专题02平面向量与复数4个考点（北京专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题02 平面向量与复数 4大考点概览 考点01复数 考点02平面向量的线性运算 考点03平面向量的基本定理及其坐标表示 考点04平面向量的数量积 复数 运算 考点1 1．（2026·北京昌平·一模）如果复数的实部与虚部相等，那么（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【详解】因为， 因为，且复数的实部与虚部相等，所以 . 2．（2026·北京海淀·一模）若复数z满足，则______，______ 【答案】 【详解】，，得. ， . 3．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知为虚数单位， 则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，可得， 则共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 4．（2026·北京门头沟·一模）在复平面内，复数满足，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由，得，故， 所以. 5．（2026·北京房山·一模）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 6．（2026·北京朝阳·一模）复数的实部与虚部的和是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【详解】因为复数的实部为1，虚部为，所以实部与虚部的和是. 7．（2026·北京平谷·一模）若复数满足，则在复平面内的对应点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算可得，再根据复数的几何意义分析判断. 【详解】由题意可知：， 即， 所以z在复平面对应的点为在第四象限. 8．（2026·北京·模拟预测）已知复数满足，则在复平面内对应点的坐标为____________． 【答案】 【详解】因为 . 所以在复平面内对应点的坐标为. 9．（2026·北京密云·一模）若复数，则在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】复数，则， 所以在复平面上对应的点位于第三象限. 10．（2026·北京延庆·一模）已知复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】化简得， 复数z对应的点位于第二象限. 平面向量的线性运算 考点2 11．（2026·北京顺义·一模）在中，，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由，得， 整理为， 即，，即. 12．（2026·北京西城·一模）设为非零向量，则“对于任意”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据平面向量的三角不等式取等条件判断充分性，举反例判断必要性. 【详解】因为为非零向量，若对任意都有，则不共线， 根据不等式的取等条件可知，，充分性成立； 若，不妨取，且同向， 则，满足， 此时存在，使得，必要性不成立. 综上，为非零向量，“对于任意”是“”的充分不必要条件. 13．（2026·北京密云·一模）已知直线与相交于点，直线与圆交于两点，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】先确定点的轨迹，再确定线段中点的轨迹，将问题转化为两圆上两点的距离问题求解. 【详解】直线：，所以直线过定点； 直线：，所以直线过定点. 又，所以. 所以点的轨迹是以线段为直径的圆. 因为的中点为，， 所以点的轨迹方程为：. 因为直线与圆交于两点，且， 所以圆心到直线的距离为1，设的中点为，则. 如图： ，且, 所以，即的最大值为. 14．（2026·北京昌平·一模）在棱长为2的正方体中，点满足，其中，给出下列四个结论： ①当时，，的面积为定值； ②当时，，三棱锥的体积为定值； ③当时，存在唯一的，使得； ④当时，存在唯一的，使得平面． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③ 【分析】①根据向量运算得出线段，再分别取点重合、点重合两种情况计算面积；②根据向量运算得出线段，判断三棱锥的体积为定值；③分别取线段的中点，根据向量运算得出点线段，利用勾股定理计算；④分别取线段的中点，根据向量运算得出点线段，利用反证法判断. 【详解】①当时，，则， 因为，所以线段， 若点重合，则， 则的面积为， 若点重合，则， 则，则的面积为， 故的面积不为定值，①错误； ②当时，，则， 因为，所以线段， 因为平面，平面，所以平面， 则点到平面的距离为定值， 又的面积为定值，故三棱锥，即三棱锥的体积为定值，故②正确； ③当时，， 分别取线段的中点，则，则， 则点线段， 因为平面，平面，所以， 因为，， 所以，得， 故存在唯一的，使得，故③正确； ④当时，， 分别取线段的中点，则，则， 则点线段， 若平面，平面，则， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以，显然不可能成立， 故不存在，使得平面，故④错误.   平面向量的基本定理及其坐标表示 考点3 15．（2026·北京朝阳·一模）已知向量，，.若，，三点共线，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】，， 若，，三点共线，则，解得. 16．（2026·北京海淀·一模）已知平面上的点，，，，满足，且 ，则下列等式中一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的定义分析可知，，利用坐标表示点，，，讨论点，的可能性情况，结合选项分析判断即可. 【详解】因为， 则， 又因为，则，， 设，，，，， 若，， 可得，，， 若，则，故A可能成立； 若，， 可得，，， 则，且， 若，则，故D可能成立； 若，， 可得，，， 则，故C可能成立； 若，， 可得，，，此时ABCD均不成立. 综上所述：不可能成立的是B. 17．（2026·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得是等边三角形，不妨设，，且，求得，结合，确定区域形状，进而求得其面积. 【详解】由题意知，可得， 因为，所以，所以是等边三角形， 不妨设，，且 因为，可得， 即，所以，解得， 又，则，画出如下图形， 则平行四边形及其内部即为点集所表示的区域， 由可得， 由可得， 由可得， 所以， 点到直线的距离 所以平行四边形的面积为， 即点集所表示的区域的面积是. 平面向量的数量积 考点4 18．（2026·北京东城·一模）设单位向量，满足．若，则________；若与的夹角为，且，则实数________． 【答案】 【详解】， 因为，所以， 所以； 由于单位向量，满足，即， 因为与的夹角为，所以， 整理可得， 因为，所以. 19．（2026·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆C的圆心和半径，根据数量积的几何意义，可得，进而可得点P的轨迹方程，根据直线恒过定点，结合点与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】圆C的方程变形为，圆心，半径， 又，， 所以，即在方向上的投影为， 所以，又，所以， 则点P的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆， 又直线恒过定点， 所以， 则P到直线的距离的最大值为. 20．（2026·北京昌平·一模）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】引入向右方向的单位向量为，向上方向的单位向量为，把用表示后计算. 【详解】记向右方向的单位向量为，向上方向的单位向量为，则，，， 所以 . 21．（2026·北京房山·一模）已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，由可得点轨迹为圆，结合极化恒等式可得，再结合点和圆的位置关系求解范围即可. 【详解】如图所示， 由得，是直角三角形，斜边，取中点， 根据直角三角形斜边中线性质，可得， 即在以原点为圆心、半径的圆上. 根据向量极化恒等式，对任意，为中点， 有 ，代入，得： 因为，在为圆心、半径1的圆上， 所以的范围是：， 即， 故. 22．（2026·北京西城·一模）设平面向量，其中，的最小值为_________． 【答案】4 【详解】已知，，其中， 得：， 所以， 当时， 23．（2026·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系xOy中，，直线与x轴和y轴分别交于点，，则的最大值为________；的取值范围是________． 【答案】 4 【分析】先求出两点的坐标，再表示出和的坐标，先求出，再求出向量的模，再利用三角函数恒等变换公式化简求解其最大值，最后应用数量积公式计算结合正弦函数值域计算求解. 【详解】设， 由题意知，直线分别与轴､轴交于点，则， 所以，； 因为， 则 ， 当时，取得最大值，且最大值为 ， 因为，的取值范围是. 24．（2026·北京顺义·一模）已知向量，满足，.当与的夹角最大时，（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】将平方后换元，通过数量积的计算公式表示，利用余弦函数的单调性分析的最大值求解. 【详解】将平方得， 令，则，， 设与的夹角为，，当时，，与条件矛盾，， ，分子分母同时除以，， 令，则， 当时，取得最小值，此时取最大值， 当时，，，， 所以当与的夹角最大时，. 25．（2026·北京石景山·一模）设为单位向量，且，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】由题意得两边同时平方得，又为单位向量，故，即， . 26．（2026·北京丰台·一模）在平面内，为的中点，动点满足，动点满足，则的最大值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据化简整理得出，由此将化简，可得．根据且，得到点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点），以B为原点建立直角坐标系，求出所在圆的方程，设出点A的坐标，根据向量数量积的坐标运算法则与圆的性质求出的最大值即得． 【详解】由，得，即， 所以． 因为，，所以点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点）． 设所在圆的圆心为，连接，则，， 则，． 以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得， 则圆的方程为， 设，则，结合， 可得， 因为A点在圆上运动，则， 故当时，取得最大值为. 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 27．（2026·北京延庆·一模）在平面直角坐标系中，若对任意的点（且），都存在（且），使得，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和列出方程组，利用代入消元法，可得的关系. 【详解】由题意得. 由①得：， 将其代入②得： ， 即. 因为，所以，即. 又，所以. 将其再代入①得： . 因为该式对都成立，所以 . 所以. 28．（2026·北京密云·一模）已知向量，则的最小值为（    ） A． B．2 C．-2 D． 【答案】D 【详解】向量， 则， 当时，取最小值. 29．（2026·北京延庆·一模）矩形中，，，且，则（    ）． A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理及数量积定义计算求解. 【详解】因为，所以， ， 所以. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 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其中所有正确结论的序号是______． 平面向量的基本定理及其坐标表示 考点3 15．（2026·北京朝阳·一模）已知向量，，.若，，三点共线，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 16．（2026·北京海淀·一模）已知平面上的点，，，，满足，且 ，则下列等式中一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 17．（2026·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是（    ） A．8 B． C．4 D． 平面向量的数量积 考点4 18．（2026·北京东城·一模）设单位向量，满足．若，则________；若与的夹角为，且，则实数________． 19．（2026·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 20．（2026·北京昌平·一模）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（   ） A． B．0 C．2 D．4 21．（2026·北京房山·一模）已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（2026·北京西城·一模）设平面向量，其中，的最小值为_________． 23．（2026·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系xOy中，，直线与x轴和y轴分别交于点，，则的最大值为________；的取值范围是________． 24．（2026·北京顺义·一模）已知向量，满足，.当与的夹角最大时，（   ） A． B．2 C． D． 25．（2026·北京石景山·一模）设为单位向量，且，则（   ） A． B．1 C． D．2 26．（2026·北京丰台·一模）在平面内，为的中点，动点满足，动点满足，则的最大值为（   ） A．2 B． C．4 D． 27．（2026·北京延庆·一模）在平面直角坐标系中，若对任意的点（且），都存在（且），使得，且，则（    ）． A． B． C． D． 28．（2026·北京密云·一模）已知向量，则的最小值为（    ） A． B．2 C．-2 D． 29．（2026·北京延庆·一模）矩形中，，，且，则（    ）． A． B． C．6 D．3 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 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