8.6.2直线与平面垂直（二） 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

讲课人: 日期: 8.6.2 直线与平面垂直(二) 学习目标 学习目标 核心素养 1.掌握直线与平面垂直的性质定理,并能运用其解决相关问题. 数学抽象 2.理解直线到平面的距离以及两平行平面的 距离定义. 直观想象 复习回顾 类 比 线面平行 线线平行 线面垂直 ? 性质定理 a b a 定义: 异 面 平 行 √ 定义: 与平面内任意直线垂直 如图5 . 31, 在直角坐标系内,设任意角 的 终边与单位圆交于点P1 . (1) 作 P1 关于原点的对称点 P2 , 以 。P2 为 终边的角 与角 有什么关系? 角 , 的三角函 数值之间有什么关系? (2) 如果作P1 关于x 轴(或S轴) 的对称点 P3 (或 P4 ), 那么又可以得到什么结论? 新课引入 路面上的马路栏杆、电线杆和路面是垂直关系,观察并思考,你还能得到什么样的位置关系? 探索新知 知识点1:直线与平面垂直的性质定理 平行 一定平行 探索新知 问题2:已知直线a⊥ 、b⊥ ,那么直线a、b一定平行吗?如何证明? a b' 记直线b∩ =O,则可过O作b′∥a. 证明:假设a与b不平行. ∴a⊥c,b⊥c,又∵b′∥a,∴b′⊥c. 这样在平面 内过点O有两条直线b和b′都垂直直线c , 显然不可能 ∵a⊥ , b⊥ ∴a∥b. 直线b与b′确定平面 , 设 ∩ =c O 已知:a⊥ ,b⊥ ,b∩ =O.证明a∥b. c b b 1.否定结论 2.正确推理 3.导出矛盾肯定结论 反证法 探索新知 问题: 你能叙述出直线与平面垂直的性质定理? 直线与平面垂直的性质定理 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 性质定理的应用:可以由两条直线与一个平面垂直判定这两条直线互相平行 符号语言: 若a⊥ ,b⊥ ,则a∥b. a b 图形语言: 探索新知 思考:若直线a垂直于平面 的一条垂线,则直线a与平面 一定平行吗? 不一定,还可能在平面内. 思考:在a⊥ 的条件下,如果平面 外的直线b与直线a垂直,能得到什么结论? 思考:在a⊥ 的条件下,如果平面 与平面 平行,又能得到什么结论? 探索新知 1、如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC,求证:MN∥AD1. 证明:因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1 探索新知 证明线线平行的方法: 1.平行公理:若a∥b,b∥c,则a∥c; 2.平行四边形的性质; 3.三角形中位线性质; 4.线面平行的性质: 6.面面平行的性质:已知 ,则 . 5.线面垂直的性质: 探索新知 问题: 在空间中点到平面的距离是如何定义的? 过平面 外一点A向平面 引垂线,则点A和垂足B之间的距离叫做点A到平面 的距离. 问题: 如图,若直线与平面平行,则直线上的点到平面的距离有何关系?你能给出证明吗? 相等 探索新知 例5 直线l平行于平面 .求证:直线l上各点到平面 的距离相等. 证明:过直线l上任意两点A,B,分别作平面 的 垂线AA1,BB1,垂足分别为A1,B1. 由直线和平面垂直的性质定理可知AA1∥BB1. 设AA1和BB1确定的平面为 ,易知 ∩ =A1B1. ∵l∥ , ∴ l∥A1B1. ∴四边形AA1B1B为平行四边形(矩形). ∴AA1=BB1 . 探索新知 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 知识点2:直线与平面的距离 一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离. a 在棱柱、棱台的体积公式中,它们的高就是它们的上、下底面间的距离. 探索新知 2、在长方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别为C1D1 ,AB的中点,AB=4,则MN与平面BCC1B1的距离为( ) A.4 B. C.2 D. 如图,MN//BC1,又BC1⊂平面BCC1B1,MN//平面BCC1B1. ∴MN与平面BCC1B1的距离为N到面BCC1B1的距离.又N到平面BCC1B1的距离为NB= AB=2. C 探索新知 例6:推导棱台的体积公式 ,其中S',S分别是棱台的上、下底面积,h是高. V棱台 解:延长棱台各侧棱交于点P,得到截得棱台的棱锥.过点P作棱台的下底面的垂线,分别与棱台的上、下底面交于点O',O ,则PO垂直于棱台的上底面,从而O'O=h. P O 设截得棱台的棱锥的体积为V,去掉的棱锥的体积为V'、高为h', 则PO'=h',于是 由棱台的上、下底面平行,可以证明棱台的上、下底面相似,并且 所以棱台的体积 所以 ① 代入① ,得 V棱台 V棱台 课堂小结 课堂检测 C 课堂检测 AD 课堂检测 课堂检测 课堂检测 课堂检测 课后作业 课本第155页课后习题(15分钟) 分层作业基础练(20分钟) 希望同学们:好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人: 日期: 1、知识体系构建 线线垂直 线面垂直 2、线面垂直的性质 直线和平面垂直的性质定理: 。 思想方法:类比思想,转化思想 $