甘肃省平凉市第一中学2025-2026学年高二下学期第一次数学周考练

平凉一中2027届高二下学期第一次数学周考练 命题教师：白兴宏 审核教师：柳曦 一、单选题 1．如图所示，运动方程在，两点间的平均速度等于（    ） A．1 B． C．2 D． 2．已知函数在处可导， 若，则（    ） A． B． C． D． 3．函数的图像如图所示，则（   ） A． B． C． D．的正负不确定 4．下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 6．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 7．函数在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 8．设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论中错误的有（    ） A．是的极小值点 B． C．函数在上有极大值 D．函数有三个极值点 10．判断下列命题正确的是（    ） A．函数的极大值一定比极小值大 B．对于可导函数，若，则为函数的一个极值点 C．若在内恒成立，则函数在内一定没有极值 D．一元三次函数在上可能不存在极值 11．下列求导运算正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．函数 的图象在处的切线的倾斜角为______ 13．已知函数，则______． 14．若，则______. 四、解答题 15．在中，内角的对边分别为，，. (1)求； (2)若，求的面积. 16．已知曲线． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求曲线过原点的切线方程． 17．记数列的前项和为，且. (1)求； (2)设数列的前项和为，证明：. 18．已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 19．已知函数. (1)讨论函数的单调性. (2)设函数，若存在唯一实数使函数的最小值为0，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉一中2027届高二下学期第一次数学周考练 命题教师：白兴宏 审核教师：柳曦 一、单选题 1．如图所示，运动方程在，两点间的平均速度等于（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由平均变化率公式可知：平均速度为． 2．已知函数在处可导， 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的极限定义求解即可． 【详解】由，有，有. 故选：B. 3．函数的图像如图所示，则（   ） A． B． C． D．的正负不确定 【答案】B 【分析】由导数的几何意义求解即可. 【详解】由题中图像可知，函数在上单调递减，故在上有．故． 故选：B 4．下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 5．若，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，由趋于0时，判断趋于，进而建立关于的方程求解即可. 【详解】， 当趋于0时，趋于， ，解得， 故选：B. 6．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数定义域并令其导函数大于零，解不等式即可求得结果. 【详解】易知函数的定义域为，, 又，令，解得时， 所以函数的单调递增区间为 故选：C 7．函数在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 可得且，即切线的斜率为，切点坐标为， 所以在点处的切线方程为，即. 8．设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数的单调减区间，即可求解． 【详解】的定义域为， 由，解得． 由题意知， 解得． 故选：A 二、多选题 9．函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论中错误的有（    ） A．是的极小值点 B． C．函数在上有极大值 D．函数有三个极值点 【答案】ACD 【分析】由图像可得有三个零点，但附近导函数同号可知不是极值点从而判断AD；由在上，上的单调性可以判断BC. 【详解】当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以有，因此选项B正确； 当时，，单调递增，所以在上没有极大值，因此选项C不正确； 当时，，单调递增，于是附近导函数不变号，因此不是的极值点，只有当和时函数有极值点，所以选项A不正确，选项D不正确， 故选：ACD 10．判断下列命题正确的是（    ） A．函数的极大值一定比极小值大 B．对于可导函数，若，则为函数的一个极值点 C．若在内恒成立，则函数在内一定没有极值 D．一元三次函数在上可能不存在极值 【答案】CD 【分析】根据导数与极值的关系依次判定即可. 【详解】对于A：根据极值定义，函数的极大值不一定比极小值大，则A错误； 对于B：若或恒成立，则无极值点，则B错误； 对于C：在内单调递增，且区间为开区间，所以取不到极值，则C正确； 对于D：三次函数求导以后为二次函数，若或恒成立，则无极值点，故D选项正确． 故选：CD． 11．下列求导运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据导数运算公式及运算律判断A，B，D，应用复合函数导数运算计算判断C. 【详解】，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项正确； ，D选项错误. 故选：BC. 三、填空题 12．函数 的图象在处的切线的倾斜角为______ 【答案】 【分析】根据导数的几何意义以及斜率和倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为，所以，即切线的斜率为，所以切线的倾斜角为. 故答案为： 13．已知函数，则______． 【答案】8 【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求出极限值. 【详解】函数，求导得， 所以. 故答案为：8 14．若，则______. 【答案】 【分析】先求出导函数，再代入计算求出导数值. 【详解】因为， 所以， 令，所以，即得， 所以， 则. 故答案为：. 四、解答题 15．在中，内角的对边分别为，，. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再根据求角B即可； （2）根据两角和差公式求，再由正弦定理求出边，进而可得面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 且，即， 又因为，则，可得， 且，所以； 则，可得， 又因为，所以. （2）因为，， 则， 又因为，则， 所以. 16．已知曲线． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求曲线过原点的切线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）令切点为，可得出，利用导数的几何意义写出切线方程，将原点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程. 【详解】（1）因为，所以，所以，， 可得切线方程为，整理得． （2）令切点为，因为切点在函数图象上，所以，， 所以在该点处的切线为， 因为切线过原点，所以， 整理可得，即，解得或， 当时，切点为，，切线方程为， 当时，切点为，，切线方程为， 所以切线方程为或． 17．记数列的前项和为，且. (1)求； (2)设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用，推出，并利用计算出首项，即可得到是公差、首项均为2的等差数列，代入等差数列的前项和公式即可得到； （2）用裂项相消法得到，根据的单调性求证即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，， 可得， 故，即， 当时，有，解得， 故是公差、首项均为2的等差数列，． 所以. （2）由（1）得，所以， 则， 因为，所以， 又在上单调递增， 故随的增大而增大，故， 综上，. 18．已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)增区间为，，减区间为，极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）求导，根据导数判断函数单调性； （2）根据函数单调性可得函数的最值，即可得参数范围. 【详解】（1）由已知，则， 令，解得或， 则 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 即函数的单调递增区间为，，单调递减区间为， 函数的极大值为，极小值为； （2）由（1）得函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以当时，的最小值为， 即，解得， 即实数的取值范围是. 19．已知函数. (1)讨论函数的单调性. (2)设函数，若存在唯一实数使函数的最小值为0，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)或． 【分析】（1）求导后对的取值范围分类讨论即可； （2）法一：，根据（1）中结果可求得的最小值，构造函数，问题可转化为函数的零点个数问题；法二：同法一求出的最小值，转化为存在唯一实数使，再设新函数，求导后对分类讨论即可. 【详解】（1）由得. ①当时，，单调递减； ②当时，令，解得， 当时，，即，所以单调递减， 当时，，即，所以单调递增； ③当时，，所以，单调递减. 综上，当时，单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，单调递减. （2）解法一：由 得，由（1）可知 ， 即关于的方程只有1个根， 当时，方程（）恒成立，即当且时，方程（）无解 所以， 由，所以，即，即且， 对（）式同时取对数， 即，令，则， 即关于的方程在无解. 又令，则， 令，则， 由，则当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以，所以在上单调递减， 当时，，当时，， 要使式成立，只需或，即或 综述，实数的取值范围或． 解法二：令， 由（1）可知，时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 依题，存在唯一实数使函数的最小值为0， 所以存在唯一实数使，即存在唯一实数使， 令，则， （i）当时，恒成立，故函数在单调递增， 又因为，所以存在唯一实数使得，符合题意； （ii）当时，令，得， 令，得， 故函数在单调递增，在单调递减， 所以，解得， 综上，实数的取值范围是或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $