第五章 几何综合题- 【一战成名新中考】2026安徽数学中考必考知识点题组特训

1．在四边形ABCD中，∠ABC＝45°，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，E是边BC上一点，连接AE交BD于点F，AD＝EC，AE⊥BC． （1）求证：①四边形AECD是矩形； ②OD2＝OF•OB． （2）若EF＝EC，求的值． 2．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝CD，点E在边AD上，连接EB，EC，EC交BD于点O． （1）若EC⊥BD，如图1．求证：四边形BCDE是菱形； （2）如图2，连接AC交BE于点F，若点F是BE的中点． ①求证：AE＝CD； ②若AB＝6，BC＝8，AD＝12，求OE，OC的长． 3．已知四边形ABCD是正方形，点E是AB延长线上一点，点F是AD上一点，∠ECF＝90°． （1）如图1，求证：CE＝CF； （2）连接EF交BD于点G，连接AG． ①如图2，求证：； ②如图3，若点F是AD的中点，求的值． 4．在矩形ABCD中，点E是边AD的中点，点P是边AB上的点，PE的延长线与CD的延长线交于点Q，以PQ为斜边向下作等腰直角△PQM． （1）如图1，求证：△APE≌△DQE； （2）若点P为AB的中点， ①如图2，当M在BC上时，求tan∠AEP； ②如图3，连接CM，当AD＝4，∠MCQ+∠CQM＝45°时，求AB的长． 5．在▱ABCD中，点P在边DA上运动． （1）如图1，当时，连接CP，CA，BP，CA，BP交于点O，求的值； （2）如图2，当CP⊥DA时，取AB的中点E，连接CE，PE，求证：EP＝EC； （3）如图3，点P运动到点A后，再沿AC运动到AC的延长线上，且，取AB的中点E，连接PE，已知AD＝3，AB＝4，∠DCA＝∠B，求PE的长． 6．如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，CE＝DF，连接AE，BF交于点G． （1）证明：AE⊥BF； （2）如图2，在（1）的条件下，连接对角线AC与BD相交于点O，AC交BF于点N，BD交AE于点M． （Ⅰ）证明：OM＝ON； （Ⅱ）过点A作AP∥BF交CD的延长线于点P，连接EP交BD于点Q，请写出CE，DQ之间的数量关系，并说明理由． 7．如图1，在正方形ABCD中，AE⊥FG，AE、FG相交于点O． （1）求证：AE＝FG； （2）如图2，连接DO，当BE＝DG时． ①求证：DO＝AD； ②如图2，当D、O、B三点共线时，求的值． 8．将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转，得到矩形FECG． （1）如图1，若，点E落在AD上，求∠ABE的度数； （2）连接BD，FC，过点E作EM∥FC交BD于点M． ①如图2，证明：BM＝EM； ②如图3，若射线BD分别交EC，FC于点P，N，请探究线段BN，MN，PN之间的数量关系，并说明理由． 9．如图1，BD是菱形ABCD的对角线，E是BD上一个动点，连接AE，CE． （1）求证：△ABE≌△CBE； （2）如图2，F是直线BC上一点，连接EF，且AE＝EF． （ⅰ）求证：∠AEF＝∠BAD； （ⅱ）当∠BAD＝90°时，如图3，延长FE交CD的延长线于点G，探索DG和BF之间的数量关系并加以证明． 10．如图①，在菱形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BD、AD上，∠EFG＝∠ABD． （1）求证：EF•FD＝GF•BE； （2）如图②，若F为BD中点，连接EF，FG． ①求证：FE平分∠BEG； ②若AE∥FG，EF∥AD，求的值． 11．已知，如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，CE． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）将▱ABCD沿直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，AD于点H，M． （i）求证：ME＝FG； （ii）连接MG，求证：MG∥EF． 12．已知正方形ABCD和正方形CEFG． （1）如图1，当正方形CEFG在正方形ABCD外部时，连接BG，DE．