期中考前满分冲刺之优质压轴题-2025-2026学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

期中考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、平面直角坐标系的规律(选、填) 1．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2023秒时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中将点第1次水平向右跳动1个单位至点，第2次竖直向上跳动3个单位至点，第3次水平向右跳动2个单位至点，第4次竖直向下跳动1个单位至点，第5次又水平向右跳动1个单位，第6次竖直向上跳动3个单位，…，依此规律跳动下去，则点A第208次跳动至点对应的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为这样依次得到点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的若干正方形一边与轴重合按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的水平间距相等，且，则点的坐标为______． 5．如图，将边长为1的正方形沿x轴正方向连续翻转2024次，点P依次落在点，，，…，的位置，则的坐标为________，的坐标为________． 6．在平面直角坐标系中，一个点按如图所示的方向移动，即，按此规律，记为第个点，则第个点的坐标为_____． 类型二、平行线中的正确结论(选、填) 1．阅读下面的数学问题： 如图，于点P，点M，N分别在上，过点M作于点Q，连接．    甲、乙两人经过研究得到如下结论： 甲：若，则． 乙：若，可得到． 其中判断正确的是（　　） A．甲、乙两人的结论都正确 B．甲、乙两人的结论都不正确 C．甲的结论错误，乙的结论正确 D．乙的结论错误，甲的结论正确 2．如图，已知，若，平分交于点，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．如图，E在线段的延长线上，，，，连接交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值且定值为，其中正确结论的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，，直线l与、分别交于点E、F，平分交直线于点M，平分交直线于点N．给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，正确结论的序号有_____． 5．如图，，点，分别在，上，，于点，连结，且恰好平分，，则下列结论：①，②，③，其中结论正确的为_______________．（请填写所有正确结论的序号）． 6．如图，点E在延长线上， ， 交于F，且， ，比的余角小， P 为线段上一动点，Q为线段 上一点，且满足，为的平分线，则下列结论：①；②平分；③；④；⑤的度数为定值，其中正确结论的是________．（填序号） 类型三、平面直角坐标系中的面积问题(选、填、解) 1．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 2．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点位于坐标原点，点、坐标分别为和．若矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 3．在平面直角坐标系中，已知点，，，． （1）四边形的面积为______； （2）若轴上存在点，使的面积恰为四边形的面积的，则点坐标为_____． 4．在平面直角坐标系中，已知点,，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C，连接．当将四边形的面积分成两部分时，那么点P的坐标为___________． 5．如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_______，_______，三角形的面积是_______； (2)点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，，把沿射线向右下平移得到，交线段于点M． (1)如果点D的坐标为，则C、E两点的坐标分别为______； (2)连接，在(1)的条件下，的面积等于3，求的面积； (3)在沿射线向右下平移的过程中，的面积能否比的面积大4？若能，请求出此时点M的坐标，若不能，请说明理由． 类型四、折叠问题(选、填、解) 1．已知点分别在长方形纸条的边上（），如图1，沿直线第一次折叠，点的对应点分别为交于点；如图2，为上一点，沿直线第二次折叠，点的对应点分别为，若，记的度数为度，的度数为度，则在的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，长方形纸片，点M，N分别在，边上，将纸片沿折叠，点C，D分别落在点，处，与交于点P，再沿折叠纸片，点，分别落在点，处，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则________． 4．如图1是的一张纸条，按图示方式把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为______． 5．如图，延时课上，梅梅将一张长方形纸条（上、下两边平行）沿直线折叠，为折痕． (1)请依据所学知识判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 6．阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①﹣④，虚线部分表示折痕）．从图中可知，小明画平行线的依据有哪些？填一填． 想法一：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，，则，依据是 ． 想法二：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，则，所以，依据是 ． 解决问题：如图⑤，于点，于点，．求证：平分． 类型五、三角板旋转平行球角度或问题(选、填、解) 1．一副直角三角板叠放如图所示，现将含角的三角板固定不动，把含角的三角板绕直角顶点按每秒的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的时间为（    ） A．5秒或7秒 B．5秒或19秒 C．5秒或17秒 D．7秒或19秒 2．如图所示，将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中和的两个角顶点O重合在一起．三角板保持不动，将三角板绕点O顺时针方向旋转一周的过程中，若，则的大小为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 3．一副直角三角板如图1摆放在直线上，（直角三角板和直角三角板，，，，），如图2保持三角板不动，将三角板绕点旋转（旋转角）．在旋转过程中，当三角板的一边平行于时，此时_______． 4．如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若当它的一边与的边平行时（不含重合情况），则t的值为________． 5．【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，，． （1）在上述所拼图形中，的度数为 °． 【问题探究】 （2）在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方．设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值； 【拓展延伸】 （3）在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出t的值． 6．【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边在直线上，其中． (1)填空：______； (2)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ (3)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转一周，在转动过程中，当时，直接写出三角板的运动时间． 类型六、平行线中的光线折射问题(选、填、解) 1．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射。如图，水面与水杯下沿平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 2．光线从空气斜射向水中时会发生折射现象．空气中平行的光线斜射向水中，经过折射后在水中的光线也是平行的．如图，为入射光线，为折射光线，且满足，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．从光源发出的光线射到长方体玻璃透镜的表面，既发生反射又发生折射，如图是光路图，图中的长方形是透镜的截面图，光线经过两次折射后从透镜的对侧射出，两次折射的光线分别为和．如果入射光线的入射角为，那么反射光线和射出透镜的光线所成的锐角的度数是_________． 4．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点．，，则______． 5．（新素材）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．光线在同种介质中传播，发生反射时，入射角等于反射角． (1)如图①，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成．若，，求的度数； (2)如图②，水面与水杯下沿平行，水杯上盖上一块镜子，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，接触镜子发生反射，光线变成，遇水杯边沿反射，光线变成，猜想和的位置关系，并说明理由． 6．太阳光和灯光都是我们生活中的光源，蕴含着很丰富的数学知识． 情境：当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生变化，这种现象叫做光的折射． （1）如图1，直线与相交于点F，一束光线沿射入水面，在点处发生折射，沿射入水中，如果，，则的度数为______． 拓展：（2）光线从空气射入水产生折射，同时，光线从水射入空气也发生折射，如图2，光线从空气射入水中，再从水射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线的位置关系，并说明理由； 应用：（3）如图3，出于安全考虑，在某段铁路两旁安置了A、B两座可旋转探照灯.假定主道路，连接，且．灯A发出的射线自顺时针旋转至，灯B发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，当射线回转至后两条射线停止运动，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒.它们同时开始转动，设转动时间为秒，当与互相垂直时，求出此时的值． 类型七、平行线的折线模型(含角平分线、数量关系)(解) 1．学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，若，求的度数． 【拓展提高】 (3)如图3，若，，平分，试说明． 2．综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． (1)观察发现 如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． (2)探究迁移 （Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． (3)拓展应用 如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 3．已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 4．问题情境：如图①，，点在，之间，且在所在直线的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，请探究，，之间的数量关系． (1)问题解决：小明的思路是：如图②，过点作，根据平行线的性质，可以得到，，之间的数量关系是________． 迁移运用：请运用上面的数量关系解决下列问题： 已知，与的平分线相交于点F． (2)如图③，若，求的度数； (3)如图④，若，，写出与之间的数量关系，并且说明理由； (4)如图④，若，（n为正整数），设，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 5．已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 6．解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 类型八、平面直角坐标系中的动点问题(解) 1．如图，在平面直角坐标系中，坐标分别为，且满足：，现同时将点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点，连接，． (1)_____，_____，四边形的面积_____； (2)点是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点在轴上，连接、，若的面积与四边形的面积相等，直接写出点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，点并且点在轴上． (1)求、两点坐标． (2)若点以每秒2个单位长度从点出发向点运动，（点到达点时运动停止），，运动时间为，连接．设三角形的面积为，试用含的代数式表示． (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是与轴的交点，过点作轴，垂足是点，且，坐标系中有一点，它的横、纵坐标相等，满足，当时，求出的值．并直接写出点的坐标． 3．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1) ________， ________，点B的坐标为__________； (2)当点P移动时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． (4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P移动的时间． 4．如图，已知点满足．将线段先向上平移个单位，再向右平移个单位后得到线段，并连接． (1)请求出点和点的坐标； (2)点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由； (3)在（）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由． 5．在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标； (2)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图①，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于8个单位长度． (1)m的值为_________； (2)在x轴上是否存在点M，使的面积的面积，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，把线段向上平移2个单位得到线段，连接，，交y轴于点G，过点C作于点D，将长方形和长方形分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，当长方形和长方形重叠面积为1时，求此时点M的坐标． 类型九、二元一次方程组的整体思想与换元思想一选考(解) 1．下面是李明同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，在解方程组时，运用“整体思想”通常会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 分析：在这个方程组中，方程②中的在方程①中也存在，此时运用整体思想，把看作一个整体，就可以直接代入方程①进行计算，避免了先去括号等复杂操作． 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得． ． 把代入①，得． 方程组的解为 任务： (1)利用“例1”的方法，解方程组 (2)已知利用“例2”的方法，求的值． 2．阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组 中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，，则原方程组可化为， 解关于，的方程组，得，所以解方程组，得． 任务． (1)材料中运用的数学思想是______； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于，的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． 3．对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法． 例如，解方程组 解：把②代入①，得，解得， 把代入②，得． 所以方程组的解为． (1)请用同样的方法解方程组； (2)已知方程组的解为，可以运用整体思想， 解方程组直接得出_____，_____， 所以该方程组的解为_____． 4．阅读材料：善于思考的小语同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿小语同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，解方程组． 5．数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 6．阅读下列解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组；由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单． ，得，所以，③ ③，得，④ ，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请你运用上述方法解方程组： ①； ②； (2)请你直接写出关于x，y的方程组的解：______． 类型十、平面直角坐标系与二元一次方程组的新定义一选考(解) 1．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“系好友点”；例如：的“系好友点”为，即．请完成下列各题． (1)点的“系好友点”的坐标为 ； (2)若点在轴的正半轴上，点的“系好友点”为点，若在中，，求的值； (3)已知点在第四象限，且满足；点是点的“系好友点”，求的值． 2．在平面直角坐标系中，对于点，，将的值叫做点与点的“禾距”，记为，即．若点在线段上，将的最大值与最小值之差称为线段关于点的“围差”，记为．如图1，已知点，． (1)点与点的“禾距”的值为______； (2)已知点在轴上，线段关于点的“围差”为，则点的坐标为______． (3)若点与点的“禾距”为． ①请在图中画出所有符合题意的点组成的图形： ②的最小值为_______． 3．在平面直角坐标系中，对于点，定义点A的“离心值”．（例：对于点，因为，所以．） (1)已知，，将、、按从小到大的顺序排列（用“”连接） ； (2)如图1，点，点在线段上． ①若，写出点M的坐标； ②在图1中画出满足的点M组成的图形； (3)已知点，若线段上存在离心值为1的点，则m的取值范围是 ． 4．定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 5．如果关于的二元一次方程组的解满足，那么我们称这个方程组为“友好方程组”． (1)判断方程组是否为“友好方程组”，并说明理由． (2)若方程组是“友好方程组”，求的值． (3)若方程组的解是正整数，且是正整数，则这个方程组是否可以是“友好方程组”？如果可以，请求出的值及方程组的解；如果不可以，请说明理由． 6．我们规定：在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点与点互为“等和点”． 例如：点与点互为“等和点”． (1)已知点，下列各点，，，其中与点互为“等和点”的是______． (2)点与点互为“等和点”，连接，直线交轴于点． 若，求点的坐标； 判断点与点是否互为“等和点”，并说明理由． (3)在（2）的条件下，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向下运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向左运动，连接，，直线，相交于点若三角形的面积为，直接写出点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、平面直角坐标系的规律(选、填) 1．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2023秒时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易知圆的周长为个单位长度，然后可得点P运动半圆所需1秒，然后求出前几秒点的坐标，归纳规律并运用规律求解即可． 【详解】解：由题意得：圆的周长为个单位长度， ∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， ∴点P运动半圆所需（秒）， ∴第1秒时，点P的坐标为；第2秒时，点P的坐标为；第3秒时，点P的坐标为；第4秒时，点P的坐标为；； 综上可知：第2023秒时，点P的坐标是，即选项C符合题意。 2．如图，在平面直角坐标系中将点第1次水平向右跳动1个单位至点，第2次竖直向上跳动3个单位至点，第3次水平向右跳动2个单位至点，第4次竖直向下跳动1个单位至点，第5次又水平向右跳动1个单位，第6次竖直向上跳动3个单位，…，依此规律跳动下去，则点A第208次跳动至点对应的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点的跳动，找到规律从， ，，开始，每4个点作为一组，每组对应的点的横坐标每次加3，纵坐标每次加2，按照规律求解即可． 【详解】解：由题意及图，得 ， ，，，， ，，，……， ∴从， ，，开始，每4个点作为一组，每组对应的点的横坐标每次加3，纵坐标每次加2， ∵， ∴点对应点，且横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 3．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为这样依次得到点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的变换规律，解题关键是先根据“伴随点”的定义计算前几个点的坐标，找到变换的周期性，再通过求余数确定所求点在周期中的位置，得到对应坐标。 【详解】∵ 点的伴随点为，且 ∴ 依次计算得： 的坐标为 的坐标为 的坐标为 的坐标为，与坐标相同 ∴ 伴随点的坐标每4次变换为一个周期循环 ∵ ∴ 的坐标与周期中第2个点的坐标相同，为 4．如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的若干正方形一边与轴重合按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的水平间距相等，且，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据横坐标，纵坐标的变化规律，每8个点看作一次循环，再根据点在第253个循环中的第7个点的位置，即可得出点的坐标． 【详解】解：由图及题意可得，第一个正方形中，， 各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0； 第二个正方形中，， 各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为0，，，0； 根据纵坐标的变化规律可知，每8个点一次循环， ∵， ∴点在第253个循环中的第7个点的位置，故其纵坐标为， 又∵的横坐标为4，的横坐标为8，的横坐标为12， …， ∴的横坐标为， ∴点的坐标为． 5．如图，将边长为1的正方形沿x轴正方向连续翻转2024次，点P依次落在点，，，…，的位置，则的坐标为________，的坐标为________． 【答案】 【分析】找出坐标规律．根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律求解． 【详解】解：由图可知：，，，，，，，…，纵坐标每个一循环， ， 在次循环后纵坐标与对应， 由，，…可知，其每个周期增加4，初始周期结束（第4次）横坐标为3， 的横坐标为：， 则的坐标为：， 6．在平面直角坐标系中，一个点按如图所示的方向移动，即，按此规律，记为第个点，则第个点的坐标为_____． 【答案】 【分析】由已知点的坐标规律可知个点为一组，每个的坐标为，，，进而解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴个点为一组，每个的坐标为，，， ∵， ∴第个点的坐标为，即． 类型二、平行线中的正确结论(选、填) 1．阅读下面的数学问题： 如图，于点P，点M，N分别在上，过点M作于点Q，连接．    甲、乙两人经过研究得到如下结论： 甲：若，则． 乙：若，可得到． 其中判断正确的是（　　） A．甲、乙两人的结论都正确 B．甲、乙两人的结论都不正确 C．甲的结论错误，乙的结论正确 D．乙的结论错误，甲的结论正确 【答案】A 【分析】根据，，可得，所以，所以，，即可得，即可判断甲的结论；根据，可得，所以，再根据，所以，故即可判断乙的结论． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ，故甲的结论正确； ， ， ， ，， ， ， ，故乙的结论正确． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，掌握两直线同垂直于第三条直线，那么这两条直线互相平行是解题关键． 2．如图，已知，若，平分交于点，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质，准确进行推理证明．根据平行线的性质判断即可． 【详解】解：如图， ， ， 平分， ， ，所以结论①正确； ， ， ，所以结论②正确； ， ， ， ， 平分， ， ，所以结论③不正确； ， ， ，所以结论④正确； 故选：B． 3．如图，E在线段的延长线上，，，，连接交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值且定值为，其中正确结论的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理得到，故①正确；由平行线的性质得到，等量代换得到，求得平分；故②正确；根据题意列方程得到，故③正确；设，，得到，根据角平分线的定义即可判断④． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴平分，故②正确； ∵的余角比大， ， ∵， ∴， ∴，故③正确； 设，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确的有4个，即选项A符合题意． 4．如图，，直线l与、分别交于点E、F，平分交直线于点M，平分交直线于点N．给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质得出；根据角平分线定义得出，，求出，即可得出，从而得出；根据平行线的性质得出，根据，得出；根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据，得出． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上分析，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 5．如图，，点，分别在，上，，于点，连结，且恰好平分，，则下列结论：①，②，③，其中结论正确的为_______________．（请填写所有正确结论的序号）． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质、垂直的定义等知识点．先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，代入计算即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断②；作，利用平行线的判定和性质即可判断③． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 解得，则结论①错误； ， ， ，则结论②正确； 作， ∵， ∴， ∴，， ∴，则结论③正确； 综上，正确的是②③， 故答案为：②③． 6．如图，点E在延长线上， ， 交于F，且， ，比的余角小， P 为线段上一动点，Q为线段 上一点，且满足，为的平分线，则下列结论：①；②平分；③；④；⑤的度数为定值，其中正确结论的是________．（填序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、余角和补角、角平分线的定义以及三角形内角和定理，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．①由，可得出，进而可得出，结合可得出，根据“同位角相等，两直线平行”可得出，结论①正确；②由可得出，结合可得出，即平分，结论②正确；③由可得出，结合比的余角小可求出的度数，再由结合三角形内角和定理可求出，结论③正确；④由③得：无法证明，结论④错误；⑤根据角平分线的定义可得出以及，将其代入可求出的角度为定值，结论⑤正确．综上即可得出结论． 【详解】解：①∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，结论①正确； ②∵， ∴． ∵， ∴， ∴平分，结论②正确； ③∵， ∴． ∵比的余角小， ∴． ∵，， ∴，结论③正确； ④由③得：无法证明，结论④错误； ⑤∵为的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴，结论⑤正确． 综上所述：正确的结论有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 类型三、平面直角坐标系中的面积问题(选、填、解) 1．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点，则，设，求出，根据题意得到，建立方程求解即可． 【详解】解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， 如图，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点， 则， 设， ∵， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点位于坐标原点，点、坐标分别为和．若矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，坐标与图形，由已知可得矩形与矩形的位似比为，点的坐标为，进而即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的， ∴矩形与矩形的位似比为， ∵点、坐标分别为和， ∴点的坐标为， ∴点的对应点的坐标是或，即或， 故选：． 3．在平面直角坐标系中，已知点，，，． （1）四边形的面积为______； （2）若轴上存在点，使的面积恰为四边形的面积的，则点坐标为_____． 【答案】 80 或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中四边形面积的计算，以及利用三角形面积公式求解特定点的坐标． （1）过作轴于点，过作轴于点，则，，，，，，，再根据求解即可； （2）设点坐标为，由题意得，即可得，解方程即可． 【详解】解：（1）过作轴于点，过作轴于点， 则，，，，， ∴，， ∴ ， 故答案为：80； （2）设点坐标为， ∵的面积恰为四边形的面积的， ∴， ∴，即， 解得， ∴点坐标为或， 故答案为：或． 4．在平面直角坐标系中，已知点,，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C，连接．当将四边形的面积分成两部分时，那么点P的坐标为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想是解本题的关键．分交线段和交两种情况，利用面积之差求出和，最后用三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵点,， ， 将向下平移5个单位得线段，得矩形， ， ， ， 如图1，当交线段于E，且将四边形分成面积为两部分时，连接，延长交y轴于点M， 则， ， 连接，则， ∵将四边形的面积分成两部分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图2，当交于点E，将四边形分成面积为两部分时， 连接，延长交y轴于点G， 则， ， 连接，则， ∵将四边形的面积分成两部分， ， ， ， 过P点作交的延长线于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点P坐标为或， 故答案为：或． 5．如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_______，_______，三角形的面积是_______； (2)点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 【答案】(1)3，2，3 (2)① ②，或， 【分析】本题考查坐标与图形，非负性，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键： （1）非负性求出的值，面积公式求出三角形的面积即可； （2）①根据面积公式求出的长，即可求出点C的坐标；②根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出的面积，再根据面积公式求出的长，进而求出点坐标，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点坐标，然后根据三角形的面积等于，求出的长，进而求出点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积是； （2）①由（1）知：三角形的面积是3，， ∴， ∴； ∴； ②∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴或， ∴或． 6．如图，在平面直角坐标系中，，把沿射线向右下平移得到，交线段于点M． (1)如果点D的坐标为，则C、E两点的坐标分别为______； (2)连接，在(1)的条件下，的面积等于3，求的面积； (3)在沿射线向右下平移的过程中，的面积能否比的面积大4？若能，请求出此时点M的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查坐标与图形，平移的性质，三角形面积． （1）由得到平移方式，即可解答； （2）连接，由（1）知，则轴，得到，进而求出，根据三角形面积公式即可求解； （3）根据题意得到向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到，求出，进而得到，；根据的面积比的面积大4，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把沿射线向右下平移得到，即点的对应点为点， ∵， ∴先向右平移3个单位长度，再先向下平移2个单位长度后得到， ∵， ∴，即； （2）解：连接， 由（1）知， 则轴， ∴， ∴， ∴； （3）解：能，， ∵把沿射线向右下平移得到， ∴向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到， ∴， ∵， ∴， 由平移的性质得， ∴， ∴，； 当的面积比的面积大4时， 则，即， 解得：， ∴向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到， ∴． 类型四、折叠问题(选、填、解) 1．已知点分别在长方形纸条的边上（），如图1，沿直线第一次折叠，点的对应点分别为交于点；如图2，为上一点，沿直线第二次折叠，点的对应点分别为，若，记的度数为度，的度数为度，则在的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据折痕是角平分线，以及平行线的性质，进行推导，得到，即可得出结论． 【详解】解：对于图1，由折叠可知：， ∵长方形纸条， ∴， ∴，， ∴度， 对于图2，由折叠可知：度， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为定值； 故选A． 2．如图，长方形纸片，点M，N分别在，边上，将纸片沿折叠，点C，D分别落在点，处，与交于点P，再沿折叠纸片，点，分别落在点，处，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，掌握翻折变换，平行线的性质是解题的关键．由折叠的性质可得，由平行线的性质可求，再由折叠性质可得，再由平行线的性质可得 ，最后即可求解． 【详解】解：， ， 由折叠性质可得：， ， 由题意得：， ， ， 由折叠性质可得：， ， ， 由题意得：， ， 故选：D 3．折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则________． 【答案】/21度 【分析】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角之间的关系．由折叠的性质可得，，，，由平行线的性质可求得，，从而可求得，则有，由对顶角相等得，从而得． 【详解】解：由折叠得：，，，， 是长方形，， ， ，， ， ， ， ， 与重合， ， ， 故答案为： 4．如图1是的一张纸条，按图示方式把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为______． 【答案】 【分析】如图，设∠B′FE＝x，根据折叠的性质得∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF，则∠BFC＝x−24°，再由第2次折叠得到∠C′FB＝∠BFC＝x−24°，于是利用平角定义可计算出x＝68°，接着根据平行线的性质得∠A′EF＝180°−∠B′FE＝112°，所以∠AEF＝112°． 【详解】解：如图，设∠B′FE＝x， ∵纸条沿EF折叠， ∴∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF， ∴∠BFC＝∠BFE﹣∠CFE＝x﹣24°， ∵纸条沿BF折叠， ∴∠C′FB＝∠BFC＝x﹣24°， 而∠B′FE+∠BFE+∠C′FE＝180°， ∴x+x+x﹣24°＝180°，解得x＝68°， ∵A′D′∥B′C′， ∴∠A′EF＝180°﹣∠B′FE＝180°﹣68°＝112°， ∴∠AEF＝112°． 故答案为：112°． 【点睛】本题考查了，平行线的性质，折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决本题的关键是画出折叠前后得图形． 5．如图，延时课上，梅梅将一张长方形纸条（上、下两边平行）沿直线折叠，为折痕． (1)请依据所学知识判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，根据平行线的性质可得，由此即可得； （2）先根据（1）的结论可得，再根据折叠的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 6．阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①﹣④，虚线部分表示折痕）．从图中可知，小明画平行线的依据有哪些？填一填． 想法一：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，，则，依据是 ． 想法二：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，则，所以，依据是 ． 解决问题：如图⑤，于点，于点，．求证：平分． 【答案】想法一：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；想法二：同位角相等，两直线平行；解决问题：见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和平行公理的应用，熟记平行线的判定定理与平行公理推论是解题的关键． 阅读材料：想法一：根据“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”求解即可； 想法二：根据“同位角相等，两直线平行”求解即可； 解决问题：由垂直可证明，由平行线的性质可得到，可证得结论，据此解答即可． 【详解】解：阅读材料：想法一：，， （同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）， 故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 想法二：由图②中的折叠得，， ， 由图③中的折叠得，， ， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行； 解决问题：证明：于点，于点， ， ，， 又， ， 平分． 类型五、三角板旋转平行球角度或问题(选、填、解) 1．一副直角三角板叠放如图所示，现将含角的三角板固定不动，把含角的三角板绕直角顶点按每秒的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的时间为（    ） A．5秒或7秒 B．5秒或19秒 C．5秒或17秒 D．7秒或19秒 【答案】D 【分析】依据两块三角板的斜边平行，即可得到旋转角的度数，再依据旋转的速度，即可得到三角板旋转运动的时间． 【详解】解：如图， 当斜边ABDC时，∠CFE=∠B=60°， ∴∠BED=60°-45°=15°， ∴旋转角为90°+15°=105°， 105°÷15°=7； 如图，将△ABE继续逆时针旋转180°，可得斜边A'B'DC， 此时，旋转角为105°+180°=285°， 285°÷15°=19； 综上所述，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的时间为7秒或19秒， 故选D． 2．如图所示，将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中和的两个角顶点O重合在一起．三角板保持不动，将三角板绕点O顺时针方向旋转一周的过程中，若，则的大小为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题意，作图如图1，2，根据平行线的性质、三角板的度数进行计算求解即可． 【详解】解：如图1，，      ∴， ∴， 如图2，，    ∴， ∴， ∴， 综上，的度数为或； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 3．一副直角三角板如图1摆放在直线上，（直角三角板和直角三角板，，，，），如图2保持三角板不动，将三角板绕点旋转（旋转角）．在旋转过程中，当三角板的一边平行于时，此时_______． 【答案】75或120或165 【分析】本题考查了平行线的性质，旋转的性质，解题的关键在于数形结合，分类讨论．分情况讨论：当时，当时，当时，结合图形，根据平行线的性质，求出的度数即可． 【详解】解：如图，当时， 此时与重合， ∴； 如图，当时， ∴； 如图，当时， ∴， ∵， ∴； 综上，或或． 故答案为：75或120或165． 4．如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若当它的一边与的边平行时（不含重合情况），则t的值为________． 【答案】5秒或35秒或50秒 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，设旋转过程中，与，与是对应点，再分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：设旋转过程中，与，与是对应点， 如图，当时， ， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； 如图，当时， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； 如图，当时， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， 综上所述，t的值为5秒或35秒或50秒， 故答案为：5秒或35秒或50秒． 5．【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，，． （1）在上述所拼图形中，的度数为 °． 【问题探究】 （2）在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方．设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值； 【拓展延伸】 （3）在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出t的值． 【答案】【操作拼图】；【问题探究】或；【拓展延伸】，， 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确判断角的数量关系是本题解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）根据，的位置分类讨论，列出等式求解即可； （3）根据与边平行的边不同分类讨论，根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）∵与直线重合， ∴， ∵， ∴ 故答案为：75； （2）三角板以每秒的速度顺时针旋转t秒后， ，， ， ； ∵， ∴当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上，t的值为9或17； （3）∵三角板顺时针旋转，三角板逆时针旋转， ∴，， 当时， ∵，， 又， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， 解得， 综上，t的值为5，10或20． 6．【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边在直线上，其中． (1)填空：______； (2)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ (3)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转一周，在转动过程中，当时，直接写出三角板的运动时间． 【答案】(1)75 (2)①53；② (3)或 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数． （1）把，，代入计算即得； （2）①把代入计算即得答案；②由，得，解方程即得； （3）分两种情况：如图，当在的上方时，当在的下方的位置时，再结合平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：①当时，， ②由题意得，，则， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴当t为时，； （3）解：如图，当在的上方时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 当在的下方的位置时， 此时旋转过的角度为， ∴， 解得：； 综上：当时，直接写出三角板的运动时间为或． 类型六、平行线中的光线折射问题(选、填、解) 1．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射。如图，水面与水杯下沿平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等，根据，得出，再根据已知条件得出即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， ， 故选：C． 2．光线从空气斜射向水中时会发生折射现象．空气中平行的光线斜射向水中，经过折射后在水中的光线也是平行的．如图，为入射光线，为折射光线，且满足，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 3．从光源发出的光线射到长方体玻璃透镜的表面，既发生反射又发生折射，如图是光路图，图中的长方形是透镜的截面图，光线经过两次折射后从透镜的对侧射出，两次折射的光线分别为和．如果入射光线的入射角为，那么反射光线和射出透镜的光线所成的锐角的度数是_________． 【答案】/80度 【分析】本题考查了平行线的性质，熟悉掌握平行线的性质是解题的关键． 延长和交于点，由折射可得：，得到，再由反射可得：，即可求出． 【详解】解：延长和交于点，如图所示： 由折射可得：， ∴ 由反射可得：， ∴， ∴ 故答案为：． 4．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点．，，则______． 【答案】/度 【分析】本题考查了邻补角，两直线平行，内错角相等．熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 由邻补角可得，由题意知，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（新素材）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．光线在同种介质中传播，发生反射时，入射角等于反射角． (1)如图①，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成．若，，求的度数； (2)如图②，水面与水杯下沿平行，水杯上盖上一块镜子，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，接触镜子发生反射，光线变成，遇水杯边沿反射，光线变成，猜想和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键： （1）根据平行线的性质，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）如图，过点作镜面，，与相交于点，根据反射定律，角的和差关系，推出，即可得证． 【详解】（1）解：， ． ， ． ， ． （2）．理由如下： 如图，过点作镜面，，与相交于点． 由题意，得，． ， ， ， ， ． 6．太阳光和灯光都是我们生活中的光源，蕴含着很丰富的数学知识． 情境：当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生变化，这种现象叫做光的折射． （1）如图1，直线与相交于点F，一束光线沿射入水面，在点处发生折射，沿射入水中，如果，，则的度数为______． 拓展：（2）光线从空气射入水产生折射，同时，光线从水射入空气也发生折射，如图2，光线从空气射入水中，再从水射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线的位置关系，并说明理由； 应用：（3）如图3，出于安全考虑，在某段铁路两旁安置了A、B两座可旋转探照灯.假定主道路，连接，且．灯A发出的射线自顺时针旋转至，灯B发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，当射线回转至后两条射线停止运动，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒.它们同时开始转动，设转动时间为秒，当与互相垂直时，求出此时的值． 【答案】（1）；（2）（3），， 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，相交线，平行线，关键是相关性质的熟练掌握． （1）根据对顶角相等，； （2）延长交于点，延长交于点，根据，以及对顶角相等可得，由内错角相等，两直线平行可得； （3）分三种情况讨论，①当，未相遇时，设射线交于点 ，射线 交于点 ，②当返回时，③当第次从出发，与垂直时，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）如图 ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 如图2，延长交于点，延长交于点， 则，， ， ， ， ， 即， ； （3）射线运动时间为：（秒），射线的运动时间为秒， ∴射线最多运动到， 当，未相遇时，设射线交于点，射线 交于点， ∵， ∴， 与互相垂直时， ， ， 解得， ②如图所示，当射线返回时， ， ， 解得； ③当回到时，刚好垂直， ， 综上所述，，，时，与互相垂直． 类型七、平行线的折线模型(含角平分线、数量关系)(解) 1．学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，若，求的度数． 【拓展提高】 (3)如图3，若，，平分，试说明． 【答案】(1)认同，理由见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得，结合根据角平分线的定义得到的，，即可证明； （2）先求出，再由两直线平行，同旁内角互补，求出，再根据角平分线的定义求出的度数即可； （3）先证明，，再结合，即可证明． 【详解】（1）解：认同，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 2．综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． (1)观察发现 如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． (2)探究迁移 （Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． (3)拓展应用 如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)（Ⅰ），理由见解析，（Ⅱ） (3) 【分析】（1）过点作直线，由平行线的性质容易得到； （2）（Ⅰ）过点作直线，利用平行线的性质可得，，由可得； （Ⅱ）由（1）可得，则，结合角平分线的性质可得，由（1）可得； （3）过点作直线，由平行线的性质可得，．设，则，，由角平分线的性质可得，，结合（2）的模型可知，将条件代入并化简即可得到结果． 【详解】（1）解：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（Ⅰ），理由如下： 如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （Ⅱ）如图， 由（1）可得，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图④，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴， 化简，得． 3．已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 4．问题情境：如图①，，点在，之间，且在所在直线的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，请探究，，之间的数量关系． (1)问题解决：小明的思路是：如图②，过点作，根据平行线的性质，可以得到，，之间的数量关系是________． 迁移运用：请运用上面的数量关系解决下列问题： 已知，与的平分线相交于点F． (2)如图③，若，求的度数； (3)如图④，若，，写出与之间的数量关系，并且说明理由； (4)如图④，若，（n为正整数），设，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）先得到，则，再由求解即可； （2）由（1）得，，则，由角平分线可得，过点作，证明即可； （3）设，，由（2）可得，由题意可得，再根据角平分线得到，，由（1）得：，再代入求解即可； （4）同问题（3）求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：、分别是和的平分线， ，， 由（1）得，， ， ， ， 过点作， ∵， ∴， ∴, ∴； （3）解：，理由是： 设，， ∴由（2）可得 ∵，， ∴， 、分别是和的平分线， ∴， 由（1）得：， ， ∴ ； （4）解：设，， ∴由（2）可得 ∵，（n为正整数）， ∴， 、分别是和的平分线， ∴， 由（1）得：， ， ∴； ． 5．已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，可得，通过平行线的性质结合即可证明； （2）利用（1）的结论有，再由角平分线的性质得，，求得；过点作，可得，通过平行线的性质结合即可求解； （3）过点作，可得，通过平行线的性质结合等量代换可得；过点作，可得，由平行线的性质结合角平分线的性质可得，等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ， ， ，； ， ； （2）解：由（1）知：，， ， 平分，平分， ，， ； 如图，过点作， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作， ， ， ，， ； 过点作， ， ， ，， ； 平分，平分， ， ； ． 6．解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，列代数式， （1）利用平行线性质得，结合角平分线定义得，再由三角形内角和求出； （2）作辅助线构造平行线，利用内错角相等推导角的关系，结合已知，通过角平分线性质求出； （3）作辅助线转化折线角，利用平行线性质建立与α、β、γ的关系，再由角平分线定义得； （4）画出及多个折线角的示意图，总结规律：等于内部所有折点（点）中奇数项角的和减去所有偶数项角的和的一半． 【详解】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作，则， ∴，， ∴， 设， ∴ ，即， 整理得， ， ∴， ∴； （3）解：由平行线性质及角平分线定义，， 如图所示，作，则， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （4）解：一般化研究示意图：画两条平行线，在两线之间依次画多个折线角（如，，，），与的角平分线交于点P， 结论：，即内部所有折点（点）中所有奇数项的角和减去所有偶数项的角和的一半． 例如，若有3个折线角，则，与第（3）问一致． 类型八、平面直角坐标系中的动点问题(解) 1．如图，在平面直角坐标系中，坐标分别为，且满足：，现同时将点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点，连接，． (1)_____，_____，四边形的面积_____； (2)点是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点在轴上，连接、，若的面积与四边形的面积相等，直接写出点的坐标． 【答案】(1)3；5；15； (2)不发生变化；理由见详解； (3)或 【分析】（1）由，根据非负数的性质得，，则，，由平移得，，且四边形是平行四边形，即可求得四边形的面积为15； （2）由及三角形内角和定理可推导出，所以，可知的值不发生变化； （3）设点M的坐标为，分三种情况，一是点M在直线的上方，则；二是点M在x轴的下方，且点D在的外部，则；三是点M在x轴的下方，且点D在的内部，则，分别列方程求出符合题意的m的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点， ∴，， ∴； （2）解：不发生变化， 理由：如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值不发生变化； （3）解：设点M的坐标为， 由（1）得，， ∴， 如图2，点M在直线的上方， ∵， ∴， 解得； 如图3，点M在x轴的下方，且点D在的外部， ∵， ∴， ∴解得，不符合题意，舍去， 如图4，点M在x轴的下方，且点D在的内部， ∵， ∴， 解得， 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】运用数形结合与分类讨论数学思想解题． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，点并且点在轴上． (1)求、两点坐标． (2)若点以每秒2个单位长度从点出发向点运动，（点到达点时运动停止），，运动时间为，连接．设三角形的面积为，试用含的代数式表示． (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是与轴的交点，过点作轴，垂足是点，且，坐标系中有一点，它的横、纵坐标相等，满足，当时，求出的值．并直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)；或 【分析】（1）在y轴上的点的横坐标为0，据此求出a的值即可得到答案； （2）过点作于点，根据等面积法求出的长，再根据可    得答案； （3）根据（2）可求出的面积，则可求出的长，根据点C的坐标得到点B的坐标和的长，则可求出的面积，进而求出和的面积，根据（2）所求可得t的值，再根据三角形的面积公式求出点M的横坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ，，， ，； （2）解：如图，过点作于点， ， ， ∵，，， ， 解得， 由题意得， ∴， ； （3）解：如图所示， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵轴于点B，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由（2）可知， ∴， 解得； ∵， ∴， ∴或， ∵点M的横、纵坐标相等， ∴点M的坐标为或． 3．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1) ________， ________，点B的坐标为__________； (2)当点P移动时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． (4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P移动的时间． 【答案】(1)，点B的坐标为 (2) (3)点P移动的时间为或 (4)点P移动的时间为或 【分析】（1）先利用算术平方根的非负性与绝对值的非负性求出，再得到，即可求解． （2）求出点P移动的路程，再除以时间即可求解． （3）确定出当点P到x轴的距离为5个单位长度时的坐标，再利用路程除以速度即可求解． （4）求出边上的高为2时即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； （2）点P移动时，运动路程为个单位， ∵，， ∴点P在上，距离点C两个单位长度，且； （3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，则或， 当运动到时，时间为， 当运动到时，时间为， ∴点P移动的时间为或； （4）∵点B的坐标为， ∴， ∴当三角形的面积等于6时，边上的高为2， ∴或， ∴当时，P点运动路程为8，则点P移动的时间为， 当时，P点运动路程为18，则点P移动的时间为， ∴点P移动的时间为或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内的动点问题，涉及到了算术平方根和绝对值的非负性、点到坐标轴的距离、三角形的面积公式和行程问题中的数量关系，解题关键是利用数形结合，正确得到动点运动的路程或位置并求解． 4．如图，已知点满足．将线段先向上平移个单位，再向右平移个单位后得到线段，并连接． (1)请求出点和点的坐标； (2)点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由； (3)在（）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在这样的，使得四边形的面积等于，理由见解析 (3)为定值，故其值不会变化，理由见解析 【分析】（）利用绝对值与平方的非负性求出的值，即可求解； （）由平移的性质可得点，点，，由面积关系可求解； （）分点在线段上，点在的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，解得， ∴点和点的坐标分别为和； （2）存在． 理由：过作的延长线，垂足为，如图所示： 由题意得点和点的坐标分别为和， ∴ ， 设点坐标为，连接， ∴， ∵， ∴，即，解得， 存在这样的，使得四边形的面积等于； （3）不变．理由如下： 当点在线段上时，如图所示，设运动时间为秒，， 过作的延长线，垂足为 ，连接， ∵，， ∴ ， 当点运动到线段的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，，连接， ∴为定值，故其值不会变化． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平移的性质，非负式性质求解，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键． 5．在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标； (2)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时，；当时， 【分析】本题考查了算术平方根与绝对值的非负性，平移性质，一元一次方程的实际应用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据算术平方根与绝对值的非负性求出点B坐标，再结合平移性质进行求解，即可得到点C的坐标； （2）根据题意分以下两种情况讨论：当点P在线段上运动时，当点P在线段上运动时，再结合建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：， ， 解得， 点， ， 根据平移的性质可知：，，C，B两点的纵坐标相同，纵坐标都为3， ∵垂直x轴， ∴垂直x轴， ∴C，D两点的横坐标相同，横坐标都是4， 点C的坐标为； （2）解：存在， 根据题意分以下两种情况讨论： 当点P在线段上运动时，点P的坐标为，则，如图， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴； 当点P在线段上运动时，点P的坐标为，即，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴， ∴此时． 综上所述，当时，；当时，． 6．如图①，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于8个单位长度． (1)m的值为_________； (2)在x轴上是否存在点M，使的面积的面积，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，把线段向上平移2个单位得到线段，连接，，交y轴于点G，过点C作于点D，将长方形和长方形分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，当长方形和长方形重叠面积为1时，求此时点M的坐标． 【答案】(1) (2)存在点M，点M的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查待定系数法求解析式、全等三角形的判定与性质，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）根据坐标轴上A，B两点间的距离等于8个单位长度，列出方程，计算求解即可； （2）根据题意先确定的面积，进而求出的面积，利用的面积公式进行求解计算即可； （3）设经过秒后长方形和长方形重叠面积为1，分情况讨论当长方形和长方形重叠部分在长方形左侧或右侧时的情况，由重叠面积为，列出方程计算求解即可． 【详解】（1）解：点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于8个单位长度， ，， ， 解得， 故答案为：2； （2）解：点M存在； 、， ， 的面积的面积， ， 当点M在x轴上时，设， ， ， ， 或， 答：存在点M，点M的坐标为或； （3）解：设经过秒后长方形和长方形重叠面积为1， 由题意可知，秒后，点、、， 当长方形和长方形重叠部分在长方形左侧时， 高必为2， 底为， ， ， 点也运动秒， ， 点在上， ； 当长方形和长方形重叠部分在长方形右侧时， 高必为2， 底为， ， ， 点也运动秒， ， ， 点在上， ，即， 综上所述，点M的坐标为：或． 答：点M的坐标为：或． 类型九、二元一次方程组的整体思想与换元思想一选考(解) 1．下面是李明同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，在解方程组时，运用“整体思想”通常会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 分析：在这个方程组中，方程②中的在方程①中也存在，此时运用整体思想，把看作一个整体，就可以直接代入方程①进行计算，避免了先去括号等复杂操作． 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得． ． 把代入①，得． 方程组的解为 任务： (1)利用“例1”的方法，解方程组 (2)已知利用“例2”的方法，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）类比于“例1”的方法可进行求解； （2）将方程①变形为，然后可得，，进而问题可求解 【详解】（1）解：， 把②代入①，得，解得． 把代入②，得． 所以原方程组的解为； （2）解：， 将方程①变形为③， 将②代入③，得， 解得． 把代入②，得． 所以． 2．阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组 中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，，则原方程组可化为， 解关于，的方程组，得，所以解方程组，得． 任务． (1)材料中运用的数学思想是______； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于，的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． 【答案】(1)B； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了用换元法解比较复杂的二元一次方程组，解决本题的关键是读懂材料中的解题思路，仿照材料中的解题思路解答即可． 根据材料中的解题思路可知，材料中运用的数学思想是整体思想， 仿照材料中的解题思路，设，，则方程组可化为，解方程组求出，从而可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； 首先把方程组，整理成的形式，根据方程组的解为，可得方程组，继续解方程组求出、的值即可． 【详解】（1）解：材料中把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，分别用字母、表示， 材料中运用的数学思想是整体思想， 故选：B； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得：， ， 解得：； （3）解：整理方程组， 可得：， 可得方程组的解为， 解得：． 3．对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法． 例如，解方程组 解：把②代入①，得，解得， 把代入②，得． 所以方程组的解为． (1)请用同样的方法解方程组； (2)已知方程组的解为，可以运用整体思想， 解方程组直接得出_____，_____， 所以该方程组的解为_____． 【答案】(1) (2)；； 【分析】本题考查了解二元一次方程组的整体代入法和换元法，解题关键是通过整体代入和换元，将复杂方程组转化为简单方程组求解； （1）仿照已知整体代入法求出方程组的解即可． （2）设，，利用换元，整体代入法求出方程组的解即可． 【详解】（1）解： 由①，得③． 把③代入②，得 解得．         把代入③，得．     所以方程组的解为 （2）令，，则 ， ∵方程组的解为， 即， 解得， 故答案为：，，． 4．阅读材料：善于思考的小语同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿小语同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键． （1）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出x，y，代入求解即可； （2）根据题意所给材料可得出，然后利用整体代换的思想求解． 【详解】（1）解：对于， 令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：； （2）解：∵方程组的解是， ∴将两边同时除以3得：， ∴， 解得：． 5．数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则所求方程组可化为，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 故方程组的解为； （3）解：设，，则可化简得， 关于，的二元一次方程组的解为， 的解，即有， 解得：． 故方程组的解为：． 6．阅读下列解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组；由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单． ，得，所以，③ ③，得，④ ，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请你运用上述方法解方程组： ①； ②； (2)请你直接写出关于x，y的方程组的解：______． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】本题考查了加减法解一些系数较大的二元一次方程组，熟练掌握加减法是解题的关键； （1）①、，所得方程两边都除以4，得：，再与方程①利用加减法求解即可；②、，所得方程两边都除以9，得：，再与方程①利用加减法求解即可； （2），所得方程两边都除以，得：，再与方程①利用加减法求解即可． 【详解】（1）解：①； 得：， 两边除以4，得：， 得：， 解得：； 把代入③，解得：； 故原方程组的解为：； ② 得：， 两边除以9，得：， 得：， 解得：； 把代入③，解得：； 故原方程组的解为； （2）解：， 得：， 两边除以，得：， 得：， 把代入③，解得：； 故原方程组的解为． 故答案为：． 类型十、平面直角坐标系与二元一次方程组的新定义一选考(解) 1．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“系好友点”；例如：的“系好友点”为，即．请完成下列各题． (1)点的“系好友点”的坐标为 ； (2)若点在轴的正半轴上，点的“系好友点”为点，若在中，，求的值； (3)已知点在第四象限，且满足；点是点的“系好友点”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题中定义直接求解即可； （2）根据点在轴的正半轴上，设，其中，由“系好友点”求出点坐标为，从而得到，结合题中条件列方程求解即可； （3）由题意得到点的坐标是，结合计算确定，再由点在第四象限，即可得到答案． 【详解】（1）解：由“系好友点”定义可知，点的“系好友点”的坐标为，即； （2）解：设，其中， ∴点的“系好友点”为点坐标为， 由于点和点的纵坐标相等，则轴， ， 又， ，解得； （3）解：∵点是点的“系好友点”， 点的“系好友点”点的坐标是， 则， 又， ∴， 则， 解得， 由点在第四象限可知， 即． 【点睛】对于这类新定义题型，理解题中“系好友点”的定义才能正确解答问题． 2．在平面直角坐标系中，对于点，，将的值叫做点与点的“禾距”，记为，即．若点在线段上，将的最大值与最小值之差称为线段关于点的“围差”，记为．如图1，已知点，． (1)点与点的“禾距”的值为______； (2)已知点在轴上，线段关于点的“围差”为，则点的坐标为______． (3)若点与点的“禾距”为． ①请在图中画出所有符合题意的点组成的图形： ②的最小值为_______． 【答案】(1) (2)或 (3)①见详解；② 【分析】（1）直接将，代入“禾距”公式进行计算即可； （2）先设，然后分情况讨论点在线段上时的最大值与最小值，再根据“围差”的定义列出方程求解即可． （3）①设，根据“禾距”公式列出方程，然后分情况讨论去掉绝对值符号，得到不同情况下的直线方程，从而画出图形． ②先分析的最大值与最小值的情况，然后找出的最小值． 【详解】（1）解：根据题意得． 故答案为：． （2）解：设，点在线段上，设 ①时， 当时，， 当时，， 线段关于点的“围差”为， ， ． ②时， 当时，， 当时，， 线段关于点的“围差”为， ， （舍去）． ③时， 当时，， 当时，， 线段关于点的“围差”为， ∴， 解得， 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． （3）解：①设， 点与点的“禾距”为， ，即， 当，时，，即； 当，时，，即； 当，时，，即； 当，时，，即． ∴所有符合题意的点组成的图形是以，，，为顶点的正方形． ②点在线段上， 当点与点重合时，， 当点与点重合时，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点与坐标，含绝对值的方程等知识，有一定的难度，关键是理解题目中“禾距”及“围差”的意义． 3．在平面直角坐标系中，对于点，定义点A的“离心值”．（例：对于点，因为，所以．） (1)已知，，将、、按从小到大的顺序排列（用“”连接） ； (2)如图1，点，点在线段上． ①若，写出点M的坐标； ②在图1中画出满足的点M组成的图形； (3)已知点，若线段上存在离心值为1的点，则m的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)①或；②见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，认真阅读，了解并熟练运用“离心值”的定义是解决本题的关键； （1）根据“离心值”的定义求解即可； （2）①设，再根据“离心值”的定义即可确定M的坐标； ②根据“离心值”的定义求出M的坐标，根据的取值正确画图即可； （3）根据P，Q的坐标可知，与x轴的夹角是， 根据“离心值”的定义可知，要使线段上存在离心值为1的点，则要与以原点为中心边长为1的正方形有交点即可，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意，知，， ； （2）解：①设， 若，则，令，得或， 若，则，不可能等于2， 所以M坐标为或； ②根据离心值的定义可知，对于线段上的点，它的横坐标， ， ， ， 在线段上取、，则M组成的图形即为线段． （3）解：， 在x轴上，Q在直线上，且的水平距离为，竖直距离为3，即的水平距离的竖直距离， 与x轴的夹角是， 线段上存在离心值为1的点， 要与以原点为中心边长为1的正方形有交点即可，如图， 当时，与正方形交于， 当时，与正方形交于， 当由移动到时，与正方形有交点， m的取值范围是． 4．定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及定义，解一元一次方程，难度较大，解题的关键是正确解一元一次方程． （1）根据“2阶方程”的定义即可求解； （2）先分别求出方程的“4阶方程”和的“1阶方程”，再根据有无数相同的解，列出新的关于k的方程求解即可； （3）先写出它的“3阶方程”，再根据方程解的定义得到，，再化简求出，即可写出方程的解，再将解代入，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，方程的“2阶方程”为：，即， 故答案为：； （2）解：方程的4阶方程为，即， 方程的1阶方程为，即 ∵两方程有无数相同的解 ∴两个方程可以看作同一个方程， ∴可变形为 ∴， 解得； （3）解：原方程为，其3阶方程为， ∵是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解， ∴将代入和， 则， 由①得，， 由②得，， ∴ 将代入 则， 解得 ∴ 将代入，则 ∴， ∴-． 5．如果关于的二元一次方程组的解满足，那么我们称这个方程组为“友好方程组”． (1)判断方程组是否为“友好方程组”，并说明理由． (2)若方程组是“友好方程组”，求的值． (3)若方程组的解是正整数，且是正整数，则这个方程组是否可以是“友好方程组”？如果可以，请求出的值及方程组的解；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)该方程组是“友好方程组”，理由见解析 (2)或 (3)这个方程组可以是“友好方程组”，且，方程组的解是 【分析】（1）求出方程组的解，再根据“友好方程组”的定义判断即可求解； （2）求出方程组的解，根据“友好方程组”的定义列出方程解答即可求解； （3）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好方程组”的定义判断即可求解； 【详解】（1）解：该方程组是“友好方程组”，理由如下： 解方程组，得所以，符合定义， 所以该方程组是“友好方程组”． （2）解：解方程组，得 由题意可知，， 即，解得或． （3）解：方程组两式相加可得． 若该方程组是“友好方程组”， 则，即或， 所以分以下两种情况讨论： ①当时，联立方程组解得将代入，得． 因为是正整数，所以不符合题意，舍去； ②当时，联立方程组解得 将代入，得． 综上所述，这个方程组可以是“友好方程组”，且，方程组的解是 【点睛】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，新定义，熟练掌握二元一次方程组的解和解二元一次方程组是解题的关键． 6．我们规定：在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点与点互为“等和点”． 例如：点与点互为“等和点”． (1)已知点，下列各点，，，其中与点互为“等和点”的是______． (2)点与点互为“等和点”，连接，直线交轴于点． 若，求点的坐标； 判断点与点是否互为“等和点”，并说明理由． (3)在（2）的条件下，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向下运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向左运动，连接，，直线，相交于点若三角形的面积为，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点 点与点互为“等和点”，理由见解析 (3)点或点 【分析】（1）分别计算出各个点的横纵坐标的和，即可得到与点互为“等和点”的点； （2）根据“等和点”的定义可得，与所给的联立求解，即可得到点的坐标；根据题意可得点在第二象限．连接，作轴，轴，根据的面积的不同表示方法可得的值，即可求得点的坐标，那么可得点与点是否互为“等和点”； （3）根据题意得到点在第一象限或第三象限，点的横、纵坐标相等，画出相应的图形，作轴于点，轴于点，设点的坐标为，根据的面积为可得的值，即可求得点的坐标，进而根据点和点关于点对称，可得点的坐标． 【详解】（1）解：，，，， 与点互为“等和点”的是， 故答案为：； （2）解：点与点互为“等和点”， ， ， ，解得：， 点； 点与点互为“等和点”． ， ． ， ． 在第二象限． 连接，作轴，轴， 则，， ， ． 三角形的面积三角形的面积三角形的面积， ． ， ． ． ， 点与点互为“等和点”； （3）解：如图，和的面积为，作轴于点，轴于点， 由题意得：点的坐标为， ， ， 解得：， 点的坐标为， ，， 的中点坐标为：， 由题意得：点和点关于点对称， 点的横坐标为：， 点的纵坐标为：， 综上：点或点。 【点睛】本题综合考查新定义的应用．理解并应用“等和点”的定义是解决本题的关键；难点是根据三角形的面积和面积的不同表示方法解决相关问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $