7.1.2 两条直线垂直-课件--2025--2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦“两条直线垂直”核心知识点，涵盖定义、判定（含斜率关系）、性质（过一点有且只有一条垂线、垂线段最短）及点到直线的距离。课堂通过生活实例（如灌溉挖渠）和动手操作（三角尺画垂线）导入，承接相交线一般情况，以“定义—性质—应用”为支架构建知识脉络。 其亮点在于结合生活实例培养数学眼光，通过斜率判定推理（如k1·k2=-1）发展数学思维，用符号语言（AB⊥CD）和表格对比（垂线、垂线段、距离区别）强化数学语言。采用动手操作、概念辨析、中考专练等方法，学生能深化理解与应用，教师可借助分层练习提升教学效率。

人教版数学7年级下册培优精做课件 7.1.2 两条直线垂直 第七章 相交线与平行线 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年4月17日 人教版数学七年级下册7.1.2两条直线垂直练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 两条直线相交，就一定互相垂直 B. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两条直线垂直，它们的夹角是60° D. 垂线段比斜线段短 2. 直线AB与CD相交于点O，若AB⊥CD，则下列结论正确的是（ ） A. ∠AOC=45° B. ∠BOC=90° C. ∠AOD=60° D. ∠BOD=30° 3. 过点P画直线l的垂线，下列操作正确的是（ ） A. 用直尺直接画 B. 用三角板的直角边与l重合，沿另一直角边画直线过P C. 随意画一条过P且与l相交的直线 D. 用直尺和量角器画一个30°的角 4. 点P到直线l的距离是指（ ） A. 点P到直线l的垂线段 B. 点P到直线l的垂线段的长度 C. 点P到直线l的线段长度 D. 点P与直线l上任意一点的距离 5. 直线AB⊥CD于点O，OE平分∠BOC，则∠AOE的度数是（ ） A. 45° B. 90° C. 135° D. 180° 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 若直线l₁⊥l₂，垂足为O，则∠l₁Ol₂=________°. 2. 过直线上一点，能画________条直线与已知直线垂直；过直线外一点，能画________条直线与已知直线垂直. 3. 如图，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2=________°. 4. 跳远时，运动员的成绩是指从起跳点到落地点的________的长度，依据是________. 5. 直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，∠AOE=55°，则∠BOD=________°. 三、解答题（共70分） 1. （10分）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠COE=35°，求∠BOD的度数. 2. （15分）按要求画图： （1）过点P画射线AB的垂线，垂足为M； （2）过点P画线段CD的垂线，垂足为N； （3）说明：过点P能画几条线段CD的垂线？依据是什么？ 3. （15分）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=4cm，AC=3cm，AB=5cm. （1）求点B到AC的距离和点A到BC的距离； （2）画出点C到AB的垂线段CD，并求出CD的长度； （3）比较AC与CD的大小，并说明理由. 4. （15分）直线AB与CD相交于点O，OM⊥AB，ON平分∠AOC，∠1=30°，求∠CON和∠BOD的度数. 5. （15分）已知直线AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE，∠BOE:∠EOC=1:4，求∠AOC的度数，并画出OF⊥CD，直接写出∠EOF的度数. 参考答案提示： 一、1.B 2.B 3.B 4.B 5.C 二、1.90 2.1，1 3.55 4.垂线段，垂线段最短 5.35或145 三、1.55°（提示：先求∠AOC，再利用对顶角相等求∠BOD） 2.（1）（2）画图略；（3）1条，依据：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3.（1）4cm，3cm；（2）画图略，CD=2.4cm；（3）AC＞CD，理由：垂线段最短 4.∠CON=30°，∠BOD=60° 5.∠AOC=30°，∠EOF=30°或150° 2026年4月17日星期五4时13分54秒 ◆知识与技能目标：学生能够准确理解两条直线垂直的定义，掌握垂线的性质，会用符号语言表示垂直关系，能够运用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线，能根据垂直关系进行简单的角度计算和推理。 ◆过程与方法目标：通过观察生活实例、动手操作、合作探究等活动，培养学生的观察能力、空间想象能力、逻辑推理能力以及动手实践能力，进一步提升学生的数学思维水平。 ◆情感态度与价值观目标：激发学生对数学的学习兴趣，培养学生的合作交流意识和探索精神，让学生体会数学与生活的紧密联系，感受数学的应用价值。 学习目标 你能再举出类似的实例吗？ 知识点1 认识垂线和垂直 如图，固定木条a，转动木条b. 当b的位置变化时，a，b所成的∠α也会发生变化. a b α α α α α b b b b 思考：当∠α=90°时，木条a，b所形成的其他三个角的度数是多少？ 由对顶角和邻补角的性质可知，其他三个角的度数都是90° 文字表述：两条有斜率的直线互相垂直，当且仅当它们的斜率之积为-1。 幻灯片4 补充说明 特殊情况的垂直判定 注意：上述结论的前提是两条直线都存在斜率，平面中还有两类特殊的垂直直线，需要单独记忆： 1. 一条直线的斜率为0（水平直线，如$$y=3$$），另一条直线的斜率不存在（竖直直线，如$$x=2$$），此时两条直线互相垂直。 2. 总结：平面内两条直线垂直的完整判定 - 若两条直线都有斜率：$$l_1\perp l_2 \Leftrightarrow k_1\cdot k_2=-1$$ - 若一条直线斜率为0，另一条斜率不存在：两条直线垂直 幻灯片5 概念辨析 易错点强调 判断下列说法是否正确，加深理解： 1. 若两条直线的斜率之积为-1，则这两条直线一定垂直 ✔ 2. 若两条直线垂直，则它们的斜率之积一定为-1 ✘（反例：水平直线和竖直直线垂直，无此关系） 3. 若直线$$l_1$$斜率为2，直线$$l_2$$斜率为$$-\frac{1}{2}$$，则$$l_1\perp l_2$$ ✔ 核心提醒：使用$$k_1\cdot k_2=-1$$判定垂直，必须先确认两条直线都有斜率。 幻灯片6 例题精讲 类型一：利用斜率判定两条直线是否垂直 例1：已知直线$$l_1:y=3x-1$$，$$l_2:y=-\frac{1}{3}x+2$$，判断$$l_1$$与$$l_2$$是否垂直。 解：由直线解析式可得，$$l_1$$的斜率$$k_1=3$$，$$l_2$$的斜率$$k_2=-\frac{1}{3}$$ 计算斜率之积：$$k_1\cdot k_2 = 3\times(-\frac{1}{3}) = -1$$ 根据垂直判定结论，可得：$$\boldsymbol{l_1\perp l_2}$$ 例2：已知直线$$l_1:x=5$$，$$l_2:y=-2$$，判断两直线是否垂直。 解：直线$$l_1$$是竖直直线，斜率不存在；直线$$l_2$$是水平直线，斜率为0 根据特殊垂直判定，可得：$$\boldsymbol{l_1\perp l_2}$$ 幻灯片7 例题精讲 类型二：利用垂直关系求直线的斜率/解析式 例3：已知直线$$l_1$$的斜率为$$k_1=-\frac{2}{3}$$，直线$$l_2$$与$$l_1$$垂直，求$$l_2$$的斜率$$k_2$$。 解：∵ $$l_1\perp l_2$$，且两条直线都有斜率 ∴ $$k_1\cdot k_2 = -1$$，代入得：$$-\frac{2}{3} \cdot k_2 = -1$$ 解得：$$\boldsymbol{k_2=\frac{3}{2}}$$ 例4：求过点$$(2,1)$$，且与直线$$y=-2x+3$$垂直的直线的解析式。 解：步骤1：求所求直线的斜率 已知直线斜率$$k=-2$$，设所求直线斜率为$$k'$$，由垂直得：$$-2\cdot k'=-1 \Rightarrow k'=\frac{1}{2}$$ 步骤2：用点斜式写解析式 过点$$(2,1)$$，斜率为$$\frac{1}{2}$$，则直线解析式为：$$y-1=\frac{1}{2}(x-2)$$，整理得$$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x}$$。 幻灯片8 课堂小结 梳理核心知识点 1. 核心定理：两条都有斜率的直线垂直 $$\boldsymbol{\Leftrightarrow}$$ 斜率之积为 $$\boldsymbol{-1}$$ 2. 特殊情况：斜率为0的水平直线 ↔ 斜率不存在的竖直直线，互相垂直 3. 解题思路： - 判垂直：先看斜率是否存在，再算斜率之积 - 求斜率/解析式：由垂直关系列斜率等式，求解后代入点坐标计算 4. 数学思想：数形结合，将直线的位置关系转化为斜率的数量关系 幻灯片9 结束页 本节课重点：牢记两条直线垂直的斜率判定规律 核心公式：$$\boldsymbol{k_1\cdot k_2=-1}$$（两直线均有斜率） 课堂小结：垂直是相交的特殊形式，斜率的乘积关系是判断垂直的核心依据，掌握规律、规避易错点，就能熟练解决相关问题。 a α b 木条a与木条b垂直 一般地，当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b相互垂直，记作“a⊥b”. 概念引入 概念引入 两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 记法： AB⊥CD，垂足为 O. A B C D O 两条直线垂直是相交的一种特殊情况. 画图时，通常在垂足处标上垂直符号“ ” A B C D O 符号语言： 因为 ∠AOD＝90°， 所以 AB⊥CD. 反之， 因为 AB⊥CD， 所以 ∠AOD=90°. 思考：判断两条直线互相垂直的关键是什么？ 只要找到两条直线相交形成的四个角中有一个角是直角. 垂线的定义具有双重作用： ①知线垂直得直角； ②知直角得线垂直. ①若 AB⊥CD，则∠AOD =∠AOC=∠BOC =∠BOD =90°； ②若∠AOD =90°，则 AB⊥CD. A B C D O 练习1 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O.若∠1=54°，则∠2的度数为（ ） A.26° B.36° C.44° D.54° 分析： EO⊥CD ∠COE=90° ∠1=54° ∠2=180°-∠1-∠COE B 用三角尺画： 落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合. 移：沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点. 画：沿已知点所在的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线. 1 2 3 探究 用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线. 知识点2 垂线的基本事实（垂线的性质1） l A 1.落 2.移 3.画 1条 （1）经过直线上一点 A 画 l 的垂线， 这样的垂线能画几条？ l B 1.落 2.移 3.画 1条 （2）经过直线外一点 B 画 l 的垂线， 这样的垂线能画几条？ l A 用量角器画： 点 A 在直线 l 上 l B 点 B 在直线 l 外 垂线的性质1 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 可以在已知直线上，也可以在已知直线外 “有”指存在，“只有”指唯一性 例2 如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线. （1） （2） （3） 画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线. 知识点3 垂线的性质2——垂线段最短 思考 如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何让挖渠能使渠道最短？ 实际问题 数学问题 如图，P点是直线l外一点，PO⊥l，垂足为O，称PO为点P到直线l的垂线段. P l O A是直线l上除点O外一点，连接PA，测量并比较线段PO与PA的长度，你能得出什么结论？ A 垂线的性质2 P l O A 连接直线外一点与直线上各点的所有线段，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 线段 PO 的长度是点 P 到直线 l 的距离 垂线段只垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足. 现在你知道该如何修建水渠了吗？ （第1题） 1. 如图所示，直线与相交于点 .下列说法 不正确的是( ) D A. 若 ，则 B. 若，垂足为，则 C. 当 时，称与 互相垂直 D. 与相交于点，点 为垂足 返回 中考考法 20 2. 过一条线段外一点，画这条线段的垂线，垂足在( ) D A. 这条线段上 B. 这条线段的端点上 C. 这条线段的延长线上 D. 以上都有可能 返回 中考考法 21 3. 过直线外一点作直线的垂线和斜线，叙述正确的是( ) B A. 都能作且只能作一条 B. 垂线能作且只能作一条，斜线可作无数条 C. 垂线能作两条，斜线可作无数条 D. 均可作无数条 返回 中考考法 22 （第4题） 4. 如图所示，为直线 上一 点， ，当____时， . 【点拨】因为，所以 . 因为 ，所以 . 返回 中考考法 23 5.图中与线段 互相垂直的线段为_____________. ，， （第5题） 返回 中考考法 24 （第6题） 6.如图，， ， ，则 ________. 【点拨】因为， ， 所以 ， , 所以 . 返回 中考考法 25 垂线 垂线段 点到直线的距离 图示 区别 联系 垂线是一条直线 垂线段是一条线段 垂线段的长度，是一个数量 它们都与垂直有关 l P O l P O l P O 垂线、垂线段、点到直线的距离三者的区别和联系 $