1.第四章诊断卷- 【一战成名新中考】2026陕西数学中考必考知识点题组特训

第四章 三角形 （满分：100分 建议时间：60分钟） 一．选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1．如果一个角的余角是55°，那么这个角的补角的度数是（　A　） A．145° B．125° C．90° D．35° 2．以下列每组数为长度（单位：cm）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（　C　） A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8 3．如图，滑雪场有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（　D　） 第3题图 A．米 B．米 C．200cos20°米 D．200sin20°米 4．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝91°，∠DCE＝124°，则∠AEC的度数是（　D　） 第4题图 A．29° B．30° C．31° D．33° D【解析】延长DC，交AE于点M，如解图所示．∴AB∥CD，∴∠CME＝∠BAE＝91°，∴∠AEC＝∠DCE﹣∠CME＝124°﹣91°＝33°． 第4题解图 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D、E两点分别在边AC、BC上，BD平分 ∠ABC，DE∥AB．图中的等腰三角形共有（　C　） 第5题图 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．下列命题是假命题的是（　D　） A．对顶角相等 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C．垂线段最短 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 7．如图，在△ABC和△ABD中，已知AC＝AD，则添加以下条件，仍不能判定△ABC≌△ABD的是（　B　） 第7题图 A．BC＝BD B．∠ABC＝∠ABD C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB 8．已知方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的格点上，位置如图所示，在小方格的格点上确定一点C，连接AB，AC，BC，使△ABC的面积为3个平方单位，则这样的点C共有（　D　） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 第8题图 D【解析】如解图，符合条件的点有6个．故选：D． 第8题解图 9．问题“如图，∠BDC＝110°，∠A＝∠C＝40°，求∠B的度数．”的解法有如下两种方法，下列说法正确的是（　C　） 方法Ⅰ： ①如图，延长CD交AB于点E； ②计算∠C+∠A得∠CEB的值； ③计算∠BDC﹣∠CEB即可． 方法Ⅱ： ①如图，连接BC； ②计算180°﹣∠A得∠ABC+∠ACB的值； ③计算180°﹣∠BDC得∠1+∠2的值； ④计算（∠ABC+∠ACB）﹣（∠1+∠2）﹣∠3即可． A．只有Ⅰ对 B．只有Ⅱ对 C．Ⅰ，Ⅱ都对 D．Ⅰ，Ⅱ都不对 10.等腰三角形的一个角为50°，则顶角是（　D　） A．65°或50° B．80° C．50° D．50°或80° D【解析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为50°时，则它的底角65°；当等腰三角形的一个底角为50°时，则它的顶角＝180°﹣2×50°＝80°.综上所述：它的顶角是50°或80°. 11．如图，把两个45°角的直角三角板放在一起，点B在CE上，A、C、D三点在一条直线上，连接AE，DB延长线交AE于点F．若AE＝8，DF＝11.2，则△ABE的面积为（　B　） 第11题图 A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6 B【解析】∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，EC＝DC，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠AEC＝∠BDC，AE＝BD＝8，∴∠DFE＝∠EAC+∠BDC＝∠EAC+∠AEC＝90°，∴BF⊥AE，∵DF＝11.2，∴BF＝DF﹣BD＝11.2﹣8＝3.2，∴S△ABEAE•BF8×3.2＝12.8，故选：B． 12.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D在小正方形的顶点处，AC与BD相交于点O，则AO的长等于（　A　） 第12题图 A． B． C． D． A【解析】连接AB，CD，如解图，由网格图可知：AG＝2，BG＝1，DH＝4，CH＝2，∴2，AG，CD2，∵∠AGB＝∠CHD＝90°，∴△AGB∽△CHD，∴∠BAG＝∠DCH．∵AE∥CF，∴∠GAC＝∠HCA，∴∠BAO＝∠DCO．∵∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴，∴AOOC，∴AOAC．∵AC，∴AO．故选：A． 第12题解图 二．填空题（每小题4分，共16分） 13.如图，利用隧道，把弯曲的公路改直，就能缩短两地的路程，这其中蕴含的数学道理是 　两点之间线段最短　． 第13题图 14．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，过点C的射线CE与AD平行，若∠B＝60°，∠ACB＝30°，则∠ACE＝ 45 °． 第14题图 45【解析】∵∠B＝60°，∠ACB＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD∠BAC90°＝45°，∵CE∥AD，∴∠ACE＝∠CAD＝45°． 15.如图，在正方形网格中，点，，为网格交点，，垂足为，则的值为 . 第15题图 第15题解图 【解析】方法1：如解图，连接，在中，， ，，即，解得，在中，，． 方法2：在中，，，，，，． 16．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连接CE，则的值为 　3 ． 第16题图 3【解析】∵∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，∴ADBC，∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∵∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠BAD，∴AB∥DE，∵BD＝CD，∴AK＝KC，∵BA⊥AC，∴DE⊥AC，∴EA＝EC，∵EA＝ED，∴EC＝ED，∴∠EDC＝∠DCE，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B，∴△EDC∽△DAB，∴，∵cosB，∴3，∵AD＝BD， ∴3． 第16题解图 三．解答题（本大题共4小题，共48分） 17．（本题满分10分） 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为BD上一点，∠A＝∠BEC．且AD＝BE．求证：AB＝EC． 第17题图 证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE， 在△ABD和△ECB中， ， ∴△ABD≌△ECB（ASA）， ∴AB＝EC． 18．（本题满分12分） 如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE＝60°． （1）求证：△ABD∽△DCE． （2）如果BC＝3，，求BD的长． 第18题图 （1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△DCE； （2）解：∵AB＝BC＝AC＝3，， ∴， 由（1）得△ABD∽△DCE，∴， 设BD＝x，则CD＝3﹣x，∴， ∴x＝1或x＝2， 当x＝1时，分母3﹣x≠0；x＝2时，分母3﹣x≠0； ∴BD的长为1或2． 19．（本题满分12分） 某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一栋楼的外墙面上，这时云梯底端距墙脚的距离BC＝7m，∠DCE＝90°． （1）当消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑4m到A′位置上（云梯长度不改变），即AA′＝4m，那么它的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′是多少？ （2）在演练中，高约为24m的楼房窗口处有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24m高的楼房窗口去救援被困人员？ 第19题图 解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25m，BC＝7m， ∴， ∴A′C＝AC﹣AA′＝24﹣4＝20（m）． 在Rt△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′B′＝25m，A′C＝20m， ∴， ∴BB′＝B′C﹣BC＝15﹣7＝8（m）． 答：它的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′是8m； （2）根据题意得： ， ∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24m高的楼房窗口去救援被困人员． 20.（本题满分14分）综合与实践 问题提出 （1）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC边上，且DE∥BC，则BD与CE的大小关系是 　BD＝CE　． 操作感悟 （2）如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，连接BD，CE，猜想BD与CE的大小关系和位置关系，并证明你的结论． 延伸探究 （3）如图2，若AB＝4，AD＝2，在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，求△BCD面积的最大值． 第20题图 解：（1）∵DE∥BC， ∴， ∵AB＝AC， ∴BD＝CE； （2）结论：BD＝CE，BD⊥CE， 理由：如解图①，延长CE交BD于H， 第20题解图① ∵△ABC，△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠BAE＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ECA＝∠DBA， ∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠DBA）+（∠ACB﹣∠ECA）＝∠ABC+∠ACB＝90°， ∴∠BHC＝90°， ∴BD⊥EC； （3）如解图②，作DF⊥BC垂足为F， ∵AB＝4，∠A＝90°， ∴ 是定值， 当BC边上的高最长时，△BCD的面积有最大值，此时D、A、F共线，如图， 第20题解图② ∵∠ABF＝45°，AB＝4， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $