2025安徽10年安徽真题分类- 【一战成名新中考】2026安徽数学中考必考知识点题组特训

第一章 数与式 命题点1 实数的相关概念与大小比较 1．（2025•安徽1题4分）在﹣2，0，2，5这四个数中，最小的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．5 【答案】A 2．（2025•安徽2题4分）安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记数法表示为（　　） A．521.7×108 B．5.217×109 C．5.217×1010 D．0.5217×1011 【答案】C 3．（2024•安徽1题4分）﹣5的绝对值是（　　） A．5 B．﹣5 C． D． 【答案】A 4．（2024•安徽2题4分）据统计，2023年我国新能源汽车产量超过944万辆，其中944万用科学记数法表示为（　　） A．0.944×107 B．9.44×106 C．9.44×107 D．94.4×106 【答案】B 5．（2023•安徽1题4分）﹣5的相反数是（　　） A．﹣5 B． C． D．5 【答案】D 6．（2024•安徽12题5分）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： 　＞　（填“＞”或“＜”）． 【答案】＞ 7．（2023•安徽4题4分）在数轴上表示不等式0的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 8．（2023•安徽12题5分）据统计，2023年第一季度安徽省采矿业实现利润总额74.5亿元，其中74.5亿用科学记数法表示为 　7.45×109　． 【答案】7.45×109． 9．（2022•安徽1题4分）下列为负数的是（　　） A．|﹣2| B． C．0 D．﹣5 【答案】D 10．（2022•安徽2题4分）据统计，2021年我省出版期刊杂志总印数3400万册，其中3400万用科学记数法表示为（　　） A．3.4×108 B．0.34×108 C．3.4×107 D．34×106 【答案】C 11．（2021•安徽1题4分）﹣9的绝对值是（　　） A．9 B．﹣9 C． D． 【答案】A 12．（2021•安徽2题4分）《2020年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年我国共资助8990万人参加基本医疗保险．其中8990万用科学记数法表示为（　　） A．89.9×106 B．8.99×107 C．8.99×108 D．0.899×109 【答案】B 13．（2020•安徽1题4分）下列各数中，比﹣2小的数是（　　） A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3 【答案】D 14．（2020•安徽4题4分）安徽省计划到2022年建成54700000亩高标准农田，其中54700000用科学记数法表示为（　　） A．5.47×108 B．0.547×108 C．547×105 D．5.47×107 【答案】D 15．（2019•安徽1题4分）在﹣2，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【答案】A 16．（2019•安徽4题4分）2019年“五一”假日期间，我省银联网络交易总金额接近161亿元，其中161亿用科学记数法表示为（　　） A．1.61×109 B．1.61×1010 C．1.61×1011 D．1.61×1012 【答案】B 17．（2018•安徽1题4分）﹣8的绝对值是（　　） A．﹣8 B．8 C．±8 D． 【答案】B 18．（2018•安徽2题4分）2017年我省粮食总产量为695.2亿斤．其中695.2亿用科学记数法表示为（　　） A．6.952×106 B．6.952×108 C．6.952×1010 D．695.2×108 【答案】C 19．（2017•安徽1题4分）相反数是（　　） A． B．2 C．﹣2 D． 【答案】A 20．（2017•安徽4题4分）截至2016年底，国家开发银行对“一带一路”沿线国家累计发放贷款超过1600亿美元，其中1600亿用科学记数法表示为（　　） A．16×1010 B．1.6×1010 C．1.6×1011 D．0.16×1012 【答案】C 21．（2017•安徽5题4分）不等式4﹣2x＞0的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 22．（2016•安徽1题4分）﹣2的绝对值是（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D． 【答案】B 23．（2016•安徽3题4分）2016年3月份我省农产品实现出口额8362万美元，其中8362万用科学记数法表示为（　　） A．8.362×107 B．83.62×106 C．0.8362×108 D．8.362×108 【答案】A 24．（2015•安徽1题4分）在﹣4，2，﹣1，3这四个数中，比﹣2小的数是（　　） A．﹣4 B．2 C．﹣1 D．3 【答案】A 25．（2015•安徽3题4分）移动互联网已经全面进入人们的日常生活．截至2015年3月，全国4G用户总数达到1.62亿，其中1.62亿用科学记数法表示为（　　） A．1.62×104 B．1.62×106 C．1.62×108 D．0.162×109 【答案】C 命题点2 实数的运算（含二次根式） 1．（2025•安徽11题5分）计算：|﹣5|﹣（﹣1）＝　6　 ． 【答案】6 2．（2023•安徽11题5分）计算：1＝　3　． 【答案】3 3．（2022•安徽15题8分）计算：（）0（﹣2）2． 解：原式＝1﹣4+4＝1． 4．（2021•安徽11题5分）计算：（﹣1）0＝　3　． 【答案】3． （2021•安徽12题5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形．底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是1，它介于整数n和n+1之间，则n的值是　1　． 【答案】1． 5．（2020•安徽11题5分）计算：1＝　2　． 【答案】2． 6．（2019•安徽8题4分）据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（　　） A．2019年 B．2020年 C．2021年 D．2022年 【答案】B 【解析】2019年全年国内生产总值为：90.3×（1+6.6%）＝96.2598（万亿），2020年全年国内生产总值为：96.2598×（1+6.6%）≈102.6（万亿），∴国内生产总值首次突破100万亿的年份是2020年． 7．（2019•安徽11题5分）计算的结果是　3　． 【答案】3 8．（2018•安徽15题8分）计算：50﹣（﹣2）． 解：原式＝1+2+4＝7． 9．（2017•安徽11题5分）27的立方根为　3　． 【答案】3 10．（2017•安徽15题8分）计算：|﹣2|×cos60°﹣（）﹣1． 解：原式＝23 ＝﹣2． 11．（2016•安徽15题8分）计算：（﹣2016）0tan45°． 解：（﹣2016）0tan45° ＝1﹣2+1 ＝0． 12．（2015•安徽11题5分）﹣64的立方根是 　﹣4　． 【答案】﹣4 13．（2015•安徽2题4分）计算的结果是（　　） A． B．4 C． D．2 【答案】B 14．（2015•安徽5题4分）与1最接近的整数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 命题点3 整式（含代数式）与因式分解 1．（2025•安徽4题4分）下列计算正确的是（　　） A．a B．a C．a3•（﹣a）2＝a6 D．（﹣a2）3＝a6 【答案】B 2．（2024•安徽4题4分）下列计算正确的是（　　） A．a3+a3＝a6 B．a6÷a3＝a2 C．（﹣a）2＝a2 D．a 【答案】C 3．（2023•安徽3题4分）下列计算正确的是（　　） A．a4+a4＝a8 B．a4•a4＝a16 C．（a4）4＝a16 D．a8÷a4＝a2 【答案】C 4．（2022•安徽4题4分）下列各式中，计算结果等于a9的是（　　） A．a3+a6 B．a3•a6 C．a10﹣a D．a18÷a2 【答案】B 5．（2022•安徽17题8分）某地区2020年进出口总额为520亿元，2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%． 注：进出口总额＝进口额+出口额． （1）设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表： 年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元 2020 x y 520 2021 1.25x 1.3y 　1.25x+1.3y　 6．（2021•安徽3题4分）计算x2•（﹣x）3的结果是（　　） A．x6 B．﹣x6 C．x5 D．﹣x5 【答案】D 7．（2020•安徽2题4分）计算（﹣a）6÷a3的结果是（　　） A．﹣a3 B．﹣a2 C．a3 D．a2 【答案】C 8．（2020•安徽12题5分）分解因式：ab2﹣a＝　a（b+1）（b﹣1）　． 【答案】a（b+1）（b﹣1） 9．（2020•安徽19题10分）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%． （1）设2019年4月份的销售总额为a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）； 时间 销售总额（元） 线上销售额（元） 线下销售额（元） 2019年4月份 a x a﹣x 2020年4月份 1.1a 1.43x 　1.04（a﹣x）　 10．（2019•安徽2题4分）计算a3•（﹣a）的结果是（　　） A．a2 B．﹣a2 C．a4 D．﹣a4 【答案】D 11．（2018•安徽3题4分）下列运算正确的是（　　） A．（a2）3＝a5 B．a4•a2＝a8 C．a6÷a3＝a2 D．（ab）3＝a3b3 【答案】D 12．（2018•安徽5题4分）下列分解因式正确的是（　　） A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4） B．x2+xy+x＝x（x+y） C．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2 D．x2﹣4x+4＝（x+2）（x﹣2） 【答案】C 13．（2018•安徽6题4分）据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%．假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（　　） A．b＝（1+22.1%×2）a B．b＝（1+22.1%）2a C．b＝（1+22.1%）×2a D．b＝22.1%×2a 【答案】B 【解析】因为2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，所以b＝（1+22.1%）2a． 14．（2017•安徽2题4分）计算（﹣a3）2的结果是（　　） A．﹣a5 B．a5 C．﹣a6 D．a6 【答案】D 15．（2017•安徽12题5分）因式分解：a2b﹣4ab+4b＝　b（a﹣2）2　． 【答案】b（a﹣2）2 14．（2016•安徽2题4分）计算a10÷a2（a≠0）的结果是（　　） A．a5 B．a﹣5 C．a8 D．a﹣8 【答案】C 16．（2016•安徽6题4分）2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，2015年比2014年增长9.5%，若2013年和2015年我省财政收入分别为a亿元和b亿元，则a、b之间满足的关系式为（　　） A．b＝a（1+8.9%+9.5%） B．b＝a（1+8.9%×9.5%） C．b＝a（1+8.9%）（1+9.5%） D．b＝a（1+8.9%）2（1+9.5%） 【答案】C 【解析】∵2013年我省财政收入为a亿元，2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，∴2014年我省财政收入为a（1+8.9%）亿元，∵2015年比2014年增长9.5%，2015年我省财政收为b亿元，∴2015年我省财政收为b＝a（1+8.9%）（1+9.5%）． 17．（2016•安徽12题5分）因式分解：a3﹣a＝　a（a+1）（a﹣1）　． 【答案】a（a+1）（a﹣1） 命题点4 规律探索 1．（2025•安徽14题5分）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m；若余数为0，则m；若余数为1，则m＝2n；若余数为2，则m＝n+1．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数n＝4，根据4除以3的余数为1，由4×2＝8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由8+1＝9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3＝3知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为　2　 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为　11　 ． 【答案】（1）2；（2）11 【解析】（1）∵15÷3＝5…0，∴15进行一次变换后得到的数为；∵5÷3＝1…2，∴15进行二次变换后得到的数为5+1＝6；∵6÷3＝2…0，∴15进行三次变换后得到的数为2； （2） 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为1×3＝3，此时符合题意；当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意；当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为1﹣1＝0，此时不符合题意；综上所述，第一次变换后所得的数为3，当n除以3的余数为0时，则n＝3×3＝9，符合题意；当n除以3的余数为1时，则，不符合题意；当n除以3的余数为2时，则n＝3﹣1＝2，符合题意；∴符合题意的n的值是9或2，∴所有满足条件的n的值之和为2+9＝11． 2．（2025•安徽21题12分）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为20cm． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加40cm，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为（40x+10）cm． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加①__个正六边形和②__个正三角形，长度增加③__cm；从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④__cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长7.4m、宽6m的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令40x+10≤600，解得x≤14.75，所以每行可以先拼14块拼接单元，即共用去14个正六边形和28个正三角形组件，由40×14+10＝570知，所拼长度为570cm，剩余30cm恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形），最终需用15个正六边形和28个正三角形组件，由5×15+1×28＝103知，方案一每行的成本为103元． 由于每行宽度为20cm（按1.73计算），设拼成s行，则20s≤740，解得s21.34，故需铺21行．由103×21＝2163知，方案一所需的总成本为2163元． 方案二：第一行沿着长度为7.4m的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令40x+10≤740⋯ 方案二每行的成本为⑤__元，总成本为⑥__元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①　1　 ；②　6　 ；③　60　 ；④　60y+10　 ；⑤　126　 ；⑥　2142　 ． 解：项目主题：观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角形； 由正六边形和正三角形组件的边长均为20cm，观察图4可得 增加的长度为3个边长，即3×20＝60（cm）， 计算y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正六边形左边的10cm，每增加一个拼接单元长度增加60cm，所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为（60y+10）cm； 项目分析：计算方案二每行可拼接的单元数量令40x+10≤740， 移项可得40x≤740﹣10，即40x≤730， 两边同时除以40，解得x≤18.25， ∴每行可以先拼18块拼接单元． 计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量， ∵拼18块拼接单元， ∴共用去18个正六边形和2×18＝36个正三角形组件． 由40×18+10＝730知，所拼长度为730cm， 剩余740﹣730＝10cm，无法再摆放组件． 由5×18+1×36＝90+36＝126知，方案二每行的成本为126元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行， 则， 两边同时除以，， 故需铺17行． 计算方案二的总成本126×17＝2142． 方案二所需的总成本为2142元． 项目实施： 两种方案比较可知：2163＞2142． ∴选方案二完成实践活动． 故答案为：①1；②6；③60；④60y+10；⑤126；⑥2142． 3．（2024•安徽18题8分）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2﹣y2（x，y均为自然数）”的问题． （1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）： N 奇数 4的倍数 表示结果 1＝12﹣02 3＝22﹣12 5＝32﹣22 7＝42﹣32 9＝52﹣42 … 4＝22﹣02 8＝32﹣12 12＝42﹣22 16＝52﹣32 20＝62﹣42 … 一般结论 2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2 4n＝　（n+1）2﹣（n﹣1）2　 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ）24＝（ 　7　）2﹣（ 　5　）2； （ⅱ）4n＝　（n+1）2﹣（n﹣1）2　； （2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如4n﹣2（n为正整数）的正整数N不能表示为x2﹣y2（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设4n﹣2＝x2﹣y2，其中x，y均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数， 则x2﹣y2＝（2k）2﹣（2m）2＝4（k2﹣m2）为4的倍数． 而4n﹣2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，设x＝2k+1，y＝2m+1，其中k，m均为自然数， 则x2﹣y2＝（2k+1）2﹣（2m+1）2＝　4（k2﹣m2+k﹣m）　为4的倍数． 而4n﹣2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数． ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2﹣y2为奇数． 而4n﹣2是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数． 由①②③可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容． 解：（1）（i）4＝4×1＝（1+1）2﹣（1﹣1）2， 8＝4×2＝（2+1）2﹣（2﹣1）2， 12＝4×3＝（3+1）2﹣（3﹣1）2， 20＝4×5＝（5+1）2﹣（5﹣1）2， 24＝4×6＝（6+1）2﹣（6﹣1）2＝72﹣52， .....． 4n＝4•n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2． 故答案为：7，5； （ii）由（1）推导的规律可知4n＝4•n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2． 故答案为：（n+1）2﹣（n﹣1）2． （3）（2k+1）2﹣（2m+1）2＝（2k+1+2m+1）（2k+1﹣2m﹣1）＝4（k2﹣m2+k﹣m）． 故答案为：4（k2﹣m2+k﹣m）． 4．（2023•安徽18题8分）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中“◎”的个数为 　3n　； （2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”的个数可表示为 　　． 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍． 解：（1）∵第1个图案中“◎”的个数为：3＝1+2， 第2个图案中“◎”的个数为：6＝1+2+2+1， 第3个图案中“◎”的个数为：6＝1+2+2+3+1， …， ∴第n个图案中“◎”的个数：1+2（n﹣1）+n+1＝3n， 故答案为：3n； （2）由题意得：第n个图案中“★”的个数可表示为：； 故答案为：； （3）由题意得：2×3n， 解得：n＝11或n＝0（不符合题意）． 5．（2022•安徽18题8分）观察以下等式： 第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2， 第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2， 第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2， 第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2　； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2， 第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2， 第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2， 第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2， 第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2， 故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2； （2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2， 证明：左边＝4n2+4n+1， 右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2 ＝4n2+4n+1， ∴左边＝右边． ∴等式成立． 6．（2021•安徽18题8分）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列． [观察思考] 当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推． [规律总结] （1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加　2　块； （2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为　2n+4　（用含n的代数式表示）． [问题解决] （3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？ 解：（1）观察图1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，所以每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加2块； 故答案为：2； （2）观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即6＝3+2×1+1＝4+2×1；图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图3：8＝3+2×2+1＝4+2×2；归纳得：4+2n（即2n+4）； ∴若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 2n+4块； 故答案为：2n+4； （3）由规律知：等腰直角三角形地砖块数2n+4是偶数， ∴用2021﹣1＝2020块， 再由题意得：2n+4＝2020， 解得：n＝1008， ∴等腰直角三角形地砖剩余最少为1块，则需要正方形地砖1008块． 7．（2020•安徽17题8分）观察以下等式： 第1个等式：（1）＝2， 第2个等式：（1）＝2， 第3个等式：（1）＝2， 第4个等式：（1）＝2． 第5个等式：（1）＝2． … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：　（1）＝2　； （2）写出你猜想的第n个等式：　（1）＝2　（用含n的等式表示），并证明． 解：（1）第6个等式：（1）＝2； （2）猜想的第n个等式：（1）＝2． 证明：∵左边2右边， ∴等式成立． 故答案为：（1）＝2；（1）＝2． 8．（2019•安徽18题8分）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：　　； （2）写出你猜想的第n个等式：　　（用含n的等式表示），并证明． 解：（1）第6个等式为：， 故答案为：； （2） 证明：∵右边左边． ∴等式成立， 故答案为：． 9．（2018•安徽18题8分）观察以下等式： 第1个等式：1， 第2个等式：1， 第3个等式：1， 第4个等式：1， 第5个等式：1， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：　　； （2）写出你猜想的第n个等式：　　（用含n的等式表示），并证明． 解：（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和7，分子分别为1和5 故应填： （2）根据题意，第n个分式分母为n和n+1，分子分别为1和n﹣1 故应填： 证明： ∴等式成立 10．（2017•安徽19题10分）【阅读理解】 我们知道，1+2+3+…+n，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？ 在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为，即n2，这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2． 【规律探究】 将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为　2n+1　，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3（12+22+32+…+n2）＝　　，因此，12+22+32+…+n2＝　　． 【解决问题】 根据以上发现，计算：的结果为　1345　． 解：【规律探究】 由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为n﹣1+2+n＝2n+1， 由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为： 3（12+22+32+…+n2）＝（2n+1）×（1+2+3+…+n）＝（2n+1）， 因此，12+22+32+…+n2； 故答案为：2n+1，，； 【解决问题】 原式（2017×2+1）＝1345， 故答案为：1345． 11.（2016•安徽18题8分）（1）观察下列图形与等式的关系，并填空 （2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空： 1+3+5+…+（2n﹣1）+（　2n+1　）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝　2n2+2n+1　． 解：（1）1+3+5+7＝16＝42， 设第n幅图中球的个数为an， 观察，发现规律：a1＝1+3＝22，a2＝1+3+5＝32，a3＝1+3+5+7＝42，…， ∴an﹣1＝1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2． 故答案为：42；n2． （2）观察图形发现： 图中黑球可分三部分，1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行， 即1+3+5+…+（2n﹣1）+[2（n+1）﹣1]+（2n﹣1）+…+5+3+1， ＝1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1， ＝an﹣1+（2n+1）+an﹣1， ＝n2+2n+1+n2， ＝2n2+2n+1． 故答案为：2n+1；2n2+2n+1． 12．（2015•安徽13题5分）按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是 　xy＝z　． 【答案】xy＝z 【解析】∵21×22＝23，22×23＝25，23×25＝28，25×28＝213，…， ∴x、y、z满足的关系式是：xy＝z． 命题点5 分式及其运算 1．（2025•安徽15题8分）先化简，再求值：，其中x＝3． 解：原式•（x+1）（x﹣1） ； 当x＝3时，原式1． 2．（2024•安徽11题5分）若分式有意义，则实数x的取值范围是 　x≠4　． 【答案】x≠4． 3．（2023•安徽15题8分）先化简，再求值：，其中x． 解：原式x+1， 当x1时， 原式1+1 ． 4．（2015•安徽15题8分）先化简，再求值：（）•，其中a． 解：原式＝（）••， 当a时，原式＝﹣1． 第二章 方程（组）与不等式（组） 命题点1 一次方程（组）及其应用 1．（2024•安徽17题8分）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元） A 4 8 B 3 9 已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？ 解：设A种农作物的种植面积是x公顷，B种农作物的种植面积是y公顷， 根据题意得：， 解得：． 答：A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面积是4公顷． 2.（2023•安徽16题8分）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价． 解：设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：调整前甲地该商品的销售单价40元，乙地该商品的销售单价为50元． 3．（2022•安徽17题8分）某地区2020年进出口总额为520亿元，2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%． 注：进出口总额＝进口额+出口额． （1）设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表： 年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元 2020 x y 520 2021 1.25x 1.3y 　1.25x+1.3y　 （2）已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额分别是多少亿元？ 解：（1）由表格可得， 2021年进出口总额为：1.25x+1.3y， 故答案为：1.25x+1.3y； （2）由题意可得， ， 解得， ∴1.25x＝400，1.3y＝260， 答：2021年进口额是400亿元，出口额是260亿元． 4．（2021•安徽7题4分）设a，b，c为互不相等的实数，且bac，则下列结论正确的是（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a﹣b＝4（b﹣c） D．a﹣c＝5（a﹣b） 【答案】D 【解析】∵bac，∴5b＝4a+c，在等式的两边同时减去5a，得到5（b﹣a）＝c﹣a，在等式的两边同时乘﹣1，则5（a﹣b）＝a﹣c． 5．（2020•安徽19题10分）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%． （1）设2019年4月份的销售总额为a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）； 时间 销售总额（元） 线上销售额（元） 线下销售额（元） 2019年4月份 a x a﹣x 2020年4月份 1.1a 1.43x 　1.04（a﹣x）　 （2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值． 解：（1）∵与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长4%， ∴该超市2020年4月份线下销售额为1.04（a﹣x）元． 故答案为：1.04（a﹣x）． （2）依题意，得：1.1a＝1.43x+1.04（a﹣x）， 解得：xa， ∴0.2． 答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2． 6．（2019•安徽17题8分）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？ 解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米， 由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26， 解得x＝7， 所以乙工程队每天掘进5米， （天） 答：甲乙两个工程队还需联合工作10天． 7．（2018•安徽16题8分）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？ 解：设城中有x户人家， 依题意得：x100 解得x＝75． 答：城中有75户人家． 8．（2017•安徽16题8分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下： 今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？ 译文为： 现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？ 请解答上述问题． 解：设共有x人，可列方程为：8x﹣3＝7x+4． 解得x＝7， ∴8x﹣3＝53（元）， 答：共有7人，这个物品的价格是53元． 9．（2015•安徽14题5分）已知实数a、b、c满足a+b＝ab＝c，有下列结论： ①若c≠0，则1； ②若a＝3，则b+c＝9； ③若a＝b＝c，则abc＝0； ④若a、b、c中只有两个数相等，则a+b+c＝8． 其中正确的是 　①③④　（把所有正确结论的序号都选上）． 【答案】①③④ 【解析】①∵a+b＝ab＝c≠0，∴1，此选项正确；②∵a＝3，则3+b＝3b，b，c，∴b+c6，此选项错误；③∵a＝b＝c，则2a＝a2＝a，∴a＝0，abc＝0，此选项正确；④∵a、b、c中只有两个数相等，不妨a＝b，则2a＝a2，a＝0，或a＝2，a＝0不合题意，a＝2，则b＝2，c＝4，∴a+b+c＝8．当a＝c时，∵a+b＝c，则b＝0，不符合题意，b＝c时，a＝0，此时a+b＝ab＝c＝0，b＝c＝0，也不符合题意；故只能是a＝b＝2，c＝4；此选项正确其中正确的是①③④． 命题点2 一元二次方程及其应用 1．（2025•安徽5题4分）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0 【答案】D 2．（2024•安徽15题8分）解方程：x2﹣2x＝3． 解：x2﹣2x＝3， x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1． 3．（2022•安徽12题5分）若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝　2　． 【答案】2． 【解析】∵一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝16﹣8m＝0，解得：m＝2．∴m＝2． 4．（4分）（2020•安徽5题4分）下列方程中，有两个相等实数根的是（　　） A．x2﹣2x＝3 B．x2+1＝0 C．x2+1＝2x D．x2﹣2x＝0 【答案】C 【解析】A．原方程化为x2﹣2x﹣3＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，方程有两个不相等的实数解，所以A选项不符合题意；B．Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，方程没有实数解，所以B选项不符合题意；C．原方程化为x2﹣2x+1＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的实数解，所以C选项符合题意；D．Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞，方程有两个不相等的实数解，所以D选项不符合题意． 5．（2019•安徽15题8分）解方程：（x﹣1）2＝4． 解：两边直接开平方得：x﹣1＝±2， ∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2， 解得：x1＝3，x2＝﹣1． 6．（2018•安徽7题4分）若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2或2 D．﹣3或1 【答案】A 【解析】原方程可变形为x2+（a+1）x＝0．∵该方程有两个相等的实数根，∴Δ＝（a+1）2﹣4×1×0＝0，解得：a＝﹣1． 7．（2017•安徽8题4分）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x满足（　　） A．16（1+2x）＝25 B．25（1﹣2x）＝16 C．16（1+x）2＝25 D．25（1﹣x）2＝16 【答案】D 【解析】第一次降价后的价格为：25×（1﹣x）；第二次降价后的价格为：25×（1﹣x）2；∵两次降价后的价格为16元，∴25（1﹣x）2＝16． 8．（2016•安徽16题8分）解方程：x2﹣2x＝4． 解：配方x2﹣2x+1＝4+1 ∴（x﹣1）2＝5 ∴x＝1± ∴x1＝1，x2＝1． 9．（2015•安徽6题4分）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2015年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．1.4（1+x）＝4.5 B．1.4（1+2x）＝4.5 C．1.4（1+x）2＝4.5 D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2＝4.5 【答案】C 【解析】设2014年与2015年这两年的平均增长率为x，由题意得：1.4（1+x）2＝4.5． 命题点3 分式方程及其应用 1．（2016•安徽5题4分）方程3的解是（　　） A． B． C．﹣4 D．4 【答案】D 【解析】去分母得：2x+1＝3x﹣3，解得：x＝4，经检验x＝4是分式方程的解． 命题点4 一元一次不等式（组）及其应用 1．（2024•安徽8题4分）已知实数a，b满足a﹣b+1＝0，0＜a+b+1＜1，则下列判断正确的是（　　） A．a＜0 B．b＜1 C．﹣2＜2a+4b＜1 D．﹣1＜4a+2b＜0 【答案】C 【解析】∵a﹣b+1＝0，∴b＝a+1，∵0＜a+b+1＜1，∴0＜a+a+1+1＜1，即0＜2a+2＜1∴﹣1＜a，故选项A错误，不合题意．∵b＝a+1，﹣1＜a，∴0＜b，故选项B错误，不合题意．由﹣1＜a得，﹣2＜2a＜﹣1，﹣4＜4a＜﹣2，由0＜b得，0＜4b＜2，0＜2b＜1，∴﹣2＜2a+4b＜1，故选项C正确，符合题意．∴﹣4＜4a+2b＜﹣1，选项D错误，不合题意． 2．（2023•安徽4题4分）在数轴上表示不等式0的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 3．（2022•安徽11题5分）不等式1的解集为 　x≥5　． 【答案】x≥5． 4．（2021•安徽15题8分）解不等式：1＞0． 解：1＞0， 去分母，得 x﹣1﹣3＞0， 移项及合并同类项，得 x＞4． 5．（2020•安徽15题8分）解不等式：1． 解：去分母，得：2x﹣1＞2， 移项，得：2x＞2+1， 合并，得：2x＞3， 系数化为1，得：x． 6．（2019•安徽9题4分）已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（　　） A．b＞0，b2﹣ac≤0 B．b＜0，b2﹣ac≤0 C．b＞0，b2﹣ac≥0 D．b＜0，b2﹣ac≥0 【答案】D 【解析】∵a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，∴a+c＝2b，b，∴a+2b+c＝（a+c）+2b＝4b＜0，∴b＜0，∴b2﹣acac0，即b＜0，b2﹣ac≥0． 7．（2018•安徽11题8分）不等式1的解集是　x＞10　． 【答案】x＞10． 8．（2017•安徽5题4分）不等式4﹣2x＞0的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：移项，得：﹣2x＞﹣4， 系数化为1，得：x＜2， 故选：D． 9．（2016•安徽11题5分）不等式x﹣2≥1的解集是　x≥3　． 【答案】x≥3 10．（2015•安徽16题8分）解不等式：1． 解：去分母，得2x＞6﹣x+3， 移项，得2x+x＞6+3， 合并，得3x＞9， 系数化为1，得x＞3． 第三章 函数 命题点1 函数及其图象的分析与判断 1.（2024•安徽10题4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BD是边AC上的高．点E，F分别在边AB，BC上（不与端点重合），且DE⊥DF．设AE＝x，四边形DEBF的面积为y，则y关于x的函数图象为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过D作DH⊥AB于H，如图，∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，∴AC2，∵BD是边AC上的高，∴BD；∴CD，AD＝AC﹣CD，∴DH，∴S△ADEAE•DHxx，S△BDEBE•DE（4﹣x）x；∵∠BDE＝90°﹣∠BDF＝∠CDF，∠DBE＝90°﹣∠CBD＝∠C，∴△BDE∽△CDF，∴（）2＝（）2，∴S△CDFS△BDE（x）x，∴y＝S△ABC﹣S△ADE﹣S△CDF2×4x﹣（x）x，∵0，∴y随x的增大而减小，且y与x的函数图象为线段（不含端点），观察各选项图象可知，A符合题意． 2．（2023•安徽9题4分）已知反比例函数y（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵一次函数函数y＝﹣x+b的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，则b＞0，反比例函数y的图象经过第一、三象限，则k＞0，∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x0，由图象可知，反比例函数y与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点（1，k）和（k，1），∴﹣1+b＝k，∴k﹣b＝﹣1，∴b＝k+1， ∴对于函数y＝x2﹣bx+k﹣1，当x＝1时，y＝1﹣b+k﹣1＝﹣1，∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象过点（1，﹣1），∵反比例函数y与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点，∴方程x+b有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4k＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2＞0，∴k﹣1≠0，∴当x＝0时，y＝k﹣1≠0，∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象不过原点，∴符合以上条件的只有A选项． 3.（2022•安徽5题4分）甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【解析】∵30分钟甲比乙步行的路程多，50分钟丁比丙步行的路程多，∴甲的平均速度＞乙的平均速度，丁的平均速度＞丙的平均速度，∵步行3千米时，甲比丁用的时间少，∴甲的平均速度＞丁的平均速度，∴走的最快的是甲． 4．（2022•安徽9题4分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵y＝ax+a2与y＝a2x+a，∴x＝1时，两函数的值都是a2+a，∴两直线的交点的横坐标为1，若a＞0，则一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a都是增函数，且都交y轴的正半轴，图象都经过第一、二、三象限；若a＜0，则一次函数y＝ax+a2经过第一、二、四象限，y＝a2x+a经过第一、三、四象限，且两直线的交点的横坐标为1． 5．（2020•安徽10题4分）如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．∵△ABC和△DEF均为等边三角形，∴△GEJ为等边三角形．∴GHEJx，∴yEJ•GHx2．当x＝2时，y，且抛物线的开口向上．如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．yFJ•GH（4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上． 6．（2018•安徽10题4分）如图，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN＝1．正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处．将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止．记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于l1，l2之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当0≤x≤1时，y＝2x，当1＜x≤2时，y＝2，当2＜x≤3时，y＝﹣2x+6，∴函数图象是A． 7．（2017•安徽9题4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与反比例函数y的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y＝bx+ac的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵抛物线y＝ax2+bx+c与反比例函数y的图象在第一象限有一个公共点，∴b＞0，∵交点横坐标为1，∴a+b+c＝b，∴a+c＝0，∴ac＜0，∴一次函数y＝bx+ac的图象经过第一、三、四象限． 8．（2016•安徽9题4分）一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y（千米）与时间x（小时）函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，甲走了1小时到了B地，在B地休息了半个小时，2小时正好走到C地，乙走了小时到了C地，在C地休息了小时．由此可知正确的图象是A． 命题点2 一次函数的图象与性质 1．（2025•安徽7题4分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点M（1，2），且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（　　） A．（﹣2，2） B．（2，1） C．（﹣1，3） D．（3，4） 【答案】D 2．（2023•安徽5题4分）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（　　） A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1 【答案】D 3．（2023•安徽9题4分）已知反比例函数y（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵一次函数函数y＝﹣x+b的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，则b＞0，反比例函数y的图象经过第一、三象限，则k＞0，∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x0，由图象可知，反比例函数y与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点（1，k）和（k，1），∴﹣1+b＝k，∴k﹣b＝﹣1，∴b＝k+1， ∴对于函数y＝x2﹣bx+k﹣1，当x＝1时，y＝1﹣b+k﹣1＝﹣1，∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象过点（1，﹣1），∵反比例函数y与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点，∴方程x+b有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4k＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2＞0，∴k﹣1≠0，∴当x＝0时，y＝k﹣1≠0，∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象不过原点，∴符合以上条件的只有A选项． 4．（2022•安徽9题4分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵y＝ax+a2与y＝a2x+a，∴x＝1时，两函数的值都是a2+a，∴两直线的交点的横坐标为1，若a＞0，则一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a都是增函数，且都交y轴的正半轴，图象都经过第一、二、三象限；若a＜0，则一次函数y＝ax+a2经过第一、二、四象限，y＝a2x+a经过第一、三、四象限，且两直线的交点的横坐标为1． 5．（2021•安徽6题4分）某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（　　） A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm 【答案】B 【解析】∵鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系，∴设函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），由题意知，x＝22时，y＝16，x＝44时，y＝27，∴， 解得：，∴函数解析式为：yx+5，当x＝38时，y38+5＝24（cm）． 6．（2021•安徽19题10分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y的图象都经过点A（m，2）． （1）求k，m的值； （2）在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围． 解：（1）将点A坐标代入反比例函数得：2m＝6．∴m＝3．∴A（3，2） 将点A坐标代入正比例函数得：2＝3k．∴k． （2）如图， ∴正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围：x＞3或﹣3＜x＜0． 7．（2020•安徽7题4分）已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（　　） A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（2，3） D．（3，4） 【答案】B 8．（2020•安徽22题12分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点． （1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由； （2）求a，b的值； （3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值． 解：（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下： ∵直线y＝x+m经过点A（1，2）， ∴2＝1+m，解得m＝1， ∴直线为y＝x+1， 把x＝2代入y＝x+1得y＝3， ∴点B（2，3）在直线y＝x+m上； 9．（2019•安徽22题12分）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点． （1）求k，a，c的值； （2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值． 解：（1）由题意得，k+4＝2，解得k＝﹣2， ∴一次函数为y＝﹣2x+4， 又∵二次函数图象的顶点为（0，c），且该顶点是另一个交点，代入y＝﹣2x+4得：c＝4， 把（1，2）代入二次函数表达式得a+c＝2，解得a＝﹣2． 10．（2018•安徽13题5分）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y的图象有一个交点A（2，m），AB⊥x轴于点B．平移直线y＝kx，使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是　yx﹣3　． 【答案】yx﹣3 【解析】∵正比例函数y＝kx与反比例函数y的图象有一个交点A（2，m），∴2m＝6，解得：m＝3，故A（2，3），则3＝2k，解得：k，故正比例函数解析式为：yx，∵AB⊥x轴于点B，平移直线y＝kx，使其经过点B，∴B（2，0），∴设平移后的解析式为yx+b，则0＝3+b，解得b＝﹣3，故直线l对应的函数表达式是：yx﹣3． 11．（2018•安徽22题12分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现： ①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元； ②花卉的平均每盆利润始终不变． 小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为w1，w2（单位：元）． （1）用含x的代数式分别表示w1，w2； （2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是多少？ 解：（1）设培植的盆景比第一期增加x盆， 则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆， 所以w1＝（50+x）（160﹣2x）＝﹣2x2+60x+8000， w2＝19（50﹣x）＝﹣19x+950； 12．（2017•安徽9题4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与反比例函数y的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y＝bx+ac的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵抛物线y＝ax2+bx+c与反比例函数y的图象在第一象限有一个公共点，∴b＞0，∵交点横坐标为1，∴a+b+c＝b，∴a+c＝0，∴ac＜0，∴一次函数y＝bx+ac的图象经过第一、三、四象限． 13．（2017•安徽22题12分）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）； （3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？ 解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， ，得， 即y与x之间的函数表达式是y＝﹣2x+200（40≤x≤80）； 14．（2016•安徽9题4分）一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y（千米）与时间x（小时）函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，甲走了1小时到了B地，在B地休息了半个小时，2小时正好走到C地，乙走了小时到了C地，在C地休息了小时．由此可知正确的图象是A． 15．（2016•安徽20题10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB． （1）求函数y＝kx+b和y的表达式； （2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标． 解：（1）把点A（4，3）代入函数y得：a＝3×4＝12， ∴y． OA5， ∵OA＝OB， ∴OB＝5， ∴点B的坐标为（0，﹣5）， 把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得： 解得： ∴y＝2x﹣5． （2）方法一：∵点M在一次函数y＝2x﹣5上， ∴设点M的坐标为（x，2x﹣5）， ∵MB＝MC， ∴ 解得：x＝2.5， ∴点M的坐标为（2.5，0）．方法二：∵B（0，﹣5）、C（0，5）， ∴BC＝10， ∴BC的中垂线为：直线y＝0， 当y＝0时，2x﹣5＝0，即x＝2.5， ∴点M的坐标为（2.5，0）． 16．（2015•安徽21题12分）如图，已知反比例函数y与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）． （1）求k1、k2、b的值； （2）求△AOB的面积； （3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限，并简要说明理由． 解：（1）∵反比例函数y与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）， ∴k1＝8，B（﹣4，﹣2）， 解，解得； （2）由（1）知一次函数y＝k2x+b的图象与y轴的交点坐标为C（0，6）， ∴S△AOB＝S△COB+S△AOC6×46×1＝15； （3）∵反比例函数y的图象位于一、三象限， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵x1＜x2，y1＜y2， ∴M，N在不同的象限， ∴M（x1，y1）在第三象限，N（x2，y2）在第一象限． 命题点3 反比例函数的图象与性质 1．（2025•安徽18题8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+4（a≠0）与反比例函数y（k≠0）的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． （1）求a与k的值； （2）设直线AB与x轴、y轴的交点分别为C，D，求△COD的面积． 解：（1）由题意得， 解得； （2）由（1）知直线AB对应的一次函数表达式为， 令y＝0，得x＝8，所以OC＝8， 令x＝0，得y＝4，所以OD＝4， 故△COD的面积为． 2．（2024•安徽6题4分）已知反比例函数y（k≠0）与一次函数y＝2﹣x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【答案】A 【解析】将x＝3代入y＝2﹣x中，得y＝﹣1，将（3，﹣1）代入y中，得k＝﹣3． 3．（2023•安徽9题4分）已知反比例函数y（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵一次函数函数y＝﹣x+b的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，则b＞0，反比例函数y的图象经过第一、三象限，则k＞0，∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x0，由图象可知，反比例函数y与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点（1，k）和（k，1），∴﹣1+b＝k，∴k﹣b＝﹣1，∴b＝k+1， ∴对于函数y＝x2﹣bx+k﹣1，当x＝1时，y＝1﹣b+k﹣1＝﹣1，∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象过点（1，﹣1），∵反比例函数y与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点，∴方程x+b有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4k＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2＞0，∴k﹣1≠0，∴当x＝0时，y＝k﹣1≠0，∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象不过原点，∴符合以上条件的只有A选项． 4.（2023•安徽14题5分）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C． （1）k＝　　； （2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为 　4　． 【答案】（1）．（2）4． 【解析】（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°，∴，∴，∵C是OB的中点，∴OC＝BC＝AC＝2，如图，过点C作CP⊥OA于P，∴△OPC≌△APC（HL），∴，在Rt△OPC中，PC，∴C（，1）．∵反比例函数y（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C，∴，解得k．（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 则，解得，∴AC的解析式为yx+2，∵AC∥BD，∴直线BD的解析式为yx+4，∵点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上，∴联立得，解得，，当D的坐标为（23，）时，BD29+3＝12，∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4； 当D的坐标为（23，）时，BD29+3＝12，∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；综上，OB2﹣BD2＝4． 5．（2022•安徽13题5分）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y的图象经过点C，y（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝　3　． 【答案】3． 【解析】由题知，反比例函数y的图象经过点C，设C点坐标为（a，），作CH⊥OA于H，过A点作AG⊥BC于G，∵四边形OABC是平行四边形，OC＝AC，∴OH＝AH，CG＝BG，四边形HAGC是矩形，∴OH＝CG＝BG＝a，即B（3a，），∵y（k≠0）的图象经过点B，∴k＝3a•3． 6．（2021•安徽19题10分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y的图象都经过点A（m，2）． （1）求k，m的值； （2）在图中画出正比例函数y＝kx的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围． 解：（1）将点A坐标代入反比例函数得：2m＝6． ∴m＝3． ∴A（3，2） 将点A坐标代入正比例函数得：2＝3k． ∴k． （2）如图： ∴正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围：x＞3或﹣3＜x＜0． 7.（2020•安徽13题5分）如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数y的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴．垂足分别为点D，E．当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为　2　． 【答案】2 【解析】一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，令x＝0，则y＝k，令y＝0，则x＝﹣k，故点A、B的坐标分别为（﹣k，0）、（0，k），则△OAB的面积OA•OBk2，而矩形ODCE的面积为k，则k2＝k，解得：k＝0（舍去）或2． 8．（2019•安徽5题4分）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y的图象上，则实数k的值为（　　） A．3 B． C．﹣3 D． 【答案】A 【解析】点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），把A′（1，3）代入y得k＝1×3＝3． 9．（2018•安徽13题5分）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y的图象有一个交点A（2，m），AB⊥x轴于点B．平移直线y＝kx，使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是　yx﹣3　． 【答案】yx﹣3 【解析】∵正比例函数y＝kx与反比例函数y的图象有一个交点A（2，m），∴2m＝6，解得：m＝3，故A（2，3），则3＝2k，解得：k，故正比例函数解析式为：yx， ∵AB⊥x轴于点B，平移直线y＝kx，使其经过点B，∴B（2，0），∴设平移后的解析式为：yx+b，则0＝3+b，解得：b＝﹣3，故直线l对应的函数表达式是：yx﹣3． 10．（2017•安徽9题4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与反比例函数y的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y＝bx+ac的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵抛物线y＝ax2+bx+c与反比例函数y的图象在第一象限有一个公共点，∴b＞0，∵交点横坐标为1，∴a+b+c＝b，∴a+c＝0，∴ac＜0，∴一次函数y＝bx+ac的图象经过第一、三、四象限． 11．（2016•安徽20题10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB． （1）求函数y＝kx+b和y的表达式； （2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标． 解：（1）把点A（4，3）代入函数y得：a＝3×4＝12， ∴y． OA5， ∵OA＝OB， ∴OB＝5， ∴点B的坐标为（0，﹣5）， 把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得： 解得： ∴y＝2x﹣5． （2）方法一：∵点M在一次函数y＝2x﹣5上， ∴设点M的坐标为（x，2x﹣5）， ∵MB＝MC， ∴ 解得：x＝2.5， ∴点M的坐标为（2.5，0）．方法二：∵B（0，﹣5）、C（0，5）， ∴BC＝10， ∴BC的中垂线为：直线y＝0， 当y＝0时，2x﹣5＝0，即x＝2.5， ∴点M的坐标为（2.5，0）． 12．（2015•安徽21题12分）如图，已知反比例函数y与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）． （1）求k1、k2、b的值； （2）求△AOB的面积； （3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限，并简要说明理由． 解：（1）∵反比例函数y与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）， ∴k1＝8，B（﹣4，﹣2）， 解，解得； （2）由（1）知一次函数y＝k2x+b的图象与y轴的交点坐标为C（0，6）， ∴S△AOB＝S△COB+S△AOC6×46×1＝15； （3）∵反比例函数y的图象位于一、三象限， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵x1＜x2，y1＜y2， ∴M，N在不同的象限， ∴M（x1，y1）在第三象限，N（x2，y2）在第一象限． 命题点3 二次函数的图象与性质 1.（2025•安徽9题4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则（　　） A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．2b﹣c＜0 D．a﹣b+c＜0 【答案】C 2．（2025•安徽23题14分）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点（4，0）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y＝ax2+bx和y＝x2﹣2x上（A，B与原点都不重合）． （i）若a，且x1＝x2，比较y1与y2的大小； （ii）当时，若是一个与x1无关的定值，求a与b的值． 解：（1）由题意得，将点（4，0）代入y＝ax2+bx得， 16a+4b＝0，即b＝﹣4a， ∴， 故所求抛物线的对称轴是直线x＝2． （2）①由（1）可知，抛物线的解析式为． 又∵x1＝x2， ∴． ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴x1≠0， ∴， 故y2＞y1； ②由题意知，，， ∵， ∴， ∵两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以x1≠0，x2≠0． 故，即x2＝a（x1﹣4）+2． ∴， 依题意知，是与x1无关的定值． 不妨将x1＝1和x1＝2分别代入，可得2﹣3a＝1﹣a， 解得， 经检验，当时，是一个与x1无关的定值，符合题意． ∴，b＝﹣4a＝﹣2． 3.（2024•安徽23题14分）已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x的顶点横坐标大1． （1）求b的值； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+bx上． （ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值； （ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值． 解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx的顶点横坐标为，y＝﹣x2+2x的顶点横坐标为1， ∴，∴b＝4； （2）∵点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，∴， ∵B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+4x上， ∴，t）， ∴h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t， （i）∵h＝3t，∴3t＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t，∴t（t+2x1）＝t+2x1， ∵x1≥0，t＞0，∴t+2x1＞0，∴t＝1，∴h＝3； （ii）将x1＝t﹣1代入h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t， ∴h＝﹣3t2+8t﹣2，， ∵﹣3＜0，∴当，即时，h取最大值． 4．（2023•安徽5题4分）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（　　） A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1 【答案】D 5．（2023•安徽9题4分）已知反比例函数y（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵一次函数函数y＝﹣x+b的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，则b＞0，反比例函数y的图象经过第一、三象限，则k＞0，∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x0，由图象可知，反比例函数y与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点（1，k）和（k，1），∴﹣1+b＝k，∴k﹣b＝﹣1，∴b＝k+1， ∴对于函数y＝x2﹣bx+k﹣1，当x＝1时，y＝1﹣b+k﹣1＝﹣1，∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象过点（1，﹣1），∵反比例函数y与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点，∴方程x+b有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4k＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2＞0，∴k﹣1≠0，∴当x＝0时，y＝k﹣1≠0，∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象不过原点，∴符合以上条件的只有A选项． 6．（2023•安徽23题14分）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2． （1）求a，b的值； （2）已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E． （i）当0＜t＜2时，求△OBD与△ACE的面积之和； （ii）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2， ∴， 解得：； （2）由（1）得：y＝﹣x2+4x， ∴当x＝t时，y＝﹣t2+4t， 当x＝t+1时，y＝﹣（t+1）2+4（t+1），即y＝﹣t2+2t+3， ∴B（t，﹣t2+4t），C（t+1，﹣t2+2t+3）， 设OA的解析式为y＝kx，将A（3，3）代入，得：3＝3k， ∴k＝1， ∴OA的解析式为y＝x， ∴D（t，t），E（t+1，t+1）， （i）设BD与x轴交于点M，过点A作AN⊥CE，如图， 则M（t，0），N（t+1，3）， ∴S△OBD+S△ACEBD•OMAN•CE（﹣t2+4t﹣t）•t（﹣t2+2t+3﹣t﹣1）•（3﹣t﹣1）（﹣t3+3t2）（t3﹣3t2+4）t3t2t3t2+2＝2； （ii）①当2＜t＜3时，过点D作DH⊥CE于H，如图， 则H（t+1，t），BD＝﹣t2+4t﹣t＝﹣t2+3t，CE＝t+1﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣2，DH＝t+1﹣t＝1， ∴S四边形DCEB（BD+CE）•DH， 即（﹣t2+3t+t2﹣t﹣2）×1， 解得：t； ②当t＞3时，如图，过点D作DH⊥CE于H， 则BD＝t﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣3t，CE＝t2﹣t﹣2， ∴S四边形DBCE（BD+CE）•DH， 即（t2﹣3t+t2﹣t﹣2）×1， 解得：t11（舍去），t21（舍去）； 综上所述，t的值为． 7．（2022•安徽23题14分）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题： （ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值； （ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）． 解：（1）由题意可得：A（﹣6，2），D（6，2）， 又∵E（0，8）是抛物线的顶点， 设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2+8，将A（﹣6，2）代入， （﹣6）2a+8＝2， 解得：a， ∴抛物线对应的函数表达式为yx2+8； （2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上， ∴P2的坐标为（m，m2+8）， ∴P1P2＝P3P4＝MNm2+8，P2P3＝2m， ∴l＝3（m2+8）+2mm2+2m+24（m﹣2）2+26， ∵0， ∴当m＝2时，l有最大值为26， 即栅栏总长l与m之间的函数表达式为lm2+2m+24，l的最大值为26； （ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18﹣3n， ∴矩形P1P2P3P4面积为（18﹣3n）n＝﹣3n2+18n＝﹣3（n﹣3）2+27， ∵﹣3＜0， ∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27， 此时P2P1＝3，P2P3＝9， 令x2+8＝3， 解得：x＝±， ∴此时P1的横坐标的取值范围为9≤x， 方案二：设P2P1＝n，则P2P39﹣n， ∴矩形P1P2P3P4面积为（9﹣n）n＝﹣n2+9n＝﹣（n）2， ∵﹣1＜0， ∴当n时，矩形面积有最大值为， 此时P2P1，P2P3， 令x2+8， 解得：x＝±， ∴此时P1的横坐标的取值范围为x． 8．（2021•安徽14题5分）设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数． （1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝　0　； （2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是　2　． 【答案】（1）0．（2）2． 【解析】（1）点（﹣1，m）代入抛物线解析式y＝x2+（a+1）x+a，得（﹣1）2+（a+1）×（﹣1）+a＝m，解得m＝0．（2）y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位可得，y＝x2+（a+1）x+a+2，∴y＝（x）2（a﹣1）2+2，∴抛物线顶点的纵坐标n（a﹣1）2+2，∵0，∴n的最大值为2． 9.（2021安徽22题12分）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1． （1）求a的值； （2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比较y1与y2的大小，并说明理由； （3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝3（x﹣1）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比． 解：（1）根据题意可知，抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线：x1， ∴a＝1． （2）由（1）可知，抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， ∵a＝1＞0， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小， ∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2， ∴1＜1﹣x1＜2，0＜x2﹣1＜1， 结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，值越大， ∴y1＞y2． （3）联立y＝m（m＞0）与y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，可得A（1，m），B（1，m）， ∴AB＝2， 联立y＝m（m＞0）与y＝3（x﹣1）2，可得C（1，m），D（1，m）， ∴C（1，m），D（1，m） ∴CD＝2， ∴． 10．（2020•安徽22题12分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点． （1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由； （2）求a，b的值； （3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值． 解：（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下： ∵直线y＝x+m经过点A（1，2）， ∴2＝1+m，解得m＝1， ∴直线为y＝x+1， 把x＝2代入y＝x+1得y＝3， ∴点B（2，3）在直线y＝x+m上； （2）∵直线y＝x+1经过点B（2，3），直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），点（0，1），A（1，2），B（2，3）在直线上，点（0，1），A（1，2）在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点， ∵B（2，3），C（2，1）两点的横坐标相同， ∴抛物线只能经过A、C两点， 把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得， 解得a＝﹣1，b＝2； （3）由（2）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1， 设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，q）， ∵顶点仍在直线y＝x+1上， ∴q1， ∴q1， ∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q， ∴q1（p﹣1）2， ∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为． （3）另解 ∵平移抛物线y＝﹣x2+2x+1，其顶点仍在直线为y＝x+1上， 设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+h+1， ∴y＝﹣x2+2hx﹣h2+h+1， 设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为c，则c＝﹣h2+h+1＝﹣（h）2 ∴当h时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为． 11．（2019安徽14题5分）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x﹣a+1和y＝x2﹣2ax的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是　a＜﹣1或a＞1　． 【解答】解：∵平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方， 令y＝x﹣a+1＜0， ∴x＜﹣1+a， 令y＝x2﹣2ax＜0， 当a＞0时，0＜x＜2a；当a＜0时，2a＜x＜0； ①当a＞0时，x＜﹣1+a与0＜x＜2a有解，则a＞1， ②当a＜0时，x＜﹣1+a与2a＜x＜0有解，a﹣1＞2a，则a＜﹣1； ∴a＜﹣1； 故答案为a＜﹣1或a＞1. 12.（2019•安徽22题12分）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点． （1）求k，a，c的值； （2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值． 解：（1）由题意得，k+4＝2，解得k＝﹣2， ∴一次函数为y＝﹣2x+4， 又∵二次函数图象的顶点为（0，c），且该顶点是另一个交点，代入y＝﹣2x+4得：c＝4， 把（1，2）代入二次函数表达式得a+c＝2，解得a＝﹣2． （2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0 ∴，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则BC＝|x1﹣x2|＝2， ∴W＝OA2+BC2 ∴当m＝1时，W取得最小值7． 13．（2018•安徽22题12分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现： ①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元； ②花卉的平均每盆利润始终不变． 小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为w1，w2（单位：元）． （1）用含x的代数式分别表示w1，w2； （2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是多少？ 解：（1）设培植的盆景比第一期增加x盆， 则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆， 所以w1＝（50+x）（160﹣2x）＝﹣2x2+60x+8000， w2＝19（50﹣x）＝﹣19x+950； （2）根据题意，得： w＝w1+w2 ＝﹣2x2+60x+8000﹣19x+950 ＝﹣2x2+41x+8950 ＝﹣2（x）2， ∵﹣2＜0，且x为整数， ∴当x＝10时，w最大值为9160， 当x＝11时，w最大值为9159， 9159＜9160， ∴当x＝10时，w取得最大值，最大值为9160， 答：当x＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是9160元． 14．（2017•安徽9题4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与反比例函数y的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y＝bx+ac的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵抛物线y＝ax2+bx+c与反比例函数y的图象在第一象限有一个公共点，∴b＞0，∵交点横坐标为1，∴a+b+c＝b，∴a+c＝0，∴ac＜0，∴一次函数y＝bx+ac的图象经过第一、三、四象限． 15．（2017•安徽22题12分）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）； （3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？ 解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， ， 得， 即y与x之间的函数表达式是y＝﹣2x+200（40≤x≤80）； （2）由题意可得， W＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2x2+280x﹣8000， 即W与x之间的函数表达式是W＝﹣2x2+280x﹣8000； （3）∵W＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，40≤x≤80， ∴当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小， 当x＝70时，W取得最大值，此时W＝1800， 答：当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小，售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元． 16．（2016•安徽22题12分）如图，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）． （1）求a，b的值； （2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值． 解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y＝ax2+bx， 得，解得：； （2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2，0），连接CD、CB，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F， 设C坐标为（x，x2+3x）， S△OADOD•AD2×4＝4； S△ACDAD•CE4×（x﹣2）＝2x﹣4； S△BCDBD•CF4×（x2+3x）＝﹣x2+6x， 则S＝S△OAD+S△ACD+S△BCD＝4+2x﹣4﹣x2+6x＝﹣x2+8x， ∴S关于x的函数表达式为S＝﹣x2+8x（2＜x＜6）， ∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16， ∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16． 17．（2015•安徽10题4分）如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（　　） A．B． C．D． 【答案】A 【解析】由图象可知一次函数y＝x与二次函数y＝ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，∴函数y＝ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，两个交点在x轴的正半轴，∴A符合条件． 18．（2015•安徽22题12分）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2． （1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 解：（1）∵三块矩形区域的面积相等， ∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍， ∴AE＝2BE， 设BE＝FC＝am，则AE＝HG＝DF＝2am， ∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80， ∴ax+10，3ax+30， ∴y＝（x+30）xx2+30x， ∵ax+10＞0， ∴x＜40， 则yx2+30x（0＜x＜40）； （2）∵yx2+30x（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为0， ∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300平方米． 第四章 三角形 命题点1 线段、角、相交线与平行线 1．（2021•安徽5题4分）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M．若BC∥EF，则∠BMD的大小为（　　） A．60° B．67.5° C．75° D．82.5° 【答案】C 【解析】如图，在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，∴∠B＝90°﹣∠C＝60°，∠F＝90°﹣∠E＝45°，∵BC∥EF，∴∠MDB＝∠F＝45°，在△BMD中，∠BMD＝180°﹣∠B﹣∠MDB＝75°．法二、∵BC∥EF，∴∠EAC＝∠C＝30°，则∠MAE＝120°，在四边形AMDE中，∠AMD＝360°﹣120°﹣90°﹣45°＝105，∴∠BMD＝180﹣∠AMD＝75°．故选：C． 2．（2020•安徽9题4分）已知点A，B，C在⊙O上，则下列命题为真命题的是（　　） A．若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形 B．若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120° C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB D．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC 【答案】B 【解析】A、如图，若半径OB平分弦AC，则四边形OABC不一定是平行四边形；原命题是假命题；B、若四边形OABC是平行四边形，则AB＝OC，OA＝BC，∵OA＝OB＝OC，∴AB＝OA＝OB＝BC＝OC，∴∠ABO＝∠OBC＝60°，∴∠ABC＝120°，是真命题；C、如图，过O作OQ⊥AC于Q，交⊙O于P，连接PA，PC，∵∠ABC＝120°，∴∠APC＝120°，∠AOC＝360°﹣2×120°＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，在Rt△OQA中，OQOA，∴OQOP，∴AC平分OP，∴只有当OB⊥AC时，弦AC平分半径OB，∴弦AC不一定平分半径OB，故C项是假命题；若∠ABC＝120°，则弦AC不平分半径OB，原命题是假命题；D、如图，若弦AC平分半径OB，则半径OB不一定平分弦AC，原命题是假命题；故选：B． 3．（2019•安徽12题5分）命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为　如果a，b互为相反数，那么a+b＝0　． 【答案】如果a，b互为相反数，那么a+b＝0． 4．（2017•安徽6题4分）直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 【答案】C 【解析】如图，过E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠3+∠4＝60°，∴∠1+∠2＝60°，∵∠1＝20°，∴∠2＝40°． 命题点2 三角形的基本性质和重要线段 1．（2023•安徽13题5分）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD（BC）．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝　1　． 【答案】1． 【解析】∵BD（BC），AB＝7，BC＝6，AC＝5，∴BD（6）＝5，∴CD＝BC﹣BD＝6﹣5＝1． 2．（2022•安徽6题4分）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（　　） A．α﹣90° B．α﹣45° C．180°﹣α D．270°﹣α 【答案】C 【解析】由图可得，∠1＝90°+∠3，∵∠1＝α，∴∠3＝α﹣90°，∵∠3+∠2＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（α﹣90°）＝90°﹣α+90°＝180°﹣α． 3.（2021•安徽5题4分）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M．若BC∥EF，则∠BMD的大小为（　　） A．60° B．67.5° C．75° D．82.5° 【答案】C 【解答】解：如图， 在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠C＝60°， ∠F＝90°﹣∠E＝45°， ∵BC∥EF， ∴∠MDB＝∠F＝45°， 在△BMD中，∠BMD＝180°﹣∠B﹣∠MDB＝75°． 4．（2016•安徽8题4分）如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　） A．4 B．4 C．6 D．4 【答案】B 【解析】∵BC＝8，∴CD＝4，在△CBA和△CAD中，∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CBA∽△CAD，∴，∴AC2＝CD•BC＝4×8＝32，∴AC＝4． 命题点3 等腰三角形的性质与判定 1．（2025•安徽6题4分）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC．若DE，则AC的长是（　　） A．4 B．6 C．2 D．3 【答案】B 2．（2024•安徽7题4分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线上，且CD＝AB，则BD的长是（　　） A． B． C．22 D． 【答案】B 【解析】如图，过点C作CH⊥AB于H，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，CH⊥AB，∴AB＝2，AH＝BH＝CH，∵CD＝AB＝2，∴DH， ∴DB． 3．（2023•安徽10题4分）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（　　） A．PA+PB的最小值为3 B．PE+PF的最小值为2 C．△CDE周长的最小值为6 D．四边形ABCD面积的最小值为3 【答案】A 【解析】延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，如图，∵△ADE和△BCE是等边三角形，∴∠DEA＝∠MBA＝60°，∠CEB＝∠MAB＝60°，∴DE∥BM，CE∥AM，∴四边形DECM是平行四边形，∵P为CD中点，∴P为EM中点，∵E在线段AB上运动，∴P在直线l上运动，由AB＝4知等边三角形ABM的高为2，∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB＝PA'+PB最小，此时PA+PB最小值A'B2，故选项A错误，符合题意；∵PM＝PE，∴PE+PF＝PM+PF，∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，∵F为AB的中点，∴MF⊥AB，∴MF为等边三角形ABM的高，∴PE+PF的最小值为2，故选项B正确，不符合题意；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，如图， ∵△ADE和△BCE是等边三角形，∴KEAE，TEBE，∴KT＝KE+TEAB＝2，∴CD≥2，∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2，∴DE+CE+CD≥6，∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意；设AE＝2m，则BE＝4﹣2m，∴AK＝KE＝m，BT＝ET＝2﹣m，DKAKm，CTBT＝2m，∴S△ADKm•mm2，S△BCT（2﹣m）（2m）m2﹣2m+2，S梯形DKTC（m+2m）•2＝2，∴S四边形ABCDm2m2﹣2m+22m2﹣2m+4（m﹣1）2+3，∴当m＝1时，四边形ABCD面积的最小值为3，故选项D正确，不符合题意． 4．（2022•安徽10题4分）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（　　） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】如图，不妨假设点P在AB的左侧，∵S△PAB+S△ABC＝S△PBC+S△PAC，∴S1+S0＝S2+S3，∵S1+S2+S3＝2S0，∴S1+S1+S0＝2，∴S1S0，∵△ABC是等边三角形，边长为6，∴S062＝9，∴S1，过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．∵△PAB的面积是定值，∴点P的运动轨迹是直线PM，∵O是△ABC的中心，∴CT⊥AB，CT⊥PM，∴•AB•RT，CR＝3，OR，∴RT，∴OT＝OR+TR，∵OP≥OT，∴OP的最小值为，当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为，如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为，当点P在②④⑥区域时，最小值为，∵，故选：B． 5．（2022•安徽14题5分）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题： （1）∠FDG＝　45　°； （2）若DE＝1，DF＝2，则MN＝　　． 【答案】（1）45；（2）． 【解析】由题知，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEB+∠GEF＝90°，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠GEF＝∠ABE，在△ABE和△GEF中，，∴△ABE≌△GEF（AAS），∴EG＝AB＝AD，GF＝AE，即DG+DE＝AE+DE，∴DG＝AE，∴DG＝GF，即△DGF是等腰直角三角形，∴∠FDG＝45°；（2）∵DE＝1，DF＝2，由（1）知，△DGF是等腰直角三角形，∴DG＝GF＝2，AB＝AD＝CD＝ED+DG＝2+1＝3，延长GF交BC延长线于点H，∴CD∥GH，∴△EDM∽△EGF，∴，即，∴MD，同理△BNC∽△BFH，∴，即，∴，∴NC，∴MN＝CD﹣MD﹣NC＝3． 6．（2018•安徽14题5分）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为　或3　． 【答案】或3 【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，∴BD10，当PD＝DA＝8时，BP＝BD﹣PD＝2，∵△PBE∽△DBC，∴，即，解得，PE，当P′D＝P′A时，点P′为BD的中点，∴P′E′CD＝3． 命题点4 直角三角形的性质与判定 1．（2024•安徽7题4分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线上，且CD＝AB，则BD的长是（　　） A． B． C．22 D． 【答案】B 【解析】如图，过点C作CH⊥AB于H，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，CH⊥AB，∴AB＝2，AH＝BH＝CH，∵CD＝AB＝2，∴DH，∴DB． 2．（2023•安徽22题12分）在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD，BD． （1）如图1，求∠ADB的大小； （2）已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD，DE∥AB． （i）如图2，连接CD，求证：BD＝CD； （ii）如图3，连接BE，若AC＝8，BC＝6，求tan∠ABE的值． （1）解：∵M是AB的中点，∴MA＝MB，由旋转的性质得：MA＝MD＝MB， ∴∠MAD＝∠MDA，∠MDB＝∠MBD， ∵∠MAD+∠MDA+∠MDB+∠MBD＝180°， ∴∠ADB＝∠MDA+∠MDB＝90°，即∠ADB的大小为90°； （2）（i）证明：∵∠ADB＝90°，∴AD⊥BD， ∵ME⊥AD，∴ME∥BD， ∵ED∥BM，∴四边形EMBD是平行四边形，∴DE＝BM＝AM， ∴DE∥AM，∴四边形EAMD是平行四边形， ∵EM⊥AD，∴平行四边形EAMD是菱形，∴∠BAD＝∠CAD， 又∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴A、C、D、B四点共圆， ∵∠BCD＝∠CAD，∴，∴BD＝CD； （ii）解：如图3，过点E作EH⊥AB于点H， 则∠EHA＝∠EHB＝90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB10， ∵四边形EAMD是菱形，∴AE＝AMAB＝5，∴sin∠CAB， ∴EH＝AE•sin∠CAB＝53，∴AH4， ∴BH＝AB﹣AH＝10﹣4＝6，∴tan∠ABE，即tan∠ABE的值为． 3．（2022•安徽14题5分）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题： （1）∠FDG＝　45　°； （2）若DE＝1，DF＝2，则MN＝　　． 【答案】（1）45；（2）． 【解析】由题知，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEB+∠GEF＝90°，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠GEF＝∠ABE，在△ABE和△GEF中，，∴△ABE≌△GEF（AAS），∴EG＝AB＝AD，GF＝AE，即DG+DE＝AE+DE，∴DG＝AE，∴DG＝GF，即△DGF是等腰直角三角形，∴∠FDG＝45°；（2）∵DE＝1，DF＝2，由（1）知，△DGF是等腰直角三角形，∴DG＝GF＝2，AB＝AD＝CD＝ED+DG＝2+1＝3，延长GF交BC延长线于点H，∴CD∥GH，∴△EDM∽△EGF，∴，即，∴MD，同理△BNC∽△BFH，∴，即，∴，∴NC，∴MN＝CD﹣MD﹣NC＝3． 4．（2021•安徽5题4分）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M．若BC∥EF，则∠BMD的大小为（　　） A．60° B．67.5° C．75° D．82.5° 【答案】C 【解析】在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，∴∠B＝90°﹣∠C＝60°，∠F＝90°﹣∠E＝45°，∵BC∥EF，∴∠MDB＝∠F＝45°，在△BMD中，∠BMD＝180°﹣∠B﹣∠MDB＝75°．法二、∵BC∥EF，∴∠EAC＝∠C＝30°，则∠MAE＝120°，在四边形AMDE中，∠AMD＝360°﹣120°﹣90°﹣45°＝105，∴∠BMD＝180﹣∠AMD＝75°． 5．（2021•安徽10题4分）在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME．则下列结论错误的是（　　） A．CD＝2ME B．ME∥AB C．BD＝CD D．ME＝MD 【答案】A 【解答】解：根据题意可作出图形，如图，延长EM交BD于点F，延长DM交AB于点N，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，由此可得点A，C，D，B四点共圆，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∴CD＝DB，（故选项C正确）∵点M是BC的中点，∴DM⊥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC∥DN，∴点N是线段AB的中点，∴AN＝DN，∴∠DAB＝∠ADN，∵CE⊥AD，BD⊥AD，∴CE∥BD，∴∠ECM＝∠FBM，∠CEM＝∠BFM，∵点M是BC的中点，∴CM＝BM，∴△CEM≌△BFM（AAS），∴EM＝FM，∠CEM＝∠BFM，∴点M是EF的中点，∵∠EDF＝∠CED＝90°，∴EM＝FM＝DM（故选项D正确），∴∠DEM＝∠MDE＝∠DAB，∴EM∥AB（故选项B正确），综上，可知选项A的结论不正确． 6．（2018•安徽23题14分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F． （1）求证：CM＝EM； （2）若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小； （3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM． （1）证明：如图1中， ∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠DCB＝90°， ∵DM＝MB，∴CMDB，EMDB，∴CM＝EM． （2）解：∵∠AED＝90°，∠A＝50°，∴∠ADE＝40°，∠CDE＝140°， ∵CM＝DM＝ME，∴∠MCD＝∠MDC，∠MDE＝∠MED， ∴∠CME＝360°﹣2×140°＝80°，∴∠EMF＝180°﹣∠CME＝100°． （3）证明：如图2中，设FM＝a． ∵△DAE≌△CEM，CM＝EM，∴AE＝ED＝EM＝CM＝DM，∠AED＝∠CME＝90° ∴△ADE是等腰直角三角形，△DEM是等边三角形，∴∠DEM＝60°，∠MEF＝30°， ∴AE＝CM＝EMa，EF＝2a， ∵CN＝NM，∴MNa，∴，， ∴，∴EM∥AN． 7．（2017•安徽14题5分）在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝30cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），剪去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为　40或　cm． 【答案】40或 【解析】∵∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝30cm，∴AB＝10，∠ABC＝60°，∵△ADB≌△EDB，∴∠ABD＝∠EBDABC＝30°，BE＝AB＝10，∴DE＝10，BD＝20，如图1，平行四边形的边是DF，BF，且DF＝BF，∴平行四边形的周长，如图2，平行四边形的边是DE，EG，且DE＝EG＝10，∴平行四边形的周长＝40，综上所述：平行四边形的周长为40或． 8．（2016•安徽10题4分）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2． 9．（2016•安徽23题14分）如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点． （1）求证：△PCE≌△EDQ； （2）延长PC，QD交于点R． ①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABR为等边三角形； ②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值． （1）证明：∵点C、D、E分别是OA，OB，AB的中点， ∴DE＝OC，DE∥OC，CE＝OD，CE∥OD， ∴四边形ODEC是平行四边形， ∴∠OCE＝∠ODE， ∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形， ∴∠PCO＝∠QDO＝90°， ∴∠PCE＝∠PCO+∠OCE＝∠QDO+∠EDO＝∠EDQ， ∵PCAO＝OC＝ED，CE＝ODOB＝DQ， 在△PCE与△EDQ中，， ∴△PCE≌△EDQ； （2）①如图2，连接RO， ∵PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线， ∴AR＝OR＝RB， ∴∠ARC＝∠ORC，∠ORQ＝∠BRQ， ∵∠RCO＝∠RDO＝90°，∠COD＝150°， ∴∠CRD＝30°， ∴∠ARB＝60°， ∴△ARB是等边三角形； ②由（1）得，EQ＝EP，∠DEQ＝∠CPE， ∴∠PEQ＝∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ＝∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE＝∠ACE﹣∠RCE＝∠ACR＝90°， ∴△PEQ是等腰直角三角形，∵△ARB∽△PEQ，∴∠ARB＝∠PEQ＝90°， ∴∠OCR＝∠ODR＝90°，∠CRD∠ARB＝45°， ∴∠MON＝135°， 此时P，O，B在一条直线上，△PAB为直角三角形，且∠APB＝90°， ∴AB＝2PE＝2PQPQ，∴． 命题点5 全等三角形的性质与判定 1．（2024•安徽9题4分）在凸五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，F是CD的中点．下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是（　　） A．∠ABC＝∠AED B．∠BAF＝∠EAF C．∠BCF＝∠EDF D．∠ABD＝∠AEC 【答案】D 【解析】选项A：连接AC、AD，∵AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝DE，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD，∵F是CD的中点，∴AF⊥CD，所以选项A不合题意；选项B：连接BF、EF，∵AB＝AE，∠BAF＝∠EAF，AF＝AF，∴△ABF≌△AEF（SAS），∴∠AFB＝∠AFE，BF＝EF，∴△BFC≌△EFD（SSS），∴∠BFC＝∠EFD，∴∠BFC+∠AFB＝∠EFD+∠AFE，即∠AFC＝∠AFD＝90°，∴AF⊥CD，所以选项B不合题意；选项C：思路与选项B大致相同，先证△BFC≌△EFD（SAS），再证△ABF≌△AEF（SSS），∴∠BFC+∠AFB＝∠EFD+∠AFE，即∠AFC＝∠AFD＝90°，∴AF⊥CD，所以选项C不合题意；选项D 的条件无法证出全等，故证不出AF⊥CD，所以选项D符合题意． 2．（2021•安徽10题4分）在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME．则下列结论错误的是（　　） A．CD＝2ME B．ME∥AB C．BD＝CD D．ME＝MD 【答案】A 【解析】根据题意可作出图形，如图，延长EM交BD于点F，延长DM交AB于点N， 在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，由此可得点A，C，D，B四点共圆，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∴CD＝DB，（故选项C正确）∵点M是BC的中点，∴DM⊥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC∥DN，∴点N是线段AB的中点，∴AN＝DN，∴∠DAB＝∠ADN，∵CE⊥AD，BD⊥AD，∴CE∥BD，∴∠ECM＝∠FBM，∠CEM＝∠BFM，∵点M是BC的中点，∴CM＝BM， ∴△CEM≌△BFM（AAS），∴EM＝FM，∠CEM＝∠BFM，∴点M是EF的中点，∵∠EDF＝∠CED＝90°，∴EM＝FM＝DM（故选项D正确），∴∠DEM＝∠MDE＝∠DAB，∴EM∥AB（故选项B正确），综上，可知选项A的结论不正确． 3．（2018•安徽9题4分）▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　） A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF 【答案】B 【解析】如图，连接AC与BD相交于O，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；B、若AE＝CF，则无法判断OE＝OF，故本选项符合题意；C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；D、∠BAE＝∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，然后同A，故本选项不符合题意． 4．（2015•安徽9题4分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【解析】连接EF交AC于O，∵四边形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE＝OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，在△CFO与△AOE中，，∴△CFO≌△AEO（AAS），∴AO＝CO，∵AC4，∴AOAC＝2，∵∠CAB＝∠CAB，∠AOE＝∠B＝90°，∴△AOE∽△ABC，∴，∴，∴AE＝5．方法二：应连接EF得EF⊥AC 易证EF垂直平分AC 连接CE，得CE＝AE，设CE＝AE＝x，EB＝8﹣x，BC＝4，利用勾股定理求得x＝5即可． 命题点6 相似三角形的性质与判定 1．（2025•安徽16题8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为（﹣1，﹣3）和（2，6）． （1）在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1． 解：（1）如图，点D即为所求． 由图可得，点D的坐标为（﹣2，﹣1）． （2）如图，△A1B1C1即为所求． 2．（2019•安徽7题4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（　　） A．3.6 B．4 C．4.8 D．5 【答案】B 【解析】作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，∴，∵EF⊥AC，∠C＝90°，∴∠EFA＝∠C＝90°，∴EF∥CD，∴△AEF∽△ADC，∴，∴， ∵EG＝EF，∴DH＝CD，设DH＝x，则CD＝x，∵BC＝12，AC＝6，∴BD＝12﹣x，∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，∴EG∥AC∥DH，∴△BDH∽△BCA，∴，即，解得，x＝4，∴CD＝4． 3．（2018•安徽17题8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点． （1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出线段A1B1； （2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1； （3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是　20　个平方单位． 解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求； （2）如图所示，线段A2B1即为所求； （3）由图可得，四边形AA1B1A2为正方形， ∴四边形AA1B1A2的面积是（）2＝（）2＝20． 故答案为：20． 4．（2016•安徽8题4分）如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　） A．4 B．4 C．6 D．4 【答案】B 【解析】∵BC＝8，∴CD＝4，在△CBA和△CAD中，∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C， ∴△CBA∽△CAD，∴，∴AC2＝CD•BC＝4×8＝32，∴AC＝4． 命题点7 锐角三角函数及其应用 1．（2025•安徽17题8分）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°．已知AB＝13.20m，求AD的长（精确到0.1m）． 参考数据：sin23.8°≈0.40，cos23.8°≈0.91，tan23.8°≈0.44，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75． 解：过点A作AE⊥CD，垂足为点E， 由题意得：四边形ABCE为矩形， 所以CE＝AB＝13.20m， 在Rt△ACE中，， 所以（m）， 在Rt△ADE中，， 所以（m）， 因此，AD的长约为37.5m． 2．（2024•安徽19题10分）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处．已知BE与水平线的夹角α＝36.9°，点B到水面的距离BC＝1.20m，点A处水深为1.20m，到池壁的水平距离AD＝2.50m．点B，C，D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为β，折射角为γ，求的值（精确到0.1）． 参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75． 解：过点E作EH⊥AD于点H， 由题意可知，∠CEB＝α＝36.9°，EH＝1.20m， ∴（m），AH＝AD﹣CE＝2.50﹣1.60＝0.90（m）， ∴1.50（m）， ∴， ∵cos α＝0.80， ∴． 3．（2023•安徽19题10分）如图，O，R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m，R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB（精确到0.1m）． 参考数据：sin24.2°≈0.41，cos24.2°≈0.91，tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75． 解：如图，由题意可知，∠ORB＝36.9°，∠ORA＝24.2°， 在Rt△AOR中，AR＝40m，∠ORA＝24.2°， ∴OA＝sin∠ORA×AR ＝sin24.2°×40 ≈16.4（m）， OR＝cos24.2°×40 ≈36.4（m）， 在Rt△BOR中， OB＝tan36.9°×36.4≈27.3（m）， ∴AB＝OB﹣OA ＝27.3﹣16.4 ＝10.9（m）， 答：无人机上升高度AB约为10.9m． 4．（2022•安徽20题10分）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离． 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75． 解：∵CE∥AD， ∴∠A＝∠ECA＝37°， ∴∠CBD＝∠A+∠ADB＝37°+53°＝90°， ∴∠ABD＝90°， 在Rt△BCD中，∠BDC＝90°﹣53°＝37°，CD＝90米，cos∠BDC， ∴BD＝CD•cos37°≈90×0.80＝72（米）， 在Rt△ABD中，∠A＝37°，BD＝72米，tanA， ∴AB96（米）． 答：A，B两点间的距离约96米． 5．（2021•安徽17题8分）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10cm，BC＝6cm．求零件的截面面积．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60． 解：法一、∵四边形AEFD为矩形，∠BAD＝53°， ∴AD∥EF，∠E＝∠F＝90°， ∴∠BAD＝∠EBA＝53°， 在Rt△ABE中，∠E＝90°，AB＝10cm，∠EBA＝53°， ∴sin∠EBA0.80，cos∠EBA0.60， ∴AE＝8cm，BE＝6cm， ∵∠ABC＝90°， ∴∠FBC＝90°﹣∠EBA＝37°， ∴∠BCF＝90°﹣∠FBC＝53°， 在Rt△BCF中，∠F＝90°，BC＝6cm， ∴sin∠BCF0.80，cos∠BCF0.60， ∴BF＝4.8cm，FC＝3.6cm， ∴EF＝6+4.8＝10.8cm， ∴S四边形EFDA＝AE•EF＝8×10.8＝86.4（cm2）， S△ABE8×6＝24（cm2）， S△BCF•BF•CF4.8×3.6＝8.64（cm2）， ∴截面的面积＝S四边形EFDA﹣S△ABE﹣S△BCF＝86.4﹣24﹣8.64＝53.76（cm2）． 法二、如图，延长AB交DC的延长线于点M， ∴∠BCM＝∠A＝53°， ∴cos53°0.6， ∴CM＝10， ∴BM＝8， ∴AM＝AB+BM＝18， ∵AD＝AM•sinA＝14.4， DM＝AM•cosA＝10.8， ∴截面的面积＝S△ADM﹣S△BCMAD•DMBC•BM＝53.76（cm2）． 6．（2020•安徽8题4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA，则BD的长度为（　　） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】∵∠C＝90°，AC＝4，cosA，∴AB，∴，∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A，∴． 7．（2020•安徽18题8分）如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）． （参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90．） 解：由题意，在Rt△ABD中，tan∠ABD， ∴tan42.0°0.9， ∴AD≈0.9BD， 在Rt△BCD中，tan∠CBD， ∴tan36.9°0.75， ∴CD≈0.75BD， ∵AC＝AD﹣CD， ∴15＝0.15BD， ∴BD＝100（米）， ∴CD＝0.75BD＝75（米）， 答：山高CD为75米． 8．（2019•安徽19题10分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离． （参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88） 解：连接CO并延长，与AB交于点D， ∵CD⊥AB，∴AD＝BDAB＝3（米）， 在Rt△AOD中，∠OAD＝41.3°， ∴cos41.3°，即OA4（米）， tan41.3°，即OD＝AD•tan41.3°＝3×0.88＝2.64（米）， 则CD＝CO+OD＝4+2.64＝6.64（米）． 9．（2018•安徽19题10分）为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED），在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02） 解：由题意，可得∠FED＝45°． 在直角△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠EFD＝45°， ∴DE＝DF＝1.8米，EFDE米． ∵∠AEB＝∠FED＝45°， ∴∠AEF＝180°﹣∠AEB﹣∠FED＝90°． 在直角△AEF中，∵∠AEF＝90°，∠AFE＝39.3°+45°＝84.3°， ∴AE＝EF•tan∠AFE10.02＝18.036（米）． 在直角△ABE中，∵∠ABE＝90°，∠AEB＝45°， ∴AB＝AE•sin∠AEB≈18.03618（米）．故旗杆AB的高度约为18米． 10．（2017•安徽17题8分）如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A﹣B﹣D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB＝BD＝600m，α＝75°，β＝45°，求DE的长． （参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，1.41） 解：在Rt△ABC中， ∵AB＝600m，∠ABC＝75°， ∴BC＝AB•cos75°≈600×0.26＝156（m）， 在Rt△BDF中，∵∠DBF＝45°， ∴DF＝BD•sin45°＝600300×1.41＝423（m）， ∵四边形BCEF是矩形， ∴EF＝BC＝156（m）， ∴DE＝DF+EF＝423+156＝579（m）． 答：DE的长为579m． 11．（2016•安徽19题10分）如图，河的两岸l1与l2相互平行，A、B是l1上的两点，C、D是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，再沿AB方向前进20米到达点E（点E在线段AB上），测得∠DEB＝60°，求C、D两点间的距离． 解：过点D作l1的垂线，垂足为F， ∵∠DEB＝60°，∠DAB＝30°， ∴∠ADE＝∠DEB﹣∠DAB＝30°， ∴△ADE为等腰三角形， ∴DE＝AE＝20m， 在Rt△DEF中，EF＝DE•cos60°＝2010(m)， ∵DF⊥AF， ∴∠DFB＝90°， ∴AC∥DF， 由已知l1∥l2， ∴CD∥AF， ∴四边形ACDF为矩形，CD＝AF＝AE+EF＝30（m)， 答：C、D两点间的距离为30m． 12．（2015•安徽18题8分）如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（1.7）． 解：如图，过点B作BE⊥CD于点E， 根据题意，∠DBE＝45°，∠CBE＝30°． ∵AB⊥AC，CD⊥AC， ∴四边形ABEC为矩形． ∴CE＝AB＝12m． 在Rt△CBE中，cot∠CBE， ∴BE＝CE•cot30°＝1212（m）． 在Rt△BDE中，由∠DBE＝45°， 得DE＝BE＝12（m）． ∴CD＝CE+DE＝12（1）≈32.4（m）． 答：楼房CD的高度约为32.4m． 第五章 四边形 命题点1 多边形的性质与计算 1．（2024•安徽9题4分）在凸五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，F是CD的中点．下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是（　　） A．∠ABC＝∠AED B．∠BAF＝∠EAF C．∠BCF＝∠EDF D．∠ABD＝∠AEC 【答案】D 【解析】选项A：连接AC、AD，∵AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝DE，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD，∵F是CD的中点，∴AF⊥CD，所以选项A不合题意；选项B：连接BF、EF，∵AB＝AE，∠BAF＝∠EAF，AF＝AF，∴△ABF≌△AEF（SAS），∴∠AFB＝∠AFE，BF＝EF，∴△BFC≌△EFD（SSS），∴∠BFC＝∠EFD，∴∠BFC+∠AFB＝∠EFD+∠AFE，即∠AFC＝∠AFD＝90°，∴AF⊥CD，所以选项B不合题意；选项C：思路与选项B大致相同，先证△BFC≌△EFD（SAS），再证△ABF≌△AEF（SSS），∴∠BFC+∠AFB＝∠EFD+∠AFE，即∠AFC＝∠AFD＝90°，∴AF⊥CD，所以选项C不合题意；选项D 的条件无法证出全等，故证不出AF⊥CD，所以选项D符合题意． 2．（2015•安徽8题4分）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝60°，则一定有（　　） A．∠ADE＝20° B．∠ADE＝30° C．∠ADE∠ADC D．∠ADE∠ADC 【答案】D 【解析】如图，在△AED中，∠AED＝60°，∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝120°﹣∠ADE，在四边形DEBC中，∠DEB＝180°﹣∠AED＝180°﹣60°＝120°，∴∠B＝∠C＝（360°﹣∠DEB﹣∠EDC）÷2＝120°∠EDC，∵∠A＝∠B＝∠C，∴120°﹣∠ADE＝120°∠EDC，∴∠ADE∠EDC，∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC∠EDC+∠EDC∠EDC，∴∠ADE∠ADC． 命题点2 平行四边形的性质与判定 1．（2025•安徽8题4分）在如图所示的▱ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF＝CH，则下列为定值的是（　　） A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小 C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长 【答案】C 2．（2024•安徽22题12分）如图1，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM＝CN．点E，F分别是BD与AN，CM的交点． （1）求证：OE＝OF； （2）连接BM交AC于点H，连接HE，HF． （ⅰ）如图2，若HE∥AB，求证：HF∥AD； （ⅱ）如图3，若▱ABCD为菱形，且MD＝2AM，∠EHF＝60°，求的值． （1）证明：∵▱ABCD， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∴AM∥CN， ∵AM＝CN， ∴四边形AMCN是平行四边形， ∴AN∥CM， ∴∠OAE＝∠OCF， 在△AOE与△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF； （2）（i）证明：∵HE∥AB， ∴， ∵OB＝OD，OE＝OF， ∴， ∵∠HOF＝∠AOD， ∴△HOF∽△AOD， ∴∠OHF＝∠OAD， ∴HF∥AD； （ii）解：∵▱ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， ∵OE＝OF，∠EHF＝60°， ∴∠EHO＝∠FHO＝30°， ∴， ∵AM∥BC，MD＝2AM， ∴，即HC＝3AH， ∴OA+OH＝3（OA﹣OH）， ∴OA＝2OH， ∵BN∥AD，MD＝2AM，AM＝CN， ∴，即3BE＝2ED， ∴3（OB﹣OE）＝2（OB+OE）， ∴OB＝5OE， ∴， ∴的值是． 3．（2019•安徽20题10分）如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE． （1）求证：△BCE≌△ADF； （2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∵AF∥BE， ∴∠EBA+∠BAF＝180°， ∴∠CBE＝∠DAF， 同理得∠BCE＝∠ADF， 在△BCE和△ADF中， ∵， ∴△BCE≌△ADF（ASA）； （2）解：∵点E在▱ABCD内部， ∴S△BEC+S△AEDS▱ABCD， 由（1）知：△BCE≌△ADF， ∴S△BCE＝S△ADF， ∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AEDS▱ABCD， ∵▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T， ∴2． 4．（2018•安徽9题4分）▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　） A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF 【答案】B 【解析】如图，连接AC与BD相交于O，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD， 要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；B、若AE＝CF，则无法判断OE＝OF，故本选项符合题意；C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；D、∠BAE＝∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，然后同A，故本选项不符合题意． 5．（2017•安徽14题5分）在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝30cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），剪去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为　40或　cm． 【答案】40或 【解析】∵∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝30cm，∴AB＝10，∠ABC＝60°，∵△ADB≌△EDB，∴∠ABD＝∠EBDABC＝30°，BE＝AB＝10，∴DE＝10，BD＝20，如图1，平行四边形的边是DF，BF，且DF＝BF，∴平行四边形的周长， 如图2，平行四边形的边是DE，EG，且DE＝EG＝10，∴平行四边形的周长＝40，综上所述：平行四边形的周长为40或． 6．（2017•安徽20题10分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE． （1）求证：四边形AECD为平行四边形； （2）连接CO，求证：CO平分∠BCE． 证明：（1）由圆周角定理得，∠B＝∠E，又∠B＝∠D， ∴∠E＝∠D， ∵CE∥AD， ∴∠D+∠ECD＝180°， ∴∠E+∠ECD＝180°， ∴AE∥CD， ∴四边形AECD为平行四边形； （2）作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N， ∵四边形AECD为平行四边形， ∴AD＝CE，又AD＝BC， ∴CE＝CB， ∴OM＝ON，又OM⊥BC，ON⊥CE， ∴CO平分∠BCE． 命题点3 矩形的性质与判定 1．（2022•安徽6题4分）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（　　） A．α﹣90° B．α﹣45° C．180°﹣α D．270°﹣α 【答案】C 【解析】由图可得，∠1＝90°+∠3，∵∠1＝α，∴∠3＝α﹣90°，∵∠3+∠2＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（α﹣90°）＝90°﹣α+90°＝180°﹣α． 2．（2021•安徽17题8分）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10cm，BC＝6cm．求零件的截面面积．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60． 解：法一、如图， ∵四边形AEFD为矩形，∠BAD＝53°， ∴AD∥EF，∠E＝∠F＝90°， ∴∠BAD＝∠EBA＝53°， 在Rt△ABE中，∠E＝90°，AB＝10cm，∠EBA＝53°， ∴sin∠EBA0.80，cos∠EBA0.60， ∴AE＝8cm，BE＝6cm， ∵∠ABC＝90°， ∴∠FBC＝90°﹣∠EBA＝37°， ∴∠BCF＝90°﹣∠FBC＝53°， 在Rt△BCF中，∠F＝90°，BC＝6cm， ∴sin∠BCF0.80，cos∠BCF0.60， ∴BF＝4.8cm，FC＝3.6cm， ∴EF＝6+4.8＝10.8cm， ∴S四边形EFDA＝AE•EF＝8×10.8＝86.4（cm2）， S△ABE8×6＝24（cm2）， S△BCF•BF•CF4.8×3.6＝8.64（cm2）， ∴截面的面积＝S四边形EFDA﹣S△ABE﹣S△BCF＝86.4﹣24﹣8.64＝53.76（cm2）． 法二、如图，延长AB交DC的延长线于点M， ∴∠BCM＝∠A＝53°， ∴cos53°0.6， ∴CM＝10， ∴BM＝8， ∴AM＝AB+BM＝18， ∵AD＝AM•sinA＝14.4， DM＝AM•cosA＝10.8， ∴截面的面积＝S△ADM﹣S△BCMAD•DMBC•BM＝53.76（cm2）． 3．（2020•安徽23题14分）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB． （1）求证：BD⊥EC； （2）若AB＝1，求AE的长； （3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DGAG． （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上， ∴∠EAF＝∠DAB＝90°， 又∵AE＝AD，AF＝AB， ∴△AEF≌△ADB（SAS）， ∴∠AEF＝∠ADB， ∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°， 即∠EGB＝90°， 故BD⊥EC， （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AE∥CD， ∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF， ∴△AEF∽△DCF， ∴， 即AE•DF＝AF•DC， 设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0， 解得或（舍去）， ∴AE． （3）证明：如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG， 在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG， ∴△AEP≌△ADG（SAS）， ∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG， ∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°， ∴△PAG为等腰直角三角形， ∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PGAG． 4．（2018•安徽14题5分）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为　或3　． 【答案】或3 【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，∴BD10，当PD＝DA＝8时，BP＝BD﹣PD＝2，∵△PBE∽△DBC，∴，即，解得，PE， 当P′D＝P′A时，点P′为BD的中点，∴P′E′CD＝3． 5．（2017•安徽5题4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PABS矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　） A． B． C．5 D． 【答案】D 【解析】设△ABP中AB边上的高是h．∵S△PABS矩形ABCD，∴AB•hAB•AD，∴hAD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4，∴BE，即PA+PB的最小值为． 6．（2016•安徽14题5分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论： ①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABGS△FGH；④AG+DF＝FG． 其中正确的是　①③④　．（把所有正确结论的序号都选上） 【答案】①③④ 【解析】∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，∴∠1＝∠2，CE＝FE，BF＝BC＝10，在Rt△ABF中，∵AB＝6，BF＝10，∴AF8，∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2，设EF＝x，则CE＝x，DE＝CD﹣CE＝6﹣x，在Rt△DEF中，∵DE2+DF2＝EF2，∴（6﹣x）2+22＝x2，解得x，∴ED，∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，∴∠3＝∠4，BH＝BA＝6，AG＝HG，∴∠2+∠3∠ABC＝45°，所以①正确；HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4，设AG＝y，则GH＝y，GF＝8﹣y，在Rt△HGF中，∵GH2+HF2＝GF2，∴y2+42＝（8﹣y）2，解得y＝3，∴AG＝GH＝3，GF＝5，∵∠A＝∠D，，，∴，∴△ABG与△DEF不相似，所以②错误；∵S△ABG•6•3＝9，S△FGH•GH•HF3×4＝6，∴S△ABGS△FGH，所以③正确；∵AG+DF＝3+2＝5，而GF＝5，∴AG+DF＝GF，所以④正确． 7．（2015•安徽9题4分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【解析】连接EF交AC于O，∵四边形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE＝OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，在△CFO与△AOE中，，∴△CFO≌△AEO（AAS），∴AO＝CO，∵AC4，∴AOAC＝2，∵∠CAB＝∠CAB，∠AOE＝∠B＝90°，∴△AOE∽△ABC，∴，∴，∴AE＝5．方法二：应连接EF得EF⊥AC 易证EF垂直平分AC 连接CE，得CE＝AE，设CE＝AE＝x，EB＝8﹣x，BC＝4，利用勾股定理求得x＝5即可． 命题点4 菱形的性质与判定 1．（2023•安徽22题12分）在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD，BD． （1）如图1，求∠ADB的大小； （2）已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD，DE∥AB． （i）如图2，连接CD，求证：BD＝CD； （ii）如图3，连接BE，若AC＝8，BC＝6，求tan∠ABE的值． （1）解：∵M是AB的中点， ∴MA＝MB， 由旋转的性质得：MA＝MD＝MB， ∴∠MAD＝∠MDA，∠MDB＝∠MBD， ∵∠MAD+∠MDA+∠MDB+∠MBD＝180°， ∴∠ADB＝∠MDA+∠MDB＝90°， 即∠ADB的大小为90°； （2）（i）证明：∵∠ADB＝90°， ∴AD⊥BD， ∵ME⊥AD， ∴ME∥BD， ∵ED∥BM， ∴四边形EMBD是平行四边形， ∴DE＝BM＝AM， ∴DE∥AM， ∴四边形EAMD是平行四边形， ∵EM⊥AD， ∴平行四边形EAMD是菱形， ∴∠BAD＝∠CAD， 又∵∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴A、C、D、B四点共圆， ∵∠BCD＝∠CAD， ∴， ∴BD＝CD； （ii）解：如图3，过点E作EH⊥AB于点H， 则∠EHA＝∠EHB＝90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB10， ∵四边形EAMD是菱形， ∴AE＝AMAB＝5， ∴sin∠CAB， ∴EH＝AE•sin∠CAB＝53， ∴AH4， ∴BH＝AB﹣AH＝10﹣4＝6， ∴tan∠ABE， 即tan∠ABE的值为． 2．（2022•安徽22题12分）已知四边形ABCD中，BC＝CD，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE． （1）如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形； （2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC． （ⅰ）求∠CED的大小； （ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF． （1）证明：设CE与BD交于点O， ∵CB＝CD，CE⊥BD， ∴DO＝BO， ∵DE∥BC， ∴∠DEO＝∠BCO， ∵∠DOE＝∠BOC， ∴△DOE≌△BOC（AAS）， ∴DE＝BC， ∴四边形BCDE是平行四边形， ∵CD＝CB， ∴平行四边形BCDE是菱形； （2）（i）解：∵DE垂直平分AC， ∴AE＝EC且DE⊥AC， ∴∠AED＝∠CED， 又∵CD＝CB且CE⊥BD， ∴CE垂直平分DB， ∴DE＝BE， ∴∠DEC＝∠BEC， ∴∠AED＝∠CED＝∠BEC， 又∵∠AED+∠CED+∠BEC＝180°， ∴∠CED； （ii）证明：由（i）得AE＝EC， 又∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝120°， ∴∠ACE＝30°， 同理可得，在等腰△DEB中，∠EBD＝30°， ∴∠ACE＝∠ABF＝30°， 在△ACE与△ABF中， ， ∴△ABF≌△ACE（AAS）， ∴AC＝AB， 又∵AE＝AF， ∴AB﹣AE＝AC﹣AF， 即BE＝CF． 3．（2021•安徽8题4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（　　） A．3 B．2+2 C．2 D．1+2 【答案】A 【解析】如图，连接BD，AC．∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BAO＝∠DAO＝60°，BD⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OAAB＝1，OBOA，∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°，在△BEO和△BFO中，，∴△BEO≌△BFO（AAS），∴OE＝OF，BE＝BF，∵∠EBF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴EF＝BE，同法可证，△DGH，△OEH，△OFG都是等边三角形，∴EF＝GH，EH＝FG，∴四边形EFGH的周长＝3． 4．（2018•安徽12题5分）如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E．若点D是AB的中点，则∠DOE＝　60　°． 【答案】60 【解析】连接OA，∵四边形ABOC是菱形，∴BA＝BO，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵点D是AB的中点，∴直线OD是线段AB的垂直平分线，∴OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∴∠AOD∠AOB＝30°， 同理，∠AOE＝30°，∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝60°． 5．（2015•安徽9题4分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【解析】连接EF交AC于O，∵四边形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE＝OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，在△CFO与△AOE中，，∴△CFO≌△AEO（AAS），∴AO＝CO，∵AC4，∴AOAC＝2，∵∠CAB＝∠CAB，∠AOE＝∠B＝90°，∴△AOE∽△ABC，∴，∴，∴AE＝5．方法二：应连接EF得EF⊥AC 易证EF垂直平分AC 连接CE，得CE＝AE，设CE＝AE＝x，EB＝8﹣x，BC＝4，利用勾股定理求得x＝5即可． 命题点5 正方形的性质与判定 1.（2025•安徽22题12分）已知点A′在正方形ABCD内，点E在边AD上，BE是线段AA′的垂直平分线，连接A′E，A′B． （1）如图1，若BA′的延长线经过点D，AE＝1，求AB的长； （2）如图2，点F是AA′的延长线与CD的交点，连接CA′． （i）求证：∠CA′F＝45°； （ii）如图3，设AF，BE相交于点G，连接CG，DG，DA′，若CG＝CB，判断△A′DG的形状，并说明理由． （1）解：∵BE是线段AA′的垂直平分线， ∴A′E＝AE＝1，BA′＝BA， ∴BE＝BE， ∴△ABE≌△A'BE（SSS）， ∴∠BAE＝∠BA'E＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB＝45°， ∴△A'DE是等腰直角三角形， ∴A'D＝A'E＝1， ∴DE， ∴AD＝AE+DE1， ∴AB＝AD＝A'B1； （2）（i）证明：由题意知，BA＝BA′＝BC， ∴∠BAA′＝∠BA′A，∠BCA′＝∠BA′C， ∴∠AA'C＝∠AA'B+∠CA'B（180°﹣∠ABA'）（180°﹣∠CBA'）＝180°﹣45°＝135°， ∴∠CA′F＝180°﹣∠AA′C＝45°； （ii）解：△A′DG是等腰直角三角形，理由如下：作CN⊥BG交BG于点M，交AB于点N， ∵CN⊥BG，CG＝CB， ∴M为BG的中点， ∵AA′⊥BE， ∴CN∥AF， ∴MN是△ABG的中位线， ∴， ∵∠ABE＝90°﹣∠CBG＝∠BCN，∠BAE＝∠CBN＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCN（ASA）， ∴， ∵E为AD的中点，AG＝GA′， ∴EG∥A′D， ∴∠DA′G＝∠EGA＝90°， 同理可证△ADA′≌△BAG（ASA）， ∴A′D＝AG＝A′G， ∴△A′DG是等腰直角三角形． 2．（2024•安徽14题5分）如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，BC上．沿垂直于EF的直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点B′，C′处，然后还原． （1）若点N在边CD上，且∠BEF＝α，则∠C′NM＝　90°﹣α　（用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD，AD上，点D落在正方形所在平面内的点D′处，然后还原．若点D′在线段B′C′上，且四边形EFGH是正方形，AE＝4，EB＝8，MN与GH的交点为P，则PH的长为 　3　． 【答案】（1）90°﹣α；（2）3 【解析】（1）∵MN⊥EF，∠BEF＝α，∴∠EMN＝90°﹣α，∵CD∥AB，∴∠CNM＝∠EMN＝90°﹣α，∴∠C′NM＝∠CNM＝90°﹣α．（2）如图，设PH与NC'交于点G'，∵四边形ABCD和四边形EFGH是正方形，∴∠A＝∠D＝∠GHE＝90°，GH＝EH，∴∠AHE+∠GHD＝∠AHE+∠AEH＝90°∴∠GHD＝∠AEH，∴△EAH≌△HDG（AAS）同理可证△EAH≌△HDG≌△GCF≌△FBE，∴DH＝CG＝AE＝4，DG＝EB＝8，∴GH4，∵MN⊥GH，且∠C′NM＝∠CNM，∴MN垂直平分GG'，即PG＝PG'GG'，且NG＝NG'，∵四边形CBMN沿MN折叠，∴CN＝C'N，∴CN﹣NG＝C'N﹣NG'，即C'G'＝CG＝4，∵△GDH沿GH折叠得到△GD'H，∴GD'＝GD＝8，∵∠HC'G'＝∠HD'G＝90°， ∴C'G'∥D'G，∴，∴HG'＝GG'HG＝2，又∵PG'GG'，∴PH＝PG'+HG'＝3． 3．（2023•安徽8题4分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G．若AF＝2，FB＝1，则MG＝（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是正方形，AF＝2，FB＝1，∴CD＝AD＝AB＝BC＝3，∠ADC＝∠DAB＝∠ABC＝90°，DC∥AB，AD∥BC，∴AC3，∵EF⊥AB，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ACB，∴，∴，∴EF＝2，∴AE2，∴CE＝AC﹣AE，∵AD∥CM，∴△ADE∽△CFE，∴，∴2，∴CMBM，在△CDM和△BGM中，， ∴△CDM≌△BGM（SAS），∴CD＝BG＝3，∴MG． 4．（2022•安徽14题5分）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题： （1）∠FDG＝　45　°； （2）若DE＝1，DF＝2，则MN＝　　． 【答案】（1）45；（2）． 【解析】由题知，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEB+∠GEF＝90°，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠GEF＝∠ABE，在△ABE和△GEF中，，∴△ABE≌△GEF（AAS），∴EG＝AB＝AD，GF＝AE，即DG+DE＝AE+DE，∴DG＝AE， ∴DG＝GF，即△DGF是等腰直角三角形，∴∠FDG＝45°；（2）∵DE＝1，DF＝2， 由（1）知，△DGF是等腰直角三角形，∴DG＝GF＝2，AB＝AD＝CD＝ED+DG＝2+1＝3，延长GF交BC延长线于点H，∴CD∥GH，∴△EDM∽△EGF，∴，即，∴MD，同理△BNC∽△BFH，∴，即，∴，∴NC，∴MN＝CD﹣MD﹣NC＝3． 5．（2019•安徽10题4分）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（　　） A．0 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，∴EC＝8，FC＝4＝AE，∵点M与点F关于BC对称，∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°，∴∠ACM＝90°，∴EM4，则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为49，在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF＝12，∴点P在CH上时，4PE+PF≤12，在点H左侧，当点P与点B重合时，BF2，∵AB＝BC，AE＝CF，∠BAE＝∠BCF，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴BE＝BF＝2，∴PE+PF＝4，∴点P在BH上时，4PE+PF≤4，∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9．即共有8个点P满足PE+PF＝9． 6．（2017•安徽23题14分）已知正方形ABCD，点M为边AB的中点． （1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F． ①求证：BE＝CF； ②求证：BE2＝BC•CE． （2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2＝BC•CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值． 解：（1）①∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°， ∴∠ABG+∠CBF＝90°， ∵∠AGB＝90°， ∴∠ABG+∠BAG＝90°， ∴∠BAG＝∠CBF， ∵AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°， ∴△ABE≌△BCF， ∴BE＝CF， ②∵∠AGB＝90°，点M为AB的中点， ∴MG＝MA＝MB， ∴∠GAM＝∠AGM， 又∵∠CGE＝∠AGM，∠GAM＝∠CBG， ∴∠CGE＝∠CBG， 又∠ECG＝∠GCB， ∴△CGE∽△CBG， ∴，即CG2＝BC•CE， 由∠CFG＝∠GBM＝∠BGM＝∠CGF得CF＝CG， 由①知BE＝CF， ∴BE＝CG， ∴BE2＝BC•CE； （2）延长AE、DC交于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∴∠N＝∠EAB， 又∵∠CEN＝∠BEA， ∴△CEN∽△BEA， ∴，即BE•CN＝AB•CE， ∵AB＝BC，BE2＝BC•CE， ∴CN＝BE， ∵AB∥DN， ∴， ∵AM＝MB， ∴FC＝CN＝BE， 不妨设正方形的边长为1，BE＝x， 由BE2＝BC•CE可得x2＝1•（1﹣x）， 解得：x1，x2（舍）， ∴， 则tan∠CBF． 第6章 圆 命题点1 圆的基本概念与性质 1．（2025•安徽20题10分）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°． （1）求证：OC∥AD； （2）若AD＝2，BC＝2，求AB的长． （1）证明：∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB+2∠ABC＝180°． ∴∠DAB+∠AOC＝180°， ∴OC∥AD． （2）解：连接BD，交OC于点E， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OC∥AD， ∴， ∵OA＝OB， ∴EB＝DE， ∴OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线， ∴， 设半圆的半径为r，则CE＝r﹣1， 在Rt△OEB中，BE2＝OB2﹣OE2＝r2﹣1， 在Rt△CEB中，BE2＝BC2﹣CE2＝12﹣（r﹣1）2， 即r2﹣1＝12﹣（r﹣1）2， 解得r1＝3，r2＝﹣2（舍去）， 故AB＝2r＝6． 2.（2024·安徽20题10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE． （1）求证：CD⊥AB； （2）设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求AC的长． （1）证明：∵FA＝FE， ∴∠FAE＝∠AEF， ∵∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角， ∴∠FAE＝∠BCE， ∵∠AEF＝∠CEB， ∴∠CEB＝∠BCE， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CEB+∠DCE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝90°， ∴∠CDE＝90°， ∴CD⊥AB； （2）解：由（1）知，∠BEC＝∠BCE， ∴BE＝BC， ∵AF＝EF，FM⊥AB， ∴MA＝ME＝2，AE＝4， ∴圆的半径OA＝OB＝AE﹣OE＝3， ∴BC＝BE＝OB﹣OE＝2， 在△ABC中，AB＝6，BC＝2，∠ACB＝90°， ∴． 3．（2023•安徽20题10分）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径． （1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD； （2）如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB．若BD＝3，AE＝3，求弦BC的长． （1）证明：∵OA⊥BD，∴， ∴∠ACB＝∠ACD，即CA平分∠BCD； （2）延长AE交BC于M，延长CE交AB于N， ∵AE⊥BC，CE⊥AB，∴∠AMB＝∠CNB＝90°， ∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠BAD＝∠CNB，∠BCD＝∠AMB， ∴AD∥NC，CD∥AM，∴四边形AECD是平行四边形， ∴AE＝CD＝3，∴BC3． 4．（2022•安徽7题4分）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（　　） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【解析】如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，则OB＝7，∵PA＝4，PB＝6，∴AB＝PA+PB＝10，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝5，∴PC＝PB﹣BC＝1，在Rt△OBC中，根据勾股定理得：OC2＝OB2﹣BC2＝72﹣52＝24，在Rt△OPC中，根据勾股定理得：OP5． 5．（2022•安徽19题10分）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD． （1）如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长； （2）如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE．求证：CE⊥AB． 解：（1）∵OA＝1＝OC，CO⊥AB，∠D＝30°， ∴OD•OC，∴AD＝OD﹣OA1； （2）∵DC与⊙O相切，∴OC⊥CD，即∠ACD+∠OCA＝90°， ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC， ∵∠ACD＝∠ACE，∴∠OAC+∠ACE＝90°，∴∠AEC＝90°，即CE⊥AB． 6.（2021•安徽13题5分）如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O．若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB＝　　． 【答案】． 【解析】如图，连接OA，OB，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝45°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△OAB是等腰直角三角形，∴ABOA． 7．（2021•安徽20题10分）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E． （1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长； （2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD． 解：（1）连接OD，如图： ∵M是CD的中点，CD＝12， ∴DMCD＝6，OM⊥CD，∠OMD＝90°， Rt△OMD中，OD，且OM＝3， ∴OD3，即圆O的半径长为3； （2）连接AC，延长AF交BD于G，如图： ∵AB⊥CD，CE＝EF，∴AB是CF的垂直平分线，∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形， ∵CE＝EF，∴∠FAE＝∠CAE， ∵，∴∠CAE＝∠CDB，∴∠FAE＝∠CDB， Rt△BDE中，∠CDB+∠B＝90°，∴∠FAE+∠B＝90°， ∴∠AGB＝90°，∴AG⊥BD，即AF⊥BD． 8．（2020•安徽9题4分）已知点A，B，C在⊙O上，则下列命题为真命题的是（　　） A．若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形 B．若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120° C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB D．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC 【答案】B 【解析】A、如图，若半径OB平分弦AC，则四边形OABC不一定是平行四边形；原命题是假命题；B、若四边形OABC是平行四边形，则AB＝OC，OA＝BC，∵OA＝OB＝OC，∴AB＝OA＝OB＝BC＝OC，∴∠ABO＝∠OBC＝60°，∴∠ABC＝120°，是真命题；C、如图，过O作OQ⊥AC于Q，交⊙O于P，连接PA，PC，∵∠ABC＝120°，∴∠APC＝120°，∠AOC＝360°﹣2×120°＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，在Rt△OQA中，OQOA，∴OQOP，∴AC平分OP，∴只有当OB⊥AC时，弦AC平分半径OB，∴弦AC不一定平分半径OB，故C项是假命题；若∠ABC＝120°，则弦AC不平分半径OB，原命题是假命题；D、如图，若弦AC平分半径OB，则半径OB不一定平分弦AC，原命题是假命题． 9．（2019•安徽13题5分）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为 　　． 【答案】 【解析】连接CO，OB，则∠O＝2∠A＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∵⊙O的半径为2，∴BC＝2，∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，∴CDBC． 10．（2019•安徽19题10分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离． （参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88） 解：连接CO并延长，与AB交于点D， ∵CD⊥AB，∴AD＝BDAB＝3（米）， 在Rt△AOD中，∠OAD＝41.3°， ∴cos41.3°，即OA4（米）， tan41.3°，即OD＝AD•tan41.3°＝3×0.88＝2.64（米）， 则CD＝CO+OD＝4+2.64＝6.64（米）． 11．（2018•安徽20题10分）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5． （1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长． 解：（1）如图，AE为所作； （2）连接OE交BC于F，连接OC、EC，如图， ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴， ∴OE⊥BC，∴EF＝3，∴OF＝5﹣3＝2， 在Rt△OCF中，CF， 在Rt△CEF中，CE． 12．（2017•安徽20题10分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE． （1）求证：四边形AECD为平行四边形； （2）连接CO，求证：CO平分∠BCE． 证明：（1）由圆周角定理得，∠B＝∠E，又∠B＝∠D，∴∠E＝∠D， ∵CE∥AD，∴∠D+∠ECD＝180°，∴∠E+∠ECD＝180°， ∴AE∥CD，∴四边形AECD为平行四边形； （2）作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N， ∵四边形AECD为平行四边形，∴AD＝CE，又AD＝BC， ∴CE＝CB，∴OM＝ON，又OM⊥BC，ON⊥CE，∴CO平分∠BCE． 13．（2015•安徽12题5分）如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，的长为2π，则∠ACB的大小是　20°　． 【答案】20° 【解析】连接OA、OB．设∠AOB＝n°．∵的长为2π，∴2π，∴n＝40，∴∠AOB＝40°，∴∠ACB∠AOB＝20°． 14．（2015•安徽20题10分）在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ． （1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度； （2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值． 解：（1）连接OQ，如图1， ∵PQ∥AB，OP⊥PQ， ∴OP⊥AB， 在Rt△OBP中，∵tan∠B， ∴OP＝3tan30°， 在Rt△OPQ中，∵OP，OQ＝3， ∴PQ； （2）连接OQ，如图2， 在Rt△OPQ中，PQ， 当OP的长最小时，PQ的长最大， 此时OP⊥BC，则OPOB， ∴PQ长的最大值为． 命题点2 与圆有关的位置关系 1．（2025•安徽12题5分）如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为　20　 °． 【答案】20 2.（2022•安徽19题10分）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD． （1）如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长； （2）如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE．求证：CE⊥AB． 解：（1）∵OA＝1＝OC，CO⊥AB，∠D＝30°， ∴OD•OC，∴AD＝OD﹣OA1； （2）∵DC与⊙O相切， ∴OC⊥CD，即∠ACD+∠OCA＝90°， ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC， ∵∠ACD＝∠ACE，∴∠OAC+∠ACE＝90°， ∴∠AEC＝90°，即CE⊥AB． 3.（2020•安徽20题10分）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E． （1）求证：△CBA≌△DAB； （2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB． （1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°， 在Rt△CBA与Rt△DAB中，， ∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）； （2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，∴∠E＝∠BFE， ∵BE是半圆O所在圆的切线，∴∠ABE＝90°，∴∠E+∠BAE＝90°， 由（1）知∠D＝90°，∴∠DAF+∠AFD＝90°， ∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E， ∵∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E， ∴∠DAF＝∠BAF，∴AC平分∠DAB． 4.（2018•安徽12题5分）如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E．若点D是AB的中点，则∠DOE＝　60　°． 【答案】60 【解析】连接OA，∵四边形ABOC是菱形，∴BA＝BO，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵点D是AB的中点，∴直线OD是线段AB的垂直平分线，∴OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∴∠AOD∠AOB＝30°， 同理，∠AOE＝30°，∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝60°． 5.（2016•安徽13题5分）如图，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点，过点A作⊙O的一条切线AB，切点是B，AO的延长线交⊙O于点C，若∠BAC＝30°，则劣弧的长为　　． 【答案】 【解析】∵AB是⊙O切线，∴AB⊥OB，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝90°﹣∠A＝60°，∴∠BO＝120°，∴的长为． 命题点3 与圆有关的计算 1．（2024•安徽5题4分）若扇形AOB的半径为6，∠AOB＝120°，则的长为（　　） A．2π B．3π C．4π D．6π 【答案】C 【解析】， 2.（2023•安徽6题4分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝（　　） A．60° B．54° C．48° D．36° 【答案】D 【解析】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE108°，∠COD72°，∴∠BAE﹣∠COD＝108°﹣72°＝36°． 3．（2017•安徽13题5分）如图，已知等边△ABC的边长为6，以AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于D、E两点，则劣弧的长为　π　． 【答案】π 【解析】连接OD、OE，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵OA＝OD，OB＝OE，∴△AOD、△BOE是等边三角形，∴∠AOD＝∠BOE＝60°，∴∠DOE＝60°，∵OAAB＝3，∴的长π． 4.（2016•安徽13题5分）如图，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点，过点A作⊙O的一条切线AB，切点是B，AO的延长线交⊙O于点C，若∠BAC＝30°，则劣弧的长为　　． 【答案】 【解析】∵AB是⊙O切线，∴AB⊥OB，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝90°﹣∠A＝60°，∴∠BO＝120°，∴的长为． 5.（2015•安徽12题5分）如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，的长为2π，则∠ACB的大小是　20°　． 【答案】20° 【解析】连接OA、OB．设∠AOB＝n°．∵的长为2π，∴2π，∴n＝40，∴∠AOB＝40°，∴∠ACB∠AOB＝20°. 第7章 图形的变化 命题点1 尺规作图（含网格作图） 1．（2025•安徽16题8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为（﹣1，﹣3）和（2，6）． （1）在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1． 解：（1）如图，点D即为所求． 由图可得，点D的坐标为（﹣2，﹣1）． （2）如图，△A1B1C1即为所求． 2．（2024•安徽16题8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为（7，8），（2，8），（10，4），（5，4）． （1）以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）直接写出以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积； （3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标． 解：（1）如图，画出△A1B1C1； （2）以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积＝10×8﹣22×4﹣24×8＝40； （3）如图，点E即为所求（答案不唯一），点E的坐标（6，6）． 3．（2023•安徽17题8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点）． （1）画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1； （2）将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2； （3）描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB． 解：（1）线段A1B1如图所示； （2）线段A2B2如图所示； （3）直线MN即为所求． 4．（2022•安徽16题8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2． 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求． 5．（2021•安徽16题8分）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将△ABC向右平移5个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）将（1）中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1． 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作． （2）如图，△A2B2C1即为所求作． 6．（2020•安徽16题8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB，线段MN在网格线上． （1）画出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段A1B1（点A1，B1分别为A，B的对应点）； （2）将线段B1A1绕点B1顺时针旋转90°得到线段B1A2，画出线段B1A2． 解：（1）如图线段A1B1即为所求． （2）如图，线段B1A2即为所求． 7．（2019•安徽16题8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB． （1）将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，请画出线段CD． （2）以线段CD为一边，作一个菱形CDEF，且点E，F也为格点．（作出一个菱形即可） 解：（1）如图所示：线段CD即为所求； （2）如图：菱形CDEF即为所求，答案不唯一． 8．（2018•安徽17题8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点． （1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出线段A1B1； （2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1； （3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是　20　个平方单位． 解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求； （2）如图所示，线段A2B1即为所求； （3）由图可得，四边形AA1B1A2为正方形， ∴四边形AA1B1A2的面积是（）2＝（）2＝20． 故答案为：20． 9．（2018•安徽20题10分）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5． （1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长． 解：（1）如图，AE为所作； （2）连接OE交BC于F，连接OC、EC，如图， ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE， ∴，∴OE⊥BC，∴EF＝3，∴OF＝5﹣3＝2， 在Rt△OCF中，CF， 在Rt△CEF中，CE． 10．（2017•安徽18题8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l． （1）将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形． （2）画出△DEF关于直线l对称的三角形． （3）填空：∠C+∠E＝　45°　． 解：（1）△A′B′C′即为所求； （2）△D′E′F′即为所求； （3）如图，连接A′F′， ∵△ABC≌△A′B′C′、△DEF≌△D′E′F′， ∴∠C+∠E＝∠A′C′B′+∠D′E′F′＝∠A′C′F′， ∵A′C′、A′F′，C′F′， ∴A′C′2+A′F′2＝5+5＝10＝C′F′2， ∴△A′C′F′为等腰直角三角形， ∴∠C+∠E＝∠A′C′F′＝45°， 故答案为：45°． 11．（2016•安徽17题8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC． （1）试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边； （2）将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′． 解：（1）点D以及四边形ABCD另两条边如图所示． （2）得到的四边形A′B′C′D′如图所示． 12．（2015•安徽17题8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC（顶点是网格线的交点）． （1）请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1； （2）将线段AC向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A2C2，并以它为一边作一个格点△A2B2C2，使A2B2＝C2B2． 解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2，△A2B3C2，△A2B′C2，△A2B″C2，即为所求． 命题点2立体图形的三视图、展开与折叠 1．（2025•安徽3题4分）“阳马”是由长方体裁得的一种几何体，如图水平放置的“阳马”的主视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 2．（2024•安徽3题4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 3．（2023•安徽3题4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（　　） A． B． C． D． 4．（2022•安徽3题4分）一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（　　） A． B．C． D． 【答案】A 5．（2021•安徽4题4分）几何体的三视图如图所示，这个几何体是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 6．（2020•安徽3题4分）下面四个几何体中，主视图为三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 7．（2019•安徽3题4分）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 8．（2018•安徽4题4分）一个由圆柱和圆锥组成的几何体如图水平放置，其主（正）视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 9．（2017•安徽3题4分）如图，一个放置在水平实验台上的锥形瓶，它的俯视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 10．（2016•安徽4题4分）如图，一个放置在水平桌面上的圆柱，它的主（正）视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 11．（2015•安徽4题4分）下列几何体中，俯视图是矩形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 命题点3 图形的对称（含折叠） 1．（2020•安徽14题5分）如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，BC上．沿垂直于EF的直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点B′，C′处，然后还原． （1）若点N在边CD上，且∠BEF＝α，则∠C′NM＝　90°﹣α　（用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD，AD上，点D落在正方形所在平面内的点D′处，然后还原．若点D′在线段B′C′上，且四边形EFGH是正方形，AE＝4，EB＝8，MN与GH的交点为P，则PH的长为 　3　． 【答案】（1）90°﹣α；（2）3 【解析】（1）∵MN⊥EF，∠BEF＝α，∴∠EMN＝90°﹣α，∵CD∥AB，∴∠CNM＝∠EMN＝90°﹣α，∴∠C′NM＝∠CNM＝90°﹣α．（2）如图，设PH与NC'交于点G'，∵四边形ABCD和四边形EFGH是正方形，∴∠A＝∠D＝∠GHE＝90°，GH＝EH，∴∠AHE+∠GHD＝∠AHE+∠AEH＝90°∴∠GHD＝∠AEH，∴△EAH≌△HDG（AAS）同理可证△EAH≌△HDG≌△GCF≌△FBE，∴DH＝CG＝AE＝4，DG＝EB＝8，∴GH4，∵MN⊥GH，且∠C′NM＝∠CNM，∴MN垂直平分GG'，即PG＝PG'GG'，且NG＝NG'，∵四边形CBMN沿MN折叠，∴CN＝C'N，∴CN﹣NG＝C'N﹣NG'，即C'G'＝CG＝4，∵△GDH沿GH折叠得到△GD'H，∴GD'＝GD＝8，∵∠HC'G'＝∠HD'G＝90°， ∴C'G'∥D'G，∴，∴HG'＝GG'HG＝2，又∵PG'GG'，∴PH＝PG'+HG'＝3． 2．（2020•安徽14题5分）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究： （1）∠PAQ的大小为　30　°； （2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为　　． 【答案】（1）30；（2） 【解析】（1）由折叠的性质可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，∵∠QRA+∠QRP＝180°，∴∠D+∠C＝180°，∴AD∥BC，∴∠B+∠DAB＝180°，∵∠DQR+∠CQR＝180°，∴∠DQA+∠CQP＝90°，∴∠AQP＝90°，∴∠B＝∠AQP＝90°，∴∠DAB＝90°，∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°；（2）由折叠的性质可得：AD＝AR，CP＝PR，∵四边形APCD是平行四边形，∴AD＝PC，∴AR＝PR，又∵∠AQP＝90°，∴QRAP，∵∠PAB＝30°，∠B＝90°，∴AP＝2PB，ABPB，∴PB＝QR，∴． 3．（2017•安徽14题5分）在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝30cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），剪去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为　40或　cm． 【答案】40或 【解析】∵∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝30cm，∴AB＝10，∠ABC＝60°，∵△ADB≌△EDB，∴∠ABD＝∠EBDABC＝30°，BE＝AB＝10，∴DE＝10，BD＝20，如图1，平行四边形的边是DF，BF，且DF＝BF，∴平行四边形的周长， 如图2，平行四边形的边是DE，EG，且DE＝EG＝10，∴平行四边形的周长＝40，综上所述：平行四边形的周长为40或． 4．（2016•安徽14题5分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论： ①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABGS△FGH；④AG+DF＝FG． 其中正确的是　①③④　．（把所有正确结论的序号都选上） 【答案】①③④ 【解析】∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，∴∠1＝∠2，CE＝FE，BF＝BC＝10，在Rt△ABF中，∵AB＝6，BF＝10，∴AF8，∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2，设EF＝x，则CE＝x，DE＝CD﹣CE＝6﹣x，在Rt△DEF中，∵DE2+DF2＝EF2，∴（6﹣x）2+22＝x2，解得x，∴ED，∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，∴∠3＝∠4，BH＝BA＝6，AG＝HG，∴∠2+∠3∠ABC＝45°，所以①正确；HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4，设AG＝y，则GH＝y，GF＝8﹣y，在Rt△HGF中，∵GH2+HF2＝GF2，∴y2+42＝（8﹣y）2，解得y＝3，∴AG＝GH＝3，GF＝5，∵∠A＝∠D，，，∴，∴△ABG与△DEF不相似，所以②错误；∵S△ABG•6•3＝9，S△FGH•GH•HF3×4＝6，∴S△ABGS△FGH，所以③正确；∵AG+DF＝3+2＝5，而GF＝5，∴AG+DF＝GF，所以④正确． 命题点4 图形的平移与旋转 1．（2025•安徽10题4分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是（　　） A．EC﹣ED的最大值是2 B．FB的最小值是 C．EC+ED的最小值是4 D．FC的最大值是 【答案】A 【解析】∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，又∵∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，过点D作DG⊥BC于点G，在DG上取一点H，使得DH＝AD＝1，延长FH交AB于点I，则四边形ABGD是矩形， ∴∠GDA＝∠ADE+∠EDG＝90°＝∠EDG+∠HDF．∴∠ADE＝∠HDF，∴△DHF≌△DAE（SAS）， ∴∠DHF＝∠DAE＝90°，∴FH⊥DG，即点F在FH上运动，∴四边形DAIH和四边形BGHI是矩形， ∴HI＝AD＝BG＝1，AI＝DH＝1，BI＝4﹣1＝3，∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，∴，，∴，∴BE最大时，EC﹣ED最大，当点E与点A重合时，F与H重合时，BF最小，此时，ED＝1，，故A错误，符合题意；，故B正确，不符合题意；作点D关于AB的对称点M，连接MC，则ED＝EM，AD＝AM＝1，∠BAM＝∠BAD＝90°，过M作MN⊥CB于点N，此时EC+ED≥CM，当C、E、M三点共线时，EC+ED最小，∵MN⊥CB，∠ABN＝180°﹣90°＝90°，∴四边形AMNB是矩形，∴BN＝AM＝1，CN＝3+1＝4，AB＝MN＝4，∴EC+ED的最小值，故C正确，不符合题意；当E与A重合时，，当E与B重合时，过C作CQ⊥FH，则四边形CQIB是矩形，如图，∴CQ＝IB＝4﹣1＝3，QI＝BC＝3，∵△DHF≌△DAE，∴FH＝AE＝4，∴QF＝FH+HI﹣QI＝4+1﹣3＝2，∴，综上，FC最大值为.故D项正确，不符合题意． 2．（2017•安徽14题5分）在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝30cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），剪去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为　40或　cm． 【答案】40或 【解析】∵∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝30cm，∴AB＝10，∠ABC＝60°，∵△ADB≌△EDB，∴∠ABD＝∠EBDABC＝30°，BE＝AB＝10，∴DE＝10，BD＝20，如图1，平行四边形的边是DF，BF，且DF＝BF，∴平行四边形的周长， 如图2，平行四边形的边是DE，EG，且DE＝EG＝10，∴平行四边形的周长＝40，综上所述：平行四边形的周长为40或． 第八章 统计与概率 命题点1 统计 1．（2025•安徽19题10分）某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区5月份的游客中随机抽取50人对景区的服务质量进行评分，评分结果用x表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下：..． 组别 A B C D E 分组 45≤x＜55 55≤x＜65 65≤x＜75 75≤x＜85 85≤x≤95 人数 3 3 15 a 10 请根据以上信息，完成下列问题： （1）a＝　19　 ； （2）这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在　D　 组； （3）若游客评分的平均数不低于75，则认定该景区的服务质量良好．分别用50，60，70，80，90作为A，B，C，D，E这五组评分的平均数，估计该景区5月份的服务质量是否良好，并说明理由． 解：（1）由题意得，a＝50﹣3﹣3﹣15﹣10＝19，故答案为：19； （2）把50人对景区的服务质量评分从小到大排列，排在第25和第26个数都在D组， 故这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在D组， 故答案为：D； （3）由题意知，游客评分的平均数为： （分）， 因为76＞75，所以该景区5月份的服务质量良好． 2．（2024•安徽21题12分）综合与实践 【项目背景】 无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：cm）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 3.5≤x＜4.5 4.5≤x＜5.5 5.5≤x＜6.5 6.5≤x＜7.5 7.5≤x≤8.5 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： 任务1 求图1中a的值． 【数据分析与运用】 任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． 任务3 下列结论一定正确的是 　①　（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． 任务4 结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 解：（1）由题意得，a＝200﹣（15+70+50+25）＝40； （2）（15×4+50×5+70×6+50×7+15×8）＝6， 故乙园样本数据的平均数为6； （3）由统计图可知，两园样本数据的中位数均在C组，故①正确； 甲园的众数在B组，乙园的众数在C组，故②结论错误； 两园样本数据的最大数与最小数的差不一定相等，故③结论错误； 故答案为：①； （4）乙园的柑橘品质更优，理由如下： 由样本数据频数分布直方图可得，乙园一级柑橘所占比例大于甲园，因此可以认为乙园的柑橘品质更优． 3．（2023•安徽21题12分）端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 八年级10名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 2 a b 2 已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 　1　，七年级活动成绩的众数为 　8　分； （2）a＝　2　，b＝　3　； （3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 解：（1）由扇形统计图可得，成绩为8分的人数为10×50%＝5（人）， 成绩为9分的人数为10×20%＝2（人）， 成绩为10分的人数为10×20%＝2（人）， 则成绩为7分的学生数为10﹣5﹣2﹣2＝1（人）， ∵出现次数最多的为8分， ∴七年级活动成绩的众数为8分， 故答案为：1；8； （2）由题意，将八年级的活动成绩从小到大排列后，它的中位数应是第5个和第6个数据的平均数， ∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分， ∴第5个和第6个数据的和为8.5×2＝17＝8+9， ∴第5个和第6个数据分别为8分，9分， ∵成绩为6分和7分的人数为1+2＝3（人）， ∴成绩为8分的人数为5﹣3＝2（人），成绩为9分的人数为10﹣5﹣2＝3（人）， 即a＝2，b＝3， 故答案为：2；3； （3）不是，理由如下： 结合（1）（2）中所求可得七年级的优秀率为100%＝40%，八年级的优秀率为100%＝50%， 七年级的平均成绩为8.5（分），八年级的平均成绩为8.3（分）， ∵40%＜50%，8.5＞8.3， ∴本次活动中优秀率高的年级并不是平均成绩也高． 4．（2022•安徽21题12分）第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85， D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x≤100， 并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下： 86，85，87，86，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）n＝　20　，a＝　4　； （2）八年级测试成绩的中位数是 　86.5分　； （3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由． 解：（1）由题意得：n＝7÷35%＝20（人）， 故2a＝20﹣1﹣2﹣3﹣6＝8， 解得a＝4， 故答案为：20；4； （2）把八年级测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为86，87，故中位数为86.5（分）， 故答案为：86.5分； （3）500500×（1﹣5%﹣5%﹣20%﹣35%） ＝100+175 ＝275（人）， 故估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有275人． 5．（2021•安徽21题12分）为了解全市居民用户用电情况，某部门从居民用户中随机抽取100户进行月用电量（单位：kW•h）调查，按月用电量50～100，100～150，150～200，200～250，250～300，300～350进行分组，绘制频数分布直方图如图． （1）求频数分布直方图中x的值； （2）判断这100户居民用户月用电量数据的中位数在哪一组（直接写出结果）； （3）设各组居民用户月平均用电量如表： 组别 50～100 100～150 150～200 200～250 250～300 300～350 月平均用电量（单位：kW•h） 75 125 175 225 275 325 根据上述信息，估计该市居民用户月用电量的平均数． 解：（1）x＝100﹣12﹣18﹣30﹣12﹣6＝22（户）， 答：x的值为22； （2）将这100户的用电量从小到大排列，处在中间位置的两个数都落在150～200这一组， 所以这100户居民用户月用电量数据的中位数在150～200这一组； （3）估计该市居民用户月用电量的平均数为186（kW•h）， 答：估计该市居民用户月用电量的平均数为186kW•h． 6．（2021•安徽21题12分）为了解全市居民用户用电情况，某部门从居民用户中随机抽取100户进行月用电量（单位：kW•h）调查，按月用电量50～100，100～150，150～200，200～250，250～300，300～350进行分组，绘制频数分布直方图如图． （1）求频数分布直方图中x的值； （2）判断这100户居民用户月用电量数据的中位数在哪一组（直接写出结果）； （3）设各组居民用户月平均用电量如表： 组别 50～100 100～150 150～200 200～250 250～300 300～350 月平均用电量（单位：kW•h） 75 125 175 225 275 325 根据上述信息，估计该市居民用户月用电量的平均数． 解：（1）x＝100﹣12﹣18﹣30﹣12﹣6＝22（户）， 答：x的值为22； （2）将这100户的用电量从小到大排列，处在中间位置的两个数都落在150～200这一组， 所以这100户居民用户月用电量数据的中位数在150～200这一组； （3）估计该市居民用户月用电量的平均数为186（kW•h）， 答：估计该市居民用户月用电量的平均数为186kW•h． 7．（2020•安徽6题4分）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（　　） A．众数是11 B．平均数是12 C．方差是 D．中位数是13 【答案】D 【解析】数据11，10，11，13，11，13，15中，11出现的次数最多是3次，因此众数是11，于是A选项不符合题意；将这7个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是11，因此中位数是11，于是D符合题意；（11+10+11+13+11+13+15）÷7＝12，即平均数是12，于是选项B不符合题意；S2[（10﹣12）2+（11﹣12）2×3+（13﹣12）2×2+（15﹣12）2]，因此方差为，于是选项C不符合题意． 8．（2019•安徽6题4分）在某时段有50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h）为（　　） A．60 B．50 C．40 D．15 【答案】C 【解析】由条形图知，车速40km/h的车辆有15辆，为最多，所以众数为40． 9．（2019•安徽21题12分）为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的各数据按从小到大的顺序整理成如下表格： 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮ 尺寸（cm） 8.72 8.88 8.92 8.93 8.94 8.96 8.97 8.98 a 9.03 9.04 9.06 9.07 9.08 b 按照生产标准，产品等次规定如下： 尺寸（单位：cm） 产品等次 8.97≤x≤9.03 特等品 8.95≤x≤9.05 优等品 8.90≤x≤9.10 合格品 x＜8.90或x＞9.10 非合格品 注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等品）计算在内． （1）已知此次抽检的合格率为80%，请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由． （2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9cm． （i）求a的值； （ii）将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9cm，另一组尺寸不大于9cm，从这两组中各随机抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率． 解：（1）不合格． 因为15×80%＝12，不合格的有15﹣12＝3个，给出的数据只有①②两个不合格； （2）（i）优等品有⑥～⑪，中位数是⑧8.98，⑨a的平均数， ∴， 解得a＝9.02 （ii）大于9cm的优品有⑨⑩⑪，小于9cm的优品有⑥⑦⑧，其中特等品为⑦⑧⑨⑩ 画树状图为： 共有九种等可能的情况，其中抽到两种产品都是特等品的情况有4种． ∴抽到两种产品都是特等品的概率P． 10．（2018•安徽8题4分）为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据，如下表： 甲 2 6 7 7 8 乙 2 3 4 8 8 关于以上数据，说法正确的是（　　） A．甲、乙的众数相同 B．甲、乙的中位数相同 C．甲的平均数小于乙的平均数 D．甲的方差小于乙的方差 【答案】D 【解析】A、甲的众数为7，乙的众数为8，故原题说法错误；B、甲的中位数为7，乙的中位数为4，故原题说法错误；C、甲的平均数为6，乙的平均数为5，故原题说法错误；D、甲的方差为4.4，乙的方差为6.4，甲的方差小于乙的方差，故原题说法正确． 11．（2018•安徽21题12分）“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图．部分信息如下： （1）本次比赛参赛选手共有　50　人，扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为　30%　； （2）赛前规定，成绩由高到低前60%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖，并说明理由； （3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率． 解：（1）5÷10%＝50， 所以本次比赛参赛选手共有50人， “89.5～99.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为100%＝24%， 所以“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为1﹣10%﹣36%﹣24%＝30%； 故答案为50，30%； （2）他不能获奖． 理由如下： 他的成绩位于“69.5～79.5”之间， 而“59.5～69.5”和“69.5～79.5”两分数段的百分比为10%+30%＝40%， 因为成绩由高到低前60%的参赛选手获奖，他位于后40%， 所以他不能获奖； （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8， 所以恰好选中1男1女的概率． 12．（2017•安徽21题12分）甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩如下： 甲：9，10，8，5，7，8，10，8，8，7 乙：5，7，8，7，8，9，7，9，10，10 丙：7，6，8，5，4，7，6，3，9，5 （1）根据以上数据完成下表： 平均数 中位数 方差 甲 8 8 　2　 乙 8 8 2.2 丙 6 　6　 3 （2）根据表中数据分析，哪位运动员的成绩最稳定，并简要说明理由； （3）比赛时三人依次出场，顺序由抽签方式决定，求甲、乙相邻出场的概率． 解：（1）∵甲的平均数是8， ∴甲的方差是：[（9﹣8）2+2（10﹣8）2+4（8﹣8）2+2（7﹣8）2+（5﹣8）2]＝2； 把丙运动员的射靶成绩从小到大排列为：3，4，5，5，6，6，7，7，8，9，则中位数是6； 故答案为：6，2； （2）∵甲的方差是2；乙的方差是2.2；丙的方差是3； ∴S甲2＜S乙2＜S丙2， ∴甲运动员的成绩最稳定； （3）根据题意画图如下： ∵共有6种情况数，甲、乙相邻出场的有4种情况， ∴甲、乙相邻出场的概率是． 13．（2015•安徽7题4分）某校九年级（1）班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表： 成绩（分） 35 39 42 44 45 48 50 人数（人） 2 5 6 6 8 7 6 根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（　　） A．该班一共有40名同学 B．该班学生这次考试成绩的众数是45分 C．该班学生这次考试成绩的中位数是45分 D．该班学生这次考试成绩的平均数是45分 【答案】D 【解析】该班人数为：2+5+6+6+8+7+6＝40，得45分的人数最多，众数为45，第20和21名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：45，平均数为：44.425．故错误的为D． 命题点2 概 率 1.（2025•安徽13题5分）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20g和70g的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为10g，20g，30g，40g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 　　 ． 【答案】 【解析】由题意可知，20g+50g＝70g，10g+40g＝20g+30g＝50g，把质量为10g，20g，30g，40g的四件物品分别记为1、2、3、4，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中天平恢复平衡的结果有4种，∴天平恢复平衡的概率为． 2．（2024•安徽13题5分）红球．从袋中任取2个球，恰为2个红球的概率是 　　． 【答案】 【解析】 由图可知，共有12种可能的结果，其中2个红球的结果出现2次，∴P． 3．（2023•安徽7题4分）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数出现的等可能结果有： 123、132、213、231、312、321，其中恰好是“平稳数”的有123、321，所以恰好是“平稳数”的概率为． 4．（2022•安徽8题4分）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画树状图如下： 由树状图知，共有8种等可能结果，其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的有3种结果，所以恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为． 5．（2021•安徽9题4分）如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以围成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点A的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：将从左到右的三条竖线分别记作a、b、c，将从上到下的三条横线分别记作m、n、l，列表如下， ab bc ac mn ab、mn bc、mn ac、mn nl ab、nl bc、nl ac、nl ml ab、ml bc、ml ac、ml 由表可知共有9种等可能结果，其中所选矩形含点A的有bc、mn；bc、ml；ac、mn；ac、ml这4种结果，∴所选矩形含点A的概率． 6.（2020•安徽21题12分）某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： （1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为　60　，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为　108　°； （2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数； （3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率． 【解答】解：（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为240×25%＝60（人）， 则最喜欢C套餐的人数为240﹣（60+84+24）＝72（人）， ∴扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为360°108°， 故答案为：60、108； （2）估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为960336（人）； （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中甲被选到的结果数为6， ∴甲被选到的概率为． 7.（2019•安徽21题12分）为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的各数据按从小到大的顺序整理成如下表格： 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮ 尺寸（cm） 8.72 8.88 8.92 8.93 8.94 8.96 8.97 8.98 a 9.03 9.04 9.06 9.07 9.08 b 按照生产标准，产品等次规定如下： 尺寸（单位：cm） 产品等次 8.97≤x≤9.03 特等品 8.95≤x≤9.05 优等品 8.90≤x≤9.10 合格品 x＜8.90或x＞9.10 非合格品 注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等品）计算在内． （1）已知此次抽检的合格率为80%，请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由． （2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9cm． （i）求a的值； （ii）将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9cm，另一组尺寸不大于9cm，从这两组中各随机抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率． 【解答】解：（1）不合格． 因为15×80%＝12，不合格的有15﹣12＝3个，给出的数据只有①②两个不合格； （2）（i）优等品有⑥～⑪，中位数是⑧8.98，⑨a的平均数， ∴，解得a＝9.02 （ii）大于9cm的优品有⑨⑩⑪，小于9cm的优品有⑥⑦⑧，其中特等品为⑦⑧⑨⑩，画树状图为： 共有九种等可能的情况，其中抽到两种产品都是特等品的情况有4种． ∴抽到两种产品都是特等品的概率P． 8．（2018•安徽21题12分）“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图．部分信息如下： （1）本次比赛参赛选手共有　50　人，扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为　30%　； （2）赛前规定，成绩由高到低前60%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖，并说明理由； （3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率． 【解答】解：（1）5÷10%＝50， 所以本次比赛参赛选手共有50人， “89.5～99.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为100%＝24%， 所以“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为1﹣10%﹣36%﹣24%＝30%； 故答案为50，30%； （2）他不能获奖． 理由如下： 他的成绩位于“69.5～79.5”之间， 而“59.5～69.5”和“69.5～79.5”两分数段的百分比为10%+30%＝40%， 因为成绩由高到低前60%的参赛选手获奖，他位于后40%， 所以他不能获奖； （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8， 所以恰好选中1男1女的概率． 9．（2017•安徽21题12分）甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩如下： 甲：9，10，8，5，7，8，10，8，8，7 乙：5，7，8，7，8，9，7，9，10，10 丙：7，6，8，5，4，7，6，3，9，5 （1）根据以上数据完成下表： 平均数 中位数 方差 甲 8 8 　2　 乙 8 8 2.2 丙 6 　6　 3 （2）根据表中数据分析，哪位运动员的成绩最稳定，并简要说明理由； （3）比赛时三人依次出场，顺序由抽签方式决定，求甲、乙相邻出场的概率． 【解答】解：（1）∵甲的平均数是8， ∴甲的方差是：[（9﹣8）2+2（10﹣8）2+4（8﹣8）2+2（7﹣8）2+（5﹣8）2]＝2； 把丙运动员的射靶成绩从小到大排列为：3，4，5，5，6，6，7，7，8，9，则中位数是6； 故答案为：6，2； （2）∵甲的方差是2；乙的方差是2.2；丙的方差是3； ∴S甲2＜S乙2＜S丙2， ∴甲运动员的成绩最稳定； （3）根据题意画图如下： ∵共有6种情况数，甲、乙相邻出场的有4种情况， ∴甲、乙相邻出场的概率是． 10．（2016•安徽21题12分）一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1，4，7，8．现规定从袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数；然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数． （1）写出按上述规定得到所有可能的两位数； （2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于4且小于7的概率． 解：（1）画树状图： 共有16种等可能的结果数，它们是：11，41，71，81，14，44，74，84，17，47，77，87，18，48，78，88； （2）算术平方根大于4且小于7的结果数为6， 所以算术平方根大于4且小于7的概率． 11．（2015•安徽19题10分）A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人． （1）求两次传球后，球恰在B手中的概率； （2）求三次传球后，球恰在A手中的概率． 解：（1）画树状图得： ∵共有4种等可能的结果，两次传球后，球恰在B手中的只有1种情况， ∴两次传球后，球恰在B手中的概率为：； （2）画树状图得： ∵共有8种等可能的结果，三次传球后，球恰在A手中的有2种情况， ∴三次传球后，球恰在A手中的概率为：． 学科网（北京）股份有限公司 $