第七章 随机变量及其分布列（复习讲义）数学人教A版选择性必修第三册

第七章随机变量及其分布列（复习讲义） 1、随机事件的条件概率 ①结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率. ②结合古典概型,了解条件概率与独立性的关系. ③结合古典概型,会利用乘法公式计算概率. ④结合古典概型,会利用全概率公式计算概率. 2、离散型随机变量及其分布列 ①通过具体实例,了解离散型随机变量的概念,理解离散型随机变量分布列及其数字特征（均值、方差）. ②通过具体实例,了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题. ③通过具体实例,了解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题. 3、正态分布 ①通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例、借助频率直方图的几何直观,了解正态分布的特征. ②了解正态分布的均值、方差及其含义. 知识点1条件概率与全概率公式 1．条件概率 (1)概念：一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率． (2)两个公式 ①利用古典概型：P(B|A)＝； ②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)． 2．全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An＝Ω,且P(Ai)>0,i＝1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)． 知识点2随机变量及其分布列 1．离散型随机变量 一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列 一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi,i＝1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列． 3．离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1,2,…,n)； ②p1＋p2＋…＋pn＝1. 知识点3离散型随机变量的数字特征 1.一般地,若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差,并称为随机变量X的标准差,记为σ(X),它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度． 2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a,b为常数)． 知识点4二项分布与超几何分布 一、二项分布 1．伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．二项分布 一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k,k＝0,1,2,…,n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X～B(n,p)． 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布,则E(X)＝p,D(X)＝p(1－p)． (2)若X～B(n,p),则E(X)＝np,D(X)＝np(1－p)． 二、超几何分布 一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为 P(X＝k)＝,k＝m,m＋1,m＋2,…,r,其中,n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m＝max{0,n－N＋M},r＝min{n,M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布． 知识点5正态分布 1．定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数, 则称随机变量X服从正态分布,记为X～N(μ,σ2)． 2．正态曲线的特点 (1)曲线是单峰的,它关于直线x＝μ对称； (2)曲线在x＝μ处达到峰值； (3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴． 3．3σ原则 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 4．正态分布的均值与方差 若X～N(μ,σ2),则E(X)＝μ,D(X)＝σ2. ( 题型 一 条件概率 ) 【例1】（2025-2026辽宁铁岭高二上学期期末）某公司招募了A、B两位员工完成对应工作,且A,B两位员工必定至少有一位完成工作,已知A员工完成工作的概率为0.5,B员工完成工作的概率为0.8. (1)求A,B两位员工均能完成工作的概率； (2)证明：事件“A员工完成工作”与“B员工完成工作”不相互独立； (3)求在B员工完成工作的前提下,A员工也完成工作的概率. 【解析】（1）解：设事件表示“员工完成工作”,事件表示“员工完成工作”, 则,, 因为两位员工必定至少有一位完成工作,即事件为必然事件, 所以.   根据概率的加法公式,,解得, 所以两位员工均能完成工作的概率为0.3. （2）证明：由（1）得,且.   因为,所以事件“员工完成工作”与“员工完成工作”不相互独立. （3）解：由（1）知：, 根据条件概率公式,可得, 故在员工完成工作的前提下,员工也完成工作的概率为. 【变式1-1】（2026海南海口高三一模）已知,是随机事件,若,,则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由条件概率公式得,因此,将代入得,解得.故选D. 【变式1-2】（多选题）（2026山东济南高三阶段性测试）已知为随机事件,且,,则的充要条件是（   ） A． B． C． D．事件相互独立 【答案】AD 【解析】因,,由题意得,化简得,即,即,即事件相互独立,故AD符合题意,和不一定成立,故BC不合题意.故选AD. 【变式1-3】（2025-2026黑龙江齐齐哈尔高二上学期1月质量检测）袋中有大小、材质相同的2个黄球,3个黑球,每次从袋子中随机摸出1个球,摸出的球不放回,在第1次摸到黑球的条件下,第2次摸到黑球的概率是 . 【答案】 【解析】设事件为第一次摸出黑球,事件为第二次摸出黑球,从5个球中不放回地随机摸出2个球, 试验的样本空间,又两次均摸出黑球为,所以,又易知,由条件概率公式,知在第1次摸出黑球的条件下,第二次摸出黑球的概率. ( 题型二全概率公式的应用 ) 【例2】（2025-2026河南九师联盟高二上学期1月质量检测）某不透明的袋子中有2张蓝色卡片,3张红色卡片,现抛掷一枚四个面分别标有1,2,3,4的正四面体,记录朝下一面的点数,掷出几点就从袋中取出几张卡片,取出的卡片全是红色的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记“抛掷一枚四个面分别标有1,2,3,4的正四面体,朝下的一面为点”为事件. 记“取出的卡片全是红色”为事件B.. 则. 故选C. 【变式2-1】（多选题）（2025-2026黑龙江依安县高二12月月考）甲罐中有5个红球,5个白球,乙罐中有2个红球,8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”,表示事件“从甲罐取出的球是白球”,表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（） A．为对立事件 B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A,因为甲罐中只有红球和白球,即,所以为对立事件,故A正确；对于B,当发生时,乙罐中有3个红球,8个白球,此时,故B正确；对于CD,当发生时,乙罐中有2个红球,9个白球,此时,所以,,故C正确,D不正确.故选ABC. 【变式2-2】（2026天津田家炳高中高三上学期期中）某次社会实践活动中,甲､乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲､乙两班的人数之比为,其中甲班中女生占,乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是 ,则该社区居民遇到一位进行民意调查的女同学恰好来自甲班的概率是 . 【答案】 【解析】令事件为甲班,事件为乙班,设女生为事件,则, 所以,. 【变式2-3】（2025-2026浙江省衢州五校联盟高二上学期期中）甲、乙、丙三人独立地破译一份密码,已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为． (1)求恰有两人成功破译的概率； (2)若甲、乙、丙三人都没有破译密码,则会派丁独立破译密码,丁能独立破译密码的概率为,求密码能被成功破译的概率． 【解析】（1）记事件为“甲成功破译密码”、事件为“乙成功破译密码”、事件为“丙成功破译密码”,则 记恰有两人成功破译的概率为,则 （2）记事件为“丁成功破译密码,则, 设密码能被成功破译为事件E, . ( 题型三分布列的性质 ) 【例3】（2024-2025江苏南京高二下学期期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 【答案】B 【解析】,解得；,故选B. 【变式3-1】（2024-2025黑龙江安达市高二下学期期末）随机变量X的分布列为,其中a是常数,以下错误的是（    ）． A． B． C． D．以上均不正确 【答案】D 【解析】根据题意,随机变量的分布列为, 则,解得,故AB正确； 又,C正确； 故D错误.故选D. 【变式3-2】（2024-2025浙江嘉兴高二下学期期末）设随机变量的分布列为,则实数 ． 【答案】1 【解析】,即,解得. ( 题型四 求随机变量的分布列 ) 【例4】（2025-2026江西高二1月月考）不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字,0,1,1,2,现从中随机取出2个小球． (1)求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)记取出的2个小球上的数字之积为,求的分布列． 【解析】（1）从5个小球中随机取出2个,对5个小球进行编号,分别为, 样本空间为,共计10个样本点, 其中数字相同的情况只有一种（取出两个标有数字1的小球）, 因此数字不同的情况有种,故取出的2个小球上的数字不同的概率为； （2）随机变量的取值分别为：, 当时：取出数字和 2,取法数 1 种,； 当时：取出数字和 1,取法数 2 种,； 当时：取出数字和 0（1 种）、0 和 1（2 种）、0 和 2（1 种）, 总取法数 4 种,； 当时：取出两个数字 1,取法数 1 种,； 当时：取出数字 1 和 2,取法数 2 种,概率； 故的分布列为：                                                             【变式4-1】（2024-2025安徽临泉高二下学期5月月考）一袋中装有编号为1,2,3,4的4个大小相同的球,现从中随机取出2个球,X表示取出的最大号码. (1)求的概率; (2)求X的分布列. 【解析】（1）依题意, （2）X的可能取值为2,3,4, 则,,, 故X的分布列为： X 2 3 4 P 【变式4-2】（2024-2025广东省东莞高二下学期期中联考）在我校歌咏比赛中,甲班、乙班、丙班、丁班均可从A,B,C三首不同曲目中任选一首. (1)求甲、乙两班选择不同曲目的概率； (2)设这四个班级总共选取了X首曲目,求X的分布列. 【解析】（1）在我校歌咏操比赛中,甲班、乙班均可从A、B、C三首不同曲目中任选一首,共有种选法, 甲、乙两班选择不同的曲目共有种选法, 所以甲、乙两班选择不同曲目的概率为. （2）依题意可知,X的可能取值为1,2,3 , , , ∴X的分布列为： ( 题型五 随机变量的期望与方差 ) 【例5】（2025-2026黑龙江齐齐哈尔高二1月质量检测）某高中在选拔学生参加高中数学联赛中,对数学成绩较好的100名学生进行了一次测试,将测试所得的成绩（满分100分）分成7组：,,,,,,,整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求此次测试成绩的平均数（同组数据以该组区间的中点值作代表）； (2)从测试成绩在区间内的学生中随机抽取4人,记4人中测试成绩在区间内的人数为,求的分布列、数学期望和方差. 【解析】（1）由图知测试成绩的平均数为： . （2）测试成绩在区间内的学生人数为人, 测试成绩在区间内的学生人数为人, 所以的可能取值为2,3,4. 故,,, 所以的分布列为： 2 3 4 所以, . 【变式5-1】（2025-2026河南省九师联盟高二1月质量检测）已知随机变量X的方差为,则（   ） A．18 B．17 C．6 D．5 【答案】A 【解析】因为,所以.故选A． 【变式5-2】（2025-2026辽宁鞍山高二1月期末）已知随机变量X,Y满足,且随机变量X的分布列如下：则随机变量Y的方差等于 . 0 1 2 【答案】 【解析】由随机变量的分布列的性质,得,即.再由期望公式,,所以,由方差的性质得. 【变式5-3】（2024-2025江西高二上学期期末）现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1~6）,连续投掷两次,记m,n分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数,设离散型随机变量. (1)求和的值； (2)求X的分布列和数学期望. 【解析】（1）由题意可得离散型随机变量X表示连续两次投掷得到的朝上点数的差的绝对值, 连续投掷两次骰子,得到的点数共有36种可能, 其中可能情况有6种, 故． 其中可能情况有10种,, 故． （2）由题意可得X的可能取值有0,1,2,3,4,5, 的情况有,8种, 的情况有,6种, 的情况有,4种, 的情况有,2种, 所以, , 可得分布列如下： X 0 1 2 3 4 5 P 故． ( 题型六 期望与方差在决策中的应用 ) 【例6】（2025-2026辽宁重点高中沈阳郊联体高二上学期期末）第31届世界大学生夏季运动会的三个吉祥物是“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”深受大家喜爱.某经销商提供如下两种购买方式： ·方式一：购买盲盒,每个盲盒售价20元,内部随机放有“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”三款中的一款或者为空盒,只有拆开才会知道购买情况,买到各种盲盒是等可能的； ·方式二：直接购买吉祥物,每个30元 (1)小明若以方式一购买吉祥物,每次购买一个盲盒并拆开．求他第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率； (2)为了集齐三款吉祥物,现有两套方案待选： 方案一：先购买一个盲盒,再按方式二补齐剩下的款式： 方案二：先购买两个盲盒,再按方式二补齐剩下的款式． 若以所需费用的期望值为决策依据,小明应选择哪套方案？ 【解析】（1）设小明第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率为P, 则分为有空盒和无空盒两种情况,． （2）方案一：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为X． X的可能取值为80,110． 则,． 所以． 方案二：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为Y． 依题意,Y的可能取值为70,100,130, 则, , ． 所以． 因为,所以小明应该选择方案一 【变式6-1】（2026陕西高三上学期多校联考）某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次,若次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为分；若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮次,每次投中得分,未投中得分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为,乙每次投中的概率为,各次投中与否相互独立． (1)若,,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于分的概率； (2)假设,为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛？ 【解析】（1）第一阶段甲次都未中的概率为, 所以进入第二阶段的概率为, 乙得分不少于分的情况包括乙投中次或次, 投中次的概率为,投中次的概率为, 所以乙得分不少于分的概率为, 因为两个阶段的比赛相互独立, 所以甲、乙所在队的比赛成绩不少于分的概率； （2）若甲参加第一阶段的比赛,设甲、乙所在队的比赛成绩为, 则的取值为, 所以, , , 所以 ； 若乙参加第一阶段的比赛,设甲、乙所在队的比赛成绩为, 则的取值为, 所以, , , 所以 ； 所以, 因为,所以,,所以, 所以应该由甲参加第一阶段比赛. 【变式6-2】（2025-2026山东省德州高二上学期校际教研诊断）某商场为了促进消费,推出购物优惠活动,消费者购物每满300元可参加一次抽奖,抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球,每次抽取2个球．若抽中2个白球,返现金50元；若抽中1个红球和1个白球,返现金30元；若抽中2个红球,返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元,设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%）,则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【解析】（1）由题意X可能取值为20,30,50, 则,,, 则X的分布列如下表： X 20 30 50 P 由期望公式可得； （2）①由题意刚好可以抽三次,获得90元返现的情况为：三次抽奖每次返现金都是30元或者两次20元,一次50元, 则概率为； ②若打九折,需支付金额为：（元） 由（1）知每次抽中的均值为29元,则抽取三次总的均值为：（元）, 因为,故打折更划算． ( 题型七 二项分布 ) 【例7】（2025-2026黑龙江绥化新时代高中教育联合体高二上学期期中联考）如图,一个质点在随机外力的作用下,从原点出发,每隔1秒等可能地向左或向右移动1个单位.设移动秒后质点所在位置对应的实数为随机变量,则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由题意知,质点向左或向右移动1个单位的概率均为,设质点向右移动的次数为,则, 若,则移动6次后质点一共向左移动3次,向右移动3次,所以； 若,则移动6次后质点一共向右移动4次,向左移动2次,所以. 故.故选A. 【变式7-1】（多选题）（2025-2026安徽临泉高三1月月考）已知随机变量,则（   ） A． B．当取最大值时, C． D． 【答案】ABD 【解析】,对于A：,A正确；对于B：,由二项式系数的性质,当时,是中的最大值,此时取得最大值,B项正确；因为,所以, ,则,C不正确,D正确.故选ABD. 【变式7-2】（2025-2026山东德州高二上学期校际教研诊断）抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1,2,3,4）,底面的点数为1记为事件A,抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为,则 , ． 【答案】 【解析】抛掷1次后事件A发生奇数次,只能发生1次,；抛掷n次后事件A发生次,次,次,,抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为,当为偶数时,, 构造二项式, 当为偶数时, 令,, 令,, 两式作差得, 可得, 因为,所以. 【变式7-3】（2025-2026北京八中高二上学期期末）一个不透明的袋子中装有若干个均匀的红球和白球,从袋子中摸一个红球的概率是,现在从袋子中有放回地摸球,每次摸出一个． (1)若一共摸3次球,设摸到红球的次数为,求随机变量的分布列和数学期望： (2)若有3次摸到红球则停止摸球,求恰好摸5次停止的概率． 【解析】（1）随机变量的可能取值为,则,, , , 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. （2）有3次摸到红球则停止摸球,恰好摸5次停止的事件是前4次摸到红球2次,第5次摸到红球, 所以恰好摸5次停止的概率为. ( 题型八 超几何分布之 和 ) 【例8】（2025-2026河南南阳高二上学期期末）已知在的二项展开式中,只有第6项的二项式系数最大,若在展开式中任取3项,其中有理项的个数为,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大,则,可得的二项展开式的通项,当为整数时,该项为有理项,因为且,所以当时,分别为2,,,是整数,即有理项有3项,从11项中任取3项,其中有理项的个数服从参数为（总体个数）,（有理项个数）,（抽取个数）的超几何分布, 根据超几何分布的期望公式,可得.故选B. 【变式8-1】（多选题）（2025-2026辽宁葫芦岛高二上学期期末）一个盒子里装有大小相同的4个黑球、2个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为,则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A：任取2个中有0个白球的概率是,A正确；对于B：由题意知,所以,B错误；对于C：由题意知,.所以,C正确； 对于D：,因为, 所以,所以. 所以,D错误.故选AC. 【变式8-2】（2024-2025江苏南京高二下学期期末）某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人,有日生产件数为55件的“新手”2人,从这5人中任意抽取2人,则2人的日生产件数之和为150件的概率为 ． 【答案】 【解析】由题意可得日生产件数之和的所有可能取值为190,150,110,则可知. 【变式8-3】（2026江西鹰潭高三12月月考）为了加强学生的交通安全意识,贵溪一中开展了“安全头盔守护生命”主题教育活动.学校为此次活动准备了10道关于安全头盔重要性､正确佩戴方法及相关法律法规的题目.在活动的知识竞答环节中,会从这10道题目中随机抽取3道让学生回答.已知该校学生小曾同学中午与家长一同认真学习了相关知识,能够准确回答其中的6道题目. (1)求抽到的题目中他能答对的题目数的分布列； (2)求的期望和方差. 【解析】（1）由题意知：所有可能的取值为, ； ； 的分布列为： 0 1 2 3 （2）期望； 又, ∴方差. ( 题型九正态分布及应用 ) 【例9】（2024-2025广东中山高二6月月考）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量,定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个元件组成,在电源电压正常的情况下,至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行,电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：）服从正态分布,且的累积分布函数为,求的值. (2)在数理统计中,指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命,且服从指数分布,其累积分布函数为设,证明： (3)若元件均为（2）中所述的高稳定性元件,其寿命相互独立. 已知在第n天初,元件B和C均正常工作,而元件A发生故障,求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布,则,. 【解析】（1）,其中,故, , 由题设,得, （2）由题设,得 , . 所以. （3）由（2）得, 所以第天系统仍正常工作,元件,必须至少有一个正常工作, 因此所求概率为. 【变式9-1】（2026广西南宁高三适应性测试）设随机变量,则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为随机变量,所以.因为,所以,所以.所以.所以.故选C. 【变式9-2】（多选题）（2026黑龙江新时代高中教育联合体高三上学期摸底）某高中为了让同学们了解有关半导体芯片的内容,并同时增加同学们对芯片行业的兴趣,特地举办了一次半导体芯片知识竞赛,统计结果显示,学生成绩,其中不低于60分为及格,不低于80分为优秀,且优秀率为20%.若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人,记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为,则（    ） A．该知识竞赛的及格率为60% B． C． D． 【答案】BD 【解析】选项A：因为学生成绩,根据正态分布的对称性得：, 所以,即该知识竞赛的及格率为80%,故选项A错误；选项B、C、D：因为,由题意可得,所以,,.故选项B、D正确,选项C错误.故选BD. 【变式9-3】（2026江苏前黄高中高三上学期期）某次考试的数学成绩X近似服从正态分布且,若参加考生总人数是1000,则估计学生数学成绩在130分以上的总人数为 ． 【答案】30 【解析】因为,所以均值,由,根据正态分布曲线的对称性可得,所以,所以学生数学成绩在130分以上的总人数为. ( 基础巩固通关测 ) 一、单选题 1．（2025-2026北京八中高二上学期期末）已知随机变量,且,则的值为（　　） A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.35 【答案】B 【解析】因为随机变量,则正态分布曲线的对称轴为,所以,即,故选B. 2．（2025-2026陕西渭南高二上学期阶段性测试）设随机变量的分布列为,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知,解得.故选B. 3．（2025-2026辽宁鞍山高二上学期期末）设某批产品中,编号为1,2,3的三家工厂生产的产品分别占,,,各厂产品的次品率分别为,,.现从中任取一件,则取到的是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设“取到编号为1的工厂的产品”,“取到编号为2的工厂的产品”,“取到编号为3的工厂的产品”,则.设“取到产品是次品”,则.由全概率公式 .故选C. 4．（2024-2025湖北孝感高二4月测试）已知三个正态分布密度函数（其中,为自然对数的底数）的图像如图所示,则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】,正态曲线关于对称,且越大图像越靠近右边,根据图像知,第一个曲线的均值比第二和第三个的均值都小,且第二,第三两个的均值相等,即,故B、D错误；越小图像越瘦高,根据图像知,第一个图像的等于第二个图像的,且第二个图像的比第三个的要小,,所以A错误,C正确．故选C. 5．（2025-2026辽宁葫芦岛高二上学期期末）两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩,记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”,事件“两位游客选择的景点不同”,则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】两位游客从5个景点中任选,每人有5种选择,总事件数：种.事件的对立事件为“两位游客都不选择葫芦古镇”,的事件数：种,因此.事件分为两种情况：甲选葫芦古镇,乙选其余4个景点,4种；乙选葫芦古镇,甲选其余4个景点,4种；共种事件,因此.所以.故选C. 6．（2025-2026辽宁省重点高中沈阳市郊联体学年高二上学期期末）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得,解得,所以. 故选C. 7．（2026河南湘豫名校联考高三12月月考）从装有2个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球,已知3个白球的编号分别为1,2,5；2个黑球的编号分别为3,4．那么在取出的2个球的编号之和为奇数的情况下,取出的2个球为1个黑球和1个白球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设事件“取出的2个球的编号之和为奇数”,事件“取出的2个球为1个黑球和1个白球”, 则从装有2个黑球和3个白球的不透明袋子中随机取出2个球,有,共10种情况,符合事件的有,共6种,符合事件的有,共6种, 符合事件的有,共3种,故,故所求概率为.故选B. 8．（2025-2026北京八中高二上学期期末）一个盒子中装有4个白球,3个黑球,现从中一次取出3个球,则取出的黑球个数为（　　）时,其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】设为取出的3个球中黑球的个数,则的取值为,所以, 故取出的黑球个数为1时,其概率最大．故选B. 二、多选题 9．（2024-2025福建福州高二下学期期末联考）下列命题中正确的是（    ） A．已知随机变量,则 B．数据2,3,4,5,6的第60百分位数是4 C．若事件A与B互斥,且,,则 D．样本数据,,…,的平均数为,方差为,则,,…,的平均数为,方差为 【答案】CD 【解析】由题意可知,则,所以A错误； 数据2,3,4,5,6共5个数,第60百分位数是第3个数和4个数的平均数,是,所以B错误； 事件A与B互斥,则,所以C正确；根据平均数和方差的性质,样本数据,,…,的平均数为,方差为,则,,…,的平均数为,方差为,所以D正确；故选CD. 10．（2025-山东省枣庄高三二模）已知随机变量,则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A,由题意,得,故A错误；对于B,又,所以,故B正确；对于C,因为两个正态分布对应的正态密度曲线关于直线对称,所以,故C正确；对于D,由对称性,得,所以,故D正确.故选BCD. 11．（2026重庆八中高三12月月考）设是一个随机试验中的两个事件,且,则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A：,所以．又由,故A正确；对于B：, 变形可得,故B错误；对于C：,故C正确； 对于D：,则有,故,故D正确,故选ACD. 三、填空题 12．（2026上海杨浦区高三上学期期末）某工厂生产一批零件,其尺寸（单位：）服从正态分布,且,,则 . 【答案】 【解析】服从正态分布,,,,. 13．（2026湖南长沙高三上学期月考）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次,每次取球1个,记X为取得红球的次数,则 【答案】 【解析】因为有放回地取球5次,可知每次取到红球的概率均为,则,所以. 14．（2026河南省高三1月青桐鸣联考）定义：表示三个数中最大的数. 将个苹果分配给个孩子,每个孩子至少分得一个苹果,记三个孩子分得的苹果数分别为,从所有可能的分配方案中随机选择一种,记,则的数学期望 . 【答案】 【解析】因为三个孩子分得的苹果数分别为,所以,又每个孩子至少分得一个苹果,个苹果分成份,且每份至少有一个苹果,相当于用个隔板插入个空,故有种分法,因为各孩子分得的苹果数分别为,,所以的取值有,因为的情况有共种情况,所以； 的情况有共种情况, 故；的情况有共6种情况, 故；的情况有共3种情况,故,综上,. 四、解答题 15．（2025-2026江西省三新协作体学年高三12月联考）某校手工社团开展“非遗作品闯关”活动,需依次按顺序完成A（剪纸•窗花）,B（陶艺•杯盏）,C（刺绣•团扇）三个手工作品,只有完成当前作品,才有资格制作下一个作品.已知该校手工社团某成员完成各个作品的概率和完成时获得的积分如下表,各个手工作品能否完成相互独立. 手工作品 完成的概率 获得的积分 A 0.8 200 B 0.5 600 C 0.4 1200 (1)求该成员未获得制作手工作品C的资格的概率； (2)设该成员获得的总积分为,求的分布列及均值. 【解析】（1）分别用表示完成三个手工作品的事件,则相互独立. 用表示该成员未获得制作手工作品C的资格, 则. （2）的可能取值为 则的分布列为 0 200 800 2000 0.2 0.4 0.24 0.16 . 16．（2026河南省部分校高三上学期期中）某会员店因为商品品控出色,所以吸纳了大量会员,只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据,该店的本地会员占,外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查,已知本地会员对该店商品质量满意的概率为,外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员,求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取2名会员,记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为,求的分布列与数学期望． 【解析】（1）设事件：抽取的是本地会员,事件：抽取的是外地会员,事件B：对该店质量满意, 则由题意可知：, 所以； （2）易知可能取值,则, ,, 即的分布列如下： 0 1 2 P 期望为. 17．（2026四川成都高三上学期期中）某植物园种植一种观赏花卉,这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间,现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量,所得数据统计如下图所示.    (1)求的值； (2)以频率估计概率,若从所有花卉中随机抽4株,记高度在内的株数为,求的分布列及数学期望； 【解析】（1）依题意可得,解得； （2）由（1）可得高度在的频率为 , 所以,, ,, , 所以的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 所以. 18．（2026吉林和龙市高三上学期期末）甲、乙、丙三人向同一目标各射击一次,已知甲命中目标的概率为0.8,乙、丙命中目标的概率都为0.5.每个人射击的结果互不影响. (1)求三人中恰有两人命中目标的概率； (2)在目标至少被击中一次的条件下,求甲命中目标的概率. 【解析】（1）根据题意,设“甲命中目标”,“乙命中目标”,“丙命中目标”,“三人中恰有两人命中目标”, 则,,,, 故 ； （2）设目标至少被击中一次为事件,则,故, , 因为事件（甲命中目标）发生,则事件（目标至少被击中一次）必然发生,所以, 故,所以, 所以. 19．（2026浙江金华市十校高三上学期期末）某公司研发了一种新产品,现有两个销售方案,方案一：所有产品以同一价格进入市场,则每件获利8元；方案二：每件产品上市前需要依次进行A,B,C三项测试,前一项测试通过后方能进行下一项测试,每项测试通过的概率分别为0.9,0.8,0.5．A,B,C三项测试均通过的产品为一等品,通过和两项测试但未通过C项测试的产品为二等品,其余产品为三等品．每件一等品获利10元,每件二等品获利8元,每件三等品获利6元． (1)求出方案二中某件产品为三等品的概率； (2)使用哪个方案时,每件产品的获利均值更高？请说明你的理由. 【解析】（1）对于方案二,设事件为“项测试通过”,事件为“项测试通过”,事件为“项测试通过”,事件为“测试产品为一等品”,事件为“测试产品为二等品”,事件为“测试产品为三等品”, 则. （2）记方案一和方案二中每件产品的获利分别为元和元,显然有, 而方案二中, 则的分布列如下表： 10 8 6 0.36 0.36 0.28 所以 因为, 所以使用方案二时,每件产品的获利均值更高. ( 能力提升进阶练 ) 一、单选题 1．（2026河北沧州市高三一模）某权威机构推荐,当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安,甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游,若每座城市只能去一人,且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”,“甲只选择了北京旅游”,则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将这五座城市按1,1,3或1,2,2分成三组的方法数为,再安排给3人,总方法数为,其中乙至少选择了两座城市旅游的方法数为,所以,而事件与都发生的所有可能结果有,即,所以所求概率为．故选C． 2．（2026江苏盐城市、南京市2高三上学期期末）已知随机变量服从正态分布,且,则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.7 【答案】D 【解析】已知随机变量服从正态分布,且,由于正态分布关于均值对称,所以对称轴为,,所以.故选D. 3．（2026云南名校联盟高三上学期联考）一个将输入计算机的正整数“归零”的程序执行规则如下：按回车键,计算机等可能地用中的任意一个整数替换的值并输出替换后的值,重复以上操作,直到输出0后终止操作.若输入的初始值为3,终止操作时按回车键的次数为,则的数学期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知的可能取值为1,2,3,按一次输出数字0,；按两次输出数字0,有两种情况,依次输出2,0或者1,0,故；按三次出现数字0,即依次输出2,1,0,故.所以,故选A. 4．（2025-2026黑龙江齐齐哈尔市高二上学期期末）某车企为了更好地设计开发新车型,统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况,其中新能源车占销售量的74%,男性占近期购车车主总数的60%,女性购车车主有80%购买了新能源车,根据以上信息,则男性购车时,选择购买新能源车的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设男性中有购买了新能源车,则,解得,所以男性购车时,选择购买新能源车的概率是.故选D. 5．（2026山东滨州市高三上学期期末）甲、乙两人玩某一游戏,第奇数局,甲赢的概率为；第偶数局,乙赢的概率为,每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两局时游戏结束．则游戏结束时,甲、乙两人玩此游戏的局数的均值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设甲、乙两人玩的局数为,其数学期望为,由题设,游戏至少进行两局,若,则比分为,且,否则前两局的比分为,从此刻开始知道游戏结束,进行的局数的期望跟比分为时相同,总局数的期望为,故,故, 故选D. 6．（2025-2026辽宁朝阳市高二上学期期末）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝叶斯统计理论,随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈,有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院,小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院,那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院,那么第二天去甲影院的概率为0.5,则小红同学（   ） A．第二天去甲影院的概率为0.54 B．第二天去乙影院的概率为0.46 C．已知小红第二天去了甲影院,那么她第一天去乙影院的概率为 D．已知小红第二天去了乙影院,那么她第一天去甲影院的概率为 【答案】D 【解析】设：第一天去甲影院,：第二天去甲影院,则：第一天去乙影院,：第二天去乙影院, 可得,,,,A：,故A错误； B：,故B错误；C：,故C错误； D：,故D正确；故选D. 7．（2026湖南衡阳高三上学期高考适应性练习）设随机变量服从正态分布.已知部分小概率值和相应的临界值如下表： 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 若实数满足,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于,则(自由度为1的卡方分布),即,表示落在区间的概率,由于是连续型随机变量,该概率表示为,若m为负数,则,所以,m为非负实数, 所以,根据卡方分布表,,,由于9介于和之间,故 (略小于),则,表格中,,因此对应的介于3.841和5.024之间. 8．李华在研究化学反应时,把反应抽象为小球之间的碰撞,而碰撞又分为有效碰撞和无效碰撞,李华有3个小球和3个小球,当发生有效碰撞时,,上的计数器分别增加2计数和1计数,,球两两发生有效碰撞的概率均为,现在李华取三个球让他们之间两两碰撞,结束后从中随机取一个球,发现其上计数为2,则李华一开始取出的三个球里,小球个数的期望是（    ）个 A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2 【答案】B 【解析】由,球两两发生有效碰撞的概率均为,可得两球发生有效碰撞和无效碰撞的可能性相等. 取出三个球后,每两个球之间碰撞一次,则需碰撞次,每次碰撞均有有效碰撞和无效碰撞两种情况发生,且可能性相等,所以三个球两两碰撞之后共有种等可能的情况发生.①若取出的三个球均为球,有种取法,碰撞之后产生计数为的球的情况有：每个球之间有效碰撞次,无效碰撞次,计数结果为,有种,1个球计数为2；每个球之间有效碰撞次,计数结果为,有种,有三个球计数为2；则符合条件的情况数为. ②若取出的三个球为个球,个球,有种取法,碰撞之后产生计数为的球的情况有：,球之间有效碰撞次,无效碰撞次,计数结果为或,有种1,计数为2的球个数分别为1和2；每个球之间有效碰撞次,计数结果为,有种,计数为2的球个数为2；则符合条件的情况数为. ③若取出的三个球为个球,个球,有种取法,碰撞之后产生计数为的球的情况有： a,a碰撞有效,a,b碰撞无效,计数结果为,有种,计数为2的球个数为2； a,a碰撞无效,a,b碰撞1次有效1次无效,计数结果为,有种,计数为2的球个数为1； a,a碰撞无效,a,b碰撞均有效,计数结果为,有种,计数为2的球个数为3； a,a碰撞有效,a,b碰撞1次有效1次无效,计数结果为,有2种,计数为2的球个数为1； a,a碰撞有效,a,b碰撞有效,计数结果为,有1种,计数为2的球个数为1； 所以符合条件的情况数为. ④若取出的三个球均为球,有种取法,碰撞之后产生计数为的球的情况有：每个球之间有效碰撞次,计数结果为,有种,计数为2的球个数为2；每个球之间有效碰撞次,计数结果为,有种,计数为2的球个数为2；符合条件的情况数为.所以碰撞之后产生计数为的球的情况总数为,设李华一开始取出的三个球里,球个数为随机变量, 则随机变量所有可能取值的集合是,,, ,,故的分布列如下表： 数学期望,所以李华一开始取出的三个球里,球个数的期望是个.故选. 二、多选题 9．（2026河北名校联合体高三上学期模拟）有歌唱道：“江西是个好地方,山清水秀好风光．”现有甲、乙、丙、丁4位游客慕名来到江西旅游,准备从庐山、三清山和龙虎山三个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩,每个景点至少有一位游客前往．事件表示“游客甲前往庐山游玩”,事件表示“游客乙前往三清山游玩”,则（    ） A． B． C． D．事件与不独立 【答案】BCD 【解析】先将4人分成2、1、1三组,共种分法,再将三组分配给三个景点,共种分法,一共有种分法.事件表示甲前往庐山,固定甲去庐山后,需将乙、丙、丁分配到三个景点,且三清山和龙虎山均至少一人.乙、丙、丁的分配方式共种,排除三清山空（只去庐山和龙虎山）的种、龙虎山空的8种,以及两景点均空的1种,满足条件的分配数为,故,故选项A错误；同理得：；事件表示甲去庐山且乙去三清山,固定甲去庐山、乙去三清山后, 需分配丙、丁,且龙虎山至少一人,丙、丁分配共种,龙虎山空（只去庐山或三清山）的有种, 故满足条件的分配数为,因此,选项C正确；由条件概率公式得：.故,选项B正确； 因为,所以事件与不独立,选项D正确.故选. 10．（2026湖南株洲市高三上学期质量检测）某电脑程序每次等概率随机输出中的一个数,和分别表示输出的前个数中的最大值和最小值．已知每次输出都是独立的,且可以重复输出同一个数．则下列命题正确的是（） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】选项A：表示第一个数的最大值,即该数本身；表示第一个数的最小值,也即该数本身； 所以,,A正确；选项B：表示输出的前3个数的最大值为3,即需满足“输出的每个数,且至少有一个数为3”.所有数均的概率：；所有数均的概率：.所以,B正确； 选项C：表示输出的前3个数的最小值为3,即需满足“输出的每个数,且至少有一个数为3”. 所有数均的概率：；所有数均的概率：. 所以,C错误；选项D：记为事件,即前4个数最大值为6,为事件,前4个数最小值为3.则. 表示前4个数最大值为6且最小值为3,即所有数均在3到6之间（含3和6）, 所以. 故,D正确.故选ABD. 11．（2026重庆市重点高中高三12月联考）在一个抽奖游戏中,主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个,放入一件奖品,再将四个箱子关闭,只有主持人知道奖品在哪个箱子里,当抽奖人选择了某个箱子后,在箱子打开之前,主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子,并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率,现在已知甲选择了1号箱,用表示i号箱有奖品,用表示主持人打开j号箱子,下列结论正确的是（    ） A． B． C．若,甲无论是否更改选择,他获奖的概率均为 D．若,要使获奖概率更大,甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个 【答案】ABD 【解析】对于A选项,抽奖人在不知道奖品在哪个箱子的情况下选择了1号箱,他的选择不影响奖品在四个箱子中的概率分配,因此,,,的概率均为,即A正确；对于B选项,奖品在2号箱里,主持人只能打开3、4号箱,故,故B正确；对于C、D选项,奖品在1号箱里,主持人可打开2、3、4号箱,故,奖品在2号箱里,主持人只能打开3、4号箱,故, 奖品在3号箱里,主持人打开3号箱的概率为0,故,奖品在4号箱里,主持人只能打开2、3号箱,故,由全概率公式可得：, ,,故C错误,D正确．故选ABD． 三、填空题 12．（2026天津南开中学高三质量检测）甲、乙两名同学参加一场乒乓球比赛,比赛共五局（无平局）,先赢三局者取得比赛最终胜利.已知第一局乙同学获胜的概率为,且对于每一局,若乙同学在本局中获胜,则他在下一局获胜的概率为；若乙同学在本局中未获胜,则他在下一局获胜的概率为.甲同学第二局比赛获胜的概率为 ；在比赛三局即结束的条件下,乙同学取得比赛最终胜利的概率为 . 【答案】 【解析】第一局乙同学获胜的概率为,则第一局甲同学获胜的概率为,对于每一局,若乙同学在本局中获胜,则他在下一局获胜的概率为,即甲同学在下一局获胜的概率为,,若乙同学在本局中未获胜,则他在下一局获胜的概率为,即甲同学在下一局获胜的概率为.故甲同学第二局比赛获胜的概率.比赛三局即结束,则甲连胜三局或乙连胜三局,设事件为“比赛进行三局即结束”,事件为“乙取得比赛最终胜利”,则,, 故. 13．（2026湖北孝感市高三第一次统一考试）某商场举办抽奖活动,在一个不透明的抽奖箱中有六个相同的小球,编号分别为1、2、3、4、5、6．活动规则如下：每位顾客连续有放回地抽取三次,若三次抽到的小球编号之和为5的倍数,则视为中奖．现甲、乙、丙三位顾客依次参加抽奖活动,且每人是否中奖相互独立．记中奖人数为X,则X的数学期望为 ． 【答案】 【解析】由题意,三次抽奖的所有情况共有种,和为5的倍数的情况有：①三个编号均不相同1,3,6；1,4,5；2,3,5；4,5,6共种；②恰有两个编号相同1,1,3；2,2,1；2,2,6；3,3,4；4,4,2；6,6,3共种,③三个编号都相同5,5,5共1种,所以中奖的概率, 由题意,所以X的数学期望． 14．（2026安徽合肥市高三1月考试）现有10个外表相同的袋子,里面均装有10个除颜色外其他无区别的小球,第个袋中有个红球,个白球.现将这些袋子混合后,任选其中一个袋子,并且从中连续取出三个球（每个球取出后不放回）,则第三次取出白球的概率为 . 【答案】 【解析】设第三次取出白球为事件,选中第个袋子为事件.因为10个袋子外表相同,从中任选一个袋子,每个袋子被选中的概率均为,所以.因为第个袋中有10个球,其中个红球,个白球,所以在第个袋子中,任意一次取到白球的概率均为,则在第个袋子中,第三次取到白球的概率.所以由全概率公式可知,第三次取出白球的概率 . 四、解答题 15．（2026江西抚州市高三上学期期末）某学校组织“学党史、强信念、跟党走”为主题的知识竞赛,每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动,每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题,每组都随机抽取两道题作答,先进行组答题,只有组的两道题均答对,方可进行组答题,否则本轮答题结束.已知甲同学组每道题答对的概率均为,组每道题答对的概率均为,两组题至少答对3道题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为,求的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了10轮答题,试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 【解析】（1）甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为的可能取值有, 则 所以的分布列为 0 1 2 3 4 故； （2）由于两组题至少答对3道题才可获得一张奖券, 则甲在一轮答题中获得一张奖券的概率为 , 所以甲同学进行了10轮答题,获得的奖券数, 可得奖券数的概率为,, 假设甲同学获得张奖券的概率最大, 则有： 化简得：, 又因为,所以,即同学获得3张奖券的概率最大. 16．（2026河南开封市高三第一次质量检测）袋子中有4个白球,3个黑球,这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出,并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里． 1 2 3 4 5 6 7 (1)求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率； (2)记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为,求的分布列和数学期望； (3)记“从左往右数,任意前个抽屉中,白球总数均不少于黑球总数”为事件,求事件的概率． 【解析】（1）设“编号为2的抽屉里放的是黑球”,则． （2）的可能取值为1,2,3,4, 用表格表示分布列,如下表所示： 1 2 3 4 （3）依题意,编号为1的抽屉里放的一定是白球,一共可以分为如下5种情况： ①序列前缀为：白黑白白……,, ②序列前缀为：白黑白黑白…… ③序列前缀为：白白黑白……,, ④序列前缀为：白白黑黑白…… ⑤序列前缀为：白白白……,, 17．（2026湖南长沙高三上学期适应性训练）甲、乙两人共进行局比赛,假设每局比赛甲赢的概率都是,各局比赛之间的结果互不影响,且没有平局. (1)设,若全部局比完后,所赢局数多者获胜.甲获胜的概率记为, （i）求； （ii）试比较与的大小,并证明你的结论. (2)设,“局比赛结束后,甲赢得奇数局比赛”的概率记为,证明：. 【解析】（1）（i）当时,比赛局数为局, 则甲获胜的条件是至少赢两局,且甲赢的局数服从二项分布, 所以； （ii）,证明： 记事件“甲获胜”,则甲赢的局数,事件“乙获胜”,则乙赢的局数, 因为,所以, 又因为打的局数为奇数,各局比赛之间的结果互不影响,且没有平局. 所以,所以, 所以； （2）由题甲赢的局数服从二项分布, 则“局比赛结束后,甲赢得奇数局比赛”的概率 , 因为, , 所以, 所以, 同理, 因为,所以,, 所以, 所以,即. 18．（2026北京海淀区高三上学期期末）某科技公司统计了过去连续30个月两个小组每月所需专用服务器台数,获得数据如下表： 小组所需专用服务器台数 11 12 13 14 15 16 17 月数 1 1 2 3 18 4 1 B小组所需专用服务器台数 6 8 10 12 14 16 18 月数 1 2 6 11 6 2 2 为了更好地支持自主研发,该公司计划给小组长期租赁台专用服务器,给小组长期租赁台专用服务器. 假设两个小组每月所需专用服务器台数相互独立,用频率估计概率. (1)估计小组某个月所需专用服务器不超过14台的概率； (2)若,在未来的某个月,为满足小组的需求,该公司还需要为小组临时租赁台专用服务器.特别地,当该月不需要为小组临时租赁专用服务器时,记.估计的数学期望； (3)经公司讨论,有以下三种备选租赁方案： 方案一：,； 方案二：,； 方案三：,. 在未来的某个月,为满足这两个小组各自的需求,一共还需要临时租赁台专用服务器,特别地,当该月不需要临时租赁专用服务器时,记.在上述三种方案中,的数学期望估计值最小的方案是哪种？（结论不要求证明） 【解析】（1）根据题中数据,在30个月的数据中, 小组所需专用服务器不超过14台的月数为, 故小组某个月所需专用服务器不超过14台的概率可估计为； （2）由题意知,当时,随机变量的所有可能取值集合为, 根据题中数据,由（1）知可估计为, 可估计为, 可估计为, 可估计为, 因为, 所以可估计为； （3）方案三的数学期望最小. 提示：对于小组,当时,由（2）知； 当时,,所以； 当时,,所以. 对于小组,当时,,所以； 当时,,所以； 当时,,所以. 综上,方案一：,,此时； 方案二：,,此时； 方案三：,,此时. 因为,所以方案三的数学期望最小. 19．（2024-2025江西抚州市高二下学期质量监测）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布,特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数．例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数,电话交换机接到呼叫的次数,汽车站台的候客人数,机器出现的故障数,自然灾害发生的次数,一个产品上的缺陷数,显微镜下单位分区内的细菌分布数等．因此,在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作）,则其概率分布为,其中e为自然对数的底数. (1)当时,泊松分布可以用正态分布来近似；当时,泊松分布基本上就等于正态分布,此时可认为.若,求的值（保留三位小数）； (2)某公司制造微型芯片,次品率为,各芯片是否为次品相互独立,以记产品中的次品数. （i）若,求在1000个产品中至少有2个次品的概率； （ii）若,求在1000个产品中至少有2个次品的概率.通过比较计算结果,你发现了什么规律？ (3)若,且,求的最大值（保留一位小数）. 参考数据：若,则有,. 【解析】（1）由题意可得, 所以. （2）（i）由题, 所以在1000个产品中至少有2个次品的概率为 ； （ii）由题,所以, 所以在1000个产品中至少有2个次品的概率为 . 根据计算结果发现当较大次品率p较小时, 二项分布和泊松分布计算出的“至少有2个次品的概率”非常接近, 所以当较大p较小,二项分布可以用泊松分布来近似计算. （3）若,则, 故, 设,则对任意恒成立, 所以函数在上单调递减, 又由, 所以若,则, 设,则对任意恒成立, 所以函数在上单调递减, 所以,即, 所以； 设, 则, 因为,所以对任意恒成立, 所以函数在上单调递增, 所以, 即, 综上,当时,有,当时,有, 所以的最大值为 ( 46 / 46 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章随机变量及其分布列（复习讲义） 1、随机事件的条件概率 ①结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率. ②结合古典概型,了解条件概率与独立性的关系. ③结合古典概型,会利用乘法公式计算概率. ④结合古典概型,会利用全概率公式计算概率. 2、离散型随机变量及其分布列 ①通过具体实例,了解离散型随机变量的概念,理解离散型随机变量分布列及其数字特征（均值、方差）. ②通过具体实例,了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题. ③通过具体实例,了解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题. 3、正态分布 ①通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例、借助频率直方图的几何直观,了解正态分布的特征. ②了解正态分布的均值、方差及其含义. 知识点1条件概率与全概率公式 1．条件概率 (1)概念：一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)＝为 的条件概率,简称条件概率． (2)两个公式 ①利用古典概型：P(B|A)＝； ②概率的乘法公式：P(AB)＝ 2．全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An＝Ω,且P(Ai)>0,i＝1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)＝ ． 知识点2随机变量及其分布列 1．离散型随机变量 一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有 的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量；可能取值为 的随机变量称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列 一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi,i＝1,2,…,n为X的 ,简称 ． 3．离散型随机变量的分布列的性质 ①pi 0(i＝1,2,…,n)； ②p1＋p2＋…＋pn＝ . 知识点3离散型随机变量的数字特征 1.一般地,若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值 则称E(X)＝ ＝ipi为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的 (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的 ,并称为随机变量X的 ,记为σ(X),它们都可以度量随机变量取值与其均值的 2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝ . (2)D(aX＋b)＝ (a,b为常数)． 知识点4二项分布与超几何分布 一、二项分布 1．伯努利试验 只包含 可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为 2．二项分布 一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k,k＝0,1,2,…,n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布,则E(X)＝ ,D(X)＝ (2)若X～B(n,p),则E(X)＝ ,D(X)＝ 二、超几何分布 一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为 P(X＝k)＝,k＝m,m＋1,m＋2,…,r,其中,n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m＝max{0,n－N＋M},r＝min{n,M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从 ． 知识点5正态分布 1．定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数, 则称随机变量X服从正态分布,记为 2．正态曲线的特点 (1)曲线是单峰的,它关于直线 对称； (2)曲线在 处达到峰值； (3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴． 3．3σ原则 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 4．正态分布的均值与方差 若X～N(μ,σ2),则E(X)＝ ,D(X)＝ . ( 题型 一 条件概率 ) 【例1】（2025-2026辽宁铁岭高二上学期期末）某公司招募了A、B两位员工完成对应工作,且A,B两位员工必定至少有一位完成工作,已知A员工完成工作的概率为0.5,B员工完成工作的概率为0.8. (1)求A,B两位员工均能完成工作的概率； (2)证明：事件“A员工完成工作”与“B员工完成工作”不相互独立； (3)求在B员工完成工作的前提下,A员工也完成工作的概率. 【解析】（1）解：设事件表示“员工完成工作”,事件表示“员工完成工作”, 则,, 因为两位员工必定至少有一位完成工作,即事件为必然事件, 所以.   根据概率的加法公式,,解得, 所以两位员工均能完成工作的概率为0.3. （2）证明：由（1）得,且.   因为,所以事件“员工完成工作”与“员工完成工作”不相互独立. （3）解：由（1）知：, 根据条件概率公式,可得, 故在员工完成工作的前提下,员工也完成工作的概率为. 【变式1-1】（2026海南海口高三一模）已知,是随机事件,若,,则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选题）（2026山东济南高三阶段性测试）已知为随机事件,且,,则的充要条件是（   ） A． B． C． D．事件相互独立 【变式1-3】（2025-2026黑龙江齐齐哈尔高二上学期1月质量检测）袋中有大小、材质相同的2个黄球,3个黑球,每次从袋子中随机摸出1个球,摸出的球不放回,在第1次摸到黑球的条件下,第2次摸到黑球的概率是 . ( 题型二全概率公式的应用 ) 【例2】（2025-2026河南九师联盟高二上学期1月质量检测）某不透明的袋子中有2张蓝色卡片,3张红色卡片,现抛掷一枚四个面分别标有1,2,3,4的正四面体,记录朝下一面的点数,掷出几点就从袋中取出几张卡片,取出的卡片全是红色的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记“抛掷一枚四个面分别标有1,2,3,4的正四面体,朝下的一面为点”为事件. 记“取出的卡片全是红色”为事件B.. 则. 故选C. 【变式2-1】（多选题）（2025-2026黑龙江依安县高二12月月考）甲罐中有5个红球,5个白球,乙罐中有2个红球,8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”,表示事件“从甲罐取出的球是白球”,表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（） A．为对立事件 B． C． D． 【变式2-2】（2026天津田家炳高中高三上学期期中）某次社会实践活动中,甲､乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲､乙两班的人数之比为,其中甲班中女生占,乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是 ,则该社区居民遇到一位进行民意调查的女同学恰好来自甲班的概率是 . 【变式2-3】（2025-2026浙江省衢州五校联盟高二上学期期中）甲、乙、丙三人独立地破译一份密码,已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为． (1)求恰有两人成功破译的概率； (2)若甲、乙、丙三人都没有破译密码,则会派丁独立破译密码,丁能独立破译密码的概率为,求密码能被成功破译的概率． ( 题型三分布列的性质 ) 【例3】（2024-2025江苏南京高二下学期期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 【答案】B 【解析】,解得；,故选B. 【变式3-1】（2024-2025黑龙江安达市高二下学期期末）随机变量X的分布列为,其中a是常数,以下错误的是（    ）． A． B． C． D．以上均不正确 【变式3-2】（2024-2025浙江嘉兴高二下学期期末）设随机变量的分布列为,则实数 ． ( 题型四 求随机变量的分布列 ) 【例4】（2025-2026江西高二1月月考）不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字,0,1,1,2,现从中随机取出2个小球． (1)求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)记取出的2个小球上的数字之积为,求的分布列． 【解析】（1）从5个小球中随机取出2个,对5个小球进行编号,分别为, 样本空间为,共计10个样本点, 其中数字相同的情况只有一种（取出两个标有数字1的小球）, 因此数字不同的情况有种,故取出的2个小球上的数字不同的概率为； （2）随机变量的取值分别为：, 当时：取出数字和 2,取法数 1 种,； 当时：取出数字和 1,取法数 2 种,； 当时：取出数字和 0（1 种）、0 和 1（2 种）、0 和 2（1 种）, 总取法数 4 种,； 当时：取出两个数字 1,取法数 1 种,； 当时：取出数字 1 和 2,取法数 2 种,概率； 故的分布列为：                                                             【变式4-1】（2024-2025安徽临泉高二下学期5月月考）一袋中装有编号为1,2,3,4的4个大小相同的球,现从中随机取出2个球,X表示取出的最大号码. (1)求的概率; (2)求X的分布列. 【变式4-2】（2024-2025广东省东莞高二下学期期中联考）在我校歌咏比赛中,甲班、乙班、丙班、丁班均可从A,B,C三首不同曲目中任选一首. (1)求甲、乙两班选择不同曲目的概率； (2)设这四个班级总共选取了X首曲目,求X的分布列. ( 题型五 随机变量的期望与方差 ) 【例5】（2025-2026黑龙江齐齐哈尔高二1月质量检测）某高中在选拔学生参加高中数学联赛中,对数学成绩较好的100名学生进行了一次测试,将测试所得的成绩（满分100分）分成7组：,,,,,,,整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求此次测试成绩的平均数（同组数据以该组区间的中点值作代表）； (2)从测试成绩在区间内的学生中随机抽取4人,记4人中测试成绩在区间内的人数为,求的分布列、数学期望和方差. 【解析】（1）由图知测试成绩的平均数为： . （2）测试成绩在区间内的学生人数为人, 测试成绩在区间内的学生人数为人, 所以的可能取值为2,3,4. 故,,, 所以的分布列为： 2 3 4 所以, . 【变式5-1】（2025-2026河南省九师联盟高二1月质量检测）已知随机变量X的方差为,则（   ） A．18 B．17 C．6 D．5 【变式5-2】（2025-2026辽宁鞍山高二1月期末）已知随机变量X,Y满足,且随机变量X的分布列如下：则随机变量Y的方差等于 . 0 1 2 【变式5-3】（2024-2025江西高二上学期期末）现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1~6）,连续投掷两次,记m,n分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数,设离散型随机变量. (1)求和的值； (2)求X的分布列和数学期望. ( 题型六 期望与方差在决策中的应用 ) 【例6】（2025-2026辽宁重点高中沈阳郊联体高二上学期期末）第31届世界大学生夏季运动会的三个吉祥物是“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”深受大家喜爱.某经销商提供如下两种购买方式： ·方式一：购买盲盒,每个盲盒售价20元,内部随机放有“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”三款中的一款或者为空盒,只有拆开才会知道购买情况,买到各种盲盒是等可能的； ·方式二：直接购买吉祥物,每个30元 (1)小明若以方式一购买吉祥物,每次购买一个盲盒并拆开．求他第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率； (2)为了集齐三款吉祥物,现有两套方案待选： 方案一：先购买一个盲盒,再按方式二补齐剩下的款式： 方案二：先购买两个盲盒,再按方式二补齐剩下的款式． 若以所需费用的期望值为决策依据,小明应选择哪套方案？ 【解析】（1）设小明第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率为P, 则分为有空盒和无空盒两种情况,． （2）方案一：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为X． X的可能取值为80,110． 则,． 所以． 方案二：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为Y． 依题意,Y的可能取值为70,100,130, 则, , ． 所以． 因为,所以小明应该选择方案一 【变式6-1】（2026陕西高三上学期多校联考）某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次,若次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为分；若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮次,每次投中得分,未投中得分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为,乙每次投中的概率为,各次投中与否相互独立． (1)若,,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于分的概率； (2)假设,为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛？ 【变式6-2】（2025-2026山东省德州高二上学期校际教研诊断）某商场为了促进消费,推出购物优惠活动,消费者购物每满300元可参加一次抽奖,抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球,每次抽取2个球．若抽中2个白球,返现金50元；若抽中1个红球和1个白球,返现金30元；若抽中2个红球,返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元,设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%）,则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） ( 题型七 二项分布 ) 【例7】（2025-2026黑龙江绥化新时代高中教育联合体高二上学期期中联考）如图,一个质点在随机外力的作用下,从原点出发,每隔1秒等可能地向左或向右移动1个单位.设移动秒后质点所在位置对应的实数为随机变量,则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由题意知,质点向左或向右移动1个单位的概率均为,设质点向右移动的次数为,则, 若,则移动6次后质点一共向左移动3次,向右移动3次,所以； 若,则移动6次后质点一共向右移动4次,向左移动2次,所以. 故.故选A. 【变式7-1】（多选题）（2025-2026安徽临泉高三1月月考）已知随机变量,则（   ） A． B．当取最大值时, C． D． 【变式7-2】（2025-2026山东德州高二上学期校际教研诊断）抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1,2,3,4）,底面的点数为1记为事件A,抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为,则 , ． 【变式7-3】（2025-2026北京八中高二上学期期末）一个不透明的袋子中装有若干个均匀的红球和白球,从袋子中摸一个红球的概率是,现在从袋子中有放回地摸球,每次摸出一个． (1)若一共摸3次球,设摸到红球的次数为,求随机变量的分布列和数学期望： (2)若有3次摸到红球则停止摸球,求恰好摸5次停止的概率． ( 题型八 超几何分布之 和 ) 【例8】（2025-2026河南南阳高二上学期期末）已知在的二项展开式中,只有第6项的二项式系数最大,若在展开式中任取3项,其中有理项的个数为,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大,则,可得的二项展开式的通项,当为整数时,该项为有理项,因为且,所以当时,分别为2,,,是整数,即有理项有3项,从11项中任取3项,其中有理项的个数服从参数为（总体个数）,（有理项个数）,（抽取个数）的超几何分布, 根据超几何分布的期望公式,可得.故选B. 【变式8-1】（多选题）（2025-2026辽宁葫芦岛高二上学期期末）一个盒子里装有大小相同的4个黑球、2个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为,则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024-2025江苏南京高二下学期期末）某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人,有日生产件数为55件的“新手”2人,从这5人中任意抽取2人,则2人的日生产件数之和为150件的概率为 ． 【变式8-3】（2026江西鹰潭高三12月月考）为了加强学生的交通安全意识,贵溪一中开展了“安全头盔守护生命”主题教育活动.学校为此次活动准备了10道关于安全头盔重要性､正确佩戴方法及相关法律法规的题目.在活动的知识竞答环节中,会从这10道题目中随机抽取3道让学生回答.已知该校学生小曾同学中午与家长一同认真学习了相关知识,能够准确回答其中的6道题目. (1)求抽到的题目中他能答对的题目数的分布列； (2)求的期望和方差. ( 题型九正态分布及应用 ) 【例9】（2024-2025广东中山高二6月月考）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量,定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个元件组成,在电源电压正常的情况下,至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行,电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：）服从正态分布,且的累积分布函数为,求的值. (2)在数理统计中,指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命,且服从指数分布,其累积分布函数为设,证明： (3)若元件均为（2）中所述的高稳定性元件,其寿命相互独立. 已知在第n天初,元件B和C均正常工作,而元件A发生故障,求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布,则,. 【解析】（1）,其中,故, , 由题设,得, （2）由题设,得 , . 所以. （3）由（2）得, 所以第天系统仍正常工作,元件,必须至少有一个正常工作, 因此所求概率为. 【变式9-1】（2026广西南宁高三适应性测试）设随机变量,则（       ） A． B． C． D． 【变式9-2】（多选题）（2026黑龙江新时代高中教育联合体高三上学期摸底）某高中为了让同学们了解有关半导体芯片的内容,并同时增加同学们对芯片行业的兴趣,特地举办了一次半导体芯片知识竞赛,统计结果显示,学生成绩,其中不低于60分为及格,不低于80分为优秀,且优秀率为20%.若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人,记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为,则（    ） A．该知识竞赛的及格率为60% B． C． D． 【变式9-3】（2026江苏前黄高中高三上学期期）某次考试的数学成绩X近似服从正态分布且,若参加考生总人数是1000,则估计学生数学成绩在130分以上的总人数为 ． ( 基础巩固通关测 ) 一、单选题 1．（2025-2026北京八中高二上学期期末）已知随机变量,且,则的值为（　　） A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.35 2．（2025-2026陕西渭南高二上学期阶段性测试）设随机变量的分布列为,则（   ） A． B． C． D． 3．（2025-2026辽宁鞍山高二上学期期末）设某批产品中,编号为1,2,3的三家工厂生产的产品分别占,,,各厂产品的次品率分别为,,.现从中任取一件,则取到的是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024-2025湖北孝感高二4月测试）已知三个正态分布密度函数（其中,为自然对数的底数）的图像如图所示,则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 5．（2025-2026辽宁葫芦岛高二上学期期末）两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩,记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”,事件“两位游客选择的景点不同”,则（    ） A． B． C． D． 6．（2025-2026辽宁省重点高中沈阳市郊联体学年高二上学期期末）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 7．（2026河南湘豫名校联考高三12月月考）从装有2个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球,已知3个白球的编号分别为1,2,5；2个黑球的编号分别为3,4．那么在取出的2个球的编号之和为奇数的情况下,取出的2个球为1个黑球和1个白球的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（2025-2026北京八中高二上学期期末）一个盒子中装有4个白球,3个黑球,现从中一次取出3个球,则取出的黑球个数为（　　）时,其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．（2024-2025福建福州高二下学期期末联考）下列命题中正确的是（    ） A．已知随机变量,则 B．数据2,3,4,5,6的第60百分位数是4 C．若事件A与B互斥,且,,则 D．样本数据,,…,的平均数为,方差为,则,,…,的平均数为,方差为 10．（2025-山东省枣庄高三二模）已知随机变量,则（    ） A． B． C． D． 11．（2026重庆八中高三12月月考）设是一个随机试验中的两个事件,且,则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2026上海杨浦区高三上学期期末）某工厂生产一批零件,其尺寸（单位：）服从正态分布,且,,则 . 13．（2026湖南长沙高三上学期月考）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次,每次取球1个,记X为取得红球的次数,则 14．（2026河南省高三1月青桐鸣联考）定义：表示三个数中最大的数. 将个苹果分配给个孩子,每个孩子至少分得一个苹果,记三个孩子分得的苹果数分别为,从所有可能的分配方案中随机选择一种,记,则的数学期望 . 四、解答题 15．（2025-2026江西省三新协作体学年高三12月联考）某校手工社团开展“非遗作品闯关”活动,需依次按顺序完成A（剪纸•窗花）,B（陶艺•杯盏）,C（刺绣•团扇）三个手工作品,只有完成当前作品,才有资格制作下一个作品.已知该校手工社团某成员完成各个作品的概率和完成时获得的积分如下表,各个手工作品能否完成相互独立. 手工作品 完成的概率 获得的积分 A 0.8 200 B 0.5 600 C 0.4 1200 (1)求该成员未获得制作手工作品C的资格的概率； (2)设该成员获得的总积分为,求的分布列及均值. 16．（2026河南省部分校高三上学期期中）某会员店因为商品品控出色,所以吸纳了大量会员,只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据,该店的本地会员占,外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查,已知本地会员对该店商品质量满意的概率为,外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员,求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取2名会员,记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为,求的分布列与数学期望． 17．（2026四川成都高三上学期期中）某植物园种植一种观赏花卉,这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间,现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量,所得数据统计如下图所示.    (1)求的值； (2)以频率估计概率,若从所有花卉中随机抽4株,记高度在内的株数为,求的分布列及数学期望； 18．（2026吉林和龙市高三上学期期末）甲、乙、丙三人向同一目标各射击一次,已知甲命中目标的概率为0.8,乙、丙命中目标的概率都为0.5.每个人射击的结果互不影响. (1)求三人中恰有两人命中目标的概率； (2)在目标至少被击中一次的条件下,求甲命中目标的概率. 19．（2026浙江金华市十校高三上学期期末）某公司研发了一种新产品,现有两个销售方案,方案一：所有产品以同一价格进入市场,则每件获利8元；方案二：每件产品上市前需要依次进行A,B,C三项测试,前一项测试通过后方能进行下一项测试,每项测试通过的概率分别为0.9,0.8,0.5．A,B,C三项测试均通过的产品为一等品,通过和两项测试但未通过C项测试的产品为二等品,其余产品为三等品．每件一等品获利10元,每件二等品获利8元,每件三等品获利6元． (1)求出方案二中某件产品为三等品的概率； (2)使用哪个方案时,每件产品的获利均值更高？请说明你的理由. ( 能力提升进阶练 ) 一、单选题 1．（2026河北沧州市高三一模）某权威机构推荐,当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安,甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游,若每座城市只能去一人,且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”,“甲只选择了北京旅游”,则（    ） A． B． C． D． 2．（2026江苏盐城市、南京市2高三上学期期末）已知随机变量服从正态分布,且,则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.7 3．（2026云南名校联盟高三上学期联考）一个将输入计算机的正整数“归零”的程序执行规则如下：按回车键,计算机等可能地用中的任意一个整数替换的值并输出替换后的值,重复以上操作,直到输出0后终止操作.若输入的初始值为3,终止操作时按回车键的次数为,则的数学期望为（    ） A． B． C． D． 4．（2025-2026黑龙江齐齐哈尔市高二上学期期末）某车企为了更好地设计开发新车型,统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况,其中新能源车占销售量的74%,男性占近期购车车主总数的60%,女性购车车主有80%购买了新能源车,根据以上信息,则男性购车时,选择购买新能源车的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（2026山东滨州市高三上学期期末）甲、乙两人玩某一游戏,第奇数局,甲赢的概率为；第偶数局,乙赢的概率为,每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两局时游戏结束．则游戏结束时,甲、乙两人玩此游戏的局数的均值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025-2026辽宁朝阳市高二上学期期末）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝叶斯统计理论,随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈,有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院,小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院,那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院,那么第二天去甲影院的概率为0.5,则小红同学（   ） A．第二天去甲影院的概率为0.54 B．第二天去乙影院的概率为0.46 C．已知小红第二天去了甲影院,那么她第一天去乙影院的概率为 D．已知小红第二天去了乙影院,那么她第一天去甲影院的概率为 7．（2026湖南衡阳高三上学期高考适应性练习）设随机变量服从正态分布.已知部分小概率值和相应的临界值如下表： 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 若实数满足,则（    ） A． B． C． D． 8．李华在研究化学反应时,把反应抽象为小球之间的碰撞,而碰撞又分为有效碰撞和无效碰撞,李华有3个小球和3个小球,当发生有效碰撞时,,上的计数器分别增加2计数和1计数,,球两两发生有效碰撞的概率均为,现在李华取三个球让他们之间两两碰撞,结束后从中随机取一个球,发现其上计数为2,则李华一开始取出的三个球里,小球个数的期望是（    ）个 A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2 二、多选题 9．（2026河北名校联合体高三上学期模拟）有歌唱道：“江西是个好地方,山清水秀好风光．”现有甲、乙、丙、丁4位游客慕名来到江西旅游,准备从庐山、三清山和龙虎山三个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩,每个景点至少有一位游客前往．事件表示“游客甲前往庐山游玩”,事件表示“游客乙前往三清山游玩”,则（    ） A． B． C． D．事件与不独立 10．（2026湖南株洲市高三上学期质量检测）某电脑程序每次等概率随机输出中的一个数,和分别表示输出的前个数中的最大值和最小值．已知每次输出都是独立的,且可以重复输出同一个数．则下列命题正确的是（） A． B． C． D． 11．（2026重庆市重点高中高三12月联考）在一个抽奖游戏中,主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个,放入一件奖品,再将四个箱子关闭,只有主持人知道奖品在哪个箱子里,当抽奖人选择了某个箱子后,在箱子打开之前,主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子,并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率,现在已知甲选择了1号箱,用表示i号箱有奖品,用表示主持人打开j号箱子,下列结论正确的是（    ） A． B． C．若,甲无论是否更改选择,他获奖的概率均为 D．若,要使获奖概率更大,甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个 三、填空题 12．（2026天津南开中学高三质量检测）甲、乙两名同学参加一场乒乓球比赛,比赛共五局（无平局）,先赢三局者取得比赛最终胜利.已知第一局乙同学获胜的概率为,且对于每一局,若乙同学在本局中获胜,则他在下一局获胜的概率为；若乙同学在本局中未获胜,则他在下一局获胜的概率为.甲同学第二局比赛获胜的概率为 ；在比赛三局即结束的条件下,乙同学取得比赛最终胜利的概率为 . 13．（2026湖北孝感市高三第一次统一考试）某商场举办抽奖活动,在一个不透明的抽奖箱中有六个相同的小球,编号分别为1、2、3、4、5、6．活动规则如下：每位顾客连续有放回地抽取三次,若三次抽到的小球编号之和为5的倍数,则视为中奖．现甲、乙、丙三位顾客依次参加抽奖活动,且每人是否中奖相互独立．记中奖人数为X,则X的数学期望为 ． 14．（2026安徽合肥市高三1月考试）现有10个外表相同的袋子,里面均装有10个除颜色外其他无区别的小球,第个袋中有个红球,个白球.现将这些袋子混合后,任选其中一个袋子,并且从中连续取出三个球（每个球取出后不放回）,则第三次取出白球的概率为 . 四、解答题 15．（2026江西抚州市高三上学期期末）某学校组织“学党史、强信念、跟党走”为主题的知识竞赛,每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动,每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题,每组都随机抽取两道题作答,先进行组答题,只有组的两道题均答对,方可进行组答题,否则本轮答题结束.已知甲同学组每道题答对的概率均为,组每道题答对的概率均为,两组题至少答对3道题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为,求的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了10轮答题,试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 16．（2026河南开封市高三第一次质量检测）袋子中有4个白球,3个黑球,这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出,并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里． 1 2 3 4 5 6 7 (1)求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率； (2)记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为,求的分布列和数学期望； (3)记“从左往右数,任意前个抽屉中,白球总数均不少于黑球总数”为事件,求事件的概率． 17．（2026湖南长沙高三上学期适应性训练）甲、乙两人共进行局比赛,假设每局比赛甲赢的概率都是,各局比赛之间的结果互不影响,且没有平局. (1)设,若全部局比完后,所赢局数多者获胜.甲获胜的概率记为, （i）求； （ii）试比较与的大小,并证明你的结论. (2)设,“局比赛结束后,甲赢得奇数局比赛”的概率记为,证明：. 18．（2026北京海淀区高三上学期期末）某科技公司统计了过去连续30个月两个小组每月所需专用服务器台数,获得数据如下表： 小组所需专用服务器台数 11 12 13 14 15 16 17 月数 1 1 2 3 18 4 1 B小组所需专用服务器台数 6 8 10 12 14 16 18 月数 1 2 6 11 6 2 2 为了更好地支持自主研发,该公司计划给小组长期租赁台专用服务器,给小组长期租赁台专用服务器. 假设两个小组每月所需专用服务器台数相互独立,用频率估计概率. (1)估计小组某个月所需专用服务器不超过14台的概率； (2)若,在未来的某个月,为满足小组的需求,该公司还需要为小组临时租赁台专用服务器.特别地,当该月不需要为小组临时租赁专用服务器时,记.估计的数学期望； (3)经公司讨论,有以下三种备选租赁方案： 方案一：,； 方案二：,； 方案三：,. 在未来的某个月,为满足这两个小组各自的需求,一共还需要临时租赁台专用服务器,特别地,当该月不需要临时租赁专用服务器时,记.在上述三种方案中,的数学期望估计值最小的方案是哪种？（结论不要求证明） 19．（2024-2025江西抚州市高二下学期质量监测）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布,特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数．例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数,电话交换机接到呼叫的次数,汽车站台的候客人数,机器出现的故障数,自然灾害发生的次数,一个产品上的缺陷数,显微镜下单位分区内的细菌分布数等．因此,在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作）,则其概率分布为,其中e为自然对数的底数. (1)当时,泊松分布可以用正态分布来近似；当时,泊松分布基本上就等于正态分布,此时可认为.若,求的值（保留三位小数）； (2)某公司制造微型芯片,次品率为,各芯片是否为次品相互独立,以记产品中的次品数. （i）若,求在1000个产品中至少有2个次品的概率； （ii）若,求在1000个产品中至少有2个次品的概率.通过比较计算结果,你发现了什么规律？ (3)若,且,求的最大值（保留一位小数）. 参考数据：若,则有,. ( 23 / 23 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $