2026年普通高等学校招生全国统一考试临考冲刺(4)-【创新教程】2026年高三数学高考临考冲刺卷

2026年普通高等学校招生全国统一考试临考冲刺（四〉 数学 (本卷共150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号，考场号，座位号填写 在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和准考证号填涂在答题卡相应位置上， 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改 动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 彩 位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以 上要求作答的答案无效， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 斯 1.已知全集U=(-3,-2,-10,1,2,3,集合M={红∈N2>号}则M中的元素个数是 A.2 B.3 C.4 D.5 2.已知O为原点，复数之1，之2在复平面内对应的点分别为乙1，乙2，则“|之1十之2|=|之1一之2|”是 的 “OZ1·OZ2=0”的 翼 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在平面直角坐标系xOy中，曲线C: x+|y=1的周长为 A.4 B.6 C.8 D.10 4.已知某人工智能模块训练N个单位的数据所需时间为T=log2N(单位：小时)，其中k为常 数.那么，训练6.4×108个单位的数据所需时间是训练4×10°个单位的数据所需时间的 阳 A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.8倍 T 数 3,则sin 1 5.已知cos0= 0 3sin 2 A.0 R号 C. 3 D 6.已知点M(1,-2),点P在抛物线y2=12x上运动，点Q在圆(x-3)2+y2=1上运动，则|PM 十PQ的最小值为 A.2 B.3 C.4 D.5 7.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1所示.通过观察发现，该黏菌 繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度 为60°)，再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的 一半，于是该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的 中心O开始，沿直线繁殖到A11,然后分叉向A21与A22方向继续繁殖，其中∠A1A11A22=60°， 且A1A1与A1A关于OA1所在直线对称，A1A1=AuA2=之0A,.若OA1=4cm,为保 证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r(r∈N*,单位：cm)至少为( 数学试题（四）第1页（共4页） An 培养皿壁 图1 图2 A.7 B.8 C.9 D.10 8.如图，空间图形ABCDE是由四个全等的三角形拼接而成的，其中EA= EC,EB=ED,AB=BC=CD=DA,经过点E的平面a满足AC∥a,BD∥ a.若△EAB是以AE为斜边的等腰直角三角形，AC=BD,且AB=1,则点 A,B到平面α的距离的平方之和为 ) A.2 B.5 C.√6 D.2√3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角 形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上 设抛物线y2=4x,弦AB过焦点F,H为AB的中点，O为坐标原点，△ABQ为其阿基米德三 角形，则 A.存在点Q,使得QA·QB>0 B.任意点Q,都有AB⊥QF C.任意点Q,都有QH∥OF D.△ABQ面积的最小值为4 10.在△ABC中，内角A,B.,C的对边分别为a、bc,已知cos Asin B+答sinm(C- 6 ,a十c= 2,则 A.cos C+cos Acos B=3sin Acos B B.6的取值可能为 C.6的取值可能为 D.△ABC的面积最大值为 11.若3xo∈R,使得F(x。)=0,且当x≠x时，F(x)>0,则称F(x)为x。-正移函数.定义符号 1,x>0 函数sgn(x) 02&-+1则 .-1,x<0 A.sgn(x)是0一正移函数 B.当x≥0时，方程f(x)=sgn(x)有且仅有一解 C.f(x)是1一正移函数 D.函数g(x)=f(x)·sgn(x)的最小值为-1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2.已知等比数列@，的前n项和为S,16记T,=a,“a,m∈N),则T的最小值为 13.已知。>0且函数()=sino+军的图象恰有三条对称轴在(0，x)上，则其在(0，x)上共 有个极大值点 14.已知函数f(x)=log(2十3)，g(x)=1og3(6一2).给出下列四个结论： ①f(2)g2:@存在x.∈(0,1)，使得fx)=gx,)=x: ③对于任意的x∈(1，十∞)，都有f(x)<g(x);④对于任意的x∈(0，十∞)，都有|x一f(x) ≤g(x)-x|. 其中所有正确结论的序号是 数学试题（四）第2页（共4页） 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.13分)在数列{a中a-2点(aa)n∈N)在直线y=x+2上. (1)求数列{an}的通项公式；(4分) (2)记b.=。一，求数列{b,}的前n项和T(4分) am·an+1 (3)令c,2品气mN,证明，十，十…+c.<2.5分) 16.15分已知瑞圆C:若+若-1a>60)点P-1,岛，P(.写}R01在帮MC上 (1)求椭圆C的方程.(3分) (2)过点D(4,0)且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M,N两点. (ⅰ)若O为原点，求△MON面积的最大值；(5分) (i)点A(-2,0),设点Q是线段MN上异于M,N的一点，直线QA,QM的斜率分别为k1, H质十名-0，求D:设的值，7分) 17.(15分)如图，在平面四边形ABCD中，△ABC为等腰直角三角形，△ACD为正三角形， ∠ABC=90°，AB=2,现将△DAC沿AC翻折至△SAC,形成三棱锥SABC,其中S为动点. (1)证明：AC⊥SB;(4分) (2)若SC⊥BC,三棱锥SABC的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面SAC的距 离；(5分) (3)求平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值.(6分) 数学试题（四）第3页（共4页） 18.(17分)在蜜蜂群体中，侦察蜂发现食物源后，通过“蜜蜂舞”向同伴（观察蜂）指示食物源的距 离d(单位：百米).设食物源距离d为随机变量，其概率分布为：P(d=)-号k=1,23.在每 次“蜜蜂舞”中，侦察蜂选择摇摆的概率为p,选择直线奔跑的概率为1一p,通过3次“蜜蜂 舞”叠加传递距离信息，且每次“蜜蜂舞”中侦察蜂选择直线奔跑或摇摆相互独立，即摇摆次数 X服从二项分布B(3,p:),其中=号p,=p,=子 (1)求食物源距离d的方差D(d);(4分) (2)求随机变量X的概率分布列及数学期望E(X);(8分) (3)观察蜂需要根据观察到的摆动次数X来判断食物源的距离d,设判断函数为a=bX+a, a,b∈R,其中a=E(d)一bE(X),若损失函数为L=(d-d)2,求b的值使得E(L)最小.(5分) 参考数据：EX)=,参考公式：对任意两个随机变量X,Yy有E(X+Y)=E(X)+EY). 19.(17分)已知函数f(x)=(m十1)sinx-xcos x,x∈[0，π]. (1)当m=0时，求f(x)的单调区间；(4分) (2)若f(x)存在唯一的极值且为极小值，求的取值范围；(6分) (3)设n∈R,若存在m∈(-∞，0)使得m≤√2(f(x)一n)对x∈[0，π]恒成立，求n的最大值.(7分) 数学试题（四）第4页（共4页）参考答案 2026年善通高等学校招生全国统一考试临考冲刺（四） 选择题答案速查 题号 2 3 4 5 6 7 9 10 11 答案 D C B A B B B BCD ACD BCD 1.D [因为M {红eN>} 6.B[把x=1代入y2=12x,得y=12>(-2), x∈Nx<3}={1, 所以点M(1,一2)在抛物线y=12x里面， 2}, 圆(x-3)2十y2=1的圆心记为C2(3,0), 又全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},所以CuM={-3, 因为PQ的最小值为PC-1,而C,正好是抛物线y -2,-1,0,3},其中共有5个元素.] =12x的焦，点， 2.C[设≈1=a十bi,x2=c十di(a,b,c,d∈R),则OZ1=(a, 过点P作抛物线准线x=一3的垂线，垂足为P, b),OZ2=(c,d), 则根据抛物线的定义得PC,=PP, 若x十|=之1-2，则a十c十(b十d)i=a-c十(b 所以|PM十|PQ的最小值等于PM+|PP1|-1的 -d)i, 最小值， 当M,P,P1三点共线时PM十PP最小，最小值 即√(a+c)'+(b+d0=√(a-c)+(b-d0, 为MP, 所以ac十bd=0,0Z·OZ2=ac十bd=0,充分性成立； 故PM+|PP,1-1的最小值为MP1-1=1-(-3) 若0Z1·0Z2=0,则ac+bc=0,又因为(a十c)2+(b+ -1=3.] d)2-[(a-c)2十(b-d)2]=4(ac+bd)=0,所 7.B[由题意可知，OA1=4cm,只要计算出黏菌沿直线 以√(a十c)+(b+d) 一直繁殖下去，在OA1方向上的距离的范围，即可确定 培养皿的半径的范围，依题意可知黏菌的繁殖规律，由 =√/(a-c)+(b-d), 此可得每次繁殖在OA1方向上前进的距离依次为：4,2 即十=1一，必要性成立.综上所述，“之十2 =之一之2”是“0Z·0Z,=0”的充要条件.] 1×9g×9… 2 3.C[在曲线C的方程+y=1中，令x用-x或y 3 则4+2x9+1+×9-5+5+-7 4 用一y代换，曲线方程都没有变， 黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在OA1方向上前进的距离和 所以曲线C关于x轴，y轴对称，原点对称， 即为两个无穷递缩等比数列的和，有（十1十十…）十 当x≥0，y≥0时，曲线C的方程为云十y=1,表示以 (√3,0)和(0,1)为端点的线段， 其长度为√（√）2十1=2，根据对称性知，其他三条线段 16+45<16+8=8, 的长也为2， 3 3 所以曲线C:工+y=1的周长为4X2=8.] 综合可得培养皿的半径r(r∈N“,单位：cm)至少为 8cm.] 4.B[依题意，训练6.4X1028个单位的数据所需时间是 8.B[因为AC∥a,BD∥a,所 T1=k10g2(6.4X1028)=k10g2(2×1027)=k(6十 以在平面α内作点F,G使得 271og210), EF=CA,EG=DB,取AC的 而训练4×10个单位的数据所需时间是T2=l0g(4×10)= 中点M,连接BM,DM. k1og(22×10°)=k(2+91og210), 因为AB=BC,CD=AD,M 2品=8] 为AC的中点，所以BM⊥ y/G AC,DM⊥AC,又因为BMC平面BDM,DMC平面 5A[因为0s0=号，所以im号=10s日_1-室 BDM,BM∩DM=M,所以AC平面BDM. 2 2 2 又因为BDC平面BDM,所以AC⊥BD,故EF⊥EG 3， 又由EA=EC,EB=ED得EM⊥AC,EM⊥BD, 3sim号-1 从而以E为原点，EF,EG,EM分别为x,y,之轴的正方向 号 1 3sin2 =0.] 建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,0).设A(x1,0, 3sin 2 ),B(0,≈)，C(-x10,1),D0,-y22) ·17· 数学 因为△EAB是以AE为斜边的等腰直角三角形，AB= 10.ACD 1,所以BE=1,AE=√2， [:oAsin(B+晋)-sim(c-吾) 而AC=BD,故由此可列出方程组 〔x1十x=2 - +号=1 sin(A+B)+合os(A+B》 (i=y: sin Acms o Asin Bo cos 解得=51，=5,1.故点A,B到平面的距离的 2 sin Asin B, 2 2 平方之和为十号=5.] 整里得号in AcosB=子in Asin B,:sinA≠0， 9.BCD[设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线AB:x=my十1， 联立=my+1 ,得y2-4my-4=0,则y十y2=4m, 号sB=n,即anB- y2=4x y1y2=-4. B∈(0)B=号， 设过点A的切线为y一y=k(x一x),则y=41, 对于A,因为cosC+cos Acos B=-os(A十B)十cos Acos B 装立化》发理可泽y广一y终一 =sin Asin B=停nA. 1y2=4x =0. 6 sinAcoB=怎sinA,所以osC+cos AcosB 由4=（)广-（货）-0可得=是 =√3 sin Acos B,故A正确； 同理可得过点B的切线斜率为2 b=a2+c2-2 ac cos Bi=a2+c2-ac=(a十c)2-3ac≥ , （a十cy-3a+=a+=1,当a=c=1时取等， 4 4 所以1≤b<2,故B错误，C正确； =-1,所以QA·QB=0,故A错误； sw=csnB-<9xa-9,当a= 4 对于B,可得A处的切线方程为：y一y =2(x-x): =1时取等号， yI 所以△ABC的面积最大值为，故D正腐.] :y=4x1,即y1y=2(x十x1)； 同理B处的切线方程分别为：y2y=2(x十z) 11.BCD[对于A,当x<0时，sgn(x)=-1<0,不满足当 由=2x+a)听=4z x≠%时，F(x)>0,故A错误； 及 (y=2(x十西)(y2=4x2 对于B,当x≥0时，方程f(x)=sgn(x)有且仅有一解， 得y=22红=4业=2m. 当x=0时，)-，gn()=0,显然不相等： y一2 2 所以e-1一x=1,x>0有且仅有一解， -x1=-1, 令g(x)=e-1-x-1,x>0,则g(x)在(0，十∞)上有 4 4 且只有一个零点， 可得Q(-1,2m),因为F(1,0), 因为g'(x)=e1-1,所以当0<x<1时，g'(x)<0,g 所以ka=一当十业=一m, 4 (x)单调递减， 又因为直线AB的斜率为 当x>1时，g(x)>0,g(x)单调递增， m 所以AB⊥QF,故B正确； 因为g0)=日-1gD=-10,g8)=e-4>0: 对于C,因为m=0=当业， 所以当0<x<1时，g(x)<0,当x>1时，g(x)在(1,3) 2 上存在1，使得g(x1)=0, 所以QH∥OF,故C正确； 所以g(x)在(0，十∞)上有且只有一个零点x1,且x1∈ (1,3),故B正确； 对于D,AB=√1十m√(y十y)-4y=4(1十 对于C,当x≥0时，f(x)=e1-x,f(x)=e-1-1, m)',QF=2√m+1,S△A0 令∫(x)=0,解得x=1,所以当0<x<1时，f(x)< =空AB·QF=子×41+m)X2Tm-41 0,当x>1时，f(x)>0, 即f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， +m2)√1+ 所以当x≥0时，f(x)≥f(1)=0,当且仅当x=1时取 当m=0时，△ABQ面积取得最小值为4， 故D正确.] 等号，且满足0)= ·18· 参考答案 当x<0时，由f(x)=f(x十1)， 可知对于Hn∈N,当x∈[-n-1,-n],均存在唯一k 则只需要将函教g()=sm(十受)的图象的对称轴文 ∈Z,使得x+k∈[0,1)， 9r压缩1倍到区间(0，π)内， 此时fx)=fx+)∈(0，是]，所以当x<0时，f) 且将品数g)=sim(+子)的圈象的对称轴x=18 >0恒成立， 综上所述，f(1)=0,且当x≠1时，f(x)>0, 压编号倍不能到区同(0，)内， 即函数f(x)是1一正移函数，故C正确； 因此其在(0，π)上共有2个极大值点. f(x),x<0 答案：2 对于D,g(x)=f(x)·sgn(x) 0,x=0 14.解析：因为(W2+3)2=5十2√6>(W6),所以√2+√3> f(x),x>0 6>6-E,因为f(侵)=lgE+)>lg后 由C知，当x<0时，f(x)∈ (0,]当x>0时，f(x) 是g(侵）=1og,6-<1gB=名，所以 ∈[0，十o∞)， 所以当x<0时gx)=-fx)∈[日0小当x=0 f(侵)）>g(侵)故①错误：若f)=g)=,则 f(xo)=l0g6(20十3o)=xo=l0g6o,即2o十30= 时，g(x)=0, 656g(x)=l0g3(66-26)=x=log336,即60-20 当x>0时，g(x)=f(x)∈[0，十o∞)， =30,令h(x)=6-2-3,因为h(0)=-1<0,f(1) 则当R时8[一。十）印高数g)的 =6-2-3=1>0,所以存在x∈(0,1)，使得h(xo)= 0,即20十30=60，所以存在x。∈(0,1)，使得f(x) 小值为-工，故D正确] =g(x)=x0,故②正确；因为f(x)-x=log(2十3) e 12解桥：S=2后，81=16， 16 ,n≥2，则an=Sn 1og6=e(。2）=1os[(）广+（合）门因 S1=21-211=2 为（合）十（侵）在x∈1，十∞）上单调递减，所以 16 16 =16=2",n≥2， 又a=S=2合=2特合上式，故a=公，利工 )江也单调说减，所以f)-z<10e(合+合)》 a1a2…an=21X2-3X…X2-5=21-3-+n-5 <0.g-=g,6-2)-lg8=s(g2） =2,当n=4或5时，9取最小值 2 1og[2-(号)]因为2-（号）在xe1,+∞) 一10，故Tn的最小值为21°= 1 上单调递增，所以g(x)一x也单调递增，所以g(x)一x 1024 答案成 >1og(2-号)）>0，即f)-<gx)-,即对于任 意的x∈(1，十∞)，都有f(x)<g(x),故③正确；由② 13,解析：先作出函数g()=sin(c十子）的图象，知图。 可知，存在x∈(0,1)，使得f(x)=g(x)=x0,结合 ③可知当z∈(0，x0),f(x)>x,g(x)<x,即g(x)<x <fx),可知当x∈(x,十∞)，f(x)<x,g(x)>x,即 3π 7 g(x)>x>f(z,因为6=2+3,3=6*-2，得 3π2 2=6-30=60-3,即6/w-6=3-38,当 12 g=sin(x+) x∈(0，x6),有6*(6-1)=3(3m-1),因为 6>38,所以6x)-1<30-1,所以0<f(x)-x 由图可知画数g()=si血（十晋）的图象在y轴右侧 <x-g(x),所以0>x-f(x)>g(x)-x,即x-f(x) ≤g(z)-x,当x∈(x,十∞)，有6(1-6) 靠近的四条对称轴分别是： =3(1-3)),因为6/0>3，所以1-6-<1 x=子=x=x=1,由于fx)=ga) 3-,所以0>x-f(x)>g(x)-x,即x-f(x)≤ g(x)一x,所以对于任意的x∈(0，十o∞)，都有x >0,则起面教g)=si血(+子)的圈象棱坐标缩短 f(x)≤g(x)一x,故④正确. 答案：②③④ 为原来的二倍， 15.解：1)由已知得a1=a.十合，中a1-a,=之 即可得画餐f代x)=sin(or十平)的图象， 数列0}是以宁为首项，以d=之为公差的等差 为了满足函数(x)=sim(or十平）的圈象恰有三条对 数列 称轴在(0，π)上， .+(1)(nEN') 2 ·19· 数学 (2)由(1)得b, 1 4 (ⅱ)因为k1十2=0，所以直线QA,QM的倾斜角互补， n×n+1n(n+1)1 所以QA=QD, 2 2 所以点Q在线段AD的垂直平分线上，所以 6=4(只) ) 工.=4[-)+（合3）十(3-)十… 所以DM=√(4-)+y=√F+1y1, +(合川 同理得|DN|=√P+1|y2,|MQ|=√+1 =4-点)0 +3 所以：品 y·+ 13 y2·y+ 则2s=1+2叶2.5=255=1 、1 2122 + y+3 (+) 因为n为正整数，则”2>0，从而S=2-2<2 2” 因为y1y2= + 即G1十c2十…十cn<2. DM·|NQ 所以 DN·MQ 16解，D点P(1号)P(,号)P,0,1在周 -3 3 2x(y十)+ 3 3 2y1- C上， 3 3 b=1 则有 3 1 ,所以a=2,椭圆C的方程为 4+y 4b2 所以DM:N2的值为1. DN·|MQ 17.解：(1)取AC的中点E,连接SE, BE, 因为AB=BC,SA=SC,且AC 的中点为E,所以SE⊥AC,BE ⊥AC 又SE∩BE=E,SE,BEC平面SBE,故AC⊥平 (2)(i)设直线1的方程为x=ty十4，点M(x1,y), 面SBE, N(z2y2), 由于SBC平面SBE,故AC⊥SB, 由=+4 (2)当SC⊥BC时，由△CBS≌△ABS,知SA⊥BA, (x2十4y2=4 消去x得：(t十4)y+8ty十12=0， 取BS的中点O,连接OA,OC 故O到A,B,C,S四，点的距离相等，故O为三棱锥S [十一+4 -8t ABC外接球的球心， 则 △=16(-12)>0，则t<-2√5或 12 因为AB=BC=2,AC=AS=CS=2√2，故SE=√6，SB y1=2中4 =2V3,EB=√2， t>25, 设S到平面ABC的距离为h1,B到平面ASC的距离 所以y一y2=√(y-y2) 为A:,由等体积法可得Vx=Vs→子SaXA, -+为)-4y-4卫 f+4 子saeX, 所以△MON的面积S=子X4Xy- 而cOs∠SEB=- B 3 =×4x4亚8卫 由于∠SEB∈(0，π)， t+4 t十4 (令VF-12=u(u>0),则2=2+12，S=8 故sin∠SEB=6 3 u2+16 8≤1， 所以h1=SEXsin(r-∠SEB)=5X5=2,从而h, u 2 当且仅当u=4,即=28时，△MON面积的最大值 为1. 故0到平面SAC的距离为⑤ 3 ·20· 参考答案 (3)以B为原点，BC,BA,Bx分别为x,y,x轴建立空间 直角坐标系B一xyz,如图， 当d=1时，XB(3,号）则P(X=d=1D 过，点S作平面ABC的垂线，垂足为Q, 设∠SEQ=日为翻折过程中所旋转的角度，则QE= c(传)广0-) √6cos0,h=SQ=√6sin0,QB=√2+√6cos9,故B(0,0, 当d=2时，X~B(3,2)则P(X=kd=2) 0),C(2,0,0, A(0,2,0),Q(1十√3cos0,1十3cos0,0), c(2)-)-g. S(1+√3cos0,1+√3cos0W6sin8), 当d=3时，X~B(3,号)则P(X=kd=3)= 则BC=(2,0,0),BS=(1十3cos0,1十√3cos0,W6sin),设 平面SBC的法向量为 c()广(-)- 27 m=(x1y1,),则 随机变量X的取值为0,1,2,3， (m·BC-2x1=0 P(X-k)-P(d=i)P(z-kld=i)-- (m·BS=(1+5cos)z1十(1+√3cos0)y1十(6sin)1=0 k d=i), 取y=√6sin9,则=-(1十√3cos9),∴.m=(0wW6sina, -1-√3cos) 即P(X=0)= 3[P(X=0d=1)+P(X=0d=2)+ 设平面SAC的法向量n=(x22,2） PX=-0d=3]=号（侵+g+)-是 CS=(-1+V5cos0,1十√5cos0,N6sin0),AC=(2,-2,0), ∫n·AC=2x&-2w=0 P(X=1)=g[P(X=1d=1)+P(X=1d=2)+ n.CS-(-1+3cos 0)x2+(3cos 0+1)y+(sin 0)2=0 取西=sin8,则2=sin8,.n PK=1d=》1=号（停++）器 (sin0,sin0,-2cos0).设平面 P(X=2)=3pX=2d=1)+pX=2d=2) SBC平面与SAC的夹角为a, 故cosa=cos〈m,n〉 PX=2d=3]=(号+音+)-器 m·n m·n P(X=3)= 3[PX=3d=1D+pX=3d=2) √2·5+cosl √7-3cos20+2√5cos0×√2 X=3d=31=（+日+）是 故随机变量X的分布列为 cos2 0++23cos 0+3 X W7-3cos2日+2√3cos日 0 1 2 3 1 3cos 0-2 P 1 1 cos a= W3+3×7-3cos9+2waos2 72 72 72 72 令√5cos0十2=t,2-√5<t<2十5，故cosa 所以期望为E(X) 0+25+50+33 72 2 18 1 3 33 X- (3)由(1)(2)知，E(d)=2,E(X)= -(+) ，Dd)=， 由于≥2，故 -8 故a=2-b, cos a- 1 则 E(L)= E[(d-x-2+）] 当且仅当t=1即cos9= 时取等子 [(d-2》-(x)] 故年西SAC与平西S8C夹角余弦值的最小值为写此 =E[(d- 2r门+E[(x-)] 时c0s0= 2E[d-2(x-是)] 31 18.解：(1)由题意知，食物源距离d为随机变量，且d=1, -IXd+6XX)-2E(dx-2x-d+3) 2,3, 可得期望E(d)=1+?+3=2,则方差D(d) +器-2（是-8-8+3） = 3 1-2y+2-2+3=2少-号 3 (2)由题意知， 由二次函数的性质可知，当b= 导时，E(L)最小 ·21· 数学 19.解：(1)当m=0时，由f(x)=sinx-xcos x,得f(x) cos x-(cos x-xsin x)=xsin x, 此时)在（受]有唯一极 y 又x∈[0，π]，则x≥0，sinx≥0，所以f(x)≥0，即f(x) 大值点x,不合题意，故m>0 0 在[0，π]上单调递增， 舍去.综上，m的取值范围为 故f(x)的单调增区间为[0，π]，无单调减区间. (-0∞，0). y=-x (2)由(1)可知m≠0， (3)由(2)可知，f(x)有且仅有 一个极小值点x, y=xtanx 根据题意得：f(x)=(1十m)cosx-[cosx十x(-sinx)]= asin x十ncos x. 故f(x)mm=f(x)=(m十1) (i)若m<0, sinzo一To cos.xo 因为f(xo)=mcos.x十o Sin.Zo=0, ①x∈（径x]时，xsin≥0，mcos>0,此时f(x)> 所以m=二sinu 0,故)在（受]上无极值点 cOs Zo @当x[p,]时：令h)=)=nx寸mcms,得 由题意知，≥号m十n可得f= h'(z)=(1-m)sin x+zcos z. =m+1sinu,-0s,≥ 2m十n, 由1-m>0,sinx≥0，xcos x≥0，则h'(x)≥0，从而 即 To sinTo Ax)在[0，受]上单调递增 sinx0一To COS.Lo≥ .sin十n, 2 COSo 又h0)=0+m<0.h(受)=受>0. 6-乞osin6 化简得n<sinz cOS 由零点存在性定理可知，存在x∈(（0，受）使得） =0. 设g(x)=sinx cos x ze(0,） 从而当x∈[0，)，f()<0,当x∈（a乏]f(x) 又g'(x)=c0sx- >0. [-号(sn+os小os+(号sn）m f)在[0，x)止单调递减，在(，受]上单调递增， cos'r 所以f(x)是f(x)在[0，π]上唯一的极值且为极小值， sin c+ 2 sin' cos'r 故m<0符合题意. a一+号nsm+ xr(cosx+sinx） (i)若m>0,xe(Ξ，]f(x)=mcos十asin cosx(m十rtan x) -cos rsin2r+ 令(x)=xtan x,x∈ (x](x)=0, cos'r 则'(x)= cos asin a -sin x sin x cos x 2 cos'x sin xcos z+xcos'x+xsin'z cosx (cos xsin x+x) -sin x 2 sin xcos x+a cos'x cos'x 令g(w)=sin acos十x=2sin2x+, 图为x∈(0，受)所以snzo0s十x>0, 则p(x)=c0s2x+1≥0，故g()在（经]上单调 当0二x≤买时2simx>0g'(z)>0: 递增， 所以9(x)≥(0)=0，即$(x)≥0，所以f(x)在 当导<受时，-<0g<0 (受]单调递增。 故gx)在(0，)上单调递增，在（罕，受）上单调 递减， 因为()=0→受时，(x)-0∞，所以x)的值城 为(-00,0]. 所以g)=g(于)-号(-晋)此时m=-景 故当m>0时，-m=ctan x有唯一解xo,且当x∈ 依随意号(-) (2）时，f(x)>0,fx)单调递增： 当x∈(xo,π)时，∫(x)<0,f(x)单调递减； 故m的表大位是号(-晋）) ·22·