期中考前满分冲刺之中等易错题-2025-2026学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

期中考前满分冲刺之中等易错题 【专题过关】 类型一、实数比较大小(选、填) 1．下列实数中，最小的是（    ） A． B． C． D． 2．比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各数中比大的数是（   ） A． B． C． D． 4．比较大小：_____．（填“”“”或“”）． 5．比较大小：________．（填“”“”或“”） 6．比较大小：________．（填“”“”或“”） 类型二、实数的非负性与数轴化简(选、填) 1．已知与互为相反数，那么的值为（    ） A． B．1 C． D． 2．若为实数，且，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果等于（   ） A．0 B． C． D． 4．若x，y都是实数，且，则的值是________． 5．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简________． 6．如图，实数，，在数轴上对应点的位置，化简的结果为________． 类型三、相交线的计算(选、填、解) 1．如图，直线，交于点O．射线平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图：直线，相交于点O，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点O在直线上，，且平分，．则________． 4．如图，直线、相交于点，，平分，若，则的度数为_______． 5．如图，直线与相交于点O，平分． (1)如果，求的度数； (2)若平分，与垂直吗？请说明理由． 6．如图，直线，相交于点，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 类型四、平行线的性质求解(选、填、解) 1．如图，交于点，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线n交于点D．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为___________． 4．已知直线，将一块含角的直角三角板，按如图方式放置，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若，则的度数为______ 5．如图，，直线分别交、于点、，分别平分和．求的度数． 6．如图，点D、E、F、G均在的边上，连接、、，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，，求的度数． 类型五、平行线的判定(含添加条件)(选、填、解) 1．如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能判断直线的有（   ） A．②③④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②④ 2．如图，能判断的条件是（   ） A． B． C． D． 3．如图，，下列推理正确的是_______（填编号）． ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 4．如图，在下列条件中：①；②；③且；④，能判定的序号是_____． 5．如图，已知，于点H，． (1)求证：； (2)连接，若，且，求的度数． 6．如图，在四边形中，E是延长线的一点，连接交于点F，若． (1)求证：； (2)若，求的度数． 类型六、估算无理数(选、填、解) 1．估计的大小应在（   ） A．8.5与9.0之间 B．8.0与8.5之间 C．7与8之间 D．9与10之间 2．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 3．若，其中为正整数，则______． 4．的值介于整数4和5之间，则整数的值可以是______． 5．阅读与思考：请仔细阅读，并完成相应任务． 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若是的最初近似值，则的二级近似值，的三级近似值 例如：，4，6最接近， 的最初近似值为， 的二级近似值为， 的三级近似值为． 任务： (1)的最初近似值是_______；二级近似值是_______ (2)若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 6．【阅读理解】我们都知道，是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完整地写出来，于是有同学用来表示的小数部分，这个方法是因为，所以的整数部分是1，而对于任意一个正实数，用这个数减去它的整数部分，所得的差就是它的小数部分，所以可以用来表示的小数部分． 再比如，我们要估算一个体积为的正方体魔方的棱长： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据上面问题的思路与方法，解决下列问题： (1)的整数部分是___________，小数部分是___________；的整数部分是___________． 【类比应用】 (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； 【思维拓展】 (3)如图，已知直线，，，射线BM，DN的反向延长线交于点F，若，且x、y分别为和的整数部分，求出m的值． 类型七、平移的阴影面积(选、填、解) 1．如图，将沿着点B到点C的方向平移到的位置，已知，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．19 B．18 C．16 D．15 2．有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．某公园形如长方形 ，长为 30，宽为 20 ．该公园中有 3 条宽均为 3 的小路，其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为_____ 4．如图，某住宅小区内有一块长方形空地，想在长方形空地内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为，则两条小路的总面积是____． 5．在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 6．白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 类型八、新定义运算(选、填、解) 1．对任意两个实数定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，,．那么等于（    ） A． B．3 C． D．2 2．对于实数a，b，定义运算：， 如：，照此定义的运算方式计算的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 3．对于正实数a，b作新定义：，在此定义下，若，则x的值为_____． 4．对于任意两个正实数，，定义运算“☆”：．如：．根据定义可得______． 5．定义一种新运算“”： ； ； ； 观察上述各式的运算方法，解答下列问题： (1)请按照以上新运算“”的运算方法，写出的运算表达式； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 6．观察下列各式：定义一种新运算“”： ，， ，， ，…… (1)写出一般性结论： ； (2)计算： (3)若．求的值． 类型九、实数中的规律问题(选、填、解) 1．已知：，，则（   ） A．0.1536 B．0.01536 C．0.04858 D．0.4858 2．小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 3．如果，，那么______． 4．已知：，则___________．（精确到0．01） 5．为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 6．观察下表： 0．0001 1 100 10000 1 10 100 (1)由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的_______________的小数点就相应的向左或向右移动____位； (2)根据你发现的规律填空：①已知． 则___________，___________； ②若，则___________； (3)拓展提升：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动____位； ①已知，则___________； ②已知，则___________． 类型十、二元一次方程组的解求参—选考(选、填、解) 1．已知关于x、y的方程组的解满足，则a的值为（   ） A． B．2 C． D．1 2．已知关于，的方程组以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 3．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为________． 4．在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 5．已知关于x，y的二元一次方程组 (1)求该方程组的解（用含a的式子表示） (2)若x与y互为相反数，求a的值． 6．已知关于，的二元一次方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之中等易错题 【专题过关】 类型一、实数比较大小(选、填) 1．下列实数中，最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简各选项，再根据实数大小比较规则：负数小于一切正数，即可判断出最小的数． 【详解】解：分别化简各选项得： ∵ ，，，三个数均为正数，仅是负数， 又∵负数小于一切正数， ∴是四个数中最小的数． 2．比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方根、立方根的性质，再结合不等式的性质求解即可． 【详解】解：A：∵，∴，A正确； B：∵，∴， 不等式两边同除以2得，， 所以B选项的不等式错误； C：∵，∴， 不等式两边同除以2得，C正确； D：∵，∴，D正确． 3．下列各数中比大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算各选项值的绝对值，再通过“负数比较大小，绝对值越小，数越大”的性质即可解题． 【详解】解：先计算各选项数值的绝对值：，，，， 由于负数比较大小，绝对值越小，数越大，且， ∴， ∴比大的数是． 4．比较大小：_____．（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】利用作差法比较两个数的大小，通过平方比较无理数的大小，进而得到答案． 【详解】解：计算两个数的差得， ，且， ， 则，即， ． 5．比较大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】利用两个负数比较大小，绝对值大的反而小，先比较两个数绝对值的大小，即可判断结果． 【详解】解：，， 又，即， ． 6．比较大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】> 【分析】两个负数比较大小，先计算两个数的绝对值，再比较绝对值的大小，根据负数比较大小的法则即可得到结果． 【详解】解：，， 分别对两个绝对值平方得：，， 因为，所以，即， ∴． 类型二、实数的非负性与数轴化简(选、填) 1．已知与互为相反数，那么的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用互为相反数的两数和为0，列出等式，再根据非负数的性质求出a和b的值，代入计算得到结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 又∵算术平方根和绝对值都是非负数，即，， ∴，， 解得，， ∴． 2．若为实数，且，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由绝对值和算术平方根的非负性质得出，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵为实数，且， ∴，， ∴，， ∴． 3．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果等于（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴判断的取值范围，再根据二次根式的性质化简可得． 【详解】解：由数轴可得：，， 则，， 则． 4．若x，y都是实数，且，则的值是________． 【答案】5 【分析】根据算术平方根的非负性，两个非负数的和为时，每一个非负数都为，据此求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，， 解得：，， 将，代入得： ． 5．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简________． 【答案】 【分析】根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，再进行化简，计算即可. 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， ∴原式. 6．如图，实数，，在数轴上对应点的位置，化简的结果为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可得，则，据此计算算术平方根，立方根和绝对值，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 类型三、相交线的计算(选、填、解) 1．如图，直线，交于点O．射线平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等求出，再根据角平分线的定义计算即可． 【详解】解：∵， ， 平分， ． 2．如图：直线，相交于点O，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对顶角相等和邻补角的定义得出，，再根据角平分的定义得出，再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 3．如图，点O在直线上，，且平分，．则________． 【答案】65 【分析】根据角平分线的定义和垂线的定义求出和的度数，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，直线、相交于点，，平分，若，则的度数为_______． 【答案】60 【分析】根据已知可设，，从而可得，然后根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，从而列出关于x的方程，进行计算可求出，最后利用对顶角相等，即可解答． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分​， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 5．如图，直线与相交于点O，平分． (1)如果，求的度数； (2)若平分，与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)垂直，理由见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，再根据邻补角的定义可得； （2）根据角平分线的定义可得，再根据邻补角的定义可得． 【详解】（1）解：平分，， ， 又， ； （2）解：垂直，理由如下， 平分，平分， ， 又， ， ， ． 6．如图，直线，相交于点，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义可得； （2）根据垂直定义可得，从而利用平角定义求出，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 类型四、平行线的性质求解(选、填、解) 1．如图，交于点，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，结合角平分线的定义可得，进而即可求解 【详解】解：， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 2．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线n交于点D．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在左边作，由三角板可得，，根据拐点模型得到求出，再根据计算即可． 【详解】解：在左边作， 由三角板可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为___________． 【答案】/度 【分析】过C作，根据平行线的判定与性质可求出，，然后根据求解即可． 【详解】解：过C作， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．已知直线，将一块含角的直角三角板，按如图方式放置，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若，则的度数为______ 【答案】/48度 【分析】根据直角三角板得到，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵是直角三角板， ， ， ． 5．如图，，直线分别交、于点、，分别平分和．求的度数． 【答案】 【分析】过点P作，则，根据平行线的性质可得，，由角平分线的定义可得，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴； ∵分别平分和， ∴， ∴ ． 6．如图，点D、E、F、G均在的边上，连接、、，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质和等量关系可得； （2）根据平行线的性质可得，根据角平分线的性质可求，再根据角平分线的性质可求． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， 平分， ． 类型五、平行线的判定(含添加条件)(选、填、解) 1．如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能判断直线的有（   ） A．②③④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】根据平行线的判断方法，可以判断出各个小题中的条件是否可以得到直线，从而可以解答本题． 【详解】解：当时，无法判断，故①不符合题意； ∵，∴，故②符合题意； 当时，无法判断，故③不符合题意； ∵，∴，故④符合题意； ∵，∴，故⑤符合题意． 2．如图，能判断的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三线八角的位置关系，判断各选项中的角是否为同旁内角或内错角，从而确定能否判定． 【详解】解：由图可知，被两条直线所截， 选项A:的对顶角与的对顶角是被直线所截所形成的同旁内角，由不能判定； 选项B:的对顶角与的对顶角是被直线所截所形成的同旁内角，由可得同旁内角互补，，符合题意 选项C:与不是被直线所截所形成同位角、内错角或同旁内角的关系，不能判定； 选项D:与不是被直线所截所形成同位角、内错角或同旁内角的关系，不能判定； 故选：B． 3．如图，，下列推理正确的是_______（填编号）． ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 【答案】②④/④② 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：由，不能判定，故①不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 由，，不能判定，故③不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故④符合题意； 综上，推理正确的是②④． 4．如图，在下列条件中：①；②；③且；④，能判定的序号是_____． 【答案】③ 【分析】根据平行线的判定定理，需逐一分析每个条件，即可解答． 【详解】①与是直线、被直线所截形成的内错角．根据内错角相等，两直线平行，可推出，不能推出． ②这两个角是四边形的一对角，虽相等但无法直接推出任何一组对边平行，不能判定． ③已知，，则：即．与是直线、被直线所截形成的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可推出，符合要求． ④这两个角是直线、被直线所截形成的同旁内角．根据同旁内角互补，两直线平行，可推出，不能推出． 综上所述，能判定的序号是③ 5．如图，已知，于点H，． (1)求证：； (2)连接，若，且，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由内错角相等，两直线平行，再由平行线的性质得，即可得证； （2）由平行线的性质得，可得，由 平行线的性质得，进行求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 解得， ． 6．如图，在四边形中，E是延长线的一点，连接交于点F，若． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，得出，再根据平行线的判定方法进行求解即可； （2）由平行线的性质可得，根据，得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴, ∴． （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴． 类型六、估算无理数(选、填、解) 1．估计的大小应在（   ） A．8.5与9.0之间 B．8.0与8.5之间 C．7与8之间 D．9与10之间 【答案】A 【分析】先找到所求的无理数在哪两个和它接近的有理数之间，然后判断出所求的无理数的范围． 【详解】解：∵， ∴，排除C和D， 又∵， ∴的大小应在8.5与9.0之间． 2．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】D 【分析】使用夹逼法，找到与31相邻的两个完全平方数，即可确定的范围． 【详解】解：∵，，且． ∴，即 ． 故的值在5和6之间． 3．若，其中为正整数，则______． 【答案】 【分析】先估算，再结合，为正整数，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，为正整数， ∴． 4．的值介于整数4和5之间，则整数的值可以是______． 【答案】18（答案不唯一） 【分析】由可得，再确定整数即可． 【详解】解：根据题意知：， ∴， ∵是整数， ∴可以取18（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了算术平方根，求出的取值范围是解答本题的关键． 5．阅读与思考：请仔细阅读，并完成相应任务． 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若是的最初近似值，则的二级近似值，的三级近似值 例如：，4，6最接近， 的最初近似值为， 的二级近似值为， 的三级近似值为． 任务： (1)的最初近似值是_______；二级近似值是_______ (2)若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （2）设，进而求出，根据公式代入即可求值． 【详解】（1）解：，与最接近， 的最初近似值为； 的二级近似值是； （2）解：设， 最初近似值， 得， 二级近似值， 解得，． 6．【阅读理解】我们都知道，是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完整地写出来，于是有同学用来表示的小数部分，这个方法是因为，所以的整数部分是1，而对于任意一个正实数，用这个数减去它的整数部分，所得的差就是它的小数部分，所以可以用来表示的小数部分． 再比如，我们要估算一个体积为的正方体魔方的棱长： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据上面问题的思路与方法，解决下列问题： (1)的整数部分是___________，小数部分是___________；的整数部分是___________． 【类比应用】 (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； 【思维拓展】 (3)如图，已知直线，，，射线BM，DN的反向延长线交于点F，若，且x、y分别为和的整数部分，求出m的值． 【答案】(1)3，，3 (2)0 (3)3 【分析】（1）根据[阅读理解]的方法求解即可； （2）根据[阅读理解]的方法求出a、b的值，然后代入计算即可； （3）同（1）求出，，则，设，，则，，如图，过F作，过C作，根据平行线的判定与性质可得出，，则，即可求解． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是3，的小数部分是； ，即， 的整数部分为3； （2）解：，即， 的整数部分是2，的小数部分； ，即， 的整数部分， ∴； （3）解：∵x、y分别为和的整数部分， ∴同法可求，， ∵， ∴， ∵，， ∴可设，，则，， 如图，过F作，过C作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可求， ∴， 整理得， 又， ∴． 类型七、平移的阴影面积(选、填、解) 1．如图，将沿着点B到点C的方向平移到的位置，已知，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．19 B．18 C．16 D．15 【答案】D 【分析】由平移的性质可得，，易得，再说明，最后运用梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵将沿着点B到点C的方向平移到的位置，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即选项D符合题意． 2．有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据小路的左边线向右平移就是它的右边线，可得路的宽度是米，根据平移，可把路移到左边，再根据长方形的面积公式，可得答案． 【详解】解：由平移可知， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， ∴四条小路面积大小一样． 3．某公园形如长方形 ，长为 30，宽为 20 ．该公园中有 3 条宽均为 3 的小路，其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为_____ 【答案】 【分析】由图形可知，利用平移法即可求解． 【详解】解：该公园种小草的部分可拼成一个长为，宽为的长方形， 则该公园小草的面积 ． 4．如图，某住宅小区内有一块长方形空地，想在长方形空地内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为，则两条小路的总面积是____． 【答案】96 【分析】将小路平移后绿化部分即是长，宽的长方形，再利用长方形空地的面积减去绿化部分的面积求解即可． 【详解】解析：解：根据题意，得， 故答案为：96． 5．在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)草地的面积为．理由见解析 【分析】本题考查了图形的平移，长方形面积的计算，掌握通过平移转化图形，将不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． （1）模仿图②的折线形式，设计一条有两个折点的折线，向右平移1个单位后连接端点，形成封闭图形； （2）剩余面积为大长方形面积减去阴影面积，阴影部分可通过平移转化为宽为，长为的长方形，面积为 b，因此剩余面积均为； （3）用平移法将小路左侧的草地向右平移个单位，拼成新的长方形，计算新长方形的面积即为草地面积． 【详解】（1）解：（答案不唯一）如图所示． （2）解：大长方形面积：都是； 阴影面积：不管形状怎么变，水平宽度始终是，长是，所以阴影面积都是； 剩余面积：大长方形面积−阴影面积； ∴． 故答案为：；   ； ． （3）解：草地的面积为． 理由：把“小路”沿着左右两条边线“剪去”，将左侧的草地向右平移个单位长度， 得到一个新长方形，它的长为，宽为，故其面积是． 6．白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形的平移变换在面积与长度计算中的应用，熟练掌握平移的性质（平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，能将不规则图形转化为规则图形 ）是解题的关键． （1）通过平移的思想，把小路平移后，草地可拼成一个新的长方形，利用长方形面积公式计算． （2）同样用平移，将两条小路平移到边缘，得到新长方形，再算面积． （3）把横向和纵向的小路长度分别分析，横向长度是长方形的长，纵向长度通过计算得出，再求和． 【详解】（1）解：把平行四边形小路平移，使草地部分拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 , ∴草地的面积为； （2）解：将两条小路分别平移到长方形空地的边缘，此时草地拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 ∴草地的面积为； （3）解：横向路线长度为长方形的长；纵向路线长度，把纵向部分平移后，相当于个 ． 路线总长 ∴所走的路线（图中虚线）长为 类型八、新定义运算(选、填、解) 1．对任意两个实数定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，,．那么等于（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，以及实数运算，直接利用已知运算公式进而分析得出答案． 【详解】解： ． 故选：C． 2．对于实数a，b，定义运算：， 如：，照此定义的运算方式计算的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据定义的运算方式进行计算即可． 【详解】解：根据题意可得， ． 故选：B． 【点睛】此题考查了实数新定义运算，读懂题意，正确计算是解题的关键． 3．对于正实数a，b作新定义：，在此定义下，若，则x的值为_____． 【答案】16 【分析】根据对，的新定义，可把，变形为，求出x的值即可． 【详解】解：∵， 原方程变形为：， 整理得，， ． 故答案为：． 【点睛】本题是一道新定义的题目，解题的关键是根据题目中给出的信息列出关于x的方程，难度不大． 4．对于任意两个正实数，，定义运算“☆”：．如：．根据定义可得______． 【答案】5 【分析】将8和9替换定义中的a和b即可计算． 【详解】解：由题意得： 8☆9=+=2+3=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，将数据代入新定义的式子中即可． 5．定义一种新运算“”： ； ； ； 观察上述各式的运算方法，解答下列问题： (1)请按照以上新运算“”的运算方法，写出的运算表达式； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义的运算，解一元一次方程，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据新运算的运算方法即可求解； （2）根据新运算的运算方法得到关于的一元一次方程，解方程即可求解； （3）根据新运算的运算方法得到，化简，代入计算即可求解； 【详解】（1）解：由题意可得， 则； （2）解： ， 则， 解得； （3）解：， ． 6．观察下列各式：定义一种新运算“”： ，， ，， ，…… (1)写出一般性结论： ； (2)计算： (3)若．求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过观察发现规律，写出一般性结论； （2）利用（1）结论，先将中括号里面的运算化为平常算式计算，再与后面的计算，同样化为平常算式计算即可； （3）先利用（1）的结论得出，再将待求式子化简后，适当变形，再整体代入求值． 【详解】（1）解：，， ，， ，… ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了有理数四则混合运算，新定义下的实数运算，已知式子的值求代数式的值，数字类规律探索，整式的加减运算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 类型九、实数中的规律问题(选、填、解) 1．已知：，，则（   ） A．0.1536 B．0.01536 C．0.04858 D．0.4858 【答案】A 【分析】利用积的算术平方根性质，将待求根式转化为已知值的根式，即可求出结果． 【详解】， ． 2．小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 【答案】D 【分析】根据表格数据可总结得到：被开方数的小数点每向某一方向移动三位，立方根的小数点就向同一方向移动一位，找出规律即可解题. 【详解】解：根据表格数据可得规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向某一方向移动三位，相应的立方根的小数点就向同一方向移动一位； ∵，且是将的小数点向右移动三位得到， ∴需要将的小数点向右移动一位，即. 3．如果，，那么______． 【答案】                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  【分析】本题主要考查立方根的性质，通过观察0.0237与23.7的关系，利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：由已知条件，，且，根据立方根的性质得： 故答案为：0.2872． 4．已知：，则___________．（精确到0．01） 【答案】 【分析】利用积的算术平方根的性质将变形为与已知相关的形式，再计算结果并按要求取近似值． 【详解】解：∵， ∴． 5．为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 【答案】（1）0.1  10 （2）①22.36  ② （3）规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 【分析】本题考查了算术平方根的小数点移动规律，熟练掌握平方根的运算是解题的关键； （1）根据算术平方根的定义计算出x、y的值； （2）根据从表格中得出的规律得出的值和a与b的关系； （3）简单概括观察得到的规律． 【详解】（1）解：由表格可知：，， 则， ． （2）解：①∵，500是5扩大100倍得到的； ∴是的10倍； ∴； ②∵264.6是2.646的100倍 ∴b是a扩大10000倍得到的 ∴． （3）解：观察表格以及前两问的计算可得：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 6．观察下表： 0．0001 1 100 10000 1 10 100 (1)由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的_______________的小数点就相应的向左或向右移动____位； (2)根据你发现的规律填空：①已知． 则___________，___________； ②若，则___________； (3)拓展提升：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动____位； ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)2，算术平方根，1 (2)①；；② (3)3，1；①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）①利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案；②利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解；②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解：由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向左或向右移动1位； 故答案为：2，算术平方根，1 （2）解：①∵． ∴，； 故答案为：； ②∵， ∴； 故答案为： （3）解：被开方数的小数点向左或向右每移动3位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动1位； 故答案为：3；1 ①∵， ∴； 故答案为： ②∵， ∴． 故答案为： 类型十、二元一次方程组的解求参—选考(选、填、解) 1．已知关于x、y的方程组的解满足，则a的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】用加减消元法将两方程相减，并化简，又与已知条件相结合，得到关系，求解即可． 【详解】解：将方程组上面的方程减下面的方程得：， 化简得， 又因为， 所以， 解得． 2．已知关于，的方程组以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及含参方程组的解与参数的关系，解题的关键是先用加减消元法求出．将代 入各选项的条件中，转化为关于的方程或判断是 否与的值有关，逐一验证即可得出结论． 【详解】解：解方程组， ①②得， 把代入①得：， 方程组的解为， ①当时，方程组的解为， 代入得，满足方程，故①正确； ②若则， 整理得，解得，存在实数满足条件，故②正确； ③计算， 结果为常数，与无 关，故不论取何值，的值始终不变，故③正确； ④若，则, 整理得，解得，故④错误； 综上，正确结论为①②③. 3．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为________． 【答案】 【分析】将看作已知数求出方程组的解与，代入中计算即可得到的值． 【详解】解：， ①+②得：，即， 将代入①得：，即， 将，代入得： 解得：． 4．在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 【答案】 【分析】甲看错方程组中的，其得到的解满足方程组，代入求解可求出，乙看错方程组中的，其得到的解满足原方程，据此求出，最后计算的值即可． 【详解】解：∵甲求得的解是方程组的解， ∴将代入方程组得：， 解得； ∵乙看错了方程组中的，求得的解满足原方程， ∴将，代入得：， 解得：， ∴． 5．已知关于x，y的二元一次方程组 (1)求该方程组的解（用含a的式子表示） (2)若x与y互为相反数，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法求解即可； （2）根据互为相反数相加得零列式求解即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， 把代入①，得 解得， ∴； （2）解：∵x与y互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得． 6．已知关于，的二元一次方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）先将方程变形为，再根据、为正整数的条件，确定的取值范围，进而得到对应的值． （2）可将与原方程组中的组成新的方程组，先求出、的值，再将、的值代入含的方程中，求解． 【详解】（1）将方程变形为 ， 因为、是正整数，所以，即， 因为是正整数， ∴或； 当时，； 当时，； 因此所有正整数解为： ，； （2）由题意，方程组的解满足， 联立得： ， 由得， 代入，解得，． 将，代入方程，得 ， 解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $