2.一次函数的实际应用- 【一战成名新中考】2026陕西数学中考必考知识点题组特训

一次函数实际应用 1．周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由． （1）解：由题意得：， ； （2）选择乙方案更划算 理由：当时， ， ． ∵， ∴选择乙方案更划算． 2．刘阿姨从陕西老家通过快递公司给在外省的亲人邮寄本地土特产，寄快递时，快递公司规定：不超过千克，收费元，超过千克时，超出部分按每千克元加收费用．若刘阿姨给外省的亲人邮寄了千克本地土特产，所支付的快递费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若刘阿姨所支付的快递费用为元，求刘阿姨给外省的亲人邮寄的土特产的质量． （1）解：∵不超过千克，收费元，超过千克时，超出部分按每千克元加收费用，， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：∵刘阿姨所支付的快递费用为元，与之间的函数关系式为， ∴令,则， ∴， 答：刘阿姨给外省的亲人邮寄的土特产的质量是千克． 3．“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 肥料价格 方案一 12元 3元 方案二 0元 3.6元 若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式； (2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？ （1）解： 与之间的函数关系式为， 与之间的函数关系式为． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， ， 该班选择方案一购买的肥料较多． 4．国庆节期间，小明和家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用一辆新能源汽车自驾出游，两家公司的租赁信息如下： 甲公司：按日收取固定租金84元，另外再按每小时租费20元计费（不足一小时按一小时计费） 乙公司：无固定租金，三小时以内每小时的租费40元，超过三小时，超过部分以每小时的租费32元计费（不足一小时按一小时计费）． 根据以上信息，解决下列问题： (1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数关系式； (2)请你帮助小明通过计算说明选择哪家租车公司出游比较合算． （1）解：根据题意，， 当时，， ∴，； （2）解：时，，选择乙公司比较合算， 时，，选择乙公司比较合算， 时，，选择乙公司比较合算； 当时， 当时，， 解得， 此时选择甲乙公司一样合算； 当时，且， 解得， 此时选择乙公司合算； 当时，， 解得， 此时选择甲公司合算； ∴当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大于5小时，选择甲公司合算． 5．过去几年，某公司经历了重重考验，也在挑战中不断成长，2024年该公司为促进生产，提供了两种付给员工周报酬的方案，两种方案员工得到的周报酬y（元）与员工生产的件数x（件）之间的关系如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：    (1)求方案二y关于x的函数表达式； (2)如果你是该公司的员工，你该如何根据自己的生产能力选择方案． 解：（1）设方案二的函数表达式为 由图象可得该函数的图像经过点， 把，代入，得 ，解得 方案二的函数表达式为． （2）由图像可得， 若每周生产产品件数不足30件，则选择方案二； 若每周生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种； 若每周生产产品件数超过30件，则选择方案一． 6．甲村和乙村共有22000吨肥料需要运往A，B两地，其运费单价如下表： 收货地 发货地 A B 甲村 15元/吨 20元/吨 乙村 24元/吨 25元/吨 若将甲村的肥料全部运往B地，乙村的肥料全部运往A地，且所需运费相等． (1)求甲、乙两村各有多少吨肥料； (2)若甲、乙两村需要给A地运输肥料共9000吨，且甲村最多只能给A地运输5000吨肥料，问怎样调运可使运费最少？并求出最少运费． （1）解：设甲村有x吨肥料，则乙村有吨肥料， 由题意得，， 解得，， ∴， ∴甲村有12000吨肥料，乙村有10000吨肥料； （2）解：设甲村往A地运输了a吨肥料，总运费为W元，则甲村往B地运输了吨肥料， 那么乙村运往A地吨肥料，往B地运往吨肥料， ， ． 又甲村最多只能只能给A运输5000吨肥料，即， 又， 随a的的增大而减小， 当时，W有最小值，最小值为461000． 答：当甲村往A地运输5000吨肥料，往B地运输7000吨肥料，乙村运往A地4000吨肥料，往B地运往6000吨肥料时，总运费最少，最少运费为461000元． 7．峨眉山特级（静心）竹叶青是竹叶青的一种中端产品，每年在采摘加工前，茶商们都会针对二级经销商群体推出两种预售方式，方式一：缴纳5000元购买钻石会员，二级经销商可以1600元的价格购买；方式二：缴纳2000元购买铂金会员，二级经销商可以1800元的价格购买．某竹叶青二级经销商此次购买茶叶，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元． (1)请直接写出，关于x的函数解析式； (2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该二级经销商此次购买茶叶的质量； (3)此次二级经销商购买茶叶的总预算为65000元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？ （1）解：根据题意，得； （2）解：当时，， 解得：， 若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，该二级经销商此次购买茶叶的质量为； （3）解：当时，即， 解得：， 当时，即， 解得：， ， 按方式一购买可以获得更多的茶叶． 8．某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． （1）解：设购买电子白板的单价为x万元，平板电脑的单价是y万元， ， 解得： ， 答：电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； （2）由题意可得，方案一∶关于的函数表达式为∶， 方案二∶关于a的函数表达式为∶， 当时，得，即当时，选择方案一； 当时，得，即当时，方案一和方案二花费一样多； 当，得，即当时，选择方案二； 综上所述，当时，方案一更省钱，当时，两种方案花费一样，当时，方案二更省钱． 9．为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，品牌的电脑单价比品牌电脑的单价少元，通过预算得知，用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台． (1)试求，两种品牌电脑的单价分别是多少元； (2)该公司计划购买，两种品牌的电脑一共台，且购买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，试求出该公司费用最少的购买方案． （1）解：设品牌电脑的单价是万元，则品牌电脑的单价是万元，根据题意得：， 化简得 解得：，（舍去）， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴品牌电脑的单价是万元元，则品牌电脑的单价是万元即元． 答：品牌电脑的单价是元，品牌电脑的单价是元； （2）解：设购买台品牌电脑，则购买台品牌电脑， 根据题意得：， 解得：． 设学校购买这些电脑需要元，则， 即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为（元）．此时， ∴该公司费用最少的购买方案为购买台电脑，购买台电脑，最少需要元． 10．为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共需180元． (1)求A，B两种品牌足球的单价； (2)若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用． （1）解：设A，B两种品牌足球的单价分别为a元，b元， 根据题意，得， 解得：， ∴A品牌足球单价为50元，B品牌足球单价为80元． （2）解：根据题意可知，B品牌足球个， ∵B品牌足球不少于a品牌数的2倍， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y最小，此时． 综上，，y取得最小值4200元，此时A品牌足球购买了20个，B品牌足球购买了40个． 11．已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． (1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； (3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． （1）解：设三人间有间，双人间有间， 根据题意得：， 解得：， 答：租住三人间间，双人间间； （2）解：根据题意，三人间住了人，住宿费每人元，则双人间住了人，住宿费每人元， ； （3）解：因为，所以随着的增大而减小， 故当满足、为整数，且最大时， 即时，住宿费用最低，此时， 答：一天元的住宿费不是最低；若人入住三人间，则费用最低，为元． 所以住宿费用最低的设计方案为：人住三人间，人住双人间． 12．“五一”期间，某服装商场举行促销活动，活动方案如下： 方案 促销方案 方案一 所有服装全场六折 方案二 “满送”（如：购买元服装，赠元购物券；购买元服装，赠元购物券） 方案三 “满减”（如：购买元服装，只需付元；购买元服装，只需付元） （注：一人只能选择一种方案） (1)小明想买一件上衣和一件裤子，已知上衣的标价为元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同． 求裤子的标价； 请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由； (2)小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价（元）可以看成标价（元）的函数，请你写出，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______，当时，关于的函数表达式为______； (3)小明准备用方案一或方案三购买一件标价为元的服装，当的取值范围是多少时，用方案三购买更合算？ （1）解：设裤子的标价为元， 根据题意得，， 解得， 答：裤子的标价为元； 选择方案三，理由如下： 方案一的花费为：元， 方案二的花费为：元， 方案三的花费为：元， ∵， ∴应选择方案三； （2）解：当时，关于的函数表达式为，当时，关于的函数表达式为，当时，关于的函数表达式为； 故答案为：，，； （3）解：当时，方案一购买需花费元，方案三需花费元， ∵， ∴ 用方案一购买更合算； 当时，方案一购买需花费元，方案三需花费元， 当时，解得， ∴当时，用方案三购买更合算； 当时，两种方案购买花费一样多； 当时，用方案一购买更合算； 综上，当时，用方案三购买更合算． 13．某网购平台开展“爱心助农”活动，准备在平台推送两种特色水果．经过对往年情况的调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 种类 进价（元/） 售价（元/） 甲 x 12 乙 y 14 (1)购进甲种水果和乙种水果需要160元；购进甲种水果和乙种水果需要156元．求x，y的值； (2)该平台决定每天对甲、乙两种水果共进行销售，其中甲种水果的数量不超过，平台每天售完水果能获利2500元吗？ （1）解：由题意可得： ，解得：， ∴x，y的值分别为8，12． （2）解：设甲种水果售出，则乙种水果售出，该平台利润为w元，则 ， ∵， ∴w随m增大而增大， ∵ ∴当时，w最大，且最大值为2400元． ∴每天售完1000kg水果获利无法达到2500元． 14．我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球盒． (1)请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元），（元）与（盒）之间的函数关系式． (2)如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？ （1）解：由题意，得， ； （2）解：当时， （元）， （元）， ， ∴选择方案甲更省钱． 15．某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． 若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． (1)求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元？ (2)若该文具店准备拿出元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的7倍，那么该文具店共有几种进货方案？ (3)若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ （1）解：设购进甲种笔需x元/支，乙种笔需y元/支， 依题意，得：， 解得. 答：购进甲种笔需5元/支，乙种笔需元/支. （2）解：设购进甲种笔a支，则购进乙种笔 支， 依题意得：， 解得： . ∵为整数， ∴a可被2整除， ∴ ∴文具店共有3种进货方案. （3）解：获利， ∵随着的增大而增大， ∴当时，W取得最大值为元. 此时 ∴当购甲种笔支，乙种笔支时，利润最大为元 16．红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍． (1)求A、B两种树苗的单价分别是多少元？ (2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ （1）解：设A种树苗的单价是元，则种树苗的单价是元，根据题意得：， 解得：， ， 答：A种树苗的单价是4元，则种树苗的单价是5元； （2）解：设购买A种树苗棵，则购买种树苗棵，其中为正整数，根据题意得：， 解得：， 为正整数， 取20，21，22，23，24，25， 有6种购买方案， 设总费用为元， ， 随的增大而减小， 当时，最小，最小值为475， 此时， 答：有6种购买方案，购买A种树苗，25棵，购买种树苗75棵费用最低，最低费用是475元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质等，确定等量关系和不等关系是解题的关键． 17．奥运会期间，某网店直接从工厂购进、两款纪念币，进货价和销售价如表： （注：利润=销售价−进货价） 类别价格 款纪念币 款纪念币 进货价（元/枚） 销售价（元/枚） (1)网店第一次用元购进、两款纪念币共枚，求两款纪念币分别购进的件数； (2)第一次购进的、两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共枚（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ （1）解：设分别购进款纪念币、款纪念币枚， 由题意得： 解得： ∴购进款纪念币枚，购进款纪念币枚 （2）解：设再次购进款纪念币枚，则购进款纪念币枚，利润为， 则 ∵ 解得： 又∵随的增大而减小 ∴当时，取最大值，且 此时： 故再次购进款纪念币枚，购进款纪念币枚，能获得最大销售利润，最大销售利润为元 18．书香飘万家，陶冶你我他．某书店书的单价是书单价的，用720元购买书比购买书多买6本． (1)求、两种图书的单价各是多少元？ (2)某校为筹备读书节活动，计划到该书店购买这两种图书共160本，且购买的书数量不少于书数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按九折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少． （1）解：设B种图书的单价是元，则A种图书的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：A种图书的单价是30元，B种图书的单价是40元； （2）解：设购买本A种图书，则购买本B种图书， 根据题意得：， 解得：． 设购买这两种图书共花费元，则， ， ， 随的增大而减小， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，此时． 答：当购买106本A种图书、54本B种图书时，总费用最少． 19．为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元，且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． (1)求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍，总成本不超过元．一共有多少种满足条件的方案？ (3)在（2）的条件下，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ （1）解：设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，b元，根据题意得， 解得： 答：、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元； （2）解：设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意得， 解得：， ， ∴共有种满足条件的方案； （3）设收益为元，根据题意得， ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元） ∴售出种柑橘礼盒（盒） 答：要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元． 20．在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进a辆中级型汽车，100辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使W最大？W最大为多少万元？ （1）解：设中级型汽车进货单价为x元和紧凑型汽车进货单价为y元．      解得     答：中级型汽车进货单价为24元和紧凑型汽车进货单价为48元 （2）由题可得 ∵ ∴W随a的增大而减小 ∴当时，W有最大值为375 答：该经销商应购进中级型汽车25辆，紧凑型汽车75辆时，W最大为75万元 21．剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰套，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费元，求与之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． （1）解：设则甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元． （2）解：由题可知，购进甲种剪纸套，则购进乙种剪纸套， 根据题意，得， 即， ∴与之间的函数关系式为． （3）解：设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元，根据题意，得 ，即， ∵， ∴随的增大而增大， ∵该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元， ∴，即， 解得， ∴， ∵为非负整数， ∴当时，取最大值，（元）， 此时套， 答：购进甲种剪纸40套，乙种剪纸20套时，所获利润最大，最大利润为800元． 22．某中学计划购买型和型课桌凳共200套，经招标，购买一套型课桌凳比购买一套型课桌凳少用40元，且购买4套型和5套型课桌凳共需1820元． (1)求购买一套型课桌凳和一套型课桌凳各需多少元？ (2)学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买型课桌凳的数量不能超过型课桌凳数量的，学校购买型课桌凳x套，总费用为元． ①求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． ②该校本次购买型和型课桌凳共有几种购买方案？怎样的方案使总费用最低？并求出最低消费． （1）解：设购买一套型课桌凳元，则一套型课桌凳元， 由题意得， 解得， 则． 答：购买一套型课桌凳180元，一套型课桌凳220元． （2）解：设型桌套，则型桌套，购买桌凳总费用为元， 根据题意得， 且 ， 解得， （，且为整数）． ，为整数， ∴，，， ∴共套方案． ∵，随的增大而减小， ∴时，总费用最低，有最小值（元）， 此时． 即当总费用最低的方案是：购买型课桌凳80套，型课桌凳120套时． 答：该校本次购买型和型课桌凳共有3种购买方案．当购买型课桌凳80套，型课桌凳120套时，总费用最低，最低消费为40800元． 23．某商店销售A，B两种型号智能手表，这两种手表的进价和售价如下表： 型号 A B 进价（元/只） 1200 2000 售价（元/只） 1800 2500 该商场购进A，B两种型号智能手表共60只． (1)若该商场计划用8.4万元购进A，B两种型号智能手表，求购进A，B两种型号智能手表各多少只？ (2)若该商店用于购进智能手表的资金不超过8.8万元，且A型号的智能手表不得超过44只．若这两种智能手表都按售价全部售完，那么该商店应如何进货，才能使得获利最大，最大利润是多少？ （1）解：设购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只， 由题意可得：， 解得， （只）， 答：购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只； （2）解：设购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只， 该商店用于购进智能手表的资金不超过8.8万元， ， 解得， A型号的智能手表不得超过44只． ， ， 利润， ， 根据式子可知，当取值越大，利润越大， 当时，利润最大为（元）， （只） 答：该商店应进A型号的智能手表只，B种型号智能手表只，才能使得获利最大，最大利润是元． 24．某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元． (1)求每台A型和B型打印机的销售利润： (2)商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案． 【答案】(1)每台A型和B型打印机的销售利润分别为80元和160元 (2)该商店购进A、B两种型号的打印机分别为40台和80台 (3)方案一：当时，A型打印机进货50台，B型打印机都进货70台；方案二：当时，A型打印机满足的整数即可；方案三：当时，A型打印机都进货40台，B型打印机都进货80台． 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数a值的增大而确定W值的增减情况，同时注意自变量的取值范围． （1）设每台A型和B型打印机的销售利润分别为x元和y元，根据题意可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可； （2）根据题意可列出W和a的一次函数关系，关于a的一元一次不等式，再结合一次函数的性质求解即可； （3）由题意可知A型打印机利润为元，B形打印机利润不变，则可列出W、a和m的关系式为，又可知．分类讨论：①当，②当和③当，结合一次函数的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型和B型打印机的销售利润分别为x元和y元， 根据题意有：， 解得：， 答：每台A型和B型打印机的销售利润分别为80元和160元； （2）解：设购进A型打印机a台，则购进B型打印机台， 根据题意有：， ∴． ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W有最大值． 台． 答：该商店购进A、B两种型号的打印机分别为40台和80台； （3）解：由题意可知A型打印机利润为元，B形打印机利润不变， ∴． 分类讨论：①当，即时，W随a的增大而增大， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台； ②当，即时，， ∴当a满足的整数时，W最大； ③当，即时，W随a的增大而减小， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台． 综上所述，商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案为： 方案一：当时，A型打印机进货50台，B型打印机都进货70台； 方案二：当时，A型打印机满足的整数即可； 方案三：当时，A型打印机都进货40台，B型打印机都进货80台． 25．甲、乙两列火车分别从A、B两城同时匀速驶出，甲车开往城，乙车开往A城．由于墨迹覆盖，甲车与乙车距B城的距离（千米）与时间（小时）的函数关系部分图像如图所示． (1)甲车的速度为______千米/时，A、B两地相距______千米，两车出发______小时后相遇； (2)当两车相距60千米时，求t的值． （1）解：由题意可得，甲两小时行驶了千米， ∴甲的行驶速度为：千米/时， 设与行驶时间t的函数关系为：， 则：， 解方程组得：， ∴， 当时，千米， ∴A、B两地相距600千米， 设与行驶时间t的函数关系为：， 则：， ∴， 当时，， 解得：小时， ∴两车出发2小时后相遇， 故答案为：180；600；2； （2）解：当相遇前两车相距60千米时：， 解得：小时， 当相遇后两车相距60千米时：， 解得：小时， 故t的值为：小时或小时． 26．某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)求出线段和线段的解析式； (2)求甲、乙两个机器人在什么时间相遇； (3)当时，求甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有多少分钟？ （1）解：由图设线段的解析式为：， 将代入得：， 解得：； ∴线段的解析式为：； 设线段的解析式为：， 由题意得：乙 “基础模式”下的运动速度为：米/分钟， ∴“全速模式”的速度为米/分钟， ∴， 将点代入得：， 解得：， ∴线段的解析式为：； （2）解：设甲、乙两个机器人经过分钟后相遇， 由（1）可知：甲机器人的速度为米/分钟， 由图可知：， 解得：； 即：分钟后甲、乙两个机器人相遇； （3）解：当甲、乙两个机器人相遇前，他们的距离逐渐缩小； 当时，甲、乙两个机器人的距离为：米， 设出发两分钟后再过分钟，甲、乙两个机器人的距离为米， 则，解得：； ∴甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有：分钟； 当甲、乙两个机器人相遇后，他们的距离逐渐增大； 设相遇后再过分钟，甲、乙两个机器人的距离为米， 令，解得：； ∴甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有分钟； 综上所述：甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有分钟； 27．近几年，网约车逐步成为人们日常出行的主要方式之一，它大幅度的提高了人们的出行效率，节省了出行时间和金钱成本．图中反映某网约车平台收费（元）与所行驶的路程（千米）的函数关系，根据图中的信息解答下面问题： (1)求直线的表达式； (2)小张乘坐网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其它因素（红绿灯、堵车等），小张从家到机场需要多长时间？ （1）解：设直线为， 把，代入得， 解得， 直线的表达式为； （2）解：根据图象可知，收费64元，行程已超过3千米， 把代入得，， 解得， （分钟）． 故小张从家到机场需要30分钟． 28．甲车从地去地，同时乙车从地去地，两车都匀速行驶，甲车到达地后停留1小时，然后按原路原速返回地，乙车经过10小时到达地，两车距地的路程与甲车所用的时间的关系如下图所示．    (1)A、B两地的路程为________，甲车返回地时的值是________； (2)求直线、的解析式； (3)甲车到达地之前，直接写出乙车出发多长时间两车相距？ 【答案】(1)600；11 (2)所在直线的解析式为，所在直线的解析式为 (3)乙车出发或小时，两车相距 （1）解：由图像可知，两地相距， ∵甲车从地去地，甲车到达地后停留1小时， ∴甲车从地去地的时间为：， ∵甲车按原路原速返回地， ∴甲车返回A地所用时间为， ∴甲车返回地时的值是： ． （2）解：设所在直线的解析式为：， 由题意可知，点 ， ∴ ∴， ∴所在直线的解析式为：， ∵乙车经过10小时到达地， ∴， 设所在直线的解析式为： ，把点 ，代入得： ∴， 解得  ， ∴所在直线的解析式为：； （3）①甲车与乙车相遇之前时， 有， 解得； ②甲车与乙车相遇之后时， ， 解得： ， 答：乙车出发或小时，两车相距． 29．国庆节假期间，小亮和妈妈到某度假村度假．返回时，他们先搭乘顺路车到服务区，爸爸再驾车到服务区接小亮和妈妈回家．一家人在服务区见面后，休息了一会儿，然后乘坐爸爸的车以的速度返回家中．返回途中，小亮与自己家的距离和时间之间的关系大致如图所示． (1)小亮从度假村到服务区的过程中，求与之间的函数关系式； (2)小亮从度假村回到自己家共用了多长时间？ （1）解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得： ， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：把代入，得， 从A服务区到家的时间为：（小时）， （小时）， 答：小亮从度假村回到自己家共用了4小时． 30．数轴上原点右侧依次有、两点，现有甲、乙两只机械昆虫分别从原点出发前往、两点，乙先出发1秒钟，然后甲再出发，甲到达点后原路原速返回原点，甲回到原点的同时乙到达点．甲、乙两个机械昆虫到原点的距离与甲出发所用的时间的关系如图所示，结合图象信息解答下列问题： (1)乙是速度是______，乙从原点到点需要______s． (2)求出甲从点处原路返回原点的过程中和的函数关系式． (3)直接写出甲、乙两只机械昆虫相距时的值． （1）解：， ， 则乙的速度是，乙从原点到点需要； （2）解：根据题意：甲从点处原路返回原点的过程中的函数图象过点， 设和的函数关系式为， 则，解得：， 和的函数关系式为：； （3）解：由（1）知乙的速度为， 由（2）知甲整个过程所用时间为，路程为， 则甲的速度为：， 情况一：甲到达点前，乙在甲的前面， 则， 解得：； 情况二：甲到达点前，乙在甲的后面， 则， 解得：； 情况三：甲到达点后，乙和甲相遇前， 则， 解得：； 情况四：甲到达点后，乙和甲相遇后， 则， 解得：； 综上，甲、乙两只机械昆虫相距时的值为：或3或4.2或4.6． 31．甲、乙两人参加从A地到B地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题： (1)甲的速度是 米/分钟，乙比甲提前 分钟先到达终点； (2)求乙所跑路程y与时间x之间的函数表达式； (3)请直接写出甲、乙两人相距500米时乙所跑的时间． 【答案】(1)250，8 (2) (3)甲、乙两人相距500米时乙所跑的时间为10分钟或22分钟或26分钟 （1）解：由函数图象可知甲跑完全程需要40分钟，乙跑完全程需要32分钟， ∴甲的速度米/分钟；， ∴乙比甲提前8分钟先到达终点， 故答案为：250，8； （2）解：设当时，乙所跑路程y与时间x之间的函数解析式为，把代入中，则有， 解得， ∴此时乙所跑路程y与时间x之间的函数解析式为； 设当时，乙所跑路程y与时间x之间的函数解析式为，把、代入中，得： ， 解得， ∴此时乙所跑路程y与时间x之间的函数解析式为， 综上，乙所跑路程y与时间x之间的函数解析式为：； （3）解：由图函数图象可知： 前20分钟乙的速度为：（米/分钟）；20到32分钟时乙的速度为：（米/分钟）； ∵甲的速度是250米/分钟， 设乙所跑的时间为t分钟， ①前20分钟甲、乙两人相距500米时，由题意得： ， 解得：； ②20分钟以后到相遇前，甲、乙两人相距500米时，由题意得： ， 解得：； ③甲、乙两人相遇后，乙到达终点之前两人相距500米时，由题意得： ， 解得：； 答：甲、乙两人相距500米时乙所跑的时间为10分钟或22分钟或26分钟． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，准确识别函数图象，理解每段函数图象所表示的实际意义是解题的关键． 32．2024年10月27日，以“乐跑公园城市奋进创新之城”为主题的2024成都马拉松鸣枪起跑．来自全球的35000名选手从金沙遗址出发，一同体验“雪山下的公园城市、烟火里的幸福成都、奋进中的创新之城”的万千气象和独特魅力．经过激烈争夺，来自埃塞俄比亚的阿达内以2小时8分55秒的成绩夺得男子冠军，并刷新赛会纪录．甲、乙两名选手也参加了本次比赛，l1，l2分别表示在某段时间内甲、乙两名选手距离补给点A的距离与时间之间的关系．根据图象回答下列问题： (1)谁先经过补给点A？早多少时间？ (2)在这段时间内，甲、乙两人的速度分别是多少？ (3)乙经过补给点A后多长时间，甲乙两名选手相距？ （1）解：由图象可得，甲先经过补给点A，早到0.5小时； （2）解：甲的速度：， 乙的速度：， （3）解：设直线的关系式为：， 由（2）得：， ∴直线的关系式为： ， 设直线的关系式为：， 由（2）得：， 又∵过点， ∴， 解得：， ∴直线的关系式为： 由题意得：，即 解得：或 ∴乙经过补给点A后或时间，甲乙两名选手相距． 33．在体育中考跑步训练中，体育老师安排男女生两人一组进行100米赛跑．男生一般比女生跑得快，所以把女生的起跑线往前划了10米，但同时发令起跑，男生甲和女生乙所跑的路程与时间的关系如图所示． (1)反映男生甲所跑路程s与时间t之间的关系的图象是______（填“”或“”）． (2)求的函数表达式． (3)男生甲和女生乙谁将赢得这场比赛，请说明理由． (4)男生甲出发______s时，两人相距． （1）解：由图可知，领先10米， 反映男生所跑路程与时间之间关系的图象是， 故答案为：； （2）解：设的函数表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴的函数表达式为； （3）解：当时，， 解得， 设的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴表达式是， 当，， 解得， ∵， ∴男生将赢得这场比赛； （4）解：当女生在男生前时，则， 即， 解得：， 当女生在男生后时，则， ， 解得：， 综上，男生甲出发或时，两人相距． 故答案为：9或11． 34．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，乙车到达A地后停止行驶，甲车到达B地后，立即按原速返回（调头时间忽略不计），结果与乙车同时到达A地，甲、乙两车距B地的路程y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象如图所示． (1)A、B两地之间的路程是________，a的值为________； (2)求线段所表示的y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)当两车相距70千米时，x的值为________． （1）解：由图可知：当时，甲乙两地相距360千米， 设甲车的速度为，乙车速度为：， 由题可得：， 解得：， ， 故答案为：360，120； （2）解：由图可知：乙车到达A地的时间为：（小时），故， 甲车到达B地的时间为：（小时），故， ∵线段所表示甲到达B地之前，甲车距B地的路程y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象， ∴线段的解析式为：； （3）解：设时间为时，两车相距70千米，则分以下三种情况： 当两车未相遇前：，解得：； 当两车相遇后：，解得：； 当甲车返回时：，解得：； 综上所述：或或． 故答案为：或或． 35．小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行．小玲刚开始跑步前行，中途改为步行，到达图书馆恰好用了．小东骑自行车以的速度直接回家，两人离家的路程（单位：）与各自离开出发地的时间（单位：）之间的函数图象如图所示． (1)家与图书馆之间的路程为多少米？小玲步行的速度为多少？ (2)求小东离家的路程关于时间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)求两人相遇时小东离家的距离． 【答案】(1)， (2)（） (3)两人相遇时小东离家的距离为 （1）解：结合题意和图象可知，家与图书馆之间路程为， 小玲步行的速度为． （2）∵小东从离家处的图书馆以的速度返回家中， ∴他离家的路程y关于时间x的函数表达式为， 自变量的取值范围为． （3）由图象可知，两人相遇是在小玲跑步前行时， 小玲跑步的速度为， ， 解得， ∴两人相遇时间为各自出发后， 此时小东离家的距离为． 36．已知A，B两地相距，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行．设甲、乙二人离A地的距离为y（），行驶时间为x（），则y与x的函数图象如图所示． (1)求乙到达A地所用的时间； (2)已知甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人何时相距？ （1）解：设，根据题意， 得， 解得， 故； 当时，， 故图象交点的坐标为， 设，根据题意， 得， 解得， ∴， ∴， 解得， 故乙到达A地所用的时间． （2）解：设经过，甲、乙相距90千米， 根据题意，得则， 解得（小时），此时为11时． 根据题意，得则， 解得（小时），此时为13时． 37．图1为小明和妹妹小红每天的出行路线，某天兄妹俩从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥小明步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车从学校出发，到书吧前的速度为200米分，两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数图像在图2中分别表示． (1)求小明步行的速度． (2)已知妹妹小红比哥哥小明迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②若妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家，且速度是哥哥的1.6倍，求追上时兄妹俩离家还有多远． 解：（1）由可知哥哥的速度为：. （2）①∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分， ∴妹妹所用时间t为：. ∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧， ∴； ②由（1）可知：哥哥的速度为100， ∴设所在直线为， 将代入得：， 解得. ∴所在直线为：. 当时，. ∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍， ∴妹妹的速度是160米/分. ∴设妹妹返回时得解析式为， ∵妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家时， ∴ 将代入得， 解得， ∴. 令，则有， 解得， ∴妹妹能追上哥哥， 此时哥哥所走得路程为：（米）. 兄妹俩离家还有（米）， 即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家米远． 时，按甲、乙两类收费标准所缴费用相等 38．近日，陕西通信技术在西北地区率先迈入“双万兆”时代，双万兆，指的是“无线有线”光网技术能力均超万兆．是基于第五代移动通信技术的演进和增强版，具备通感一体、无源物联、内生智能等“超能力”，能够满足更为复杂和多样化的应用场景需求．过去的10年里，通信行业经历了从到的飞速发展，某电信公司也适时推出流量卡；包含了甲、乙两种方案供用户选择：甲种方案每月收取月租费25元，流量费为0.5元/；乙种方案不收取月租费，流量费为1.8元/．假设每月使用流量为，甲种方案的每月．费用为元，乙种方案的每月费用为元．（注：是一种流量的计算单位） (1)分别写出、与的关系式； (2)若小王平均每月使用的流量，通过计算说明他选择哪种方案更划算？ （1）解：由题意可得， ，； （2）解：当时， ， ， ∵， ∴小王选择甲种方案更划算． 39．一辆中型客车，准乘21人（包括一名司机和一名乘务员）．这辆客车由A地行驶到B地，油费为120元，高速公路费为55元，其他运输成本为60元，乘客票价为40元/人．设乘客人数为x时，客车盈利y元． (1)写出y与x之间的函数关系式． (2)至少要有多少名乘客才能保证不亏本？若载满了乘客，可获利多少元？ （1）解：由题意得： ， 即y与x之间的函数关系式为； （2）解：当时，不亏本， ∴， 解得：， ∵x为正整数， ∴x的最小值为6， 若载满乘客，则， 此时可获利（元）； 答：至少要有6名乘客才能保证不亏本，若载满乘客，可获利525元． 40．科学家通过实验发现，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律地变化．通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系． 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334 (1)在这个变化过程中，______是自变量． (2)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______． (3)某日的气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，则小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ （1）解：由题意可知在这个变化过程中，气温（t）是自变量； 故答案为气温（）； （2）解：设函数解析式为，由表格得： ， 解得：， ∴传播速度与气温的关系式可以表示为； （3）解：由（2），可知，由题意得： ∴， 所以小乐与燃放烟花所在地大约相距． 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距． 41．综合与实践 【问题情境】水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组进行了以下的试验与研究． 【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 5 20 35 50 65 … 【问题解决】 (1)请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内盛水量与滴水时间符合学习过的______函数（选填“正比例”或“一次”）； (2)根据以上判断，求关于的函数关系式； (3)一个人一天大约饮用1600毫升水，在这种滴水状态下，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用大约多少天？（结果保留整数） （1）解：关于的函数图象如图所示： 从所画图象看，符合一次函数的特征． 故答案为：一次； （2）解：设一次函数解析式为，将点，代入解析式得： ，解得， 一次函数解析式为； （3）解：一天， 一天的盛水量， 一月的盛水量， 可供一人饮用（天， 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用约81天． 42．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量有如下关系： (1)请写出弹簧总长与所挂物体质量之间的函数关系式． (2)当挂重千克时弹簧的总长是多少？ (3)画出函数图像 （1）解：由表可知：， ， ， ， ， ， 为常量，也为常量． 弹簧总长与所挂重物之间的函数关系式为： ； （2）解：当时，代入， 解得， 即弹簧总长为； （3）解：将表中点在平面直角坐标系中标出，如下图所示： ． 43．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： (1)分别求，关于x的函数解析式； (2)如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择____________品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） (3)当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？ （1）解：由图象可得，， 设， 将点代入得，， 解得：， ， 关于的函数解析式为； 设当时，， 将点，代入得，， 解得， 当时，， ； （2）由图象可知，当时，， 小明从家骑行到工厂所需时间为， A品牌所需费用为元， B品牌所需费用为元， ， 选择A品牌共享电动车更省钱； 故答案为：A； （3）当时，，， ， 解得：， 当时，或， 或， 解得：（舍去）或， 综上，当的值为5或40时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 学科网（北京）股份有限公司 $