第七章 与最值有关的计算- 【一战成名新中考】2026安徽数学中考必考知识点题组特训

1．如图，△ACD中，AD，CD，BC⊥AC于C，AC＝2BC，则BD的最大值为 　 　 ． 2．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为 　 　 ． 3．如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，点D从点A出发沿AB方向运动，若AC＝3，BC＝4，AB＝5，则CD长度的最小值为（　　） A．3 B．4 C．2.4 D．4.8 4．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，G是AB边上的一个动点，E，F分别是DG，CG的中点，连接AE，EF，BF，则AE+BF+EF的最小值为（　　） A．4 B． C． D．5 5．如图，若四边形ABCD是矩形，AB＝4，∠ADB＝30°，点E是AD上的一个动点，点P为BD上的动点，则PA+PE的最小值为（　　） A．6 B．4 C． D． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点F，交AB于点E，连接EC，AB＝10，△BEC的周长为18．若点P在直线EF上，连接PA，PB，则|PA﹣PB|的最大值为（　　） A．5 B．8 C．10 D．13 7．在锐角三角形ABC中，平分∠ABC，若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，DC＝5BD＝5，且△ADC的面积为10，则△ABC的周长的最小值是（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 9．如图，正方形ABCD的边长为8，点E，P在边AD上运动，点F在边CD上运动，ED＝CF，连接BE，AF交于点G，过点C作CH⊥BE于点H，连接CP，PG，下列结论中错误的是（　　） A．AE+BC≥AF B．△AGB的面积有最大值为16 C．CH+AG有最大值为 D．CP+PG的最小值为 10．正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE＝CF，连接AE，BF，交于点P，连接CP，当CP的值最小时，点P到AB的距离是（　　） A． B．2 C． D． 11．如图，在矩形ABCD中，AD＝1，，P是CD的中点，点Q在边AB上，连接AP，PQ，将矩形ABCD沿AP，PQ折叠，点B，C，D的对应点分别为B′，C′，D′，PD′，PC′分别交AB于点E，F（点E在点F右侧），则线段EF的最大值为（　　） A． B． C． D． 12．如图，在平行四边形纸片ABCD中，，AD＝4，∠BCD＝45°．E是线段BC的中点，点F在CD边所在的直线上，将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，连接AC′，则AC′长度的最小值是（　　） A．2 B．1 C． D． 13．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是边AB上一点，且AE＝2，点F是边BC上任一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为B′，连接AC、CB′，则以下结论正确的是（　　） ①当△BEF与△ABC相似时，； ②CB′的最小值是； ③点B′到AC距离的最小值是； ④取CB′的中点P，连接BP，则BP的最大值是． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 14．如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAB，△PBC，△PED，△PAD，设它们的面积分别是S1，S2，S3，S4，矩形ABCD的面积为S，AB＝6，BC＝8．则下列结论中正确的有（　　） ①若S＝4S1，则△PAB周长的最小值为16； ②若S3＝S4，则PA的最小值为； ③若，则PD的最小值为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 参考答案 1．如图，△ACD中，AD，CD，BC⊥AC于C，AC＝2BC，则BD的最大值为 　　 ． 【解答】解：如图，过点C作CE⊥CD，且CE＝2CD＝2，连接AE，DE， ∴DE， ∵∠ECD＝∠BCA＝90°， ∴∠ECA＝∠BCD， 又∵， ∴△ACE∽△BCD， ∴2， ∴AE＝2BD， 在△ADE中，AE＜AD+DE， ∴当点D在线段AE上时，AE有最大值为2， ∴BD的最大值为， 故答案为：． 2．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为 　　 ． 【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC于点P，连接PG， ∵，∠ABC＝∠EBF， ∴△ABC∽△EBF， ∴∠CAB＝∠FEB， ∵∠APB＝∠EGB＝90°， ∴△ABP∽△EBG， ∴，∠ABP＝∠EBG， ∴∠ABE＝∠PBG， ∴△ABE∽△PBG， ∴∠BPG＝∠BAE， 即在点E的运动过程中，∠BPG的大小不变且等于∠BAC， ∴当CG⊥PG时，CG最小， 设此时AE＝x， ∵， ∴PG， ∵CG⊥PG， ∴∠PCG＝∠BPG＝∠BAC， ∴， 代入PG，解得CP＝x， ∵CP＝BC•sin∠CBP＝BC•sin∠BAC， ∴x， ∴AE ∴CE， 故答案为：． 3．如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，点D从点A出发沿AB方向运动，若AC＝3，BC＝4，AB＝5，则CD长度的最小值为（　　） A．3 B．4 C．2.4 D．4.8 【解答】解：设点C到AB的距离为h，则， 解得：h＝2.4， 由垂线段最短可知，CD长度的最小值为2.4， 故选：C． 4．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，G是AB边上的一个动点，E，F分别是DG，CG的中点，连接AE，EF，BF，则AE+BF+EF的最小值为（　　） A．4 B． C． D．5 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠DAG＝∠CBG＝90°， ∵E，F分别是DG，CG的中点， ∴EFCDAB＝2， ∴AEGD，BFGC， ∴AE+BG+EF（GD+GC）+2， 作点D关于AB的对称点H，然后连接HC交AB于点G′，连接DG′，如图所示： ∴AH＝AD＝2， ∴DH＝4， ∴GD+GC的最小值即为HC， ∴HC4， ∴AE+BF+EF的最小值为42＝22， 故选：B． 5．如图，若四边形ABCD是矩形，AB＝4，∠ADB＝30°，点E是AD上的一个动点，点P为BD上的动点，则PA+PE的最小值为（　　） A．6 B．4 C． D． 【解答】解：作点A关于BD的对称点F，连接AF交BD于M，过点F作FH⊥AD于H． ∵PA＝PF， ∴PA+PE＝PF+PE， ∵PF+PE≥FH， ∴当P，E落在FH上时，PA+PE的值最小， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°（矩形的每个内角都等于90°）， ∵∠ADB＝30°， ∴∠ABM＝60°， ∴∠BAM＝30°， ∵AB＝4， ∴BM2（30°角所对的直角边等于斜边的一半），AM2， ∴， ∵∠BAM＝30°， ∴∠MAH＝60°， ∴∠MFH＝30° ∴， 故选：A． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点F，交AB于点E，连接EC，AB＝10，△BEC的周长为18．若点P在直线EF上，连接PA，PB，则|PA﹣PB|的最大值为（　　） A．5 B．8 C．10 D．13 【解答】解：∵AC的垂直平分线交AC于点F，交AB于点E， ∴EA＝EC， ∵△BEC的周长是18，AB＝10， ∴BC＝△BEC的周长﹣（EC+EB）＝18﹣（AE+EB）＝18﹣AB＝18﹣10＝8， 点P在直线EF上，如图，连接PC， ∵点P在AC的垂直平分线EF上， ∴PA＝PC， ∴|PA﹣PB|＝|PC﹣PB|≤BC＝8， 故|PA﹣PB|的最大值为8，此时点P是直线EF与直线BC的交点． 故选：B． 7．在锐角三角形ABC中，平分∠ABC，若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：如图：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′， ∵BD平分∠ABC， ∴EM′＝M′N′， ∴CM′+M′N′＝CM′+EM′＝CE，则CE即为CM+MN的最小值， ∵，CE⊥AB，∠ABC＝45°， ∴△BCE是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴CM+MN的最小值为4． 故选：B． 8．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，DC＝5BD＝5，且△ADC的面积为10，则△ABC的周长的最小值是（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【解答】解：如图1，过A作AE∥BC，作点C关于直线AE对称点C'，交AE于点E，连接BC'，交EA于点A'， ∴∠BCC'＝90°， 由DC＝5BD＝5， ∴BD＝1，CD＝5， ∴BC＝6； ∵S△ADC＝10，即， ∴5×CE＝20，解得：CE＝C'E＝4， ∴CC'＝8， 要使△ABC周长最小，则需点A与A'重合时，即点B，A'，C'共线时，如图2， 由勾股定理得：， ∴△ABC的周长的最小值是16， 故选：D． 9．如图，正方形ABCD的边长为8，点E，P在边AD上运动，点F在边CD上运动，ED＝CF，连接BE，AF交于点G，过点C作CH⊥BE于点H，连接CP，PG，下列结论中错误的是（　　） A．AE+BC≥AF B．△AGB的面积有最大值为16 C．CH+AG有最大值为 D．CP+PG的最小值为 【解答】解：如图所示，取AB中点O，连接OG，作点C关于AD的对称点N，连接PN，ON，过点O作OM⊥CD于M，则四边形AOMD是矩形， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝AB＝BC，∠D＝∠BAD＝∠ABC＝90°， ∵DE＝CF， ∴AD﹣DE＝CD﹣CF， ∴AE＝DF， ∴△ADF≌△BAE（SAS）， ∴AF＝BE， ∵BE≤AE+AB， ∴AE+BC≥AF，故A结论正确，不符合题意； ∵△ADF≌△BAE， ∴∠AEB＝∠AFD， ∵∠DAF+∠AFD＝90°， ∴∠AGB＝∠AEG+∠EAG＝∠AFD+∠EAG＝90°， ∴， 设点G到AB的距离为h，由垂线段最短可知h≤OG＝4， ∴， ∴△AGB的面积有最大值为16，故B结论正确，不符合题意； ∵CH⊥BE， ∴∠HCB+∠HBC＝∠GBA+∠HBC＝90°， ∴∠HCB＝∠GBA， 又∵∠AGB＝∠BHC＝90°，AB＝BC， ∴△AGB≌△BHC（AAS）， ∴CH＝BG， ∴AG+CH＝AG+BG， 设AG＝a，BG＝b， 在Rt△ABG中，由勾股定理得AG2+BG2＝AB2， ∴a2+b2＝82＝64， ∵， ∴， ∴ab≤32， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab≤64+64＝128， ∵a＞0，b＞0， ∴， ∴AG+BG的最大值为，AG+CH的最大值为，故C结论正确，不符合题意； ∴DN＝CD＝8，PN＝PC， ∴CP+PG＝NP+PG， ∴当N、P、G、O四点共线时，NP+PG有最小值，即此时CP+PG有最小值，最小值为ON﹣OG， ∴OM＝AB＝8，DM＝OA＝AB＝4， ∴MN＝DN+DM＝12， ∴， ∴， ∴CP+PG的最小值为故D结论错误，符合题意； 故选：D． 10．正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边BC，CD上的动点，且BE＝CF，连接AE，BF，交于点P，连接CP，当CP的值最小时，点P到AB的距离是（　　） A． B．2 C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，BE＝CF， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠BAE＝∠CBF， ∴∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的圆上运动， 如图，设AB的中点为G，当点C，P，G三点在同一条直线上时，CP有最小值． ∵BC＝4，BG＝2， ∴． 过点P作PH⊥AB于点H， ∴PH∥BC， ∴△GHP△∽GBC， ∴， ∴， ∴， 故选A． 11．如图，在矩形ABCD中，AD＝1，，P是CD的中点，点Q在边AB上，连接AP，PQ，将矩形ABCD沿AP，PQ折叠，点B，C，D的对应点分别为B′，C′，D′，PD′，PC′分别交AB于点E，F（点E在点F右侧），则线段EF的最大值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵P是CD的中点， ∵E为定点， ∴要使EF最大，则点F要离点E最远， ∴当点Q与点B重合时，线段EF最大，此时点B′也与点B重合， ∵将矩形ABCD沿AP，PQ折叠，点B，C，D的对应点分别为B′，C′，D′， ∴∠CPB＝∠C′PB，∠DPA＝∠D′PA，PD＝PD′，AD＝AD′， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD∥AB，，AD＝BC＝1， ∴∠CPB＝∠C′PB＝∠PBF，∠DPA＝∠D′PA＝∠PAE， ∴PF＝BF，PE＝AE 设AE＝x，则PE＝x， ∵点P是CD的中点， ∴， ∴ 在Rt△AED′中，由勾股定理得：AD′2+D′E2＝AE2，即， 解得：， 同理可得：． ∴EF最大值为． 故选：B． 12．如图，在平行四边形纸片ABCD中，，AD＝4，∠BCD＝45°．E是线段BC的中点，点F在CD边所在的直线上，将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，连接AC′，则AC′长度的最小值是（　　） A．2 B．1 C． D． 【解答】解：如图所示，过点A作AG⊥BC，交CB的延长线于点G，连接AE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝4，AB∥CD． ∵∠BCD＝45°，点E是线段BC的中点， ∴∠ABG＝∠BCD＝45°，． 根据折叠的性质得CE＝C′E＝2． 根据三角形三边之间的关系，可得AC′≤AE﹣C′E， 当点A，C′，E共线时，AC′最小， ∵∠ABG＝45°，∠AGB＝90°， ∴∠ABG＝∠BAG＝45°， ∴AG＝BG． 根据勾股定理，得， 解得AG＝BG＝2， ∴EG＝4． ∴， ∴将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，连接AC′，AC′最小值是． 故选：C． 13．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是边AB上一点，且AE＝2，点F是边BC上任一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为B′，连接AC、CB′，则以下结论正确的是（　　） ①当△BEF与△ABC相似时，； ②CB′的最小值是； ③点B′到AC距离的最小值是； ④取CB′的中点P，连接BP，则BP的最大值是． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【解答】解：∵AB＝3，AE＝2， ∴BE＝AB﹣AE＝1， 当△ABC∽△EBF时， ， ∴， ∴BF； 当△ABC∽△FBE时， ， ∴， ∴BF； ∴BF或，故①错误； ∵点B'在以E为圆心，BE为半径的圆上运动， ∴当E，B'，C三点共线时，CB'取得最小值， ∴CB'最小值＝CE﹣1，故②正确； ∵点B'在以E为圆心，BE为半径的圆上运动， ∴过点E作EH⊥AC于点H，交圆于点G，点B′到AC距离的最小值是HG， ∵△AEH∽△ACB， ∴， ∴， ∴EH， ∴HG＝EH﹣1，故③正确； 取CE的中点Q，连接PQ，BQ， ∴PQ是△EB'C的中位线， ∴PQ， ∵BP≤BQ+PQ，BQ， ∴BP的最大值为，故④正确； 故选：B． 14．如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAB，△PBC，△PED，△PAD，设它们的面积分别是S1，S2，S3，S4，矩形ABCD的面积为S，AB＝6，BC＝8．则下列结论中正确的有（　　） ①若S＝4S1，则△PAB周长的最小值为16； ②若S3＝S4，则PA的最小值为； ③若，则PD的最小值为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：过点P作MN⊥BC于点M，交AD于点N， ∵四边形ABMN，MNDC都是矩形，AB＝CD，AD＝BC， ∴ ， 同理可证，， ∴， ①若S＝4S1，则 ∴S1＝S3， ∴ ∴BM＝MC， 由题意可得：PB＝PC， ∴PA+PB＝PA+PC≥AC， 当P，A，C三点共线时，最小， ∵AB＝6，BC＝8， ∴， ∴△PAB周长最小值为AB+AC＝16，正确； ②连接BD，设BD的中点为点O， 若S3＝S4，且 ∴S1＝S2， ∴点P在BD， ∴PA⊥BD时，PA最小， ∵AB＝6，BC＝8， ∴， ∴，故PA最小值为，正确； ③若，则， 过点D作DF⊥PC，交CP延长线于点F，过点B作BE⊥PC于点E， 则， ∵∠EBC＝90°﹣∠ECB＝∠FCD， ∴△BCE∽△CDF， ∴， 设DF＝3k，CE＝4k，则， ∴， 解得k＝1，k＝﹣1（舍去）， ∴DF＝3， ∴PD最小值为3，错误； 故选：C． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/16 17:13:08；用户：帐号65；邮箱：hxnts65@xyh.com；学号：37372741 学科网（北京）股份有限公司 $