10 空间直线、平面的垂直（1）学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ 空间直线、平面的垂直(1) 思维导图 正方形、矩形、菱形 直角边或对角线垂直 图形 Q等腰三角形、等边三角形 o 取中点 勾股定理 线线垂直 边长 正余弦定理 线面垂直定义 如果直线1与平面ā内的任意一条直线都垂直，我们 定义 就说直线1与平面a互相垂直 图示 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直， 线 那么该直线与平面垂直 垂 直 直 判定定理 a 1⊥a,1⊥b,aca,bCa,acb=P→1⊥a 性质定理 垂直与同一个平面的两条直线平行 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角， 定义 就说这两个平面互相垂直.平面a与平面B垂直，记作aˆb. 定理 如果一个平面过另外一个平面的垂直，那么这两个平面垂直 判定 定理 垂直 图示 符号。1山a,1cb→a1® 性质 两个平面垂直，如果一个平面内的有一直线垂直与这两个平面的交 定理 线，那么这条直线与另一个平面垂直 第1页共12页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ 常见题型 题型一线面垂直 【例1】在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD, E为PD的中点，M为AD的中点，PA=2AB=4. D (1)取PC中点F,证明：PC⊥平面AEF; (2)求点D到平面ACE的距离 【答案】(1)证明见解析；(2)2√3 【解析】(1)证明：因为PC中点F, 在RtAABC中，AB=2,∠BAC=60°，则BC=2N3,AC=4. 而PA=4,则在等腰三角形APC中，PC⊥AF①. 又在△PCD中，PE=ED,PF=FC,则EFI/CD, 因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,则PA⊥CD, 又∠ACD=90°，即AC⊥CD,AC∩PA=A, 则CD⊥平面PAC,因为PCc平面PAC,所以PC⊥CD,因此EF⊥PC②. 又EF∩AF=F,由①②知PC⊥平面AEF; (2)在R△ACD中，CD=4V5,AC=4,S。4CD=8V5, 又EMI∥PA,PA⊥平面ABCD, :.EM⊥平面ABCD,即EM为三棱锥E-ACD的高， mgm8-g85.2-l5 3 3 第2页共12页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ 在△ACE中，AE=CE=2N5,AC=4,.SACE=8, 设点D到平面ACE的距离为h, 1 VD-ACE =VE-ACD=S.4CE=16V3 3 .h=2√3，即点D到平面ACE的距离为2√3 题型二 线线垂直 【例2】如图，在三棱柱ABC-AB,C中，侧面ABB4为矩形，AB=1,AA=V2,D是AA,的中点， BD与AB,交于点O,且CO⊥平面ABBA,证明：BC⊥AB. C 6 D A 【答案】(1)证明见解析： 解析】D证明：由题意BD=AB+A0三)，8=V及 1a40-aa08.98品8-}om-n-6 1 3 ,A0s3 AO2+OD2=AD2,所以AB⊥BD, 又CO⊥侧面ABBA,.AB⊥CO,又BD与CO交于点O,所以，AB⊥平面CBD 又因为BCC平面CBD,所以BC⊥AB,. C B A 第3页共12页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ 题型三面面垂直 【例3】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD,AB=2,PD=2√6， O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点. p P E D C 、 B D (1)证明：平面EAC⊥平面PBD; (2)若PD∥平面EAC,求三棱锥B-AEC的体积. B 【答案】(1)证明见解析；(2) 2V6 3 【解析】(1)因为四边形ABCD为正方形，则AC⊥BD, ·PD⊥底面ABCD,ACC平面ABCD,∴.AC⊥PD, :PDOBD=D,.AC⊥平面PBD, :ACC平面EAC,∴.平面EAC⊥平面PBD: (2)如下图所示，连接OE, 四边形ABCD为正方形，且AC∩BD=O,则O为BD的中点， 因为PD∥平面AEC,PDc平面PBD,平面PBD∩平面AEC=OE,∴.OEI∥PD, O为BD的中点，E为PB的中点， :PD1平面ABCD,OE⊥平面ABCD,且OE=PD=V6, △1BC的面积为Sc=2×2=2,所以，c=.c=Sc0E=×2×V6=26 1 1 3 3 第4页共12页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ 题型四 空间距离 【例4】在棱长为a的正方体ABCD-AB,CD中求出下列距离： B D (1)点A到面BBDD的距离： (2)C到平面BDC,的距离. 【答案】a) a:(2)3 2 a. 3 【解析】 (1)因为AC⊥平面BBDD, 以点A到面BB,DD的距离为面对角线的AC的)，即V2 1 -a; 2 (2)设C到平面BDC,的距离为h,三棱锥C-BDC的体积为V, 在△BDC中，BD=DC=BC,=V2a,则△BDC的面积为5x 4x(W2a)'= -a2, 2 3xxaxaxa-IxB 利用等体积法可得：V=xx 32 32 0×h,所以h=5。 3 第5页共12页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ 巩固精练 1.如图，在正方体ABCD-ABCD中，E为B,D的中点，AC∩BD=O.求证： 01 (1)AC⊥平面B,BDD; (2)DE//平面ACB. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】(1)在正方体中，BB⊥平面ABCD, ACC平面ABCD,∴.BB⊥AC, :AC⊥BD,BD∩BB,=B,.AC⊥平面BBDD: (2)连接0B, 在正方体中，BB //DD且BB,=DD, .四边形BBDD是平行四边形，BD/1BD且BD=B,D, O,E分别为BD,BD中点，.D0=EB, ∴.四边形DEB,O是平行四边形，.DEI1OB, :DE丈平面ACB,OBC平面ACB,∴.DE/平面ACB,. 第6页共12页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ 2.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=90°，CD=2AB=2AD,侧面 PAD是正三角形且垂直于面ABCD,E是PC中点. P E B (1)求证：BE/面PAD; (2)求证：BE⊥平面PCD 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】证明：(1)取PD的中点F,连接AF、EF, :E是PC中点，：EP1CD,EF=CD, 2 AB//CD,CD=2AB,.EF//AB,EF AB .四边形ABEF是平行四边形，.BE/AF, 又BEZ平面PAD,AFC平面PAD，∴.BE//面PAD. P E B (2).面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD,CD⊥AD, .CD⊥面PAD, :AFc平面PAD,CD⊥AF, 等边三角形PAD,F为PD的中点，.AF⊥PD, 又CD∩PD=D,CD、PDc平面PCD,.AF⊥平面PCD, 第7页共12页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ :AFIIBE,.BE⊥平面PCD 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,PA=AC,E是PC的中 点。 P A B 证明：(I)CD⊥AE; (Ⅱ)PD⊥平面ABE. 【答案】(I)详见解析；（Ⅱ）详见解析. 【解析】(I)因为PA⊥底面ABCD,CDC底面ABCD,所以PA⊥CD, 又AC⊥CD,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAE, 又AEc平面PAE 所以CD⊥AE; (Ⅱ)因为PA=AC,E是PC的中点， 所以PC⊥AE,又CD⊥AE,CD⊥PC=C, 所以AE⊥平面PCD,又PDC平面PCD,所以PD⊥AE, 又因为AB⊥AD,AB⊥PA且AD⊥PA=A,所以AB⊥平面PAD, 又PDC平面PAD,所以AB⊥PD,又AEAB=A,所以PD⊥平面ABE. 4.如图，在三棱柱ABC-AB,C,中，AA=AC2=BC2=2,AA⊥平面ABC,AC⊥BC,D为棱 CC,的中点. 第8页共12页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ B B1 D C A (1)证明：AB⊥AD (2)求点A到平面ABD的距离. 【答案】(1)证明见解析：(2)√2· 【解析】(I)证明：如图，取AB的中点E,连接AE,DE 因为AA⊥平面ABC, 所以三棱柱ABC-ABC,为直三棱柱， 因为AC=BC,D为棱CC,的中点，所以BD=AD=AD=V(N2)2+1=√3 所以DE⊥AB 因为AC⊥BC，,AC=BC=√2，所以AB=2,所以AB=AA. 因为E为AB的中点，所以AE⊥AB. 又AE∩DE=E,所以AB⊥平面ADE. 因为ADC平面ADE,所以AB⊥AD 2解：在三棱锥B-AAD中，SD=)×2xV2=2 因为BC⊥平面AA,D,且BC=√2， 所以三棱锥B-AA,D的体积为}×V2xV2= 3 设点4到平面48D的距离为d,则×S。B0×d= 3 3 第9页共12页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ 因为AD=BD=V5,所以SaD=)x2×AD2-(AB2=x2×V2=V2 1 2 2 所以d=√2，即点A到平面ABD的距离为√2 5.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD,E为PD的中点. (1)证明：PB∥平面AEC; (2)设AP=1,AD=√3，四棱锥P-ABCD的体积为1，求证：平面PAC⊥平面PBD. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析。 【解析】(1)连接BD交AC于点O,连结EO, 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点， 又E为PD的中点，所以EOIPB, EOC平面AEC,PBE平面AEC,所以PB∥平面AEC. 1 (2)因为'r-ABcD=×AB×AD×AP=1, 3 所以AB=√3，所以底面ABCD为正方形，所以BD⊥AC, 因为PA⊥ABCD,所以BD⊥PA,且ACOPA=A,所以BD⊥平面PAC, 又BDC平面PBD,所以平面PAC⊥平面PBD. 第10页共12页学习，在坚持中成长！在成长中坚持」 日积月累：每天进步一点点！ 空间直线、平面的垂直(1) 思维导图 直角边或对角线垂直 图形 正方形、矩形、菱形⊙ 等腰三角形、等边三角形 取中点 勾股定理 线线垂直 边长 正余弦定理 线面垂直定义 如果直线1与平面α内的任意一条直线都垂直，我们 定义 就说直线1与平面a互相垂直 图示 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直， 那么该直线与平面垂直 面垂 直 判定定理 1⊥a,1⊥b,aca,bca,acb=P→1⊥a 性质定理 垂直与同一个平面的两条直线平行 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角， 定义 就说这两个平面互相垂直.平面a与平面B垂直，记作a^b. 定理 如果一个平面过另外一个平面的垂直，那么这两个平面垂直 判定 面面垂 定理 图示 符号 1⊥a,1cb→a⊥B 性质 两个平面垂直，如果一个平面内的有一直线垂直与这两个平面的交 定理 线，那么这条直线与另一个平面垂直 第1页共8页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ 常见题型 题型一 线面垂直 【例I】在四楼锥P-ABCD中，∠1BC=∠ACD=90,∠B1C=∠C4D=60,P1L平面 ABCD E为PD的中点，M为AD的中点，PA=2AB=4. D （1)取PC中点F,证明： pC上平面 EF (2)求点D到平面4CE的距离 题型二 线线垂直 【例2】如图，在三棱柱ABC-4B,G中，侧面BB,4为矩形，AB司，4=V5,D是A4 的 第2页共8页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持」 日积月累：每天进步一点点！ 中点，BD与HB交于点O,且CO上平面4BBA,证明： BC⊥AB C C B A D A1 题型三 面面垂直 【例3】如图，四棱锥P-ABCD中，底面16CD是正方形，PD上平面 ABCD AB=2,PD=26,O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点. D B (1)证明：平 EACL平面PBD (2)若PD/平面E1C,求三楼锥8-1C 的体积. 第3页共8页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ 题型四 空间距离 【例4】在棱长为“的正方体1BCD-4BCD中求出下列距离： D C A B D B (1)点A到面B,DP的距离： (2)C到平 BDC的距离. 巩固精练 1.如图，在正方体ABCD-4BCD中，E为BD的中点，4CnBD=0.求证： D 9 D C (1)ACL平面 BBDD (2)DE/平面 CB 第4页共8页 学习，在坚持中成长」在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ P-ABCD中，底面 ABCD 是直角梯形， ∠BAD=90°CD=2AB=2A 2.已知四棱 ,侧 面PMD是正三角形且垂直于面4BCD,E是PC中点 P E D B (1)求证：BE/面PAD; (2)求证：BEL平面PCD 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA上底面ABCD,MBLD,1C1CD,PA=1C,E是 PC的中点. 第5页共8页 学习，在坚持中成长」在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点！ E A从 D 证明：(I)CD⊥AE (Ⅱ)PD⊥平面ABE. 4.如图，在三棱柱MBC-AB,G中，M4=AC=BC=2,M1上平面ABC,AC1BC, D为楼CC的中点. B B D C A (1)证明： A,B⊥AD (2)求点A到平面ABD的距离. 第6页共8页 学习，在坚持中成长！在成长中坚持」 日积月累：每天进步一点点！ P-ABCD ABC 5.如图，四棱锥 中，底面 D为矩形，P4上底面1BCD,E为PD的中点。 PBI (1)证明： ”平面 AEC ； (2)设AP=1,AD=V5,四棱锥P-ABCD的体积为，求证：平面PAC⊥平面PBD. 6.如图，在棱长为2的正方体1BCD-AB,CD中，E,F分别为4D,B,C的中点 D E B A1 D B (1)求证：平面MBE/平面BDF: 第7页共8页 学习，在坚持中成长」在成长中坚持！ 日积月累：每天进步一点点」 (2)求平面AB,E与平面BD,F之间的距离。 第8页共8页