第四章 三角形诊断卷- 【一战成名新中考】2026江西数学中考必考知识点题组特训

第四章三角形诊断卷 参考答案与解析 1．B 2．C【解析】A正确，因为直线向两方无限延伸；B正确，射线的端点和方向都相同；C错误，因为射线的端点不相同；D正确． 3．D 4．B【解析】∵MN∥EF，∴∠1+∠CBN＝180°，∵∠1＝66°，∴∠CBN＝180°﹣66°＝114°，∵∠2＝40°，∴∠DBC＝180°﹣∠CBN﹣∠2＝180°﹣114°﹣40°＝26°． 5．A【解析】A、3+4＝7＞5，能构成三角形，故本选项符合题意；B、8+7＝15，不能构成三角形，故本选项不符合题意；C、6+12＝18＜20，不能构成三角形，故本选项不符合题意；D、5+5＝10＜11，不能构成三角形，故本选项不符合题意． 6．D【解析】如解图，符合条件的点有6个． 第6题解图 7．两点之间线段最短 8．105°【解析】∵∠1＝15°，∠AOC＝90°，∴∠COB＝75°，∴∠2＝180°﹣∠COB＝105°． 9．3【解析】∵以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F，AD＝7，∴AF＝AD＝7．在△ABC中，∵点D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝10，∴BF＝AB﹣AF，即BF＝AB﹣AD＝10﹣7＝3． 10．8【解析】∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝3，即AB﹣AC＝3①，又AB+AC＝13②，①+②得．2AB＝16，解得AB＝8． 11．3 858【解析】设飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行的实际距离为x（千米），则，解得x＝3 858，∴飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行的实际距离为3 858千米． 12．或9或【解析】如解图，过点B作BH⊥AC于点H．∵∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝16，∴AB12，∵BH⊥AC，∴S△ABC•AC•BH•AB•BC，∴BH，∴AH，当BA＝BP1时，AH＝HP1， ∴AB+BC+AP1＝20+16+12，此时t；当AB＝AP2时，AB+BC+CP2＝20+16+12﹣12＝36，此时t＝9；当AP3＝BP3时，AB+BC+CP3＝20+16+12﹣10＝38，此时t；综上所述，满足条件的t的值为或9或． 第12题解图 13．（1）证明：∵BE＝FC，∴BC＝EF， 在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SAS）． （2）证明：∵AB＝4，BC＝8，BD＝2，∴． ∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA． 14．解：（1）如解图所示，点P即为所求，点P的坐标是（0，﹣2）； （2）如解图所示，△A2B2C2即为所求，点M对应点的坐标为（﹣a，﹣b）． 第14题解图 15．（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠DFE＝180°，∴∠2＝∠DFE，∴AB∥EF； （2）解：∵AB∥EF，∴∠DEF＝∠BDE， 又∵∠DEF＝∠A，∴∠BDE＝∠A，∴ED∥AC， ∴∠BED＝∠ACB＝50°，∠EDF＝∠DCA， ∵CD平分∠ACB，∴，∴∠EDF＝25°． 16．证明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴△ABC，△ADC是直角三角形，斜边均为AC， ∵M是AC的中点，∴，，∴BM＝MD； （2）∵BM＝AM，DM＝AM，∴∠ABM＝∠BAM，∠ADM＝∠DAM， ∵∠ABM+∠BAM＝∠BMC，∠ADM+∠DAM＝∠DMC，∴2∠BAM＝∠BMC，2∠DAM＝∠DMC， ∴∠BMD＝∠BMC+∠DMC＝2（∠BAM+∠DAM）＝2∠BAD， ∵∠BAD＝30°，∴∠BMD＝2∠BAD＝60°， ∵BM＝MD，∴△MBD是等边三角形． 17．解：（1）如解图，过点A作BC边上的垂线，垂足为D． 第17题解图 在Rt△ADC中，，∴． 由勾股定理，得，， ∴BC＝BD+CD＝14． （2）在Rt△ABD中，． 18．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，AB∥CD，AD∥BC， ∴△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，∴，， ∴，∴AB2＝DE•BF； （2）∵△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，∴，， ∴11，∴，∴，∴AO，∴． 19．解：（1）△CBD≌△CAE，理由如下： ∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE， 在△CBD与△CAE中，，∴△CBD≌△CAE（SAS）； （2）8；【解法提示】∵△CBD≌△CAE，∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm）． （3）AE⊥BD，理由如下： 如解图，设AE与CD相交于点O，∵△CBD≌△CAE，∴∠ADO＝∠CEO， ∵∠AOD＝∠COE，∴∠OAD＝∠OCE＝90°，∴AE⊥BD． 第19题解图 20．解：（1）如解图①，过点B作BF⊥DE，垂足为F， 第20题解图① 由题意得，AB＝FE＝5cm，∠ABF＝90°， ∵∠ABC＝150°，∴∠DBF＝∠ABC﹣∠ABF＝60°， ∵BC＝CD＝20cm，∴BD＝BC+CD＝40（cm）， 在Rt△BDF中，DF＝BD•sin60°＝4020（cm），∴DE＝DF+EF＝205≈39.6（cm）， ∴连杆端点D离桌面l的高度DE约为39.6cm； （2）如解图②，过点D作DG⊥l，垂足为G，过点B作BH⊥DG，垂足为H，过点C作CM⊥BH，垂足为M，过点C作CN⊥DG，垂足为N， 第20题解图② 由题意得，HG＝AB＝5cm，NH＝CM，∠ABH＝∠MCN＝∠BMC＝90°， ∵∠ABC＝150°，∴∠CBM＝∠ABC﹣∠ABH＝60°，∴∠BCM＝90°﹣∠CBM＝30°， ∵∠BCD＝165°，∴∠DCN＝∠BCD﹣∠BCM﹣∠MCN＝45°， 在Rt△BCM中，BC＝20cm，∴CM＝BC•sin60°＝2010（cm），∴NH＝CM＝10（cm）， 在Rt△DCN中，CD＝20cm，∴DN＝CD•sin45°＝2010（cm）， ∴DG＝DN+NH+HG＝（10105）cm， ∴205﹣（10105）＝10103.2（cm）， ∴此时连杆端点D离桌面L的高度较（1）是减少了，减少了3.2cm． 21．解：（1）∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝115°，∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∴∠FBC+∠FCB（∠ABC+∠ACB）＝57.5°，∴∠F＝122.5°； （2）90°α；【解法提示】∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α，∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠FBC+∠FCB（∠ABC+∠ACB）＝90°α，∴∠F＝90°α． （3）①∠F＝120°α．理由：∠F＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠A）＝120°α； ②•180°； （4）∠F＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°（∠DBC+∠ECB）＝180°（180°+∠A）•180°． 22．解：（1）不是；【解法提示】∵等腰三角形的顶角为120°，∴等腰三角形的两个底角度数分别为30°，30°，∴顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”； （2）∵△ABC是“准等边三角形”，∠A＝35°，∠C＞90°，∴分两种情况： 当∠C﹣∠A＝60°时，∴∠C＝∠A+60°＝95°，∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝50°； 当∠C﹣∠B＝60°时，∵∠A＝35°，∴∠C+∠B＝180°﹣∠A＝145°，∴2∠B＝85°，∴∠B＝42.5°； 综上所述，∠B的度数为50°或42.5°； （3）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，AB＝2BC＝2+2， ∵△BCD是“准等边三角形”，∴分两种情况： 当∠C﹣∠CBD＝60°时，∴∠CBD＝∠C﹣60°＝30°，∴BD＝2CD， ∵CD2+BC2＝BD2，∴CD2+（1）2＝（2CD）2，解得CD或CD（舍去）， ∴BD＝2CD； 当∠BDC﹣∠CBD＝60°时，如解题，过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵∠C＝90°，∴∠BDC+∠CBD＝90°，∴2∠BDC＝150°，∴∠BDC＝75°， ∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BE＝DE，BDDE， 设DE＝BE＝x，在Rt△ADE中，∠A＝30°，∴AEDEx， ∵BE+AE＝AB，∴xx＝2+2，解得x＝2，∴BE＝DE＝2，∴BDDE＝2； 综上所述：BD的长为或2． 第22题解图 23．解：（1）3；【解法提示】由折叠的性质得：AE＝EC，DE⊥AC，∴DE∥AB，∴1，∴DC＝BD，∴DE是△ABC的中位线，∴DEAB＝3， （2）MF＝ME，证明如下： 如解图1，连接DM， 由旋转的性质得，DE＝DF，∠DFM＝∠DEM＝90°， 在Rt△DMF和Rt△DME中，，∴Rt△DMF≌Rt△DME（HL），∴MF＝ME； 第23题解图 （3）①；【解法提示】由旋转的性质得：∠DGB＝∠C，DG＝DC，∵DB＝DC，∴DG＝DB，∴∠DGB＝∠DBG，∴∠MBC＝∠C，∴BM＝MC，设BM＝MC＝x，在Rt△ABM中，BM2＝AB2+AM2，即62+（8﹣x）2＝x2，解得x，∴AM＝AC﹣CM＝8． ②如解图3，过A作AH⊥BC于H，交FG于K．则四边形DFKH是矩形，∴DF＝KH＝3， ∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC10， ∵AH⊥BC，∴S△ABCBC•AHAB•AC，∴AH，∴AK＝AH﹣KH， ∵GF∥BC，∴△AKM∽△AHC，∴，即，解得AM＝3； （4）如解图4，连接AD，则AF+DF≥AD， 当A、F、D三点共线时，AF+DF＝AD，此时AF+DF的值最小，AF最小， ∵∠BAC＝90°，BD＝CD，∴ADBC＝5，∵DF＝DE＝3，∴AF的最小值＝AD﹣DF＝5﹣3＝2． 学科网（北京）股份有限公司 $2一战成名 。思型中专书开括者 第四章三角形诊断卷 一。选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的( A.全等形 B.稳定性 C.灵活性 D.对称性 第1题图 第2题图 2.如图，下列不正确的几何语句是() 振任视 A.直线AB与直线BA是同一条直线 B.射线OA与射线OB是同一条射线 C.射线OA与射线AB是同一条射线 D.线段AB与线段BA是同一条线段 3.下列命题是假命题的是( ) A.对项角相等 B.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C.垂线段最短 D.在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 4.光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是折射现象，如图，水面MN与底面EF平 行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，变成光线BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长线， ∠1=66°，∠2=40°，则∠DBC的度数为( A.24° B.26 C.40 D.60 空气 B人2 <0/ E C 第4题图 第6题图 5.下列长度的三根木棒首尾相接，能组成三角形的是() A.3cm;4cm,5cm B.7cm,8cm,15cm C.6cm,12cm,20cm D.5cm,5cm,11cm 6.已知方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A,B两点在小方格的格点上，位置如图所示，在小 方格的格点上确定一点C,连接AB,AC,BC,使△ABC的面积为3个平方单位，则这样的点C共有() A.2个 B.4个 C.5个 D.6个 训练思维，才能打赢新中考 1 《一战成名》—思维型中考书开拓者 ?一战成名 二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7,如图，利用隧道，把弯曲的公路改直，就能缩短两地的路程，这其中蕴含的数学道理 是 第7题图 第8题图 8.如图，点O在直线DB上，已知∠1=15°，∠AOC=90°，则∠2的度数为 9.如图，在△ABC中，点D,E分别是AC,BC的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F.若 AD=7,DE=5,则BF的长为 第9题图 第10题图 10.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多3，AB与AC的和为13， 则AB的长为 11.在中国地理地图册上，连接上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如 图所示，飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约 为 上海 3cm 5.4cm 台湾 3.6cm 香港 奶 第11题图 第12题图 12.如图所示，己知△ABC中，∠B=90°，BC=16c,AC=20C,点P是△ABC边上的一个动点，点P 从点A开始沿A→B→C一A方向运动，且速度为每秒4C,设出发的时间为t(s),当点P在边CA上运 动时，若△ABP为等腰三角形，则运动时间t=一： 训练思维，才能打赢新中考 3 《一战成名》一思维型中考书开拓者 ?二战成名 三.解答题（本大题共5小题，满分30分，每小题6分） 13.（1)如图①，己知AB=DF,∠B=∠F,BE=FC.求证△ABC≌△DFE. B D 第13题图① (2)己知，如图，△ABC中，AB=4,BC=8,D为BC边上一点，BD=2.求证：△ABD∽△CBA. B D C 第13题图② 14.己知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A,B,C的坐标分别为(1,0)，(4，-1)，(3， 2).△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形， (1)请画出点P的位置，并写出点P的坐标 (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出△4BC的位似图形 △A2B2C2,使相似比为1：1，若点 M(a,b)为△ABC内一点，点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为 V不 -10 第14题图 训练思维，才能打赢新中考 《一战成名》一思维型中考书开拓者 ?一战成名 15.如图，∠1+∠2=180°. (1)求证：AB∥EF; (2)若CD平分∠ACB,∠DEF=∠A,∠BED=50°，求∠EDF的度数. B 第15题图 16.已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，连接MB、MD (1)求证：BM=MD, (2)若∠BAD=30°，求证：△MBD是等边三角形 M R C 第16题图 17.如图，在△ABC中，AB=13,AC=15,sinC= (1)求BC的长 (2)求tanB的值. 第17题图 训练思维，才能打赢新中考 《一战成名》一思维型中考书开拓者 ?战成名 四.解答题（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18.如图，点O是菱形ABCD的对角线BD上一点，联结AO并延长， 交CD于点E,交BC的延长线于点F. E (1)求证：AB2=DEBF; （2)如果OB=1,BR=2,求S的值. BE 泰仔洲 第18题图 19.如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点 C处，AC=BC,DC=EC,连接AE、BD,点A恰好在线段BD上. (1)找出图中的全等三角形，并说明理由： (2)当AD=AB=4cm,则AE的长度为 (3)猜想AE与BD的位置关系，并说明理由 E 第19题图 训练思维，才能打赢新中考 《一战成名》一思维型中考书开拓者 ?一战成 20.如图1，是放置在水平桌面1上的台灯，底座的高AB为5cm.长度均为20cm的连杆BC,CD与AB 始终在同一水平面上. (1)如图2，旋转连杆BC,CD,使∠BCD成平角，∠ABC=150°，求连杆端点D离桌面1的高度DE; (2)如图3，将(1)中的连杆CD绕点C逆时针旋转，使∠BCD=165°，问此时连杆端点D离桌面L 的高度较(1)是增加还是减少了？增加了多少或减少了多少？（结果都精确到0.1c,参考数据：√2≈ 1.414,V5≈1.73) D C B E 图1 图2 图3 第20题图 训练思维，才能打赢新中考 6 《一战成名》一思维型中考书开拓者 ?一战成 五.解答题（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21.课本再现 (1)如图①，在△ABC中，BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,∠A=65°，求∠F的度数： D 图① 图② 图3 第21题图 类比探究 (2)如图①，若∠A=,则∠F= (用含a的代数式表示)： (3)如图②，在△MBC中，∠CBF=∠ABC,∠BCF=员∠ACB,∠A=a ①当F3时，试探究∠BOC与∠A的数量关系（用含a的代数式表示），并说明理由： ②当n为任意值时，请直接写出∠BOC与∠A的数量关系（用含、n的代数式表示）： 知识拓展 (4)如图③，BR、CF分别是△ABC的外角∠DBC,∠ECB的n等分线，它们交于点R,∠CBF= 上∠DBC,∠BCR=∠BCB,∠A=a,求∠BrC的度数（用含、n的代数式表示）， 训练思维，才能打赢新中考 《一战成名》一思维型中考书开拓者 ?一战成 22.定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”. (1)理解概念；项角为120°的等腰三角形一 “准等边三 角形”.（填“是”或“不是”） (2)巩固新知；己知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A=35°， ∠C>90°.求∠B的度数. (3)解决问题；如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， 第22题图 BC=1+V3,点D在AC边上，若△BCD是“准等边三角形”，求 BD的长. 成成名 训练思维，才能打赢新中考 《一战成名》一思维型中考书开拓者 ?一战成 五.解答题（本大题共12分） 23.综合与实践 如图1，在三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,将三角形纸片ABC进行以下操作： 第一步：折叠三角形纸片ABC使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕DB; 第二步：然后将△DEC绕点D顺时针方向旋转得到△DFG,点E,C的对应点分别是点F,G,直线GF 与边AC交于点M(点M不与点A重合)，与边AB交于点N. B B(N) B D CA M C A ME 图1 GY图2 图3 G 备角图 第23题图 【操作发现】 (1)折痕DE的长为 (2)在△DEC绕点D旋转的过程中，试判断M与ME的数量关系；并证明你的结论： 【问题探究】 (3)在△DEC绕点D旋转的过程中，探究下列问题： ①如图2，当直线GF经过点B时，AM的长为 ②如图3，当直线GF∥BC时，求AM的长： 【问题延伸】 (4)在△DEC绕点D旋转的过程中，连接AF,求AF的最小值. 训练思维，才能打赢新中考 9 《一战成名》—思维型中考书开拓者