2026年普通高等学校招生全国统一考试临考冲刺(3)-【创新教程】2026年高三数学高考临考冲刺卷

参考答案 2026年善通高等学校招生全国统一考试临考冲刺（三） 选择题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 D C C 0 ◇ 0 ABD ABC ABD 1.D[由题设M={yy>0}, 对于二次函数S=55 66k十26.2开口向上，故在对称 2x-1>0 -66 对于y=log2-√3x-2,有 2x-1≠1， 轴k=一 2×55 =0.6时，S取到最小值，故D正确.] 3x-2>0 6.B[如图，设A,B,C,D,E,F 可得x(1)U1,+∞). 为各边三等分点，根据等边三 角形可知，BE,AD,CF相交于 所以P={号<r<1或>1， 中心点P。,根据等边三角形可 故MnP=(号，1)U1,+o.] 知：四边形P AP.F是菱形，则 P 由菱形的对角线互相垂直平分 2 2(1+i) 2.C[=户=a十D=1+i对于A,: 可得：AF是线段P1P。的垂直平分线， √+1=√2，故A正确： 所以当点PP。=PP时，动，点P一定在AF上， 对于B,心的共轭复数为1一i,故B正确；对于C,之的虚 同理可得：动点P一定在BC上，动点P一定在ED上， 部为1，故C错误； 所以当PP。≤PP,,i=1,2,3时，结合点P在三角形 对于D,22=(1十i)2=1十2i十=2i,所以之2为纯虚数， 的内部， 故D正确.] 可得集合S为正六边形ABCDEF及其内部区域，所以 3.A[由y=f(x十3)十2的图象向右平移3个单位长度， 再向下平移2个单位长度，可得函数y=f(x)的图象，因 当P与F重合时，PP,·PP=3X1×c0s吾=号，即 为函数y=∫(x十3)十2是奇函数，即该函数图象关于 (0,0)中心对称，所以函数y=f(x)的图象关于(3，一2) 可取到最小值是， 中心对称，所以f(x)十f(6-x)=-4, 当P与C重合时，PP,.P,P=PP,·PC=PP· 因此f(1)十f(5)=-4,f(2)十f(4)=-4,f(3)=-2, 所以∑f(i)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)十f(5)= (B+PC)=3X3+3×1×eoξ=9-是=9，即 -10.] 可取到最大值受] 4.C[根据题意可得：2a一a1=0, 因为数列{an}是等比数列，a1=1,则化筒得2a1g一a1q 7.A[连接DO,AO,并延长交 =q(2-q)=0, BC于点P,因另一小球在该半 因为9≠0，所以g=2.所以S,=a11-9)=1X1-2) 球正上方，且与正三棱锥D 1-g 1-2 ABC的三个侧面均相切，故其 =27-1=127.] 球心O在线段DO1上，连接 5.D[当x=1时，y=k十16.2，残差的平方为(17-k PD,则球O必与PD相切，设切点为E,连接OE.由题 16.2)=(0.8-k)2; 当x=2时，y=2k十16.2，残差的平方为(16-2k-16. 意，球0的半径为r,半球0的半径为1，而AP= 2 2)2=(0.2+2k)2: 当x=3时，y=3k十16.2，残差的平方为(20-3k-16. AB号x6E=36,A0=号AP=26,P0=AP 2)2=(3.8-3k)2: 当x=4时，y=4k十16.2，残差的平方为(18-4k-16. =√6，则DO=√DA-AO=2√5，PD=√DO+PO 2)2=(1.8-4k)2; 当x=5时，y=5k十16.2，残差的平方为(19-5k-16. =3区，易得△D0E与△PD0,相似，故有-品，则 2)2=(2.8-5k)2. 所以残差平方和S=(0.8-)2十(0.2十2k)2+(3.8 后号车0=6因0-0a=0,中n 3k)2+(1.8-4k)2+(2.8-5k)2 25-3r-r,则r片+2r2=(25-5r-r)+2r2= =(0.64-1.6k十k2)十(4k2+0.8k+0.04)十(14.44- (6十2√3)r2-(12十4√3)r十12，该二次函数的开口向 22.8k+9k2)+(3.24-14.4k+16k)+(7.84-28k十 25k2), 上，对称轴为r=1,故r=1时，十2r2最小，此时n1= =55k-66k+26.2, √3-1满足题意.] ·11· 数学 8D[对于A:A2)=。>=合所以A品 1 1 10.ABC[因为g(x-3)是偶函数， 所以f(-x)十g(-x-3)=f(-x)十g(x-3)=2= 数不能将所有输入值映射到(0，受)范国内，故A错误： f(x)十g(x-3),所以f(x)=f(-x). 对于B,A函数和B函数的定义域均为R,A(一x)十 当x=0时，f(0)十g(-3)=2,又g(-3)=1,所以 1 1 2+e+e* f(0)=1, A()=1e1+e (1+e)(1+e) =1, 即A(-x)=1-A(x) 所以fI十-1)=0)=1，所以f)=是，故A正确： 4)。国象的对称中心为(0，）： 由f(x十1)十f(x-1)=f(x),得f(x)+f(x-2)= f(x-1), B(-x)=e-e=-g-e e十e=e+e =一B(x),所以B函数 两式相减得-f(x十1)=f(x一2)，所以f(x)=一f(x十3)， 是奇画数，图象的对称中心是(0,0)，故B错误： 又f(x)=f(-x),所以f-x)=-f(x十3)， 即f(-x)十f(x十3)=0， 对于C,M(x)= 中。千后宁的光义规务民 :M-x)=,1-e-e1 e-er 所以)的因象美于点（侵，0）中心对袋，故B正确： 1十ee*+e2=11十e。 f(x)=-f(x十3)=f(x十6)，所以f(x)是以6为周期 2 1+-e+1=-Mx) 1十ex e+e2 的周期函数， 所以f(2025)=f(3)=-1,故C正确； 1 M(=。一一。十。一一2是奇函数，其零点关于 由以上分析可知f(0)十f(3)=f(1)十f(2)=0, 原点对称 f(0)十f(1)+f(2)+…+f(2025) =f(0)+337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+ f(6)]+f(2023)+f(2024)+f(2025) 函数M)=A)一Bx)子有寺数个零点，故C错误。 =f(0)+337×[f(1)+f(2)+f(3)-f(1)-f(2) 1 -=e'-c- f3)]+f(2023)+f2024)+f(2025) 对于D,令A(x)=B(x),则 十ee+e =f(0)十f(1)十f(2)十f(3)=0,D不正确.] 即e2r-2e-1=0, 11.ABD[在Rt△SOA中，SA=12,OA=4,∠OSA= 解得e"=1十√2，∴.x=ln(1十√2).故D正确.] ∠OSB=B 9.ABD[对于B,因为sinA+sinC=2sinB,所以a十c =2b. 所以c0sB= S0W12-4_2W2 SA 12 则a,b,c成等差数列，故B正确： 对于A,椭圆的长轴为BD的长，在△SBD中， 对于A,因为b=2,所以a十c=4,可得△ABC的周长为 SB=12,SD=6,cos /BSD=cos28 6,故A正确； 对于C,由余孩定理得cosB=。士-b =2cos'B-1=2X )-1-子 2ac (a+c)2-2ac-4_-16-2ac-4=6-1, 所以根据余弦定理得BD=SD+SB-2 SDX SBX cos2B 2ac 2ac ac 由寒本不等式得a≤a+)-16=,当且仅当a=c =36+14-2X6x12x号=68 4 4 所以BD=√68=2√I7,A正确； 2时取等， 对于B,如图 可得c0sB=是-1≥号-1=号由余孩高数性质得y 设SO与BD的交，点为E,由线面角 =cosx在(0，π)上单调递减， 定义可知∠OEB=a, D 而BE(0x),得到B∈(（0，号]即角B的最大值为号 由上可知BD=2√17，AD=6,AB 故C错误； =8, 对于D,由三角形面积公式得 在△ABD中，Cos∠ABD= Sw=2asmB长}×4×9-5， 1 AB+DB-AD_8+(2W17)2-6 2XABXBD 2 2×8×2√17 可得△ABC面积的最大值为√3，故D正确，] =37 17 ·12· 参考答案 在Rt△OBE中，cos∠OEB=cosa 当0<x<1时，h'(x)>0,h(x)单调递增，当x>1时，h (x)<0,h(x)单调递减， =sin∠ABD 317 234 17 171 所以当x=1时，h(x)取得最大值，h(1)=0, 2W34 所以方程lnx。=xo一1的根为xo=1,所以切线方程为 由题设可知e cos a 17 cosB2√2 3√亚，B选项正确： y=x-1, 17 3 联立y=x-1 ly=ax'-x ,得az2-2x十1=0，△=4-4a=0,得 对于C,由上可知2a=27,a=√17 a=1. 又e=3I7 =c=-c 17 a 而，所以c=3. 答案：1 13.解析：对于5维坐标(a1,a2,a,a1,a),其中a,∈{0,1} 在R△OEB中，B B =cos∠ABD, (1≤i≤5，i∈N).即a有两种选择(1≤i≤5，i∈N), 所以BE= OB 4 417 故共有25种选择，即5维“立方体”的顶点个数是25= cos∠ABD 3√17 3 32个顶点： 17 当X=k时，在坐标(a1,a2,a3,a1a:)与(b,b2,b,b1, 又a十c=3十√7，所以E不为椭圆焦点，故C选项 b)中有k个坐标值不同，即有k个坐标值满足Q,卡b, 错误； 剩下5-k个坐标值满足a,=b, 对于D,如图 设A'(tcos0,tsin0), 则满足X=6的个教为C2X2=C·2. 2 则B(oos(0+受）sin(0+)） 所以P(X=) C·2_C (k=1,2,3,4,5) C 2-1 即B'(-tsin0,tcos8), 故分布列为： 所以0A=fcos0+fsin20 X =t,将点A'代入椭圆方程： 10 10 1 31 31 3131 则E(X)=1× 10 得cos0+sim0=1,化简 31 +3X 31 31 17 8 得OA 贺故客案为部 234 答案咒 √8+9sin0 14.解析：由题可得An,Bn,D,n,C(0,0)四点在以AC为直 同理得OB= 234 径的圆上， √8+9cos'a 因此在菱形AXB'CD中，|A=|OA'+O 接的圆心为(，一）N,半径为49 13600 =m+1)+(-)产， 544+81sin20 当9=0或0=受时，AB'?取得最大值为25，即此时 A'B5, =(合+D+-), 所以菱形A'BC'D'周长的最大值为4X|A'B'1=4X5 (-安)+(+)-少+号 =20.选项D正确.] 将两圆方程 12.解析：f(x)=lnx十1，设直线l与f(x)相切于点(x, zoln xo.） (告)-+)广=0D+号及+y 所以切线方程为y-zoln x=(Inx。十1)(x一x。),切 =4相减， 线过点(1,0)， 可得公共弦BDn的方程为(n十1)x-y=4. 则-xlnx。=(lnxo十1)(1-xo),整理为lnxo=xo -1, 令0保x故（气◆=0得y 设A(x)=lnx-z+1,()=-1=>0, x =-故N(0,-) ·13· 数学 所以8=×·引 8 n(n2+1) 因为AE(0,受）所以2A-吾∈（吾，）：所以 从而b= (2n2十n)S。 n2+2n+2 2A-晋=受，所以A= 8(2n+1) (m+1)[(n+1)2+1 因为2C=3sB,片以2x=36,甲4=2， bl 又a2=bB十c-2bcc0sA,所以7=6+9b-3弘 4 ，即7 因光26，= 子6，所以b=2=3: [(片)十（点） (2)f(z)=23sin xcos x-2cos'x+1 (h中川-8（合） -5sin2x-cos2x=2sim(（2x-若） 将函数f()的图象向左平移子个单位长度后得到函 数g(x)的图象， 管案淄 则gx)=2sin((u+吾）晋) 15.解：(1)设每次抽中纪念品为事件A,未抽中为事件A, =2sin(2+受）=2cos2 且PA)=号，PA= 由1)可知A=晋，所以B十C-。 记B为“恰好获得1个纪念品”，则有以下可能情况： 第1次中，第2次未中，第3次未中： 0<B<受 P=PAPA)pA)=合X号X-g: 在锐角△ABC中， 0<C=g-B<号 3 第1次未中，第2次中，第3次未中： P.-P(A)PCA)P(A) 解得吾<B<受 第1、2两次均未中，则第3次必得： 所以C-吾-B,吾<B<受（≥） B.=PA( 所以PB=R+P,+P=十日十=号 (2)记X为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，则 =20(B-号） X的可能取值为1,2,3. 因为晋<B<所以-<2B-< PX=1)=PA)=2 所以号<c(2B-等)1，所以1Kx(9）2, 1 11 P(X=2)=P(A)·P(A)= 所以(B。)的取值范周为1,2]， P(X=3)=P(A)·P(A)= 1 17.解：(1)取AP的中点E,连接 分布列 ME,由M是PD的中点，得ME 1 2 3 ∥AD且ME=ZAD, P 又BC∥AD且BC=号AD,剥台 E(X)=1× +2x ME∥BC且ME=BC,四边形BCME是平行四边形， -+3× 因此CM∥BE,而CM寸平面PAB,BEC平面PAB, 16.解：(1)由题f(A)=2√3 sin Acos A-2cosA+1= 所以CM∥平面PAB. (2)由PA⊥平面ABCD且AB⊥AD,得直线AB,AD, 3sin 2A-cos 2A-2sin(2A-6)-2, AP两两垂直， 所以sim(eA-晋)-1， 以A为坐标原点，直线AB,AD,AP分别为x,y,之轴， 建立空间直角坐标系A一xy贮， ·14· 参考答案 由PA=2,AB=2√5，BC 函数g(x)在（受，受）上单调递增，而（受） =2,AD=4,得， -π<0，(0)=1>0， A(0,0,0),P(0,0,2),B(2 √3,0,0)，D(0,4,0),C(2 则3x,∈（-受，0）使得g(x)=osx。十2x,=0,即 √5,2,0)， x0=一 PB=(2V3,0,-2),PD= (0,4,-2),PC=(2√3,2，-2) 当xe(-a）时，f(x)<0:当x∈（受）时， 设m=(x1y1,之)为平面PBD的法向量， f(x)0, 则m·Pi=26-2=0 ,取x1=2, 即西数f)在（受）上单调递减，在（受）上 (n1·PD=4y-2x1=0 单调递增， 得n1=(2w5,2√3)； 因此f(x)≥f()=sin十云+3=-sim2+ 设n=(x2,y,之)为平面PCD的法向量， 则·PC=25十2-2=0 sim4+>-子×(-1)-1+9-=2， 取x2=1, m,·PD=4y-2=0 函数g(x)=-x十ln(c0sx)-子，求导得g(x)=-1 得m2=(1W5,25); sin x 设平面PBD与平面PCD的夹角为8，则cos8= cos x =-1-tan x; a-眉，” 76 当x∈（受）时，g(x)>0:当x∈ 所以平面PBD和平面PCD的夹角的余弦值 (至，受)时g(<0 为17四 76 函数g(x)在（受，）上单调递增，在 （3)投品-A且0<1.A8=260,0 (受，受）上单调递减， BD=(-25,4,0),则BQ=ABD, AQ=AB+入BD=(2V3-2√3A,4a,0),AP=(0,0,2), 因此g(x)≤g(-季)-专1h2<0,所以当xe 设n=(xg,y,之）为平面PAQ的法向量， (吾，受)时g)<f), 则·AQ=251-0z+=0 3)对Vx∈（受x)>1-a)r十ar-平+ (n4·AP=2x=0 取x=2λ，得n=(21W5(a-1),0),又PD=(0,4,-2), 台simx+a(2-元x+交)-1>0，令h(x）=sinx+ 由点D到平面PAQ的距高为生y区，得m·P西 ax-+宁)-1z∈（受x)小依题意，h)>0在 7 n3 45-)一=4I (受上恒成立，且（受）=0， √4+3(1-1) 7 茎理得=1一，解得=合，所以在线段BD上存 求导得h(x)=cosx+2a(r-乏）)小今u()=cosx十 在除端点外的一点Q,使得点D到平面PAQ的距离为 2a(-）ze(受) 1北时器- 7 求导得d(x)=-sinx十2a,画数t()在（受，x）上单 18.解：(1)函数f(x)=sinx十x2+3,求导得f'(x)=cosx 调递增d()>(受)=-1+2a, 十2x,则f(0)=1,又f(0)=3,所以曲线y=f(x)在，点 (0,f(0)处的切线方程为y=x十3. 当-1十2a≥0，即a≥2时，(z)>0,函数h'(x)在 (2)由(1)知f(x)=cosx十2x,令p(x)=cosx十2x, 求导得9(x)=-sinx十2>0， (受，x)上单调递增， ·15· 数学 则(x)>(受)=0，画数(x)在（受，x)上单词递 则a=2√5，b=2,c=√a+b=4, 增，h(x)> () 0,符合题意： 故离心率e=￡=2因 31 (i)由(i)可知A(-2√5， 当a<2时，(受)<0，而函数()在（受）上的 0),F(4,0),由题意可知直 图象连续不断， 线的斜率存在不为0， 则存在∈（受使得当受<<x时a(x)<0, 故设直线方程为：x=1y十 4(m≠0)，M(x1,y),N 于是画数()在（受a)上单调递减，当受<< (z2y2), 时，h'(x)<(受)=0， 联立 =1得m-3)y+8my叶4=0， x=my+4 因此函数h(x 在（受）上单调递减，当受<x< 则m≠3，△>0，y1十y2= 8m m2-31= 时，hx)h(受）=0，不符合题意 因线段AM的中，点为 所以安数口的取值范周是[宁十】 2 x1+2√5 所以线段AM的垂直平分线为y一 19.解：1)设P(x,y),则AP=(x-1y-2),AB=W2,-2 x1+25 √2)， 1-23 2 将AB绕，点A沿顺时针方向旋转T到AP,相当于沿逆 即2(x1十2V3)x+2y1y-y-(x-12)=0, 又x号-12=3y7,x1=my十4， 时针方向旋转7到AP, 则线段AM的垂直平分线为(my十4十2√)x十y1y 则Ap-=（Ecs平+2 in牙-2Eos) 2yi=0, =(-1,-3), 同理线段AN的垂直平分线为(my2十4十2√5)x十y2y 则/11 -2y5=0, {-2=-3,解得=0y=一1，四光点P的坐标是 设T(zy）， 因，点T是△AMN的外心，则有 (0,-1). (2)(i)在双曲线E上任取一点M(xy), (my+4+2V3)x十yy-2y7=0 (my2+4+23)x。十y2y-2y=0 期OM=(,),将0M绕原点0沿运时针方向转子， 则y1y2是方程(y十4十2V5)z十yy-2y2=0, 得到07=(o0s子-y6in号， 即2y-(xm十%)y-(4十2V5)x=0的两个根，(13分) 则y十=5m十山」 y5=二4+2z 2 故一8m xm十 m2-3 2 4 则n(-9+y -(4十2V3)x m2-3 两式作商得，一8 xom十yo 又点M在南线y-+2上，剥+之y 4 3 -(4+2√5)x0 () 2√5 -4+2(u+尝） 1,- 22 20 得兰=(7+4尽)m,则k1kr=·边=7十45 2=1 m Zo 化简得双曲线E的标准方程为：立一★ 即直线OT与直线！的斜率之积为定值7十4√ ·16·2026年普通高等学校招生全国统一考试临考冲刺（三〉 数学 (本卷共150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号，考场号，座位号填写 在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和准考证号填涂在答题卡相应位置上， 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改 动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 彩 位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以 上要求作答的答案无效， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 斯 1.若集合M={yly=2},P={xy=log2x-1W3x-2},则M∩P= A.(0,+∞) B+ c( 2.若复数之= 己其中1为虚数单位，则下列结论错误的是 A.|z=√2 B.之的共轭复数为1一i 黄 C.之的虚部为i D.之2为纯虚数 3.已知函数f(x)的定义域为R,函数y=f(x十3)十2是奇函数，则立f(i)= A.-10 B.-5 C.5 D.10 4.行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下： a 6 ad一bc,已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若 23 0,a1=1, c d 则S= A.31 B.63 C.127 D.255 5.下列是某商品2025年前5个月的平均价格与月份的统计数据： T 阳 数 月份代码 2 3 4 5 平均价格（单位：元） 17 16 20 18 19 用方程y=kx十16.2拟合上述数据，当残差平方和最小时，k= A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.6 6.设D是边长为3的等边△PP2P3及其内部的点构成的集合，点P。是△PP2P3的中心，集合 S={PP∈D,|PP|≤|PP,I,i=1,2,3,则P1P2·P1P的取值范围为 ( ) 系 A.[3,15] [ C.[2,12] D.[1,6] 7.四面体DABC为正三棱锥，其侧棱DA=6,底面边AB=6√2，底面ABC的中心为O1,将一半 径为r的半球放于棱锥内部，半球的底面与棱锥底面ABC重合，且半球底面圆心与点O,重 合，将另一半径为r的小球放置于该半球正上方且该球与三棱锥的三侧面都相切，当十2 最小时，r的值为 ( A.1 2 3 C.2 D.3 数学试题（三）第1页（共4页） 8.随着人工智能的爆火，其已被广泛地用来实现语义分析、计算推理、问答对话、代码编写等任 务，其实现指令的背后主罗靠大语言模型算法，其中A函数：A(x)二十。一是算法中被广泛使 用的一种激活函数.激活函数的一个重要作用是执行数据的归一化，将输入数据映射到某个范 围内，再往下传递，这样做的好处是可以限制数据的扩张，防止数据过大导致的溢出风险.B函 数是A函数的改进版，B()二。十。那么下列说法正确的是 () A.A函数可以将所有输人值映射到0,2范围内 B.A函数和B函数图象的对称中心相同 C.复合模型M函数M(x)=A(x)-B(x)-2有偶数个零点 D.A函数和B函数的图象仅有一个公共点 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若sinA+sinC=2sinB,b=2,则 () A.△ABC的周长为6 B.a,b,c成等差数列 C.角B的最大值为 D.△ABC面积的最大值为√3 10.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,f(x+1)+f(x-1)=f(x),g(x-3)是偶函数，且f (x)+g(x-3)=2,若g(-3)=1,则 () A.f1)-号 B.f(x)的图象关于点 (20中心对称 C.f(2025)=-1 D.f(0)+f(1)+f(2)+·+f(2025)=1 11.古希腊数学家采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，随着圆锥的轴与 平面所成角α的变化，截得的曲线的形状也不同，若圆锥轴截面的顶角为23， 侧阳线的离心率为6一C8如图，圆锥S0的底面半径为4，母线长为12。 △SAB是圆锥的一个轴截面，D为SA中点，过B,D两点且与轴截面垂直的 平面与圆锥的截面曲线是一个椭圆Γ，则 0 A.椭圆T的长轴为2√17 B.椭圆T的离心率为3Y7 17 C.SO与BD的交点是椭圆Γ的一个焦点 D.内接于椭圆的菱形周长最大值为20 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=a.x2-x.若经过点A(1,0)存在一条直线1与曲线y=f(x)和 y=g(x)都相切，则a= 13.在n维空间中(n≥2，n∈N),以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标 (a1,a2,…,an),其中a;∈{0,1}（1≤i≤n,i∈N).定义：在n维空间中两点(a1,a2,…,an)与 (b1,b2,…,bn)的曼哈顿距离为a1一b1|十a2一b2十…十an一bn1.在5维“立方体”的顶点中 任取两个不同的顶点，记随机变量X为厅取两点间的曼哈顿距离，则E(X) 14.已知圆C:x2十y2=4,点An（n2十1，一n),n∈N*.过点An作圆C的两条切线，切点分别为 Bn,Dn,直线BDm与x轴、y轴分别交于Mn,Nn两点.设△OM,N的面积为Sn,若数列{bn》 满足6， (2m+nS,则2： n2+2n+2 数学试题（三）第2页（共4页） 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(13分)江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活 动，到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品.规则如下：抽奖3次，每次抽中纪念品的概 率均为？，若前2次未抽中纪念品，则第3次无论抽中与否均获得纪念品。 (1)求某球迷恰好获得1个纪念品的概率；(7分) (2)记X为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，求X的数学期望.(6分) 16.(15分)已知函数f(x)=2√3 sin xcos x一2cos2x+1,设锐角△ABC的内角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,且f(A)=2, (1)若a=√7,2sinC=3sinB,求b,c的值；(6分) (2)将函数x)的图象向左平移晋个单位长度后得到函数g(✉)的图象，求(B。）的取值 范围.(9分) 17.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD, PA=2,AB=2√3，BC=2,AD=4,M是PD的中点. (1)求证：CM∥平面PAB;(4分) (2)求平面PBD与平面PCD的夹角的余弦值；(5分) (3)在线段BD上是否存在除端点外的一点Q,使得点D到平面PAQ的距 离为耳？若存在，求出器的值：若不存在，请说明理由.(6分) 7 数学试题（三）第3页（共4页） 18.(17分)已知函数f(x)=sinx+x2+3. (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(3分) (2)若两数g(x)=-x+1n(cosx)-于，证明：当x∈（一，)时，g(x)<f):(7分) ππ (3若对任意x(爱x小fx)>(1-ar+a a平十4恒成立，求a的取值范围.(7分) 19.(17分)已知对任意平面向量AB=(x,y),把向量AB绕其起点沿逆时针方向旋转0角后得到 向量AP=(xcos0-ysin0,xsin0+ycos),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转0角得到 点P. (1)若平面内点A(1,2),点B(1十2,2-2②)，把点B绕点A沿顺时针方向旋转无后得到点 P,求点P的坐标；(4分) （2)若双前线上：-善=1。≥0,6>0)绕坐标原点0逆时针旋转号得到周线)-+2 3 (ⅰ)求双曲线E的标准方程及离心率；(5分) (ⅱ)双曲线E的左顶点为A,右焦点为F,过点F且斜率存在的直线l交双曲线E于M,N两 点，点T是△AMN的外心，求证：直线OT与直线l的斜率之积为定值.(8分) 数学试题（三）第4页（共4页）