求证：△BCG≌△DCE； （2）如图2，将（1）中正方形CEFG绕点C旋转，使点G落在DE上． ①若，，求线段BG的长； ②如图3，连接AC，若点O是AC的中点，连接OG，请直接写出的值． 13．如图①，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，点E为BC的中点，DE⊥BC，连接BD，以BD为斜边向右作Rt△DBF，且点F在BC下方，连接EF，过点E作EG⊥EF交AD于点G，交DF于点H． （1）求证：△BEF≌△DEH； （2）如图②，点O为BD的中点，连接OH，CF，且CD＝CF． ①求证：OH⊥DF； ②若BD＝2，求DG的长． 14．如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF，点O是对角线AC、BD的交点，连接AE，BF交于点G，BF，AC交于点H． （1）求证：AE＝BF； （2）如图2．连接OG，OF，GC． ①若OG＝BE，求证：OF∥GC； ②若AB＝6，BE＝2，求线段OG的长． 15．如图①，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，G为边BC上一点，E为BG上一点，AG，DE交于点H，∠AHD＝60°，点F在DH上，AF＝AD． （1）求证：AG平分∠BAF； （2）如图②，M为AH上一点，DM＝DH，连接BH． ①求证：AM＝FH； ②若DF＝3，EH＝2，求BH的长． 参考答案 1．在四边形ABCD中，∠ABC＝45°，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，E是边BC上一点，连接AE交BD于点F，AD＝EC，AE⊥BC． （1）求证：①四边形AECD是矩形； ②OD2＝OF•OB． （2）若EF＝EC，求的值． 【解答】（1）证明：①∵AD∥BC，AD＝EC， ∴四边形AECD是平行四边形． ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形AECD为矩形． ②∵AD∥BC， ∴． ∵四边形AECD为矩形， ∴AE∥DC， ∴， ∴， ∴OD2＝OF•OB． （2）解：∵AE⊥BC，∠ABC＝45°， ∴BE＝AE． ∵四边形AECD为矩形， ∴AE＝DC． 设BE＝AE＝CD＝1，则EF＝EC＝x． ∵AE∥DC， ∴△BEF∽△BCD， ∴， ∴， ∴x2+x﹣1＝0， ∴ （不合题意，舍去）， ∴EF， ∴， ∴． 2．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝CD，点E在边AD上，连接EB，EC，EC交BD于点O． （1）若EC⊥BD，如图1．求证：四边形BCDE是菱形； （2）如图2，连接AC交BE于点F，若点F是BE的中点． ①求证：AE＝CD； ②若AB＝6，BC＝8，AD＝12，求OE，OC的长． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠EDO＝∠CBO， ∵BC＝CD， ∴∠CDO＝∠CBO， ∴∠CDO＝∠EDO， ∵EC⊥BD， ∴∠EOD＝∠COD＝90°， ∵DO＝DO， ∴△EOD≌△COD（ASA）， ∴DE＝DC＝BC， ∴BC∥DE， ∴四边形BCDE是平行四边形， ∵EC⊥BD， ∴四边形BCDE是菱形； （2）解：①∵AD∥BC， ∴∠AEF＝∠CBF，∠EAF＝∠BCF， ∵点F是BE的中点， ∴EF＝BF， ∴△AEF≌△CBF（AAS）， ∴AE＝BC， ∵BC＝CD， ∴AE＝CD； ②由①得AE＝BC， ∵AD∥BC，四边形ABCE是平行四边形， ∴AE＝BC＝8，AB＝CE＝6， ∵AD＝12， ∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4， ∵AD∥BC， ∴△DEO∽△BCO， ∴， ∴2，． 3．已知四边形ABCD是正方形，点E是AB延长线上一点，点F是AD上一点，∠ECF＝90°． （1）如图1，求证：CE＝CF； （2）连接EF交BD于点G，连接AG． ①如图2，求证：； ②如图3，若点F是AD的中点，求的值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝CB，∠BCD＝∠CDF＝∠CBE＝90°． ∴∠ECF＝∠BCD＝90°， 则∠BCD﹣∠BCF＝∠ECF﹣∠BCF， 即∠DCF＝∠BCE， ∴△DCF≌△BCE（ASA）， ∴CE＝CF； （2）①证明：如图1，过点F作FH∥AB交BD于H，则∠GFH＝∠GEB． 则△DFH是等腰直角三角形， ∴DF＝FH． 由（1）可知△DCF≌△BCE，则DF＝BE， ∴FH＝BE． 又∵∠FGH＝∠EGB， ∴△FGH≌△EGB（AAS）， ∴FG＝EG， ∵AG是Rt△AEF的斜边EF上的中线， ∴EF＝2AG， 在Rt△ECF 中，CE＝CF，则EF2＝CF2+CE2＝2CE2 ∴（2AG）2＝2CE2， ∴； ②解：设AB＝AD＝2a，则 AF＝DF＝BE＝a，AE＝AB+BE＝3a，BD＝2a， ∴， 由①可知 EG＝FG，则， 同理①，过点F作FH∥AB交BD于H，如图2． ∵F是AD的中点，△DFH是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， 由（1）知，△DCF≌△BCE， ∴DF＝BE， ∵DF＝FH， ∴FH＝BE， ∵FH∥BE， ∴∠HFG＝∠BEG，∠FHG＝∠EBG， ∴△FGH≌△EGB（ASA）， ∴GH＝BG，则， ∴． 4．在矩形ABCD中，点E是边AD的中点，点P是边AB上的点，PE的延长线与CD的延长线交于点Q，以PQ为斜边向下作等腰直角△PQM． （1）如图1，求证：△APE≌△DQE； （2）若点P为AB的中点， ①如图2，当M在BC上时，求tan∠AEP； ②如图3，连接CM，当AD＝4，∠MCQ+∠CQM＝45°时，求AB的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ADC＝∠ADQ＝90°， ∵∠AEP＝∠DEQ，AE＝DE， ∴△APE≌△DQE（ASA）； （2）解：设AB＝2a，则AP＝BP＝a， ①由（1）知△APE≌△DQE， ∴DQ＝AP＝a， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2a， ∴∠BMP+∠BPM＝90°，CQ＝3a， ∵△PQM为等腰直角三角形， ∴MP＝MQ，∠PMQ＝90°， ∴∠BMP+∠CMQ＝90°， ∴∠BPM＝∠CMQ， ∴△BMP≌△CQM（AAS）， ∴BM＝CQ＝3a，BP＝CM＝a， ∴BC＝BM+CM＝4a＝AD， ∴AE＝2a，∠A＝90°， ∴； ②连接EM， 由（1）知△APE≌△DQE， ∴PE＝QE， ∵MP＝MQ， ∴， ∴ME⊥PQ， ∵∠MCQ+∠CQM＝45°， ∴∠CMQ＝135°， ∴∠QME+∠CMQ＝180°， ∴点C，M，E共线， ∵∠CQE＝∠EQD，∠CEQ＝∠EDQ＝90°， ∴△CEQ∽△EDQ， ∴， ∴EQ2＝DQ•CQ， 即22+a2＝a•3a， 解得， ∴． 5．在▱ABCD中，点P在边DA上运动． （1）如图1，当时，连接CP，CA，BP，CA，BP交于点O，求的值； （2）如图2，当CP⊥DA时，取AB的中点E，连接CE，PE，求证：EP＝EC； （3）如图3，点P运动到点A后，再沿AC运动到AC的延长线上，且，取AB的中点E，连接PE，已知AD＝3，AB＝4，∠DCA＝∠B，求PE的长． 【解答】（1）解：在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC， ∴△AOP∽△COB， ∴， ∵，则， ∴， 设△PBC边PB的高为h， ∴， ∴； （2）证明：如图2，延长PE，CB交于点Q， ∵点E为AB的中点， ∴AE＝BE， ∵在▱ABCD中，AD∥BC， ∴∠PAE＝∠QBE， 在△PAE和△QBE中， ， ∴△PAE≌△QBE（AAS）， ∴PE＝QE， ∴， ∵CP⊥DA，AD∥BC，则∠DPC＝90°， ∴∠PCB＝∠DPC＝90°， ∴△PCQ是直角三角形， ∵点E为PQ的中点， ∴， ∴EP＝EC； （3）解：如图3，过点P作AB的垂线，垂足分别为H，连接CE， ∵在▱ABCD中，AB∥CD， ∴∠DCA＝∠CAB， ∵∠DCA＝∠B， ∴∠B＝∠CAB， ∴△ABC是等腰三角形， ∴AC＝BC＝AD＝3， ∵， ∴CP＝1， ∴AP＝AC+CP＝4， ∵点E为AB的中点，AB＝4， ∴AE＝BE＝2，CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， 在直角三角形ACE中，由勾股定理得：， ∵CE⊥AB，PH⊥AB， ∴CE∥PH， ∴△ACE∽△APH， ∴， ∴， ∴， 在直角三角形PEH中，由勾股定理得：． 6．如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，CE＝DF，连接AE，BF交于点G． （1）证明：AE⊥BF； （2）如图2，在（1）的条件下，连接对角线AC与BD相交于点O，AC交BF于点N，BD交AE于点M． （Ⅰ）证明：OM＝ON； （Ⅱ）过点A作AP∥BF交CD的延长线于点P，连接EP交BD于点Q，请写出CE，DQ之间的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABE＝∠C＝90°， ∵CE＝DF， ∴BC﹣CE＝CD﹣DF， ∴BE＝CF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠BAE＝∠CBF， ∵∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠CBF+∠AEB＝90°， ∴∠BGE＝90°， ∴AE⊥BF； （2）（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠AOM＝∠BON＝90°， ∵∠OAM+∠ANB＝90°，∠OBN+∠ANB＝90°， ∴∠OBN＝∠OAM， 在△OBN和△OAM中， ， ∴△OBN≌△OAM（ASA）， ∴OM＝ON； （Ⅱ）解：；理由如下： 如图2，作EH⊥BC交BD于点H，连接HF，HP，ED， ∵AP∥BF，四边形ABCD中AB∥CD， ∴四边形ABFP是平行四边形， ∴AB＝FP， ∵AB＝CD， ∴FP＝CD， ∴DP＝CF， ∵BE＝CF， ∴DP＝BE， ∵EH⊥BC，∠DBC＝45°， ∴△BEH是等腰直角三角形， ∴HE＝BE， ∴DP＝HE， ∵EH⊥BC，CD⊥BC， ∴EH∥DP， ∴四边形EHDP是平行四边形， ∴DQ＝HQ． ∵EH∥CF，EH＝DP＝CF， ∴四边形EHFC是平行四边形， 又∵∠BCF＝90°， ∴四边形EHFC是矩形， ∴CE＝DF，∠DFH＝90°， 又∵∠HDF＝45°， ∴△DFH是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 7．如图1，在正方形ABCD中，AE⊥FG，AE、FG相交于点O． （1）求证：AE＝FG； （2）如图2，连接DO，当BE＝DG时． ①求证：DO＝AD； ②如图2，当D、O、B三点共线时，求的值． 【解答】（1）证明：过点F作FH⊥CD于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠FHG＝90°，FH＝AD＝AB， ∵AE⊥FG， ∴∠FAE＝∠GFH， 在△ABE和△FHG中， ， ∴△ABE≌△FHG（AAS）， ∴AE＝FG； （2）①证明：延长FG与AD的延长线相交于点P， ∵AE⊥FG， ∴∠P＝∠BAE， 在△ABE和△PDG中， ， ∴△ABE≌△PDG（AAS）， ∴AB＝DP， ∵AB＝AD， ∴AD＝PD， ∴OD＝AD； ②解：连接AG，设OG＝x， 由①可知DG为AP的垂直平分线， ∴AG＝PGx， ∴OP＝（1）x， ∴AP2＝OA2+OP2＝x2+[（1）x]2＝（4+2）x2＝（2AD）2， ∴AD2＝（1）x2， ∴2． 8．将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转，得到矩形FECG． （1）如图1，若，点E落在AD上，求∠ABE的度数； （2）连接BD，FC，过点E作EM∥FC交BD于点M． ①如图2，证明：BM＝EM； ②如图3，若射线BD分别交EC，FC于点P，N，请探究线段BN，MN，PN之间的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）解：如图1，过E作ET⊥BC于T，四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠A＝90°＝∠BTE， ∴四边形ABTE为矩形， ∴AB＝ET， 由旋转的性质得：CE＝CB， ∵， ∴，， ∴∠BCE＝30°， ∵BC＝CE， ∴∠EBC＝∠BEC＝75°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC＝75°； （2）证明：如图2，连接BE， ∵将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转，得到矩形FECG， ∴CB＝CE，AB＝CD＝EF，∠BCD＝∠CEF＝90°， ∵EM∥CF， ∴∠MEC＝∠FCE， 在△CFE和△BDC中， ， ∴△CFE≌△BDC（SAS）， ∴∠FCE＝∠DBC， ∴∠MEC＝∠DBC， ∵CE＝BC， ∴∠BEC＝∠EBC， ∴∠MEB＝∠MBE， ∴EM＝BM； ②解：MN2＝PN•BN；理由如下： 如图3，连接CM， 在△CEM≌△CBM中， ， ∴△CEM≌△CBM（SSS）， ∴∠MCE＝∠MCB， ∵∠CMN＝∠MBC+∠MCB，∠NCM＝∠MCE+∠NCE， ∴∠NMC＝∠NCM， ∴MN＝CN， ∵∠CNP＝∠BNC，∠NCP＝∠NBC， ∴△NCP∽△NBC， ∴， ∴CN2＝PN•BN， ∴MN2＝PN•BN． 9．如图1，BD是菱形ABCD的对角线，E是BD上一个动点，连接AE，CE． （1）求证：△ABE≌△CBE； （2）如图2，F是直线BC上一点，连接EF，且AE＝EF． （ⅰ）求证：∠AEF＝∠BAD； （ⅱ）当∠BAD＝90°时，如图3，延长FE交CD的延长线于点G，探索DG和BF之间的数量关系并加以证明． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）； （2）（ⅰ）证明：延长AE交BC于点G，如图2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠EGF． 由（1）可知△ABE≌△CBE， ∴∠BAE＝∠BCE，AE＝CE． ∵AE＝EF， ∴EF＝CE， ∴∠BCE＝∠BFE． ∵∠AEF是△EFG的外角， ∴∠AEF＝∠BFE+∠FGE＝∠BAE+∠EAD＝∠BAD； （ⅱ）解：BF＝DG； 证明：如图3，连接AF，AG， ∵四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝90°， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝AD． 由（2）（ⅰ）可知∠AEF＝∠BAD＝90°，CE＝EF， ∴∠CFE＝∠ECF． ∵∠CFE+∠CGE＝∠ECF+∠ECG＝90°， ∴∠ECG＝∠EGC， ∴EG＝CE， ∴EG＝EF， ∴AE是线段FG的垂直平分线， ∴AF＝AG． 在Rt△ABF和Rt△ADG中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△ADG（HL）， ∴BF＝DG． 10．如图①，在菱形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BD、AD上，∠EFG＝∠ABD． （1）求证：EF•FD＝GF•BE； （2）如图②，若F为BD中点，连接EF，FG． ①求证：FE平分∠BEG； ②若AE∥FG，EF∥AD，求的值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠EFG＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵∠ABD+∠BEF＝∠GFD+∠EFG， ∴∠FEB＝∠GFD， ∴△BFE∽△DGF， ∴， 即EF•FD＝GF•BE； （2）①证明：由（1）同理得：△BFE∽△DGF， ∴， ∵F为BD中点， ∴BF＝FD， ∴， 即， ∵∠ABD＝∠EFG， ∴△BFE∽△FGE， ∴∠BEF＝∠FEG， ∴FE平分∠BEG； ②解：AE∥FG，EF∥AD，F为BD中点，如图②，连接AF， ∴四边形AEFG是平行四边形， ∴， ∴， 同理， ∵AB＝AD， ∴AE＝AG， ∴四边形AEFG是菱形， ∴∠AEG＝∠FEG， 由（2）①知：∠BEF＝∠FEG， ∵∠AEG+∠GEF+∠BEF＝180°， ∴∠AEG＝60°， ∴∠BAD＝60°， ∵AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∵F为BD中点， ∴AF⊥BD， ∴sin60°， 又∵， ∴． 11．已知，如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，CE． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）将▱ABCD沿直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，AD于点H，M． （i）求证：ME＝FG； （ii）连接MG，求证：MG∥EF． 【解答】证明：（1）∵在▱ABCD中，AD∥BC，AO＝OC， ∴∠DAC＝∠BCA， 又∵∠AOE＝∠COF， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， ∴AD∥BC， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）（i）由（1）得AE＝CF，延长A1E，CB，交于点T， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠A＝∠C， ∴∠1＝∠2， 由折叠知∠A＝∠A1，A1E∥B1F，AE＝A1E， ∴∠2＝∠3，A1E＝CF，∠A1＝∠C， ∴∠1＝∠3， ∴△A1EM≌△CFG（ASA）， ∴EM＝FG， （ⅱ）过点G作GK∥EM，交EF于点K，如图， ∴∠DEF＝∠GKF， ∵将▱ABCD沿直线EF折叠， ∴∠BFE＝∠GFE， ∵AD∥BC， ∴∠BFE＝∠DEF， ∴∠DEF＝∠GFE， ∴∠GFK＝∠GKF， ∴GK＝GF， ∴GF＝ME， ∴GK＝ME， ∴四边形EKGM是平行四边形， ∴MG∥EF． 12．已知正方形ABCD和正方形CEFG． （1）如图1，当正方形CEFG在正方形ABCD外部时，连接BG，DE．求证：△BCG≌△DCE； （2）如图2，将（1）中正方形CEFG绕点C旋转，使点G落在DE上． ①若，，求线段BG的长； ②如图3，连接AC，若点O是AC的中点，连接OG，请直接写出的值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝90°， ∵CEFG都是正方形， ∴CG＝CE，∠GCE＝90°， ∴∠BCD＝∠GCE， ∵∠BCG＝∠BCD+∠DCG，∠DCE＝∠GCE+∠DCG， ∴∠BCG＝∠DCE， 在△BCG和△DCE中， ， ∴△BCG≌△DCE（SAS）； （2）解：①将（1）中正方形CEFG绕点C旋转，使点G落在DE上．如图1，连接BD，设BG与CD交于点H， 由（1）可知：△BCG≌△DCE，∠BCD＝90°， ∴∠CBG＝∠CDE，BG＝DE， ∵∠CBG+∠CHB＝90°，∠CHB＝∠DHG， ∴∠CDE+∠DHG＝90°， ∴∠BGD＝180°﹣（∠CDE+∠DHG）＝180°﹣90°＝90°， ∵正方形ABCD中，正方形CEFG中， ∴，∠A＝90°，，∠F＝90°， ∴， ， 设BG＝x，则DE＝BG＝x， ∴DG＝DE﹣EG＝x﹣2， 在Rt△BGD中，根据勾股定理可得： BG2+DG2＝BD2， 即：， 解得：x1＝4，x2＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴BG＝4； ，理由如下： 如图3，连接BD， ∵四边形ABCD是正方形，点O是AC的中点， ∴点O是BD的中点， 由①可得：，△BGD是直角三角形， ∴， ∴． 13．如图①，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，点E为BC的中点，DE⊥BC，连接BD，以BD为斜边向右作Rt△DBF，且点F在BC下方，连接EF，过点E作EG⊥EF交AD于点G，交DF于点H． （1）求证：△BEF≌△DEH； （2）如图②，点O为BD的中点，连接OH，CF，且CD＝CF． ①求证：OH⊥DF； ②若BD＝2，求DG的长． 【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，点E为BC的中点，DE⊥BC， ∴∠C＝∠A＝45°， ∴△DBC是等腰直角三角形， ∴BE＝CE＝DE，∠BED＝∠CED＝90°． ∵EG⊥EF， ∴∠GEF＝∠BED＝90°， ∴∠DEH＝∠BEF． ∵∠BFD＝∠BED＝90°， ∴B，D，E，F四点共圆， ∴∠EDH＝∠EBF． 在△BEF和△DEH中， ， ∴△BEF≌△DEH（ASA）； （2）①证明：由（1）知，△BEF≌△DEH， ∴EH＝EF，DH＝BF， ∵∠HEF＝90°， ∴， 在Rt△BDC中，DE⊥BC， ∴△EDC∽△DBC， ∴， ∴CD2＝CE•BC， ∵点O为BD的中点，连接OH，CF，且CD＝CF， ∴CF2＝CE•BC， ∵∠ECF＝∠FCB， ∴△ECF∽△FCB， ∴， ∴， ∴DH＝HF，即H为DF的中点， ∴OH∥BF， ∴∠DHO＝∠DFB＝90°， ∴OH⊥DF； ②解：由（1）得，B，D，E，F四点共圆， ∴∠BDF＝∠BEF， 由（1）得∠DEH＝∠BEF， ∴∠DEH＝∠BDF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EDG＝∠CED＝90°， ∴∠EDG＝∠DFB＝90°， ∴△EDG∽△DFB， ∴， ∴， 由（2）①知， ∴， 在等腰Rt△BED中，∠DEB＝90°， 由勾股定理得：， ∴． 14．如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF，点O是对角线AC、BD的交点，连接AE，BF交于点G，BF，AC交于点H． （1）求证：AE＝BF； （2）如图2．连接OG，OF，GC． ①若OG＝BE，求证：OF∥GC； ②若AB＝6，BE＝2，求线段OG的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴AE＝BF； （2）①证明：由（1）知，△ABE≌△BCF， ∴∠BAE＝∠CBF， ∵∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠CBF+∠AEB＝90°， ∴∠BGE＝∠AGH＝90°， ∴AE⊥BF， ∵O为AC中点， ∴∠AOB＝∠ABC＝90°， ∵∠BAO＝∠CAB， ∴△AOB∽△ABC， ∴AB2＝AO•AC， 由（1）知：AE⊥BF， ∴∠AGB＝∠ABE， 又∵∠BAG＝∠EAB， ∴△ABG∽△AEB， ∴AB2＝AG•AE， ∴AO•AC＝AG•AE， ∴， ∵∠CAE＝∠GAO， ∴△OAG∽△EAC， ∴∠AGO＝∠ACE＝45°， ∴∠OGH＝∠FCH＝45°， ∵∠OHG＝∠CHF，OG＝CF， ∴△GOH≌△CFH（AAS）， ∴OH＝FH，GH＝CH， ∴∠HOF＝∠HFO（180°﹣∠OHF），∠HGC＝∠HCG（180°﹣∠CHG）， ∵∠OGF＝∠CHG， ∴∠HOF＝∠HCG， ∴OF∥CG； ②解：∵AB＝6，BE＝2，∠ABC＝90°， ∴BC＝AB＝6，AE2， ∴CE＝6﹣2＝4， ∵ACAB＝6， ∴AO， 由①知△OAG∽△EAC， ∴， ∴， ∴OG． 15．如图①，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，G为边BC上一点，E为BG上一点，AG，DE交于点H，∠AHD＝60°，点F在DH上，AF＝AD． （1）求证：AG平分∠BAF； （2）如图②，M为AH上一点，DM＝DH，连接BH． ①求证：AM＝FH； ②若DF＝3，EH＝2，求BH的长． 【解答】（1）证明：设∠DAF＝α， ∵AD＝AF， ∴， ∵∠AFD＝∠FAG+∠AHF， ∴， ∴， ∴∠BAG＝∠FAG， ∴AG平分∠BAF； （2）①证明：如图②，过点F作FN∥DM交AH于点N， ∵∠AHD＝60°，DM＝DH， ∴△HDM是等边三角形， ∴∠HMD＝∠HDM＝60°， ∵FN∥DM， ∴∠HNF＝∠HMD＝60°， ∴∠ANF＝∠DMA＝120°， 由（1）知， ∴， 由（1）知， ∴∠ADM＝∠FAN， 在△ADM和△FAN中， ， ∴△ADM≌△FAN（AAS）， ∴AM＝FN， ∵∠AHD＝∠HNF＝60°， ∴FN＝FH， ∴AM＝FH； ②解：在△FAH和△BAH中， ， ∴△FAH≌△BAH（SAS）， ∴∠AHB＝∠AHF＝60°，∠ABH＝∠AFH，FH＝BH， ∴∠BHE＝60°， 设BH＝x， ∴FH＝BH＝x， ∴HM＝DH＝FH+DF＝x+3， 由（2）①知AM＝FH＝x， ∴AH＝AM+HM＝x+x+3＝2x+3， ∵在菱形ABCD中，AD∥BC， ∴∠BEH＝180°﹣∠ADF， ∵∠ABH＝∠AFH＝180°﹣∠AFD＝180°﹣∠ADF， ∴∠ABH＝∠BEH， ∵∠BEH＝∠ABH，∠BHE＝∠AHB＝60°， ∴△BHE∽△AHB， ∴， ∴BH2＝EH•AH， ∴x2＝2（2x+3）， 解得（负值已舍去）． ∴BH的长为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/15 18:09:14；用户：帐号65；邮箱：hxnts65@xyh.com；学号：37372741 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $