专题05 二次函数（6大考点）（河南专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题05 二次函数 6大考点概览 考点01二次函数的图象与性质 考点02二次函数的最值 考点03待定系数法求二次函数解析式 考点04二次函数与一元二次方程 考点05实际问题与二次函数 考点06二次函数综合 二次函数的图象与性质 考点01 1．（2026·河南周口·一模）将二次函数的图象整体平移，使其顶点移至的位置，则平移后的函数解析式为________． 【答案】 【分析】根据二次函数图象平移不改变二次项系数，根据二次函数的顶点式，代入顶点坐标即可求出答案． 【详解】解：平移后的解析式为． 2．（2026·河南·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象以及对称轴得到，再根据当时，和当时，分别进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，， 对称轴为直线， ， ， ，①错误； 函数与轴有两个交点，故，②正确； 当时，，③正确； ， ， ， 当时，， ，④正确． 3．（2026·河南周口·一模）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称轴的位置判断的符号，再根据抛物线与轴的交点，判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线对称轴在轴的右侧， ∴， ∵与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故③正确； 当时，， 即，故④不正确； 综上可得：正确的结论为：①③，有个． 二次函数的最值 考点02 4．（2026·河南南阳·一模）已知二次函数的图象经过点，，且满足，当时，该函数的最大值与最小值之间满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定抛物线的对称轴为直线，继而确定，根据抛物线的增减性，确定函数在处取得最小值．函数在处取得最大值，求解即可． 【详解】解：由题意，得抛物线的对称轴为直线． 点，关于对称轴对称， ． ， ． ， 抛物线开口向上， 点与对称轴的距离越大，函数值越大， 当时，在这个给定的范围内， 故函数在处取得最小值． ， 函数在处取得最大值． ， ． ． ． 5．（2026·河南驻马店·一模）已知关于的二次函数，且． … 0 1 … … 4 … (1)若，求该二次函数的解析式和顶点坐标； (2)在（1）的条件下，求出下表中、的值，并在以下平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； (3)在（2）的条件下，根据图象回答：当时，直接写出的最小值． 【答案】(1)，顶点坐标为； (2)，，图见解析； (3)． 【分析】（1）把和代入解析式求出解析式，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）根据（1）所求代入求出k、n的值，再画出对应的函数图象即可； （3）根据函数图象得到增减性，进而代入求值即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴当时，， ∴二次函数的解析式为，且顶点坐标为． （2）解：由（1）得， 当时，， 当时，， 图象如图所示， （3）解：由函数图象可知，当时，随的增大而减小， 当时，最小，最小值为． 6．（2026·河南许昌·一模）已知抛物线（a为常数）经过点． (1)求a的值． (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值． (3)点P是抛物线上任意一点，其横坐标为n，设抛物线上点P左侧的部分为图象G（含点P）．若图象G的最低点的纵坐标为，请直接写出n的值． 【答案】(1)2 (2) (3)7或 【分析】（1）因为抛物线经过已知点，所以将点的坐标代入抛物线解析式，可建立关于a的方程，求解得到a的值； （2）先求出对称轴，由题意，可知，，关于对称轴对称，，的纵坐标均为，中点得到，继而根据抛物线对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可； （3）由题意可知图象是抛物线在的部分，再分两种情况：情况1：当时，图象的最低点是抛物线的顶点．根据题意，最低点的纵坐标为，由此列方程求解即可；情况2：当时，图象的最低点是点本身，因为抛物线在的部分是递减的．因此，最低点的纵坐标为，根据题意，得，由此求出进而解题． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得：； （2）解：由（1）知：， 对称轴为直线， 点在轴上，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点， ，关于对称轴对称，，的纵坐标均为， 又点为线段的中点， ，即， 由对称性知， ， 将代入，得：， ； （3）解：， 抛物线的顶点坐标， 设点的坐标为，图象是抛物线在的部分． 分以下两种情况： 情况1：当时，图象的最低点是抛物线的顶点．根据题意，最低点的纵坐标为，因此：，解得； 情况2：当时，图象的最低点是点本身，因为抛物线在的部分是递减的．因此，最低点的纵坐标为， 根据题意，得：， 解得或． 由于，所以． 因此，的值为或． 7．（2025·河南省直辖县级单位·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，该抛物线的顶点为C．点P为该抛物线上一点，其横坐标为m．当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最低点和最高点到x轴的距离分别为d、n，当时，则m的取值范围为______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的最值，函数的增减性与最值，掌握二次函数图象的性质，数形结合思想是解题的关键． 过点B作轴交抛物线于点E，分三种情况讨论：①当点P在点B和点C之间时，②当点P在点C和点E之间时，③当点P在点E上方时，分别根据列式求解即可． 【详解】解：过点B作轴交抛物线于点E， ∵， ∴抛物线对称轴为，顶点坐标为， ∴点E与点B关于对称轴对称，，如图所示： ①当点P在点B和点C之间时，即时，抛物线在点与点之间的部分最低点为点，最高点为点， ∴，， ∵， ∴， 解得：（不合题意）； ②当点P在点C和点E之间时，即时，抛物线在点与点之间的部分最低点为点，最高点为点， ∴，， ∴符合题意， ∴， ③当点P在点E上方时，即时，最低点为点，最高点点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或或， ∵， ∴． 综上所述，m的取值范围为或． 8．（2026·河南平顶山·一模）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 经过点．点 A，B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m，． (1)求该抛物线所对应的函数表达式． (2)当A，B两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点 A 的坐标． (3)设抛物线在A，B两点之间的部分（含A，B两点）为图象G．当时，若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为，请直接写出m 的值． 【答案】(1) (2) (3)m的值为 或 【分析】（1）因为抛物线经过点，所以将点的坐标代入抛物线表达式，可求出的值，进而得到抛物线的函数表达式． （2）因为抛物线的对称轴公式为，先求出该抛物线的对称轴，又因为A、B两点关于对称轴对称，所以A、B两点横坐标的中点在对称轴上，由此可列方程求出，再代入抛物线表达式得到点A的坐标． （3）因为，所以先确定抛物线在A、B两点之间部分的最高点和最低点的位置，再分别表示出它们的纵坐标，根据纵坐标之差为列方程求解． 【详解】（1）将点代入，得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）将抛物线配方得， ∴抛物线的对称轴为直线． 若点A、B关于对称轴对称，则两点横坐标的中点在对称轴上，即 ， 解得． 将代入抛物线，得． ∴点A的坐标为：； （3）由（2）知时，点A、B关于对称轴对称， 当时，由开口向上时离对称轴越近函数值越小可知： 最高点即点纵坐标为，最低点即顶点纵坐标为， ∴， 解得或（舍去）； 当时，由开口向上时离对称轴越近函数值越小可知： 最高点即点纵坐标为，最低点即顶点纵坐标为， ， 解得或（舍去）． 因此的值为或 ． 9．（2026·河南南阳·一模）已知与满足二次函数关系，与对应值如下表： (1)该函数图象的顶点坐标为________，________，与的函数表达式为________． (2)在平面直面坐标系中画出该函数的图象． (3)将该函数图象向右平移个单位长度且为正整数． 若图象平移后过、两点，试说明的值恒为的倍数， 当时，若平移后的图象对应的函数最大值是，请直接写出的值． 【答案】(1)，3，（或）； (2)见解析； (3)见解析； ． 【分析】（）利用待定系数法求出解析式，然后根据二次函数的性质即可求解； （）通过画函数图象方法即可求解； （）求出当时，；当时，，然后相减即可求解； 根据二次函数性质分当，即；当，即，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为，根据表格可得， ，解得：， ∴与的函数表达式为， 由， ∴函数图象的顶点坐标为， 当时，； （2）解：列表， 描点， 连线： 如图所示， （3）解：将向右平移个单位长度，得， 当时，， 当时，， ∴， ∵为正整数， ∴恒为的倍数； 由得平移后解析式为， ∴对称轴为直线， ∵，开口向上， ∴抛物线图象上的点离对称轴越远则的值越大， 当，即， ∴当时，函数有最大值，解得：或（舍去）； 当，即， ∵为正整数， ∴， ∴当时，函数有最大值，不符合题意； 综上可得：的值为． 10．（2026·河南许昌·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求y的最大值与最小值的差； (3)过点作与x轴平行的直线，交该抛物线于C，D两点（点C在点D左侧），当时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)4 (3)5或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先化为顶点式，求出顶点坐标及对称轴，可求出y的最小值，根据开口向上，抛物线上的点离对称轴越远y值越大可得y的最大值，进而得解； （3）设，，则是方程的两根，可得，再分情况讨论，当时，，当时，，即可求出，再把其中一根代入方程即可得解，当 时，与 矛盾，故舍去． 【详解】（1）解：把，代入得， 解得：， 抛物线的表达式． （2）解：抛物线的表达式， 顶点坐标为，对称轴为直线， ， 当时，y有最小值，此时， ， 当时，y有最大值，此时， y的最大值与最小值的差为． （3）解：过点作与x轴平行的直线，交该抛物线于C，D两点， 设，，则是方程的两根， 整理得， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 当时，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 当 时， ， 此时由 得 ，即 ， ∵ ，解得 ，这与 矛盾，故舍去； t的值为5或． 11．（2026·河南周口·一模）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)已知点，把点绕原点逆时针旋转后恰好落在抛物线上，求的值； (3)若，当二次函数的最大值比最小值大2时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据对称轴公式求出b的值，再利用待定系数法求解即可； （2）设点P的对应点为点，过点P和点分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，证明，得到，则，再把代入二次函数的表达式中求解即可； （3）根据（1）所求得到二次函数的增减性，再分三种情况：当，即时，当，即时，当，即时，分别确定对应情况下函数的最大值和最小值，再根据最大值与最小值的差为2建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数（，为常数）的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图所示，设点P的对应点为点，过点P和点分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得或（舍去）； （3）解：∵二次函数的表达式为，且， ∴二次函数图象开口向上， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大； 当，即时， 则当时，函数有最大值，最大值为， 当时，函数有最小值，最小值为， ∵此时二次函数的最大值比最小值大2， ∴， 解得（舍去）； 当，即时，则当时，函数有最小值，最小值为， 当，即时， 则当时，函数有最大值，最大值为， ∵此时二次函数的最大值比最小值大2， ∴， 解得或（舍去）； 当，即时， 则当时，函数有最大值，最大值为， ∵此时二次函数的最大值比最小值大2， ∴， 解得或（舍去）； 当，即时， 则当时，函数有最小值，最小值为， 当时，函数有最大值，最大值为， ∵此时二次函数的最大值比最小值大2， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，或． 待定系数法求二次函数解析式 考点03 12．（2026·河南平顶山·一模）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以为坐标原点，所在的直线为轴，过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在抛物线上的点，处分别安装照明灯（点，到路面的距离相等），规定：照明灯距离路面的高度的取值范围是．师傅安装完照明灯后，测得两点，间的距离为，请你判断是否符合规定?说明理由． 【答案】(1) (2)符合规定，理由见解析 【分析】（1）利用抛物线顶点式设出表达式，结合图像过原点的坐标特征，代入求解系数确定抛物线解析式； （2）根据A、B间距及对称轴性质确定A点横坐标，代入解析式求高度，结合高度取值范围判断是否符合规定． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点的坐标为， 可设抛物线的表达式为：， 又经过原点，代入，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． （2）解：符合规定，理由如下： 由题意可知，点，之间的距离为，且点与点关于对称轴对称， 因为，， 所以点的横坐标为， 把代入得：． 因为， 所以师傅安装的照明灯符合规定． 13．（2026·河南周口·一模）已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点，则该二次函数的解析式为_____． 【答案】 【分析】利用待定系数法将，，代入求解即可． 【详解】解：将，，代入得， 解得 ∴该二次函数的解析式为． 14．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，． (1)抛物线的解析式； (2)D为抛物线上第一象限内一点，求面积的最大值； (3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)最大值为16 (3)点P的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过点D作轴交于点E，利用三角形的面积公式即可求得结论； （3）利用勾股定理求出，设出点P坐标，求出、，再分类讨论，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点D作轴交于点E，交x轴于点F， 设直线解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∵D为抛物线上第一象限内一点， ∴， ∴的面积， ∵， ∴的面积有最大值， ∴当时，的面积最大，最大值为16； （3）解：∵，， ∴，， ∴， 又， 所以，对称轴为直线， 设， 则，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况： 当时，则， 解得， ∴点P的坐标为或； 当时，则， 解得， ∴点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或或． 15．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上第一象限内的动点，连接，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)面积最大值为 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴的垂线，交于点，先求出直线的解析式，令点的坐标为，则，可求出，再根据，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将，两点代入， 则， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点， 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值． 16．（2026·河南洛阳·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过和． (1)求该抛物线的解析式． (2)将线段平移，平移后对应点和都落在抛物线上，求点的坐标． (3)当时，二次函数的最小值为，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】（1）将和代入求解即可； （2）设，由可知，再将代入函数解析式求解即可； （3）分，，三种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过和， ， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：设， ， ， ， 点落在抛物线上， ， 解得， ， ； （3）解：， 抛物线的对称轴是直线， 若，即， 当时，二次函数的最小值为， ， 解得，（舍去）； 若，即， 当时，二次函数的最小值为，不合题意，舍去； 若， 当时，二次函数的最小值为， ， 解得，（舍去）； 综上所述，t的值为或1． 【点睛】此类问题通常要根据对称轴与、t的不同位置进行分类讨论． 17．（2026·河南郑州·一模）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． 【答案】(1)； (2)n的值为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数表达式，再配方即可求得顶点坐标； （2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式，结合函数图象的性质即可； 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，两点， ∴，解得：， ∴二次函数解析式为； ∵， ∴； （2）解：当向左平移时，则新函数解析式为，此时对称轴为直线， 而,且新函数图象开口向上， ∴时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：（舍去）； ∴； 当向右平移时，则新函数解析式为，此时对称轴为直线， 而， 当，即时，，且新函数图象开口向上， 即时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：，两个值均不符合题意，舍去； 当，即时，，且新函数图象开口向上， 即时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：（舍去）， 综上，满足题意的n的值为或． 18．（2026·河南焦作·一模）如图1，是边长为2的等边三角形，动点P以每秒一个单位长度的速度从点A出发，沿折线运动，到点C停止运动，运动时间记为t（秒）．以为边作正方形，面积记为S．图2中给出点P在上运动时S和t的函数图象和部分点对应的坐标，该图象是抛物线的一部分． (1)求出点P在上运动时S和t的函数关系式，并直接写出此函数取最小值时和的位置关系． (2)请在图2中画出点P在上运动时S和t的函数图象． (3)设，时对应的函数值分别为，，当a取何值时总有，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求得函数解析式，再根据二次函数的性质和垂线段最短即可解答； （2）求得当点P在上运动时，S和t的函数解析式，再画出图象即可； （3）分类讨论，列出不等式，解不等式即可解答． 【详解】（1）解：根据图象可得点P在上运动时S和t的函数关系式的顶点为， 设S和t的函数关系式为， 把代入可得， 解得， 点P在上运动时S和t的函数关系式为； 当取最小时，即最小，此时； （2）解：当点P在上运动时，， 此时正方形的面积为， ， 点P在上运动时S和t的函数图象，如下： （3）解：当时，即时， ，， ， 则， 解得， ； 当时，即时， ，， ， 则， 解得， ； 当时，即时， ，， ， 则， 解得， ； 综上，可得或． 二次函数与一元二次方程 考点04 19．（2026·河南周口·一模）已知二次函数： (1)求证：该二次函数的图象与轴总有两个不同的交点； (2)若该二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且的面积为，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）先判断一元二次方程根的情况，再结合二次函数与一元二次方程的关系即可得证； （2）令，求出、两点的横坐标及；令，得与轴交点的纵坐标，即高，根据的面积为推得，求解即可． 【详解】（1）证明：一元二次方程中，，， ， 该二次函数图象与轴总有两个不同交点； （2）解：令，解方程， ， 解得，， ， 令，得与轴交点的纵坐标为， 即高为， 三角形面积， ①时，； ②时，（无实数解）． 故． 20．（2026·河南周口·一模）二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据二次函数开口方向、与轴交点，对称轴位置、与轴交点确定①②③，再根据顶点坐标确定④． 【详解】解：由二次函数图象可知，开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数的对称轴为， ，即， ，，结论①、③正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 有两个不等实数根， ，结论②正确； 由图象可知，当时，， 即，结论④正确． 综上，结论正确的个数是个，选项符合题意． 21．（2026·河南周口·一模）若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线与x轴有且只有一个交点，得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴只有一个交点， ． 解得 ． 22．（2026·河南许昌·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若该抛物线经过点，求该抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，，抛物线与线段有两个交点，求b的取值范围； (3)在（1）的条件下，，是抛物线上两点，若，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)且 (3) 【分析】（1）根据题意将点代入抛物线解析式即可求得b的值，从而得到抛物线的解析式，利用抛物线对称轴公式和顶点坐标公式即可得出； （2）令，即，解得，，又抛物线与线段有两个交点，从而可得一元一次不等式组，通过计算可以得解； （3）根据（1）先得出抛物线的解析式，再分别将点M，N代入得到，关于m的表达式，由得出关于m的不等式，通过计算可以得解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：令，则， 解得，， ∵，，抛物线与线段有两个交点， ∴， 解得且． （3）解：由（1）可知，， ∴抛物线的解析式为， ∵，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， 解得． 实际问题与二次函数 考点05 23．（2026·河南信阳·一模）信阳南湾湖隧道打通了5A级景区交通瓶颈，被形容为“天堑变通途”．其入口处近似看作是由抛物线的一部分和长方形构成，长方形的长为，宽为，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用表示． (1)求抛物线的表达式和最高点P的坐标； (2)汛期来袭，科技预警保安全，决定在隧道口建立积水自动拦截系统，在隧道入口两侧（如图抛物线上）内各安装一个黑光全彩摄像头，已知两个摄像头到地面的高度相同，均为，求这两个摄像头之间的水平距离； (3)直线与隧道上方的抛物线有唯一交点，请直接写出点b的取值范围． 【答案】(1)， ； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得，代入抛物线的表达式，求解即可； （2）令，求得方程的两个根，计算两个根的差即可； （3）当直线与抛物线有唯一交点恰好是时，此时，当直线与抛物线有唯一交点恰好是时，此时，解得，根据直线与隧道上方的抛物线有唯一交点，求解即可． 【详解】（1）解：长方形的长为，宽为，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用表示 得， ， 解得， 故抛物线的表达式为：， 由， 故最高点P的坐标为． （2）解：根据题意，得， 整理，得， 解得， 故． （3）解：根据题意，得， 故， 整理，得， 直线与隧道上方的抛物线有唯一交点， 故有两个相等的实数根， ， 整理，得， 解得， 此时， 由隧道上方的抛物线满足的条件是， 不在这个范围中， 故舍去； 当直线与抛物线有唯一交点恰好是时， 此时， 当直线与抛物线有唯一交点恰好是时， 此时， 解得， 因为直线与隧道上方的抛物线有唯一交点， 故． 24．（2026·河南·一模）—赛季中国排球超级联赛是由中国排球协会主办的中国最高级别排球职业联赛，于年月至年月举行．根据国际排球联合会的规定，排球比赛场地为长方形，其长度为，宽度为，女子排球比赛球网的高度为．如图，某女子排球运动员在场地边缘的处训练发球，为球网（球网位于球场的中间），为球场护栏，且，均与地面垂直，球场的边界为点，以点为原点，垂直于球网的直线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，排球（看作点）从点的正上方点处发出，排球经过的路径是抛物线的一部分，其最高点为，落地点为点．（点，，，，在同一直线上，图中所有的点均在同一平面内） (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)通过计算判断排球能否越过球网； (3)由于运动员改变了发球点的位置，使得排球在点落地后立刻弹起，又形成了一条与形状相同的抛物线，且最大高度为．若排球沿下落时（包含最高点）能碰到球场护栏，求的取值范围． 【答案】(1) (2)排球能越过球网 (3) 【分析】（1）根据待定系数法求解抛物线L对应的函数解析式即可； （2）计算当时的高度是否高于球网即可； （3）先求出抛物线对应的解析式，得出其顶点坐标以及与轴的交点，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线的最高点的坐标为， ∴设抛物线对应的函数解析式为， ∵点在该函数图象上， ∴将代入， 得， 解得， ∴抛物线L对应的函数解析式为． （2）解：由题可得， ∴当时，， ∵， ∴排球能越过球网． （3）解：∵抛物线的形状与抛物线相同，且最大高度为， ∴设抛物线对应的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴抛物线的最高点坐标为， ∵排球从最高处开始下落，护栏在距离原点处，就可能被排球砸到， ∴， 当排球落地砸到点时， 把代入抛物线的解析式得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴的取值范围为． 25．（2026·河南周口·一模）某商场销售一种进价为每件25元的商品，售价为每件35元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件．设每件商品的售价为x元（且为整数），每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价定为42元或43元时，每天利润最大，最大利润为612元 【分析】（1）利润涨价后销售每件获得的利润涨价后的销售量，据此列出函数关系式即可求解； （2）对称轴为直线，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：对称轴为直线， 因为x为整数，且两侧的整数为42和43，， 当时， （元）． 当时： （元）． 答：当售价定为42元或43元时，每天利润最大，最大利润为612元． 26．（2026·河南周口·一模）某商店购进一批文具，进价为每件10元，售价为每件15元，每月可售出200件．市场调查发现：售价每上涨1元，销量减少10件．设每件文具涨价x元． (1)求每月销量y与x之间的函数关系式； (2)当售价定为多少元时，每月利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当售价定为元时，每月利润最大，最大利润是元 【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可； （2）设利润为w，写出w的表达式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得； （2）解：设利润为w， 则     当时，， 售价：元，最大利润元 答：当售价定为元时，每月利润最大，最大利润是元． 27．（2026·河南南阳·一模）为迎接校庆，学校需要在校门上悬挂灯笼，如图是校门的截面示意图，校门上部呈抛物线形，校门下部为矩形，已知，，校门最高点到的距离．现需在校门上部的点，处各悬挂一个灯笼（点，均在抛物线上），且点，关于对称，，之间的距离为． (1)请以所在的直线为轴，所在的直线为轴，在图中建立平面直角坐标系，并写出点的坐标． (2)求抛物线的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (3)若悬挂点到灯笼最底端的长为，求灯笼最底端离地面的高度． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2) (3) 【分析】（1）根据要求建立平面直角坐标系，根据矩形的性质得到，，根据二次函数的对称性可知B、C关于对称，进而求出，根据，求出，即可求出点的坐标； （2）设抛物线的函数表达式为，将代入计算即可； （3）分别过点，作的垂线，垂足分别为，，根据对称性求出，求出当时y的值，即可得到灯笼最底端离地面的高度． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示： ∵矩形， ∴，， ∵P是抛物线最高点， ∴B、C关于对称， ∴， 即， ∵，， ∴， 即点的坐标为； （2）解：设抛物线的函数表达式为． 由题意，得， 将代入表达式，得， 解得． 抛物线的函数表达式为； （3）解：如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为，． ， ∴ ∵点，关于对称， ． 当时，． ， 灯笼最底端离地面的高度为． 28．（2026·河南周口·一模）某商场销售一种进价为元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量(台)与销售单价(元)满足一次函数关系，部分数据如下表： 销售单价/元 销售量/台 (1)求与之间的函数关系式； (2)设商场每天销售这种台灯获得的利润为元，当销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 【分析】（1）已知与为一次函数关系，设出一次函数一般式，代入表格中的两组数据求解系数，验证后即可得到函数关系式； （2）根据总利润=单台利润×销售量，列出利润关于销售单价的二次函数，利用二次函数的性质即可求出最大利润和对应单价． 【详解】（1）解：设与之间的一次函数关系式为， 选取表格中两组数据，代入解析式， 得：，解得， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：由题意，单台利润为元，销售量为台， 因此总利润， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，顶点为最大值点， 当时，取得最大值，最大值为，且符合实际意义． 答：当销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 29．（2026·河南周口·一模）如图1，在中，，，，点P从点A出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿折线运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动．当点P到达点C时，P、Q停止运动．设点P运动的时间为，的面积为． (1)请直接写出与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中，直接画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质； (3)若的函数图象与直线有两个交点，则n的取值范围是________． 【答案】(1) (2)图见解析，性质：当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小．（答案不唯一） (3) 【分析】（1）分和两种情况进行讨论求解即可； （2）描点法画出函数图象，根据图象写出性质即可； （3）求出时的函数值，进而求出直线经过点和时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：点运动到点时，所用时间为秒；运动到点时，所用时间为秒； 当时，， ∴； 当时，， ∴， 综上： （2）解：列表如下： 0 1 2 3 4 0 5 4.5 0 画出函数图象如下： 性质：当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小．（答案不唯一） （3）解：当时，， 当经过点时，，解得， 当经过点时，，解得， 故的函数图象与直线有两个交点时，． 30．（2026·河南洛阳·一模）某校大课间开展“抛沙包游戏”的综合实践活动． 【研究背景】活动中，甲、乙、丙站在同一条直线上，其中甲抛沙包，乙接沙包，丙在两人之间拦截，将沙包看作一个点，沙包的运行路线可近似看作是一条抛物线． 【探究发现】如图，以甲站立的位置为原点，三人所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，沙包飞行的高度记为（单位：），沙包距甲的水平距离记为（单位：），沙包的运行路线可以近似看作是抛物线：的一部分，如果甲在处将沙包抛给乙，乙恰好在处接到沙包． 【建立模型】 (1)求抛物线的函数解析式（不要求写自变量取值范围）； 【应用模型】 (2)丙竖直跳起，拦截的最大高度为，求丙拦截沙包成功的运动范围； (3)如果乙在处接到沙包后，原地将沙包回传，回传沙包的运行路线可以近似看作是抛物线：的一部分，已知回传沙包到达其飞行的最高点时，沙包离站在原地的甲的水平距离不大于．求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)k的最大值为14 【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线解析式即可解答； （2）求得当时，x的值，结合甲与乙之间的距离分析即可解答； （3）根据题意可知抛物线的顶点为最高点，此时顶点的横坐标，解得k值即可． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， 的函数解析式为； （2）解：当时，， 解得，， 根据题意可知甲与乙之间的距离为， 丙拦截沙包成功的运动范围为在距离甲8到10米的地方，即； （3）解：， 抛物线的顶点为最高点，此时顶点的横坐标， 解得， 的最大值为14． 31．（2026·河南周口·一模）我国无人机已形成完整产品谱系，在大型重载平台、编队表演、低空经济应用、应急救援等领域取得全球领先成就，2025-2026年多项突破尤为亮眼．如图1是某款无人机的操作按钮，当输入不同的，，的值时，无人机会沿着抛物线飞行（无人机飞行的高度为，单位：m）．某次无人机按钮输入一组数，，，． (1)求此次无人机飞行的最大高度； (2)如图2，矩形是一个建筑物的主视图，其中，，建筑物一侧距离飞行起点的水平距离为．若要求无人机飞行过程中距离建筑物的顶点，的水平距离不少于，竖直距离不少于，此次设置的这条抛物线符合条件吗？请通过计算作出判断． 【答案】(1)当时，无人机飞行的最大高度为 (2)此次设置的这条抛物线符合条件 【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式求最值； （2）根据二次函数的性质，计算出函数值进行判断即可． 【详解】（1）解：当，，时， ， 当时，无人机飞行的最大高度为； （2）解：由题可得，在平面直角坐标系中，点， 易得点与点关于抛物线的对称轴直线对称， 故只需验证点即可． 当时，， 解得，， ； 当时，， ， 故此次设置的这条抛物线符合条件． 32．（2026·河南周口·一模）如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度（单位：）与弹簧被压缩的长度（单位：）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．已知为该抛物线的顶点，有一条平行于轴的直线，且．当小球的速度不小于时，弹簧被压缩的长度的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求得该抛物线的解析式，再联立求得直线与抛物线的交点，结合函数图象即可求解． 【详解】解：∵为该抛物线的顶点， ∴设该抛物线的解析式为， 由图象知，抛物线经过点和， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， 联立得， 解得， 结合函数图象知弹簧被压缩的长度的取值范围是． 33．（2026·河南商丘·一模）丢弹球游戏是一款充满趣味与挑战性的休闲游戏，玩家可通过调整弹球的弹出角度、力度等参数，让弹球沿特定轨迹飞行，击中目标物．图1是该游戏的核心装置示意图，能精准模拟弹球的飞行轨迹．图2中，弹球从中心线的端点O的正上方处的A点弹出，弹球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点M，其高度为．以O为原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系． (1)求图2中抛物线的表达式； (2)记图2中的击中目标物的点为点E，则的长为多少？ (3)图3是为了增加游戏难度，设置了两跳击球模式，即弹球从点A落到点D，再反弹过障碍后落下，反弹后弹球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为．若最后弹球也落在点E，则的长为多少？ 【答案】(1) (2) (3)长为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）令，即可求解； （3）由，即可求解． 【详解】（1）解：以O为原点，以为x轴，以为y轴建立坐标系， 则点、的坐标分别为、， 设抛物线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得，令， 解得：（舍去）或， 即； （3）解：设点， 由（2）知点， 设抛物线的表达式为：， 由顶点纵坐标得，， 解得：或（不合题意，舍去）， 即长为． 【点睛】本题以丢弹球游戏为实际背景，核心是将弹球飞行轨迹抽象为二次函数模型，通过顶点式、交点式建立抛物线解析式，结合顶点坐标公式与方程求解实现实际距离计算，充分体现了数形结合思想与数学建模在游戏场景中的应用，是二次函数解决实际运动问题的典型范例． 34．（2026·河南郑州·一模）在一条笔直的塑胶专用赛道上，红、蓝两个机器人同向移动，红机器人从点M处开始减速，同时蓝机器人在红机器人前方处，以的速度匀速移动．测得红机器人减速后移动的距离y（单位：）随移动时间t（单位：）变化的数据如表所示： 移动时间 0 1 2 3 4 … 移动距离y/cm 0 9 16 21 24 … 探究发现，y与t之间的数量关系可以用二次函数来描述． (1)求y关于t的函数关系式．（不必写出t的取值范围） (2)当时，求两机器人之间的距离． (3)王林说：“红、蓝机器人之间的最小距离为．”请通过计算判断他的说法是否正确． 【答案】(1) (2) (3)王林说法错误，见解析 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可． （2）由表格可知当时，，再求出蓝机器人离M点的距离，最后再相减即可得出答案． （3）设s表示两机器人之间的距离．用t表示出s，最后根据二次函数的图象和性质即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，设y关于t的函数解析式为． 将表中数据，代入解析式， 得：， 解得， y关于t的函数解析式为． （2）解：由表格可知：当时，， 此时，蓝机器人离M点的距离是， 故两机器人之间的距离是． （3）解：设s表示两机器人之间的距离． 由题意可知，蓝机器人的移动距离为3t， 红机器人的移动距离为，初始距离为，且蓝机器人在前方， 因此：， 因为二次项系数，所以该二次函数图象开口向上， 当时，s取得最小值，最小值为17.75． 由于最小值， 故王林说法错误． 二次函数综合 考点06 35．（2026·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于，两点，交y轴于C． (1)求这个二次函数的解析式． (2)取这个二次函数图象上一点P，将点P沿x轴方向平移至点Q，要求点P的横坐标为n，点Q的横坐标为． ①当点Q也在二次函数的图象上，求n的值； ②当线段与二次函数的图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②的取值范围是或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据解析式得抛物线的对称轴为直线，①若点Q也在二次函数的图象上，根据轴，得出，Q关于直线对称，即可得，求解即可； ②当线段与二次函数的图象有两个公共点时，根据点P的横坐标为n，轴，得出点P关于对称轴的对称点的横坐标为，分为当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交x轴于， ， ， 解得， ∴这个二次函数的解析式为； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ①若点Q也在二次函数的图象上， 根据平移可得轴， ，Q关于直线对称， ， ； ②当线段与二次函数的图象有两个公共点时， ∵点P的横坐标为n，轴， ∴点P关于对称轴的对称点的横坐标为， 当时，则，解得； 当时，则，解得，故， 的取值范围是或． 36．（2026·河南周口·一模）如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点（点在点的左下方），其中点的坐标为． (1)求该抛物线的表达式． (2)直线为抛物线的对称轴． ①在直线上找到一点，使得的周长最小，求出点的坐标； ②如图2，是抛物线上的动点（在线段上方），求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由抛物线与直线都经过轴上的点，可得，再由可得6和是的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系建立方程组即可求解； （2）①由点，点是定点，可得当取得最小值时，周长取得最小值，利用点与点关于抛物线的对称轴对称，连接即可得点的坐标； ②过点作轴，交于点，先求得的最大值，再由四边形面积即可得四边形面积的最大值． 【详解】（1）解：∵点既是抛物线与轴的交点，又是直线与抛物线的交点， ∴点是直线与轴的交点， 令，则， 解得， ∴， ∵点在抛物线的图象上， 令，则， ∴6和是的两个根， ∴， 解得或（舍去）， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①由题意可得，当取得最小值时，周长取得最小值， ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴直线与的交点即为点，此时的周长最小， 由（1）知，抛物线的表达式为，对称轴为直线，直线的解析式为， 把代入得，， ∴． ②联立， 解得或， ∴点坐标为， 设点的坐标为，过点作轴，交于点，则 ∴ ， ∴当时，取得最大值， ∴面积最大值， ∴四边形面积的最大值． 37．（2026·河南新乡·一模）如图，抛物线经过点和，点是线段上的动点（不包含端点），过点作轴，交抛物线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)求面积的最大值； (3)设为抛物线的顶点，在坐标系内存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的点一共有多少个？请任意求出其中一个点的坐标． 【答案】(1) (2)8 (3)满足条件的点一共有3个，或或． 【分析】本题考查了二次函数综合． （1）点和代入，求出a和b的值即可；、 （2）求出的解析式为，则 ，得出的表达式，再用铅锤法得出，，根据二次函数的性质，即可解答； （3）根据平行四边形对角线互相平分的性质，进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：将点和代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设的解析式为， 将点和代入得：， 解得：， ∴的解析式为， ∴ ∴， ∵点是线段上的动点 ∴， ， ∵，开口向下， ∴当时，面积取最大值， 此时． （3）解：∵， ∴， 设， ①当为对角线时： ，解得：， ∴； ②当为对角线时： ，解得：， ∴； ③当为对角线时： ，解得：， ∴ 综上：满足条件的点一共有3个，或或． 38．（2026·河南平顶山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线 经过点． (1)求抛物线的函数表达式，并求出抛物线的对称轴． (2)若，为抛物线上不同的两点，且满足，求证：． (3)将抛物线向右平移t个单位长度，，是平移后抛物线上不同的两点，且总满足 ，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)，直线 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）把代入求出a的值即可；把所求表达式转化为顶点式，即可求出抛物线的对称轴； （2）把代入，得出，，把代入并化简得，结合可求出，则，然后把代入并化简得，即可得证； （3）先求出平移后抛物线对称轴为直线，然后判断点P在新抛物线的对称轴左侧，再分两种情况讨论：Q在新抛物线的对称轴左侧；Q在新抛物线的对称轴右侧，根据二次函数的增减性和对称轴求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在抛物线上， ∴， ∴， 又， ∴； （3）解：抛物线向右平移个单位后，新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的对称轴为直线， ∵ ∴新抛物线开口向上， ∴在新抛物线的对称轴左侧，y随x的增大而减小；在新抛物线的对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∵，， ∴点P在新抛物线的对称轴左侧， 当Q在新抛物线的对称轴左侧时， ∵，是新抛物线上不同的两点，， ∴， ∴， 又， ∴； 当Q在新抛物线的对称轴右侧时， 关于直线的对称点为，即， ∵， ∴， ∴ 综上，或． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05二次函数 ☆6大考点概览 考点01二次函数的图象与性质 考点02二次函数的最值 考点03待定系数法求二次函数解析式 考点04二次函数与一元二次方程 考点05实际问题与二次函数 考点06二次函数综合 考点01 二次函数的图象与性质 1.(2026河南周口·一模)将二次函数y=x2+bx+c的图象整体平移，使其顶点移至(0，一3)的位置， 则平移后的函数解析式为 2.(2026河南一模)二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=-支，现给 出以下结论：①abc<0;②b2-4ac>0:③a-b+c>0;④(a+b2a+c>0.其中正确的个数为 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(2026河南周口一模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc>0 ;②2a+b=0;③b2-4ac>0;④a-b十c<0;其中正确的个数是() A. B.2 C.3 D.4 考点02 二次函数的最值 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026河南南阳一模)己知二次函数y=x2-2ax-a的图象经过点(b,-a),(G,-a),且满足 0<b+c<2,当-1≤x≤1时，该函数的最大值m与最小值n之间满足的关系式为() A.m=-n2+n B.m=n2-2n C.n=-m2+m D.n=m2-2m 5.(2026河南驻马店.一模)己知关于x的二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)，且c=-3a, 5-4-3-2-10 234 二3引 X -月 -1 0 1 32 y 15 (1)若a=一1，求该二次函数的解析式和顶点坐标： (2)在(1)的条件下，求出下表中k、n的值，并在以下平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图 象： (3)在(2)的条件下，根据图象回答：当0≤x≤2时，直接写出y的最小值. 6.(2026河南许昌·一模)已知抛物线y=x2-ax-3(a为常数)经过点(-1,0). (1)求a的值. (2)过点A(O,t)与x轴平行的直线交抛物线于B,C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值 (3)点P是抛物线上任意一点，其横坐标为n,设抛物线上点P左侧的部分为图象G(含点P).若图象G的 最低点的纵坐标为3一n,请直接写出n的值， 7.(2025河南省直辖县级单位一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2一2x一3与x轴交于点A, 与y轴交于点B,该抛物线的顶点为C.点P为该抛物线上一点，其横坐标为m.当m>0时，设该抛物线 在点B与点P之间（包含点B和点P)的部分的最低点和最高点到x轴的距离分别为d、n,当d一n=1时， 则m的取值范围为 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -2-10 8.(2026河南平顶山一模)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx经过点 (3,3).点A,B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m,m+1· (1)求该抛物线所对应的函数表达式： (2)当A,B两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点A的坐标 (3)设抛物线在A,B两点之间的部分（含A,B两点)为图象G.当0<m<1时，若图象G的最高点与最 低点的纵坐标之差为号，请直接写出m的值. 9.(2026河南南阳·一模)已知y与x满足二次函数关系，x与y对应值如下表： 珠 3 1-2 4-3-2-19 12.3.4x 2 --- -4 0 1 2 3 4 0 -1 0 m (I)该函数图象的顶点坐标为 m= y与x的函数表达式为 (2)在平面直面坐标系中画出该函数的图象. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)将该函数图象向右平移n个单位长度且n为正整数. ①若图象平移后过(1，P)、(3,9)两点，试说明P-9的值恒为4的倍数， ②当3≤x≤5时，若平移后的图象对应的函数最大值是8，请直接写出的值. 0 2 3 4 3 0 3 10.(2026河南许昌一模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx一3与x轴交于A(一1,0)， B(3,0)两点. (1)求抛物线的表达式； (②)当0≤x≤3时，求y的最大值与最小值的差： (③)过点M(0,t)作与x轴平行的直线，交该抛物线于C,D两点（点C在点D左侧>，当器=方时，请直 接写出t的值， 11.(2026河南周口一模)己知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(1,0),对称轴 为直线x=-1· ()求二次函数的表达式； (②)已知点P(m,m)(m>0),把点P绕原点逆时针旋转90°后恰好落在抛物线y=x2+bx+c上，求m 的值； (3)若n-1≤x≤n+1,，当二次函数y=x2+bx+c的最大值比最小值大2时，直接写出n的值. 考点03 待定系数法求二次函数解析式 12.(2026河南平顶山一模)现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段0E表示水平的路面， 以O为坐标原点，OE所在的直线为x轴，过点O垂直于x轴的直线为V轴，建立平面直角坐标系.根据设计 要求：0E=10m,该抛物线的顶点P到0E的距离为9m y/m B O E x/m ()求满足设计要求的抛物线的表达式： (2)现需在这一隧道内壁上安装LD照明灯，如图所示，即在抛物线上的点A,B处分别安装LD照明灯（点 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A,B到路面的距离相等)，规定：LD照明灯距离路面的高度h的取值范围是4m≤h≤6m.师傅安装完 照明灯后，测得两点A,B间的距离为6，请你判断是否符合规定？说明理由， 13.(2026河南周口一模)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点， 与y轴交于点C(0,3),则该二次函数的解析式为一· 14.(2026河南周口一模)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-2,0)，B(8,0)两 点，与y轴交于点C(0,4),连接AC,BC 备用图 (1)抛物线的解析式： (②)D为抛物线上第一象限内一点，求△DCB面积的最大值； (3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PCB是以BC为腰的等腰三角形时，求点P的坐标 15.(2026河南周口一模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y 轴交于点C. (1)求抛物线的解析式 (②)点P是抛物线上第一象限内的动点，连接PC、PB,求△PBC面积的最大值， 16.(2026河南洛阳一模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c经过A一4,0)和B(1,一5) 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)求该抛物线的解析式。 (2)将线段OA平移，平移后对应点0'和A都落在抛物线上，求点A的坐标 (3)当t≤x≤t+2时，二次函数y=x2+bx+c的最小值为一5，请直接写出t的值. 17.(2026河南郑州一模)二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(3,1),B(0,-2)两点，顶点为G. B (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标， (2)如图，将二次函数y=x2+bx+c的图象沿x轴方向平移n(n>0)个单位长度得到一个新函数的图象， 当0≤x≤3时，新函数的最大值是8，求n的值 18.(2026河南焦作.一模)如图1，△ABC是边长为2的等边三角形，动点P以每秒一个单位长度的速度 从点A出发，沿折线AB一BC运动，到点C停止运动，运动时间记为t(秒).以AP为边作正方形APQT ,面积记为S.图2中给出点P在BC上运动时S和t的函数图象和部分点对应的坐标，该图象是抛物线的 一部分 SA 12347 图1 图2 (I)求出点P在BC上运动时S和t的函数关系式，并直接写出此函数取最小值时AP和BC的位置关系， (2)请在图2中画出点P在AB上运动时S和t的函数图象 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)设t1=a,t2=a十1时对应的函数值分别为S1,S2,当a取何值时总有S2-S1≥1，直接写出a的取 值范围。 考点04 二次函数与一元二次方程 19.(2026河南周口一模)己知二次函数：y=x2-2mx+m2-1 (①)求证：该二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点； (2)若该二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与V轴交于点C,且△ABC的面积为4，求m的值， 20.(2026河南周口一模)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为x=1,下列结论：① abc>0;②b2-4ac>0;③2a+b=0;④a+b+c<0,其中正确的个数是() y个x=1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 21.(2026河南周口一模)若二次函数y=2x2-x+c的图象与x轴只有一个交点，则实数c的值为() A.-2 B.-1 C.- D.言 22.（2026河南许昌一模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2-2bx, (1)若该抛物线经过点(2,0)，求该抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=x2-2bx与线段AB有两个交点，求b的取值范围： (3)在(1)的条件下，M(m+2y),N(m,y2)是抛物线y=x2-2bx上两点，若y1≥y2,直接写出 m的取值范围 考点05 实际问题与二次函数 23.(2026河南信阳.一模)信阳南湾湖隧道打通了54级景区交通瓶颈，被形容为“天堑变通途”.其入口处 近似看作是由抛物线的一部分和长方形0ABC构成，长方形的长0C为12m,宽0A为2m,以0C所在直线 为x轴，以0A所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用y=-壳x2+bx+2表示. 虫格烈庆机中交上航局承建南海湖随道顺利赏通 B 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求抛物线的表达式和最高点P的坐标： (②)汛期来袭，科技预警保安全，决定在隧道口建立积水自动拦截系统，在隧道入口两侧（如图抛物线上） 内各安装一个AI黑光全彩摄像头，己知两个摄像头到地面的高度相同，均为3.6，求这两个AI摄像头之间 的水平距离： (3)直线y=X十b与隧道AB上方的抛物线有唯一交点，请直接写出点b的取值范围. 24.(2026河南一模)2025一2026赛季中国排球超级联赛是由中国排球协会主办的中国最高级别排球职 业联赛，于2025年12月至2026年4月举行.根据国际排球联合会的规定，排球比赛场地为长方形，其长 度为18m,宽度为9m,女子排球比赛球网的高度为2,24m·如图，某女子排球运动员在场地边缘的0处训 练发球，MN为球网（球网位于球场的中间），AB为球场护栏，且MN,AB均与地面垂直，球场的边界为 点K,以点O为原点，垂直于球网的直线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，排球（看 作点)从点0的正上方点P(0,2)处发出，排球经过的路径是抛物线L的一部分，其最高点为G(7,3),落 地点为点H.(点O,M,H,K,A在同一直线上，图中所有的点均在同一平面内) G7,3) B(m,2) K M (1)求抛物线L对应的函数解析式： (②)通过计算判断排球能否越过球网； (3)由于运动员改变了发球点P的位置，使得排球在点K落地后立刻弹起，又形成了一条与L形状相同的抛物 线L,且最大高度为1m·若排球沿L下落时（包含最高点）能碰到球场护栏，求m的取值范围. 25.(2026河南周口一模)某商场销售一种进价为每件25元的商品，售价为每件35元时，每天可售出50 件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件.设每件商品的售价为x元(x≥35且x为整数)，每天的 销售利润为y元、 (1I)求y与x的函数关系式 (②)当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 26.(2026河南周口，一模)某商店购进一批文具，进价为每件10元，售价为每件15元，每月可售出200 件.市场调查发现：售价每上涨1元，销量减少10件.设每件文具涨价x元. (I)求每月销量y与x之间的函数关系式： (②)当售价定为多少元时，每月利润最大？最大利润是多少？ 27.(2026河南南阳一模)为迎接校庆，学校需要在校门上悬挂灯笼，如图是校门的截面示意图，校门上 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 部呈抛物线形，校门下部为矩形AOBC,已知OA=5m,OB=4m,校门最高点到BC的距离PD=号m.现 需在校门上部的点M,N处各悬挂一个灯笼（点M,N均在抛物线上），且点M,N关于PD对称，M,N之 间的距离为2m M (I)请以OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，在图中建立平面直角坐标系，并写出点P的坐标. (②)求抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围， (3)若悬挂点到灯笼最底端的长为1.5m,求灯笼最底端离地面的高度 28.(2026河南周口一模)某商场销售一种进价为20元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量y(台) 与销售单价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表： 销售单价x 30 35 40 元 销售量y/台 40 30 20 (I)求y与x之间的函数关系式： (②)设商场每天销售这种台灯获得的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利 润是多少？ 29.(2026河南周口一模)如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6cm,BC=4cm,点P从点 A出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿折线A-B一C运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度 的速度沿线段BC运动.当点P到达点C时，P、Q停止运动.设点P运动的时间为x(S),△APQ的面 积为y1 7 6 4 3 2 2----- 012345678 图1 图2 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ()请直接写出Y1与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围： (2)在图2的平面直角坐标系中，直接画出y1的函数图象，并写出这个函数的一条性质； (③)若y1的函数图象与直线y2=一x+n有两个交点，则n的取值范围是 X 0 为x2 0 y1=18-4.5x 4.5 0 30.(2026河南洛阳·一模)某校大课间开展“抛沙包游戏”的综合实践活动。 【研究背景】活动中，甲、乙、丙站在同一条直线上，其中甲抛沙包，乙接沙包，丙在两人之间拦截，将 沙包看作一个点，沙包的运行路线可近似看作是一条抛物线 【探究发现】如图，以甲站立的位置为原点，三人所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，沙包飞行的高 度记为y(单位：m),沙包距甲的水平距离记为x(单位：m),沙包的运行路线可以近似看作是抛物线L :y=a(x-4)2+2.6的一部分，如果甲在A(0,1.6)处将沙包抛给乙，乙恰好在B(10,c)处接到沙包. A 【建立模型】 (I)求抛物线L的函数解析式（不要求写自变量取值范围）： 【应用模型】 (②)丙竖直跳起，拦截的最大高度为1.6m,求丙拦截沙包成功的运动范围； (3)如果乙在B处接到沙包后，原地将沙包回传，回传沙包的运行路线可以近似看作是抛物线L2: y=一立x2+年x十2c+1的一部分，已知回传沙包到达其飞行的最高点时，沙包离站在原地的甲的水平 距离不大于7m.求k的最大值. 31.(2026河南周口一模)我国无人机已形成完整产品谱系，在大型重载平台、编队表演、低空经济应用、 应急救援等领域取得全球领先成就，2025-2026年多项突破尤为亮眼.如图1是某款无人机的操作按钮，当 输入不同的a,b,c的值时，无人机会沿着抛物线y=ax2+bx十c飞行（无人机飞行的高度为y,单位： m).某次无人机按钮输入一组数，a=一元，b=3,c=40· 2/6