第六章 圆- 【一战成名新中考】2026安徽数学中考必考知识点题组特训

1．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若CD⊥AB于点D，PA＝4，BD＝6，求AD的长． 2．如图，AB为⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD于点D，连接CB． （1）求证：BC平分∠ABD； （2）若，AB＝5，求BD的长． 3．如图，四边形ABCD中内接于⊙O，四边形ABEC，四边形ACFD均为平行四边形，连接BD，EF． （1）求证：四边形DBEF是平行四边形； （2）若∠BCD＝66°，求∠ECF的大小． 4．如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，且，经过点D的切线与BA的延长线交于点E，与BC的延长线交于点F，连接BD． （1）求证：EF⊥BC． （2）若AE＝3，，求EF的长． 5．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC，BC分别于点E，D两点，连接ED，BE． （1）求证：． （2）若BC＝6．AB＝5，求BE的长． 6．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD． （1）求证：AD＝AN； （2）若AE，ON＝1，求⊙O的半径． 7．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C． （1）求证：D是AC的中点； （2）若AB＝6，，求⊙O的半径． 8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，∠ACB的平分线交外接圆于D，交AB于E，过点D的切线交CA的延长线于F． （1）求证：DF∥AB； （2）若DE•DC＝12，求⊙O的半径． 9．如图，AB为⊙O的直径，⊙O的切线CE交BA的延长线于点E，点D在上，，连接AC，BC． （1）如图1，求证：∠CEA＝∠CAD； （2）如图2，若∠CEB＝2∠CBE，，求的长． 10．如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，过点B作⊙O的切线BE交AC的延长线于点E，BD平分∠ABC交⊙O于点D． （1）求证：∠CBE＝∠D； （2）若，AB＝4，求的值． 11．如图，AB是圆E的直径，D是圆上不同于A，B的一点，F是△ABD的内心，AF的延长线交圆E于点C，连结EF，BF，BC． （1）求证：； （2）若，BF⊥EF，求AF的长． 12．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，DC与AB延长线的交点为G，连接对角线AC，作OF⊥AC交AD于点F，垂足为点E，连接CF． （1）求证：四边形FOBC是平行四边形； （2）若⊙O的半径为4，且DF＝DC，求BG的长． 13．如图所示的拱桥，用表示桥拱． （1）若所在圆的圆心为O，EF是弦CD的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O．（不写作法，但要保留作图 痕迹） （2）若拱桥的跨度（弦AB的长）为16m，拱高（的中点到弦AB的距离）为4m，求拱桥的半径R． 14．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽AB为16m，拱高CN为4m． （1）求桥拱的半径； （2）此桥的安全限度是拱顶C点距离水面不得小于1.5m，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度DE为12m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 15．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 16．日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，⊙O表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边AB在水平线l上，△OAB为等边三角形，OA，OB与⊙O分别交于P，Q两点．点C，D是⊙O上两点，CD∥AB，过O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，交⊙O于点M．已知，FM＝30cm，ME＝20cm． （1）求⊙O的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 参考答案 1．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若CD⊥AB于点D，PA＝4，BD＝6，求AD的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCO+∠OCA＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠B＝∠BCO， ∵∠PCA＝∠B， ∴∠PCA＝∠BCO， ∴∠PCA+∠OCA＝90°， ∴OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切线； （2）解：设AD＝x，由题意可得： ∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠DCB＝90°， ∴∠BCD＝∠CAB， ∴△ADC∽△CDB， ∴CD2＝AD×BD＝6x， ∵∠P＝∠P，∠PCA＝∠B， ∴△PAC∽△PCB， ∴， ∴PC2＝PA•PB＝4（6+4+x）＝4（10+x）， ∵PD2+CD2＝PC2， ∴（4+x）2+6x＝4（10+x）， 解得x1＝2，x2＝﹣12（舍去）， 故AD＝2． 2．如图，AB为⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD于点D，连接CB． （1）求证：BC平分∠ABD； （2）若，AB＝5，求BD的长． 【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵DC与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CD， ∵BD⊥CD， ∴OC∥BD， ∴∠OCB＝∠DBC， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝OBC， ∴∠OBC＝∠DBC， ∴BC平分∠ABD； （2）解：过C点作CH⊥AB于H点，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC， ∵CH•ABBC•AC， ∴CH2， 在Rt△BCH中，BH1， ∵BC平分∠ABD，CH⊥BA，CD⊥BD， ∴CH＝CD， 在Rt△BCH和Rt△BCD中， ， ∴Rt△BCH≌Rt△BCD（HL）， ∴BH＝BD＝1． 3．如图，四边形ABCD中内接于⊙O，四边形ABEC，四边形ACFD均为平行四边形，连接BD，EF． （1）求证：四边形DBEF是平行四边形； （2）若∠BCD＝66°，求∠ECF的大小． 【解答】（1）证明：∵四边形ABEC，四边形ACFD均为平行四边形， ∴AC∥DF，AC＝DF，AC∥BE，AC＝BE， ∴BE∥DF，BE＝DF， ∴四边形DBEF是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD中内接于⊙O， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣66°＝114°， ∵四边形ABEC，四边形ACFD，四边形DBEF均为平行四边形， ∴AD＝CF，AB＝CE，BD＝EF， ∴△ABD≌△CEF（SSS）， ∴∠ECF＝∠BAD＝114°． 4．如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，且，经过点D的切线与BA的延长线交于点E，与BC的延长线交于点F，连接BD． （1）求证：EF⊥BC． （2）若AE＝3，，求EF的长． 【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ABD＝∠ODB， ∵， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠CBD＝∠ODB， ∴BC∥OD， ∵EF 与⊙O相切于点D， ∴EF⊥OD， ∴∠F＝∠ODE＝90°， ∴EF⊥BC． （2）解：设OA＝OB＝OD＝r， ∵AE＝3，， ∴OE＝3+r， ∵OD∥BF， ∴， ∴， 解得r＝2， ∴OD＝2，OE＝3+2＝5， ∵∠ODE＝90°， ∴DE， ∴DFDE， ∴EF＝DE+DF， ∴EF的长是． 5．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC，BC分别于点E，D两点，连接ED，BE． （1）求证：． （2）若BC＝6．AB＝5，求BE的长． 【解答】（1）证明方法一：连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴CD＝BD， ∵A、E、D、B四点共圆， ∴∠CED＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC， ∴∠ACB＝∠CED， ∴DE＝DC， ∴DE＝BD， ∴； 方法二：如图②，连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴∠EAD＝∠BAD， ∴； （2）解：连接OD交BE于H，作OF⊥BD于F， BDBC＝3，AB＝5， 又勾股定理得，AD4， ∵AD⊥BC，OF⊥BD， ∴OF∥AD，又OA＝OB， ∴OFAD＝2， 则BH3×2， 解得，BH， ∵， ∴BE＝2BH． 6．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD． （1）求证：AD＝AN； （2）若AE，ON＝1，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角， ∴∠BAD＝∠BCD， ∵AE⊥CD，AM⊥BC， ∴∠AMC＝∠AEN＝90°， ∵∠ANE＝∠CNM， ∴∠BCD＝∠BAM， ∴∠BAM＝BAD， 在△ANE与△ADE中， ， ∴△ANE≌△ADE， ∴AD＝AN； （2）∵AE＝2，AE⊥CD， 又∵ON＝1， ∴设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x， r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1 连接AO，则AO＝OD＝2x﹣1， ∵△AOE是直角三角形，AE＝2，OE＝x﹣1，AO＝2x﹣1， ∴（2）2+（x﹣1）2＝（2x﹣1）2， 解得x＝2， ∴r＝2x﹣1＝3； 7．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C． （1）求证：D是AC的中点； （2）若AB＝6，，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：如图，连接BD． ∵AB是⊙O的弦，半径 OD⊥AB， ∴D是 的中点， ∴， ∴AD＝BD， ∴∠BAD＝∠ABD， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∴∠BAD+∠C＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°， ∴∠C＝∠DBC， ∴BD＝CD， ∴AD＝CD， 即D为AC的中点； （2）如图，连接OA． ∵半径 OD⊥AB，垂足为H，AB＝6， ∴AHAB＝3， ∵D是AC的中点，， ∴， ∴DH2， 设OD＝OA＝r，则 OH＝r﹣2， 在 Rt△OAH中，OH2+AH2＝OA2， ∴（r﹣2）2+32＝r2， ∴， 即⊙O的半径为． 8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，∠ACB的平分线交外接圆于D，交AB于E，过点D的切线交CA的延长线于F． （1）求证：DF∥AB； （2）若DE•DC＝12，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：如图，连接OD， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， 由圆周角定理得：∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD， ∴∠AOD＝∠BOD＝90°， ∴OD⊥AB， ∵DF是⊙O切线， ∴OD⊥DF， ∴DF∥AB； （2）解：如图，连接BD， ∵∠ABD＝∠ACD，∠ACD＝∠BCD， ∴∠BCD＝∠EBD， ∵∠CDB＝∠BDE， ∴△BCD∽△EBD， ∴， ∴BD2＝DE•DC＝12， ∴BD＝2， ∵∠BOD＝90°，OB＝OD， ∴OBBD． 9．如图，AB为⊙O的直径，⊙O的切线CE交BA的延长线于点E，点D在上，，连接AC，BC． （1）如图1，求证：∠CEA＝∠CAD； （2）如图2，若∠CEB＝2∠CBE，，求的长． 【解答】（1）证明：如图，连接CO， ∵CE是⊙O的切线， ∴∠OCE＝90°， ∴∠CEA+∠3＝90°， ∵OC＝OB， ∴∠1＝∠2， ∴∠3＝∠1+∠2＝2∠2， ∵， ∴∠4＝∠2， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAD+∠4+∠2＝90°，即∠CAD+∠3＝90°， ∴∠CEA＝∠CAD． （2）解：如图，连接CO，DO，由（1）得∠3＝2∠2＝2∠4， 由条件可知∠CEA＝∠3， ∵∠ECO＝90°， ∴∠3＝∠CEA＝45°， ∴∠4＝22.5°， ∴∠DOB＝2∠4＝45°， 由条件可知CO＝5， ∴的长为． 10．如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，过点B作⊙O的切线BE交AC的延长线于点E，BD平分∠ABC交⊙O于点D． （1）求证：∠CBE＝∠D； （2）若，AB＝4，求的值． 【解答】（1）证明：如图1，BE是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，连接OB， ∴∠OBE＝90°，∠ABC＝90°， ∴∠OBE＝∠ABC， 即∠ABO+∠OBC＝∠OBC+∠CBE． ∴∠ABO＝∠CBE． ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠ABO， ∴∠CBE＝∠A． ∵∠A＝∠D， ∴∠CBE＝∠D； （2）解：如图，连接AD， ∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°， ∴∠ACD＝∠CAD＝45°， ∴，∠ADC＝90°， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ∵∠CBE＝∠BAE，∠E＝∠E， ∴△EBC∽△EAB， ∴． 11．如图，AB是圆E的直径，D是圆上不同于A，B的一点，F是△ABD的内心，AF的延长线交圆E于点C，连结EF，BF，BC． （1）求证：； （2）若，BF⊥EF，求AF的长． 【解答】（1）证明：由题意可得：∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵， ∴∠1＝∠2＝∠5， ∴∠2+∠4＝∠3+∠5， ∴∠CFB＝∠CBF， ∴CF＝CB， ∵AB是圆E的直径， ∴∠FCB＝90°， ∴△FCB是等腰直角三角形， ∴； （2）解：作EG⊥AC于点G， ∴AG＝CG， ∵， ∴∠CFB＝∠CBF＝45°，， ∵AE＝BE， ∴EG是△ABC的中位线，由中位线的性质可得： ∴， ∵∠CFB＝∠CBF＝45°，BF⊥EF， ∴∠EFG＝45°， ∴△EFG是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 12．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，DC与AB延长线的交点为G，连接对角线AC，作OF⊥AC交AD于点F，垂足为点E，连接CF． （1）求证：四边形FOBC是平行四边形； （2）若⊙O的半径为4，且DF＝DC，求BG的长． 【解答】（1）证明：∵OF⊥AC， ∴OF垂直平分AC， ∴FA＝FC， ∴∠FAC＝∠FCA， 又∵C是弧BD的中点， ∴， ∴∠CAB＝∠FAC＝∠FCA， ∴FC∥OB， 又∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠AEO＝90°， ∴OF∥BC， ∴四边形FOBC是平行四边形； （2）由（1）知FC∥OB，FC＝OB， ∴FC∥OA，FC＝OB＝OA＝OC， ∴四边形AOCF是菱形， ∴AF＝FC＝OA＝4， ∵DF＝DC， ∴∠DAG＝∠DFC＝∠DCF＝∠G， 又∵四边形ABCD是圆的内接四边形， ∴∠BCG＝∠DAB＝∠G， ∴DF＝DC＝BC＝BG， 设BG＝x，则AD＝4+x，AG＝8+x， ∵FC∥AG， ∴△DFC∽△DAG， ∴， ∴， x（8+x）＝4（4+x）， 8x+x2＝16+4x， x2+4x﹣16＝0， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴． 13．如图所示的拱桥，用表示桥拱． （1）若所在圆的圆心为O，EF是弦CD的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O．（不写作法，但要保留作图 痕迹） （2）若拱桥的跨度（弦AB的长）为16m，拱高（的中点到弦AB的距离）为4m，求拱桥的半径R． 【解答】解：（1）作弦AB的垂直平分线，交于G，交AB于点H，交CD的垂直平分线EF于点O，则点O即为所求作的圆心．（如图1）（2分） （2）连接OA．（如图2） 由（1）中的作图可知：△AOH为直角三角形，H是AB的中点，GH＝4， ∴AHAB＝8．（3分） ∵GH＝4， ∴OH＝R﹣4． 在Rt△AOH中，由勾股定理得，OA2＝AH2+OH2， ∴R2＝82+（R﹣4）2．（4分） 解得：R＝10．（5分） ∴拱桥的半径R为10m． 14．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽AB为16m，拱高CN为4m． （1）求桥拱的半径； （2）此桥的安全限度是拱顶C点距离水面不得小于1.5m，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度DE为12m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 【解答】解：如图半径OC⊥AB，OC⊥DE， （1）设桥拱的半径是r m， ∵OC⊥AB， ∴ANAB16＝8（m）， ∵拱高CN为4m， ∴ON＝（r﹣4）m， ∵OA2＝ON2+AN2， ∴r2＝（r﹣4）2+82， ∴r＝10， ∴桥拱的半径是10m； （2）不需要采取紧急措施，理由如下： 如图，连接OD， ∵CO⊥DE， ∴DMDE12＝6（m）， ∴OM8（m）， ∵CM＝OC﹣OM＝10﹣8＝2（m）， ∵2m＞1.5m， ∴不需要采取紧急措施． 15．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 【解答】解：（1）如图，过点O作OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O以点D，由题意可知，CD＝1m，AB＝6m， ∴OC⊥AB，AB＝6m， ∴AC＝BCAB＝3m， 设圆的半径为r m，即OA＝OD＝r m，OC＝（r﹣1）m， 在 Rt△AOC中， OC2+AC2＝OA2，即 （r﹣1）2+32＝r2， 解得r＝5， 即该圆的半径为5m； （2）设水面升到如图EF的位置，则EF∥AB，OD与EF相交于点G， ∵OD⊥EF， ∴EG＝FGEFm， 连接OE，在Rt△EOG中，OE＝5m，EG＝4m， ∴OG3m， ∴CG＝OC﹣OG＝4﹣3＝1（m）， 即水面上涨的高度为 1 米． 16．日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，⊙O表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边AB在水平线l上，△OAB为等边三角形，OA，OB与⊙O分别交于P，Q两点．点C，D是⊙O上两点，CD∥AB，过O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，交⊙O于点M．已知，FM＝30cm，ME＝20cm． （1）求⊙O的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）∵OE⊥AB，CD∥AB， ∴OE⊥CD， ∴， ∵， ∴， 如图，连接OD， 设⊙O的半径OD＝OM＝r， ∴OF＝OM﹣FM＝r﹣30， 在Rt△ODF中，， 解得r＝60， 即⊙O的半径为60cm； （2）∵△OAB为等边三角形， ∴∠OBE＝∠BOE＝60°，AB＝OB， ∵OE⊥AB， ∴∠BEO＝90°，， ∴OE＝OM+ME＝60+20＝80cm， 在Rt△BOE中，， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/16 9:45:16；用户：帐号65；邮箱：hxnts65@xyh.com；学号：37372741 学科网（北京）股份有限公司 $