专题02 期中真题百练通关（安徽专用，实数、一元一次不等式与不等式组、整式乘法与因式分解）（58题8大考点压轴题型）（高效培优期中专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题02 期中真题百练通关（58题8大考点压轴题型） 考点01 实数中的规律探究 考点05 一元一次不等式（组）的应用 考点02 实数的估算与大小比较 考点06 整式乘法的应用 考点03 实数的运算 考点07 乘方公式的应用 考点04 一元一次不等式（组）整数解 考点08 因式分解的应用 考点01 实数中的规律探究（共10小题） 1．（2025秋•宿州期中）观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…． 根据上述规律，解答下面的问题： （1）请写出第6个等式：　　 ； （2）根据等式的规律，请写出第n个等式；（n是正整数，用含n的式子表示） （3）计算：． 【解答】解：（1）； （2）根据第（1）问得出的结论，第n个等式为； （3） ． 2．（2023春•贵池区期中）观察等式，解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； （1）请写出第5个等式：　 ． （2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并说明猜想成立的理由． 【解答】解：（1）请写出第5个等式：6； 故答案为：6； （2）若n为正整数，第n个等式：（n+1），理由如下： ∵左边（n+1）， 右边＝（n+1）， ∴（n+1）． 3．（2023春•淮北期中）观察下列各式． 第1个等式：； 第2个等式 ； 第3个等式 ； … 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1）第4个等式：　 ． （2）请你按照上面三个等式反映的规律，猜想第n个等式，并给出证明． 【解答】解：（1）第4个等式为：4， 故答案为：4； （2）第n个等式为：． 理由： ＝n， ∴． ∴第n个等式为：． 4．（2023春•庐阳区校级期中）观察下列各式： （1）请你猜想 　　 ，　 　 ． （2）请你将猜想到的规律用含有自然数n（n≥1）的代数式表达出来，并证明其正确性． 【解答】解：（1）由得到规律为， ∴，， 故答案为：，； （2）由得到规律为，其中自然数n≥1． 证明如下：∵ ∵自然数n≥1， ∴，即，其中自然数n≥1． 5．（2024春•无为市期中）（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 　　 　　 　　 （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则　　 ； ②已知，，则x＝　　 ． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【解答】解：（1）填表如下： a 0.0064 0.64 64 6400 0.08 0.8 8 80 故答案为：0.08，0.8，8，80； （2）①，则：； 故答案为：5800； ②已知，则x＝0.001225； 故答案为：0.001225； （3）由表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的． 6．（2022春•宣州区校级期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：0.01，0.1，1，10，100，…… （1）已知4.47，求的值； （2）已知1.918，191.8，求a的值； （3）根据上述探究方法，尝试解决问题：已知1.26，12.6，用含n的代数式表示m． 【解答】解：（1）∵4.47， ∴4.47×10＝44.7． （2）∵191.8＝1.918×100， ∴． ∴a＝36800． （3）∵1.26×10＝12.6， ∴． ∴． ∴1000n＝m，即m＝1000n． 7．（2024春•瑶海区期中）阅读材料； 和为整数，4﹣1＝3＝2×1+1； 和为整数，9﹣4＝5＝2×2+1； 和为整数，16﹣9＝7＝2×3+1； 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中a＜b，则有．并给出了证明： ∵和为相邻的两个整数，∴， 等式两边同时平方得：． 　　 得：　 ； 请根据以上材料，解决以下问题： （1）请补全小明的证明过程． （2）若和为两个相邻整数，则a＝　　 ． （3）若和为相差4的两个整数，求a的值． 【解答】解：（1）∵和为相邻的两个整数， ∴， 等式两边同时平方得： a+21＝b． 移项得：b﹣a＝21． 故答案为：移项；b﹣a＝21； （2）∵和 为两个相邻整数， ∴由（1）的结论可知：a+11﹣a＝21， ∴5， ∴a＝25． 故答案为：25； （3）∵和 为相差4的两个整数， ∴4， 等式两边同时平方得： a+816＝a+216， ∴25， ∴a＝625． 8．（2025春•安庆校级期中）先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． （1）根据上面三个等式提供的信息，计算：； （2）按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； （3）请利用上述规律来计算：． 【解答】解：（1）由题意知，， ∴； （2）由题意知，， ∴用n（n为正整数）表示的等式为； （3）由题意知，， ∴． 9．（2024春•瑶海区期中）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． （1）请你根据以上三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； （2）请你按照以上各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）． （3）应用上述结论，请计算的值． 【解答】解：（1）解：的结果为； 验证：； （2）第n个等式的左边为，等式右边为1与的和， 故等式如下： ； （3）22×（1）＝2 10．（2024春•南谯区校级期中）观察下列等式：①；②；③． 解决下列问题： （1）根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子； （2）用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律； （3）利用上述结果计算：． 【解答】解：（1）∵①； ②； ③； ∴第⑤个式子是：； （2）第n个等式为； （3）原式＝111 1 ． 考点02 实数的估算与大小比较（共5小题） 11．（2024春•蜀山区校级期中）对于任意实数x，x均能写成其整数部分[x]与小数部分{x}的和，即x＝[x]+{x}，其中[x]称为x的整数部分，表示不超过x的最大整数，{x}称为x的小数部分．如7.12＝[7.12]+{7.12}＝7+0.12，[7.12]＝7，{7.12}＝0.12，则下列结论正确的有（　　） ①； ②若，，则{x}×y＝﹣1； ③若[x]＝4，[y]＝2则[x+y]所有可能的值为6和7； ④[x+y]≤[x]+[y]． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①∵34， ∴，故①正确； ②∵23， ∴{x}2 ∵， ∴则{x}×y＝（2）（2）＝5﹣4＝1≠﹣1；故②不正确； ③∵[x]＝4，[y]＝2， ∴4≤x＜5，2≤y＜3， ∴6≤x+y＜8， ∴[x+y]所有可能的值为6和7；故③正确； ④若x＝4.6，y＝5.7， 那么[x+y]＝[4.6+5.7]＝10，[x]+[y]＝[4.6]+[5.7]＝4+5＝9． [x+y]＞[x]+[y]，故④不正确． 综上，正确的是：①③． 故选：B． 12．（2025春•肥西县期中）阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为1.4﹣1＝0.4；的整数部分为1，小数部分为；再如，﹣3.8的整数部分为﹣4，小数部分为|﹣3.8﹣（﹣4）|＝0.2．由此得到：若，其中x是整数，且0＜y＜1，则． 根据材料，回答下列问题： （1）若，其中m是整数，且0＜n＜1，则m＝　　 ，n＝　 ； （2）若，其中a是整数，且0＜b＜1，求|a+b|﹣（b﹣1）的值； （3）若，其中p是整数，且0＜q＜1，求p﹣q的值． 【解答】解：（1）∵，即34， ∴的整数部分为3，小数部分为3， 又∵，其中m是整数，且0＜n＜1， ∴m＝3，n3， 故答案为：3，3； （2）∵，即56， ∴﹣65， ∴2＜83， 即8的整数部分为2，小数部分为82＝6， 又∵，即8a+b，其中a是整数，且0＜b＜1， ∴a＝2，b＝6， ∴|a+b|﹣（b﹣1）＝861＝3； （3）∵，即45， ∴﹣54， ∴﹣1＜40， 即4的整数部分为﹣1，小数部分为41＝5， 又∵，其中p是整数，且0＜q＜1， ∴p＝﹣1，q＝5 ∴p﹣q6． 13．（2024春•天长市期中）阅读材料：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答下列问题： （1）的整数部分是 　　 ，小数部分是 　 　 ； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的平方根； （3）已知，其中m是整数，且0＜n＜1，求n﹣m的绝对值． 【解答】解：（1）45， ∴的整数部分是4，小数部分是4， 故答案为：4，4； （2）∵23， ∴的小数部分是2， 即a2， ∵67， ∴的整数部分是6， ∴b＝6， ∴a+b2+64； （3）∵23， ∴7＜58， 即7＜m+n＜8， ∵m是整数，且0＜n＜1， ∴m＝7，n＝572， ∴|n﹣m|＝|2﹣7|＝|9|＝9， 即n﹣m的绝对值为9． 14．（2024春•桐城市校级期中）学习了无理数后，老师教了同学们一种估算无理数的近似值的新方法． 例如：估算的近似值． ∵34， ∵设3+m，显然0＜m＜1． ∴13＝9+6m+m2． ∴6m＝4﹣m2． ∵0＜m＜1， ∴4﹣1＜6m＜4﹣0． ∴0.5＜m＜0.67． ∴3.5＜3+m＜3.67． 故的值在3.5与3.67之间． （1）请你依照上面的方法，估算的近似值在 　　 与 　 　 之间； （2）对于任意一个大于1的无理数，若的整数部分为b，小数部分为m式表示m的大致范围． 【解答】解：（1）∵67， ∵设6+m，显然0＜m＜1． ∴43＝36+12m+m2． ∴12m＝7﹣m2． ∵0＜m＜1， ∴7﹣1＜12m＜7﹣0． ∴0.5＜m＜0.59． ∴6.5＜6+m＜6.59． 因此的值在6.5与6.59之间． 故答案为6.5，6.59． （2）∵bb+1， ∵设b+m，显然0＜m＜1． ∴a＝b2+2bm+m2． ∴2bm＝a﹣b2﹣m2． ∵0＜m＜1， ∴a﹣1＜2bm＜a﹣0． ∴m． 即m的大致范围为m． 15．（2023春•贵池区期中）阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 解答下列问题： （1）的整数部分是 　　 ，小数部分是 　 　 ； （2）已知x是的小数部分，y是的小数部分，求x﹣y的值． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为4，小数部分为， 故答案为：4；； （2）∵， ∴，， ∵x是的小数部分，y是小数部分， ∴，， ∴ ． 考点03 实数的运算（共5小题） 16．（2025春•庐江县校级期中）若a和b是有理数，且满足b＝0，则a＝b＝0． 根据上述材料，解决下列问题： （1）若（a+2）π+b+4＝0，则ab的立方根为　　 ； （2）若（a﹣b）2a﹣b＝8，则a+b的平方根为　 　 ． 【解答】解：（1）由题意得， 解得， 所以ab＝（﹣2）×（﹣4）＝8， 故ab的立方根为2， 故答案为：2； （2）由题意得， 解得， ∴a+b＝8+8＝16， ∴a+b的平方根为±4， 故答案为：±4． 17．（2024春•金安区校级期中）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示，设点A所表示的数为m． （1）实数m的值是 　 ； （2）求（m+2）2+|m+1|的值； （3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求2c+2d的平方根． 【解答】解：（1）依题意得：， 故答案为：； （2）由（1）得：， ∴ ； （3）依题意得：， ∴2c+4＝0，d﹣4＝0， ∴c＝﹣2，d＝4， ∴2c+2d＝2×（﹣2）+2×4＝4， ∴2c+2d的平方根为±2． 18．（2025春•黄山期中）老师给同学们布置了这样一道练习题：一个数的算术平方根为2m﹣6，它的平方根为±（m﹣2），求这个数．小张的解法如下： 解：依据题意可知：∵2m﹣6是m﹣2和﹣（m﹣2）两个数中的一个． 当2m﹣6＝m﹣2时，解得m＝4 ∴2m﹣6＝2×4﹣6＝2…① ∴这个数是2…② 当2m﹣6＝﹣（m﹣2）时，解得 ∴③ ∴这个数是④ 综上可得：这个数为2或． （1）王老师看后说小张的解法是错误的，请你指出以上序号标注的步骤中错误的有：　 　 （填写序号）； （2）请你帮助小张写出正确过程． 【解答】解：（1）∵2m﹣6是m﹣2和﹣（m﹣2）两个数中的一个． 根据题意，不难发现②③④都是错误的， 故答案为：②③④； （2）依据题意可知： ∵2m﹣6是m﹣2和﹣（m﹣2）两个数中的一个， 当2m﹣6＝m﹣2时，解得m＝4， ∴2m﹣6＝2， ∴这个数为22＝4； 当2m﹣6＝﹣（m﹣2）时，解得：， ∴（不合题意，舍去）； ∴综上可得：这个数为4． 19．（2024春•界首市校级期中）如图，把两个面积均为18cm2的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形纸片． （1）求大正方形纸片的边长； （2）若沿此大正方形边的方向裁剪出一个长方形，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之比为3：1，且面积为24cm2？若能，请求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：大正方形的面积＝18×2＝36cm2， ∴大正方形纸片的边长6（cm）． （2）沿此大正方形边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由如下： ∵长方形纸片的长宽之比为3：1， ∴设长方形纸片的长和宽分别是3xcm，xcm， ∴3x•x＝24， ∴x2＝8， ∵x＞0， ∴x＝2， ∴长方形纸片的长是3x＝6cm， ∵66， ∴沿此大正方形边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片． 20．（2024春•太和县期中）如图，这是一个无理数筛选器的工作流程图． （1）当x＝49时，y＝　　 ；当x＝16时，y＝　 　 ． （2）当输入x的值小于100，且输出y的值是时，输入x的值可以是 　 　 ． 【解答】解：（1）根据题意，当x＝49时，取算术平方根得，是有理数，当x＝7时，取算术平方根得，是无理数，则； 当x＝16时，取算术平方根得，是有理数，当x＝4时，取算术平方根得，是有理数，当x＝2时，取算术平方根得，是无理数，则； 故答案为：，； （2）根据无理数筛选器的工作流程图，逆运算如下： 当输出y的值是时，则；x＝32＝9；x＝92＝81； ∴输入x的值可以是3，9，81， 故答案为：3或9或81． 考点04 一元一次不等式（组）整数解（共7小题） 21．（2024春•瑶海区期中）若关于x，y的方程组的解满足x﹣y，则m的最小整数解为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 【答案】C 【解答】解：， ①﹣②得：x﹣y＝3m+2， ∵关于x，y的方程组的解满足x﹣y， ∴3m+2， 解得：m， ∴m的最小整数解为﹣1， 故选：C． 22．（2025春•庐阳区校级期中）如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为x≥1，则所有符合条件的整数a的和为（　　） A．﹣5 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣12 【答案】B 【解答】解：， 解得：， ∵关于y的方程有非负整数解， ∴， 解得：a≥﹣5，且为整数， 关于x的不等式组整理得： ， ∵不等式组的解集为x≥1， ∴a+4≤1， 解得：a≤﹣3， ∴﹣5≤a≤﹣3且为整数， ∴a＝﹣5，﹣3， 于是符合条件的所有整数a的值之和为：﹣5﹣3＝﹣8． 故选：B． 23．（2025春•包河区期中）已知关于x的不等式2x﹣n＜3（x+1）． （1）当n＝2025时，该不等式的解集为　 ； （2）若该不等式的负整数解有且只有2个，则n的取值范围是　 ． 【答案】x＞﹣2028；﹣1＜n≤0 【解答】解：（1）当n＝2025时， 2x﹣2025＜3（x+1）， 去括号，得：2x﹣2025＜3x+3， 移项、合并同类项，得：﹣x＜2028， 系数化为1，得：x＞﹣2028， 故答案为：x＞﹣2028； （2）由不等式2x﹣n＜3（x+1），可得：x＞﹣n﹣3， ∵该不等式的负整数解有且只有2个， ∴这三个整数解为﹣2，﹣1， ∴﹣3≤﹣n﹣3＜﹣2， 解得﹣1＜n≤0， 故答案为：﹣1＜n≤0． 24．（2025春•涡阳县期中）已知2y﹣4与y﹣a是一个正数的两个平方根． （1）若a＝5，则这个正数是 　　 ； （2）若y为整数，且关于x的不等式组有解且最多有2个整数解，则a＝ 　　 ． 【答案】（1）4； （2）11． 【解答】解：（1）∵2y﹣4与y﹣5是一个正数的两个平方根，一个正数的两个平方根互为相反数， ∴（2y﹣4）+（y﹣5）＝0， ∴解得y＝3， ∴2y﹣4＝2，y﹣a＝﹣2， ∴这个正数是（±2）2＝4， 故答案为：4； （2）， 解不等式①得，x＞2， 解不等式②得，x， ∴不等式组的解集为：2＜x， ∵不等式组有解且最多有2个整数解， ∴两个整数解是3，4， ∴35， ∴7＜a≤11， ∵2y﹣4+y﹣a＝0， ∴y， ∵y是整数， ∴当a＝11时，y5满足条件， 故答案为：11． 25．（2025春•淮北期中）已知关于x的不等式组． （1）若该不等式组的解集是﹣1≤x＜5，则ab的值是　　 ； （2）若b＝2，该不等式组的整数解有5个，则a的取值范围是　 　 ． 【答案】﹣6；﹣3＜a≤﹣2 【解答】解：（1）， 解不等式①得，x≥1+a， 解不等式②得，x＜2+b， ∴不等式组的解集为a+1≤x＜b+2， ∵该不等式组的解集是﹣1≤x＜5， 根据不等式组解集的对应关系，a+1＝﹣1，b+2＝5， ∴a＝﹣2，b＝3， ab＝﹣6， 故答案为：﹣6； （2）当b＝2时，不等式组便为， 解不等式①得，x≥1+a， 解不等式②得，x＜4， ∴此时不等式组的解集为a+1≤x≤4， ∵不等式组的整数解有5个，小于4的连续整数为3，2，1，0，﹣1， ∴﹣2＜a+1≤﹣1， ∴﹣3＜a≤﹣2． 故答案为：﹣3＜a≤﹣2． 26．（2025春•瑶海区校级期中）已知关于x的不等式组． （1）若不等式组有解，则m的取值范围是 　 ． （2）若该不等式组的所有整数解的和为﹣5，则m的取值范围为 　 　 ． 【答案】（1）m＞﹣1； （2）m＜0 或m＜1． 【解答】解：（1）， 由①得x≤3m﹣1， ∵不等式组有解， ∴3m﹣1＞﹣4， ∴m＞﹣1， 故答案为：m＞﹣1； （2）∵不等式组所有整数解的和为﹣5， 则不等式组的整数解为﹣3、﹣2或﹣3、﹣2、﹣1、0、1， 当不等式组的整数解为﹣3、﹣2时， ﹣2≤3m﹣1＜﹣1， 解得m＜0， 当不等式组的整数解为﹣3、﹣2、﹣1、0、1时， 1≤3m﹣1＜2， 解得m＜1． 故答案为：m＜0 或m＜1． 27．（2025春•合肥校级期中）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程是该不等式组的关联方程．例如：方程x﹣2＝0的解为x＝2，不等式组的解集为﹣1＜x＜3，所以称方程x﹣2＝0为不等式组的关联方程． （1）在方程①2x+3＝0，②，③x﹣（4x﹣1）＝﹣2中，是不等式组的关联方程有　　 ；（填序号） （2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，且此关联方程是3x+m＝0，求常数m的值； （3）是否存在实数a，使得方程和2x+5＝0都是关于x的不等式组的关联方程？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）解不等式组得3.5＜x＜4.5， 解2x+3＝0得：x＝﹣1.5，不在3.5＜x＜4.5内，故①是不等式组的关联方程； 解得：x＝4，在3.5＜x＜4.5内，故②是不等式组的关联方程； 解x﹣（4x﹣1）＝﹣2得：x＝1，在3.5＜x＜4.5内，故③不是不等式组的关联方程； 故答案为：②； （2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，且此关联方程是3x+m＝0，则： 解不等式组可得：， 因此不等式组的整数解可以为x＝﹣2，﹣1， 把x＝﹣2代入3x+m＝0得：﹣6+m＝0，解得：m＝6， 把x＝﹣1代入3x+m＝0得：﹣3+m＝0，解得：m＝3， 综上分析可知：m＝6或m＝3． （3）解方程得，x＝2， 解方程2x+5＝0得，， 解不等式组得：， 由题意可得：， 解得：， ∴a的取值范围为． 考点05 一元一次不等式（组）的应用（共6小题） 28．（2024春•定远县校级期中）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元． （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台． 依题意得：160a+120（50﹣a）≤7500， 解得：a≤37， ∵a是整数， ∴a最大是37， 答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元． （3）设采购A种型号电风扇x台，则采购B种型号电风扇（50﹣x）台，根据题意得： （200﹣160）x+（150﹣120）（50﹣x）＞1850， 解得：x＞35， ∵x≤37，且x应为整数， ∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种： 当x＝36时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台； 当x＝37时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 29．（2025春•包河区校级期中）疫情期间，政府积极组织各商家开通便民服务，甲乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按85%收费，在乙商店累计超过100元后，超出部分按照90%收费． （1）若小明妈妈准备用420元去采购物资，你建议小明妈妈去 　　 商场花费少（直接写出“甲”或“乙”）； （2）设某顾客累计了购物花费x（x＞200）元，若在甲商场购物，则实际花费 　　 元，若在乙商场购物，则实际花费 　 　 元．（均用含x的式子表示）； （3）某顾客计划采购一件商品，经过测算选择在乙商场更优惠，求该顾客购买该商品的标价范围． 【解答】解：（1）在甲商店购买420元的东西需要花费：200+（420﹣200）×85%＝387（元）， 在乙商场购买420元的东西需要花费： 100+（420﹣100）×90%＝388， ∵388＞387， ∴建议小明妈妈去甲商场花费少； 故答案为：甲； （2）在甲商场购物：200+（x﹣200）×85%（或0.85x+30）， 在乙商场购物：100+（x﹣100）×90%（或0.9x+10）； 故答案为：（0.85x+30）；（0.9x+10）； （3）若到乙商场购物花费较少，则： 200+（x﹣200）×85%＞100+（x﹣100）×90%， 解得：x＜400， ∴当200＜x＜400时，到乙商场购物花费较少． 当100＜x＜200时，到乙商场购物花费较少． ∴100﹣400乙商场购物花费较少． 30．（2025春•宁国市期中）某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价） 甲 乙 进价（元/件） 14 35 售价（元/件） 20 43 （1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ （2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案． 【解答】解：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件． 根据题意得：． 解得：． 答：甲种商品购进100件，乙种商品购进80件． （2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进（180﹣a）件． 根据题意得． 解不等式组，得60＜a＜64． ∵a为非负整数，∴a取61，62，63 ∴180﹣a相应取119，118，117 方案一：甲种商品购进61件，乙种商品购进119件． 方案二：甲种商品购进62件，乙种商品购进118件． 方案三：甲种商品购进63件，乙种商品购进117件． 答：有三种购货方案，其中获利最大的是方案一． 31．（2024春•蜀山区校级期中）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元． （1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ （3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？ 【答案】（1）购进1件甲种农机具1.5万元，1件乙种农机具0.5万元． （2）有三种方案： 方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件． 方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件． 方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件． 方案一需要资金最少，最少资金是10万元． （3）节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有两种： 方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件． 方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件． 【解答】解：（1）设购进1件甲种农机具x万元，1件乙种农机具y万元． 根据题意得：， 解得：， 答：购进1件甲种农机具1.5万元，1件乙种农机具0.5万元． （2）设购进甲种农机具m件，购进乙种农机具（10﹣m）件， 根据题意得：， 解得：4.8≤m≤7． ∵m为整数． ∴m可取5、6、7． ∴有三种方案： 方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件． 方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件． 方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件． 设总资金为w万元． w＝1.5m+0.5（10﹣m）＝m+5． ∵k＝1＞0， ∴w随着m的减少而减少， ∴m＝5时，w最小＝1×5+5＝10（万元）． ∴方案一需要资金最少，最少资金是10万元． （3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具a件，乙种农机具b件， 由题意得：（1.5﹣0.7）a+（0.5﹣0.2）b＝0.7×5+0.2×5， 其整数解：或， ∴节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有两种： 方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件． 方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件． 32．（2024春•花山区校级期中）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择． 【解答】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得： ， 解之得：， 答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元． （2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个； 由题意得： 解之得：8≤m≤10 因为m取整数，所以m可以取的值为：8，9，10 即：学校的购买方案有以下三种： 方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个， 方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个， 方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个． 33．（2024春•池州期中）某学校组织340名师生进行长途考查活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李． （1）请你帮助学校设计所有可行的租车方案； （2）如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，问哪种可行方案使租车费用最省？ 【解答】解：（1）设租用甲车x辆，则乙车（10﹣x）辆．根据题意，得 ， 解，得 4≤x≤7.5． 又x是整数， ∴x＝4或5或6或7． 共有四种方案： ①甲4辆，乙6辆； ②甲5辆，乙5辆； ③甲6辆，乙4辆； ④甲7辆，乙3辆． （2）①甲4辆，乙6辆；总费用为4×2000+6×1800＝18800元； ②甲5辆，乙5辆；总费用5×2000+5×1800＝19000元； ③甲6辆，乙4辆；总费用为6×2000+4×1800＝19200元； ④甲7辆，乙3辆．总费用为7×2000+3×1800＝19400元； 因为乙车的租金少，所以乙车越多，总费用越少． 故选方案①． 考点06 整式乘法的应用（共4小题） 34．（2025春•霍邱县期中）阅读下面例题的解题过程：例：已知x2＝m，x3＝n，请你用含m，n的代数式表示x11． 解：因为x2＝m，x3＝n，所以x11＝x2•（x3）3＝mn3． （1）一位同学发现解答此例题还有另一种思路，请你补全解题答案：x11＝（x2）4•x3＝ ； （2）解决问题：若a＝45，b＝54，试用含a，b的代数式表示2020＝ ． 【答案】（1）m4n； （2）a4b5． 【解答】解：（1）x11＝（x2）4•x3＝m4n． 故答案为：m4n． （2）∵2020＝（4×5）4×5＝（45）4×（54）5＝a4b5． 故答案为：a4b5． 35．（2025春•烈山区校级期中）阅读下面的材料：我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：am+n＝am•an，amn＝（am）n＝（an）m，如下列探究： 探究一：比较215与312的大小． 解：因为215＝（25）3＝323，312＝（34）3＝813， 又因为32＜81，所以323＜813，所以215＜312， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 探究二：比较28和82的大小． 解：因为82＝（23）2＝26，且8＞6，所以28＞26，即28＞82， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： （1）比较244，422的大小； （2）比较724，436，348，260的大小； （3）比较312×510与310×512的大小． 【解答】解：（1）仿照探究二比较如下： ∵244＝（24）11＝1611，422＝（42）11＝1611， ∴244＝422； （2）∵724＝（72）12＝4912，436＝（43）12＝6412，348＝（34）12＝8112，260＝（25）12＝3212， ∴8112＞6412＞4912＞3212， ∴348＞436＞724＞260； （3）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52， ∴310×512＞312×510． 36．（2025春•颍上县期中）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m＞1），甲、乙的面积分别为S1，S2． （1）比较S1与S2的大小：S1　　 S2（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）若满足条件|S1﹣S2|≤n＜2025的整数n有且只有3个，则整数m的值为　 　 ． 【答案】（1）＜； （2）2023． 【解答】解：（1）因为，， 所以． 因为m＞1， 所以﹣m+1＜0， 所以S1﹣S2＜0， 所以S1＜S2； （2）由（1），得|S1﹣S2|＝|﹣m+1|＝m﹣1． 因为m﹣1≤n＜2025的整数n有且只有3个， 所以这3个整数解为2024，2023，2022， 所以2021＜m﹣1≤2022， 解得2022＜m≤2023． 因为m为整数， 所以m＝2023． 37．（2023春•天长市校级期中）观察以下等式： （x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1 （x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27 （x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216 … （1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）＝a3+b3； （2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）． 【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3； 故答案为：a2﹣ab+b2； （2）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+ba2﹣ab2+b3＝a3+b3； （3）原式＝（x3+y3）﹣（x3+8y3）＝﹣7y3． 考点07 乘方公式的应用（共11小题） 38．