精品解析：甘肃武威市河西成功学校2025-2026学年八年级下学期第一次学情自测数学试卷

成功学校2025－2026学年第二学期第一次月考 河西初二 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 A卷（30分） 一、单选题（每道题3分，共12分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件逐一判断选项即可，最简二次根式需满足两个要求：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵最简二次根式需同时满足两个条件：、被开方数不含分母；、被开方数不含能开得尽方的因数或因式， 对选项逐一判断： 、被开方数为，含分母，不满足条件，不是最简二次根式，不符合题意； 、被开方数为，是能开得尽方的平方数，不满足条件，不是最简二次根式，不符合题意； 、被开方数为，不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足两个条件，是最简二次根式，符合题意； 、被开方数为，含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式，不符合题意． 2. 下列三组数中，是勾股数的是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，只需逐一验证各选项即可． 【详解】解：对选项A，∵，，， ∴A不是勾股数； 对选项B，∵，，， ∴B不是勾股数； 对选项C，∵，， ∴，且三个数均为正整数， ∴C是勾股数； 对选项D，∵，，， ∴D不是勾股数． 3. 计算的结果为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的减法运算，根据二次根式的减法运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 4. 长方形的长和宽如图所示，则该长方形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握二次根式乘法法则． 根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 二、填空题（每道题3分，共6分） 5. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 6. 若要使有意义，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：由于二次根式有意义的条件为被开方数是非负数．则，解得：． 三、计算题（每道题4分，共12分） 7. 计算： （1）． （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式，得到结果； （）先化简、对分母有理化，计算乘法后合并同类二次根式，得到； （）先化简，再分别计算二次根式的除法和乘法，最后做减法，得到结果． 【小问1详解】 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ． B卷（90分） 三、单选题（每道题3分，共24分） 8. 下列各式是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，需依据“形如且根指数为2的式子是二次根式”来判断各选项即可． 【详解】解：A选项：，被开方数为负数，式子无意义，不是二次根式，故A不符合题意； B选项：的根指数为2（省略不写），被开方数，符合二次根式定义，是二次根式，故B符合题意； C选项：的根指数为3，属于三次根式，不是二次根式，故C不符合题意； D选项：，，，被开方数为负，式子无意义，不是二次根式，故D不符合题意． 故选：B． 9. 计算：的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：原式为同级运算，从左到右依次计算， ∵， ∴ 原式． 10. 对于，关于、的取值正确的说法是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法法则，当，时，． 【详解】解：当，时，才成立． 11. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算． 依据二次根式的运算法则，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能直接相加，原计算不正确，不符合题意； B．与不是同类二次根式，不能直接相加，原计算不正确，不符合题意； C．与不能直接相减，原计算不正确，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意． 故选：D． 12. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 25 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质． 利用这一性质将等式转化为绝对值方程，进而求解的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 13. 估计的值在（ ） A. 5与6之间 B. 6与7之间 C. 7与8之间 D. 8与9之间 【答案】D 【解析】 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再通过比较被开方数和相邻完全平方数的大小，估算原式的取值范围． 【详解】解：， ∵，，且， ∴，即， ∴原式的值在与之间． 14. 下列各式中，化简后能与合并的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】能与合并的二次根式是化简后被开方数为的同类二次根式，只需将各选项化为最简二次根式，再判断被开方数即可. 【详解】解：，被开方数为，与被开方数不同，不能合并； ，被开方数为，与被开方数不同，不能合并； ，被开方数为，与被开方数不同，不能合并； ，被开方数为，与被开方数相同，可以合并. 15. 如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理计算斜边长度，从而得到两棋子之间的距离． 【详解】解：根据题意得，“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为：． 故选：C． 四、填空题（每道题3分，共18分） 16. 已知，，则的值为______． 【答案】 1 【解析】 【分析】本题考查了运用平方差公式进行运算，已知字母的值，化简求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用平方差公式计算乘积． 【详解】解：， 故答案为：． 17. 化简：_______． 【答案】## 【解析】 【详解】解：根据二次根式的性质可得， ，即 ． 18. 请写一个二次根式___________，使它与是同类二次根式． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则它们是同类二次根式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，是最简二次根式，被开方数为2， 因此只需写出一个被开方数为2的最简二次根式，例如； 故答案为：（答案不唯一） 19. 式子有意义的条件是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，列不等式求解即可． 【详解】解：要使式子有意义，则， 解得且． 20. 分母有理化：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的分母有理化，关键是确定分母的有理化因式，通过分子分母同乘该因式消去分母中的根号． 【详解】解：分子分母同乘，得原式． 故答案为：． 21. 如图，在数轴上点表示的实数是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与数轴上实数的对应关系，关键是利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度，再结合点的位置确定其符号． 【详解】解：由图可知，直角三角形的两条直角边长度分别为2和1， 根据勾股定理，斜边的长度为； ∵点在原点的左侧，且原点到点的距离等于该斜边的长度， ∴点表示的实数是． 故答案为：． 五、解答题（共48分） 22. 计算 （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（）先分别计算二次根式乘法与二次根式的化简，再进行减法运算，得到结果； （）运用乘法分配律和完全平方公式展开，最后合并同类项得到结果； （）先将所有二次根式化为最简形式，再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号，最后合并同类二次根式得到结果； （）先分母有理化，并用平方差公式计算乘法，最后化简计算得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 23. 已知中，，为直角边，为斜边． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （）利用勾股定理直接计算即可； （）利用勾股定理直接计算即可； 【小问1详解】 解：∵为直角边，为斜边，， ∴； 【小问2详解】 解：∵为直角边，为斜边，， ∴． 24. 已知，分别求下列代数式的值． （1）． （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴ 【小问2详解】 解：∵， 25. 定义一种新运算：，规定，试求． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法以及新定义运算． 根据题意得到，进而计算即可． 【详解】解：． 26. 陕西的关中平原灌溉渠系是国家级大型水利工程的重要组成部分，对保障粮食安全至关重要．现计划扩建开挖某段干渠，如图，计划从干渠A处向C，D，B三地分流（点C，D，B在同一条直线上），修三条支渠，，，且．若，，，求支渠的长． 【答案】支渠的长是 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理求出，得到，再由勾股定理计算即可． 【详解】解：， ． ，， ． ． ． 答：支渠的长是． 27. 如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长． （2）已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可； （2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可． 【小问1详解】 解：长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． 【小问2详解】 解：由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元． C卷（30分） 七、填空题（每道题5分，共10分） 28. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，解题的关键是根据勾股定理得到． 由勾股定理得，再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， 如图所示， ∴， ∵阴影部分的面积为，与正方形等底等高， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 29. 已知：，为实数，且，则的化简结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件确定x的值，进而得到y的取值范围，再利用二次根式性质和绝对值性质化简原式． 【详解】解：根据题意得： ， 解得， 将代入不等式，可得， 由，可得，， 则 ． 八、解答题（共20分） 30. 我国古代著名数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，则其中三角形的面积．古希腊几何学家海伦提出如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，求三角形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积计算，二次根式的乘法； 根据题意先求出，再代入海伦公式计算即可． 【详解】解：由题意知：， 则三角形的面积 ． 31. 阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；1． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简和． （2）化简：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）分子，分母同乘，再根据二次根式的运算法则，即可化简；分子，分母同乘，再利用平方差公式和约分，化简即可； （2）首先将各项分母有理化，然后相加求解． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成功学校2025－2026学年第二学期第一次月考 河西初二 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 A卷（30分） 一、单选题（每道题3分，共12分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列三组数中，是勾股数的是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 计算的结果为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 4. 长方形的长和宽如图所示，则该长方形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 二、填空题（每道题3分，共6分） 5. 计算：_______． 6. 若要使有意义，则的取值范围为_____. 三、计算题（每道题4分，共12分） 7. 计算： （1）． （2）； （3）． B卷（90分） 三、单选题（每道题3分，共24分） 8. 下列各式是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 9. 计算：的值为（ ） A. B. C. D. 10. 对于，关于、的取值正确的说法是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 25 D. 5 13. 估计的值在（ ） A. 5与6之间 B. 6与7之间 C. 7与8之间 D. 8与9之间 14. 下列各式中，化简后能与合并的是（　　） A. B. C. D. 15. 如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 四、填空题（每道题3分，共18分） 16. 已知，，则的值为______． 17. 化简：_______． 18. 请写一个二次根式___________，使它与是同类二次根式． 19. 式子有意义的条件是________． 20. 分母有理化：______． 21. 如图，在数轴上点表示的实数是_____________． 五、解答题（共48分） 22. 计算 （1）． （2）． （3）． （4）． 23. 已知中，，为直角边，为斜边． （1）若，求； （2）若，求． 24. 已知，分别求下列代数式的值． （1）． （2）． 25. 定义一种新运算：，规定，试求． 26. 陕西的关中平原灌溉渠系是国家级大型水利工程的重要组成部分，对保障粮食安全至关重要．现计划扩建开挖某段干渠，如图，计划从干渠A处向C，D，B三地分流（点C，D，B在同一条直线上），修三条支渠，，，且．若，，，求支渠的长． 27. 如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长． （2）已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ C卷（30分） 七、填空题（每道题5分，共10分） 28. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为___________． 29. 已知：，为实数，且，则的化简结果为______． 八、解答题（共20分） 30. 我国古代著名数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，则其中三角形的面积．古希腊几何学家海伦提出如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，求三角形的面积． 31. 阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；1． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简和． （2）化简：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $