精品解析：甘肃省武威市凉州区凉州区西营镇联考2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题

2024-2025学年第二学期第一次质量检测试卷 八年级 数学 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次根式化成最简结果为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，那么可化简为（ ） A. B. C. D. 5. 若是正整数，则满足条件的最小正整数值为（ ）． A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 6. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列选项中的无理数位于7和8中间的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，．以和为边向的外侧作等边和等边，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，在数轴上点表示的数为，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在的网格中，每个正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论：①；②是直角三角形；③的面积为10，其中正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 当时，二次根式的值为___________． 12. 计算 的结果是____________． 13. 计算的结果为_________． 14. 若与最简二次根式可以合并，则的值为_________． 15. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_______. 16. 已知，则___________． 17. 如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 18. 在中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则这样的三角形的面积是__________ 三、解答题（共66分） 19. 在的网格中作出，使点A，点B，点C都在格点上，且，，． 20. 计算： （1）． （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 在一个边长为的正方形木板的内部挖去一个长为、宽为的长方形，求剩余部分木板的面积． 23. 如图，在中，，平分交于点D，过点D作于点E． （1）求证：． （2）若，求的长． 24. 如图，在四边形中，，．现沿着对角线翻折，点落在点处，与相交于点．若，． （1）求证：． （2）求的长． 25. 已知在中，，，，求的长． 26. 在中，，平分，是边上的高，点E在边上，连接． （1）若，求的度数． （2）当时，求的长． 27. 在中，分别为边上的两动点， （1）如图，过点作分别交于点，当时，求证：； （2）如图，过点作交的延长线于点，是边上的一动点，且，以为斜边向左作等腰，连接，求证：； （3）如图，以为边向左作等边，连接，当时，且点在直线上运动时，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期第一次质量检测试卷 八年级 数学 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，是二次根式，故不符合题意； B．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意； C．不是二次根式，故不符合题意； D．是二次根式，故符合题意． 故选D． 2. 二次根式化成最简结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的运算，根据合并同类项法则、单项式乘以单项式的运算法则、二次根式的乘除法运算法则分别计算即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选：． 4. 已知，那么可化简为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可． 【详解】解：，， ， 原式， 故选：C． 5. 若是正整数，则满足条件的最小正整数值为（ ）． A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先化简，然后依据是正整数可得到问题的答案． 【详解】解：， ∵是正整数， ∴为完全平方数， ∴的最小值是． 故选：D. 【点睛】本题主要考查的是二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 6. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．先化简二次根式，然后同类二次根式的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故不符合题意； B、，与是同类二次根式，故符合题意； C、与不是同类二次根式，故不符合题意； D、，与不是同类二次根式，故不符合题意； 故选：B． 7. 下列选项中的无理数位于7和8中间的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的化简，根据二次根式比较大小的方法可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴只有在7和8中间， 故选：C． 8. 如图，在中，，，．以和为边向的外侧作等边和等边，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点C作于F，先求出的长，再由等边三角形的性质得到的长，进而求出的长，再证明D、C、F三点共线，可求出，据此利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于F， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴D、C、F三点共线， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，，在数轴上点表示的数为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，两点间的距离，勾股定理，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式． 先根据两点间的距离公式求出，然后根据勾股定理求出，从而求出，再次利用两点间的距离公式列出关于的方程，解方程即可； 【详解】解：如图所示： 点表示的数为，点表示的数为，， ， ， ， ， ， ； 或（不合题意，舍去）， 故选：A 10. 如图，在的网格中，每个正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论：①；②是直角三角形；③的面积为10，其中正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，由勾股定理求出，，即可判定①；由勾股定理的逆定理可判定②；根据三角形的面积公式求出的面积可判定③，据此即可求解，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：，故①正确； ，， ∵， ∴是直角三角形，故②正确； ，故③错误； 故选：A． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 当时，二次根式的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键．将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 12. 计算 的结果是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，正确计算是解题的关键．先根据绝对值、二次根式的性质化简，再合并即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 计算的结果为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘方，直接利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 14. 若与最简二次根式可以合并，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义和二次根式的化简，先把化简成最简的二次根式，即可得到关于t的一元一次方程，求出t即可． 【详解】解：化简：， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， 解得： 15. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_______. 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义列方程即可求出． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， 解得： ∴． 故答案为：7． 16. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，进行解答，即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 17. 如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 18. 在中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则这样的三角形的面积是__________ 【答案】54 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，利用勾股定理逆定理可判断出为直角三角形，然后再求面积即可． 【详解】解：， 为直角三角形， 这个三角形的面积是， 故答案为：54 三、解答题（共66分） 19. 在的网格中作出，使点A，点B，点C都在格点上，且，，． 【答案】 如图所示，为所求， 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与网格，根据题意得，易证是直角三角形，再根据，即可作图． 【详解】解：， ∴三角形是直角三角形，， 20. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式和多形式与二次根式的乘法法则计算，再算加减． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，整式的乘法运算，先计算乘法运算，再合并得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 22. 在一个边长为的正方形木板的内部挖去一个长为、宽为的长方形，求剩余部分木板的面积． 【答案】剩余部分木板的面积为． 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算解应用题，涉及平方差公式、完全平方公式等知识，根据题意，由正方形面积与长方形面积作差可得剩余部分木板的面积，运用平方差公式、完全平方公式先展开，再由二次根式加减运算求解即可得到答案，熟记平方差公式、完全平方公式是解决问题的关键． 【详解】解： ， 答：剩余部分木板的面积为． 23. 如图，在中，，平分交于点D，过点D作于点E． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定，角平分线的定义，熟知勾股定理和全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）由角平分线的性质可得，再利用即可证明； （2）直接利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵平分，，， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：在中，， ∴． 24. 如图，在四边形中，，．现沿着对角线翻折，点落在点处，与相交于点．若，． （1）求证：． （2）求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，勾股定理的应用； （1）由平行线的性质证明，由轴对称证明，可得，从而可得结论； （2）设，而，，可得，，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 由翻折的性质可知， ， ∴， ； 【小问2详解】 解：设，而，， ∴，， ∵，， ∴， 解得：； ∴； 25. 已知在中，，，，求的长． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可解答． 【详解】解：在中，， ， 又，， ． 26. 在中，，平分，是边上的高，点E在边上，连接． （1）若，求的度数． （2）当时，求的长． 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】（1）先根据三角形的高得，根据直角三角形性质得，根据角平分线定义得； （2）过点E作于点F，根据角平分线性质得，可得，得，，求出，设，则，根据，得，解得，根据三线合一，得． 【小问1详解】 解：∵在中，是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； 【小问2详解】 解：过点E作于点F，则， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵，平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形．熟练掌握等腰三角形性质，角平分线定义和性质，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，是解题的关键． 27. 在中，分别为边上的两动点， （1）如图，过点作分别交于点，当时，求证：； （2）如图，过点作交的延长线于点，是边上的一动点，且，以为斜边向左作等腰，连接，求证：； （3）如图，以为边向左作等边，连接，当时，且点在直线上运动时，直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余及等腰三角形的性质证明，再由得，再根据，即可证明； （2）过点作交于点，连接，先证明，可得，，可得，最后证明，利用全等三角形的性质即可证明； （3）如图，先证明，可得，从而是直线上的一个动点，根矩垂线段最短可得有最小值为，最后结合勾股定理及直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，过点作交于点，连接，     ， ， 又， ， 又， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，以为边作等边三角形，则为定点，且， 作交延长线于点，连接，过点作交的延长线于点，     ，均为等边三角形， ，，， ， ， ， 又， ， ， 直线是一条经过定点且与直线成的直线， 是直线上的一个动点， 点在直线上运动， 如图，由垂线段最短可知,当点运动到点所在的位置时，此时点与点重合，有最小值为， ， ，， , ， ，， ， ， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理及外角性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，垂线段最短等知识，作出辅助线，得到点P的运动路线是解答的关键是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $