4.陕西第四章近10年真题分类- 【一战成名新中考】2026陕西数学中考必考知识点题组特训

第4章 三角形 2025年5道题（3+0+2）；20分（9+0+11） 3．（2025陕西3题3分）如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC．若∠1＝52°，则∠2的度数为（A） A．76° B．74° C．64° D．52° 5．（2025陕西5题3分）如如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（C） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（2025陕西7题3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（C） A．10 B．8 C．5 D．4 C【解析】∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴AB＝BC＝4，∠A＝∠B＝90°，∵点E是AB的中点，∴AE＝BEAB＝2，在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE，∠A＝∠B＝90°，EF⊥EC，∴∠BCE+∠BEC＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，∴∠BCE＝∠AEF，∴△BCE∽△AEF，∴，∴EF，∴△CEF的面积为：CE•EF5． 故选：C． 19．（2025陕西19题5分）如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC．求证：BE＝AC． 证明：∵点D是BC延长线上一点，DE∥AB， ∴∠D＝∠ABC， 在△BDE和△ABC中，， ∴△BDE≌△ABC（SAS）， ∴BE＝AC． 21.（2025陕西21题6分）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22m．已知DE＝1.7m，点A，B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直．求信号杆的高AB．（参考数据：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17） 解：过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H，如图所示： ∵AB，DE均与水平线FC垂直， ∴DE∥AC， ∴∠DBH＝∠BDE＝72.5°， ∵DH⊥AC， ∴∠DHI＝90°， 在Rt△DBH中，， 则HD＝BD×sin72.5°＝22×0.95＝20.9（m）， 在Rt△DBH中，BD＝22m，， 则BH＝BD×cos72.5°＝22×0.30＝6.6（m）， ∵过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H，DE∥AC， ∴∠EDH＝∠DHI＝∠HIE＝90°， ∴四边形EDHI是矩形， ∴EI＝HD＝20.9m， ∴∠AEI＝45°，∠AIE＝90°， ∴∠EAI＝45°， ∴AI＝EI＝20.9m， ∴AB＝AI+IH﹣BH＝20.9+1.7﹣6.6＝16（m）， 信号杆的高AB为16m． 2024年6道题（3+1+2）；23分（9+3+11） 3．（3分）如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，则∠D的度数为（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° B【解析】 解法一：∵AB∥DC，∴∠B+∠C＝180°，∵BC∥DE，∴∠C＝∠D，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝145°，∴∠D＝35°，故选B． 解法二：如解图，连接AD，由题意得AB∥DC，BC∥DE，∴AD∥BC，四边形ABCD是平行四边形，∠B=145°，∴∠ADC=145°，∴∠CDE=45°. 5．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据直角三角形的定义，找出图中的直角三角形即可解决问题． 【解答】解：因为∠BAC＝90°， 所以△ABC是直角三角形． 因为AD是BC边上的高， 所以∠ADB＝∠ADC＝90°， 所以△ABD、△AED、△ACD都是直角三角形， 所以图中的直角三角形共有4个． 故选：C． 7．（3分）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为（　　） A．2 B．3 C． D． B【解析】解法一：由正方形CEFG和正方形ABCD，AB＝6，CE＝2，得AD∥GF，得△ADH∽△FGH， 得DH：HG＝AD：GF＝6：2＝3：1，由DG＝6﹣2＝4，得DH＝4÷（1+3）×3＝3．故选：B． 解法二：如解图，延长FG交AB与点K，由题意可得，GH∥AK，可得△GHF∽△KAF，得GH：KA=GF：KF=2:（2+6）=1:4，∵KA=6-2=4，∴GH=1，∴DH=4-1=3. 13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的右侧作BF∥AC，且 BF＝AE，连接CF．若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为 　60　． 60【解析】解法一：如解图①，  ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵AC//BF，∴∠FBC=∠ACB，∴∠ABC=∠FBC，∴BC平分∠ABF， 过点C作CM⊥AB于M，过点C作CN⊥直线BF于N，∵BC平分∠ABF， CM⊥AB，CN⊥直线BF，∴CM=CN，又∵AE=BF， ∴S△CEA=S△CFB，∴S△CEA+S△CBE=S△CFB+S△CBE，∴S四边形BFCE=S△ABC，过点A作AD⊥BC于点D，       第13题解图① 解法二：如解图②，过点C作CD∥AB交BF的延长线于点D，∵AC∥BD，CD∥AB，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AB=AC，∴四边形ABCD为菱形，∵BF=AE，∴DF=BE，由菱形的性质可得S△CDF=S△CBE，S△ACE=S△CBF（等底等高），∴S四边形BFCE=S菱形ABCD=S△ABC，过点A作AM⊥BC，则∴BM=，， S△ABC=，S四边形BFCE=60. 第13题解图② 解法三：特殊值法，提示：如解图③，当点E与点A重合时，点F与点B重合时，S四边形BFCE= S△ABC，过点A作AD⊥BC于点D，利用勾股定理求出AD，即可求出△ABC的面积. 第13题解图③ 18．（5分）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE＝CF，求证：AF＝DE． 【答案】答案见证明． 【分析】利用矩形的性质证得△ABF≌△DCE（SAS），从而证得结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°， ∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF． 即：BF＝CE， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴AF＝DE． 21．（6分）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1600m，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度．他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角∠CAE＝42°，再在AE上选一点B，在点B处测得C点的仰角α＝45°，AB＝10m．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90） 【答案】山顶C点处的海拔高度约为1690m． 【分析】过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，设BD＝x m，则AD＝（x+10）m，然后分别在Rt△BCD和Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D， 设BD＝x m， ∵AB＝10m， ∴AD＝AB+BD＝（x+10）m， 在Rt△BCD中，∠CBD＝45°， ∴CD＝BD•tan45°＝x（m）， 在Rt△ACD中，∠A＝42°， ∴CD＝AD•tan42°≈0.9（x+10）m， ∴x＝0.9（x+10）， 解得：x＝90， ∴CD＝90m， ∵小山顶的水平观景台的海拔高度为1600m， ∴山顶C点处的海拔高度约＝1600+90＝1690（m）， ∴山顶C点处的海拔高度约为1690m． 2023年4道题（2+0+2）；17分（6+0+11） 3．（3分）如图，，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 3．【解答】解：如图， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：． 6．（3分）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为　　 A． B．7 C． D．8 6．【解答】解：是的中位线， ，， ， ， ， ． 故选：． 18．（5分）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：． 18．【解答】证明：在 中，，， ． ． ． ， ． 在和中， ， ． ． 21．（6分）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，， 21．【解答】解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 设， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 该景观灯的高约为． 2022年4道题（2+0+2）；17分（6+0+11） 2．（3分）如图，，．若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【解答】解：，， ， ， ， ， 故选：． 5．（3分）如图，是的高．若，，则边的长为　　 A． B． C． D． 【解答】解：， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 故选：． 18．（5分）如图，在中，点在边上，，，．求证：． 【解答】证明：， ， 在和中， ， ， ． 21．（6分）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为20米，小明的影长为2.4米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且，．已知小明的身高为1.8米，求旗杆的高． 【解答】解：， ， ， ， ，即， ， 同理得， ，即， ， （米， 答：旗杆的高是3米． 2021年4道题（2+0+2）；17分（6+0+11） 4．如图，点、分别在线段、上，连接、．若，，，则的大小为　　 第4题图 A． B． C． D． 【解析】，， ，故选． 7．如图，、、、是四根长度均为的火柴棒，点、、共线．若，，则线段的长度是（ ） 第7题图 A． B． C． D． 【解析】由题意知，，，过作于，过作于，则，，， ，，，， 在和中，，，，在中，，，，，，故选． 第7题解图 18.（本题满分5分） 如图，，，点在上，且．求证：． 第18题图 证明：， ， 在和中， ， ， ． 21.（本题满分6分） 一座吊桥的钢索立柱两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索的长度．他们测得为，由于、两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现恰好为，点与点之间的距离约为．已知、、共线，．求钢索的长度．（结果保留根号） 第21题图 解：在中，设， ，， ， 在中，，， ， 即， 解得， ， 钢索的长度为． 2020年3道题（2+0+1）；13分（6+0+7） 2．若，则余角的大小是 A． B． C． D． 【解析】，的余角是．故选． 6．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，若是的高，则的长为 第6题图 A． B． C． D． 【解析】由勾股定理得，，，，，故选． 20．（本题满分7分）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高．他俩在小明家的窗台处，测得商业大厦顶部的仰角的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在处测得商业大厦底部的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台处测得大厦底部的俯角的度数，竟然发现与恰好相等．已知，，三点共线，，，，，试求商业大厦的高． 第20题图 解：如图，过点作于点，过点作于点， 第20题解图 ， ，， 四边形和四边形均为矩形， ，， ， ， ， 由矩形性质可知：， ． 答：商业大厦的高为． 2019年4道题（2+0+2）；18分（6+0+12） 3．如图，是的角平分线，，若，则的度数为 第3题图 A． B． C． D． 【解析】，，，平分，，又，且与为同位角，，故选． 6.如图，在中，，，平分交于点，，垂足为．若，则的长为 第6题图 A． B． C． D．3 【解析】过点作于，如图所示，为的平分线，且于，于，，在中，，，在中，，为等腰直角三角形，，， 故选． 第6题解图 18.（本题满分5分） 如图，点，，，在直线上，，，且，求证：． 第18题图 证明：， ，即， ， ， 在和中， ， ． 20.（本题满分7分） 小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点，并在点处安装了测量器，测得古树的顶端的仰角为；再在的延长线上确定一点，使米，并在处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着方向移动，当移动到点时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测倾器的高度米．已知点、、、在同一水平直线上，且、、均垂直于，求这棵古树的高度．（小平面镜的大小忽略不计） 第20题图 解：如图，过点作于点， 则，米． 在中，， ， ． ，， ． 由反射角等于入射角得， ， 即， 解得， ． 这棵古树的高为． 第20题解图 2018年4道题（2+0+2）；18分（6+0+12） 3．如图，若，，则图中与互补的角有 第3题图 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】，，，，，，图中与互补的角有：，，，共4个．故选． 第3题解图 6．如图，在中，，，，，垂足为，的平分线交于点，则的长为 第6题图 A． B． C． D． 【解析】，．在中，，， ，．在中，，，．平分，．在中，，，，．故选． 第6题解图 18.（本题满分5分） 如图，，、分别为、上的点，且，连接，分别与、相交于点，，若，求证：． 第18题图 证明：、， 四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 20．（本题满分7分） 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点，在他们所在的岸边选择了点，使得与河岸垂直，并在点竖起标杆，再在的延长线上选择点，竖起标杆，使得点与点、共线． 已知，，测得，，．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽． 第20题图 解：， ， ， ， ， 经检验：是分式方程的解， 答：河宽的长为17米． 2017年5道题（2+1+2）；23分（6+3+14） 4．如图，直线，的直角顶点落在直线上，若，则的大小为　　 第4题图 A． B． C． D． 【解析】，，． ，．故选． 第4题解图 6．如图，将两个大小、形状完全相同的和△拼在一起，其中点与点重合，点落在边上，连接．若，，则的长为 第6题图 A． B．6 C． D． 【解析】，，，， 和△大小、形状完全相同，，，，，故选． 12．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分． ．如图，在中，和是的两条角平分线．若，则的度数为　　． 　 　．（结果精确到 第12题图 【解析】、，，平分、平分，、，则，故答案为；、，故答案为2.03． 19.（本题满分7分） 如图，在正方形中，、分别为边和上的点，且，连接、交于点．求证：． 第19题图 证明：四边形是正方形， ，． ， ， 在和中， ， ， 在和中，， ， ． 20.（本题满分7分） 某市一湖的湖心岛有一棵百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这个距离．测量方法如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的处，用侧倾器测得“乡思柳”顶端点的仰角为，此时测得小军的眼睛距地面的高度为1.7米，然后，小军在处蹲下，用侧倾器测得“乡思柳”顶端点的仰角为，这时测得小军的眼睛距地面的高度为1米．请你利用以上测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离的长（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，． 第20题图 解：如图，作，，垂足分别为点、， 设米，则米， 在中，， 在中，， ， ， ，解得． 答：“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离的长约为34米． 第20题解图 2016年6道题（3+1+2）；26分（9+3+14） 4．如图，，平分交于点，若，则 第4题图 A． B． C． D． 【解析】，，，， 平分，，，，，故选． 6．如图， 在中，，，． 若是的中位线， 延长交的外角的平分线于点，则线段的长为 第6题图 A ． 7 B ． 8 C ． 9 D ． 10 【解析】 在中，，，，，是的中位线，，，，，， ，．故选． 第6题解图 8．如图，在正方形中，连接，点是的中点，若、是边上的两点，连接、，并分别延长交边于两点、，则图中的全等三角形共有 第8题图 A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【解析】四边形是正方形，，，，在和中，，，，，在和△中，，△，同理可证△，△，全等三角形一共有4对．故选． 第8题解图 12．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分． ．一个多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数是　 　． ．运用科学计算器计算：　　．（结果精确到 【解析】（1）正多边形的外角和为，这个正多边形的边数为： （2），故答案为：8，11.9. 19.（本题满分7分） 如图，在中，连接，在的延长线上取一点，在的延长线上取一点，使，连接、． 求证：． 第19题图 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 第19题解图 20.（本题满分7分） 某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点时，看到“望月阁”顶端点在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度米，米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从点沿方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端点处，此时，测得小亮身高的影长米，米． 如图，已知，，，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高的长度． 第20题图 解：由题意可得：， ，， 故，， 则，， 即，， 解得：， 答：“望月阁”的高的长度为． 第20题解图 学科网（北京）股份有限公司 $