（2025春•包河区校级期中）我们知道，1+2+3+…+n，关于这个公式的推导方法，有很多，比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法： 首先，我们知道：（n+1）2＝n2+2n+1， 变形一下，就是（n+1）2﹣n2＝2n+1， 依次给n一些特殊的值：1，2，3，…，我们就能得到下面一列式子： 22﹣12＝2×1+1； 32﹣22＝2×2+1； 42﹣32＝2×3+1； … （n+1）2﹣n2＝2×n+1； 观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到（n+1）2﹣12＝2×（1+2+3+…+n）+n， 观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为S就是：（n+1）2﹣12＝2×S+n， 把S表示出来，得到：S＝1+2+3+…+n． 用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下S＝12+22+32+…+n2的值． 【解答】解：∵n3﹣（n﹣1）3＝3n2﹣3n+1， ∴当式中的n从1、2、3、依次取到n时，就可得下列n个等式： 13﹣03＝3﹣3+1， 23﹣13＝3×22﹣3×2+1， 33﹣23＝3×32﹣3×3+1， …， n3﹣（n﹣1）3＝3n2﹣3n+1， 将这n个等式的左右两边分别相加得：n3＝3×（12+22+32+…+n2）﹣3×（1+2+3+…+n）+n， 即12+22+32+42+…+n2n（n+1）（2n+1）． 39．（2025春•包河区校级期中）阅读材料：整体思想是数学中的重要思想，其核心是通过全局视觉处理问题，将多个局部元素视为整体，简化运算或发现隐藏关系，主要有整体代入，整体运算，整体构建等方法．例：因式分解： （x+y）2+2（x+y）+1， 把“x+y”看成整体，即x+y＝A， 原式＝A2+2A+1＝（A+1）2， ∴原式＝（x+y+1）2． 请依据上面的材料解决有关问题： （1）因式分解：（a2﹣a）2+2（a2﹣a）+1＝　 ； （2）已知x2﹣2y＝1，则6y﹣3x2﹣1＝　 ． （3）若x2﹣10x+20＝0，求出（x﹣2）（x﹣4）（x﹣6）（x﹣8）的值，写出过程． 【答案】（1）（a2﹣a+1）2； （2）﹣4； （3）﹣16． 【解答】解：（1）把a2﹣a看作整体A， 则原式＝A2+2A+1 ＝（A+1）2 ＝（a2﹣a+1）2． 故答案为：（a2﹣a+1）2； （2）∵x2﹣2y＝1， ∴6y﹣3x2﹣1 ＝﹣3（x2﹣2y）﹣1 ＝﹣3×1﹣1 ＝﹣3﹣1 ＝﹣4． 故答案为：﹣4； （3）∵（x﹣2）（x﹣8）＝x2﹣10x+16，（x﹣4）（x﹣6）＝x2﹣10x+24， ∴（x﹣2）（x﹣4）（x﹣6）（x﹣8） ＝[（x2﹣10x）+16][（x2﹣10x）+24] ∵x2﹣10x+20＝0， ∴x2﹣10x＝﹣20， ∴原式＝（﹣20+16）×（﹣20+24） ＝﹣4×4 ＝﹣16． 40．（2025春•濉溪县校级期中）如图，点M是线段AB的中点，点P在MB上，分别以AP，PB为边，在线段AB同侧作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME，设AP＝m，BP＝n，且m+n＝6，mn＝7． （1）线段AM的长为　　 ； （2）图中阴影部分的面积为　　 ． 【答案】3，13． 【解答】解：由条件可知AB＝m+n， ， ， 又∵点M是AB的中点，m+n＝6， ∴， ∴， ， ∴S阴影面积＝（S正方形APCD+S正方形PBEF）﹣（S△DAM+S△MBE） ， ∵m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝36﹣2×7＝22， ∴ ＝13． 故答案为：3，13． 41．（2024春•潜山市期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝29时，求出图3中阴影部分的面积S3． 【解答】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab； （2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab， ∵a+b＝10，ab＝23， ∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×23＝31； （3）由图可得，S3＝a2+b2b（a+b）a2（a2+b2﹣ab）， ∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝29， ∴S329． 42．（2025春•包河区期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个相同的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）； 图1表示：　 ； 图2表示：　 ． （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若x+y＝4，x2+y2＝13，求xy的值； ②如果2m+3n＝5，mn＝1，求4m2﹣9n2的值； ③请直接写出下列问题答案：如果（2024﹣n）（n﹣2025）＝﹣3，（2024﹣n）2+（n﹣2025）2＝　7　 ． 【解答】解：（1）图1中，由图可知S大正方形＝（a+b）2， S组成大正方形的四部分的面积之和＝a2+b2+2ab， 由题意得，S大正方形＝S组成大正方形的四部分的面积之和， 即（a+b）2＝a2+b2+2ab； 图2中，由图可知S大正方形＝（a+b）2，S小正方形＝（a﹣b）2，S四个长方形＝4ab， 由题图可知，S大正方形＝S小正方形+S四个长方形， 即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， 故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （2）①由题意得：（x+y）2＝x2+2xy+y2， ∵x+y＝4，x2+y2＝13， ∴xy； ②∵（2m﹣3n）2＝（2m+3m）2﹣4×2m×3n＝（2m+3m）2﹣24mn＝1， ∴2m﹣3n＝±1， ∴4m2﹣9n2＝（2m+3m）（2m﹣3m）＝±5； ③设A＝2024﹣n，B＝n﹣2025， ∵（2024﹣n）（n﹣2025）＝﹣3， ∴AB＝﹣3，A+B＝﹣1， ∴A2+B2＝（A+B）2﹣2AB＝1+6＝7； 故答案为：7． 43．（2025春•萧县期中）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为（a+b）2＝a2+2ab+b2． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 ． 【应用】根据图②所得的公式，若a+b＝10，ab＝5，则a2+b2＝ 　　 ． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，AC＝7，直接写出种草区域的面积和． 【答案】【类比探究】a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； 【应用】90； 【拓展】种草区域的面积和为12． 【解答】解：【类比探究】由题意知，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； 【应用】∵a+b＝10，ab＝5， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×5＝90， 故答案为：90； 【拓展】∵AC⊥BD，AE＝DE，BE＝CE， ∴，，， ∵， ∴AE2+BE2＝25， ∵AC＝AE+CE＝AE+BE＝7，AE2+BE2＝（AE+BE）2﹣2AE×BE， ∴25＝72﹣2AE×BE， 解得，AE×BE＝12， ∴种草区域的面积和为S△CDE+S△ABE＝AE×BE＝12， ∴种草区域的面积和为12． 44．（2025春•萧县期中）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形空地修建雕像，其余部分铺设草坪（阴影部分）． （1）求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示） （2）若a、b满足（x+2）（x+3）＝x2+ax+b时，草坪的单价为每平方米50元．求购买草坪所需要的总费用． 【解答】解：（1）S阴影部分＝S长方形﹣S正方形 ＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2 ＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2 ＝（5a2+3ab）平方米； （2）∵（x+2）（x+3）＝x2+5x+6＝x2+ax+b， ∴a＝5，b＝6， ∴草坪的面积为5×52+3×5×6＝215（平方米）， ∴购买草坪所需要的总费用为215×50＝10750（元）． 45．（2025春•瑶海区期中）通过前面的学习，我们已经知道，对于一个图形（a+b）2＝a2+2ab+b2；如图2可以得到：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形． （1）【探索发现】根据图3中条件，猜想并验证（a+b）2与（a﹣b）2之间的关系（用含a、b的代数式表示出来）； （2）【解决问题】 ①若x+y＝8，x2+y2＝40，则xy＝　　 ： ②当（x﹣300）（200﹣x）＝1996时．求（2x﹣500）2． （3）【拓展探究】如图4，两个正方形ABCD、CEFG的边长分别为x，y（x＞y）．若这两个正方形的面积之和为34，且BE＝8，求图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）图3中大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，中间小正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，4个长方形的面积和为4ab， 所以有（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （2）①∵x+y＝8， ∴（x+y）2＝64， 即x2+y2+2xy＝64， ∵x2+y2＝40， ∴xy＝12， 故答案为：12； ②设a＝x﹣300，b＝200﹣x，则a+b＝﹣100，ab＝（x﹣300）（200﹣x}＝1996， ∴（2x﹣500）2 ＝（a﹣b）2 ＝（a+b）2﹣4ab ＝10000﹣4×1996 ＝2016． （3）设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，则a+b＝BE＝8，a2+b2＝34， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，即64＝34+2ab， ∴ab＝15， 又∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，即（a﹣b）2＝64﹣60＝4， ∴a﹣b＝2，（取正值） ∴S阴影a2b（a﹣b） a2abb2 （a+b）（a﹣b）ab 8×215 ． 46．（2025秋•芜湖期中）观察： ； ； … 探究： （1）82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣12＝　 　 （直接写答案）； （2）求（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+⋯+22﹣12的值； 应用： （3）如图，10个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为10cm，向里依次为9cm，8cm，⋯，1cm，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留π） 【答案】（1）36； （2）n+2n2； （3）55πcm2． 【解答】解：（1）原式＝（8+7）（8﹣7）+（6+5）（6﹣5）+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1） ＝8+7+6+5+4+3+2+1 ＝36， 故答案为：36； （2）根据题意，得（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+⋯+22﹣12 ＝2n+2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+⋯+2+1 ＝n+2n2； （3）所有阴影部分的面积和为：102π﹣92π+82π﹣72π+⋯+22π﹣12π ＝（102﹣92+82﹣72+⋯+22﹣12）π ＝（10+9+8+⋯+2+1）π ＝55πcm2． 47．（2025春•安徽校级期中）如图所示：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形． （1）上述操作能验证的等式是 B ． A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） （2）已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ 　 　 ． （3）应用所得的公式计算：20252﹣2024×2026． （4）应用所得的公式计算：． 【答案】（1）B； （2）4； （3）1； （4）． 【解答】解：（1）∵图1的面积＝a2﹣b2，图2的面积＝（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：B； （2）∵4a2﹣b2＝24， ∴（2a+b）（2a﹣b）＝24， ∵2a+b＝6， ∴2a﹣b＝24÷6＝4， 故答案为：4； （3）20252﹣2024×2026 ＝20252﹣（2025+1）（2025﹣1） ＝20252﹣20252+1 ＝1； （4） ． 48．（2025春•砀山县期中）请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中的面积关系，可以验证下列哪些等式 　 　 ； ①a2+b2＝（a+b）（a﹣b）； ②a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； ③a2+b2＝（a+b）2+2ab； ④（a+b）2＝a2+b2+2ab； （2）如果图中的a，b（a＞b）满足a+b＝7，ab＝12． ①求（a﹣b）2的值； ②求a2﹣5ab+b2的值． 【答案】（1）②④； （2）①1；②﹣35． 【解答】解：（1）图中阴影部分是两个正方形的面积和，即a2+b2，阴影部分的面积也可以看作大正方形面积与空白部分面积的差，即（a+b）2﹣2ab， 所以有a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或（a+b）2＝a2+b2+2ab， 故答案为：②④； （2）①∵a+b＝7，ab＝12． ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝49﹣48＝1； ②∵a+b＝7，ab＝12．（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝49﹣24＝25， ∴a2﹣5ab+b2＝25﹣5×12＝﹣35． 考点08 因式分解的应用（共3小题） 49．（2025春•蜀山区校级期中）设实数满足x3＝﹣2x+1，若x7＝ax2+bx+c，则a﹣2b+c的值为（　　） A．﹣14 B．14 C．﹣6 D．6 【答案】B 【解答】解：根据题意，设t＝x3＝﹣2x+1， ∴x7＝（x3）2•x ＝t2•x ＝（﹣2x+1）2•x ＝4x3﹣4x2+x ＝4（﹣2x+1）﹣4x2+x ＝﹣4x2﹣7x+4， ∴﹣4x2﹣7x+4＝ax2+bx+c， ∴a＝﹣4，b＝﹣7，c＝4， ∴a﹣2b+c＝﹣4+14+4＝14， 故选：B． 50．（2025春•庐阳区校级期中）对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以开始把多项式进行因式分解． （1）求式子中m、n的值： （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+2x2﹣5x﹣6． 【答案】（1）m＝﹣3，n＝﹣5； （2）（x+1）（x+3）（x﹣2）． 【解答】解：（1）∵x3﹣5x2+x+10＝x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n， ∴， 解得； （2）由条件可知：x3+2x2﹣5x﹣6＝（﹣1）3+2（﹣1）2﹣5×（﹣1）﹣6＝0， ∴x＝﹣1是根， ∴x3+2x2﹣5x﹣6＝（x+1）（x2+x﹣6）＝（x+1）（x+3）（x﹣2）． 51．（2025春•蜀山区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“小西数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“小西数”）． （1）将“小西数”96表示为两个连续奇数的平方差为96＝　 ； （2）在不超过2025的正整数中，所有的“小西数”之和为　 　 ． 【答案】（1）252﹣232；（2）257048． 【解答】解：（1）设两个连续的奇数为2n﹣1、2n+1（n为正整数）， （2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝4n2+4n+1﹣（4n2﹣4n+1） ＝8n， 即8n＝96， 所以n＝12， 两个连续的奇数为2×12﹣1＝23，2×12+1＝25， 所以96＝252﹣232． 故答案为：252﹣232． （2）设两个连续的奇数为2n﹣1、2n+1（n为正整数）， （2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝4n2+4n+1﹣（4n2﹣4n+1） ＝8n， 因为8n≤2025， 所以， 因为n为正整数， n最大是253， 253×8＝2024， 所有“小西数”组成的等差数列是8、16、24、……、2024， 和为：8+16+24+……+2024 ＝8×（1+2+3+……+253） ＝257048． 52．（2024春•庐阳区校级期中）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如，由图1可以得到：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图2可以得到：　 ； （2）利用图2所得的等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，则a2+b2+c2的值为 　 　 ； ②若实数x，y，z满足8x×4y÷2z＝4，9x2+4y2+z2＝44，求6xy﹣3xz﹣2yz的值． 【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+2ac+c2+2ab+b2+2bc； （2）①45； ②﹣20． 【解答】解：（1）由图2可知，（a+b+c）2＝a2+2ac+c2+2ab+b2+2bc， 故答案为：（a+b+c）2＝a2+2ac+c2+2ab+b2+2bc； （2）①根据（a+b+c）2＝a2+2ac+c2+2ab+b2+2bc，a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38， 可得：a2+b2+c2 ＝（a+b+c）2﹣2（ac+ab+bc） ＝112﹣2×38 ＝121﹣76 ＝45， 故答案为：45； ②∵8x×4y÷2z＝4， ∴23x×22y÷2z＝22， ∴23x+2y﹣z＝22， ∴3x+2y﹣z＝2， ∵9x2+4y2+z2＝44， ∴（3x）2+（2y）2+z2＝44， ∴（3x+2y﹣z）2＝（3x）2+（2y）2+z2+12xy﹣6xz﹣4yz， ∴12xy﹣6xz﹣4yz ＝（3x+2y﹣z）2﹣（3x）2﹣（2y）2﹣z2 ＝4﹣44 ＝﹣40， ∴6xy﹣3xz﹣2yz＝﹣20． 53．（2023春•定远县校级期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1 ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1 ∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 （1）知识再现：当x＝　　 时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 　　 ； （2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝　　 时，y有最 　　 值（填“大”或“小”），这个值是 　　 ； （3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值． 【解答】解：（1）∵x2﹣6x+12＝（x﹣3）2+3， ∴当x＝3时，有最小值3； 故答案为3，3． （2）∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2， ∴当x＝1时有最大值﹣2； 故答案为1，大，﹣2． （3）∵﹣x2+3x+y+5＝0， ∴x+y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6， ∵（x﹣1）2≥0， ∴（x﹣1）2﹣6≥﹣6， ∴当x＝1时，y+x的最小值为﹣6． 54．（2023春•潜山市期中）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则 原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2． 上述解题时用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝　 ． （2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4； （3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方． 【解答】解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）2 ＝（x﹣y+1）2； （2）令A＝a+b，则原式变为A（A﹣4）+4＝A2﹣4A+4＝（A﹣2）2， 故（a+b）（a+b﹣4）+4＝（a+b﹣2）2； （3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1 ＝（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1 ＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1 ＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1 ＝（n2+3n+1）2， ∵n为正整数， ∴n2+3n+1也为正整数， ∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方． 55．（2025春•庐阳区校级期中）实践与探究； 如图，有正方形纸片A，B和长方形纸片C各若干张．（其中正方形纸片A的边长为a，正方形纸片B的边长为b，长方形纸片C的长为a，宽为b．） （1）①请你选取适当数量的三种纸片，拼成一个长为（a+2b）、宽为（a+b）的长方形，在方框中画出拼好后的图形． ②上述拼图共用了 　　 张A纸片，　　 张B纸片． 　　 张C纸片，通过面积计算可以发现（a+2b）（a+b）＝ ． （2）①请你用这三种纸片拼出面积为3a2+4ab+b2的长方形，在方框中画出拼好后的图形． ②上述拼图共用了 　　 张A纸片，　　 张B纸片，　　 张C纸片． 通过面积计算可以发现3a2+4ab+b2＝ 　 　 ． ③利用拼图把下列多项式分解因式： a2+3ab+2b2＝ 　 　 ； 3a2+5ab+2b2＝ 　 　 ． 【答案】（1）①见解答过程； ②1，2，3，a2+3ab+2b2； （2）①见解答过程； ②3，1，4；（3a+b）（a+b）； ③（a+2b）（a+b）；（3a+2b）（a+b）． 【解答】解：（1）①如图所示： ②观察拼图，共用1张A纸片，2张B纸片，3张C纸片， 图形的面积＝（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． 故答案为：1，2，3；a2+3ab+2b2； （2）①如图所示： ； ②观察拼图，共用3张A类纸片，1张B类纸片，4张C类纸片， 根据图形面积可知3a2+4ab+b2＝（3a+b）（a+b）； ③因式分解： a2+3ab+2b2 ＝（a+2b）（a+b）， 3a2+5ab+2b2 ＝（3a+2b）（a+b）． 故答案为：3，1，4；（3a+b）（a+b）；（a+2b）（a+b）；（3a+2b）（a+b）． 56．（2025春•天长市期中）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则： 原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81＝　（x﹣3）4 ； （2）若（2024﹣x）（x﹣2025），求（2024﹣x）2+（x﹣2025）2的值； （3）求证：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值一定是某一个整数的平方． 【答案】（1）（x﹣3）4； （2）2； （3）式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值一定是某一个整数的平方 【解答】解：（1）令x2﹣6x＝A， （x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81 ＝A（A+18）+81 ＝A2+18A+81 ＝（A+9）2 ＝（x2﹣6x+9）2； ＝（x﹣3）4； 故答案为：（x﹣3）4； （2）因为（2024﹣x）（x﹣2025）， 令2024﹣x＝a，x﹣2025＝b， 则ab，a+b＝﹣1， （2024﹣x）2+（x﹣2025）2 ＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝2； （3）（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1 ＝（n+1）（n+4）×（n+2）（n+3）+1 ＝（n2+5n+4）×（n2+5n+6）+1， 令n2+5n+4＝a， 原式＝a×（a+2）+1 ＝a2+2a+1 ＝（a+1）2 ＝（n2+5n+5）2， 因为n为正整数， 所以n2+5n+5是整数， 所以式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值一定是某一个整数的平方． 57．（2025春•蜀山区校级期中）在学习第八章“整式乘法与因式分解”这一章内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式： ； （2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）在直角△ABC中，∠C＝90°，三边分别为a、b、c，a+b＝7，ab＝12，直接写出c的值为 　　 ． 【答案】（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （2）a2+b2＝c2； （3）5． 【解答】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （2）方法一： （a+b）×（a+b）÷2 ＝（a+b）2÷2 ， 方法二： ， 发现： ， ， 即a2+b2＝c2； （3）因为在直角△ABC中，∠C＝90°， 所以a2+b2＝c2， 因为a+b＝7，ab＝12，且a＞0，b＞0，c＞0， 所以a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝72﹣2×12 ＝25， 即c2＝25， c＝5． 故答案为：5． 58．（2025春•肥西县校级期中）综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 项目背景 数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． 问题探究 提出问题 （1）由图2可以得到：　 迁移应用 （2）利用图2所得的等式解答下列问题：若实数a，b，c满足a+b+c＝6，a2+b2+c2＝10，求ab+bc+ac的值． 拓展创新 （3）请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式：（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2（画出一种即可） 【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （2）13； （3）（答案不唯一）． 【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac． （2）由（1）可知：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， ∵a+b+c＝6，a2+b2+c2＝10， ∴． （3）如图： （答案不唯一）． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期中真题百练通关（58题8大考点压轴题型） 考点01 实数中的规律探究 考点05 一元一次不等式（组）的应用 考点02 实数的估算与大小比较 考点06 整式乘法的应用 考点03 实数的运算 考点07 乘方公式的应用 考点04 一元一次不等式（组）整数解 考点08 因式分解的应用 考点01 实数中的规律探究（共10小题） 1．（2025秋•宿州期中）观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…． 根据上述规律，解答下面的问题： （1）请写出第6个等式：　　 ； （2）根据等式的规律，请写出第n个等式；（n是正整数，用含n的式子表示） （3）计算：． 2．（2023春•贵池区期中）观察等式，解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； （1）请写出第5个等式：　 ． （2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并说明猜想成立的理由． 3．（2023春•淮北期中）观察下列各式． 第1个等式：； 第2个等式 ； 第3个等式 ； … 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1）第4个等式：　 ． （2）请你按照上面三个等式反映的规律，猜想第n个等式，并给出证明． 4．（2023春•庐阳区校级期中）观察下列各式： （1）请你猜想 　　 ，　 　 ． （2）请你将猜想到的规律用含有自然数n（n≥1）的代数式表达出来，并证明其正确性． 5．（2024春•无为市期中）（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 　　 　　 　　 （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则　　 ； ②已知，，则x＝　　 ． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 6．（2022春•宣州区校级期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：0.01，0.1，1，10，100，…… （1）已知4.47，求的值； （2）已知1.918，191.8，求a的值； （3）根据上述探究方法，尝试解决问题：已知1.26，12.6，用含n的代数式表示m． 7．（2024春•瑶海区期中）阅读材料； 和为整数，4﹣1＝3＝2×1+1； 和为整数，9﹣4＝5＝2×2+1； 和为整数，16﹣9＝7＝2×3+1； 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中a＜b，则有．并给出了证明： ∵和为相邻的两个整数，∴， 等式两边同时平方得：． 　　 得：　 ； 请根据以上材料，解决以下问题： （1）请补全小明的证明过程． （2）若和为两个相邻整数，则a＝　　 ． （3）若和为相差4的两个整数，求a的值． 8．（2025春•安庆校级期中）先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． （1）根据上面三个等式提供的信息，计算：； （2）按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； （3）请利用上述规律来计算：． 9．（2024春•瑶海区期中）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． （1）请你根据以上三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； （2）请你按照以上各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）． （3）应用上述结论，请计算的值． 10．（2024春•南谯区校级期中）观察下列等式：①；②；③． 解决下列问题： （1）根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子； （2）用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律； （3）利用上述结果计算：． 考点02 实数的估算与大小比较（共5小题） 11．（2024春•蜀山区校级期中）对于任意实数x，x均能写成其整数部分[x]与小数部分{x}的和，即x＝[x]+{x}，其中[x]称为x的整数部分，表示不超过x的最大整数，{x}称为x的小数部分．如7.12＝[7.12]+{7.12}＝7+0.12，[7.12]＝7，{7.12}＝0.12，则下列结论正确的有（　　） ①； ②若，，则{x}×y＝﹣1； ③若[x]＝4，[y]＝2则[x+y]所有可能的值为6和7； ④[x+y]≤[x]+[y]． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2025春•肥西县期中）阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为1.4﹣1＝0.4；的整数部分为1，小数部分为；再如，﹣3.8的整数部分为﹣4，小数部分为|﹣3.8﹣（﹣4）|＝0.2．由此得到：若，其中x是整数，且0＜y＜1，则． 根据材料，回答下列问题： （1）若，其中m是整数，且0＜n＜1，则m＝　　 ，n＝　 ； （2）若，其中a是整数，且0＜b＜1，求|a+b|﹣（b﹣1）的值； （3）若，其中p是整数，且0＜q＜1，求p﹣q的值． 13．（2024春•天长市期中）阅读材料：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答下列问题： （1）的整数部分是 　　 ，小数部分是 　 　 ； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的平方根； （3）已知，其中m是整数，且0＜n＜1，求n﹣m的绝对值． 14．（2024春•桐城市校级期中）学习了无理数后，老师教了同学们一种估算无理数的近似值的新方法． 例如：估算的近似值． ∵34， ∵设3+m，显然0＜m＜1． ∴13＝9+6m+m2． ∴6m＝4﹣m2． ∵0＜m＜1， ∴4﹣1＜6m＜4﹣0． ∴0.5＜m＜0.67． ∴3.5＜3+m＜3.67． 故的值在3.5与3.67之间． （1）请你依照上面的方法，估算的近似值在 　　 与 　 　 之间； （2）对于任意一个大于1的无理数，若的整数部分为b，小数部分为m式表示m的大致范围． 15．（2023春•贵池区期中）阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 解答下列问题： （1）的整数部分是 　　 ，小数部分是 　 　 ； （2）已知x是的小数部分，y是的小数部分，求x﹣y的值． 考点03 实数的运算（共5小题） 16．（2025春•庐江县校级期中）若a和b是有理数，且满足b＝0，则a＝b＝0． 根据上述材料，解决下列问题： （1）若（a+2）π+b+4＝0，则ab的立方根为　　 ； （2）若（a﹣b）2a﹣b＝8，则a+b的平方根为　 　 ． 17．（2024春•金安区校级期中）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示，设点A所表示的数为m． （1）实数m的值是 　 ； （2）求（m+2）2+|m+1|的值； （3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求2c+2d的平方根． 18．（2025春•黄山期中）老师给同学们布置了这样一道练习题：一个数的算术平方根为2m﹣6，它的平方根为±（m﹣2），求这个数．小张的解法如下： 解：依据题意可知：∵2m﹣6是m﹣2和﹣（m﹣2）两个数中的一个． 当2m﹣6＝m﹣2时，解得m＝4 ∴2m﹣6＝2×4﹣6＝2…① ∴这个数是2…② 当2m﹣6＝﹣（m﹣2）时，解得 ∴③ ∴这个数是④ 综上可得：这个数为2或． （1）王老师看后说小张的解法是错误的，请你指出以上序号标注的步骤中错误的有：　 　 （填写序号）； （2）请你帮助小张写出正确过程． 19．（2024春•界首市校级期中）如图，把两个面积均为18cm2的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形纸片． （1）求大正方形纸片的边长； （2）若沿此大正方形边的方向裁剪出一个长方形，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之比为3：1，且面积为24cm2？若能，请求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由． 20．（2024春•太和县期中）如图，这是一个无理数筛选器的工作流程图． （1）当x＝49时，y＝　　 ；当x＝16时，y＝　 　 ． （2）当输入x的值小于100，且输出y的值是时，输入x的值可以是 　 　 ． 考点04 一元一次不等式（组）整数解（共7小题） 21．（2024春•瑶海区期中）若关于x，y的方程组的解满足x﹣y，则m的最小整数解为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 22．（2025春•庐阳区校级期中）如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为x≥1，则所有符合条件的整数a的和为（　　） A．﹣5 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣12 23．（2025春•包河区期中）已知关于x的不等式2x﹣n＜3（x+1）． （1）当n＝2025时，该不等式的解集为　 ； （2）若该不等式的负整数解有且只有2个，则n的取值范围是　 ． 24．（2025春•涡阳县期中）已知2y﹣4与y﹣a是一个正数的两个平方根． （1）若a＝5，则这个正数是 　　 ； （2）若y为整数，且关于x的不等式组有解且最多有2个整数解，则a＝ 　　 ． 25．（2025春•淮北期中）已知关于x的不等式组． （1）若该不等式组的解集是﹣1≤x＜5，则ab的值是　　 ； （2）若b＝2，该不等式组的整数解有5个，则a的取值范围是　 　 ． 26．（2025春•瑶海区校级期中）已知关于x的不等式组． （1）若不等式组有解，则m的取值范围是 　 ． （2）若该不等式组的所有整数解的和为﹣5，则m的取值范围为 　 　 ． 27．（2025春•合肥校级期中）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程是该不等式组的关联方程．例如：方程x﹣2＝0的解为x＝2，不等式组的解集为﹣1＜x＜3，所以称方程x﹣2＝0为不等式组的关联方程． （1）在方程①2x+3＝0，②，③x﹣（4x﹣1）＝﹣2中，是不等式组的关联方程有　　 ；（填序号） （2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，且此关联方程是3x+m＝0，求常数m的值； （3）是否存在实数a，使得方程和2x+5＝0都是关于x的不等式组的关联方程？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由． 考点05 一元一次不等式（组）的应用（共6小题） 28．（2024春•定远县校级期中）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 29．（2025春•包河区校级期中）疫情期间，政府积极组织各商家开通便民服务，甲乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按85%收费，在乙商店累计超过100元后，超出部分按照90%收费． （1）若小明妈妈准备用420元去采购物资，你建议小明妈妈去 　　 商场花费少（直接写出“甲”或“乙”）； （2）设某顾客累计了购物花费x（x＞200）元，若在甲商场购物，则实际花费 　　 元，若在乙商场购物，则实际花费 　 　 元．（均用含x的式子表示）； （3）某顾客计划采购一件商品，经过测算选择在乙商场更优惠，求该顾客购买该商品的标价范围． 30．（2025春•宁国市期中）某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价） 甲 乙 进价（元/件） 14 35 售价（元/件） 20 43 （1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ （2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案． 31．（2024春•蜀山区校级期中）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元． （1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ （3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？ 32．（2024春•花山区校级期中）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择． 33．（2024春•池州期中）某学校组织340名师生进行长途考查活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李． （1）请你帮助学校设计所有可行的租车方案； （2）如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，问哪种可行方案使租车费用最省？ 考点06 整式乘法的应用（共4小题） 34．（2025春•霍邱县期中）阅读下面例题的解题过程：例：已知x2＝m，x3＝n，请你用含m，n的代数式表示x11． 解：因为x2＝m，x3＝n，所以x11＝x2•（x3）3＝mn3． （1）一位同学发现解答此例题还有另一种思路，请你补全解题答案：x11＝（x2）4•x3＝ ； （2）解决问题：若a＝45，b＝54，试用含a，b的代数式表示2020＝ ． 35．（2025春•烈山区校级期中）阅读下面的材料：我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：am+n＝am•an，amn＝（am）n＝（an）m，如下列探究： 探究一：比较215与312的大小． 解：因为215＝（25）3＝323，312＝（34）3＝813， 又因为32＜81，所以323＜813，所以215＜312， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 探究二：比较28和82的大小． 解：因为82＝（23）2＝26，且8＞6，所以28＞26，即28＞82， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： （1）比较244，422的大小； （2）比较724，436，348，260的大小； （3）比较312×510与310×512的大小． 36．（2025春•颍上县期中）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m＞1），甲、乙的面积分别为S1，S2． （1）比较S1与S2的大小：S1　　 S2（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）若满足条件|S1﹣S2|≤n＜2025的整数n有且只有3个，则整数m的值为　 　 ． 37．（2023春•天长市校级期中）观察以下等式： （x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1 （x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27 （x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216 … （1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）＝a3+b3； （2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）． 考点07 乘方公式的应用（共11小题） 38．（2025春•包河区校级期中）我们知道，1+2+3+…+n，关于这个公式的推导方法，有很多，比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法： 首先，我们知道：（n+1）2＝n2+2n+1， 变形一下，就是（n+1）2﹣n2＝2n+1， 依次给n一些特殊的值：1，2，3，…，我们就能得到下面一列式子： 22﹣12＝2×1+1； 32﹣22＝2×2+1； 42﹣32＝2×3+1； … （n+1）2﹣n2＝2×n+1； 观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到（n+1）2﹣12＝2×（1+2+3+…+n）+n， 观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为S就是：（n+1）2﹣12＝2×S+n， 把S表示出来，得到：S＝1+2+3+…+n． 用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下S＝12+22+32+…+n2的值． 39．（2025春•包河区校级期中）阅读材料：整体思想是数学中的重要思想，其核心是通过全局视觉处理问题，将多个局部元素视为整体，简化运算或发现隐藏关系，主要有整体代入，整体运算，整体构建等方法．例：因式分解： （x+y）2+2（x+y）+1， 把“x+y”看成整体，即x+y＝A， 原式＝A2+2A+1＝（A+1）2， ∴原式＝（x+y+1）2． 请依据上面的材料解决有关问题： （1）因式分解：（a2﹣a）2+2（a2﹣a）+1＝　 ； （2）已知x2﹣2y＝1，则6y﹣3x2﹣1＝　 ． （3）若x2﹣10x+20＝0，求出（x﹣2）（x﹣4）（x﹣6）（x﹣8）的值，写出过程． 40．（2025春•濉溪县校级期中）如图，点M是线段AB的中点，点P在MB上，分别以AP，PB为边，在线段AB同侧作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME，设AP＝m，BP＝n，且m+n＝6，mn＝7． （1）线段AM的长为　　 ； （2）图中阴影部分的面积为　　 ． 41．（2024春•潜山市期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝29时，求出图3中阴影部分的面积S3． 42．（2025春•包河区期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个相同的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）； 图1表示：　 ； 图2表示：　 ． （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若x+y＝4，x2+y2＝13，求xy的值； ②如果2m+3n＝5，mn＝1，求4m2﹣9n2的值； ③请直接写出下列问题答案：如果（2024﹣n）（n﹣2025）＝﹣3，（2024﹣n）2+（n﹣2025）2＝　7　 ． 43．（2025春•萧县期中）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为（a+b）2＝a2+2ab+b2． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 ． 【应用】根据图②所得的公式，若a+b＝10，ab＝5，则a2+b2＝ 　　 ． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，AC＝7，直接写出种草区域的面积和． 44．（2025春•萧县期中）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形空地修建雕像，其余部分铺设草坪（阴影部分）． （1）求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示） （2）若a、b满足（x+2）（x+3）＝x2+ax+b时，草坪的单价为每平方米50元．求购买草坪所需要的总费用． 45．（2025春•瑶海区期中）通过前面的学习，我们已经知道，对于一个图形（a+b）2＝a2+2ab+b2；如图2可以得到：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形． （1）【探索发现】根据图3中条件，猜想并验证（a+b）2与（a﹣b）2之间的关系（用含a、b的代数式表示出来）； （2）【解决问题】 ①若x+y＝8，x2+y2＝40，则xy＝　　 ： ②当（x﹣300）（200﹣x）＝1996时．求（2x﹣500）2． （3）【拓展探究】如图4，两个正方形ABCD、CEFG的边长分别为x，y（x＞y）．若这两个正方形的面积之和为34，且BE＝8，求图中阴影部分的面积． 46．（2025秋•芜湖期中）观察： ； ； … 探究： （1）82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣12＝　 　 （直接写答案）； （2）求（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+⋯+22﹣12的值； 应用： （3）如图，10个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为10cm，向里依次为9cm，8cm，⋯，1cm，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留π） 47．（2025春•安徽校级期中）如图所示：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形． （1）上述操作能验证的等式是 B ． A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） （2）已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ 　 　 ． （3）应用所得的公式计算：20252﹣2024×2026． （4）应用所得的公式计算：． 48．（2025春•砀山县期中）请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中的面积关系，可以验证下列哪些等式 　 　 ； ①a2+b2＝（a+b）（a﹣b）； ②a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； ③a2+b2＝（a+b）2+2ab； ④（a+b）2＝a2+b2+2ab； （2）如果图中的a，b（a＞b）满足a+b＝7，ab＝12． ①求（a﹣b）2的值； ②求a2﹣5ab+b2的值． 考点08 因式分解的应用（共3小题） 49．（2025春•蜀山区校级期中）设实数满足x3＝﹣2x+1，若x7＝ax2+bx+c，则a﹣2b+c的值为（　　） A．﹣14 B．14 C．﹣6 D．6 50．（2025春•庐阳区校级期中）对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以开始把多项式进行因式分解． （1）求式子中m、n的值： （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+2x2﹣5x﹣6． 51．（2025春•蜀山区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“小西数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“小西数”）． （1）将“小西数”96表示为两个连续奇数的平方差为96＝　 ； （2）在不超过2025的正整数中，所有的“小西数”之和为　 　 ． 52．（2024春•庐阳区校级期中）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如，由图1可以得到：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图2可以得到：　 ； （2）利用图2所得的等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，则a2+b2+c2的值为 　 　 ； ②若实数x，y，z满足8x×4y÷2z＝4，9x2+4y2+z2＝44，求6xy﹣3xz﹣2yz的值． 53．（2023春•定远县校级期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1 ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1 ∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 （1）知识再现：当x＝　　 时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 　　 ； （2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝　　 时，y有最 　　 值（填“大”或“小”），这个值是 　　 ； （3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值． 54．（2023春•潜山市期中）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则 原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2． 上述解题时用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝　 ． （2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4； （3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方． 55．（2025春•庐阳区校级期中）实践与探究； 如图，有正方形纸片A，B和长方形纸片C各若干张．（其中正方形纸片A的边长为a，正方形纸片B的边长为b，长方形纸片C的长为a，宽为b．） （1）①请你选取适当数量的三种纸片，拼成一个长为（a+2b）、宽为（a+b）的长方形，在方框中画出拼好后的图形． ②上述拼图共用了 　　 张A纸片，　　 张B纸片． 　　 张C纸片，通过面积计算可以发现（a+2b）（a+b）＝ ． （2）①请你用这三种纸片拼出面积为3a2+4ab+b2的长方形，在方框中画出拼好后的图形． ②上述拼图共用了 　　 张A纸片，　　 张B纸片，　　 张C纸片． 通过面积计算可以发现3a2+4ab+b2＝ 　 　 ． ③利用拼图把下列多项式分解因式： a2+3ab+2b2＝ 　 　 ； 3a2+5ab+2b2＝ 　 　 ． 56．（2025春•天长市期中）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则： 原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81＝　（x﹣3）4 ； （2）若（2024﹣x）（x﹣2025），求（2024﹣x）2+（x﹣2025）2的值； （3）求证：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值一定是某一个整数的平方． 57．（2025春•蜀山区校级期中）在学习第八章“整式乘法与因式分解”这一章内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式： ； （2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）在直角△ABC中，∠C＝90°，三边分别为a、b、c，a+b＝7，ab＝12，直接写出c的值为 　　 ． 58．（2025春•肥西县校级期中）综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 项目背景 数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． 问题探究 提出问题 （1）由图2可以得到：　 迁移应用 （2）利用图2所得的等式解答下列问题：若实数a，b，c满足a+b+c＝6，a2+b2+c2＝10，求ab+bc+ac的值． 拓展创新 （3）请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式：（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2（画出一种即可） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $