专题01 集合与常用逻辑用语4个考点（北京专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题01 集合与常用逻辑用语 4大考点概览 考点01 集合间的基本关系 考点02 集合间的基本运算 考点03 集合新定义 考点04 常用逻辑用语 集合间的基本关系 运算 考点1 1．（2026·北京西城·一模）设关于x的不等式的解集为P，若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为恒成立问题，由对称性求出函数的值域，得到不等式，求出答案 【详解】，即的解集为P，设， 设，由于，故为偶函数， 由对称性可知， 又，故， 因为，，作出函数的图象如下图： 由图可知，要使，只需满足，解得. 2．（2026·北京朝阳·一模）已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（   ） A．50 B．51 C．52 D．53 【答案】C 【分析】根据题意分析可知集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26，进而分析的最大值. 【详解】因为，由选项可知的最大值大于3， 若对任意的，，，存在，使得， 则集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26， 即或或， 若，则， 解得，此时的最大值为51； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 综上所述：的最大值为52. 集合间的基本运算 运算 考点2 3．（25-26高三上·北京·月考）设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解出对数不等式的解集，由此可表示出集合，再根据分类讨论二次不等式的解即可求解出的值. 【详解】因为，所以，所以，所以， 又因为 ， 当时，无解，所以，此时； 当时，由可得，所以，若，则； 当时，由可得，所以，此时. 综上，. 故选：C. 4．（2026·北京昌平·一模）已知集合，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由集合，则集合 5．（2026·北京西城·一模）已知集合，集合，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 故. 6．（2026·北京海淀·一模）已知全集，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，得，则， 因为，所以 . 7．（2026·北京朝阳·一模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合， 所以． 8．（2026·北京门头沟·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解绝对值不等式，再根据集合的交集的定义可得. 【详解】由,解得或,所以或, 而，所以 9．（2026·北京延庆·一模）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合A,B，利用并集的定义可求得. 【详解】由题意可得：根据对数函数真数大于零可得，集合， 集合或， 根据并集的定义可得或，即. 10．（2026·北京·模拟预测）已知集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合，， 所以. 集合新定义 运算 考点3 11．（2026·北京海淀·一模）对于正整数m，n（，），集合.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素，若存在且，，使得集合与A的交集所含元素个数为0或4，则称为A的一个“同形点”. (1)当时，写出集合的所有“同形点”； (2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数； (3)若M的任意子集都有“同形点”，求的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3)21. 【分析】（1）根据“同形点”定义直接写出答案即可； （2）分、、以及讨论即可； （3）讨论存在和恒成立的情况即可. 【详解】（1）， 当“同形点”为时，取， 此时，显然其与交集所含元素个数为0 当“同形点”为时，取， 此时，显然其与交集所含元素个数为0， 故其“同形点”为. （2）的＂同形点＂的个数为．证明如下： 设，由题：取集合． 若为的＂同形点＂，应有，且． ①当时，若且，取为， 则与的交集元素个数为0， 此时为的＂同形点＂，共有个； ②当时，同理可得中除外， 其余元素都是的＂同形点＂，共有个； ③当时，同理可得中除外， 其余元素都是的＂同形点＂，共有个； ④当时，同理可得中除外，其余元素都是的＂同形点＂，共有个． 综上可得的＂同形点＂的个数为． （3）的最小值为21． 证明如下： 首先当时，，由对称性不妨设中元素个数不少于11， 对于，设的元素个数为， 若存在，因为，所以存在，有， 不妨设，则中至少一个是的＂同形点＂； 若恒成立，因为，所以存在， 有，因为， 所以存在，使得，不妨设，则为的＂同形点＂． 其次当时，不妨设； ①若，则，取可得其无＂同形点＂； ②若，则， 取， 可得其无＂同形点＂； 综上的最小值为21． 12．（2026·北京密云·一模）已知集合.对于，定义与的差为，；定义与之间的距离为. (1)若，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)证明：三个数中至少有一个是偶数. 【答案】(1) (2) (3)证明过程见解析 【分析】（1）根据距离的定义，找出满足的即可； （2）先根据，分析元素所满足的条件，再求的最大值； （3）首先讨论三个差的和的奇偶性，再利用反证法，结论得证. 【详解】（1），说明与只有个位置元素不同，全为，因此恰有1个位置为0，其余为， 则所有满足条件的为： ； （2）已知，， ，， 即和中恰好各有个分量为（其余为） 设的的位置集合为，的0的位置集合为,则， 则，而的最小值为， 因此的最大值为 （3）证明： 对任意位置，讨论三个差的和的奇偶性： 若全相同：三个差都为，和为偶数； 若两个相同一个不同：不妨设，则三个差为，和为，仍是偶数； 所有位置求和得：是偶数； 若三个数全为奇数，总和为奇数，与上述结论矛盾，因此三个数中至少有一个是偶数，得证. 13．（2026·北京石景山·一模）已知集合，其中，若对于任意的，总有，则称集合具有性质．由中的元素构成两个相应的集合：其中是有序数对．集合和中的元素个数分别为和． (1)检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和； (2)对任何具有性质的集合，证明：； (3)判断和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)不具有性质，具有性质，，. (2)证明见详解 (3)，证明见详解 【分析】（1）利用“具有性质的集合”的定义，验证计算作答，直接写出集合和. （2）探讨具有性质的集合的元素个数，即可推理作答. （3）分和讨论，结合新定义求解判断. 【详解】（1）因为，所以不具有性质； 因为，，，所以具有性质； ，. （2）因为对于任意的，总有，所以，从而， 因为，，， 所以当时，和至多有一个成立， 所以集合中的元素个数最多为，即. （3），证明如下： ①设，则， 设，则，故， 从而，即对，总存在，使得，从而； ②设，则， 设，则，故， 从而，即对，总存在，使得，从而； 由①②可知. 14．（2026·北京延庆·一模）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，记． ①已知，，且，则； ②已知，，则存在实数a，使得； ③已知，若，则对任意，都有； ④已知是等比数列的前n项和，，则存在等比数列，使得． 其中所有不正确的命题是______． 【答案】①②③ 【分析】直接计算即可判断①；分类讨论判断②；举反例判断③；举例证明④. 【详解】①：因，则；，则，解得：或，①错误 ②：当区间关于对称，即时，，此时，. 当时，会增大，因此的最小值为1，不存在使得，命题②错误 ③，由题意知，，但是满足的点集，它可以是的子集，不一定是整个区间。 例如时，，对于满足题设，此时时不满足 ，③错误 ④，取等比数列，，则， ，，即，④正确 常用逻辑用语 运算 考点4 15．（2026·北京丰台·一模）已知函数，其中．给出下列四个命题： ①存在实数，使的值域为； ②存在实数，使有8个零点； ③对于任意实数，存在，使曲线是轴对称图形； ④对于任意实数，存在，使有3个极大值点． 其中所有正确命题的序号是___________． 【答案】②③④ 【分析】举反例判断①，利用函数的性质结合函数图象判断②，对目标函数合理转化并利用轴对称的定义得到判断③，利用导数并结合零点存在性定理得到有2个极小值点，1个极大值点，进而得到的极值点情况判断④即可. 【详解】对于①，令，则，而，故①错误， 对于②，令，可得， 则，若有8个零点， 可得有4个零点， 且也有4个零点， 令，，，此时变为如下， 为， 令， 则研究与以及的交点即可， 如图，作出符合题意的图形， 此时与以及共有8个交点， 即存在实数，使有8个零点，故②正确， 对于③，令， 若曲线是轴对称图形，则是轴对称图形， 设的对称轴是，可得， 而 ， 可得，解得，故③正确， 对于④，由题意得， 当时，，当时，， 而，，， 对于任意实数，只需， 则，，， 结合零点存在性定理得存在作为零点， 且，，， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 可得有2个极小值点，1个极大值点， 又，所以， 有3个极大值点，故④正确. 16．（2026·北京昌平·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“”是“ ”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】验证必要性：若，代入，利用三角函数诱导公式化简，结合的奇偶性判断. 验证充分性：若，利用三角函数的诱导公式，推导与的关系. 【详解】必要性证明： 已知， 若为偶数，设，则，， 故； 若为奇数，设，则，， 故，因此右边可以推出左边，必要性成立. 充分性证明： 由得， 根据的通解：， 代入得：， 因此充分性也成立， 综上，“”是“”的充分必要条件. 17．（2026·北京海淀·一模）已知函数，则“”是“在上为单调函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】取，结合分段函数单调性可判断必要性不成立；分、两种情况讨论，结合分段函数的单调性可判断充分性成立.由此可得出结论. 【详解】若，则， 当时，函数在上为增函数，函数在上为增函数， 又因为函数在上连续，此时函数在上单调递增； 当时，函数在上为减函数，函数在上为减函数， 又因为函数在上连续，此时函数在上单调递减； 所以“在上为单调函数”不能得到“”； 若，当且时， 函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数， 函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数， 又因为函数在上连续，故函数在上为增函数； 当且时，函数、在上均为减函数，则函数在上为减函数， 函数、在上均为减函数，则函数在上为减函数， 又因为函数在上连续，故函数在上为减函数； 故“”“在上为单调函数”. 故“”是“在上为单调函数”的充分不必要条件. 18．（2026·北京西城·一模）设为非零向量，则“对于任意”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据平面向量的三角不等式取等条件判断充分性，举反例判断必要性. 【详解】因为为非零向量，若对任意都有，则不共线， 根据不等式的取等条件可知，，充分性成立； 若，不妨取，且同向， 则，满足， 此时存在，使得，必要性不成立. 综上，为非零向量，“对于任意”是“”的充分不必要条件. 19．（2026·北京房山·一模）设是两个不同的平面，是三条不同的直线， ，，，则“”是“或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】助空间直角坐标系中坐标平面的垂直关系，根据向量垂直即数量积为0，建立坐标之间的关系即可判断. 【详解】如图，在正方体中，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 取底面，即平面为，侧面，即平面为， 则，即轴. 因为，， 所以可设的方向向量为（不同时为0），的方向向量为（不同时为0）， 则或， 而的方向向量为轴或与轴重合； 的方向向量为轴或与轴重合. 所以或 或，所以或. 综上，“”是“或”的充要条件. 20．（2026·北京丰台·一模）已知是公比为的无穷等比数列，则“”是“任取无穷等差数列，对于任意，存在正整数，使”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的判断及等比数列、等差数列的性质判断即可. 【详解】充分性： 若，对于无穷等比数列，其通项公式为. 当时，当为奇数时，；当时，当为偶数时，. 对于无穷等差数列，其通项公式为（为首项，为公差）. 所以对于任意，即给定，总可以找到一个足够大的正整数，使得. 因此“”能推出“任取无穷等差数列，对于任意，存在正整数，使”，充分性成立. 必要性： 若任取无穷等差数列，对于任意，存在正整数，使， 当时，若，等比数列单调递增，同样满足条件. 所以“任取无穷等差数列，对于任意，存在正整数，使”不能推出“”，必要性不成立. 21．（2026·北京朝阳·一模）设，，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可得到答案． 【详解】若且，则，，所以，但不能保证， 例如当，时，满足且，但，即充分性不成立； 若，则，，所以，，即必要性成立， 所以“且”是“”的必要不充分条件． 故选：B 22．（2026·北京门头沟·一模）设，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题知，，等价于，即原条件可化简为， 对正数，由基本不等式得，若，则，因此，充分性成立； 取满足，但，即不满足，因此必要性不成立. 综上，是的充分而不必要条件. 23．（2026·北京朝阳·一模）已知函数，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】A.由时，，的值域判断；BC. 由时，令，用导数法判断；D.由时，令，用导数法判断. 【详解】当时，，，所以，，故A错误； 时，令，则， 令，则，所以在上递增， 又，，所以，有， 即，当时，，递减；当时，，递增； 又，则，即，，故C正确；B错误； 时，令，则，易知在上递增，则，则在上递增，所以，即恒成立，故D错误. 24．（2026·北京石景山·一模）数列为各项均为正数的等比数列，、、、为正整数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】取特殊数列，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】因为数列为各项均为正数的等比数列，、、、为正整数， 不妨取，当时，， 即“”“”； 不妨取，由可得，则， 即“”“”. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 25．（2026·北京顺义·一模）已知函数的定义域为，则“对于任意，都有”是“值域为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】通过充分条件与必要条件求解. 【详解】对于任意，都有可以推出的值域是或其子集，故充分性不成立， 若的值域是，可以推出对于任意，都有，故必要性成立， 因此“对于任意，都有”是“值域为”的必要不充分条件. 26．（2026·北京密云·一模）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，， 令，当时，可得， 由正弦函数的性质，可得在为单调递增函数， 所以当时，函数在区间上单调递增，即充分性成立； 反之：当时，可得， 又由正弦函数的单调递增区间为， 要使得函数在区间上单调递增，则满足， 即，且，解得，所以必要性不成立， 综上可得：“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 27．（2026·北京平谷·一模）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对移项通分：， 若，则，因此，即一定成立，充分性成立； 若，不一定能推出， 举例：取，满足，但不满足，因此必要性不成立； 综上，“”是“”的充分不必要条件. 28．（2026·北京延庆·一模）设等差数列的公差为，其前n项和为，则“”是“存在最小值”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】化简得到，分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】为等差数列， 则， 对应的二次函数为， 故当时，函数有最小值，对应的数列有最小值， 当数列有最小值时，则二次函数开口向上，所以， 故是充分必要条件． 29．（2026·北京朝阳·模拟预测）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先根据基本不等式求的范围，再根据集合的包含关系判断充分，必要条件. 【详解】因为，所以，则， 因为 ，所以“”是“”的充分不必要条件. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 4大考点概览 考点01 集合间的基本关系 考点02 集合间的基本运算 考点03 集合新定义 考点04 常用逻辑用语 集合间的基本关系 运算 考点1 1．（2026·北京西城·一模）设关于x的不等式的解集为P，若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·北京朝阳·一模）已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（   ） A．50 B．51 C．52 D．53 集合间的基本运算 运算 考点2 3．（25-26高三上·北京·月考）设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·北京昌平·一模）已知集合，则集合（   ） A． B． C． D． 5．（2026·北京西城·一模）已知集合，集合，则集合（   ） A． B． C． D． 6．（2026·北京海淀·一模）已知全集，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·北京朝阳·一模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·北京门头沟·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·北京延庆·一模）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 10．（2026·北京·模拟预测）已知集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 集合新定义 运算 考点3 11．（2026·北京海淀·一模）对于正整数m，n（，），集合.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素，若存在且，，使得集合与A的交集所含元素个数为0或4，则称为A的一个“同形点”. (1)当时，写出集合的所有“同形点”； (2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数； (3)若M的任意子集都有“同形点”，求的最小值. 12．（2026·北京密云·一模）已知集合.对于，定义与的差为，；定义与之间的距离为. (1)若，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)证明：三个数中至少有一个是偶数. 13．（2026·北京石景山·一模）已知集合，其中，若对于任意的，总有，则称集合具有性质．由中的元素构成两个相应的集合：其中是有序数对．集合和中的元素个数分别为和． (1)检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和； (2)对任何具有性质的集合，证明：； (3)判断和的大小关系，并证明你的结论． 14．（2026·北京延庆·一模）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，记． ①已知，，且，则； ②已知，，则存在实数a，使得； ③已知，若，则对任意，都有； ④已知是等比数列的前n项和，，则存在等比数列，使得． 其中所有不正确的命题是______． 常用逻辑用语 运算 考点4 15．（2026·北京丰台·一模）已知函数，其中．给出下列四个命题： ①存在实数，使的值域为； ②存在实数，使有8个零点； ③对于任意实数，存在，使曲线是轴对称图形； ④对于任意实数，存在，使有3个极大值点． 其中所有正确命题的序号是___________． 16．（2026·北京昌平·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“”是“ ”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（2026·北京海淀·一模）已知函数，则“”是“在上为单调函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（2026·北京西城·一模）设为非零向量，则“对于任意”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．（2026·北京房山·一模）设是两个不同的平面，是三条不同的直线， ，，，则“”是“或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．（2026·北京丰台·一模）已知是公比为的无穷等比数列，则“”是“任取无穷等差数列，对于任意，存在正整数，使”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 21．（2026·北京朝阳·一模）设，，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．（2026·北京门头沟·一模）设，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（2026·北京朝阳·一模）已知函数，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 24．（2026·北京石景山·一模）数列为各项均为正数的等比数列，、、、为正整数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 25．（2026·北京顺义·一模）已知函数的定义域为，则“对于任意，都有”是“值域为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 26．（2026·北京密云·一模）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 27．（2026·北京平谷·一模）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28．（2026·北京延庆·一模）设等差数列的公差为，其前n项和为，则“”是“存在最小值”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 29．（2026·北京朝阳·模拟预测）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $