考点03 一元一次不等式组（10种题型）（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

考点03 一元一次不等式组 考点一：一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组.如： 考点二：一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 考点三：解一元一次不等式组 一般步骤：第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 题型一：一元一次不等式组的识别 特征：①不等式组中的所有不等式都是一元一次不等式； ②不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数； ③不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上. 1．（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A．B．C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式组中，一元一次不等式组的个数是（   ） ①，②，③④，⑤ A．2 B．3 C．4 D．5 4．（20-21七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二：解一元一次不等式组 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）已知点在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（2023·上海普陀·二模）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 8．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）解不等式组．把解集在数轴上表示出来，并写出最小整数解． 题型三：已知一元一次不等式组的解集求参数 已知一元一次不等式组的解集，求不等式组中待定字母的取值范围问题，首先把不等式组的解集用含有字母的形式表示出来，然后把它与已知条件联系起来求解.这类问题有时要运用方程知识，有时要运用不等式知识.在求解过程中还可以利用数轴进行分析. 9．（24-25七年级下·甘肃天水·期中）若不等式组有解，则a的范围是__________． 10．（24-25七年级下·吉林长春·期末）关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 11．（24-25七年级下·河南周口·期中）已知关于x的不等式组． （1）若该不等式组无解，则a的取值范围是______； （2）若该不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是______． 12．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如果不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是______． 题型四：可以转化为一元一次不等式（组）的不等式（组） 一元一次不等式或不等式组是解决其他不等式的基础，其他不等式可以转化为一元一次不等式或不等式组，转化的过程特别要注意不等式的基本性质与等式基本性质的区别，正确应用性质才能保证解题过程正确无误. 13．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）阅读材料：解不等式，根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可以转化为不等式组求解． 解：，转化为① 或② ，解不等式组①，得，解不等式组②，得． ∴原不等式的解集是或． 请你仿照上面的方法，解下列不等式 14．（24-25七年级下·广西百色·期中）【阅读理解】阅读下列材料： 求不等式的解． 解：根据“异号两数相乘，积为负”，得 ①或② 解不等式组①，得， 解不等式组②，无解， 原不等式的解为． 【解决问题】请你仿照上述方法解决下列问题： (1)求不等式的解； (2)求不等式的解． 题型五：不等式组与方程组综合 15．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是______． 16．（24-25七年级下·广西贵港·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解中x是非负数，y的值不大于，则a的取值范围为______． 17．（23-24七年级下·新疆巴州·期末）已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为_______． 18．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是______________． 题型六：判断解不等式组的错误步骤 19．（2025·浙江杭州·一模）以下是芳芳解不等式组的解答过程： 解：由①，得，所以． 由②，得，所以，所以． 所以原不等式组的解是． 芳芳的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 20．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得．     第一步 ．           第二步 解不等式②得，．     第三步 ．          第四步 ．          第五步 ．                       第六步 ……     (1)填空：乐乐的这部分解题步骤中存在一或若干步错误，他所有错误步骤是___________； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 21．（24-25七年级下·江西南昌·期末）下面是某同学解不等式组的部分解答过程． 解：解不等式①：移项，得第1步， 合并同类项，得第2步， 两边都除以，得第3步． (1)该同学的解答过程中第_____步出现了错误，错误的原因是_____； (2)求该不等式组的解集，并写出不等式组的非负整数解． 题型七：与解不等式组有关的新定义问题 22．（24-25八年级上·浙江金华·期末）对于实数，定义一种运算“”：，那么不等式组，的解在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）定义一种新的运算＆，规定，若关于正数x的不等式组恰好有4个整数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25八年级上·重庆·期末）对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 25．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 题型八：解特殊不等式组 26．（24-25七年级下·河南新乡·期末）【阅读思考】阅读下列材料： “已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：， 又 ∴ 又 ① 同理② 由①+②得 的取值范围是 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是___________； （2）已知，且，，试确定的取值范围（用含有的式子表示）． 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题： （3）已知，且，，试确定的取值范围． 27．（20-21七年级上·重庆·月考）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 28．（24-25七年级下·四川内江·期中）数学乐园：解二元一次方程组，，得，当时，，同理：； 符号称之为二阶行列式，规定：． 设，，，那么方程组的解就是． (1)求二行列式的值； (2)解不等式：； (3)用二阶行列式解方程组； (4)若关于的二元一次方程组无解，求的值． 题型九：根据实际问题列不等式组 29．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 31．（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组______． 32．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________． 题型十：利用不等式组解决实际问题 33．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 34．（25-26八年级上·陕西西安·期末）为了提升学生的审美素养与艺术实践能力，学校计划采购画笔套装与音乐礼盒两种美育资源共40套，作为美育课堂的辅助材料．已知画笔套装单价为80元，音乐礼盒单价为30元．学校经费预算不超过2000元．在保证学生能同时接触绘画与音乐两类美育资源的前提下，学校最多能购买多少套画笔套装？ 35．（25-26八年级上·浙江温州·月考）某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 36．（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 37．（25-26九年级下·四川成都·月考）小王周末参与2025年四川足球超级联赛（简称“川超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备川超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请帮他算一算． 38．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）儿童节前夕，老师购买了若干套学习用品送给小朋友作为节日礼物．如果每班分到套，那么余套；如果前面的班级每个班分套，那么最后一个班级分到了礼物，但不足套．问：有多少个班级？学习用品有几套？ 1．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”： （直接填写序号）； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围； (3)若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），直接写出a的取值范围． 2．（25-26七年级下·福建泉州·月考）已知关于x，y的二元一次方程组（其中m是参数）． (1)观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得______；（用含m的代数式表示结果） (2)若方程组的解满足不等式，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数m的值； (4)若关于x的不等式组（其中a是参数）的解集恰好含有两个整数，请直接写出a的取值范围． 3．（25-26七年级下·湖南·期中）定义：给定两个不等式（组）和，若不等式（组）的任意一个解，都是不等式（组）的一个解，则称不等式（组）为不等式（组）的“子集”．例如：不等式是不等式的子集，不等式是不等式的子集，不等式组是不等式组的子集． (1)若不等式组：，，则其中不等式______是不等式的“子集”（填或）； (2)若不等式组的解集是的子集，求的取值范围； (3)若不等式组有解且它的解集是的子集，求的取值范围． 4．（24-25九年级下·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 5．（21-22七年级下·四川内江·期中）已知关于x，y的方程组的解是一对异号的数． (1)求k的取值范围； (2)化简：； (3)设，则t的取值范围是_________(直接写出答案）． 6．（2026七年级下·江苏·专题练习）阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 (1)已知，且，求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围； (3)已知，且，，设，直接写出的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 一元一次不等式组 考点一：一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组.如： 考点二：一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 考点三：解一元一次不等式组 一般步骤：第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 题型一：一元一次不等式组的识别 特征：①不等式组中的所有不等式都是一元一次不等式； ②不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数； ③不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上. 1．（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式组的辨别能力，根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1， ∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组； 而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，它们都是一元一次不等式组， 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式组中，一元一次不等式组的个数是（   ） ①，②，③④，⑤ A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后再计算个数即可． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组； ③含有一个未知数，但未知数的最高次数是2，⑤含有两个未知数，所以②⑤都不是一元一次不等式组． 故有①②④三个一元一次不等式组． 故选：B． 4．（20-21七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 题型二：解一元一次不等式组 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解不等式的步骤，能求出不等式组中各不等式的公共解集． 先解出每个不等式，再求出不等式组的解集即可． 【解答】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 故选：D． 6．（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）已知点在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键． 根据第四象限内点的坐标特点列出关于m的不等式组，求出m的取值范围，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：点在第四象限， ， 由①得，； 由②得，， 在数轴上表示为： 故选：B． 7．（2023·上海普陀·二模）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再求出公共部分，最后把解集表示在数轴上． 【详解】解： 解不等式得，， 解不等式得，， 所以不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 8．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）解不等式组．把解集在数轴上表示出来，并写出最小整数解． 【答案】，数轴见解析，最小整数解为 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来，据此找出最小整数解即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 把解集在数轴上表示出来如下： ∴不等式组的最小整数解为． 题型三：已知一元一次不等式组的解集求参数 已知一元一次不等式组的解集，求不等式组中待定字母的取值范围问题，首先把不等式组的解集用含有字母的形式表示出来，然后把它与已知条件联系起来求解.这类问题有时要运用方程知识，有时要运用不等式知识.在求解过程中还可以利用数轴进行分析. 9．（24-25七年级下·甘肃天水·期中）若不等式组有解，则a的范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组有解列出关于a的不等式求解即可． 【详解】解：由，解得：， 由，得：， ∵不等式组有解， ，解得：． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·吉林长春·期末）关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式组的解集情况求参数，能求出关于的不等式是解此题的关键． 先求出不等式组的解集，利用不等式组的解集是无解可知，应该是“大大小小找不到”，所以判断． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 关于的不等式组无解， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·河南周口·期中）已知关于x的不等式组． （1）若该不等式组无解，则a的取值范围是______； （2）若该不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到的取值范围，再根据不等式组无解或整数解的情况，确定参数的取值范围．本题主要考查了一元一次不等式组的解法及根据解集情况确定参数取值范围，熟练掌握不等式组的求解方法和整数解、无解等解集特征是解题的关键． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得 ． （1）∵ 不等式组无解，即两个不等式的解集没有公共部分， ∴ ，解得 ． 故答案为： ． （2）∵ 不等式组的解集为，且恰好有个整数解，即整数解为，，， ∴ ，解得 ． 故答案为： ． 12．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如果不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法．解题中要注意分析不等式组的解集的确定． 首先解不等式，根据解的情况确定的取值范围．特别是要注意不等号中等号的取舍． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 此不等式组有3个整数解， 这3个整数解为3，4，5， 的取值范围是， 故答案为：． 题型四：可以转化为一元一次不等式（组）的不等式（组） 一元一次不等式或不等式组是解决其他不等式的基础，其他不等式可以转化为一元一次不等式或不等式组，转化的过程特别要注意不等式的基本性质与等式基本性质的区别，正确应用性质才能保证解题过程正确无误. 13．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）阅读材料：解不等式，根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可以转化为不等式组求解． 解：，转化为① 或② ，解不等式组①，得，解不等式组②，得． ∴原不等式的解集是或． 请你仿照上面的方法，解下列不等式 【答案】或 【分析】根据有理数的乘法法则得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集，即可求出答案． 【详解】解：将不等式，转化为①或②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 原不等式的解集为或． 14．（24-25七年级下·广西百色·期中）【阅读理解】阅读下列材料： 求不等式的解． 解：根据“异号两数相乘，积为负”，得 ①或② 解不等式组①，得， 解不等式组②，无解， 原不等式的解为． 【解决问题】请你仿照上述方法解决下列问题： (1)求不等式的解； (2)求不等式的解． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查一元二次不等式的解法；新定义运算，能够将一元二次不等式转化为一元一次不等式组是解题的关键． （1）将不等式转换为两个不等式组①或②，分别求解． （2）将不等式转换为两个不等式①或②，分别求解． 【详解】（1）解：根据“同号两数相乘，积为正”，得 ①或②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 原不等式的解为或． （2）解：根据“异号两数相除，商为负”，得 ①或②， 解不等式组①，无解， 解不等式组②，得， 原不等式的解为． 题型五：不等式组与方程组综合 15．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式的解集问题． 求出，根据计算即可． 【详解】解： 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·广西贵港·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解中x是非负数，y的值不大于，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组等知识点，掌握不等式组的解法成为解题的关键． 先解二元一次方程组得，然后根据x是非负数，y的值不大于列出关于a的不等式组求解即可． 【详解】解：解二元一次方程组得， ∵x是非负数，y的值不大于， ∴， 解得：． 故答案为：． 17．（23-24七年级下·新疆巴州·期末）已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为_______． 【答案】0， 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解、解一元一次不等式组，先解方程组，用a表示方程组的解，根据方程组的解都为负数得到关于a的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：解关于x，y的方程组 ，得， ∵该方程组的解都为负数， ∴，即， ∴， ∴整数a的值为，， 故答案为：0，． 18．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是______________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键．先用代入消元法解方程得出、，然后再列不等式求解即可． 【详解】解：， 由②得：③， 将③代入①得： ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 题型六：判断解不等式组的错误步骤 19．（2025·浙江杭州·一模）以下是芳芳解不等式组的解答过程： 解：由①，得，所以． 由②，得，所以，所以． 所以原不等式组的解是． 芳芳的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】有错误，正确解题过程见解析 【分析】本题考查了解不等式组，根据不等式的性质、乘法的分配律等逐步检查即可发现芳芳的错误，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：芳芳的解答过程有错误， 在解不等式①时，两边同乘以，不等号的方向没有改变，故错误； 在解不等式②时，去括号漏乘3，故错误； 正确解答如下： 由①，得，所以． 由②，得，所以，所以． 所以原不等式组的解是． 20．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得．     第一步 ．           第二步 解不等式②得，．     第三步 ．          第四步 ．          第五步 ．                       第六步 ……     (1)填空：乐乐的这部分解题步骤中存在一或若干步错误，他所有错误步骤是___________； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)第二步，第三步 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，不等式解集的取值方法是解题的关键． （1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质分别解出的解集，根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”的方法即可求解，再在数轴表示出来即可． 【详解】（1）解：乐乐的解答过程所有错误步骤是第二步，第三步； （2）解不等式①得， ， 解不等式②得，， ，     ，        ， 则不等式组的解集为， 数轴上表示为： 21．（24-25七年级下·江西南昌·期末）下面是某同学解不等式组的部分解答过程． 解：解不等式①：移项，得第1步， 合并同类项，得第2步， 两边都除以，得第3步． (1)该同学的解答过程中第_____步出现了错误，错误的原因是_____； (2)求该不等式组的解集，并写出不等式组的非负整数解． 【答案】(1)3；不等式两边都除以负数，不等号的方向没有变号 (2)不等式组的非负整数解为0和1 【分析】本题考查解一元一次不等式组及其整数解，熟知不等式的性质并正确求解是解答的关键． （1）根据不等式的性质逐步检查即可； （2）先正确求得每个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后找出其中的非负整数即可． 【详解】（1）解：该同学的解答过程中第3步出现了错误， 错误的原因是不等式两边都除以负数，不等号的方向没有变号； 故答案为：3；不等式两边都除以负数，不等号的方向没有变号； （2）解：由①得 由②得 ∴不等式组的解集为， 故不等式组的非负整数解为0和1． 题型七：与解不等式组有关的新定义问题 22．（24-25八年级上·浙江金华·期末）对于实数，定义一种运算“”：，那么不等式组，的解在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据定义的新运算可得：，然后按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为， 原不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：A． 23．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）定义一种新的运算＆，规定，若关于正数x的不等式组恰好有4个整数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查已知不等式组的解集求参数，根据新定义运算，将不等式转化为绝对值形式，再结合解集整数解的个数确定参数范围． 【详解】解：规定， 当 时，，解得 ； 当 时，，解得 ，与 矛盾，无解； 综上，第一个不等式的解集为 ， 由于 ，，故 ， 不等式变为 ，即 ， 解集为 ， 要求恰好有4个整数解，即 ， 因此， 需满足 ，解得 ， 故选B． 24．（24-25八年级上·重庆·期末）对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 本题根据新运算列出不等式组求出的取值范围，根据题意列出关于的不等式组，解不等式组求出实数的取值范围． 【详解】解：由，根据新运算，可化简为：， 解这个不等式组，解得：， ∵关于的不等式组有且只有一个整数解， ∴， ∴， 解得：， 故选：B． 25．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）依据题意，由不等式组的解集是，不等式组的解集是，进而可以判断得解； （2）依据题意，由关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，则或，进而计算可以得解； （3）依据题意，由是的“相容不等式组”，则，可得，又和的整数解相同，可得，进而可得，最后即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相斥不等式组”． 故答案为：． （2）由题意，关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， 或． 或． （3）由题意，是的“相容不等式组”， ． ． 的整数解为，且和的整数解相同， ． ． ． 综上所述：． 题型八：解特殊不等式组 26．（24-25七年级下·河南新乡·期末）【阅读思考】阅读下列材料： “已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：， 又 ∴ 又 ① 同理② 由①+②得 的取值范围是 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是___________； （2）已知，且，，试确定的取值范围（用含有的式子表示）． 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题： （3）已知，且，，试确定的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了不等式的性质，求一元一次不等式，解特殊不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． （2）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． （3）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． 【详解】解：（1）∵， ， 又， ∴， ， 又∵， ， ∵， 同理， 由得， 的取值范围是； （2）∵， ， 又∵， ∴， ， 又∵， ， ∵， 同理， 由得， 的取值范围是； （3）∵， ， 又∵， ∴， ， 又∵， ∴， ， ∵， 同理， 由得， ∴， 即取值范围是． 27．（20-21七年级上·重庆·月考）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． （1）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． （2）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． 【详解】（1）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为； （2）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为或． 28．（24-25七年级下·四川内江·期中）数学乐园：解二元一次方程组，，得，当时，，同理：； 符号称之为二阶行列式，规定：． 设，，，那么方程组的解就是． (1)求二行列式的值； (2)解不等式：； (3)用二阶行列式解方程组； (4)若关于的二元一次方程组无解，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是理解题意新定义算法，根据二阶行列式计算． （1）根据，即可求出； （2）根据，得，求解即可； （3）根据，，，那么方程组的解就是，即可求出方程组的解； （4）根据得：，再代入，得：，令时，方程无解，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：； （3）解：根据题意可得， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴方程组的解：； （4）解：由得：， 把代入得：， 整理得：， 当时，方程无解， ∴． 题型九：根据实际问题列不等式组 29．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意，总棵数在两种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不等式组即可． 【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为：． 故选：B． 30．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键． 设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有本书；由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可． 【详解】解：设九（1）班有学生x人，则共有本书， 若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本， 则． 故选：C． 31．（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组______． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组．先求得调整后咖啡浓度为，再根据“调整后的咖啡浓度既不低于又不超过”列出不等式组即可． 【详解】解：由题意倒掉了x毫升咖啡液，此时剩余的咖啡质量为克， 调整后咖啡浓度为， 根据题意得， 故答案为：． 32．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 题型十：利用不等式组解决实际问题 33．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 34．（25-26八年级上·陕西西安·期末）为了提升学生的审美素养与艺术实践能力，学校计划采购画笔套装与音乐礼盒两种美育资源共40套，作为美育课堂的辅助材料．已知画笔套装单价为80元，音乐礼盒单价为30元．学校经费预算不超过2000元．在保证学生能同时接触绘画与音乐两类美育资源的前提下，学校最多能购买多少套画笔套装？ 【答案】16 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意、找准相等关系和不等关系是解题的关键； 设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套，根据预算和同时接触两种资源的条件，列出不等式组并求解 【详解】解：设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套 根据题意： 解得：1 因此的最大值为16， 答：学校最多能购买16套画笔套装． 35．（25-26八年级上·浙江温州·月考）某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)元 (2)方案一：购买电饭煲台，电压力锅台；方案二：购买电饭煲台，电压力锅台；方案三：购买电饭煲台，电压力锅台 【分析】（）设购买电饭煲台，购买电压力锅台，根据题意列方程组求出的值，再列式求出利润即可； （）设购买电饭煲台，则购买电压力锅台，列出不等式组求出的取值范围，进而即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，一元一次不等式组的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设购买电饭煲台，购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∴购买电饭煲台，电压力锅台， ∴厨具店在该买卖中盈利为元； （2）解：设购买电饭煲台，则购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴或或， ∴有以下三种进货方案： 方案一：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案二：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案三：购买电饭煲台，电压力锅台． 36．（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【答案】8或9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可． 【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有人． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 37．（25-26九年级下·四川成都·月考）小王周末参与2025年四川足球超级联赛（简称“川超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备川超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请帮他算一算． 【答案】(1)每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元 (2)共有种采购方案 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解得到两种产品的成本； （2）根据总费用不超过1800元，吉祥摆件数量不超过纪念徽章数量2倍两个限制条件，列一元一次不等式组，求出符合条件的正整数解的个数，即可得到采购方案的数量． 【详解】（1）解：设每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元，根据题意可得 解得 答：每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元． （2）解：设购进纪念徽章个，则购进吉祥摆件个，为正整数， 根据题意可得 解得， 因为为正整数，所以的取值为 的可取值个数为 答：小王共有种采购方案． 38．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）儿童节前夕，老师购买了若干套学习用品送给小朋友作为节日礼物．如果每班分到套，那么余套；如果前面的班级每个班分套，那么最后一个班级分到了礼物，但不足套．问：有多少个班级？学习用品有几套？ 【答案】有个班级，学习用品有套． 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，准确找到不等关系列不等式组是解题的关键． 设有x个班级，则学习用品有套， 根据前面的班级每个班分13套，最后一个班级分到了礼物，但不足4套，列不等式组即可求解． 【详解】解：设有x个班级，则学习用品有套， 由题意，得， 解得：． ∵只能取整数， ∴， 此时． 答：有个班级，学习用品有套． 1．（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”： （直接填写序号）； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求q的取值范围； (3)若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），直接写出a的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】（1）先解方程，再求出各个不等式（组）的解集，然后根据其解集进行判断即可； （2）解方程组求出，再代入不等式，求出q的取值范围； （3）解方程组，用含有a的代数式表示x，y，再根据已知条件列出不等式组，解不等式组求出a的取值范围即可． 【详解】（1）解：，解得：， ①， 解得：， 不是此不等式的解； ②，解得：， 是此不等式的解； ③， 解得：， 是此不等式组的解； 方程的解是此方程与②③的“理想解”； （2）是方程组与不等式的“理想解”， ，， 解方程组，得：， ， ， 即q的取值范围为； （3）解方程组，得：， 关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数）， ， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 解不等式③，得：， 不等式组的解集为， 即a的取值范围． 2．（25-26七年级下·福建泉州·月考）已知关于x，y的二元一次方程组（其中m是参数）． (1)观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得______；（用含m的代数式表示结果） (2)若方程组的解满足不等式，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数m的值； (4)若关于x的不等式组（其中a是参数）的解集恰好含有两个整数，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)， (4)或或 【分析】（1）把两方程相加即可求解； （2）根据并结合建立关于的不等式求解范围； （3）先整理不等式，根据解集判断不等式系数的正负，得到 m 的新范围，并结合（1）中所得结果确定的取值范围，然后确定其整数解即可； （4）先解出不等式组x的解集，是含有a的一个解集范围，再由“解集中恰好有两个整数”，得出，设出两个整数解为k，，列出关于a，k的不等式组，解出a范围，再根据两个解集的范围大小，列出k的不等式，从而求出确定的k，再反带回列出的关于a，k的不等式组，即可求出a的取值范围． 【详解】（1）解： ，得； （2）解：∵，， ∴， 解得； （3）解：移项，得． 的解集为， ， ． ， ， ∴整数的值为，； （4）解： 解得不等式，得， ∵不等式组的解集恰好含有两个整数， ∴， ∴， ∴； 设整数的值为，， 则有，， ∴，， ∴， ∴， ∴整数k为3或4， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，，， ∴内必有3个整数解，不符合题意，舍去； 当时， ，有5和6两个整数解，符合题意； 综上，a的取值范围为或或． 3．（25-26七年级下·湖南·期中）定义：给定两个不等式（组）和，若不等式（组）的任意一个解，都是不等式（组）的一个解，则称不等式（组）为不等式（组）的“子集”．例如：不等式是不等式的子集，不等式是不等式的子集，不等式组是不等式组的子集． (1)若不等式组：，，则其中不等式______是不等式的“子集”（填或）； (2)若不等式组的解集是的子集，求的取值范围； (3)若不等式组有解且它的解集是的子集，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据子集的定义判断即可； （2）解出不等式组的解集，由其是的子集，可得出，且，解出的取值范围即可； （3）先解不等式组不等式组，得出结果后，由其有解以及是的子集，可得，且，解出的取值范围即可． 【详解】（1）解：不等式为，不等式为， 不等式是不等式的子集， 故答案为：； （2）解：解不等式组， 解得其解集是， ∵是的子集， ∴，且， 解得：， ∴的取值范围是； （3）解：不等式组的解集为， 这个不等式组有解且它的解集是的子集， ∴，且， 解得， 的取值范围是． 4．（24-25九年级下·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【答案】(1) (2) 整数的值是 【分析】（1）先解二元一次方程组得到用表示的，再根据为非负数，为负数列出不等式组，求解得到的取值范围； （2）整理不等式后，根据解集判断系数的符号，得到的新范围，结合（1）的范围即可求出整数． 【详解】（1）解：给定方程组， ，得， 解得； ，得， 解得． ∵为非负数，为负数， ∴， 解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得． 因此的取值范围是． （2）解：整理不等式得， 当时，，不合题意； 当时，x不存在； 当时，， 此时， 结合（1）中，可得． 因此范围内的整数为． 5．（21-22七年级下·四川内江·期中）已知关于x，y的方程组的解是一对异号的数． (1)求k的取值范围； (2)化简：； (3)设，则t的取值范围是_________(直接写出答案）． 【答案】(1) (2)当时，原式；当时，原式；当时，原式 (3) 【分析】（1）先化简原方程组，然后根据求出原方程组的解，根据“原方程组的解是一对异号的数”求k的取值范围； （2）分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时； （3）根据（2）中k的取值，求t的取值范围． 【详解】（1）解：由原方程组解得； ∵由原方程组解的解是一对异号的数， ∴或， 解得； （2）解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； （3）解：由（2）可知当时，， ，则； 当时，； 当时，， ，则 综上所述，t的取值范围为． 6．（2026七年级下·江苏·专题练习）阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 (1)已知，且，求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围； (3)已知，且，，设，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是读懂材料中的例子，并掌握不等式的性质． （1）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （2）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （3）仿照例子得到，由不等式的性质求出的取值范围，根据题意可得，结合不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （2）由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （3）由可得， ， ， 解得：， ， 的取值范围是， ， ， 即， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $