期中考前满分冲刺之中等易错题-2025-2026学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

期中考前满分冲刺之中等易错题 【专题过关】 类型一、矩形的性质求解(选、填) 1．如图，在矩形中，连接，，，，则的长为（   ） A．8 B． C．4 D． 2．如图，矩形的对角线，相交于点，于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．矩形中，，，P为边上的一点，沿直线将翻折至（点A落到点E处）．如图与相交于点O，且，则的长为（   ） A． B． C．1 D． 4．如图，在矩形中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接．若，则的长为_____． 5．如图，矩形纸片，，，为边上一点．将沿所在的直线折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，取的中点，连接，则___________． 6．如图，在矩形中，，，为线段上一个动点，过作，垂足为，连接，取的中点，连接，则线段的最小值为______． 类型二、菱形的性质求解(选、填) 1．如图，菱形中，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点F，然后分别以点，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点E，若，则的长为（   ） A． B． C．5 D．10 3．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A．48 B．60 C．72 D．96 4．将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点依次在同一直线上，连结，已知，四边形是菱形，那么的长为_________． 5．如图，在菱形中，，点为上一点，为上一点，连接，，，若，，则的度数为______． 6．如图，在菱形中，，，是边上任意一点，为边上一动点，连接、，、分别为，的中点，则的最小值是____________． 类型三、正方形的性质求解(选、填) 1．如图，在长方形中，，，、交于点，四边形是正方形．若长度已知．则只需要知道以下哪个长方形的周长（    ），就能求出图中阴影部分面积． A．长方形 B．长方形 C．长方形 D．长方形 2．如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接、，的延长线交于点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，点M为正方形内一点，且满足，连接，过点A作交的延长线于点N，连接，若，，则的长为（） A． B． C．2 D． 4．如图，正方形的边长为6，点E、F分别在上，若，且，则的长为________． 5．如图，M是正方形内一点，于点M，于点N，且N是中点，连接，若，则_______． 6．如图，在边长为6的正方形中，，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为_____． 类型四、赵爽弦图(选、填) 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 2．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 3．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（   ） A． B． C． D． 4．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图所示的长方形由两个这样的图形拼成，若，，则长方形的面积为________． 5．第14届数学教育大会（）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则直角的面积为________． 6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形的面积是90，，则正方形的面积是_____． 类型五、二次根式在数轴上的化简(选、填) 1．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值是（    ） A． B． C．0 D．1 3．如图，实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 4．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简______． 5．已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：______． 6．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简______． 类型六、二次根式中的程序问题(选、填) 1．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 2．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64的平方根时，输出的值的个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的t值为（   ） A． B． C．6 D．41 4．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是_______． 5．按如图所示的程序计算，若开始输入n的值为，则最后输出的结果是______．    6．根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是时，则输出的y值等于________． 类型七、二次根式中的新定义运算(选、填) 1．对于任意两个不相等的正实数、，定义运算“”：，如，那么等于（ ） A． B． C． D． 2．已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 3．对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 4．定义一种新运算：，则的运算结果是_____． 5．对于任意两个不相等的正实数，，定义一种新运算“”，即，如，则______． 6．对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，例： ，按照这种运算方法，则______ ． 类型八、勾股定理的应用(含列方程)(选、填、解) 1．《算法统宗》中有一道题目，大致意思是：“昨天量了田地回到家里，记得长方形田的长为30步，宽及其对角线之和为50步，求该田有多少亩．”若设长方形田的宽为x步，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（   ） A． B． C． D． 3．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部尺远．问：原处还有多高的竹子？（丈尺）设竹子折断处离地面尺．可列方程______． 4．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口一个半小时后分别位于、处，此时两艘轮船相距________． 5．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上小亮拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变，其中米，米．回答下列问题： (1)若米，求小亮需向右移动的距离；（结果保留根号） (2)若小亮以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，他能否在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置； (3)在（2）的条件下，若小亮收绳t秒后，小船到F的距离刚好等于所收绳长，求t的值． 6．如图，已知一架梯子斜靠在墙角处，竹梯，梯子底端离墙角的距离． (1)求这个梯子顶端A距地面有多高； (2)如果梯子的顶端A下滑到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离吗？为什么？ 类型九、勾股定理的证明与逆定理应用(解) 1．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (3)如图3，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，求的长． 2．千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和如图放置，其三边长分别为，显然． 请用a，b，c分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 3．勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 4．某校有一块如图所示的四边形空地，为迎接国庆节的到来，学校欲在此地种满鲜花．已知鲜花的费用为100元/，．请你算出学校应付费用多少元？ 5．如图，有一台风以沿东西方向由点A向点B移动，且台风中心周围以内为受影响区域．已知点C为一海港，且． (1)求证：． (2)海港C会受台风影响吗？若会受到影响，请计算海港C受台风影响的时长． 6．由四条线段、、、所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量，、、、． (1)求这块四边形空地的面积； (2)现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？ 类型十、网格作图与尺规作图(解) 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，线段和的端点、、、均在小正方形的顶点上． (1)画出以为一边且面积为的，顶点必须在小正方形的顶点上； (2)画出一个以为一条直角边的等腰直角，点在小正方形的顶点上；连接并直接写出线段的长． 2．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个斜边为的直角三角形； (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为，，； (3)判断（2）中所画三角形的形状，并说明理由． 3．在由的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中的射线上取点D，使． (2)在图2中的边上取点E，使． 4．如图，在中，，，，点D为中点，连接． (1)尺规作图：试确定一点E，使得四边形为菱形；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的前提下，求菱形的周长与面积． 5．如图，在等腰中，，点D在的延长线上，且平分，过点A作于点F． (1)请用无刻度的直尺和圆规，过点F作的平行线交于点G（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，猜想四边形的形状，并给出证明． 6．如图，在中，． (1)尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，将中线绕点旋转得到，连接，．求证：四边形是菱形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之中等易错题 【专题过关】 类型一、矩形的性质求解(选、填) 1．如图，在矩形中，连接，，，，则的长为（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】设交于点，易得为等边三角形，进而得到，即可得出结果. 【详解】解：设交于点， ∵矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴. 2．如图，矩形的对角线，相交于点，于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，等边对等角，结合三角形的外角的性质，求出的度数，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．矩形中，，，P为边上的一点，沿直线将翻折至（点A落到点E处）．如图与相交于点O，且，则的长为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据矩形与折叠可证，，，得到，设，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：矩形中，，， ，，， 由折叠的性质可知，，，， 在和中， ， ， ，， ， 设，则， ，， 在中，， ， 解得：，即的长为． 4．如图，在矩形中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】先根据画图过程得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，设，则，，在中，由勾股定理求出即可． 【详解】解：根据画图过程得到垂直平分， ， 矩形， ， 设，则，， 由勾股定理得， 故， 解得， 故． 5．如图，矩形纸片，，，为边上一点．将沿所在的直线折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，取的中点，连接，则___________． 【答案】 【分析】连接，求出，利用三角形的中位线定理解决问题即可． 【详解】解：如图所示连接， 由翻折的性质可知，垂直平分线段， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵N是的中点，M是的中点， ∴是的中位线， ∴． 6．如图，在矩形中，，，为线段上一个动点，过作，垂足为，连接，取的中点，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】延长至F，使得，连接，可得垂直平分，得，得，得点F在射线上运动，当时，最短，为 , 根据三角形中位线性质得即可． 【详解】解：延长至F，使得，连接，如图: ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴点F在与成角的射线上运动， ∴当时，最短， 此时，， ∴， ∵， ∴, ∵E是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴, 故线段的最小值为． 类型二、菱形的性质求解(选、填) 1．如图，菱形中，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质得出，，再利用等腰三角形性质通过计算出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 2．如图，在平行四边形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点F，然后分别以点，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点E，若，则的长为（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】连接，根据尺规作图可得，平分，证明是菱形可得，再运用勾股定理可得，进而可求出的长． 【详解】解：如图所示：连接，交于点O， 由题中作图可知：，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 3．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A．48 B．60 C．72 D．96 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得到，求出，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到，再根据菱形的面积进行计算即可． 【详解】解：菱形， ， ， ， ， ， 是的中点， 是斜边上的中线， ， ， ， 菱形的面积为． 4．将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点依次在同一直线上，连结，已知，四边形是菱形，那么的长为_________． 【答案】 18 【分析】根据角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余可求得和，然后根据菱形的性质可知平分，结合三角形外角的性质可推出，最后利用等角对等边和线段的和差即可解答． 【详解】解：由题意可知，在中，，，， ，， 四边形是菱形，点在同一直线上 ，， 平分， ， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在菱形中，，点为上一点，为上一点，连接，，，若，，则的度数为______． 【答案】/55度 【分析】由菱形的性质可得，，证明，得出，由三角形外角的定义及性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 6．如图，在菱形中，，，是边上任意一点，为边上一动点，连接、，、分别为，的中点，则的最小值是____________． 【答案】 【分析】连接，过点D作于G，根据三角形中位线定理，可得，从而得到当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长，在菱形中，得到，则，然后根据勾股定理，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点G， ∵点，分别为，的中点， ∴， ∴当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴的最小值为． 类型三、正方形的性质求解(选、填) 1．如图，在长方形中，，，、交于点，四边形是正方形．若长度已知．则只需要知道以下哪个长方形的周长（    ），就能求出图中阴影部分面积． A．长方形 B．长方形 C．长方形 D．长方形 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正方形的性质，掌握割补法求不规则图形的面积是解题的关键． 连接，根据图形可得，再结合，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， 四边形是长方形，且，， 四边形是长方形， ， ， ，长度已知， 当长方形的周长已知时，可求出阴影部分的面积． 2．如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接、，的延长线交于点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正方形的性质证明，得到；再结合得到等腰三角形的等角关系，设，通过三角形内角和与直角三角形的角度关系列方程求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，． ∵在和中， ， ∴（）． ∴． 设，则． ∵， ∴． ∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵在中，， ∴． ∴， ∴，即． 3．如图，点M为正方形内一点，且满足，连接，过点A作交的延长线于点N，连接，若，，则的长为（） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】作于点E，作于点F，证明得，．由三线合一得，，求出，可证，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作于点E，作于点F， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴，． ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 4．如图，正方形的边长为6，点E、F分别在上，若，且，则的长为________． 【答案】 【分析】延长至G，使得，连接，先根据正方形的性质证明，可得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据勾股定理求出，即可得出，接下来设，则，，再结合可得方程，求出解，进而求出，最后根据勾股定理求出答案． 【详解】解：如图，延长至G，使得，连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则，， ∴， ∴， 解得， 即， ∴， ∴， ∴． 5．如图，M是正方形内一点，于点M，于点N，且N是中点，连接，若，则_______． 【答案】 【分析】过点作于点，可得四边形为矩形，则，证明，则，，而由中点可得，则，可得为等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵正方形是正方形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴，， ∵N是中点， ∴ ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 6．如图，在边长为6的正方形中，，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题延长到点，使，连接、、，根据正方形的性质可得，，然后得到，，进而得到，再根据两点之间线段最短，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：延长到点，使，连接、、，如图： ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴由图可得的最小值为， 在中，勾股定理可得， ∵，， 解得：， ∴的最小值为：， 类型四、赵爽弦图(选、填) 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面积公式，逐项推理论证判断即可． 【详解】解：A：∵， 整理得：， ∴此选项不符合题意； B：∵， ∴， ∴此选项不符合题意； C：∵， ∴， ∴此选项不符合题意； D：∵， ∴此选项符合题意. 故选：D. 2．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明， 完全平方公式的应用，三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意由4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积为以为边长的正方形面积减去两个直角三角形的面积，建立方程求解出的值，再利用完全平方公式变形即可解答． 【详解】解：已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10， 根据题意：，， 则， ，， ， （负值舍去），即， 故选：D． 3．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键； 根据两个图形面积相等，列式，即可求解； 【详解】解：根据题意，列式可得：， 故选：A 4．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图所示的长方形由两个这样的图形拼成，若，，则长方形的面积为________． 【答案】30 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据勾股定理，设小正方形的边长为x，在直角三角形中，再建立x的方程即可解答． 【详解】解：如图： 设小正方形的边长为x，则，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴整理得， ∴长方形的面积为： ， 故答案为：30． 5．第14届数学教育大会（）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则直角的面积为________． 【答案】9 【分析】先由勾股定理得，再由完全平方公式得，进而得，再由三角形的面积为，即可得解． 【详解】解：由题意得为直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴直角三角形的面积为． 6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形的面积是90，，则正方形的面积是_____． 【答案】36 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质，理解题意是解题的关键． 根据题意得到，根据正方形的面积是90，结合勾股定理求出的长，得出的长，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的， ∴， ∵大正方形的面积是90， ∴， ∵， ∴， 则， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴正方形的面积是． 故答案为：36． 类型五、二次根式在数轴上的化简(选、填) 1．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴判断出 的正负性及大小关系，进而确定绝对值符号内式子的正负，利用 和 进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴原式 ． 2．表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】先根据数轴判断出，的取值，再根据二次根式的性质和立方根的性质对原式进行化简，最后化简绝对值即可． 【详解】解：根据数轴可知，， 则，，， 则原式． 3．如图，实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴确定的取值范围，判断绝对值符号内代数式及的正负，利用绝对值、立方根和二次根式的性质化简即可. 【详解】解：由数轴可知， ， 原式 ． 故选C． 4．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简______． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据数轴上点的位置信息，二次根式的性质，绝对值化简，立方根的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据数轴上点的位置信息结合运算法则化简运算即可． 【详解】解：由图象可得：，， ∴ 故答案为：． 5．已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出a、b、c的大小并正确运用二次根式和绝对值的性质是解题关键． 根据a、b、c在数轴上的位置，判断出a、b、c的正负情况，继而得出，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值符号，再进行计算即可解答． 【详解】解：由图可知，，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 6．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简______． 【答案】 【分析】本题考查的是实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 根据题意判断出，及b的符号，再把原式进行化简，合并同类项即可． 【详解】解：结合数轴，得，， ，， 故答案为： 类型六、二次根式中的程序问题(选、填) 1．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 2．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64的平方根时，输出的值的个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算、算术平方根、立方根等知识点，理解流程图是解题的关键． 先求出有理数64的平方根，再求出算术平方根，然后根据流程图计算输出结果． 【详解】解：有理数64的平方根是， 的算术平方根为是无理数，则输出， 而没有算术平方根，故不输出， ∴输出的值只有1个， 故选：B． 3．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的t值为（   ） A． B． C．6 D．41 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，根据程序图列出算式是关键，根据程序图把代入计算，即可求解． 【详解】解：把代入计算： 第一次：， 第二次：， 则最后输出的t值为， 故选：B． 4．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的乘法运算，无理数的估算，理解程序并转化为数学问题是解决问题的关键．先把代入代数式，判断计算结果与的大小，直到计算结果大于再输出结果，从而可得答案． 【详解】解：当时，，当时， 当， ∴输出结果为． 故答案为：． 5．按如图所示的程序计算，若开始输入n的值为，则最后输出的结果是______．    【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的乘法运算，无理数的估算．先把代入代数式得代数式的值为，再判断与11的大小，直到计算结果大于11再输出结果，从而可得答案． 【详解】解：当时，， 由，所以不能输出， 当时，， 由， ∴输出的结果是， 故答案为：． 6．根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是时，则输出的y值等于________． 【答案】 【分析】此题是一道程序题，做题时要按照程序一步一步做，主要考查代数式求值，是一道常考的题型． 由题意输入然后平方得，然后再小于0，乘以，可得y的值． 【详解】解：当时，， ． 故答案为：． 类型七、二次根式中的新定义运算(选、填) 1．对于任意两个不相等的正实数、，定义运算“”：，如，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的新运算，根据新运算的规则，把转化为一般形式的运算，可得：原式，再根据二次根式的性质进行运算即可． 【详解】解：由题意可得：． 故选：A． 2．已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． 根据已知条件中的新定义，列出算式，进行二次根式的加减法即可； 【详解】解：∵， ∴ 故选：A 3．对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．通过有理化分母将化简为，然后计算总和． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 4．定义一种新运算：，则的运算结果是_____． 【答案】 【分析】根据新定义运算，利用整式乘法和二次根式的运算法则化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 5．对于任意两个不相等的正实数，，定义一种新运算“”，即，如，则______． 【答案】 【分析】根据定义的新运算列式为，将其计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 6．对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，例： ，按照这种运算方法，则______ ． 【答案】 【分析】本题考查新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据新运算的定义，将，代入公式计算． 【详解】解：由定义，， 所以． 故答案为：． 类型八、勾股定理的应用(含列方程)(选、填、解) 1．《算法统宗》中有一道题目，大致意思是：“昨天量了田地回到家里，记得长方形田的长为30步，宽及其对角线之和为50步，求该田有多少亩．”若设长方形田的宽为x步，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，理解题意是解决本题的关键． 根据勾股定理，长方形的对角线长为步，再根据宽与对角线之和为50步，得到方程，变形后平方即可得到正确方程． 【详解】解：∵宽为x步， ∴对角线长为步， ∵宽及其对角线之和为50步， ∴ ， 故选A． 2．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理即可求得树折断之前的高度． 【详解】解：如图： ， ， ， 即， ∴这棵树在折断之前的高度． 3．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部尺远．问：原处还有多高的竹子？（丈尺）设竹子折断处离地面尺．可列方程______． 【答案】 【分析】设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：． 4．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口一个半小时后分别位于、处，此时两艘轮船相距________． 【答案】30 【分析】根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：根据题意得到，， ． 5．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上小亮拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变，其中米，米．回答下列问题： (1)若米，求小亮需向右移动的距离；（结果保留根号） (2)若小亮以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，他能否在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置； (3)在（2）的条件下，若小亮收绳t秒后，小船到F的距离刚好等于所收绳长，求t的值． 【答案】(1)米 (2)能 (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）求出20秒小亮收绳的长度，再加上的长度后与的长度比较即可得到结论； （3）根据题意可得米，米，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 在中，由勾股定理得：（米）， 由题意得，（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， ∴米， 答：小亮需向右移动的距离为米． （2）解：∵，， ∴小亮能在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置； （3）解：由题意可得：米，米 在中，由勾股定理可得， 即， 解得， ∴t的值为． 6．如图，已知一架梯子斜靠在墙角处，竹梯，梯子底端离墙角的距离． (1)求这个梯子顶端A距地面有多高； (2)如果梯子的顶端A下滑到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离吗？为什么？ 【答案】(1)梯子顶端距地面24米高 (2)滑动不等于，理由见解析 【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度． （2）先利用勾股定理求出的长度，进而利用线段和差关系计算即可． 【详解】（1）解：根据勾股定理： ∴梯子距离地面的高度为：； （2）解：梯子的底部B在水平方向上滑动的距离不等于，理由如下： ∵梯子的顶端A下滑到点C， ∴，， ∴， 根据勾股定理得到， ∴， ∴梯子的底部B在水平方向上滑动的距离不等于． 类型九、勾股定理的证明与逆定理应用(解) 1．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (3)如图3，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)28 (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：∵长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处． ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即． 2．千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和如图放置，其三边长分别为，显然． 请用a，b，c分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，正确表示出相关图形的面积是解题的关键． 先分别表示出四边形、梯形、的面积，再根据列出等式整理即可证明结论． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴ ，即． 3．勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 【答案】(1)见解析； (2)； (3) 【分析】（1）利用正方形的面积一定，得出等式，化简即可； （2）利用勾股定理求出的长，进而计算即可； （3）利用勾股定理，结合（2）的思路，得出的最小值为的长即可得答案． 【详解】（1）解：在图中，， 在图中， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴最大为． （3）解：由图可得，，， ∴， 由（2）可知，点在线段上时，取最小值， ∴的最小值为的长， ∵正方形的边长为， ∴， ∴的最小值为． 4．某校有一块如图所示的四边形空地，为迎接国庆节的到来，学校欲在此地种满鲜花．已知鲜花的费用为100元/，．请你算出学校应付费用多少元？ 【答案】学校应付费用3600元 【分析】连接，利用勾股定理求出的长，证明得到，根据求出这块地的面积即可得到答案． 【详解】解：如图，连接． 在中，， ， ∵， ∴， ∴在中，， ， ， （元）． 答：学校应付费用3600元． 5．如图，有一台风以沿东西方向由点A向点B移动，且台风中心周围以内为受影响区域．已知点C为一海港，且． (1)求证：． (2)海港C会受台风影响吗？若会受到影响，请计算海港C受台风影响的时长． 【答案】(1)证明见解析 (2)C港受台风影响，台风影响该海港持续的时间为10小时 【分析】（1）由勾股定理逆定理可证明为直角三角形，且； （2）过点C作于点D，由等面积法可求出，即说明海港C受台风影响． 【详解】（1）证明：， ， ， 为直角三角形，且； （2）解：过点C作于点D， 为直角三角形，， ， ， ， ，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C受台风影响； 当时，正好影响C港口， ， ， ∵台风的速度为20千米/小时， ∴（小时）． 答：台风影响该海港持续的时长为10小时． 6．由四条线段、、、所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量，、、、． (1)求这块四边形空地的面积； (2)现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？ 【答案】(1) (2)4800（元）． 【分析】（1）连接，根据勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理证得是直角三角形，，进而利用求出四边形的面积； （2）根据面积乘以单价即可得到答案． 【详解】（1）解：连接， ∵，、， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴四边形的面积 ； （2）解：在该空地上种植草皮共需（元）． 类型十、网格作图与尺规作图(解) 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，线段和的端点、、、均在小正方形的顶点上． (1)画出以为一边且面积为的，顶点必须在小正方形的顶点上； (2)画出一个以为一条直角边的等腰直角，点在小正方形的顶点上；连接并直接写出线段的长． 【答案】(1)画图见详解 (2)画图见详解， 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形的判定、三角形面积计算、等腰直角三角形的性质以及网格作图，熟练运用勾股定理、直角三角形面积公式和网格的边长特征是解答本题的关键． （1）先根据直角三角形面积公式确定直角边的长度关系，结合网格特点构造以为直角边（或斜边）、面积为的直角三角形，验证直角并计算面积； （2）先根据的长度，结合等腰直角三角形的性质确定另一条直角边的长度，在网格中找到符合条件的点构造等腰直角，再利用勾股定理计算线段的长度． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 、均为小正方形的对角线， ， ； （2）解：如图，即为所求， ． 2．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个斜边为的直角三角形； (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为，，； (3)判断（2）中所画三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)所画三角形为直角三角形．理由见解析 【分析】本题考查的是作图——应用与设计作图，勾股定理及其逆定理． （1）根据勾股定理画出图形即可； （2）根据勾股定理画出图形即可； （3）先判断出三角形的形状，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，即为所求； （2）解：如图2，即为所求； （3）解：所画三角形为直角三角形．理由： ，，， ， ， ∴所画三角形为直角三角形． 3．在由的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中的射线上取点D，使． (2)在图2中的边上取点E，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据网格特征得到，由勾股定理易得，即可作答． （2）运用全等三角形的判定和性质，且结合网格特征，即可作答． 【详解】（1）解：如图1，点D即为所求（作出一种即可）． ∵， ∴   ， ∵， ∴； （2）如图2，点E即为所求． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 4．如图，在中，，，，点D为中点，连接． (1)尺规作图：试确定一点E，使得四边形为菱形；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的前提下，求菱形的周长与面积． 【答案】(1)见解析 (2)菱形的周长为20，面积为24 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，综合运用菱形的判定及性质是解题的关键． （1）根据“四边相等的四边形是菱形”，利用尺规作图方法，作，且交于点E即可； （2）根据斜中半定理，求出，再由菱形的性质可得菱形的周长；在中，由勾股定理，得的长，再根据三角形的中线性质，求得，最后通过证明，求得菱形的面积． 【详解】（1）解：如图，点E就是所要求作的点． （2）解：∵，点D为中点，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴菱形的周长为20； 在中，由勾股定理，得， ∵点D为中点， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为24． 5．如图，在等腰中，，点D在的延长线上，且平分，过点A作于点F． (1)请用无刻度的直尺和圆规，过点F作的平行线交于点G（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，猜想四边形的形状，并给出证明． 【答案】(1)图见解析 (2)四边形是矩形，证明见解析 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作图方法，作，即可解答； （2）先根据三线合一和角平分线的定义可求得，从而根据内错角相等两直线平行证得，然后由，根据证得，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形和一个角是直角的平行四边形是矩形证得结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：连接，四边形是矩形，证明如下： ∵等腰中，，， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 6．如图，在中，． (1)尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，将中线绕点旋转得到，连接，．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，可得是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质，过点作的垂线交于点即可； （2）根据作图及已知条件可得，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，为所求： （2）证明：如图， 由（1）知垂直平分，即， ∵，且三点共线， ∴， ∴四边形是菱形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $