第一章 数与式诊断卷- 【一战成名新中考】2026江西数学中考必考知识点题组特训

第一章数与式诊断卷 参考答案与解析 1．B【解析】∵﹣2 024×（）＝1，∴﹣2 024的倒数是． 2．C【解析】根据比较得﹣1＜02，∴最大的数为2． 3．D【解析】要使二次根式有意义，必须2x﹣3≥0，解得x≥1.5，所以只有选项D符合题意，选项A、选项C、选项B都不符合题意． 4．C【解析】A、a2+a2＝2a2，故不符合题意；B、a6÷a3＝a3，故不符合题意；C、2a3•a2＝2a5，故符合题意；D、（﹣3a2）3＝﹣27a6，故不符合题意． 5．D【解析】由题意，原式 ＝1． 6．C【解析】根据题意，4+2×7+1×7×7＝67． 7．5 8．﹣2 9．2【解析】2． 10．2x（x+1）（x﹣1）【解析】原式＝2x（x2﹣1）＝2x（x+1）（x﹣1）． 11．x≠1【解析】根据题意得x﹣1≠0，解得x≠1． 12．3×108帕【解析】300兆帕＝300000000帕＝3×108帕， 13．解：（1）原式＝﹣11 1 ； （2）原式＝121 ＝11 ． 14．解：（1）3@（﹣2）﹣（﹣2）⊕（﹣1） ＝1； （2）A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b） ＝3b﹣1， B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b） ＝3b+1， 则A＜B． 15．解：（1）一，分式的减法计算错误； （2）因式分解； （3）原式 • ， ∵﹣2＜x＜2，∴整数x＝﹣1，0，1， 当x＝﹣1，0时，原式没有意义； 当x＝1时，原式＝0． 16．解：任务一：完全平方公式，平方差公式；括号前是“﹣”号，去括号时，﹣1没有变号； 任务二：（2x+1）2﹣3x（x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1） ＝4x2+4x+1﹣3x2+3x﹣（x2﹣1） ＝4x2+4x+1﹣3x2+3x﹣x2+1 ＝7x+2， 当x时，原式＝7×（）+2 ＝﹣3+2 ＝﹣1． 17．解：（1）小亮；|a|； （2）原式＝a+2 ＝a+2|a﹣4|， ∵a＝﹣2021，∴a﹣4＜0， ∴原式＝a﹣2（a﹣4） ＝﹣a+8 ＝2021+8 ＝2029． 18．解：（1）该客户按方案一需付款：40×10+10（x﹣10）＝（10x+300）元， 该客户按方案二需付款：（40×10+10x）×90%＝（9x+360）元， 答：该客户按方案一、方案二购买，分别需付款（10x+300）元、（9x+360）元； （2）当x＝30时，按方案一需付款：10×30+300＝600（元）， 按方案二需付款：9×30+360＝630（元）， ∵600＜630，∴客户按方案一购买较为合算； （3）能， 先按方案一买羽毛球拍10副，送10桶羽毛球，按方案二购买20桶羽毛球， 共付款：40×10+10×20×90%＝580（元）， 答：能，先按方案一买羽毛球拍10副，送10桶羽毛球，按方案二购买20桶羽毛球，需付款580元． 19．解：（1）﹣4.5，3.5，8；【解法提示】4.5的相反数是﹣4.5，即点B表示的数为﹣4.5；点C表示的数为5﹣1.5＝3.5；B，C两点间的距离是3.5﹣（﹣4.5）＝3.5+4.5＝8． （2）﹣2；【解法提示】∵|x+6|与|x﹣2|的值相等，∴x+6＝x﹣2此种情况等式不成立，或x+6＝﹣（x﹣2），x＝﹣2，∴x＝﹣2时，|x+6|与|x﹣2|的值相等． （3）∵|x+1|+|x﹣2|值最小， ∴在数轴上可以看作表示x的到﹣1的距离与到2的距离和最小， ∴数x只能在﹣1与2之间，包括﹣1与2两个端点，∴﹣1≤x≤2． 20．解：（1）∵4a﹣11的平方根是±3． ∴4a﹣11＝9，∴a＝5， ∵3a+b﹣1的算术平方根是1， ∴3a+b﹣1＝1，∴b＝﹣13； ∵c是的整数部分，45，∴c＝4； （2）， ， ＝﹣3， ∴﹣2a+b﹣c的立方根是﹣3． 21．解：（1）x4+x3+x2+x+1； （2）xn+xn﹣1+…+x+1； （3）∵（x2024﹣1）÷（x﹣1）＝x2023+x2021+…+x+1，1+x+x2+⋯+x2023＝0， ∴x2024﹣1＝0，∴x2024＝1， ∴x2024的值为1． 22．解：（1）真；；【解法提示】根据题意可知，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，∵分式的分子的次数为0，分母的次数为1，∴分式是真分式；． （2）方法1：． 方法2：由于分母为x﹣3，可设x2+2x﹣14＝（x﹣3）（x+a）+b（a，b为常数）， ∵（x﹣3）（x+a）+b＝x2+ax﹣3x﹣3a+b＝x2+（a﹣3）x﹣（3a﹣b）， ∴x2+2x﹣14＝x2+（a﹣3）x﹣（3a﹣b）． ∴解得 ∴x2+2x﹣14＝（x﹣3）（x+5）+1． ∴x5． ∵x为整数， ∴x+5为整数， ∴当的值为整数时，分式的值为整数， ∴x﹣3＝±1， ∴x＝2或4； （3）设m的百位数字为a，十位数字为b，则m的个位数字为2a，n的十位数字为a，个位数字为b， ∴m＝100a+10b+2a，n＝10a+b， ∴ ＝100（10a+b）+40a， 由题意可得，0＜a＜5，0≤b≤9，且a，b均为整数， ∵这个三位数的平方能被这个两位数整除， ∴100（10a+b）+40a为整数，即为整数， 当a＝1时，，没有满足题意的b值， 当a＝2时，，没有满足题意的b值， 当a＝3时，，b＝6， 当a＝4时，，没有满足题意的b值， 综上，满足条件的两位数n为36． 23．解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）1，2，3，（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2； （3）a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b），如解图； 第23题解图 （4）∵a＝12﹣m，b＝m﹣3， ∴a+b＝12﹣m+m﹣3＝9， ∵（12﹣m）（m﹣3）＝18， ∴ab＝18， ∴（12﹣m）2+（m﹣3）2 ＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝92﹣2×18 ＝81﹣36 ＝45． 学科网（北京）股份有限公司 $2一战成名 思价型中专书开拓者 第一章数与式诊断卷 一。选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.-2024的倒数是() 1 A.2024 B.-2024 C.-2024 D. 2024 2.下列实数中，最大的是() A.0 B.-1 C.2 D.√2 3.要使二次根式V2x-3有意义，x的值可以是() A.-1 B.0 C.1 D.3 4.下列运算正确的是() 品任湘 A.a2+2=2a B.a5÷d=2 C.2a32=2m D.(-32)3=-9 5.计算： 2a+3,a+4 a-1 1-a的结果是() A.-1 B.a C.a-1 D.1 6.国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图，浔 浔在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录立志为中考奋斗后努力的天数，由图可知， 浔浔努力的天数是( 第6题图 A.124 B.469 C.67 D.210 二。填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.单项式-b2的次数是 8.如果电梯上升8层记作+8层，那么下降2层记作层. 9.把V12化成最简二次根式得 10.分解因式：2x3-2x= 11.若分式 有意义，则x的取值范围是 X-1 12.兆帕是压强的单位，全称为兆帕斯卡，1帕是指1牛顿的力均匀的压在1平方米的面积上所产生的压 强，1兆帕=1000000帕，那么300兆帕换算成帕并用科学记数法表示为 训练思维，才能打赢新中考 《一战成名》一思维型中考书开拓者 ?二战成名 三.解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.计算：(1)(-1)2023×22+（π-V3)0; 解：(1)原式=1×+1=-+1=圣： l4.定义新运算“@”与“田”：a@b-=生，⑥b- 2 (1)计算3@(-2)-(-2)⊕(-1)的值： (2)若A=3b@(-a)+a①(2-3b),B=a@(-3b)+(-a)①(-2-9b),比较A和B的大小 15.下面是小斌同学进行分式化简的部分过程，请认真阅读并解决问题. x2-1 x2+2x+1 +中1)，其中x的值从2<x<2的整数解中选取 x2-1 1 x2+2x+1 x2+2x+1(x+1-1)） x2-1 ……第一步 x2-1 x2+2x+1 …X…………………第二步 (x+1)x-1) …X……………第三步 (x+1)2 问题：(1)从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 (2)以上化简步骤中，第三步用到的运算是 (填“整式乘法”或“因式分解”) (3)请写出此题正确的解题过程，并从-2<x<2中，取一个合适的整数值求分式的值. 训练思维，才能打赢新中考 3 《一战成名》一思维型中考书开拓者 ?一战成 16.下面是小明同学化简求值的部分过程，请你认真阅读并完成相应任务. 先化简，再求值：(2x+1)2-3x(x-1)。(+1)(x-1),其中x=-多 解：原式=4x2+4x+1-3x2+3x-(x2-1)…第一步， =x2+7x+1-x2-1…第二步， =7x…第三步 任务一：填空：①第一步用到的乘法公式有 :②第 步开始出现错误， 这一步错误的原因是 任务二：请直接写出正确的求值结果. 17.先化简，再求值：a+V1-2a+a2,其中a=2020.如图是小亮和小芳的解答过程. 解：原式=a+v1-a 解：原式=a+v1-a =a+1-a1 =a+c-1=4039 小芳 小亮 第17题图 (1) 的解法是错误的； 错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： (2)先化简，再求值：a叶2Va2-8a+16,其中a=-2021. 训练思维，才能打赢新中考 《一战成名》一思维型中考书开拓者 ?二战成名 四.解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.某商店销售羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价40元，羽毛球每桶定价10元，“双十一”期间商店 决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案， 方案一：买一副羽毛球拍送一桶羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款. 现某客户要到该商店购买羽毛球拍10副，羽毛球x桶(x>10). (1)若该客户按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？（用含x的代数式表示） (2)当x=30时，通过计算，说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当x=30时，你还能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 19.【阅读理解】|5-2表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离： 5+2可以看作5-(-2)，表示5与-2的差的绝对值，也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两 点之间的距离 【问题探究】(1)如图，先在数轴上画出表示点4.5的相反数的点B,再把点A向左移动1.5个单位，得 到点C,则点B和点C表示的数分别为 和 B,C两点间的距离是 (2)若点A表示的整数为x,则当x为 时，x+6与x-2 A 的值相等； 0 5 (3)要使代数式x+1+x-2取最小值时，求相应的x的取值范围. 第19题图 训练思维，才能打赢新中考 《一战成名》—思维型中考书开拓者 ?一战成名 20.阅读下面的文字，并解答问题： 大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是 小明用√2-1来表示√2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的， 因为V2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分， 又例如：，√4<√7<V9,即2<√7<3， ∴.V7的整数部分为2，小数部分为(V7-2). 已知4a-11的平方根是±3,3tb-1的算术平方根是1，c是V20的整数部分. (1)求a,b,c的值： (2)求-2a+b-c的立方根. 任即 五.解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.观察下列各式： (x-1)÷(x-1)=1: (x2-1)÷(x-1)=x+1: (x3-1)÷(x-1)=x2+x+1; (x4-1)÷(x-1)=x3+x2+x+1. (1)根据上面各式的规律可得：(x-1)÷(x-1)= (2)根据上面各式的规律可得：(x+1-1)÷(x-1)= (3)若1+x+x2++x2023=0,求x2024的值. 训练思维，才能打赢新中考 S 《一战成名》一思维型中考书开拓者 2一战成名 22.下面是小宇同学课外阅读的一则数学材料，请仔细阅读并完成相应任务. “真分式”与“假分式” 3 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： 2=1+: 在分式中，对于只含有一个 字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次 数时，我们称之为真分式，如+上， 2这样的分式是假分式：如-1 x 5 x-1’x- 这样的分式是真分式， x2+1 x2+2 类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式 例如： 将分式己化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程如下： x+3 x-2_c+3)-3-2_c+3)-5=1- 5 X+3 x+3 X+3 X+3 将分式+4比-5化成一个整式与一个真分式的和的形式，过程如下： x+3 x2+4x-5x2+3x+x-5x(x+3)+(x+3)-8 方法1： x+3 x+3 X+3 方法2：由于分母为x+3,可设x2+4x-5=(x+3)(x+a)+b(a,b为常数)， ,(x+3)(x+a)+b=x2+a+3.x+3a什b=x2+(什3)x+(3+b), ∴x2+4x-5=x2+(a+3)x+(3atb). 5a645解得1， 0+3=4 b-8 ∴x2+4x-5=(x+3)(x+1)8. x2+4x-5(x+3)(x+1)-8(x+3)c+1) 8 X+3 X+3 X+3 1 X+3 这样， 分式+4-5就被化成了一个整式与一个真分式的和的形式. x+3 任务： 分式是 分式（填“真”或“假）：将假分式2x+化为一个整式与一个真分式的和的形 式为 训练思维，才能打赢新中考 6 《一战成名》一思维型中考书开拓者 ?一战成 (2)请选择一种方法，将+214化为一个整式与一个真分式的和的形式，并求x取何整数时，这个 X-3 分式的值为整数： (3)一个三位数m,个位数字是百位数字的两倍.另一个两位数，十位数字与m的百位数字相同，个 位数字与m的十位数字相同.若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数 视 成成名 训练思维，才能打赢新中考 《一战成名》一思维型中考书开拓者 ?二战成 六.解答题（本大题共12分） 23.综合与实践 【问题背景】通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式.如图①，小刚 同学动手剪了相同大小的正方形与长方形纸片若干张. 2 b 0 ① ② ③ 第23题图 【归纳类比】 (1)他用1张1号、1张2号和2张3号纸片拼出一个新的图形（如图②)，根据这个图形的面积关系 写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 (2)如图③，小刚同学用x张1号纸片，y张2号纸片，z张3号纸片，拼出一个面积为(2b)(+3b) 的长方形，则x= 由此可以得出一个恒等式是 【实践操作】 (3)请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式2+5b+6b2并画出拼图： 【拓展应用】 (4)若图2中的长方形的长(b)与宽(a)的值分别为：a=12-,b=m-3,且满足(12-m)(m- 3)=18,请求出(12-m)2+(m-3)2的值 训练思维，才能打赢新中考 8 《一战成名》—思维型中考书开拓者