 即的最小值为，故③正确； 对④：若，由， 则点轨迹为以、为焦点的双曲线右支一部分， 以为原点建立如图平面直角坐标系， 则该双曲线方程为， 点的轨迹为该双曲线右支与长方形边界及内部相交部分， 由双曲线性质可得，当为右顶点时，有最小值， 即的最小值为，故④错误. 双曲线方程及其性质 考点3 17．（2026·北京昌平·一模）已知双曲线的离心率为，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为方程表示双曲线，所以. 所以方程可化为：，表示焦点在轴上的双曲线. 所以，， 由 . 18．（2026·北京西城·一模）若圆锥曲线的焦距为4，则其离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆锥曲线，可知， 则，所以，曲线为双曲线， 所以焦距为， 解得，则， 所以离心率. 19．（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程和几何性质求解即得. 【详解】因为双曲线的焦点为和，虚半轴长为， 所以设双曲线方程为：，其中， 因为，所以， 所以双曲线方程为：. 20．（2026·北京门头沟·一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由题知，双曲线焦点位于x轴上，故， 渐近线方程为， 而已知双曲线的一条渐近线方程为， 故，解得. 21．（2026·北京朝阳·一模）设点为坐标原点，过双曲线的右焦点作其一条渐近线的垂线，垂足为点，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】如图所示，由双曲线方程可知，， 则其右焦点的坐标为，渐近线方程为， 取其中一条渐近线，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为， 则右焦点到该渐近线的距离为，且为直角三角形，， 所以， 因此. 22．（2026·北京平谷·一模）已知双曲线的离心率是2，则（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【详解】已知双曲线方程为，则， ， ，解得． 23．（2026·北京延庆·一模）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据离心率确定的关系，再求双曲线的渐近线方程. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以 . 所以双曲线的渐近线方程为：. 24．（2026·北京海淀·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______. 【答案】7 【分析】根据方程可得，结合双曲线的定义运算求解. 【详解】由题意可知：，，则， 由双曲线定义可得，即， 解得或（舍去）， 且，符合题意， 所以. 抛物线方程及其性质 考点4 25．（2026·北京西城·一模）设抛物线的准线为l，为C上一点，则P到l的距离为______． 【答案】 【分析】根据题意，利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点为，准线方程为， 因为为C上一点， 根据抛物线的定义，可得点到准线距离为. 26．（2026·北京门头沟·一模）已知抛物线的焦点到其准线的距离为，点在上，若，则点的横坐标为________． 【答案】6 【详解】由题知抛物线的焦点F到其准线的距离为2，故， 而点在上，，根据抛物线定义可知到准线的距离，解得. 27．（2026·北京延庆·一模）已知抛物线上一点到焦点的距离为4，则______． 【答案】 【分析】利用焦半径公式求，再利用抛物线的方程求. 【详解】由题意 . 所以 . 28．（2026·北京海淀·一模）抛物线的焦点为F，点A在W上，且，则线段中点的横坐标为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据方程可得焦点和准线，结合抛物线定义可得，即可得结果. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 设，则，解得， 所以线段中点的横坐标为. 29．（2026·北京房山·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的焦点，设， 由，得，解得，因此轴， 由对称性得，所以. 30．（2026·北京顺义·一模）已知抛物线：的焦点为，.若上存在点，使得，且的面积为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题设，图形结合抛物线定义可得关于的表达式，据此可得答案. 【详解】由题可得，则，从而. 又抛物线准线为，过A作准线垂线，垂足为， 由抛物线定义可得，则， 从而. 圆锥曲线综合 考点5 31．（2026·北京昌平·一模）已知椭圆的焦点是长轴的四等分点，点和点都在椭圆上，直线与轴交于点． (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，理由见解析 【分析】（1）根据条件列方程组即可； （2）求出直线的方程，进而得出的坐标，利用求出. 【详解】（1）由题意得，，，则， 则椭圆的方程为； （2）因为在椭圆上，且点与点关于轴对称， 所以，， 则直线，令，则，则， 直线，令，则，则， 设，则， 因为，所以，得， 因为，所以，故. 32．（2026·北京海淀·一模）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点和上顶点构成的三角形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，为第一象限内上的动点，点在直线上，且.过作的垂线交直线于，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）求出直线的方程，可得出直线的方程，可得出点的坐标，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，求出点的坐标，可得出的值；在直线的斜率存在时，求出直线的斜率，可得出直线的方程，可求出点的坐标，再利用两点间的距离公式可求出的值. 【详解】（1）由题意可知椭圆的左、右焦点和上顶点构成的三角形面积为， 由已知条件可得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）因为点在第一象限，所以直线的方程为， 因为，所以直线的方程为， 因为点在直线上，所以点， 若直线的斜率不存在时，轴，则，即， 即，解得（舍）或，此时， 所以直线的方程为，直线的方程为，则，此时； 当直线的斜率存在时，， 因为，所以， 联立，得， 则，则， 所以 ， 所以. 综上所述，. 33．（2026·北京西城·一模）已知椭圆的右顶点为A，下顶点为B，左右焦点分别为，且，圆经过点B．O为坐标原点． (1)求椭圆E的方程； (2)设圆W的切线与椭圆E相交于C，D两点，点在直线上，且满足，过Q作轴于点P，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见详解. 【分析】（1）根据已知直接求出即可； （2）将问题转化为证明，设出直线方程，结合，用表示出点坐标，然后代入椭圆方程求解即可得证. 【详解】（1）因为圆经过下顶点，所以， 又，所以，所以， 所以椭圆E的方程为. （2）由（1）知， 要证，只需证，即，得， 又，所以只需证. 设，因为，所以， 当直线的斜率不存在时，易知其方程为，则， 因为，，所以 将代入得，代入得. 当直线的斜率存在时，设其方程为，易知， 则，代入，得：， 整理得， 又圆与直线相切，所以， 所以，， 因为点在椭圆上，所以， 整理得， 又，所以， 由，解得. 综上，，即可得证.    34．（2026·北京门头沟·一模）已知椭圆的离心率为，以椭圆E的短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为8． (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，过点（）且不与y轴平行的直线l与椭圆E交于不同的两点A、B，点B关于x轴的对称点为C，直线AC与x轴交于点D，设和的面积分别为，，当时，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用题设条件列出方程，求出，即得椭圆的方程； （2）先设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两点坐标的关系，再求出直线的方程，进而得到的坐标，最后计算​，通过进而求出的值. 【详解】（1）已知椭圆，离心率， 以短轴端点和焦点为顶点的四边形是菱形，边长均为， 周长为，得，因此​， 由椭圆关系，故椭圆的方程为 . （2） 设直线的方程为，，，则， 联立直线与椭圆方程： ，整理得， 由韦达定理得： ， 根据两点式得直线的方程为，令，得 ， 将代入点横坐标， 化简得 即， ， ， 由题知，故， 化简得，又，所以，解得. 35．（2026·北京房山·一模）已知椭圆：的离心率为，分别是的上、下顶点，分别是的左、右顶点，且．设为椭圆上的动点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线与的夹角为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆基本量关系，由已知条件列方程求解； （2）坐标法 + 斜率验证，通过 “设点→求线→求交点→算斜率→证垂直” 完成证明． 【详解】（1）由且是左右顶点，得，即， 由离心率，代入，得， 由，得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）如图，作出符合题意的图形， 由在椭圆上，得， 依题意可得直线的斜率存在，设的方程为，则， 由，得， 由，得， 由，得， 解得，， 设，由，得， 直线的方程分别为，， 因为点不在直线上，所以， 由，得， 所以， 所以，因为，所以轴， 又直线的斜率为， 所以直线与直线的夹角的大小为，为定值． 36．（2026·北京朝阳·一模）已知椭圆：（）的离心率为，，分别为椭圆的上、下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)过点的斜率存在且不为1的直线与椭圆交于不同的两点，（均不与点重合），点与点关于原点对称，直线与直线交于点.求证：直线经过点. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率公式求出即可. （2）设点，求出直线的方程及点的坐标，再设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量共线的坐标表示推理得证. 【详解】（1）由椭圆：的下顶点为，得， 由的离心率为，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，点，则点， 直线的方程为，直线的方程为，联立解得点， 由消去得， 则，， 而点，则， ， 即，又有公共点，则点三点共线， 所以直线经过点. 37．（2026·北京石景山·一模）已知椭圆的左顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右顶点，为椭圆上异于A，B的任意一点，直线，分别与直线交于M，N两点，直线与椭圆的另一个交点为.求证： ①； ②直线恒过定点. 【答案】(1) (2)①证明见详解，②证明见详解 【分析】（1）根据题意，列出的方程组求解； （2）①设，求出直线，的方程，进而求得点的坐标，验证，得证；②当直线的斜率不存在时，由对称性可求得点的坐标，得出直线的方程，当直线的斜率存在时，设其方程为，，联立直线与椭圆的方程，可得根与系数关系，结合，运算得关系，得证. 【详解】（1）由题可得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）①由已知得，设，则，即， 所以，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 在上面两方程中分别令，得，， 所以，， ，即. ②当直线的斜率存在时，设其方程为，， 则，消去整理得， 所以，，， 由，得，即， 因为，， 所以，又， 所以， 即， 所以，化简得， 即，解得或， 所以直线的方程为或（舍）， 所以直线的方程为，过定点； 当直线的斜率不存在时，由对称性可得直线的斜率为，其方程为， 代入椭圆的方程，得，解得或， 所以，此时直线的方程为，满足题意， 综上所述，直线恒过定点. 38．（2026·北京顺义·一模）已知椭圆：的左右顶点为，，，焦距为. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，是上不同于，的一点，的中点为，直线与直线交于点，直线与交于点.是否存在点使得直线平行于直线成立?说明理由. 【答案】(1)； (2)不存在满足条件的点，理由见解析； 【分析】（1）根据椭圆性质得到，再利用椭圆中的关系，就能求出，进而得到椭圆的方程； （2）先设出点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，求出直线的方程，令就能得到点的坐标，求出直线的方程，然后分别求出直线和直线的斜率，若两直线平行则斜率相等，可求出点的坐标，将其与椭圆方程联立，据此建立方程，判断方程是否有解. 【详解】（1）由椭圆性质，左右顶点距离，得； 焦距，得； 由椭圆关系， 因此椭圆的方程为：； （2）不存在满足条件的点， 理由如下：由题意得，设， 中点坐标为，直线的斜率方程为，令得， 直线的斜率方程为， 若，则，而，故， 将代入化简得：， 因为在椭圆上，代入椭圆方程，结合在椭圆上满足，化简最终得：， 此时与重合，不符合“不同于”的条件，因此不存在满足条件的点. 39．（2026·北京丰台·一模）已知椭圆，椭圆上一点到两焦点的距离之和为． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点．若直线与直线的斜率之和为0，求直线的方程． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意寻找方程，求解基本量 （2）设直线方程，引入参数，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入斜率之和为零的等式中计算未知数的值即可 【详解】（1）由题意，得，解得， 故． 代入点，得，解得， 故． 由，得，故离心率. （2） 设直线的方程为，由题意可知存在且． 联立消去，得， 设， 则， 由韦达定理，得． 由已知，得， 所以． 整理得． 代入得． 解得，符合． 所以直线的方程为，即. 40．（2026·北京密云·一模）已知椭圆 ，过点，焦距为. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同两点（，异于椭圆的顶点）.判断光线经过轴反射后是否经过点？说明理由. 【答案】(1)， (2)光线经过轴反射后经过点 【分析】（1）由已知条件列出关于方程组求出即可求解. （2）先表示过点的直线的方程，与椭圆方程联立，由韦达定理得、，计算求解即可. 【详解】（1）由题可得， 椭圆的方程为， 所以椭圆的离心率. （2）如图 为椭圆的右焦点， ， 设，， 设过点的直线的方程为， 将直线方程与椭圆方程联立得， 展开并整理得， 则即， 且，， ， 光线经过轴反射后经过点. 41．（2026·北京平谷·一模）已知椭圆的离心率为，右顶点为，左焦点为，且． (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，且点在第一象限内，直线，过点且平行于的直线交轴于点，直线交轴于点，点为线段的中点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用离心率和的几何意义，结合椭圆中的基本关系，联立方程组即可求出，进而得到椭圆方程； （2）法一：先通过直线和的方程求得点和的坐标，再借助两点间距离公式得到，再由条件为线段的中点即可得结论; 法二：先通过直线和的方程求得点和的坐标，再由条件为线段的中点得到点的坐标，最后得出即可得结论. 【详解】（1）由题意，解得． 所以椭圆的方程为． （2） 依题意，，因为点是椭圆上一点，可得，且， 直线的斜率，直线的方程为， 令，得． 直线的斜率为，直线方程为， 令，得． 法一：因为， ， 所以，所以三角形为等腰三角形，因为点为底边的中点， 所以． 法二：点为线段的中点，，所以， 所以， ，所以，所以． 42．（2026·北京延庆·一模）已知椭圆与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），且，椭圆的离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C交于不同两点M，N，直线与直线交于点G．设与的面积分别为，，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) ，证明见解析 【分析】（1）根据离心率和的值，可求，可得椭圆的标准方程. （2）将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，可得和，求直线与的交点的坐标，再求直线与的交点的坐标，判断该点与点重合，可得三点共线，即可得 . 【详解】（1）因为，所以， 又因为椭圆的离心率为，所以，又， 所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）如图： 将代入，得， 整理得：. 由 . 设，，则，. 所以直线的方程为：，令，则，即. 直线的方程为：，令，则， 即直线与直线的交点为. 因为 ， 因为 . 所以点与点重合. 故三点共线，所以，即. 圆锥曲弦新定义 考点6 43．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“对应点”为，当是原点时，定义的“对应点”为它自身：将曲线上所有点的“对应点”构成的曲线定义为曲线的“对应曲线”.现有下列命题： ①若点的“对应点”是点，则点的“对应点”是点； ②单位圆的“对应曲线”是它自身； ③直线的“对应曲线”一定是直线. 其中正确命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据对应点的定义对三个命题逐一判断. 【详解】对于①：设不是原点，则，记， 则，其中，计算的对应点： . ，即，不是，所以①错误； 对于②：单位圆上的点满足，因此对应点为. 对，有，说明仍在单位圆上； 反之，单位圆上任意点，则点在单位圆上. 因此单位圆的对应曲线就是单位圆本身，所以②正确； 对于③：取直线（平行于轴的直线），设其上点，对应点为. 令，消去：. 整理得，即，这是圆，不是直线，所以③错误. 所以正确命题的个数只有②一个. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平面解析几何 6大考点概览 考点01直线方程与圆的方程 考点02椭圆方程及其性质 考点03双曲线方程及其性质 考点04抛物线方程及其性质 考点05圆锥曲线综合 考点06圆锥曲线新定义 直线方程与圆的方程 考点1 1．（2026·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·北京石景山·一模）直线与圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C．2 D．4 3．（2026·北京顺义·一模）已知直线与圆交于两点.若圆弧的长恰为圆周长的，则________. 4．（2026·北京密云·一模）已知直线与相交于点，直线与圆交于两点，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．（2026·北京延庆·一模）三角形的重心是指三角形三条中线的交点，垂心是指三条高的交点，且已知三角形的重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则圆M上的点到直线的距离的最小值为（    ）． A． B． C． D． 6．（2026·北京昌平·一模）已知圆与抛物线的准线的一个交点为（A在x轴上方），点关于轴的对称点在抛物线上，则_____；若直线上存在点，使得，则的取值范围为______． 7．（2026·北京海淀·一模）已知平行四边形的两个顶点为，另两个顶点在圆上.对于给定的t，若这样的平行四边形有且只有一个，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·北京房山·一模）已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·北京朝阳·一模）已知抛物线，则的准线的方程为______；若圆分别与直线和轴都相切，且圆心在上，则圆的半径为______. 10．（2026·北京朝阳·一模）已知点，点（，）为圆：上的动点，若，则的一个取值为______. 11．（2026·北京房山·一模）若直线是圆的一条对称轴，则实数（    ） A． B． C． D． 12．（2026·北京丰台·一模）在平面内，为的中点，动点满足，动点满足，则的最大值为（   ） A．2 B． C．4 D． 13．（2026·北京·模拟预测）直线与圆交于，两点，若是，的等差中项，则的最小值为____________． 14．（2026·北京平谷·一模）已知直线与圆相切，并且圆过点，则的最小值是______． 椭圆方程及其性质 考点2 15．（2026·北京顺义·一模）若双曲线：与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．4 16．（2026·北京房山·一模）如图，在正方体中，，点满足，为的中点，给出下列四个结论： ①若，则点的轨迹的长度为； ②若，则点的轨迹的长度为； ③若，则的最小值为； ④若，则的最小值为. 其中正确结论的序号是____． 双曲线方程及其性质 考点3 17．（2026·北京昌平·一模）已知双曲线的离心率为，则的值为（   ） A． B． C． D．2 18．（2026·北京西城·一模）若圆锥曲线的焦距为4，则其离心率为（   ） A．2 B． C． D． 19．（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 20．（2026·北京门头沟·一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（   ） A． B．3 C． D． 21．（2026·北京朝阳·一模）设点为坐标原点，过双曲线的右焦点作其一条渐近线的垂线，垂足为点，则（   ） A． B． C．2 D． 22．（2026·北京平谷·一模）已知双曲线的离心率是2，则（    ） A． B．3 C．2 D． 23．（2026·北京延庆·一模）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ）． A． B． C． D． 24．（2026·北京海淀·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______. 抛物线方程及其性质 考点4 25．（2026·北京西城·一模）设抛物线的准线为l，为C上一点，则P到l的距离为______． 26．（2026·北京门头沟·一模）已知抛物线的焦点到其准线的距离为，点在上，若，则点的横坐标为________． 27．（2026·北京延庆·一模）已知抛物线上一点到焦点的距离为4，则______． 28．（2026·北京海淀·一模）抛物线的焦点为F，点A在W上，且，则线段中点的横坐标为（   ） A．2 B． C．3 D． 29．（2026·北京房山·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 30．（2026·北京顺义·一模）已知抛物线：的焦点为，.若上存在点，使得，且的面积为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 圆锥曲线综合 考点5 31．（2026·北京昌平·一模）已知椭圆的焦点是长轴的四等分点，点和点都在椭圆上，直线与轴交于点． (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 32．（2026·北京海淀·一模）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点和上顶点构成的三角形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，为第一象限内上的动点，点在直线上，且.过作的垂线交直线于，求的值. 33．（2026·北京西城·一模）已知椭圆的右顶点为A，下顶点为B，左右焦点分别为，且，圆经过点B．O为坐标原点． (1)求椭圆E的方程； (2)设圆W的切线与椭圆E相交于C，D两点，点在直线上，且满足，过Q作轴于点P，求证：． 34．（2026·北京门头沟·一模）已知椭圆的离心率为，以椭圆E的短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为8． (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，过点（）且不与y轴平行的直线l与椭圆E交于不同的两点A、B，点B关于x轴的对称点为C，直线AC与x轴交于点D，设和的面积分别为，，当时，求t的值． 35．（2026·北京房山·一模）已知椭圆：的离心率为，分别是的上、下顶点，分别是的左、右顶点，且．设为椭圆上的动点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线与的夹角为定值． 36．（2026·北京朝阳·一模）已知椭圆：（）的离心率为，，分别为椭圆的上、下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)过点的斜率存在且不为1的直线与椭圆交于不同的两点，（均不与点重合），点与点关于原点对称，直线与直线交于点.求证：直线经过点. 37．（2026·北京石景山·一模）已知椭圆的左顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右顶点，为椭圆上异于A，B的任意一点，直线，分别与直线交于M，N两点，直线与椭圆的另一个交点为.求证： ①； ②直线恒过定点. 38．（2026·北京顺义·一模）已知椭圆：的左右顶点为，，，焦距为. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，是上不同于，的一点，的中点为，直线与直线交于点，直线与交于点.是否存在点使得直线平行于直线成立?说明理由. 39．（2026·北京丰台·一模）已知椭圆，椭圆上一点到两焦点的距离之和为． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点．若直线与直线的斜率之和为0，求直线的方程． 40．（2026·北京密云·一模）已知椭圆 ，过点，焦距为. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同两点（，异于椭圆的顶点）.判断光线经过轴反射后是否经过点？说明理由. 41．（2026·北京平谷·一模）已知椭圆的离心率为，右顶点为，左焦点为，且． (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，且点在第一象限内，直线，过点且平行于的直线交轴于点，直线交轴于点，点为线段的中点，求证：． 42．（2026·北京延庆·一模）已知椭圆与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），且，椭圆的离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C交于不同两点M，N，直线与直线交于点G．设与的面积分别为，，比较与的大小，并说明理由． 圆锥曲弦新定义 考点6 43．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“对应点”为，当是原点时，定义的“对应点”为它自身：将曲线上所有点的“对应点”构成的曲线定义为曲线的“对应曲线”.现有下列命题： ①若点的“对应点”是点，则点的“对应点”是点； ②单位圆的“对应曲线”是它自身； ③直线的“对应曲线”一定是直线. 其中正确命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $