期中考前满分冲刺之优质压轴题-2025-2026学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

期中考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、函数的图象与解析式一选考（选、填） 1．在端午节即将来临之际，某商场搞优惠促销活动，其活动内容：“凡在本商场一次性购买粽子超过100元者，超过100元的部分按6折优惠”．在此活动中，方方到该商场一次性购买单价为80元的粽子礼盒，应付款y（元）与商品件数x（件）之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知表示出买件礼盒超过100元部分的应付款，然后加上100元，即可得到总应付款，据此列式解答． 【详解】解：∵凡在本商场一次性购买粽子超过100元者，超过100元的部分按6折优惠，方方到该商场一次性购买单价为80元的粽子礼盒件， ∴方方应付款y（元）与商品件数x（件）之间的关系式是：． 2．甲、乙两人沿相同的路线从地匀速行驶到地，已知，两地的路程为，他们行驶的路程与甲、乙出发的时间之间关系的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．甲的速度是 B．乙的速度是 C．乙比甲晚出发 D．甲比乙晚到地 【答案】B 【详解】解：由图象可知，当时，甲行驶了， 甲的速度是，选项说法错误； 当时，乙行驶了， 乙的速度是，选项说法正确； 由图可知，甲乙同时出发，选项说法错误； 甲在时到达，乙在时到达， 则甲比乙晚到地，选项说法错误． 3．均匀地向下面左图所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据水面上升高度的快慢进行判断函数图象即可． 【详解】解：根据立体图形可知，底部圆柱的半径较小，增加较快； 中部圆柱的半径较大，增加较慢； 上部圆柱的半径较小，增加较快； ∴对应的函数图象为． 4．如图，在中，，且，，点P是线段上一个动点由B向C以2移动，运动至点C停止，则的面积S随点P的运动时间x之间的关系式为______． 【答案】 【分析】因为点速度为，运动时间为秒，所以可得出的长度表达式，再结合三角形面积公式，即可推导出关系式．因为点P从B运动到C停止，所以需要确定x的取值范围，从而完善关系式． 【详解】解：∵点速度为，运动时间为秒， ∴； ∵点从运动到停止，， ∴，即． ∵ ， ∴与的关系式为． 5．“五一”期间，李校长一家开车去百里杜鹃旅游，出发前查看了油箱里有50升油，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，行驶80公里时，油箱里剩油量为__________升． 【答案】41 【分析】当时，由图①可以得到行驶的速度为公里，由图②可以得到每小时的耗油量为，由此可以解答． 【详解】解：由图象可知，当用时时，油量剩余，行驶了公里； 当时，每小时行驶的里程为公里，即每小时行驶的里程为公里，每小时耗油量为， 所以当用时时，刚好行驶了公里， 此时油箱里的剩余油量为． 6．小亮一家到某度假村度假．小亮和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发，爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不计）．如下图是他们离家的距离与小亮离家的时间的关系图．根据图中提供的信息回答问题： (1)小亮家到该度假村的距离是_____________； (2)小亮出发_____________小时后爸爸驾车出发；爸爸驾车的平均速度为_____________； (3)小亮从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时，离家的距离是_____________． 【答案】(1)60 (2)1；60 (3)30或45 【分析】（1）根据函数的定义，以及图象直接得出结论； （2）从图象中直接得出结论； （3）根据图象可以直接得出小亮从家去度假村的平均速度，设第一次相遇的时间为小时，根据离家的距离相等列出方程即可求解，即可得出小亮和爸爸第一次相遇时距家的距离；设第二次相遇的时间为小时，根据离家的距离相等列出方程即可求解，即可得出小亮和爸爸第二次相遇时距家的距离． 【详解】（1）解：图中的自变量是时间，因变量是离家的距离，小亮家到该度假村的距离是； （2）解：根据图象可知，小亮出发小时后爸爸驾车出发， 爸爸驾车的平均速度为：； （3）解：从图象可知，小亮从家去度假村的平均速度为, 设第一次相遇的时间为小时，根据题意得， 解得： ∴小亮从家去度假村途中第一次和爸爸相遇时离家的距离为； 设第二次相遇的时间为小时，根据题意得， 解得： ∴小亮从家去度假村途中第二次和爸爸相遇时离家的距离为km； 综上，小亮从家去度假村途中和爸爸相遇时离家的距离为或． 类型二、几何与函数图象问题—选考（选、填） 1．如图1，在中，，点P从点A出发，沿线段向终点C匀速运动，点Q同时从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，P，Q两点同时到达点C，已知点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，连接．设点P运动的路程为x，的面积为y，并绘制成如图2所示的图象，且点E的坐标为，请根据图1和图2的信息判断下列说法错误的是（    ） A．点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处 B．线段的长度为10 C．a的值为5 D．点D的坐标为 【答案】D 【分析】根据图象可知，，进而得到，设，勾股定理求出的值，进而求出的值，再进行判断即可． 【详解】解：∵点E的坐标为， ∴，此时点与点重合， ∴， ∵点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，且两个点同时出发，同时停止， ∴点的路程是点的2倍， ∴， 设，则， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴当点运动到点时，点运动的路程为10，此时， 的面积最大为， 故点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处，，； 综上，只有选项D错误． 2．如图1，在矩形中，动点从点出发，沿运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则的最大值是（   ） A．12 B．21 C．30 D．78 【答案】B 【分析】通过分析图象中随的变化情况，确定点在不同边上的运动路程，从而求出矩形的边长，进而计算三角形的最大面积． 【详解】解：由图（2）可知，当时，随的增大而增大，此时点在上运动， ； 当时，保持不变，此时点在上运动， ； 四边形是矩形， ； 当点在上运动时，的底边不变，高为，此时面积最大， 的最大值为． 3．如图①．在正方形的边上有一点E，连接．点P从正方形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点C，图②是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象．当时，y的值为（   ） A．6 B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是动点图象问题．①当点在点时，②当点在点时，③当时，，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为， ①当点在点时，，解得：， ②当点在点时，，解得：，即，， ③当时，如下图所示： 此时，，， 当时，． 4．如图，在长方形中，，，点P从点B出发沿向点C以的速度运动，运动时间为，Q是上的点（不与点A，D重合），到点A的距离为．若的面积为，则①S是x的函数；②x是t的函数；③中，正确的是______．（填序号） 【答案】③ 【分析】根据题意先表示出的长，进而表示出的长，利用三角形面积公式列出S与t的关系式，结合函数的定义对各个命题进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，，， ∵点P从点B出发沿向点C以的速度运动，运动时间为， ∴， ∵点Q在上，且， ∴点Q到的距离等于的长，即， ∴， 由此可知，S的值由t唯一确定，S是t的函数，且表达式为，故③正确， ∵S的值与x无关，对于确定的x值，t可以在范围内任意取值，导致S有多个值与之对应，不符合函数定义中“唯一确定”的要求， ∴S不是x的函数，故①错误； ∵x表示点Q到点A的距离，t表示点P的运动时间，两者之间没有依赖关系，对于确定的t值，x可以在范围内任意取值，不符合函数定义， ∴x不是t的函数，故②错误， 综上所述，正确的是③． 5．如图1，四边形是菱形，对角线相交于点两点同时从点出发，以1厘米秒的速度在菱形的对角线及边上运动．的运动路线：点为，点为．设运动的时间为秒，间的距离为厘米，与的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形的面积为_____． 【答案】平方厘米/ 【分析】根据图象可知整个过程分为三个过程：第一，两者都在上运动；第二，点在，点在；第三，两者都在运动．再根据运动速度和各个过程的运动路程进行求解即可． 【详解】解：根据题意可知，当，两点都在上运动时，最大值为， 厘米， 由菱形的性质，得厘米，， 同理，第三个过程开始时，、两点相距厘米， 厘米， （平方厘米）． 6．如图，在长方形中，动点P从A出发，以相同的速度，沿方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形的面积为 _____． 【答案】21 【分析】利用数形结合的思想进行求解． 【详解】解：由题意可知，当点P从点A运动到点B时，的面积不变，结合图象可知， 当点P从点B运动到点C时，的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知， ∴长方形的面积为：． 类型三、四边形中的最值问题（选、填） 1．如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点分别在和上滑动，连接（图中各点均在同一平面内），已知，在木板滑动的过程中，下面说法正确的是（   ） A．的最大值为9，最小值为3 B．的最大值为，最小值为3 C．的最大值为9，最小值为2 D．的最大值为，最小值为1 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 取的中点，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据勾股定理求得，再利用三边关系求出的最大值，通过观察图形得到最小值． 【详解】解：如图，取的中点， ， ， ， ， ，即存在最大值为9， 根据图形，可知当在上时，存在最小值，此时． 故选：A． 2．如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．利用正方形对角线的对称性，将转化为，将的最小值转化成即可得到答案． 【详解】解：连接，设与交于点， 正方形， 点与点关于对称， ， ， 即在与的交点上时，最小，为的长度， 中，，，， ． 故选B． 3．如图，正方形中，E、F分别为边上的动点，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，连接，，证明，求得，则，推出当共线时，取得最小值，最小值为的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，取得最小值，最小值为的长， ∴． 4．如图，矩形中，，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，连接，则当_______时，有最小值，的最小值为______ 【答案】 1 【分析】过作，利用正方形的性质和全等三角形的判定得出，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：过作，   正方形， ，， ， ， ，且，， ， ，， ， 当时，的最小值为． 5．如图，在边长为1的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且，连接，交于点G． （1）连接，则线段的最小值是 ___________； （2）取的中点H，连接，则线段的最小值是 ___________． 【答案】 【分析】（1）如图1，取的中点K，连接，则，，证明，可求，即，则，由勾股定理得，，由三角形三边关系可得，进而可求的最小值； （2）如图2，取的中点K，过点K作于N，延长至M，使，连接，则四边形是矩形，， ，由勾股定理得，，由三角形三边关系可得，即的最小值，由D、H分别是的中点，可得，进而可得线段DH的最小值． 【详解】（1）解：如图1，取的中点K，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点K是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵点K是的中点， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：如图2，取的中点K，过点K作于N，延长至M，使，连接，则四边形是矩形， ∴， ∴ ， 由勾股定理得，， ∵， ∴的最小值， ∵D、H分别是的中点， ∴， 即线段DH的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，矩形的判定与性质，中位线，三角形三边关系等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，矩形的判定与性质，中位线，三角形三边关系是解题的关键． 6．矩形中，点是上一点，，，，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则的最小值为______，面积的最小值为_____．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，由四边形为菱形可得，可知当时，取最小值， 即点重合，的值最小，即可求出的最小值；延长相交于点，过点作的延长线于点，可得，进而证明，得到，由此可知当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值，即当取最大时，点重合，求出，得到，进而得到，再根据三角形面积公式即可求解；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， 当时，取最小值， ∵四边形为矩形， ∴， ∴点重合，的值最小，即为的长， ∴的最小值为为， ∴的最小值为； 延长相交于点，过点作的延长线于点，则，    ∵四边形为矩形，四边形为菱形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值， 当取最大时，点重合，此时， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 类型四、四边形中的正确结论（选、填） 1．如图，四边形是平行四边形，点E是边上一点，且，交于点F，P是延长线上一点，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 故①平分，正确； ，， ， ， ， ， ， ， 故②③都正确； 根据前面的证明，得直线是线段的垂直平分线， 故， 故④正确． 2．如图，在锐角三角形中，是边上的高，向外作正方形和，连接、和，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】①根据正方形的性质可得，，，然后求出，可得，可得，判断①正确；②设、相交于点N，与相交于点O，根据可得，然后求出，判断②正确；④过点E作的延长线于P，过点G作于Q，求出，证明，可得，判断④正确；③证明出，得到，，判断③正确． 【详解】解：①在正方形和中， ，，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； ②设与相交于点N，与相交于点O， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴，故②正确； ④过点E作的延长线于P，过点G作于Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故④正确； ③∵， ∴， 同理可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 3．如图，在正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于点．下列结论：；；；；，其中结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得：，，根据等边三角形的性质可得：，利用可证，根据全等三角形的性质可证；根据全等三角形对应角相等可以求出，根据直角三角形两锐角互余可以求出；根据正方形的性质可知，根据等边三角形的性质可知；设，，可得：，，可知． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ， 在和中，， ， ， 故正确； 四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故正确； ，， 是的垂直平分线， ， 是正方形的对角线， ， ， 是等边三角形，是边上的高， 平分， ， ， 即， 故错误； 设，，则，， 是等边三角形， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：，(负值，舍去)， ， ， ， 故错误； 设， 则， 由可知， 则， ， ， ， 故正确； 综上所述，结论正确的是． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、特殊三角形的边的关系、三角形中线性质、等边三角形的性质和三角面积公式，熟练掌握并利用相关知识点逐个进行证明是解决问题的关键． 4．如图，在矩形中，，分别以点A，C为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交于点E，F．．下列结论：①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．其中正确结论的有 ________．（填写正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为O，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质和菱形的对角线平分每一组对角求出，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，由即可求解． 【详解】解：如图，设与的交点为O， 根据作图可得，且平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形，故①正确； ②∵， ∴， ∴；故②正确； ③由菱形的面积可得，故③不正确， ④∵四边形是菱形， ∴ 又∵， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．故④正确； 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 5．如图，矩形中，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，．则下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中正确结论的序号是 _____．（把正确结论的序号都填上）        【答案】①②③④ 【分析】证明，得出，故①正确；证明，得出，由，故③正确；证四边形是平行四边形，得出，故②正确；证四边形DEBF是平行四边形，证出，则，得出四边形是菱形；故④正确；即可得出结论． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，故③正确； ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形；故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 6．如图，在矩形中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F．下列结论： ①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．其中正确结论的有_____．（填写正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质和菱形的对角线平分每一组对角求出，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，由即可求解． 【详解】如图，设与的交点为， 根据作图可得，且平分， ， 四边形是矩形， ， ， 又， ， ， ， 四边形是平行四边形， 垂直平分， ， 四边形是菱形，故①正确； ②， ， ；故②正确； ③由菱形的面积可得；故③不正确， ④四边形是菱形， ∴， 又， 四边形是矩形， ， ∴， ， ， ∴．故④正确； 综上所述：正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 类型五、蚂蚁爬行问题（选、填、解） 1．如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，点B为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点B的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面展开最短路径问题，勾股定理，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点是解题的关键． 正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最短路径长． 【详解】解：根据题意如图， ∵正方体棱长为， ∴， 在中中， ∴它运动的最短路程． 故选：B． 2．如图，有一圆柱，其高为，它的底面周长为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点处，其中离上沿，则蚂蚁经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路程问题，将圆柱侧面展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁经过的最短路程，再利用勾股定理解答即可求解，找出蚂蚁经过的最短路径是解题的关键． 【详解】解：将圆柱侧面展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁经过的最短路程， 由题意可得，，， ∴， ∴蚂蚁经过的最短路程为， 故选：． 3．数学兴趣小组的小华同学某天在家观察到这样一个问题：如图一个棱长为的无盖正方体铁盒 不计铁盒厚度，有一只蚂蚁在铁盒上爬行．已知蚂蚁从点C出发，沿着外壁面正方形爬行，爬到边上再在边上爬行，最后再沿着内壁正方形爬行，最终到达内壁的中点P，蚂蚁所走的最短路程是______．    【答案】 【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，设蚂蚁在边 上爬行的距离为，连接 、，再将向左平移个单位得到，使点的对应点为，点的对应点为，然后过作于点，连接，此时蚂蚁所走的最短路程为最小，运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，设蚂蚁在边上爬行的距离为，连接、，再将向左平移个单位得到，使点的对应点为，点的对应点为，然后过作于点，连接，   ，，，， 此时，蚂蚁所走的最短路程为最小， 点是中点， ， ， ， ， 又， ，， ， 在中，， 蚂蚁所走的最短路程是， 故答案为：． 【点睛】本题考查最短路径问题，勾股定理，轴对称性质，平移的性质，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算． 4．如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点爬到点，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为______． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱体的侧面展开最短路径问题，勾股定理，正确确定展开图中个线段的长度是解题的关键．根据题意，圆柱的侧面展开图的长方形的长为，长方形的宽等于圆柱的高，根据题意，爬行到对面的意义即为求图中的长，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：根据题意，设圆柱的侧面展开图为长方形，，，， 如图所示：， 故答案为：． 5．长方体共顶点的三条棱长如图所示，三只蚂蚁同时从点A出发，同速沿长方体表面爬行去点M处觅食，蚂蚁甲、乙、丙的爬行路径分别为、、，若三只蚂蚁都爬行自己的最短路径，通过计算说明哪只蚂蚁最先到达，哪只蚂蚁最后到达？ 【答案】蚂蚁甲最先到达，蚂蚁丙最后到达 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 【详解】解：蚂蚁甲需要爬行的最短距离为： ， 蚂蚁乙需要爬行的最短距离为： ， 蚂蚁丙需要爬行的最短距离为： ， ∵，且三只蚂蚁同时从点A出发，速度相同， ∴蚂蚁甲最先到达，蚂蚁丙最后到达． 6．初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦平面的“几何图形的特征和运用”，形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略． 问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，如何求最短路程呢？ (1)问题分析：蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，可以有几条路径？在图中画出来； (2)问题探究：①若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程； ②若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程； ③若圆柱体的底面圆的半径为，高为，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程． 【答案】(1)3条，图形见解析 (2)①；②；③ 【分析】（1）共有3条路径，第一条先沿圆柱体的高爬行，再从上底面边缘爬行；第二条先沿圆柱体的高爬行，再从上底面直径爬行；第三条沿圆柱体侧面爬行，即可； （2）①连接，利用两点之间，线段最短，在中，根据勾股定理，求出的长，即可求解；②利用两点之间，线段最短，在中，根据勾股定理，求出的长，即可求解；③利用两点之间，线段最短，在中，根据勾股定理，求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：共有3条路径，如下图： （2）解：①如图，连接， 根据题意得：，， ∴， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为； ②i)如图，连接， 根据题意得：，， ∴， ii)此时考虑从A-B-C线路这一情况， 所以这一线路的路程为， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为； ③如图，连接， 根据题意得：，， ∴， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 类型六、特殊平行四边形的比值问题（选、填、解） 1．如图，在中，，以的每一条边为边作三个正方形．与、交于点，欧几里得在《几何原本》中利用该图证明了勾股定理，现连接，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质先证出，利用全等三角形的性质可得，进而可得，由含角的直角三角形性质可得，设，继而可分别求出，，可得，证明，从而得，然后代入所求数据即可得的值． 【详解】解：四边形、、是正方形， ，，，， ，即， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 设，则，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 2．如图，在中，，，点E在上，且，点F在边上运动，以为斜边向右上方作等腰直角三角形，，连接，当的长最小时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．过点G作于点M，于点N，证明四边形为矩形，，得到点G在的平分线上，当时，最小，证明，设，根据，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图1，过点G作于点M，于点N． ， 四边形为矩形， ， ， ， 在和中， ，， ， ， 点G在的平分线上． 当时，最小，此时，如图2， 平分， ， ， 是以为斜边的等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，设， ， ， 在中，， ， ， ． 故选A． 3．如图，有一张矩形纸条，点在边上，把沿着直线折叠，使点在同一条直线上，的角平分线交于点，在边上有一点，连接交于点．若，则___________；___________． 【答案】 1 【分析】由折叠可知，．求出．设，则．在中，利用勾股定理求出的值，即可得到；过点分别作于点，根据角平分线的性质得到．根据，，求出，即可求解．详解 【详解】解：由折叠可知，． ， ． 设，则． 在中，． ，即； ． 过点分别作于点， 平分， ． ，， ，， ， ． 4．如图，正方形的边长为2，点是上一动点，将沿翻折，点落到点，连接，，当取得最大值时，的长为_____． 【答案】 【分析】如图1所示，过点A作于点H，过点C作，交直线于点G，由正方形和折叠的性质可证明，由三线合一定理可得，证明，得到，，根据，得到当点G与点F重合时，有最大值；如图2所示，可证明，设，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，过点A作于点H，过点C作，交直线于点G， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴当点G与点F重合时，有最大值； 如图2所示，由图1可知，，， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 5．根据题目要求，解答下列各题 (1)如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，直接写出线段，，的数量关系：______； (2)如图2，在正方形中，，交于点，，若，，，求的长． (3)如图3，在正方形中，点在线段的延长线上，，过点作于点，连接，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）延长至点，使得，容易证明，则，，进而可证明，因此； （2）过点作的垂线，交于点，交于点，容易证明，．此时，符合（1）中的模型，因此，设，则，，在直角中，利用勾股定理构造方程解出的值，再利用勾股定理求出； （3）过点作的垂线，交于点，利用正方形的性质可得，结合同角的余角相等可得，，从而证明，则，．利用勾股定理可得，结合，计算出比值． 【详解】（1）解：如图，延长至点，使得， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作的垂线，交于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，此时， 设， ∴，， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴，， 在直角中，； （3）解：如图，过点作的垂线，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在直角中，， ∵， ∴，即． 6．如图，在正方形中，E为上一点（不与端点重合），延长至点F使，连结，过点F作于点G，连结，，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求的长． (3)当点E在上任意运动时（不与端点重合），求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明一组对边平行且相等，即可证明． （2）先得到是等腰直角三角形，由此可求解的长度，再根据求解即可． （3）先由边角边证明和全等，由此可得，，再由边角边证明和全等，由此可得，，再得是等腰直角三角形，由勾股定理求解与的长度关系可求． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，，如图所示： ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∴． 类型七、特殊平行四边形的折叠问题（选、填、解） 1．如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形的性质和得，利用平角的定义可求出，由折叠的性质得，利用平角的定义可求出，由折叠的性质得，则． 本题主要考查了长方形的性质，图形的折叠变换及性质，角的计算，准确识图，理解长方形的性质，熟练掌握图形的折叠变换及性质是解题的关键． 【详解】解：在长方形纸片中，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， 故选：B． 2．如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接相交于于点，根据折叠的性质可得，进而得出四边形是平行四边形，设，则，，在中，利用勾股定理列出方程，求得，进而可得． 【详解】解：连接相交于于点， 将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处， ，，， ， 又将沿折叠，点恰好落在上的点处，， ，，，， ， ， ， ， ， 又四边形是矩形，， ， 四边形是平行四边形， ， 设，则，， ，， ， ，， 在中，， 即， 化简方程解得，， ， 舍去， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，平行四边形的性质与判定，矩形的性质等知识，掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 3．如图，将进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，，，，则线段的长度为__________． 【答案】24 【分析】由平行四边形的性质可得，，，可得，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求的长，的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点C得到， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，长方形纸片中，点E，F分别在，边上，将纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，然后再次折叠纸片，使点F与点重合，点C落在点处，折痕为，若，则______°． 【答案】145 【分析】根据将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，得出，可得，根据四边形为矩形，得出，可得，可求，根据为对称轴，可得，可得，根据，列方程，解方程即可． 【详解】解：∵将纸片沿折叠，使点落在边上的点处， ， ， ，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵为对称轴， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：145． 【点睛】本题考查折叠性质，矩形性质，平行线性质，补角性质，列一元一次方程，掌握折叠性质，矩形性质，平行线性质，补角性质，列一元一次方程是解题关键． 5．综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)【操作与证明】： ①如图①所示，王华将矩形沿折叠后，使得点与点重合，点与点重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张亮将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，过点作交于点，求证：四边形是菱形； (2)【迁移应用】： 如图③所示，李明将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，连接，若，求的长． 【答案】(1)①；②证明过程见详解 (2)的长为 【分析】（1）①根据折叠得到，由平角的性质得到，由此得到，根据矩形的性质得到，根据平行线的性质即可求解； ②根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，由折叠的性质，可证，，结合菱形的判定方法即可求解； （2）根据矩形的性质得到，，，由勾股定理得到，根据折叠得到，由全等的性质得到，如图所示，过点作于点，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：∵四边形是矩形， ∴，，即， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵折叠， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， 由（1）得到， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形与折叠的性质是关键． 6．【问题情境】矩形的折叠 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以折纸活动是一种有效的学习方式．活动课上，同学们选取相同矩形纸片进行操作，其中． 【初步操作】 （1）小刚将图①中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，然后把纸片展平得到图②，证明四边形是正方形； 【操作探究】 （2）小红将矩形纸片先沿着与平行的虚线折叠（如图③），使点A、D分别落在上的G、H处，E，F分别在边上，将矩形纸片沿着折叠，点G、H分别落在点与点处，恰好点B在边上，与相交于点O，且，又已知，求线段的长； 【深入研究】 （3）如图④，小明将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得折痕，沿着折痕剪开．E、F分别在边上，，将矩形纸片沿着折叠，点M、D分别落到点与点处．点E从点N单向运动到点M的过程中，若边与边交于点P． 填空：的最大值为________；点P运动的路径长为________． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）8； 【分析】（1）由矩形的性质得到，由折叠的性质得到，，则可证明是等腰直角三角形，得到，据此可证明结论； （2）先证明四边形是矩形，得到，，则；可证明，得到，，则，；由折叠的性质可得，，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案 （3）如图3-1所示，可证明，得到，则，故当时，有最小值，即此时有最大值，可证明此时四边形是矩形，则，即；如图3-2所示，当点E与点N重合时，同理可得，设，则，由勾股定理得，解方程可得；如图3-3所示，当点P恰好与点重合时，由折叠的性质可得，则，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； （2）∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 由折叠的性质可得，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （3）如图3-1所示，由折叠的性质可得，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，有最大值， ∴当时，有最小值，即此时有最大值， ∴此时四边形是矩形， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点E与点N重合时，同理可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 如图3-3所示，当点P恰好与点重合时， 由折叠的性质可得， ∴， ∴点P运动的路径长为． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正方形的判定，全等三角形的性质与判定等待，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 类型八、二次根式有理化（解） 1．阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． (1)归纳：请直接写出下列各式的结果：①_________；②_________． (2)应用：化简． (3)拓展：求的值．（用含n的式子表示，n为正整数） 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用分母有理化，进行计算即可解答； （2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （3）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解： ； （3）解： ． 2．小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)计算：． (2)若． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2)①; ② 【分析】（1）结合题意进行分母有理化即可得解； （2）分母有理化后推得， ①将原式化为后代入求解即可； ②将原式化为，代入推得原式后，再代入即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ①； ②， ， ， ， ， ． 3．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值，他是这样解答的： ∵，∴， ∴，即， ∴．∴． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)计算：________． (2)化简：． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分子分母同时乘以，计算即可得出结果； （2）先将分母有理化，再计算加减即可得出结果； （3）先求出，从而得出，将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：； （2）解：∵，，， …， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ． 4．像、（）、（）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出的有理化因式：__________； (2)化简：； (3)当时，直接写出代数式的最大值：_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据有理化因式的定义和平方差公式解答即可； （2）将每一项的分母有理化后即可计算； （3）先将原式化为，由，可知当时，有最小值，进而求得原式的最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式为； （2）解：原式； （3）解：， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， 此时的值最大，最大值为， 即代数式的最大值为． 5．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知x、y是两个正整数，且记作、，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．”例如： (1)分母有理化：______；化简“理想二次根式”：______． (2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）中分母有理化将分子分母同乘分母的共轭根式，化简后得；理想二次根式，找且的两个数,，配方化简为； （2）中先将分母有理化得，再将的分母配方化简为，分母有理化得，最后求的值，根号部分恰好抵消，结果为整数3． 【详解】（1）解：， ， 令， ； （2）解：， ， ， ． 6．观察下列各式： ； 试求下列各式的值： (1)______； (2)（为正整数）______； (3)______； (4)（为正整数）=______． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （3）先分母有理化，然后合并同类二次根式，最后化简二次根式后进行有理数的减法运算； （4）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 类型九、特殊平行四边形的的动点问题（解） 1．如图，在中，，，，点M是的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点M运动．过点P作交边于点D，以为一边在右侧作矩形，使．设矩形与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒． (1)直接用含t的代数式表示的长； (2)当点E落在边上时，求t的值； (3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟悉矩形性质和分类讨论思想的应用． （1）根据等腰直角三角形得和，结合矩形的性质得，即可知，则； （2）由矩形的性质得和，可得，结合即可求得； （3）当时，则；当时，由和，，即有；当时，同理可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点M运动． ∴， ∵． ∴； （2）解：如图， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 由（1）知，，， ∵， ∴，解得； （3）解：当时，矩形在中，此时， ； 若点F与点B重合时，，解得， 当时，如图， 由（1）知，，， ∴，， ∴， 则 ； 当时，如图， 同理可得， ； 那么，． 2．如图，四边形中，,点在边上，四边形为平行四边形，，动点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设点的运动时间为秒． (1)的长为___________，的长为___________； (2)连结，若将的面积分为两部分，求的值； (3)若为等腰三角形，求的值； (4)在点运动过程中，作点关于直线的对称点，当直线与边或边平行或共线时，直接写出的值． 【答案】(1)13，20 (2)5或 (3)或或 (4)5或 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案． （2）先表示出,，再分两种情况可得或，然后得出两个方程，求出解即可； （3）作，连接，根据平行四边形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据为等腰三角形，分三种情况，分别列出方程求出解即可； （4）当共线时，则，根据可得，即可求出；当时，连接，先根据“边边边”证明，再说明，进而得出，即可得出四边形是菱形，然后根据边长相等可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：13，20； （2）解：如图所示， 由题意，得, ∵， ∴． ∵将的面积分为两部分， 即或，且等高， ∴或， ∴或， ∴或， 解得或， ∴t的值为5或； （3）解：如图，过点E作，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵, ∴． 由（1）知由（2）知， ∴． ∵为等腰三角形， ∴分三种情况： 当时，则， 解得； 当时， ∴即则， 解得； 当时，， ∵， ∴， 在中，，即， 解得． 综上所述，当为等腰三角形，t的值为或或； （4）解：∵点B，C，D在同一条直线上，点M与点D关于直线对称， ∴如图所示，当共线时，则， 同理（3）可得， ∴， ∴； 如图，当时，连接， 由对称的性质得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴点M在上，即四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形， ∴，即， 解得． 综上所述，当直线与边或边平行或共线时，t的值为5或． 【点睛】运用分类讨论的思想方法是解题的关键． 3．如图，点为矩形的对称中心，，，点、、分别在边、、上．点从点出发向点运动，速度为，点从点出发向点运动，速度为，点从点出发向点运动，速度为．当点到达点（即点与点重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，关于直线的对称图形是，设点、、运动的时间为（单位：s）． (1)四边形 ______（填“能”或“不能”）是正方形；该图形面积用t表示为______； (2)若M、N分别是、的中点，连接，问：当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)是否存在实数t，使得点与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不能， (2)； (3)． 【分析】（1）由题意得，则四边形不能是正方形，再结合矩形的性质以及轴对称的性质进行分析，即可作答．； （2）连接，证明四边形是矩形，求得，推出当时，四边形是平行四边形，据此求解即可； （3）由对称的性质知是线段的垂直平分线，当点与点重合时，，利用等积法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∵， ∴四边形不能是正方形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵关于直线的对称图形是， 则四边形 ， 故答案为：不能； （2）解： 连接， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴， 当时，四边形是平行四边形， 此时，即， 解得； （3）解：存在实数，使得点与点重合， 连接交于点，连接，， ∵矩形，，， ∴， ∴， ∵关于直线的对称图形是， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 当点与点重合时，， 在中，，，， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 4．如图①，在矩形中，，，点从点出发，沿运动，已知沿运动时的速度为每秒6个单位长度，沿运动时的速度为每秒4个单位长度．点从点出发沿方向运动，速度为每秒2个单位长度．若、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．连接． (1)当点沿运动时，求的长（用含的代数式表示）． (2)过点作，交于点，连接，如图②．在点沿运动过程中，是否存在线段扫过的图形（阴影部分）被线段分成面积相等的两部分的情况，若存在，求出所有的值，若不存在，请说明理由． (3)设点、关于直线的对称点分别为、，在点沿运动过程中，时，求的值（直接写出结果）． 【答案】(1)当点P沿运动时，；当点P沿运动时， (2)或 (3) 【分析】（1）分情况讨论，当P点沿运动时，当P点沿运动时分别表示出的值即可； （2）分P点在上和P点在上两种情况，利用三角形面积相等建立方程求解即可； （3）根据和的位置分情况讨论，先由轴对称得出四边形为正方形，再根据正方形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：当点P沿运动时，， 当点P沿运动时，； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴四边形是矩形， 分以下两种情况： 当P点在边上运动时， ∵的面积被平均分成两部分， ∴过的中点，即此时P点与A点重合， ∴； 当P点在上运动时， ∵四边形的面积被平均分成两部分， ∴此时P点与R点重合，， 即， 解得， 综上，符合条件的t的值为或； （3）解：由题意可得，， 当点运动到点时，； 当点运动到点时，； 当点运动到点又返回到点时，； 当点运动到点时，； 当时，或，解得或， 分以下三种情况： ①如图，当P沿运动时，，如图，此时， 由和折叠可得，， ∴， ∴，即， 解得（不合题意）； ②如图，当P沿运动时，在下方，此时，，， ∵点是C点的对称点，， ∴四边形是正方形， ∴， 同理， ∴， 即 解得（不符合题意舍去）； ③如图，当P沿运动时，在上方，此时，，， 同理②可得， 即， 解得（不符合题意舍去）； ④如图，当P沿运动时，在上方，此时，，， 同理②可得， 即， 解得（不符合题意舍去）； ⑤如图，当P沿运动时，在下方，此时，，， 同理②可得， ， 解得， 综上，符合条件的t的值为． 【点睛】熟练掌握矩形的性质，对称的性质，再根据点的运动列方程求解是解题的关键． 5．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点分别从点同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为（秒）． (1)当为何值时，四边形是平行四边形； (2)当为何值时，以为顶点的梯形面积等于？ (3)是否存在点，使？若存在，请直接写出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)或 (3)存在，的值为或 【分析】（）分从运动到和从运动到两种情况，根据平行四边形的性质列出方程解答即可求解； （）分从运动到和从运动到两种情况，根据梯形的面积公式列出方程解答即可求解； （）分从运动到和从运动到两种情况，根据等腰三角形和矩形的性质列出方程解答即可求解； 本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质等，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 当从运动到时， ∵，， ∴， 解得； 当从运动到时， ∵，， ∴， 解得； ∴当或时，四边形是平行四边形； （2）解：∵以为顶点的梯形面积等于， ∴， 当从运动到时，则， 解得； 当从运动到时，则， 解得； ∴当或时，以为顶点的梯形面积等于； （3）解：存在． 当从运动到时，如图，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴符合题意； 当点返回时，如图，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴符合题意； 综上，存在点，使，此时的值为或． 6．如图，在平行四边形中，为锐角，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)点在上运动时，______；点在上运动时，______．（用含的代数式表示） (2)点在上，时，求的值． (3)当直线平分平行四边形的面积时，求的值． (4)若点的运动速度改变为每秒个单位．当，平行四边形的某两个顶点与、所围成的四边形为菱形时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，菱形的判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的点的位置． （1）根据题意：当点在上运动时，，点在上运动时，； （2）点在上，时，，即可求得； （3）根据题意求得，然后根据点和点在各边上的情况分类讨论即可求得的值； （4）当时，则为菱形或菱形，据此可求得的值． 【详解】（1）解：当点P在上时， ∵， ∴， 当点P在上时， ， 故答案为：，； （2）解：当点在上，时，点在上，且， ， ， 解得：， 的值为：9； （3）解：当点依次在、、、上时，的取值范围依次为：、、、， 当点依次在、、、上时，的取值范围依次为：、、、， 由于当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． ； 当，点在上，点在上时，直线平分平行四边形的面积， ，即， 解得：， 当，点在上，点在上时，直线平分平行四边形的面积， ，即， 解得：， 综上所述：当直线平分平行四边形的面积时，的取值为：或； （4）解：， ， 点P在上，点Q在上， ①当四边形为菱形时， 此时， ∴， ∴， ②当四边形为菱形时， 此时， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 类型十、无刻度尺作图（解） 1．在的方格纸中，点都在格点上，按要求画图：（保留画图痕迹） (1)在图1中为内一格点（仅用无刻度的直尺），，为边上的点，使四边形是平行四边形． (2)在图2中仅用无刻度的直尺，过点作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，找到格点 点，连接与交于点，连接与交于点，四边形即为所求； 根据可得到，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 根据格点性质可知， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，找到两点，连接与交于点，即为所求； 利用格点图的性质易知四边形为矩形， ∴， 又通过格点图特点易知为中点， ∴为三角形的中位线， ∴． 2．（1）四边形为矩形，中，，请用无刻度的直尺作出的高； （2）四边形为矩形，，为上的两点，且，请用无刻度的直尺找到的中点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）作矩形的对角线，它们相交于点O，连接EO并延长交BC于H，则EH⊥BC； （2）分别延长BE和CF，它们相交于点M，再作矩形的对角线，它们相交于点O，连接MO并延长交BC于P，则BP=CP． 【详解】解：（1）如图1，EH为所作； （2）如图2，点P为所作． 【点睛】本题考查了作图-法则作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 3．如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，、是如图所示小长方形的顶点，请在大长方形中按下列要求完成画图： （1）请你仅用无刻度直尺在图1中画一个等腰，其中； （2）请你仅用无刻度直尺在图2作出线段的垂直平分线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）如图1所示，取点C，连接AC、BC，然后找出图中全等的三角形，依据全等三角形的性质可证明AB=BC，最后再结合全等三角形的性质和直角三角形的性质即可证明； （2）先确定出AB的中点D，然后再确定出AC的中点E，依据直角三角形斜边上中线的性质可得到AE=BE，则DE为AB的垂直平分线． 【详解】解：如图：（1）三角形ABC即为所求； （2）直线DE即为所求． 【点睛】本题考查了尺规作图，熟练掌握矩形的性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定方法是解题的关键． 4．如图，在矩形中，点为的中点，请你只用无刻度的直尺作图． (1)如图1，在上找一点，使； (2)如图2，在上找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，两点确定一条直线，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）连接交于点O，作直线交于点F，点F即为所求； （2）在（1）图的基础上，连接交于点M，点即为所求． 【详解】（1）解：点F即为所求； （2）解：点即为所求 5．如图，E是中AB边的中点．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，AC为的对角线，作中BC边上的中线． (2)如图②，BD为的对角线，过点E作BD的平行线． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质和三角形中线的定义，结合三角形三条中线交于一点的性质来作图； （2）利用平行四边形的中心对称性和对边平行的性质，构造平行线． 【详解】（1）解：（作法不唯一）如图①，根据三角形的三条中线交于一点，连接，作出的中线，交于点，连接延伸到交于，即为所求． （2）解：如图②，连接与交于点，连接与交于点，连接与交于点，连接与交于点，连接，即为所求． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与无刻度的直尺作图，掌握平行四边形的中心对称性质、三角形中线的性质，以及利用这些性质进行无刻度的直尺作图的方法是解题的关键． 6．请用无刻度直尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图，点是菱形边上一点，连接．求作，使，且点在边上； (2)如图，点是菱形边上的一点．求作边上的点，使； (3)如图3，四边形中，，，平分线交边于点，求作线段的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）连接、交于点，作射线交于点，连接，则； （2）连接、于点，作射线交于点，则； （3）连接交于点，作射线交于点，则点为的中点． 【详解】（1）解：如图，为所求； ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴（）， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴（）， ∴； （2）解：如图，点为所求； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴（） ∴； （3）解：如图点为所求； ∵， 连接交于点，作射线交于点 ∵平分， ∴ 又∵，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即点是的中点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、函数的图象与解析式一选考（选、填） 1．在端午节即将来临之际，某商场搞优惠促销活动，其活动内容：“凡在本商场一次性购买粽子超过100元者，超过100元的部分按6折优惠”．在此活动中，方方到该商场一次性购买单价为80元的粽子礼盒，应付款y（元）与商品件数x（件）之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 2．甲、乙两人沿相同的路线从地匀速行驶到地，已知，两地的路程为，他们行驶的路程与甲、乙出发的时间之间关系的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．甲的速度是 B．乙的速度是 C．乙比甲晚出发 D．甲比乙晚到地 3．均匀地向下面左图所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，且，，点P是线段上一个动点由B向C以2移动，运动至点C停止，则的面积S随点P的运动时间x之间的关系式为______． 5．“五一”期间，李校长一家开车去百里杜鹃旅游，出发前查看了油箱里有50升油，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，行驶80公里时，油箱里剩油量为__________升． 6．小亮一家到某度假村度假．小亮和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发，爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不计）．如下图是他们离家的距离与小亮离家的时间的关系图．根据图中提供的信息回答问题： (1)小亮家到该度假村的距离是_____________； (2)小亮出发_____________小时后爸爸驾车出发；爸爸驾车的平均速度为_____________； (3)小亮从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时，离家的距离是_____________． 类型二、几何与函数图象问题—选考（选、填） 1．如图1，在中，，点P从点A出发，沿线段向终点C匀速运动，点Q同时从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，P，Q两点同时到达点C，已知点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，连接．设点P运动的路程为x，的面积为y，并绘制成如图2所示的图象，且点E的坐标为，请根据图1和图2的信息判断下列说法错误的是（    ） A．点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处 B．线段的长度为10 C．a的值为5 D．点D的坐标为 2．如图1，在矩形中，动点从点出发，沿运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则的最大值是（   ） A．12 B．21 C．30 D．78 3．如图①．在正方形的边上有一点E，连接．点P从正方形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点C，图②是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象．当时，y的值为（   ） A．6 B． C． D．8 4．如图，在长方形中，，，点P从点B出发沿向点C以的速度运动，运动时间为，Q是上的点（不与点A，D重合），到点A的距离为．若的面积为，则①S是x的函数；②x是t的函数；③中，正确的是______．（填序号） 5．如图1，四边形是菱形，对角线相交于点两点同时从点出发，以1厘米秒的速度在菱形的对角线及边上运动．的运动路线：点为，点为．设运动的时间为秒，间的距离为厘米，与的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形的面积为_____． 6．如图，在长方形中，动点P从A出发，以相同的速度，沿方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形的面积为 _____． 类型三、四边形中的最值问题（选、填） 1．如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点分别在和上滑动，连接（图中各点均在同一平面内），已知，在木板滑动的过程中，下面说法正确的是（   ） A．的最大值为9，最小值为3 B．的最大值为，最小值为3 C．的最大值为9，最小值为2 D．的最大值为，最小值为1 2．如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C．3 D． 3．如图，正方形中，E、F分别为边上的动点，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，矩形中，，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，连接，则当_______时，有最小值，的最小值为______ 5．如图，在边长为1的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且，连接，交于点G． （1）连接，则线段的最小值是 ___________； （2）取的中点H，连接，则线段的最小值是 ___________． 6．矩形中，点是上一点，，，，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则的最小值为______，面积的最小值为_____．    类型四、四边形中的正确结论（选、填） 1．如图，四边形是平行四边形，点E是边上一点，且，交于点F，P是延长线上一点，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在锐角三角形中，是边上的高，向外作正方形和，连接、和，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，在正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于点．下列结论：；；；；，其中结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，，分别以点A，C为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交于点E，F．．下列结论：①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．其中正确结论的有 ________．（填写正确结论的序号） 5．如图，矩形中，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，．则下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中正确结论的序号是 _____．（把正确结论的序号都填上）        6．如图，在矩形中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F．下列结论： ①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．其中正确结论的有_____．（填写正确结论的序号） 类型五、蚂蚁爬行问题（选、填、解） 1．如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，点B为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点B的最短路程是（    ） A． B． C． D． 2．如图，有一圆柱，其高为，它的底面周长为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点处，其中离上沿，则蚂蚁经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 3．数学兴趣小组的小华同学某天在家观察到这样一个问题：如图一个棱长为的无盖正方体铁盒 不计铁盒厚度，有一只蚂蚁在铁盒上爬行．已知蚂蚁从点C出发，沿着外壁面正方形爬行，爬到边上再在边上爬行，最后再沿着内壁正方形爬行，最终到达内壁的中点P，蚂蚁所走的最短路程是______．    4．如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点爬到点，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为______． 5．长方体共顶点的三条棱长如图所示，三只蚂蚁同时从点A出发，同速沿长方体表面爬行去点M处觅食，蚂蚁甲、乙、丙的爬行路径分别为、、，若三只蚂蚁都爬行自己的最短路径，通过计算说明哪只蚂蚁最先到达，哪只蚂蚁最后到达？ 6．初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦平面的“几何图形的特征和运用”，形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略． 问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，如何求最短路程呢？ (1)问题分析：蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，可以有几条路径？在图中画出来； (2)问题探究：①若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程； ②若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程； ③若圆柱体的底面圆的半径为，高为，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程． 类型六、特殊平行四边形的比值问题（选、填、解） 1．如图，在中，，以的每一条边为边作三个正方形．与、交于点，欧几里得在《几何原本》中利用该图证明了勾股定理，现连接，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，点E在上，且，点F在边上运动，以为斜边向右上方作等腰直角三角形，，连接，当的长最小时，的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，有一张矩形纸条，点在边上，把沿着直线折叠，使点在同一条直线上，的角平分线交于点，在边上有一点，连接交于点．若，则___________；___________． 4．如图，正方形的边长为2，点是上一动点，将沿翻折，点落到点，连接，，当取得最大值时，的长为_____． 5．根据题目要求，解答下列各题 (1)如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，直接写出线段，，的数量关系：______； (2)如图2，在正方形中，，交于点，，若，，，求的长． (3)如图3，在正方形中，点在线段的延长线上，，过点作于点，连接，求的值． 6．如图，在正方形中，E为上一点（不与端点重合），延长至点F使，连结，过点F作于点G，连结，，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求的长． (3)当点E在上任意运动时（不与端点重合），求的值． 类型七、特殊平行四边形的折叠问题（选、填、解） 1．如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，将进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，，，，则线段的长度为__________． 4．如图，长方形纸片中，点E，F分别在，边上，将纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，然后再次折叠纸片，使点F与点重合，点C落在点处，折痕为，若，则______°． 5．综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)【操作与证明】： ①如图①所示，王华将矩形沿折叠后，使得点与点重合，点与点重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张亮将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，过点作交于点，求证：四边形是菱形； (2)【迁移应用】： 如图③所示，李明将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，连接，若，求的长． 6．【问题情境】矩形的折叠 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以折纸活动是一种有效的学习方式．活动课上，同学们选取相同矩形纸片进行操作，其中． 【初步操作】 （1）小刚将图①中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，然后把纸片展平得到图②，证明四边形是正方形； 【操作探究】 （2）小红将矩形纸片先沿着与平行的虚线折叠（如图③），使点A、D分别落在上的G、H处，E，F分别在边上，将矩形纸片沿着折叠，点G、H分别落在点与点处，恰好点B在边上，与相交于点O，且，又已知，求线段的长； 【深入研究】 （3）如图④，小明将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得折痕，沿着折痕剪开．E、F分别在边上，，将矩形纸片沿着折叠，点M、D分别落到点与点处．点E从点N单向运动到点M的过程中，若边与边交于点P． 填空：的最大值为________；点P运动的路径长为________． 类型八、二次根式有理化（解） 1．阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． (1)归纳：请直接写出下列各式的结果：①_________；②_________． (2)应用：化简． (3)拓展：求的值．（用含n的式子表示，n为正整数） 2．小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)计算：． (2)若． ①求的值； ②求的值． 3．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值，他是这样解答的： ∵，∴， ∴，即， ∴．∴． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)计算：________． (2)化简：． (3)若，求的值． 4．像、（）、（）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出的有理化因式：__________； (2)化简：； (3)当时，直接写出代数式的最大值：_______． 5．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知x、y是两个正整数，且记作、，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．”例如： (1)分母有理化：______；化简“理想二次根式”：______． (2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 6．观察下列各式： ； 试求下列各式的值： (1)______； (2)（为正整数）______； (3)______； (4)（为正整数）=______． 类型九、特殊平行四边形的的动点问题（解） 1．如图，在中，，，，点M是的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点M运动．过点P作交边于点D，以为一边在右侧作矩形，使．设矩形与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒． (1)直接用含t的代数式表示的长； (2)当点E落在边上时，求t的值； (3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 2．如图，四边形中，,点在边上，四边形为平行四边形，，动点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设点的运动时间为秒． (1)的长为___________，的长为___________； (2)连结，若将的面积分为两部分，求的值； (3)若为等腰三角形，求的值； (4)在点运动过程中，作点关于直线的对称点，当直线与边或边平行或共线时，直接写出的值． 3．如图，点为矩形的对称中心，，，点、、分别在边、、上．点从点出发向点运动，速度为，点从点出发向点运动，速度为，点从点出发向点运动，速度为．当点到达点（即点与点重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，关于直线的对称图形是，设点、、运动的时间为（单位：s）． (1)四边形 ______（填“能”或“不能”）是正方形；该图形面积用t表示为______； (2)若M、N分别是、的中点，连接，问：当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)是否存在实数t，使得点与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 4．如图①，在矩形中，，，点从点出发，沿运动，已知沿运动时的速度为每秒6个单位长度，沿运动时的速度为每秒4个单位长度．点从点出发沿方向运动，速度为每秒2个单位长度．若、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．连接． (1)当点沿运动时，求的长（用含的代数式表示）． (2)过点作，交于点，连接，如图②．在点沿运动过程中，是否存在线段扫过的图形（阴影部分）被线段分成面积相等的两部分的情况，若存在，求出所有的值，若不存在，请说明理由． (3)设点、关于直线的对称点分别为、，在点沿运动过程中，时，求的值（直接写出结果）． 5．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点分别从点同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为（秒）． (1)当为何值时，四边形是平行四边形； (2)当为何值时，以为顶点的梯形面积等于？ (3)是否存在点，使？若存在，请直接写出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平行四边形中，为锐角，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)点在上运动时，______；点在上运动时，______．（用含的代数式表示） (2)点在上，时，求的值． (3)当直线平分平行四边形的面积时，求的值． (4)若点的运动速度改变为每秒个单位．当，平行四边形的某两个顶点与、所围成的四边形为菱形时，直接写出的值． 类型十、无刻度尺作图（解） 1．在的方格纸中，点都在格点上，按要求画图：（保留画图痕迹） (1)在图1中为内一格点（仅用无刻度的直尺），，为边上的点，使四边形是平行四边形． (2)在图2中仅用无刻度的直尺，过点作的平行线． 2．（1）四边形为矩形，中，，请用无刻度的直尺作出的高； （2）四边形为矩形，，为上的两点，且，请用无刻度的直尺找到的中点． 3．如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，、是如图所示小长方形的顶点，请在大长方形中按下列要求完成画图： （1）请你仅用无刻度直尺在图1中画一个等腰，其中； （2）请你仅用无刻度直尺在图2作出线段的垂直平分线． 4．如图，在矩形中，点为的中点，请你只用无刻度的直尺作图． (1)如图1，在上找一点，使； (2)如图2，在上找一点，使． 5．如图，E是中AB边的中点．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图①，AC为的对角线，作中BC边上的中线． (2)如图②，BD为的对角线，过点E作BD的平行线． 6．请用无刻度直尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图，点是菱形边上一点，连接．求作，使，且点在边上； (2)如图，点是菱形边上的一点．求作边上的点，使； (3)如图3，四边形中，，，平分线交边于点，求作线段的中点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $