第一章 代数推理- 【一战成名新中考】2026安徽数学中考必考知识点题组特训

一．选择题（共4小题） 1．下面两个多位数1248624…，6248624…，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位对第2位．数字再进行如上操作得到第3位数字……后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前2020位的所有数字之和是（　　） A．10091 B．10095 C．10099 D．10107 2．有一个数值转换机，原理如图所示，若开始输入的x的值是1，可发现第1次输出的结果是8，第2次输出的结果是4，…，依次继续下去，第2024次输出的结果是（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 3．根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，a﹣b﹣c的值是（　　） A．﹣512 B．﹣514 C．510 D．512 4．一张纸的厚度为0.1mm，如图，将其对折、压平，称作第1次操作，再将其对折、压平，称作第2次操作…假设这张纸足够大，每一次也能压得足够平整，如此重复，则第10次操作后的厚度最接近于（　　） A．数学课本的厚度 B．班级中课桌的高度 C．一层楼房的高度 D．一支中性笔的长度 二．填空题（共4小题） 5．小茗同学爱好气象研究．小茗用数列{an}记录其生活城市2022年5月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记ak＝1；当第k天没下过雨时，记ak＝﹣1（1≤k≤31）．他用数列{bn}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记bk＝1；当预报第k天没有雨时，记bk＝﹣1（1≤k≤31）记录完毕后，小茗计算出a1b1+a2b2+…+a31b31＝m，若已知5月气象台预报准确27天，则m＝　 　 ；若a1b1+a2b2+… +akbk＝n（1≤k≤31），则气象台k天中预报准确的天数为　 　 （用n，k表示）． 6．我们规定一个新数“i”，使其满足i1＝i，i2＝﹣1，并进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1，…那么i9＝ 　 　 ，i1+i2+i3+…+i2026+i2027＝ 　 　 ． 7．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第i组有xi首，i＝1，2，3，4； ②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4； 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 x1 x1 x1 第2组 x2 x2 x2 第3组 x3 x3 x3 第4组 x4 x4 x4 ③每天最多背诵14首，最少背诵4首． 解答下列问题： （1）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的可能取值为　 　 ；（写出一种即可） （2）7天后，小云背诵的诗词最多为　 　 首． 8．欣欣用绳子做手工．她发现将绳子如图放置，沿虚线进行裁剪时，很有规律．假设绳子足够长，剪4次时，绳子分成　 　 段；绳子分成37段，需要剪　 　 次． 三．解答题（共12小题） 9．观察下列等式：，把以上三个等式两边分别相加，得． （1）猜想：　 　 ； （2）规律应用：计算； （3）拓展提高：计算． 10．【观察思考】 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 【规律发现】 （1）第5个等式是　 　 ； （2）猜想第n个等式是　 　 （用含n的代数式表示）； 【规律论证】 （3）请证明猜想的第n个等式． 11．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　 　 ； （2）写出你猜想的第n个等式：　 　 （用含n的等式表示），并证明． 12．数学兴趣小组开展探究活动：研究一个判断正整数能否被7整除的规律． 观察归纳： 14÷7＝2；1﹣4×2＝﹣7；﹣7÷7＝﹣1． 168÷7＝24；16﹣8×2＝0；0÷7＝0． 336÷7＝48；33﹣6×2＝21；21÷7＝3． 875÷7＝125；87﹣5×2＝77；77÷7＝11． … 规律发现：对于一个正整数x，有如下判断正整数x能否被7整除的方法：划掉该数的最后一位数字，将剩下的数与划掉的数字的两倍相减得到它们的差．若该差能被7整除，则正整数x能被7整除．否则，正整数x不能被7整除． 规律应用： （1）请用上述方法验证266能否被7整除． （2）兴趣小组的同学按规律把一些三位数整理成如下表格，请你填写表格中横线上的内容： x x的表示 按（2）中操作得到的差，记为M（x） 217 217＝10×21+7 M（217）＝21﹣7×2 945 945＝　 　 M（945）＝　 　 … … … （3）表示100a+10b+c，其中1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，且a，b，c均为整数．利用以上信息说明：当能被7整除时，也能被7整除． 13．用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律，请观察下列关于正整数的等式： 第1个等式：22＝1×3+1； 第2个等式：32＝2×4+1； 第3个等式：42＝3×5+1； 第4个等式：52＝4×6+1； 第5个等式：62＝5×7+1； … （1）直接写出第2025个等式； （2）用含n（n为正整数）的等式表示第n个等式，并利用整式的运算证明这个结论； （3）根据教材的学习经验，用图形的面积验证代数恒等式是常用的方法，请尝试借助图形的面积验证（2）的结论，具体思路是先将边长为（n+1）的正方形（如图1）进行适当分割，再在图2处重新画出拼接的图形（要求在图中标出相应线段的长度）． 14．综合与实践 问题情境 探究日历中的数字规律： 如图1，这是2025年1月份的日历，欢欢在其中画出一个3×3的方框，框出九个数，如图2，计算其中四个数“（c+d）﹣（a+b）”的结果，并探究其规律． 初步分析 （1）计算图2中“（c+d）﹣（a+b）”的结果为 　 　 ． （2）提出猜想：若将3×3的方框移动到图1中的其他位置，猜想“（c+d）﹣（a+b）”的值 　 　 （填“不变”或“改变”）． 数学思考 （3）欢欢认为（1）中的猜想正确，其推理的过程如下，请将其补充完整． 设a＝x，则b＝x+2，c＝x+14，d＝ 　 　 ． （c+d）﹣（a+b）＝ 　 　 ﹣（x+x+2） ＝（ 　 　 ） ＝（ 　 　 ） 所以（c+d）﹣（a+b）的值 　 　 （填“不变”或“改变”）． 拓广探索 （4）如图3，乐乐在日历中用“Y型框”框出四个数．请探究“（c+d）﹣（a+b）”的值，写出结论，并说明理由． 15．【问题提出】 从1，2，3，•••，n（n为整数，且n＞5）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？ 我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手．从中找出解决问题的方法． [特殊化研究] 从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小的结果3（即这3个整数中最小的2个整数的和），最大的结果5（即这3个整数中最大的2个整数的和），从3到5的连续整数的个数为：5﹣3+1＝3，所以共有3种不同的结果． 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 仿照上述过程，类比探索下列问题： （1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，所取2个整数之和的最小值是3，最大值是　 　 ，且这些和为连续的不同整数，所以共有　 　 种不同的结果． （2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n＞5）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有　 　 种不同的结果． [问题解决] 从1，2，3，…，n（n为整数，且n＞5）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果．请写出解答过程． [问题拓展] 从3，4，5，…，n（n为整数，且n＞7）这一组整数中任取5个整数，使得取出的这些整数之和共有121种不同的结果，则n的值为　 　 ． 16．某数学兴趣小组运用数形结合的思想研究出结论：他们继续研究下列用白色圆点和黑色圆点组成的图案中两种圆点的个数问题． 将以上图案中两种圆点的个数统计如下表： 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 第5个图案 …… 黑色圆点的个数 1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 … 白色圆点的个数 （1+1）×2 （3+2）×2 （6+3）×2 （10+4）×2 （15+5）×2 … 根据以上信息，完成下列问题： （1）第6个图案中，白色圆点的个数为　 　 ，黑色圆点的个数为　 　 ． （2）第几个图案中白色圆点的个数与黑色圆点的个数之比为6：5？ 17．下面是小天同学的学习日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 问题解决策略：归纳 问题：将长方形区域分割成三角形的过程：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？ 探索：首先，分析简单图形．如图①研究长方形内有1个点，2个点，3个点，4个点的情形． 长方形内点的个数 1 2 3 4 三角形的个数 4 6 8 10 其次，初步发现规律，几种简单情形的数据如图，发现长方形内点的个数增加1，三角形的个数增加2．因此，当长方形内有35个点时，分得的三角形的个数是4+2×34＝72． 最后，解释并表达规律．当长方形内有n个点时，分得的三角形的个数为…． 小结：在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找相应的规律．初步发现规律后，可以通过更多的情形验证，再考虑一般情况．最后，试着给出合理的解释，并用数学语言简洁地表达规律． 回顾反思 （1）如果长方形内有100个点可以分得　 　 个三角形；一般地，如果长方形内有n个点可分得　 　 个三角形． 请用归纳策略解答下列问题： （2）某类简单化合物中，前6种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．按照这一规律，第60种化合物的分子结构模型中有　 　 个氢原子． （3）探索32025﹣1的个位数字是多少？ 18．二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值．如图是某次考试中三位同学的准考证号的二维码的简易编码（黑色代表1，白色代表0），如图1，是小胡同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转换成十进制数为：1×24+1×23+0×22+0×21+0×20＝24（规定当a≠0时，a0＝1），同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为01110，00111，11100，01101，转换成十进制分别为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813，其中第一行编码“24”和第二行编码“14”表示区域和学校，第三行编码“07”表示班级为07班，第四行编码“28”表示考场号为28，第五行编码“13”表示座位号是13．反之，如果小徐同学的学校编码为15，则15＝0×24+1×23+1×22+1×21+1×20，所以小徐同学的学校编码转换为二进制数为01111，所以对应的第一行五个方格从左向右分别为白，黑，黑，黑，黑． 根据以上内容解决下列问题： （1）若图2是本次考试小张同学的准考证号的二维码的简易编码，则第三行表示的二进制数为 　 　 ，第三行的二进制数转换成十进制数后可得他的班级是几班？ （2）若本次考试中，小杨的准考证号是2919021310，图3是小杨自己绘制的二维码的简易编码，但第二行，第三行，第五行分别少涂黑了几个小正方形，请你通过计算帮他补充完整． 19．综合与实践：生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．比如，我们知道，若用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角，如图1． 【发现问题】： ①如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 　 　 个正六边形的内角； ②平面镶嵌的一个“奥秘”是：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于 　 　 度； 【探究问题】人们为了达到某种图案效果，往往会选择同时用多种不同的正多边形镶嵌平面．那么，是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？请通过计算加以说明； 【解决问题】小明家浴室装修，在墙中央留下了如图2所示的空白区域，经测量该区域完全可以按图3所示的边长为30cm的正三角形瓷砖镶嵌．小明经过市场调查后发现：一块边长为30cm的正三角形瓷砖比一块边长为30cm的正六边形瓷砖便宜45元；用600元购买正三角形瓷砖与用2400元购买正六边形瓷砖的数量相等． ①正三角形瓷砖的单价为 　 　 元，正六边形瓷砖的单价为 　 　 元； ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为30cm的正三角形瓷砖和边长为30cm的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白区域全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要 　 　 元． 20． 如何密铺地板 活动小明家进行装修，想给厨房和客厅的地板既不留空隙、又不重叠地铺任务满地砖（要求：地砖不能切割）． 活动过程 素材1 装修公司提供了如下几种规格的地砖及其价格： 形状 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正八边形 边长 0.5米 0.5米 0.5米 0.5米 0.5米 价格 30元/块 40元/块 120元/块 150元/块 180元/块 素材2 如图1，小明家厨房地面是一个长为3米，宽为2.5米的长方形．素材2如图2，小明家客厅中间区域想设计为各边长均为3米的平行四边形，且∠ABC＝60°． 任务1：小明想用装修公司提供的现有规格中的同一种正多边形地砖铺满厨房地板，请你帮他算出该方案的费用． 任务2：小明想用两种不同的正多边形地砖铺满图2区域，他能实现吗？若能，请你帮他设计一种最省钱的方案，在图2中画出示意图，并计算出最省的费用；若不能，请说明理由． 参考答案 一．选择题（共4小题） 1．下面两个多位数1248624…，6248624…，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位对第2位．数字再进行如上操作得到第3位数字……后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前2020位的所有数字之和是（　　） A．10091 B．10095 C．10099 D．10107 【解答】解：由题意得，第一位数字是3时，排列如下：362486248…，从第2位数字6开始，“6248”依次循环，∵（2020﹣1）÷4＝504……3，∴这个多位数前2020位的所有数字共有504个循环组，最后3位数字是624，504×（6+2+4+8）+3+6+2+4＝504×20+15＝10095． 故选：B． 2．有一个数值转换机，原理如图所示，若开始输入的x的值是1，可发现第1次输出的结果是8，第2次输出的结果是4，…，依次继续下去，第2024次输出的结果是（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 【解答】解：第1次输出的结果是1+7＝8，第2次输出的结果是，第3次输出的结果是，第4次输出的结果是，第5次输出的结果是1+7＝8，⋯，以此类推，从第一次开始，输出结果为8、4、2、1，每4次一循环，∵2024÷4＝506，∴第2024次输出的结果是1， 故选：D． 3．根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，a﹣b﹣c的值是（　　） A．﹣512 B．﹣514 C．510 D．512 【解答】解：观察所给图形可知，左上角的数字依次为：﹣2，4，﹣8，16，…，所以第n个图形中左上角的数字可表示为：（﹣2）n．右上角的数字比同一个图形中左上角的数字大2，所以第n个图形中右上角的数字可表示为：（﹣2）n+2．下方的数字为同一个图形中左上角数字的，所以第n个图形中下方的数字可表示为：．当n＝10时，（﹣2）n＝（﹣2）10＝1024，（﹣2）n+2＝1026，， 所以a﹣b﹣c＝1024﹣1026﹣512＝﹣514． 故选：B． 4．一张纸的厚度为0.1mm，如图，将其对折、压平，称作第1次操作，再将其对折、压平，称作第2次操作…假设这张纸足够大，每一次也能压得足够平整，如此重复，则第10次操作后的厚度最接近于（　　） A．数学课本的厚度 B．班级中课桌的高度 C．一层楼房的高度 D．一支中性笔的长度 【解答】解：第1次操作所得的厚度为：0.1×2＝0.1×21；第2次操作所得的厚度为：0.1×2×2＝0.1×22；第3次操作所得的厚度为：0.1×2×2×2＝0.1×23；……，则第n次操作所得的厚度为：0.1×2n；∴第10次操作所得的厚度为：0.1×210＝0.1×1024＝102.4（mm）＝10.24（cm），则接近于一支中性笔的长度． 故选：D． 二．填空题（共4小题） 5．小茗同学爱好气象研究．小茗用数列{an}记录其生活城市2022年5月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记ak＝1；当第k天没下过雨时，记ak＝﹣1（1≤k≤31）．他用数列{bn}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记bk＝1；当预报第k天没有雨时，记bk＝﹣1（1≤k≤31）记录完毕后，小茗计算出a1b1+a2b2+…+a31b31＝m，若已知5月气象台预报准确27天，则m＝　23　 ；若a1b1+a2b2+… +akbk＝n（1≤k≤31），则气象台k天中预报准确的天数为　　 （用n，k表示）． 【解答】解：依题意，若akbk＝1（1≤k≤31），则表示第k天预报正确，若akbk＝﹣1（1≤k≤31），则表示第k天预报错误， 若a1b1+a2b2+…+akbk＝m，假设其中有x天预报正确，即等式的左边有x个1，（k﹣x）个﹣1，即x﹣（k﹣x）＝m， 解得， 即气象台预报准确的天数为， ∴若a1b1+a2b2+⋯+a31b31＝m， 则气象台预报准确的天数为（天）， 解得m＝23， 故答案为：23，． 6．我们规定一个新数“i”，使其满足i1＝i，i2＝﹣1，并进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1，…那么i9＝ 　i　 ，i1+i2+i3+…+i2026+i2027＝ 　﹣1　 ． 【解答】解：i9＝i8•i＝（i2）4•i＝（﹣1）4•i＝i； i1+i2+i3+…+i2026+i2027＝i+（﹣1）+（﹣i）+1+...+i+（﹣1）+（﹣i）＝﹣1． 故答案为：i；﹣1． 7．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第i组有xi首，i＝1，2，3，4； ②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4； 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 x1 x1 x1 第2组 x2 x2 x2 第3组 x3 x3 x3 第4组 x4 x4 x4 ③每天最多背诵14首，最少背诵4首． 解答下列问题： （1）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的可能取值为　4，5，6　 ；（写出一种即可） （2）7天后，小云背诵的诗词最多为　23　 首． 【解答】解：（1）由题意可得：x1≥4，x3≥4，x4≥4， ∴x1+x3≥8①， ∵x1+x3+x4≤14②， 把①代入②得，x4≤6， ∴4≤x4≤6， ∴x4的所有可能取值为4，5，6， 故答案为：4，5，6； （2）由题意可得：第2天，第3天，第4天，第5天得，x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4≤14③，x2+x4≤14④， ①+②+④﹣③得，3x2≤28， ∴， ∴， 即， ∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首， 故答案为：23． 8．欣欣用绳子做手工．她发现将绳子如图放置，沿虚线进行裁剪时，很有规律．假设绳子足够长，剪4次时，绳子分成　13　 段；绳子分成37段，需要剪　12　 次． 【解答】解：由所给图形可知， 剪1次时，绳子被分成的段数为：4＝1×3+1； 剪2次时，绳子被分成的段数为：7＝2×3+1； 剪3次时，绳子被分成的段数为：10＝3×3+1； …， 所以剪n次时，绳子被分成的段数为（3n+1）段． 当n＝4时， 3n+1＝3×4+1＝13（段）， 即剪4次时，绳子被分成的段数为13段． 令3n+1＝37， 解得n＝12， 即剪12次时，绳子被分成的段数为37段． 故答案为：13，12． 三．解答题（共12小题） 9．观察下列等式：，把以上三个等式两边分别相加，得． （1）猜想：　　 ； （2）规律应用：计算； （3）拓展提高：计算． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）原式 ； （3）根据（1）的规律，可知， 故原式 ． 10．【观察思考】 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 【规律发现】 （1）第5个等式是　　 ； （2）猜想第n个等式是　　 （用含n的代数式表示）； 【规律论证】 （3）请证明猜想的第n个等式． 【解答】（1）解：根据题意可得：第5个等式是：， 故答案为：； （2）解：猜想第 n个等式是， 故答案为：； （3）证明：等式左边 ， 左边＝右边， ∴等式成立． 11．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　　 ； （2）写出你猜想的第n个等式：　　 （用含n的等式表示），并证明． 【解答】解：（1）， 故答案为：． （2）第n个等式：， 证明如下： 等式左边（n﹣2） ＝等式右边， 故等式成立． 12．数学兴趣小组开展探究活动：研究一个判断正整数能否被7整除的规律． 观察归纳： 14÷7＝2；1﹣4×2＝﹣7；﹣7÷7＝﹣1． 168÷7＝24；16﹣8×2＝0；0÷7＝0． 336÷7＝48；33﹣6×2＝21；21÷7＝3． 875÷7＝125；87﹣5×2＝77；77÷7＝11． … 规律发现：对于一个正整数x，有如下判断正整数x能否被7整除的方法：划掉该数的最后一位数字，将剩下的数与划掉的数字的两倍相减得到它们的差．若该差能被7整除，则正整数x能被7整除．否则，正整数x不能被7整除． 规律应用： （1）请用上述方法验证266能否被7整除． （2）兴趣小组的同学按规律把一些三位数整理成如下表格，请你填写表格中横线上的内容： x x的表示 按（2）中操作得到的差，记为M（x） 217 217＝10×21+7 M（217）＝21﹣7×2 945 945＝　10×94+5　 M（945）＝　94﹣5×2　 … … … （3）表示100a+10b+c，其中1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，且a，b，c均为整数．利用以上信息说明：当能被7整除时，也能被7整除． 【解答】解：（1）由题意可得：26﹣6×2＝14， 14÷7＝2， ∴266能被7整除； （2）由题意可得： 945＝10×94+5， M（945）＝94﹣5×2， 故答案为：10×94+5，94﹣5×2； （3）由题意得：， ∴， ∵， ∴， 当能被7整除时，也是7的倍数，即是7的倍数， ∴也是7的倍数，能被7整除， ∴当能被7整除时，也能被7整除． 13．用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律，请观察下列关于正整数的等式： 第1个等式：22＝1×3+1； 第2个等式：32＝2×4+1； 第3个等式：42＝3×5+1； 第4个等式：52＝4×6+1； 第5个等式：62＝5×7+1； … （1）直接写出第2025个等式； （2）用含n（n为正整数）的等式表示第n个等式，并利用整式的运算证明这个结论； （3）根据教材的学习经验，用图形的面积验证代数恒等式是常用的方法，请尝试借助图形的面积验证（2）的结论，具体思路是先将边长为（n+1）的正方形（如图1）进行适当分割，再在图2处重新画出拼接的图形（要求在图中标出相应线段的长度）． 【解答】解：（1）由题意可得：第2025个等式为20262＝2025×2027+1； （2）由题意可得：用含n（n为正整数）的等式表示第n个等式为（n+1）2＝n（n+2）+1， 证明：∵左边＝（n+1）2＝n2+2n+1，右边＝n（n+2）+1＝n2+2n+1， ∴左边＝右边； （3）如图： ． 14．综合与实践 问题情境 探究日历中的数字规律： 如图1，这是2025年1月份的日历，欢欢在其中画出一个3×3的方框，框出九个数，如图2，计算其中四个数“（c+d）﹣（a+b）”的结果，并探究其规律． 初步分析 （1）计算图2中“（c+d）﹣（a+b）”的结果为 　28　 ． （2）提出猜想：若将3×3的方框移动到图1中的其他位置，猜想“（c+d）﹣（a+b）”的值 　不变　 （填“不变”或“改变”）． 数学思考 （3）欢欢认为（1）中的猜想正确，其推理的过程如下，请将其补充完整． 设a＝x，则b＝x+2，c＝x+14，d＝ 　x+16　 ． （c+d）﹣（a+b）＝ 　（x+14+x+16）　 ﹣（x+x+2） ＝（ 　x+14+x+16﹣x﹣x﹣2　 ） ＝（ 　28　 ） 所以（c+d）﹣（a+b）的值 　不变　 （填“不变”或“改变”）． 拓广探索 （4）如图3，乐乐在日历中用“Y型框”框出四个数．请探究“（c+d）﹣（a+b）”的值，写出结论，并说明理由． 【解答】解：（1）由图可知，c﹣a＝14，d﹣b＝14， ∴（c+d）﹣（a+b）＝（c﹣a）+（d﹣b）＝14+14＝28； 故答案为：28； （2）将3×3的方框移动到图1中的其他位置，仍然可得c﹣a＝14，d﹣b＝14， ∴（c+d）﹣（a+b）＝（c﹣a）+（d﹣b）＝14+14＝28； 故答案为：不变； （3）设a＝x，则b＝x+2，c＝x+14，d＝x+16， （c+d）﹣（a+b）＝（x+14+x+16）﹣（x+x+2） ＝x+14+x+16﹣x﹣x﹣2 ＝28； 所以（c+d）﹣（a+b）的值不变． 故答案为：x+16，（x+14+x+16），x+14+x+16﹣x﹣x﹣2，28，不变； （4）“（c+d）﹣（a+b）”的值为21，理由如下： 设a＝x，则b＝x+2，c＝x+8，d＝x+15， ∴（c+d）﹣（a+b） ＝（x+8+x+15）﹣（x+x+2） ＝x+8+x+15﹣x﹣x﹣2 ＝21． 15．【问题提出】 从1，2，3，•••，n（n为整数，且n＞5）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？ 我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手．从中找出解决问题的方法． [特殊化研究] 从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小的结果3（即这3个整数中最小的2个整数的和），最大的结果5（即这3个整数中最大的2个整数的和），从3到5的连续整数的个数为：5﹣3+1＝3，所以共有3种不同的结果． 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 仿照上述过程，类比探索下列问题： （1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，所取2个整数之和的最小值是3，最大值是　9　 ，且这些和为连续的不同整数，所以共有　7　 种不同的结果． （2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n＞5）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有　（3n﹣8）　 种不同的结果． [问题解决] 从1，2，3，…，n（n为整数，且n＞5）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果．请写出解答过程． [问题拓展] 从3，4，5，…，n（n为整数，且n＞7）这一组整数中任取5个整数，使得取出的这些整数之和共有121种不同的结果，则n的值为　31　 ． 【解答】解：[特殊化研究] （1）由题知，2个整数之和最大值为：4+5＝9， 则这2个整数之和共有9﹣3+1＝7种不同情况， 故答案为：9，7； （2）由题知，3个整数之和最小值为：1+2+3＝6，最大值为：n+（n﹣1）+（n﹣2）＝3n﹣3， 则这3个整数之和共有不同结果的种数为：3n﹣3﹣6+1＝（3n﹣8）种， 故答案为：（3n﹣8）； [问题解决] 从1，2，3，•••，n（n为整数，且n＞5）这n个整数中任取5个整数， 则这5个整数之和的最小值为：1+2+3+4+5＝15， 最大值为n+（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+（n﹣4）＝5n﹣10， 则这5个整数之和共有不同结果的种数为：5n﹣10﹣15+1＝（5n﹣24）种； [问题拓展] 从3，4，5，•••，n（n为整数，且n＞7）这n个整数中任取5个整数， 则这5个整数之和的最小值为：3+4+5+6+7＝25， 最大值为n+（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+（n﹣4）＝5n﹣10， 则这5个整数之和共有不同结果的种数为：5n﹣10﹣25+1＝（5n﹣34）种， ∴5n﹣34＝121， 解得：n＝31． 故答案为：31． 16．某数学兴趣小组运用数形结合的思想研究出结论：他们继续研究下列用白色圆点和黑色圆点组成的图案中两种圆点的个数问题． 将以上图案中两种圆点的个数统计如下表： 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 第5个图案 …… 黑色圆点的个数 1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 … 白色圆点的个数 （1+1）×2 （3+2）×2 （6+3）×2 （10+4）×2 （15+5）×2 … 根据以上信息，完成下列问题： （1）第6个图案中，白色圆点的个数为　54　 ，黑色圆点的个数为　42　 ． （2）第几个图案中白色圆点的个数与黑色圆点的个数之比为6：5？ 【解答】解：（1）根据两种圆点的个数统计表可知，第6个图案中，白色圆点的个数为：（21+6）×2＝54，黑色圆点的个数为：6×7＝42； 故答案为：54，42； （2）由题意归纳可得，第n个图案中，白色圆点的个数为， 黑色圆点的个数为n（n+1）＝n2+n， ∴5（n2+3n）＝6（n2+n）， ∴n2﹣9n＝0， 解得n＝9或n＝0（不合题意，舍去）， 答：第9个图案中白色圆点的个数与黑色圆点的个数之比为6：5． 17．下面是小天同学的学习日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 问题解决策略：归纳 问题：将长方形区域分割成三角形的过程：在长方形内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？ 探索：首先，分析简单图形．如图①研究长方形内有1个点，2个点，3个点，4个点的情形． 长方形内点的个数 1 2 3 4 三角形的个数 4 6 8 10 其次，初步发现规律，几种简单情形的数据如图，发现长方形内点的个数增加1，三角形的个数增加2．因此，当长方形内有35个点时，分得的三角形的个数是4+2×34＝72． 最后，解释并表达规律．当长方形内有n个点时，分得的三角形的个数为…． 小结：在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找相应的规律．初步发现规律后，可以通过更多的情形验证，再考虑一般情况．最后，试着给出合理的解释，并用数学语言简洁地表达规律． 回顾反思 （1）如果长方形内有100个点可以分得　202　 个三角形；一般地，如果长方形内有n个点可分得　2n+2　 个三角形． 请用归纳策略解答下列问题： （2）某类简单化合物中，前6种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．按照这一规律，第60种化合物的分子结构模型中有　122　 个氢原子． （3）探索32025﹣1的个位数字是多少？ 【解答】解：（1）按照小天发现的规律，长方形内有100个点可以分得4+2×99＝202， 长方形内有n个点可分得4+2（n﹣1）＝2n+2， 故答案为：202，2n+2． （2）由前6种化合物的分子结构模型图可得 碳原子的个数 1 2 3 4 5 6 氢原子的个数 4 6 8 10 12 14 发现碳原子的个数增加1，氢原子的个数增加2， 60种化合物的分子结构模型中有4+2×59＝122（个）， 故答案为：122． （3）31﹣1＝2，32﹣1＝8，33﹣1＝26，34﹣1＝80，35﹣1＝242，36﹣1＝728⋯， 由此可以发现，个位数字按照2、8、6、0顺序，四个一循环， 2025÷4＝506⋯1， 所以32025﹣1的个位数是2， 故答案为：2． 18．二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值．如图是某次考试中三位同学的准考证号的二维码的简易编码（黑色代表1，白色代表0），如图1，是小胡同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转换成十进制数为：1×24+1×23+0×22+0×21+0×20＝24（规定当a≠0时，a0＝1），同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为01110，00111，11100，01101，转换成十进制分别为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813，其中第一行编码“24”和第二行编码“14”表示区域和学校，第三行编码“07”表示班级为07班，第四行编码“28”表示考场号为28，第五行编码“13”表示座位号是13．反之，如果小徐同学的学校编码为15，则15＝0×24+1×23+1×22+1×21+1×20，所以小徐同学的学校编码转换为二进制数为01111，所以对应的第一行五个方格从左向右分别为白，黑，黑，黑，黑． 根据以上内容解决下列问题： （1）若图2是本次考试小张同学的准考证号的二维码的简易编码，则第三行表示的二进制数为 　11011　 ，第三行的二进制数转换成十进制数后可得他的班级是几班？ （2）若本次考试中，小杨的准考证号是2919021310，图3是小杨自己绘制的二维码的简易编码，但第二行，第三行，第五行分别少涂黑了几个小正方形，请你通过计算帮他补充完整． 【解答】解：（1）二进制的数字11011，转换成十进制数为：1×24+1×23+0×22+1×21+1×20＝27， 故答案为：11011，27； （2）由小杨的准考证号是2919021310可得， 第2行的十进制数是19，而19＝1×24+0×23+0×22+1×21+1×20，写成二进制为10011，因此第2行倒数第2格需要涂色； 第3行的十进制数是02，而2＝0×24+0×23+0×22+1×21+0×20，写成二进制为00010，因此第3行倒数第2格需要涂色； 第5行的十进制数是10，而10＝0×24+1×23+0×22+1×21+0×20，写成二进制为01010，因此第5行倒数第2格需要涂色； 所以第2行，第3行，第5行分别少涂1个小正方形，正确的画图如下： 19．综合与实践：生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．比如，我们知道，若用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角，如图1． 【发现问题】： ①如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 　3　 个正六边形的内角； ②平面镶嵌的一个“奥秘”是：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于 　360　 度； 【探究问题】人们为了达到某种图案效果，往往会选择同时用多种不同的正多边形镶嵌平面．那么，是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？请通过计算加以说明； 【解决问题】小明家浴室装修，在墙中央留下了如图2所示的空白区域，经测量该区域完全可以按图3所示的边长为30cm的正三角形瓷砖镶嵌．小明经过市场调查后发现：一块边长为30cm的正三角形瓷砖比一块边长为30cm的正六边形瓷砖便宜45元；用600元购买正三角形瓷砖与用2400元购买正六边形瓷砖的数量相等． ①正三角形瓷砖的单价为 　15　 元，正六边形瓷砖的单价为 　60　 元； ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为30cm的正三角形瓷砖和边长为30cm的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白区域全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要 　840　 元． 【解答】解：【发现问题】①根据用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角，恰好是360°， 正六边形的一个内角为， 用； 故答案为：3； ②根据题意，得拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°， 故答案为：360； 【探究问题】设x个正三角形和y个正六边形进行镶嵌，根据题意， 得60x+120y＝360°x+2y＝6， 故， 当x＝2时，，符合题意； 当x＝4时，，符合题意； 故可以用2个正三角形和2个正六边形镶嵌或4个正三角形和1个正六边形镶嵌． 【解决问题】①正三角形瓷砖价格为x元，则正六边形瓷砖价格（x+45）元， 根据题意，得， 解得x＝15， 经检验，x＝15是原方程的根， 此时x+45＝60， 故正三角形瓷砖价格为15元，则正六边形瓷砖价格60元， 故答案为：15，60； ②根据题意，一共需要瓷砖13×6＝78块， 设一块正三角形瓷砖的面积为m cm2，则一块正六边形瓷砖的面积为6m cm2，空白面积为78m cm2， 设购买正三角形瓷砖x块，则购买正六边形瓷砖y块，总费用为w元， 根据题意，得w＝60y+15x，xm+y×6m＝78m， 故x+y×6＝78， 故6y＝78﹣x， 故w＝10（78﹣x）+15x＝5x+780， 由k＝5＞0，得w随x的增大而增大， 根据题意，得用2个正三角形和2个正六边形镶嵌或4个正三角形和1个正六边形镶嵌． 故， 此时x＝6×2＝12， ∴当x＝12时，w取得最小值，且最小值为w＝5×12+780＝840， 故当x＝12时，w取得最小值，且最小费用为840元； 故答案为：840． 20． 如何密铺地板 活动小明家进行装修，想给厨房和客厅的地板既不留空隙、又不重叠地铺任务满地砖（要求：地砖不能切割）． 活动过程 素材1 装修公司提供了如下几种规格的地砖及其价格： 形状 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正八边形 边长 0.5米 0.5米 0.5米 0.5米 0.5米 价格 30元/块 40元/块 120元/块 150元/块 180元/块 素材2 如图1，小明家厨房地面是一个长为3米，宽为2.5米的长方形．素材2如图2，小明家客厅中间区域想设计为各边长均为3米的平行四边形，且∠ABC＝60°． 任务1：小明想用装修公司提供的现有规格中的同一种正多边形地砖铺满厨房地板，请你帮他算出该方案的费用． 任务2：小明想用两种不同的正多边形地砖铺满图2区域，他能实现吗？若能，请你帮他设计一种最省钱的方案，在图2中画出示意图，并计算出最省的费用；若不能，请说明理由． 【解答】解：任务1：∵厨房地板是长方形，且要求用同一种正多边形铺设， ∴只能用正方形． ∵每块正方形的面积为0.25平方米， ∴需正方形3×2.5÷0.25＝30（块）． ∴正方形总费用为30×40＝1200（元）． 任务2：能实现，理由如下： ∵∠ABC＝60°，且正三角形每个内角60°，正六边形每个内角120°， ∴选正三角形与正六边形来铺设地板． 如图所示，用9块正六边形和18块正三角形地砖铺设费用最少． ∴总费用为9×150+18×30＝1890（元）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/4 18:08:08；用户：帐号65；邮箱：hxnts65@xyh.com；学号：37372741 学科网（北京）股份有限公司 $