第08讲 正态分布（知识清单+6题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册重难点讲义与测试

第08讲 正态分布 知识清单 知识点01：正态曲线与正态分布 知识点02：正态曲线的性质 知识点03：正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 题型讲解 （举三反三） 题型1：正态曲线的性质 题型2：特殊区间的概率 题型3：指定区间的概率 题型4：正态分布的实际应用 题型5：根据正态曲线的对称性求参数 题型6：3σ原则 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1.正态曲线与正态分布 正态曲线与正态分布 1．我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 知识点2.正态曲线的性质 　正态曲线的特点 1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方． 2．曲线与x轴之间的面积为1. 3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． 4．曲线在x＝μ处达到峰值. 5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． 6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. 7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 知识点3.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 题型1：正态曲线的性质 【例1-1】（25-26高二下·辽宁大连·月考）已知随机变量，且，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布特性求出的值，再根据二项分布的方差公式求出，最后代入题中所给等式求解即可． 【详解】因为随机变量，正态分布关于均值对称， 所以，又，则， 而，因为， 所以，解得. 【例1-2】（24-25高二下·全国·课后作业）设，这两个正态分布密度曲线如图所示，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正态曲线的性质 【分析】抓住平均数和标准差这两个关键量，结合正态曲线的图形特征分析即可． 【详解】由题可知两曲线分别关于对称，的分布曲线“高瘦”，的分布曲线“矮胖”， 所以由图可知，，A错误； ，故的曲线关于对称，且与的分布曲线一样“矮胖”，故，B错误； 因为，所以，C错误； ，D正确． 故选：D. 【例1-3】（24-25高二下·吉林长春·期末）设随机变量X服从正态分布，若，则______. 【答案】2 【分析】根据正态分布的性质求解. 【详解】由题意，， 故答案为：2. 【变式1-1】（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从正态曲线关于直线对称，看的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．看出的大小即可解决． 【详解】从正态曲线的对称轴的位置看，显然， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小，则，所以A正确. 故选：A. 【变式1-2】（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知随机变量，且，则__________. 【答案】0.9 【分析】根据正态曲线的性质求解． 【详解】因为，且，所以，， ， 故答案为：0.9 【变式1-3】（2025高二·全国·专题练习）写出以下正态分布的均值和标准差： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）正态分布的密度函数为，其中为均值，为标准差. 【详解】（1），所以. （2），所以. （3），所以. 题型2：特殊区间的概率 【例2-1】（24-25高二下·湖南娄底·月考）设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正态分布的对称性可求得结果. 【详解】因为，则. 故选：A. 【例2-2】（24-25高二下·河南漯河·期末）小强每天骑自行车上学．假设他每次骑车到校所用时间X（单位：分钟）服从正态分布，则（   ） 【附：，】 A．0.1359 B．0.2718 C．0.34135 D．0.47725 【答案】A 【分析】根据正态分布的三段区间概率及对称性求概率即可. 【详解】由题设，，． 故选：A 【例2-3】（24-25高二下·山西朔州·期中）昆明市的市花为云南山茶花，又名滇山茶，国家二级保护植物．为了监测滇山茶的生长情况，从不同林区随机抽取100株滇山茶测量胸径D（单位：厘米）作为样本，通过数据分析得到，若将的植株建档重点监测，则10000株滇山茶中建档的约有______株．（结果取整数） （附：若，则，） 【答案】228 【分析】由，根据正态分布求出其概率，从而得出答案. 【详解】由题意知，， 故，所以10000株滇山茶中建档的约有228株． 故答案为：228 【变式2-1】（24-25高二下·陕西西安·期中）已知随机变量，则（   ）参考数据：若随机变量服从正态分布，则，. A．0.9772 B．0.8415 C．0.7786 D．03415 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性求解概率即可. 【详解】由题意，所以. 故选：B 【变式2-2】（24-25高二下·河南周口·期末）已知某班学生的数学期末考试成绩，若规定这次考试数学成绩在区间内的为良好，则该班数学成绩良好的学生比例约为（   ） 参考数据：，，． A．34.135% B．15.73% C．13.59% D．4.28% 【答案】C 【分析】利用特殊区间的概率及正态分布的对称性估计该班数学成绩良好的学生比例即可. 【详解】由题设 . 故选：C 【变式2-3】（2025高二·全国·专题练习）已知. (1)求； (2)求； (3)设d满足，则d至少为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由正态分布的性质逐一求解即可. 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，故. 题型3：指定区间的概率 【例3-1】（25-26高二上·江西九江·期末）已知随机变量，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】D 【分析】利用正态分布的对称性，列式计算即得. 【详解】因为随机变量，且， 由正态分布对称性可知：． 故选：D． 【例3-2】（25-26高二上·广西梧州·期末）已知随机变量服从正态分布且，则________. 【答案】0.25/ 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】已知， 根据对称性可得：. 故答案为： 【例3-3】（2024高二下·全国·专题练习）设，试求： (1)； (2)． 参考数据：，． 【答案】(1)0.8413 (2)0.0030 【分析】根据正态分布的性质进行运算. 【详解】（1）． （2） 【变式3-1】（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差．已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布，则（若随机变量Z服从正态分布，则）（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题可知，，所以， 因为，所以， 而，A，B错误， ，所以， 故，C正确，D错误； 【变式3-2】（24-25高二下·甘肃白银·期末）某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于8至12之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.7%，则需调整生产工艺，使得至多为_____. 【答案】 【分析】根据正态分布的特征得出，再列不等式计算求参. 【详解】由题可知，， 再根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集. 由，可得， 所以解得，故至多为. 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高二上·江西·期末）某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，规定：分数高于93分为优秀． (1)估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有60000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数． 参考数据： 若，则，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，求得，结合正态分布曲线的对称性，即可求解； （2）由，利用正态分布的对称性，求得的值，进而估计出成绩在内的学生的人数. 【详解】（1）由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布， 可得，则， 所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例, 所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例为. （2）解：由， 则 , 因为全市有60000名考生，所以该区间内的人数人， 所以成绩在内的学生人数大约为人. 题型4：正态分布的实际应用 【例4-1】（25-26高二下·辽宁·月考）为研究某型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个该型号新能源汽车样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则该型号新能源汽车样本中耗电量大于14kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 【答案】D 【分析】求出耗电量大于14kW·h/100km的汽车的概率，结合汽车总量1000即可得解. 【详解】由正态曲线的对称性知，， 于是耗电量大于14kW·h/100km的汽车大约有. 【例4-2】（24-25高二下·辽宁抚顺·期末）已知随机变量X服从正态分布，则______． 【答案】8 【分析】根据随机变量方差的性质计算即可. 【详解】由题意得，所以． 故答案为：. 【例4-3】（24-25高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 【答案】(1) (2)2048 【分析】（1）由题意可知，进而根据参考数据求事件的概率； （2）根据正态分布性质求事件的概率，结合频数频率关系求结论. 【详解】（1）∵， ∴. ∵， . 且， ∴. （2）∵， ， 且， ∴， ∴考试成绩位于区间内的考生人数为（人）. 【变式4-1】（24-25高二下·吉林长春·期末）在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为900，则可以估计参加本次联考的总人数约为（   ） A．1600 B．1800 C．2100 D．2700 【答案】D 【分析】应用正态分布性质及对应概率计算求解. 【详解】由题设，若X表示数学考试成绩，则，而， 所以，故参加本次联考的总人数约为． 故选:D． 【变式4-2】（25-26高二下·湖南长沙·月考）假设某次数学考试成绩服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A，B，C，D四个等级，那么A等级的分数线约为____________分及以上（精确到1）． （参考数据：若，则．） 【答案】85 【详解】设A等级的分数线为a，则应该满足． 又由题知， 因此． 【变式4-3】（2025高二·全国·专题练习）已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度服从. (1)求取得的这件材料的强度不低于180的概率； (2)若所用的材料要求以99%的概率保证强度不低于150，则这批材料是否符合要求？ 【答案】(1) (2)符合要求 【分析】（1）根据正态分布的性质计算对应概率即可； （2）先求正态分布的随机变量在某一范围内取值的概率，再判断即可. 【详解】（1）. （2）求出从这批材料中任取一件，所取材料的强度都不低于150的概率， 与99%进行比较，从而得出结论. 即从这一批材料中任取一件时，所取材料的强度保证不低于150的概率为99.73%， 这个概率大于99%，所以这批材料符合要求. 题型5：根据正态曲线的对称性求参数 【例5-1】（24-25高二下·福建厦门·期中）已知随机变量，且，则（   ） A．0.14 B．0.22 C．0.28 D．0.36 【答案】A 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】利用正态密度曲线的对称性可求得的值 因为随机变量，且， 则， 所以. 故选：A. 【例5-2】（25-26高二下·湖南长沙·月考）已知随机变量，且，，则________. 【答案】/ 【分析】由正态分布的对称性，求得，由二项分布的性质，结合题意得,从而求得. 【详解】随机变量，且， 所以，即. 因为， 所以. 所以. 【例5-3】（24-25高二下·全国·课后作业）随机变量服从正态分布，且．求的值．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】由正态分布的对称性即可求解. 【详解】随机变量服从正态分布，且， 则. 【变式5-1】（24-25高二下·山东泰安·期末）已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（    ） A． B． C．8 D．24 【答案】A 【分析】利用正态分布性质可求得的值，再利用二项式定理的通项即可求出结果. 【详解】易知随机变量，其对称轴为， 又，所以，解得； 因此， 显然含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故选：A 【变式5-2】（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知随机变量，且，则_________________． 【答案】 【分析】由正态分布的对称性即可得解. 【详解】由题意有正态分布曲线的对称轴是， 所以，解得. 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高二下·全国·随堂练习）设随机变量，若. (1)求c的值； (2)若，求. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用正态分布的对称性，可得解； （2）根据正态分布对称性，可得，可得解 【详解】（1）由题意，随机变量，且 由正态分布的对称性可知， 故c的值为2. （2）由于，因此，， 故 题型6：3σ原则 【例6-1】（25-26高二上·江西萍乡·期末）设某工厂生产的零件尺寸记为随机变量X，若，为使零件的尺寸在内的概率不小于0.9974，则n的值至少是（    ）【注：若，则】 A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】C 【分析】根据正态分布的原则结合条件即可求解. 【详解】因为，所以标准差，期望， 根据正态分布的原则，， 要使，则需满足： ，化简可得：， 解得：，即，得出. 故选：C. 【例6-2】（24-25高二下·辽宁·期中）对一个物理量做n次测量，最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973，则至少要测量______次．（若，则） 【答案】32 【分析】利用正态分布的三段区间概率公式及性质计算即可. 【详解】由误差，得， 由误差在的概率不小于0.9973，得， 因此，解得，于是，解得， 所以至少要测量32次. 故答案为：32 【例6-3】（2025高二·全国·专题练习）设随机变量X服从正态分布，随机变量Y服从正态分布，比较和的大小：. 【答案】 【分析】根据正态分布的性质即可求解. 【详解】由题意得， ， 故. 【变式6-1】（25-26高二上·全国·单元测试）某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值，经计算．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算样本的平均数和方差，由此估计，再结合正态分布以及参考数据可计算身体素质合格的概率. 【详解】因为100个数据的平均值， 方差， 所以的估计值为72，的估计值为6． 设该市高中生身体素质指标值为，由， 得， ， 故． 故选：C 【变式6-2】（23-24高二下·福建福州·期中）某企业生产一种零部件，其质量指标介于(49.4，50.6)的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为_________．(若，则，) 【答案】 【分析】根据题意利用正态分布性质分别计算出技术改造前后的优品率，可得结果. 【详解】技术改造前，易知， 则其优品率为； 技术改造后，其中， 则其优品率为； 所以优品率之差为. 故答案为： 【变式6-3】（24-25高二下·江苏苏州·期中）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 【答案】(1)1587 (2)0.0989 【分析】根据正态分布的性质即可求解. 【详解】（1）已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布． 由题意得.因为，又. 即，所以，解得. 因为甲市学生A的成绩为分，且. 又，即. 所以学生在甲市的大致名次为名. （2）在本次模拟考试的学生中，抽取名化学成绩在之内的概率为. 所以抽取名化学成绩在之外的概率为. 所以随机变量Y服从二项分布，即， 所以. 一、单选题 1．（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】D 【分析】通过正态分布的对称性来求解的值. 【详解】由题干知，随机变量服从正态分布， 正态分布的图像关于对称， 又， 即，解得． 故选：D． 2．（24-25高二下·四川雅安·期末）已知随机变量，若，则（   ） A．0.8 B．0.7 C．0.3 D．0.2 【答案】D 【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 3．（25-26高二上·陕西汉中·期末）在某市举行的高三适应性考试中对数学成绩统计显示，学校1200名学生的成绩近似服从正态分布，且成绩低于70分的占，则成绩在分的有多少人（   ） A．240 B．360 C．480 D．600 【答案】C 【分析】利用频率估计概率结合正态分布的对称性可得考试成绩在分的概率，据此估计相应人数． 【详解】因为成绩近似服从正态分布，所以其对称轴为， 由，根据对称性可得， 因此，成绩在分的概率为， 则此次考试成绩在分的人数约为， 故选：C． 4．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）设随机变量，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】B 【分析】利用正态分布的对称性直接求解即可. 【详解】易知正态分布关于对称，因此， 又，所以, 所以. 5．（24-25高二下·广东深圳·期末）小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车.他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）.经数据分析，，，如果某天有70分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大（   ） ， A．步行 B．骑自行车 C．乘坐公汽 D．自己开车 【答案】B 【分析】根据正态分布中的原则分别计算不同方式下不迟到的概率，即求计算不同方式下的大小，然后分析即可. 【详解】①当小张步行方式上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为： ， ②当小张骑自行车上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为： ， ③当小张乘坐公汽上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为： ， ④当小张自己开车上班时，由知，， 所以他上班不迟到的概率为： ， 由， 所以小张骑自行车上班时不迟到的概率最大， 故选：B. 6．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案. 【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线， 则， 所以， 且，，即， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 7．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）已知随机变量服从正态分布，则（   ） A．0.72 B．0.28 C．0.74 D．0.36 【答案】A 【分析】利用正态分布的曲线及性质求解. 由服从正态分布得到为正态曲线的对称轴且，由的值求出的值，利用对称性得到，从而得到. 【详解】服从正态分布，为正态曲线的对称轴，， ，， 为正态曲线的对称轴， ，. 故选：A. 8．（25-26高二上·江西南昌·期末）某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（    ） 附：若，则，. A．130 B．228 C．260 D．1587 【答案】B 【分析】由条件求出和值，依据正态分布的对称性可得质量不低于210g的概率，即可得解. 【详解】由可知， ， 故估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二下·河北衡水·期末）为激发同学们的学习积极性，某高中组织进行了一系列的自然物理实验．在某个实验中，统计同学们得到的实验测量结果近似服从正态分布．若已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】若已知，则，，， 但根据已知条件无法确定方差的情况. 故选：ACD. 10．（25-26高二上·安徽六安·期末）设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据正态密度曲线易得，，然后可逐项判断. 【详解】，， 两曲线分别关于直线、对称，由图可知，故A正确； 又，所以，故C错误； 又的正态密度曲线比的正态密度曲线更“高瘦”，所以，故B错误； 又，所以，故D正确； 故选：AD. 11．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则（   ）（参考数据： A．该校学生成绩的均值为 B．该校学生成绩的标准差为 C．该校学生成绩的标准差为 D．该校学生成绩及格率超过 【答案】ACD 【分析】直接由正态分布的定义可判断ABC选项，再由正态分布的概率分布计算成绩超过及格线的概率可判断D选项. 【详解】因为学生的成绩服从正态分布，所以，所以AC正确，B错误； 因为， 所以， 又因为，所以 所以，故D正确. 三、填空题 12．（25-26高二上·山东德州·期末）设随机变量，且，则______． 【答案】3 【分析】根据正态分布的对称性列式计算即可求解. 【详解】由题意可得随机变量服从正态分布， 若，则，解得. 故答案为：3 13．（25-26高二下·全国·课后作业）某种零件的尺寸（单位：cm）服从正态分布，则不属于区间这个尺寸范围的零件数约占总数的________． 【答案】4.6％/ 【分析】根据正态分布的性质，求属于区间的概率，再根据对立事件，即可求解. 【详解】由条件可知，，，则， 所以属于区间，即区间的取值概率约为， 故不属于区间这个尺寸范围的零件数约占总数的． 故答案为 ：4.6％ 14．（2026高二下·全国·专题练习）某少年体校田径队招收短跑运动员，前来参加100米项目测试的有120人，他们的测试成绩（秒）近似服从正态分布．已知，则测试成绩（秒）位于的大约有________人． 【答案】 【分析】利用正态分布的性质求解. 【详解】， 则， 则120人中成绩位于的人数大约为． 答案：. 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·单元测试）灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为（单位：小时），已知，要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率为，问灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？ 【答案】910小时以上． 【分析】由题意得，然后根据正态分布的性质求解即可. 【详解】因为，所以． 所以． 所以灯泡的最低寿命应控制在910小时以上． 16．（2025高二·全国·专题练习）设随机变量X服从正态分布，随着的增大，概率是如何变化的？ 【答案】是一个定值 【分析】根据正态分布性质计算求解概率即可判断. 【详解】， 随着的增大，概率是不变的，是一个定值. 17．（2025高二·全国·专题练习）测量到某一目标的距离时，发生的随机误差X（单位：m）具有密度函数，求在三次测量中，至少有一次随机误差的绝对值不超过30m的概率. 【答案】 【分析】根据正态分布性质结合对立事件及独立事件概率公式计算求解. 【详解】设Y表示随机误差X的绝对值不超过30m的次数，则Y服从二项分布. X的密度函数为，则X服从正态分布，其中. 则， 故所求的概率为. 18．（24-25高二下·山西·期末）为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 【答案】(1)小明有资格参加决赛. (2)175 【分析】（1）根据正态分布的对称性结合已知条件求出，再结合人数计算； （2）应用二项分布的数学期望公式结合数学期望性质计算求解. 【详解】（1）由题意得， 故全校2000名参加初赛的学生中成绩不低于88分的人数为， 因为，所以小明有资格参加决赛. （2）设决赛中学生甲答对的题数为，其决赛成绩为，则， 由题意得，则， 所以. 19．（24-25高二下·海南海口·期中）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个原件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：V）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为 ①设，证明：； ②若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1)0.8186 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据正态分布性质得到； （2）①由条件概率得到，证明出结论； ②由①，得，从而元件B，C必须至少有一个正常工作，所求概率为. 【详解】（1），其中，故， ， 由题设，得，， ； （2）①由题设，得 ， . 所以. ②由①，得， 所以第天系统仍正常工作，元件B，C必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 正态分布 知识清单 知识点01：正态曲线与正态分布 知识点02：正态曲线的性质 知识点03：正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 题型讲解 （举三反三） 题型1：正态曲线的性质 题型2：特殊区间的概率 题型3：指定区间的概率 题型4：正态分布的实际应用 题型5：根据正态曲线的对称性求参数 题型6：3σ原则 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1.正态曲线与正态分布 正态曲线与正态分布 1．我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 知识点2.正态曲线的性质 　正态曲线的特点 1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方． 2．曲线与x轴之间的面积为1. 3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． 4．曲线在x＝μ处达到峰值. 5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． 6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. 7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 知识点3.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 题型1：正态曲线的性质 【例1-1】（25-26高二下·辽宁大连·月考）已知随机变量，且，且，则（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25高二下·全国·课后作业）设，这两个正态分布密度曲线如图所示，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例1-3】（24-25高二下·吉林长春·期末）设随机变量X服从正态分布，若，则______. 【变式1-1】（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知随机变量，且，则__________. 【变式1-3】（2025高二·全国·专题练习）写出以下正态分布的均值和标准差： (1)； (2)； (3). 题型2：特殊区间的概率 【例2-1】（24-25高二下·湖南娄底·月考）设，则等于（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高二下·河南漯河·期末）小强每天骑自行车上学．假设他每次骑车到校所用时间X（单位：分钟）服从正态分布，则（   ） 【附：，】 A．0.1359 B．0.2718 C．0.34135 D．0.47725 【例2-3】（24-25高二下·山西朔州·期中）昆明市的市花为云南山茶花，又名滇山茶，国家二级保护植物．为了监测滇山茶的生长情况，从不同林区随机抽取100株滇山茶测量胸径D（单位：厘米）作为样本，通过数据分析得到，若将的植株建档重点监测，则10000株滇山茶中建档的约有______株．（结果取整数） （附：若，则，） 【变式2-1】（24-25高二下·陕西西安·期中）已知随机变量，则（   ）参考数据：若随机变量服从正态分布，则，. A．0.9772 B．0.8415 C．0.7786 D．03415 【变式2-2】（24-25高二下·河南周口·期末）已知某班学生的数学期末考试成绩，若规定这次考试数学成绩在区间内的为良好，则该班数学成绩良好的学生比例约为（   ） 参考数据：，，． A．34.135% B．15.73% C．13.59% D．4.28% 【变式2-3】（2025高二·全国·专题练习）已知. (1)求； (2)求； (3)设d满足，则d至少为多少？ 题型3：指定区间的概率 【例3-1】（25-26高二上·江西九江·期末）已知随机变量，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【例3-2】（25-26高二上·广西梧州·期末）已知随机变量服从正态分布且，则________. 【例3-3】（2024高二下·全国·专题练习）设，试求： (1)； (2)． 参考数据：，． 【变式3-1】（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差．已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布，则（若随机变量Z服从正态分布，则）（    ）． A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·甘肃白银·期末）某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于8至12之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.7%，则需调整生产工艺，使得至多为_____. 【变式3-3】（25-26高二上·江西·期末）某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，规定：分数高于93分为优秀． (1)估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有60000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数． 参考数据： 若，则，． 题型4：正态分布的实际应用 【例4-1】（25-26高二下·辽宁·月考）为研究某型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个该型号新能源汽车样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则该型号新能源汽车样本中耗电量大于14kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 【例4-2】（24-25高二下·辽宁抚顺·期末）已知随机变量X服从正态分布，则______． 【例4-3】（24-25高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 【变式4-1】（24-25高二下·吉林长春·期末）在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为900，则可以估计参加本次联考的总人数约为（   ） A．1600 B．1800 C．2100 D．2700 【变式4-2】（25-26高二下·湖南长沙·月考）假设某次数学考试成绩服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A，B，C，D四个等级，那么A等级的分数线约为____________分及以上（精确到1）． （参考数据：若，则．） 【变式4-3】（2025高二·全国·专题练习）已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度服从. (1)求取得的这件材料的强度不低于180的概率； (2)若所用的材料要求以99%的概率保证强度不低于150，则这批材料是否符合要求？ 题型5：根据正态曲线的对称性求参数 【例5-1】（24-25高二下·福建厦门·期中）已知随机变量，且，则（   ） A．0.14 B．0.22 C．0.28 D．0.36 【例5-2】（25-26高二下·湖南长沙·月考）已知随机变量，且，，则________. 【例5-3】（24-25高二下·全国·课后作业）随机变量服从正态分布，且．求的值．（用含的代数式表示） 【变式5-1】（24-25高二下·山东泰安·期末）已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（    ） A． B． C．8 D．24 【变式5-2】（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知随机变量，且，则_________________． 【变式5-3】（24-25高二下·全国·随堂练习）设随机变量，若. (1)求c的值； (2)若，求. 题型6：3σ原则 【例6-1】（25-26高二上·江西萍乡·期末）设某工厂生产的零件尺寸记为随机变量X，若，为使零件的尺寸在内的概率不小于0.9974，则n的值至少是（    ）【注：若，则】 A．16 B．25 C．36 D．49 【例6-2】（24-25高二下·辽宁·期中）对一个物理量做n次测量，最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973，则至少要测量______次．（若，则） 【例6-3】（2025高二·全国·专题练习）设随机变量X服从正态分布，随机变量Y服从正态分布，比较和的大小：. 【变式6-1】（25-26高二上·全国·单元测试）某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值，经计算．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二下·福建福州·期中）某企业生产一种零部件，其质量指标介于(49.4，50.6)的为优品．技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布．那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为_________．(若，则，) 【变式6-3】（24-25高二下·江苏苏州·期中）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 一、单选题 1．（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．6 2．（24-25高二下·四川雅安·期末）已知随机变量，若，则（   ） A．0.8 B．0.7 C．0.3 D．0.2 3．（25-26高二上·陕西汉中·期末）在某市举行的高三适应性考试中对数学成绩统计显示，学校1200名学生的成绩近似服从正态分布，且成绩低于70分的占，则成绩在分的有多少人（   ） A．240 B．360 C．480 D．600 4．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·月考）设随机变量，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 5．（24-25高二下·广东深圳·期末）小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车.他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）.经数据分析，，，如果某天有70分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大（   ） ， A．步行 B．骑自行车 C．乘坐公汽 D．自己开车 6．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）已知随机变量服从正态分布，则（   ） A．0.72 B．0.28 C．0.74 D．0.36 8．（25-26高二上·江西南昌·期末）某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（    ） 附：若，则，. A．130 B．228 C．260 D．1587 二、多选题 9．（24-25高二下·河北衡水·期末）为激发同学们的学习积极性，某高中组织进行了一系列的自然物理实验．在某个实验中，统计同学们得到的实验测量结果近似服从正态分布．若已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·安徽六安·期末）设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 11．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则（   ）（参考数据： A．该校学生成绩的均值为 B．该校学生成绩的标准差为 C．该校学生成绩的标准差为 D．该校学生成绩及格率超过 三、填空题 12．（25-26高二上·山东德州·期末）设随机变量，且，则______． 13．（25-26高二下·全国·课后作业）某种零件的尺寸（单位：cm）服从正态分布，则不属于区间这个尺寸范围的零件数约占总数的________． 14．（2026高二下·全国·专题练习）某少年体校田径队招收短跑运动员，前来参加100米项目测试的有120人，他们的测试成绩（秒）近似服从正态分布．已知，则测试成绩（秒）位于的大约有________人． 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·单元测试）灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为（单位：小时），已知，要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率为，问灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？ 16．（2025高二·全国·专题练习）设随机变量X服从正态分布，随着的增大，概率是如何变化的？ 17．（2025高二·全国·专题练习）测量到某一目标的距离时，发生的随机误差X（单位：m）具有密度函数，求在三次测量中，至少有一次随机误差的绝对值不超过30m的概率. 18．（24-25高二下·山西·期末）为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 19．（24-25高二下·海南海口·期中）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个原件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：V）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为 ①设，证明：； ②若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $