2.规律探索（2025首次考查）- 【一战成名新中考】2026陕西数学中考必考知识点题组特训

规律探索 类型一：探索式子的变化规律 1．观察这一系列单项式的特点：，…那么第8个单项式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由，，，，…可推导一般性规律为：第n个单项式为， ∴第8个单项式为． 故选：A． 2．探索规律：观察下面的一列单项式：﹣x、2x2、﹣4x3、8x4、﹣16x5、…，根据其中的规律得出的第10个单项式是（　　） A．﹣512x10 B．512x10 C．1024x10 D．﹣1024x10 【答案】B 【解答】解：根据分析的规律，得 第10个单项式是29x10＝512x10． 故选：B． 3．观察下列各多项式：2a+b，4a2﹣b3，6a3+b5，8a4﹣b7，…，根据你发现的规律，第6个多项式为（　　） A．12a6+b11 B．12a6﹣b11 C．10a6﹣b13 D．10a6﹣b11 【答案】B 【解答】解：第六个多项式为（2×6）a6+（﹣1）6+1b2×6﹣1＝12a6﹣b11． 故选：B． 4．【观察与发现】 x2y，﹣3x2y2，5x2y3，﹣7x2y4，9x2y5，﹣11x2y6，…， （1）直接写出：第7个单项式是 　13x2y7　 ；第8个单项式是 　﹣15x2y8　 ； （2）第n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【答案】（1）13x2y7，﹣15x2y8；（2）（﹣1）n+1（2n﹣1）x2yn，它的系数为：（﹣1）n+1（2n﹣1），次数为：2+n． 【解答】解：（1）由题意可知： 单项式的系数依次为：1，﹣3，5，﹣7，9，﹣11，...，（﹣1）n+1（2n﹣1）， y的指数依次为：1，2，3，4，5，6，...，n， 故第7个单项式是：13x2y7， 第8个单项式是：﹣15x2y8． 故答案为：13x2y7，﹣15x2y8； （2）由（1）可得出第n个单项式为：（﹣1）n+1（2n﹣1）x2yn，它的系数为：（﹣1）n+1（2n﹣1），次数为：2+n． 5．观察下列算式，解答问题：1+3＝4＝22，1+3+5＝9＝32，1+3+5+7＝16＝42，1+3+5+7+9＝25＝52． （1）请猜想1+3+5+7+⋯+49＝　625＝252　 ； （2）请猜想1+3+5+7+9+⋯+（2n﹣3）+（2n﹣1）＝　n2　 ； （3）请利用上题猜想结果，计算41+43+45+47+⋯+2017+2019的值．（要有计算过程） 【答案】（1）625＝252； （2）n2； （3）1019700． 【解答】解：（1）观察已知算式可知： 1+3+5+7+…+49252＝625， 故答案为：625＝252； （2）1+3+5+7+9+⋯+（2n﹣3）+（2n﹣1） ＝（）2 ＝n2， 故答案为：n2； （3）41+43+45+47+⋯+2017+2019 ＝（1+3+5+…+2019）﹣（1+3+5+…+39） ＝10102﹣202 ＝1019700． 6．阅读下面材料： 计算：1+2+3+4+…+99+100 如果一个一个顺次相加显然太繁杂，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律，可简化计算，提高计算速度． 1+2+3+…+99+100＝（1+100）+（2+99）+…+（50+51）＝101×50＝5050 根据阅读材料提供的方法，计算： a+（a+m）+（a+2m）+（a+3m）+…+（a+100m） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：a+（a+m）+（a+2m）+（a+3m）+…+（a+100m） ＝101a+（m+2m+3m+…100m） ＝101a+（m+100m）+（2m+99m）+（3m+98m）+…+（50m+51m） ＝101a+101m×50 ＝101a+5050m． 类型二：探索图形的变化规律 1．用小棒按下面的规律拼摆八边形． 萌萌、亮亮、乐乐、欢欢通过观察图形，找出了拼摆成的八边形的数量n和需要小棒的数量a之间的关系．下面说法正确的是（　　） A．萌萌：a＝16+16n（n＞3） B．亮亮：a＝7n+1 C．乐乐：a＝8n﹣1 D．欢欢：a＝7n+n 【答案】B 【解答】解：根据题意，拼摆成n个八边形需要小棒的数量a＝8+7（n﹣1）＝7n+1， 故选：B． 2．观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1+8+16+24+…+8n（n是正整数）的结果为（　　） A．（2n+1）2 B．（2n﹣1）2 C．（n+2）2 D．n2 【答案】A 【解答】解：法一： 图（1）：1+8＝9＝（2×1+1）2； 图（2）：1+8+16＝25＝（2×2+1）2； 图（3）：1+8+16+24＝49＝（3×2+1）2； …； 那么图（n）：1+8+16+24+…+8n＝（2n+1）2． 法二：作为选择题，本题可用排除法， 由n＝1时，结果为9，可排除B和D选项， 由n＝2时，结果为25，可排除C选项， 故选：A． 3．观察下列图形它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第20个图形的“★”有（　　） A．57个 B．60个 C．63个 D．85个 【答案】B 【解答】解：根据规律可知 第n个图形有3n个★， 所以第20个图形共有20×3＝60个★． 另解：通过观察发现每行五星组成的三角形的边上分别有（n+1）个五星，共有3（n﹣1）个，但每个角上的五星重复加了两次，故五星的个数为3（n﹣1）﹣3＝3n个， 故第20个图象共有60个★． 故选：B． 4．观察图形，按照图形中的点的个数的变化规律．猜想第n排应该站（　　） A．3n﹣2 B．3n﹣1 C．4n+1 D．4n﹣3 【答案】D 【解答】解：第n个点阵中的点的个数是1+4（n﹣1）＝4n﹣3． 故选：D． 5．将字母“C”“H”按照如图所示的规律摆放，图①可以用CH4表示，图②可以用C2H6表示，图③可以用C3H8表示，依次下去，则第100个图形可以表示为（　　） A．C100H103 B．C100H198 C．C100H200 D．C100H202 【答案】D 【解答】解：第①个图中“C”的个数为1，“H”的个数为4， 第②个图中“C”的个数为2，“H”的个数为6， 第③个图中“C”的个数为3，“H”的个数为8， ……， 则第100个图形中“C”的个数为100，“H”的个数是2×100+2＝202， ∴第100个图形可以表示为C100H202， 故选：D． 6．用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推． 【规律发现】 （1）第6个图形中有　21　 个圆形棋子； （2）第n个图形中有　（3n+3）　 个圆形棋子；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）将2025个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放成功，是第几个图形？若不能，请说明理由． 【答案】（1）21； （2）（3n+3）； （3）能摆放成功，理由： 由题可得：3n+3＝2025， 解得：n＝674， ∵n＝674为整数， ∴2025个圆形棋子在第674个图形中，能够按照题中的规律一次性摆放． 【解答】解：（1）第一个图形有6个圆形棋子， 第二个图形有9个圆形棋子， 第三个图形有12个圆形棋子， 第四个图形有15个圆形棋子， ⋯， 以此类推， 第六个图形有（6+1）×3＝21个圆形棋子， 故答案为：21． （2）由（1）得：第n个图形中（n+1）×3＝（3n+3）有个圆形棋子； 故答案为：（3n+3）． （3）能摆放成功，理由如下： 由题可得：3n+3＝2025， 解得：n＝674， ∵n＝674为整数， ∴2025个圆形棋子在第674个图形中，能够按照题中的规律一次性摆放． 7．如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去； （1）填表： 剪的次数 1 2 3 4 5 正方形个数 （2）如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？ （3）如果剪了n次，共剪出多少个小正方形？ （4）观察图形，你还能得出什么规律？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）结合图形，不难发现：在4的基础上，依次多3个．即剪n次，共有4+3（n﹣1）＝3n+1． 填表： 剪的次数 1 2 3 4 5 正方形个数 4 7 10 13 16 （2）根据图形，还可以发现：每个小正方形的边长都是上一次的一半，面积是上一次的正方形的面积的． 如果剪了100次，共剪出3×100+1＝301个小正方形； （3）如果剪了n次，共剪出3n+1个小正方形； （4）观察图形，还能得出的规律是：剪了n次，小正方形的边长为原来的，面积是原来的． 类型三：探索数表中的规律 1．如图，填在下面每个正方形中的四个数之间都有相同的规律，则m的值为（　　） A．61 B．118 C．107 D．146 【答案】D 【解答】解：观察图形可得m＝10×（10+2）+2×（10+3）＝120+26＝146． 故选：D． 2．观察下列正方形中四个数分别具有的一定规律，根据规律可得的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：分析正方形中的四个数： 第一个数（正方形左上角）为：2n﹣1， 当2n﹣1＝79时， 解得：n＝40； 第二个数（正方形右上角）为：2n， ∴第40个正方形的第二个数（正方形右上角）b＝40×2＝80； 第三个数（正方形左下角）为：n+1， ∴第40个正方形的第三个数（正方形左下角）a＝40+1＝41， 第四个数（正方形右下角）为第一个数、第二个数与第三个数的和， ∴m＝79+b+a＝79+80+41＝200， ∴， 故选：C． 3．将正奇数按下表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 3 5 7 第2行 15 13 11 9 第3行 17 19 21 23 … … … 27 25 若2025在第m行第n列，则m+n＝（　　） A．254 B．255 C．258 D．259 【答案】C 【解答】解：根据题意得：第x行第三列的数为8x﹣5， ∵8×254﹣5＝2027， ∴2025应该在第254行第4列， ∴m+n＝254+4＝258， 故选：C． 4．下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定a的值为 　3900　 ． 【答案】3900． 【解答】解：根据给出的已知图形得出规律为： 上下两数之和等于左边数，上下两数之积等于右边数，和与积相乘等于中间数，且最下面的数字为最上面的数字加1， ∴最后一个图最下面的数字为13， ∴12+13＝25，12×13＝156，25×156＝3900； ∴a＝3900． 故答案为：3900． 5．观察每个正多边形中∠α的变化情况，寻找规律并解答下列问题．提示：等腰三角形具有等边对等角的性质． （1）将下面的表格补充完整： 正多边形边数 3 4 5 6 … n 正多边形一个外角的度数 120° 90° 72° 　60°　 … 　　 ∠α的度数 60° 45° 　36°　 　30°　 … 　　 （2）根据上面的规律，若正n边形中，∠α＝10°，直接写出n的值 　18　 ． 【答案】（1）60°，，36°，30°，（从左到右，从上往下）；（2）18． 【解答】解：（1）根据图形可知，正多边形一个外角的度数等于2∠α， 故答案为：60°，，36°，30°，（从左到右，从上往下）； （2）10°，解得：n＝18． 故答案为：18． 6．如表，将正整数1至2025按一定规律排列． （1）若用一个如表中所示的带有阴影的方框在此表格中移动，当方框中的数字总和为2025时，方框中间的数字是多少？ （2）若用该带有阴影的方框在此表格中移动，方框中的三个数的和能不能为2880？ 【答案】（1）方框中间的数字是675； （2）方框中的三个数的和不能为2880，理由见解答． 【解答】解：（1）设方框中间的数字是x，则另外两个数字分别是x﹣1，x+1， 根据题意得：x﹣1+x+x+1＝2025， 解得：x＝675． 答：方框中间的数字是675； （2）方框中的三个数的和不能为2880，理由如下： 假设方框中的三个数的和能为2880，设方框中间的数字是y，则另外两个数字分别是y﹣1，y+1， 根据题意得：y﹣1+y+y+1＝2880， 解得：y＝960， ∵960＝8×120， ∴960在第8列， ∴假设不成立，即方框中的三个数的和不能为2880． 7．将1到2025之间的所有奇数按顺序排成如图： 记Pmn表示第m行第n个数，如P23表示第2行第3个数是17，即P23＝17． （1）P43＝　41　 ； （2）若Pmn＝2025，则m＝　169　 ，n＝　5　 ； （3）将表格中的4个阴影格子看成一个整体（“T”字）并平移，所覆盖的4个数之和能否等于200？若能，求出这4个数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）41； （2）169，5； （3）不能，理由见解析． 【解答】解：（1）由题意可得，每一行6个奇数，左右差2，上下两行同一列数字差12， 由表格可得P33＝29， ∴P43＝P33+12＝29+12＝41， 故答案为：41； （2）由表格可得发现规律：每一行6个奇数，左右差2，上下两行同一列数字差12， ∵（2025+1）÷2＝1013， ∴2025是第1013个奇数， ∵1013÷6＝168⋯5， ∴2025是第169行，第5个数， ∵Pmn＝2025， ∴m＝169，n＝5， 故答案为：169，5； （3）所覆盖的4个数之和不能等于200，理由如下： 设“T”字第一行中间数为x， 由题意得（x﹣2）+x+（x+2）+（x+12）＝200， 解得x＝47， ∵47位于第4行最后一个数，所以不能与其他数构成“T”字状， ∴所覆盖的4个数之不和能等于200． 学科网（北京）股份有限公司 $