期中考前满分冲刺之基础常考题-2025-2026学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

期中考前满分冲刺之基础常考题 【专题过关】 类型一、最简与同类二次根式(选、填) 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一个二次根式的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式为最简二次根式． 【详解】A、，因为被开方数含能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式； B、因为被开方数含分母，所以不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、，因为被开方数含分母，所以不是最简二次根式． 2．在 ，，，，，中，最简二次根式的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】明确最简二次根式的定义：满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断即可得到最简二次根式的个数． 【详解】解：根据最简二次根式的定义逐个判断： ∵满足定义，是最简二次根式； 满足定义，是最简二次根式； ，含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； 中的被开方数，含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ，含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 被开方数含分母，不是最简二次根式； ∴符合条件的最简二次根式共个． 3．下列式子中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：A、，最简后被开方数为，与被开方数不同，A错误； B、是最简二次根式，被开方数为，与被开方数不同，B错误； C、，化简后为整数，不是二次根式，C错误； D、，最简后被开方数为，与被开方数相同，D正确． 4．若最简二次根式与可以合并，则的值为_____． 【答案】2 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式最简形式下被开方数相等列方程求解即可． 【详解】解：，是最简二次根式且二者可以合并， 二者是同类二次根式，最简形式下被开方数相等， ∴， 解得． 5．已知是最简二次根式且能和合并，则x的值是______． 【答案】3 【分析】先将化为最简二次根式，根据能合并的二次根式是同类二次根式，结合已知是最简二次根式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：化简得：， 是最简二次根式，且能与合并， 与是同类二次根式， 根据同类二次根式的定义，可得：， 解此一元一次方程得：． 6．若最简二次根式能与合并为一项，则的取值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查同类二次根式，化简后被开方式相同的二次根式称为同类二次根式． 【详解】因为最简二次根式能与合并为一项，所以与是同类二次根式，可得 解得 故答案为： 类型二、二次根式有意义与非负性(选、填) 1．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数必须为非负数，据此列不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足是非负数，即 解得 ． 2．如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次根式性质，化简原式后，根据绝对值性质列不等式即可求解． 【详解】解： 由题意得 当时 解得 3．若x，y为实数，且，则的值为（   ） A．7 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式有意义的条件，即被开方数是非负数，先求出x的值，再代入等式求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵二次根式的被开方数必须是非负数 ∴ 解不等式组得且 ∴ 将代入原式，得 解得 ∴． 4．使代数式有意义的的取值范围是______． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件可知，根据分式有意义的条件可知，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：代数式有意义， 且， 且． 5．若为实数，且，则_____． 【答案】4 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入原式求出的值，最后代入计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得， 解得， 把代入， 得， 将，代入，得． 6．实数x，y满足，则的平方根为______． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，求出x的值，代入求出y的值，再计算，最后求解的平方根即可． 【详解】解：由题意得，二次根式的被开方数非负， ∴， 解得， 将代入，得： ， ∴， ∴的平方根为． 类型三、在数轴上表示无理数(选、填) 1．如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得点是以为圆心，以为半径的圆与轴的交点，再进一步确定的值即可． 【详解】解：∵， ∴点是以为圆心，以为半径的圆与轴的交点， ∴． 2．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作，使（如图）．以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】勾股定理求出的长即可得出结果. 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴点P所表示的数. 3．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出图中直角三角形的斜边长度，再结合数轴上的位置确定点表示的数． 【详解】解：根据勾股定理，斜边长度为． ∴， 又∵该线段的一端在数轴上表示的点，另一端为点， ∴ 点表示的数． 4．如图，数轴上点A的坐标是4，于点A．，以原点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点C，则点C表示的数是________． 【答案】 【分析】根据，得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∵以原点为圆心，长为半径画弧交数轴于点， ∴． 5．如图所示，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是________． 【答案】/ 【分析】首先求出正方形对角线长为，然后得出点A表示的数． 【详解】解：正方形对角线长为， 以2为圆心，为半径画弧，交数轴左侧于点A，则点A表示的数为． 6．如图，数轴上点A、点D所表示的数分别为和，以为边长作正方形，以点D为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点E，那么点E表示的实数是________． 【答案】/ 【分析】本题根据勾股定理求出的长，即的长，从而求出点对应的数． 【详解】解：由勾股定理知：， ∴， ∴点对应的数是． 类型四、勾股数与构成直角三角形的条件(选、填) 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，2， 【答案】A 【分析】能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 【详解】解：A、因为，且6，8，10均为正整数，所以这组数是勾股数； B、，，，所以这组数不是勾股数； C、，，，所以这组数不是勾股数； D、不是正整数，所以这组数不是勾股数． 2．根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道了勾股定理．下列各组数中，“是勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】先明确勾股数的定义：若三个正整数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这组数是勾股数，本题根据定义逐一验证各选项即可得到结果． 【详解】∵A选项，最大数为，且，，， ∴A不是勾股数； ∵B选项，最大数为，且，，， ∴B是勾股数； ∵C选项，最大数为，且，，， ∴C不是勾股数； ∵D选项，最大数为，且，，， ∴D不是勾股数； 综上，选B． 3．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D．1，2，3 【答案】A 【分析】根据勾股定理逆定理，验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项：，， ，能构成直角三角形，符合题意； B选项：，，， 不能构成直角三角形，不符合题意； C选项：三边长为，，， ，，， 不能构成直角三角形，不符合题意； D选项：，，， 不能构成直角三角形，不符合题意． 4．如果正整数满足方程，且互素，那么就称这三个数是一组本原勾股数．若为一组“本原勾股数”，则______． 【答案】50或800 【分析】根据题意，易得40必为直角边，设直角三角形的斜边长为，另一条直角边的长为，推出，设，得到，进而得到或，求出或，即可得出结果. 【详解】解：∵正整数满足方程，且互素， 则必为一奇一偶， ∴为奇数， ∵为一组“本原勾股数”，且40为偶数， ∴40必为直角三角形的一条直角边的长，为一条直角边和一条斜边的长， 设直角三角形的斜边长为，另一条直角边的长为， 则， ∴， ∵和互素， ∴均为偶数，且最大公约数为2， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴满足条件的只有两组：或， ∴或， 解得：或， ∴或. 5．的三边长分别为a、b、c．下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的是_____． 【答案】①③④ 【分析】根据直角三角形的定义、三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，逐个判断各个条件即可． 【详解】解：①， ， 又三角形内角和为，即， ，可得， 因此是直角三角形； ②， 最大内角， 因此不是直角三角形； ③， ， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形； ④， 设，，，其中， 则， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形． 综上，能判断是直角三角形的是①③④． 6．已知的三边长分别为a、b、c，且，则的面积为________． 【答案】30 【分析】根据非负数的性质求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，最后根据三角形面积公式计算面积即可． 【详解】解：∵，，，且 ∴，，， 解得，，． ∵，， ∴， 根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，直角边为和， ∴的面积为． 类型五、中位线与斜中定理(选、填) 1．如图，点，分别为的边，的中点，连接，过点作平分，交于点若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理得出，，根据平行线的性质，角平分线的定义以及等角对等边可求出，则，即可求解． 【详解】解∶点为的中点，， ． 点，分别为的边，的中点， ，， ， 平分， ， ， ， ， ． 2．如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】取的中点，连接构造中位线，利用中位线性质和平行四边形性质得到新的平行四边形，进而得出线段之间的关系，最后根据已知线段长度求出． 【详解】解：取的中点，连接，如图， 是的中点，是的中点， 是的中位线， 平行于，， ∵四边形是平行四边形， ，平行于， 是的中点， ， 平行于，， ∴四边形是平行四边形， ， ，是的中点， ， ． 3．如图，在中，的垂直平分线交于，连接，点是的中点，连接．下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂直平分线得到，由，点是的中点，结合斜边中线的一半得到，据此逐个判断即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交， ∴， ∴，，故B选项结论正确，不符合题意； ∵，点是的中点， ∴，故A选项结论正确，不符合题意； ∴，故D选项结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴不一定成立，故C选项结论不正确，符合题意； 4．如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M、N分别为、的中点，，，．则的长等于______． 【答案】 【分析】连接、，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据等腰三角形性质和三角形外角性质求出，求出∠，求，根据直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：连接、． ∵，点M、点N分别是边的中点， ∴，， ∴， ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】先证明，进而求出的长，勾股定理求出的长，利用斜边上的中线求出的长即可． 【详解】解：∵矩形，，， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点F为的中点， ∴． 6．已知：如图，中，是边的中点，平分，于点，若，，则__________． 【答案】1 【分析】延长交于F，证明，得到，，得到是的中位线，由三角形中位线定理即可求出的长． 【详解】解：延长交于F， ∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵D为中点， ∴是的中位线， ∴． 类型六、二次根式的化简与比较大小(选、填) 1．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质以及分母有理化规则逐项判断即可． 【详解】解： A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C．该选项化简时仅给分母乘2，分子未同乘2，改变了原分数大小，变形错误，不符合题意； D．该式隐含，初中此类题型默认，则，故选项D正确，符合题意． 2．（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】利用性质直接计算即可得出结果． 【详解】解：根据二次根式的性质，得． 3．若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由得，，然后化简即可． 【详解】解：因为， 所以，， 所以． 4．比较大小： ______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先进行分母有理化，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ． 5．比较大小：_____1（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】将分母有理化，转化为分子为的正分数，再根据正分数比较大小的规则判断即可. 【详解】解：对分母有理化得， 因为，， 得， 分子相同的正分数，分母越大，分数越小， 因此， 即． 6．比较大小：______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是将两个数转化为同次根式或小数进行比较．，而，故可求解． 【详解】解：， 又， ， 即， 故答案为：． 类型七、平行四边形的性质求解(选、填) 1．在平行四边形中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形对角相等求解，即可解题． 解题关键是掌握平行四边形对角相等的性质． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，，， ∴ ． 2．如图，在中，垂直平分于点，且，，则的对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点F，根据线段垂直平分线的性质得出，根据平行四边形的性质得出，，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于点F， ∵垂直平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴． 3．如图，在平行四边形中，平分且交于点E，若，，则平行四边形的周长为（   ） A．16 B．8 C．20 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，根据四边形是平行四边形，得出对边平行，对边相等， 结合角平分线的定义，得出，故，即，然后列式计算得出平行四边形的周长，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分且交于点E， ∴， ∴， ∴， 则平行四边形的周长为． 4．如图，已知平行四边形中，，，将三角形沿着翻折，点落在点处，若，那么的长为__________． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得出，，由折叠可得，，设与相交于点O，证明，，根据勾股定理求出，进而求出，，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 由折叠可得，， 设与相交于点O， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴在中，． 5．如图，已知中，平分，，若，的周长为__________． 【答案】 【分析】欲求平行四边形的周长则需求出的值；根据平行四边形的性质和角平分线的定义可求得，根据等角对等边可得，然后根据直角三角形两锐角互余可得，结合，可得，从而根据等角对等边得到，进而得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长． 6．如图，中，于，于，，，，则的面积等于__________． 【答案】 【分析】在四边形中，利用四边形的内角和为，先求出的度数；再根据平行四边形的性质，即可求得的度数；然后在中，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：∵在四边形中，内角和为，，，， ∴， ∵中，，， ∴，， ∵中，，， ∴， ∴， ∴． 类型八、二次根式的计算(选、填、解) 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的运算法则逐一计算选项，即可判断正确结果． 【详解】解：对选项A，，∴A错误； 对选项B，，等式成立，∴B正确； 对选项C，，∴C错误； 对选项D，，∴D错误． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件、二次根式的性质、完全平方公式、二次根式加减运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：、被开方数为负数，无意义，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意． 3．计算：_____． 【答案】 【详解】解：. 4．计算：的值为______． 【答案】1 【分析】按照同级运算从左到右的顺序，结合二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解： ． 5．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再加减法即可； （2）根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 6．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先简化各二次根式，再计算括号里面的，然后将除法转化为乘法运算计算即可； （2）先分母有理化和简化各二次根式，再计算乘法，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 类型九、(特殊)平行四边形的证明(解) 1．如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)36． 【分析】（）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 2．在中，，相交于点O，过点A作于点E，在上取点F，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求与所在直线之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)4.8 【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可； （2）根据勾股定理求出，过E作于H，根据等面积法求出，再根据平行线间的距离的定义求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 过E作于H， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴与所在直线之间的距离为4.8． 3．如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，四边形的面积是30，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）先证明，得，结合斜边上的中线等于斜边的一半，得出，因为，证明四边形是平行四边形，因为，所以证明四边形是菱形； （2）先证明四边形是平行四边形，得出，由四边形是菱形，得出，把代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； （2）解：连结， 由（1）知 ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 4．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)20 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出平行的边和相等的边，判定出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可判定； （2）利用平行的性质和角平分线的性质得出，然后根据勾股定理求出，即可求出矩形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又 ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵平分， ， ， ， ， ， ∴矩形的面积． 5．如图，在中，D，E分别为，的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求AC的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是利用中位线性质和平行关系证明矩形，再通过矩形性质和线段关系构造直角三角形求解． (1)中由分别为中点得，结合证平行四边形，再由得矩形， (2)中由矩形性质得，由中位线性质得，则，在中用勾股定理求，再 由为中点得． 【详解】（1）解：分别为的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形； （2）解：， ， 由(1)知，是的中位线，四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 为的中点， ． 6．正方形中，，为对角线上一动点，连接、，在边上取一点，作矩形． (1)①求证：矩形为正方形； ②连接，若，求的长； (2)取中点，连接，则最小值为________． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①设，结合正方形的性质和三角形外角的性质可得，由矩形的性质可得．容易证明，则，，用三角形的内角和定理可计算出，则，命题得证； ②由可得，，进而可计算出，则，利用勾股定理计算出，进而求出的长； （2）连接，过点作的垂线，交直线于点，容易证明，则，因此是等腰直角三角形，计算得，由垂线段最短可得，就是的最小值． 【详解】（1）解：①证明：设， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形为正方形； ②∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴； （2）解：如图，连接，过点作的垂线，交直线于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∵垂线段最短， ∴， ∴当点与点重合时，取得最小值． 类型十、二次根式的化简求值(解) 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算括号内的分式的加减，再把除法转化为乘法，可得化简的结果，再把代入化简后的代数式即可． 【详解】解： 当时，原式 2．先化简，再求值：，其中； 【答案】， 【分析】先根据分式的加减法计算括号内的，再将除法变为乘法，并化到最简，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 3．已知，，求代数式的值． 【答案】 16 【分析】由题可得，，根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：由题可知，， ， ∴． 4．求当，时，下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)33 (2) 【分析】（1）先求得，，将原式变形为，再整体代入计算即可求解； （2）先判断，求得，，将原式变形为，再整体代入计算即可求解． 【详解】（1）解：当，时，，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ． 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 6．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，代数式的整体代入求值，完全平方公式和平方差公式的运用等知识点． 首先化简和的值，再计算和的值，运用平方差公式和完全平方公式把转化为只含和的式子，代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ，， 原式， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之基础常考题 【专题过关】 类型一、最简与同类二次根式(选、填) 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．在 ，，，，，中，最简二次根式的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．下列式子中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．若最简二次根式与可以合并，则的值为_____． 5．已知是最简二次根式且能和合并，则x的值是______． 6．若最简二次根式能与合并为一项，则的取值为________． 类型二、二次根式有意义与非负性(选、填) 1．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如果，那么（    ） A． B． C． D． 3．若x，y为实数，且，则的值为（   ） A．7 B．1 C． D． 4．使代数式有意义的的取值范围是______． 5．若为实数，且，则_____． 6．实数x，y满足，则的平方根为______． 类型三、在数轴上表示无理数(选、填) 1．如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作，使（如图）．以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 4．如图，数轴上点A的坐标是4，于点A．，以原点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点C，则点C表示的数是________． 5．如图所示，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是________． 6．如图，数轴上点A、点D所表示的数分别为和，以为边长作正方形，以点D为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点E，那么点E表示的实数是________． 类型四、勾股数与构成直角三角形的条件(选、填) 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，2， 2．根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道了勾股定理．下列各组数中，“是勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D．1，2，3 4．如果正整数满足方程，且互素，那么就称这三个数是一组本原勾股数．若为一组“本原勾股数”，则______． 5．的三边长分别为a、b、c．下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的是_____． 6．已知的三边长分别为a、b、c，且，则的面积为________． 类型五、中位线与斜中定理(选、填) 1．如图，点，分别为的边，的中点，连接，过点作平分，交于点若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在中，的垂直平分线交于，连接，点是的中点，连接．下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M、N分别为、的中点，，，．则的长等于______． 5．如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为______． 6．已知：如图，中，是边的中点，平分，于点，若，，则__________． 类型六、二次根式的化简与比较大小(选、填) 1．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（    ） A．5 B． C．10 D． 3．若，则（   ） A． B． C．1 D． 4．比较大小： ______．（填“”、“”或“”） 5．比较大小：_____1（填“”，“”或“”）． 6．比较大小：______． 类型七、平行四边形的性质求解(选、填) 1．在平行四边形中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，垂直平分于点，且，，则的对角线的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，平分且交于点E，若，，则平行四边形的周长为（   ） A．16 B．8 C．20 D．10 4．如图，已知平行四边形中，，，将三角形沿着翻折，点落在点处，若，那么的长为__________． 5．如图，已知中，平分，，若，的周长为__________． 6．如图，中，于，于，，，，则的面积等于__________． 类型八、二次根式的计算(选、填、解) 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．计算：_____． 4．计算：的值为______． 5．计算： (1)； (2)； 6．计算： (1) (2) 类型九、(特殊)平行四边形的证明(解) 1．如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 2．在中，，相交于点O，过点A作于点E，在上取点F，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求与所在直线之间的距离． 3．如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，四边形的面积是30，求的长． 4．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 5．如图，在中，D，E分别为，的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求AC的长． 6．正方形中，，为对角线上一动点，连接、，在边上取一点，作矩形． (1)①求证：矩形为正方形； ②连接，若，求的长； (2)取中点，连接，则最小值为________． 类型十、二次根式的化简求值(解) 1．先化简，再求值：，其中． 2．先化简，再求值：，其中； 3．已知，，求代数式的值． 4．求当，时，下列代数式的值． (1)； (2)． 5．先化简，再求值：，其中． 6．已知，，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $