题号猜押04 北京中考数学13～16题（填空题）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押04 北京中考数学13~16题（填空题） 考点1 分式与二次根式 1．（2026·北京·模拟测试）若，则代数式的值为________． 2．（2026·北京西城·模拟测试）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____________． 试）若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 4．（2026九年级下·北京·专题练习）当x______时，分式有意义． 5．（25-26·北京·模拟测试）若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 6．（25-26·北京·模拟测试）式子成立的条件是______． 7．（25-26·北京西城·模拟测试）若代数式的值为，则满足要求的所有的值为______． 8．（25-26·北京·模拟测试）如果，那么___________． 9．（25-26·北京顺义·模拟测试）为了化简，同学们提出下列三种变形方法，其中正确的是______（填所有正确的序号）． ；；． 10．（25-26·北京·模拟测试）已知方程的两个解是，那么__________． 考点2解直角三角形 1．（2025·北京西城·一模）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上， 点，分别为两个正六边形的中心． 则的值为______． 2．（25-26·北京·模拟测试）如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点是网格线交点，则______． 3．（25-26·北京昌平·模拟测试）如图，一架无人机在距地面的空中进行航拍，当它拍摄地面上的目标时，无人机上摄像头的俯角为，则此时无人机与目标的水平距离为______．（将无人机近似为一个点） 4．（2026·北京·模拟测试）如图，是中边的中点，，，则______． 5．（25-26九年级下·北京·开学考试）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，，，为长度固定的支架，支架在，，处与立柱连接（垂直于，垂足为），在，处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由60°调节为，则点离地面的高度升高了约______（结果保留整数，参考数据：，） 6．（25-26·北京平谷·模拟测试）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，平谷区某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧边界处俯角为，无人机垂直下降至处．又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为_____（结果保留根号）． 7．（25-26·北京西城·模拟测试）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A．将直线绕点A逆时针旋转得到直线，设直线与y轴的交点为B，则______． 8．（25-26·北京·模拟测试）某校学生开展综合实践活动，如图，要测量树的高度，小李同学在离点10米的处利用测倾器测得处的仰角为，（，在同一平面内，，在同一水平面上），已知米，则树的高为_______米．（答案可以带根号） 9．（2025·北京·模拟预测）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．他们由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，经工作人员介绍知山顶D处与B处的水平距离约为（换乘登山缆车的时间忽略不计）则山的高度为___________ m．（参考数据：，，） 10．（2025·北京·二模）如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，则旗杆的高度是________． （参考数据：．） 考点3 图形变换与坐标 1．（25-26·北京·模拟测试）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为________． 2．（25-26·北京·模拟测试）如图1，在俄罗斯方块游戏中，小方块可先逆时针旋转_______度，再向_______（填“左”或“右”）平移至边格，然后往下移动，最终拼成一个完整的长方形（如图2），达到所有方格都消失的特效． 3．（25-26·北京·模拟测试）如图，直线l上摆放着两个大小相同的直角三角板和，将三角板沿直线l向左平到如图所示的位置，使点E落在上的点处，点P为与的交点．图中三块阴部分的面积之和为7，则直角三角板的面积为________． 4．（25-26·北京·模拟测试）如图，两个直角三角形重在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到的位置，则阴影部分的面积为______． 5．（25-26·北京·一模）如图，正方形的边长为3，点E在上，且，P是对角线上的一个动点，则的最小值为 _________． 6．（25-26·北京·一模）如图，在平面直角坐标系中，．点C为点B关于y轴对称的点，连接．若P是y轴上一动点，Q是上一动点，则的最小值是__________ ． 7．（25-26·北京门头沟·模拟测试）如图，在直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，当有最小值时，点的坐标为_______． 8．（25-26·北京·模拟测试）如图，四边形中，是由绕顶点逆时针旋转所得，顶点恰好转到上一点的位置，则________度． 9．（25-26·北京·模拟测试）如图，在中，已知，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B与点D对应，点C与点E对应，且C，D，E三点恰好在同一条直线上，则的长为_____． 10．（25-26·北京·模拟测试）如图2中的图案是由图1中的基本图形以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度，依次旋转若干次而组成的，则旋转角的度数最小为_____度． 考点4 几何综合与规律探究 1．（2024·陕西西安·二模）图形的镶嵌（或称图形的密铺）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．如果我们只用一种正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是①正三角形②正方形③正五边形④正六边形_____．（填序号） 2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 3．（2023·陕西·中考真题）如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是______． 4．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点，的位置，然后沿x轴向右滚动，第1次滚动使点A落在点的位置，第2次滚动使点A落在点的位置……，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点A的坐标是__________． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 6．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；按此规律作下去，则点的坐标为______，的坐标为______． 7．（25-26七年级上·广东深圳·期中）从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形．根据下面的图形反映出来的规律，八边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为______． 8．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，，点A与坐标原点重合，点C在x轴正半轴上，将绕点C顺时针旋转一定的角度后得到，使得点B对应点在x轴上，记为第一次旋转，再将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在x轴上，以此规律旋转，则第2024次旋转后钝角顶点坐标为__________． 9．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图1，已知长方形中，动点M沿长方形的边以的路径匀速运动到A处停止，记的面积为y，动点M运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 __________________． 10．（25-26八年级上·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，．点C为点B关于y轴对称的点，连接．若P是y轴上一动点，Q是上一动点，则的最小值是__________ ． 1．（25-26·北京·模拟测试）已知______． 2．（25-26·北京昌平·模拟测试）要使分式有意义，则应满足的条件是 ________ ． 3．（25-26·北京·模拟测试）若有意义，则x的取值范围为_______． 4．（25-26·北京·模拟测试）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的值为________． 5．（2025·北京·二模）如图，甲、乙两楼的楼间距为10米，小杰在甲楼楼底处测得乙楼楼顶的仰角为，在乙楼楼底处测得甲楼楼顶的仰角为，那么乙楼比甲楼高___________米（结果保留根号）． 6．（25-26·北京·模拟测试）如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为_________． 7．（25-26·北京·模拟测试）如图，将梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若 ，则图中阴影部分的面积为_____________． 8．（25-26·北京·模拟测试）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，A，C两点分别在x轴、y轴上， ，B点的坐标为．将沿翻折，B点落在D点位置，交y轴于点 E，则点 D的坐标为________ 9．（202·北京·模拟测试）如图，将绕点C逆时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，点落在边上，连接，若，，，则的长为______． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，先水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着先水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着先水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着先水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点；…按此作法进行下去，则点的坐标为______． 11．（25-26·北京·模拟测试）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，它的两条对角线相交于点，以为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线相交于点，再以为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线相交于点，依次类推，则平行四边形的顶点的坐标为___________． 12．（25-26·北京·模拟测试）已知有三个边长相同，但边数不同且边数是偶数的正多边形可以无缝拼接，那么这三个正多边形的边数分别是______． 13．（25-26·北京·一模）如图，点在x轴上，直线与两坐标轴分别交于B，C两点，D，P分别是线段，上的动点，则的最小值为 ______ ． 14．（25-26·北京·模拟测试）如图1，在长方形中，动点E从点B出发，以的速度沿着运动，到点A时停止运动．设点E的运动时间为，的面积为，其中S与t的关系如图2所示． （1）当时，_______． （2）当时，_______． 15．（25-26·北京海淀·模拟测试）如图，在中，，，点D．E分别在边上，若沿直线折叠，点A恰好与点B重合，且，则________°，________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押04 北京中考数学13~16题（填空题） 考点1 分式与二次根式 1．（2026·北京·模拟测试）若，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】先计算第二个小括号内分式的减法，再计算分式的除法并化简，然后将化为，再代入计算即可． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，， ∴原式． 2．（2026·北京西城·模拟测试）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____________． 【答案】且 【分析】根据二次根式和分式的有意义的条件列式求解即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， 且， 解得且． 3．（25-26·北京海淀·模拟测试）若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件可得，再求出解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 所以实数x的取值范围是． 4．（2026九年级下·北京·专题练习）当x______时，分式有意义． 【答案】 【分析】根据分母不为零，且被开方数需大于等于零进行列式计算即可． 【详解】解：分式有意义， ，即，则，解得． 5．（25-26·北京·模拟测试）若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】/ 【分析】根据分式的分母不为0即可求解． 【详解】解：分式有意义的条件是． 解不等式得． 6．（25-26·北京·模拟测试）式子成立的条件是______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得， ， ∴． 7．（25-26·北京西城·模拟测试）若代数式的值为，则满足要求的所有的值为______． 【答案】 【分析】先令分子为求出候选解，再用分母不为的条件排除无效解，得到正确答案． 【详解】解：要使代数式的值为，可得： ，解得或，即或； ，解得． 故． 8．（25-26·北京·模拟测试）如果，那么___________． 【答案】 【分析】先根据二次根式的被开方数为非负数求出的值，再代入求出，最后求即可． 【详解】解：二次根式的被开方数为非负数，， ， ， 将代入中，得， ∴． 9．（25-26·北京顺义·模拟测试）为了化简，同学们提出下列三种变形方法，其中正确的是______（填所有正确的序号）． ；；． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简与计算，解题的关键是熟知二次根式的相关运算法则．通过检查每种变形是否等价于原式 来判断正确性． 【详解】解：对于：右边，而原式，相等，故正确； 对于：右边，而原式，故错误； 对于：右边，等于原式，故正确； 故答案为：． 10．（25-26·北京·模拟测试）已知方程的两个解是，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分母有理化．根据根与系数关系，求出两根之和、两根之积，代入求值即可． 【详解】解：方程的两根为， ∴，， ∴， 故答案为：． 考点2解直角三角形 1．（2025·北京西城·一模）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上， 点，分别为两个正六边形的中心． 则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．连接，过点作，垂足为E， 根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为E， 设正六边形的边长为a，则， 在中，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（25-26·北京·模拟测试）如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点是网格线交点，则______． 【答案】 【分析】本题考查求正弦值，根据正弦的定义构造合适的直角三角形是解题关键． 作于点，在中根据正弦的定义求解即可． 【详解】如图，作于点，则是直角三角形， 其中，，由勾股定理得，， ， 故答案为：． 3．（25-26·北京昌平·模拟测试）如图，一架无人机在距地面的空中进行航拍，当它拍摄地面上的目标时，无人机上摄像头的俯角为，则此时无人机与目标的水平距离为______．（将无人机近似为一个点） 【答案】 【分析】此题考查了俯角的定义，解直角三角形的应用，根据题意可得，，，米，则，即可得解． 【详解】解：如图， 根据题意可得，，，米， ∴（米）， 故答案为：． 4．（2026·北京·模拟测试）如图，是中边的中点，，，则______． 【答案】/0.6 【分析】过作，设，根据中位线的判定与性质可得，再利用勾股定理及正弦的定义计算求解． 【详解】解：过作， ， ，设， 是边的中点，且， 为中位线， ， 又， ， ． 5．（25-26九年级下·北京·开学考试）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，，，为长度固定的支架，支架在，，处与立柱连接（垂直于，垂足为），在，处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由60°调节为，则点离地面的高度升高了约______（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】 【分析】如图，延长与底面交于点，过点作于点，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时， 则，此时，，，当时，则，，即可求解． 【详解】解：如图，延长与底面交于点，过点作于点，则四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当时， 则， 此时，， ∴， 当时，则， ∴， 而，， ∴点离地面的高度升高了约． 6．（25-26·北京平谷·模拟测试）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，平谷区某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧边界处俯角为，无人机垂直下降至处．又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为_____（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用线段的和差关系求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 即，之间的距离为． 故答案为：． 7．（25-26·北京西城·模拟测试）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A．将直线绕点A逆时针旋转得到直线，设直线与y轴的交点为B，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，令直线与轴交于点，求出得出，再结合旋转的性质可得，最后解直角三角形即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：令直线与轴交于点， ∵直线：， ∴当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∴， ∵将直线绕点A逆时针旋转得到直线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（25-26·北京·模拟测试）某校学生开展综合实践活动，如图，要测量树的高度，小李同学在离点10米的处利用测倾器测得处的仰角为，（，在同一平面内，，在同一水平面上），已知米，则树的高为_______米．（答案可以带根号） 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意；过点A作于点E，由题意易得四边形是矩形，则有，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：过点A作于点E，如图所示： 由题意得：， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 9．（2025·北京·模拟预测）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．他们由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，经工作人员介绍知山顶D处与B处的水平距离约为（换乘登山缆车的时间忽略不计）则山的高度为___________ m．（参考数据：，，） 【答案】750 【分析】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． 根据题意得到过点B作，则四边形是矩形，根据含30度角的直角三角形得到，再根据正切值的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，，，， 如图所示，过点B作于G，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：750． 10．（2025·北京·二模）如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，则旗杆的高度是________． （参考数据：．） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．在中求出的长，在中，求出的长，利用求出的长即可． 【详解】解：由题意，得：，， 在中，， 在中，， ∴； 答：旗杆的高度为． 故答案为：． 考点3 图形变换与坐标 1．（25-26·北京·模拟测试）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为________． 【答案】13 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是进行面积的转换； 由平移可把阴影部分的面积转换成四边形的面积即可． 【详解】解：四边形沿方向平移得到四边形，， ∴，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（25-26·北京·模拟测试）如图1，在俄罗斯方块游戏中，小方块可先逆时针旋转_______度，再向_______（填“左”或“右”）平移至边格，然后往下移动，最终拼成一个完整的长方形（如图2），达到所有方格都消失的特效． 【答案】 90 左 【分析】此题考查了旋转以及平移的定义，只要熟悉游戏和旋转以及平移的定义，即可根据图形作出正确解答． 根据旋转和平移的性质即可解答． 【详解】解：小方块可先逆时针旋转90度，再向左平移至边格，然后往下移动，最终拼成一个完整的长方形，达到所有方格都消失的特效． 故答案为：90，左． 3．（25-26·北京·模拟测试）如图，直线l上摆放着两个大小相同的直角三角板和，将三角板沿直线l向左平到如图所示的位置，使点E落在上的点处，点P为与的交点．图中三块阴部分的面积之和为7，则直角三角板的面积为________． 【答案】7 【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质得到，则，再根据图形之间的关系，结合三块阴影部分的面积之和为7，进行求解即可． 【详解】解；由平移的性质可得， ∴， ∴， 故答案为：7． 4．（25-26·北京·模拟测试）如图，两个直角三角形重在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到的位置，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得，，则可证明，再求出的长，最后根据梯形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：48． 5．（25-26·北京·一模）如图，正方形的边长为3，点E在上，且，P是对角线上的一个动点，则的最小值为 _________． 【答案】 【分析】根据正方形性质可知点B与点D关于对称，可得，由三角形三边关系可得，求出长是最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴点B与点D关于对称， ∴， ∵， ∴， 即长是最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为． 6．（25-26·北京·一模）如图，在平面直角坐标系中，．点C为点B关于y轴对称的点，连接．若P是y轴上一动点，Q是上一动点，则的最小值是__________ ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称路径最短，熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的性质，面积法求三角形的高，是解题的关键． 过B作于Q，交于P，则此时的值最小，且的最小值，根据轴对称的性质得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过B作于Q，交于P， 则此时的值最小，且的最小值， ∵，点C为点B关于y轴对称的点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 7．（25-26·北京门头沟·模拟测试）如图，在直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，当有最小值时，点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查利用轴对称求线段最值问题，坐标与图形．作点 关于轴的对称点，由轴对称的性质得，可得，当点C在直线上时等号成立，因此求出直线与轴的交点坐标即可． 【详解】解：如图，作点 关于轴的对称点，连接，， 由轴对称的性质得， ，当点C在直线上时等号成立， 设直线的解析式为， 将和代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 当有最小值时，点的坐标为， 故答案为：． 8．（25-26·北京·模拟测试）如图，四边形中，是由绕顶点逆时针旋转所得，顶点恰好转到上一点的位置，则________度． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，以及等腰三角形两底角相等的性质是解题的关键． 根据旋转的性质，得到对应边相等、对应角相等以及旋转角的度数，再利用等腰三角形的性质求出，最后通过三角形内角和与对顶角相等的性质求出，进而求出的度数． 【详解】解：如图， ∵是由绕顶点逆时针旋转所得， ∴，，，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26·北京·模拟测试）如图，在中，已知，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B与点D对应，点C与点E对应，且C，D，E三点恰好在同一条直线上，则的长为_____． 【答案】4 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和勾股定理等知识，首先根据旋转的性质得到，然后根据全等三角形的性质得到是等腰直角三角形，进而可求出，然后根据勾股定理求出的长度，即可求出的长度．解题的关键是根据旋转的性质得到是等腰直角三角形进而求出的长度． 【详解】解：连接， ∵将绕点A逆时针旋转得到，则， ∴，， ∴，， ∵，，三点恰好在同一条直线上，， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ， ∴， ∴． 故答案为：4． 10．（25-26·北京·模拟测试）如图2中的图案是由图1中的基本图形以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度，依次旋转若干次而组成的，则旋转角的度数最小为_____度． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质． 由图可知，将图1无缝旋转5次得到图2，进而用除以即可． 【详解】解：由图可知，将图1无缝旋转5次得到图2， 即旋转角的度数最小为． 故答案为：． 考点4 几何综合与规律探究 1．（2024·陕西西安·二模）图形的镶嵌（或称图形的密铺）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．如果我们只用一种正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是①正三角形②正方形③正五边形④正六边形_____．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查平面镶嵌的知识，正多边形能单独镶嵌的关键是在一个公共顶点处，各正多边形的内角之和为，据此判断各正多边形内角是否能整除即可． 【详解】解：正三角形的内角为，，即6个正三角形在顶点处内角和为，可以镶嵌． 正方形的内角为，，即4个正方形在顶点处内角和为，可以镶嵌． 正五边形的内角为，，不是整数，无法使顶点处内角和为，不能镶嵌． 正六边形的内角为，，即3个正六边形在顶点处内角和为，可以镶嵌． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，平面镶嵌，先根据多边形内角和定理得出五边形的内角和，然后再根据题意即可得出答案． 【详解】解：五边形的内角和为：， ∵， ． 故答案为：． 3．（2023·陕西·中考真题）如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是______． 【答案】 【分析】本题考查了平面密铺的问题．正多边形的组合进行平面镶嵌，位于同一顶点处的几个角之和为，从而可得的度数，计算正多边形的外角，由此可得边数． 【详解】解：正三角形和正方形的内角分别为与， ， 这块正多边形地砖的边数为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点，的位置，然后沿x轴向右滚动，第1次滚动使点A落在点的位置，第2次滚动使点A落在点的位置……，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点A的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点随滚动次数的变化规律．列举几次滚动后的点坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2025次滚动后顶点的坐标． 【详解】解：第1次滚动点的坐标为， 第2次滚动点的坐标为， 第3次滚动点的坐标为， 第4次滚动点的坐标为， 滚动5次后，； 滚动6次后，； 滚动7次后，； 滚动8次后，； ∴每滚动4次一个循环， ， ， ， 即， 故答案为：． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可． 【详解】解：如图，由题意， ∴与P重合，四次一个循环， ∵， ∴与重合， ∴． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；按此规律作下去，则点的坐标为______，的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质． 先根据题意求出点的坐标，再根据点的坐标求出的坐标，以此类推总结规律便可求出点、的坐标． 【详解】解：点坐标为， ， 过点作轴的垂线交直线于点， ∴将代入得， ∴点的坐标为， 点与点关于直线对称， ， ， 点的坐标为，同理可得的坐标为， 点与点关于直线对称． 故点的坐标为，同理的坐标为， 以此类推便可求出点的坐标为，同理点的坐标为． 故答案为：，． 7．（25-26七年级上·广东深圳·期中）从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形．根据下面的图形反映出来的规律，八边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查多边形的性质，由所给图形得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系的规律即可解答． 【详解】解：由图中可以看出： 四边形被分为个三角形， 五边形被分为个三角形， 六边形被分为个三角形， 那么边形被分为个三角形． 当时，即八边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为， 故答案为：6． 8．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，，点A与坐标原点重合，点C在x轴正半轴上，将绕点C顺时针旋转一定的角度后得到，使得点B对应点在x轴上，记为第一次旋转，再将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在x轴上，以此规律旋转，则第2024次旋转后钝角顶点坐标为__________． 【答案】 【分析】过点A作于点D，根据，，得到，推出，根据，，，，，，，…，得到每3次是一个循环组，根据，得到在竖直方向的位置与的位置相同，纵坐标为0，第2024次旋转后钝角顶点的横坐标为，得到第2024次旋转后钝角顶点坐标为． 【详解】过点A作于点D， ∵，， ∴， ∴， 由题意，，，，，，，…， 每3次是一个循环组，， ∴在竖直方向的位置与的位置相同，纵坐标为0， ∴第2024次旋转后钝角顶点的横坐标为， ∴第2024次旋转后钝角顶点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形在坐标轴上无滑动的滚动，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟练运用旋转性质探究滚动的循环组的规律，运用得到的规律解答． 9．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图1，已知长方形中，动点M沿长方形的边以的路径匀速运动到A处停止，记的面积为y，动点M运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 __________________． 【答案】 【分析】本题侧重考查用图象表示两个变量间的关系，从图象中得到信息是解决此题的关键．先根据图2得出，，再根据当时，点P在点D处，利用三角形面积公式求出y的值，即可得出答案． 【详解】解：由图（2）可得，则， ∴， 当时，点P在点D处， ∴，即， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，．点C为点B关于y轴对称的点，连接．若P是y轴上一动点，Q是上一动点，则的最小值是__________ ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称路径最短，熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的性质，面积法求三角形的高，是解题的关键． 过B作于Q，交于P，则此时的值最小，且的最小值，根据轴对称的性质得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过B作于Q，交于P， 则此时的值最小，且的最小值， ∵，点C为点B关于y轴对称的点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 1．（25-26·北京·模拟测试）已知______． 【答案】11 【分析】先对已知等式变形，求出的值，再利用完全平方公式变形所求代数式，代入计算得到结果． 【详解】解：∵，不满足等式，因此． 将等式两边同时除以，得， 移项得． 所求代数式， 根据完全平方公式，得， 将代入上式，得 原式． 2．（25-26·北京昌平·模拟测试）要使分式有意义，则应满足的条件是 ________ ． 【答案】 【分析】分式有意义的条件是分母不为，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 3．（25-26·北京·模拟测试）若有意义，则x的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的概念是关键； 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，由此列出不等式求解． 【详解】解：要使二次根式有意义，则被开方数必须满足，解得 ， 故答案为：． 4．（25-26·北京·模拟测试）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的值为________． 【答案】2 【分析】根据勾股定理计算三边长，根据勾股定理逆定理判断，进而结合锐角三角函数的定义计算的值． 【详解】解：根据勾股定理得，， ， ， ， ， ， 故答案为：2 ． 5．（2025·北京·二模）如图，甲、乙两楼的楼间距为10米，小杰在甲楼楼底处测得乙楼楼顶的仰角为，在乙楼楼底处测得甲楼楼顶的仰角为，那么乙楼比甲楼高___________米（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在和中，利用三角函数的定义分别求得和的长，据此计算即可求解． 【详解】解：在中，米． 在中，米， 米． 故答案为：． 6．（25-26·北京·模拟测试）如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为_________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键．设，则，得出，解，得出，解，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 设，则 ∵，，， ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴的面积为 故答案为：． 7．（25-26·北京·模拟测试）如图，将梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若 ，则图中阴影部分的面积为_____________． 【答案】11 【分析】本题主要考查了平移的性质，直角梯形的性质等知识点．熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．根据平移的性质可得，再根据列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵梯形沿直线的方向平移到梯形的位置， ∴， 梯形的面积等于梯形的面积， ∵，， ∴， 故答案为：． 8．（25-26·北京·模拟测试）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，A，C两点分别在x轴、y轴上， ，B点的坐标为．将沿翻折，B点落在D点位置，交y轴于点 E，则点 D的坐标为________ 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用、勾股定理、翻折的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握翻折的性质和三角形全等的判定定理与性质是解题关键．过点D作轴于点N，证明，可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，进而得到点坐标，等积法求出的长，求出直线的解析式，进而求出点坐标即可． 【详解】解：如图，过点D作轴于点N， ∵、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为， ∴， ∴， 由翻折的性质得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴点E的坐标为，， ∴，即：， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 当时，， ∴； 故答案为：． 9．（202·北京·模拟测试）如图，将绕点C逆时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，点落在边上，连接，若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是本题的关键． 由旋转的性质可得，，可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵将绕点C逆时针旋转得到， ∴， ∴ ∴ 故答案为∶． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，先水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着先水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着先水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着先水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点；…按此作法进行下去，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标规律探究，观察可知：下标为奇数的点在第三象限的角平分线上，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：观察题图可知，下标为奇数的点在第三象限， 因为，，，…， ∴， 当时，， 所以点的坐标为． 故答案为：． 11．（25-26·北京·模拟测试）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，它的两条对角线相交于点，以为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线相交于点，再以为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线相交于点，依次类推，则平行四边形的顶点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题是点的坐标规律探索题，考查了平行四边形的性质以及正方形的性质．注意得到规律：的坐标为，)是解题的关键．首先分别求得、、等几个点的坐标，即可得到规律，从而求得的坐标． 【详解】解：∵正方形的顶点的坐标为，它的两条对角线相交于点， ∴的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴的坐标为，即， ∵是平行四边形对角线的交点， ∴的坐标为， 同理，的坐标为，即， 的坐标为， 的坐标为，即， ∴的坐标为， ∴的坐标为， 故答案为： ． 12．（25-26·北京·模拟测试）已知有三个边长相同，但边数不同且边数是偶数的正多边形可以无缝拼接，那么这三个正多边形的边数分别是______． 【答案】 【分析】题目主要考查多边形内角和及无缝拼接，根据题意列出方程求解是解题关键 设这三个正多边形的边数分别是，根据题意列出方程，整理得，然后从构成多边形的最小的偶数开始进行试算求解即可． 【详解】解：设这三个正多边形的边数分别是， ∵三个边长相同，但边数不同且边数是偶数的正多边形可以无缝拼接， ∴， 整理得：， ∵边数不同且边数是偶数， ∴假设，则，解得：， 经检验，符合题意， ∴这三个正多边形的边数分别是， 故答案为：． 13．（25-26·北京·一模）如图，点在x轴上，直线与两坐标轴分别交于B，C两点，D，P分别是线段，上的动点，则的最小值为 ______ ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．作点A关于y轴的对称点E，过点E作于点H，交y轴于点，连接，连接，则的最小值即为的长度，分别求出，和的长度，根据，可得，求出的长度，即可确定的最小值． 【详解】解：作点A关于y轴的对称点E，过点E作于点H，交y轴于点，连接，连接，则的最小值即为的长度， 由题意得：点E坐标为， ∵直线与两坐标轴分别交于B，C两点， 令，则， ∴点C坐标为， 令，则， ∴点B坐标为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 14．（25-26·北京·模拟测试）如图1，在长方形中，动点E从点B出发，以的速度沿着运动，到点A时停止运动．设点E的运动时间为，的面积为，其中S与t的关系如图2所示． （1）当时，_______． （2）当时，_______． 【答案】 3 6或1/1或6 【分析】本题考查了动点问题与函数图像的结合，长方形的性质．理解函数图像与动点的关系是解题的关键． （1）当，在上，根据长方形对边相等及三角形面积公式，得到； （2）当时，分在上（面积公式）和在上（面积公式），解得或6． 【详解】解：（1）由图2可知，时面积开始不变， 又动点的速度为， ， 从到，用时， ， 四边形是长方形， ， 当点在上运动时，的高为， ，且保持不变， 时，， 故答案为3． （2）①在上运动 此时， 的面积， 解得（符合）； ②在上运动 ，从到用时2秒，总运动用时到时停止， 总路程为， ， 的面积， 解得（符合）； 故答案为6或1． 15．（25-26·北京海淀·模拟测试）如图，在中，，，点D．E分别在边上，若沿直线折叠，点A恰好与点B重合，且，则________°，________． 【答案】 90 9 【分析】由等腰三角形的性质求出，，进而可得，再利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，即可求解． 【详解】∵，， ∴，． 由折叠的性质得， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：90，9． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，以及折叠的性质，求出是解答本题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押04北京中考数学13~16题（填空题） 押题预测 考点1分式与二次根式 1. 2.x≥-1且x≠2 3.x≠-1 4.>-3 5.x≠ x≠0.5 6.a2-4 7.0 1 8.9 ①③ 10.2V2 。考点2解直角三角形 5 1.5 2.5 3.150v3 3 4. 5.16 1/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.130+905m 7.25 9+10W3 8.3 9.750 10.7.68 考点3图形变换与坐标 1.13 2.90 左 3.7 4.48 5.vio 7.(03 8.110 9.4 10.60 ,考点4几何综合与规律探究 1.③ 2.120° 3.6 4.(2026,1 5.(-1,1 6.(4,8 (2m-1,2") 2/4 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.6 (12150,0) 8. 9.7.5 4 10.5 通关特训 1.11 2.x≠5 3.x≥-7 4.2 5.(10W5-10 6.3 7.11 9. √3 10. （-1013,-1013 22024-11 11.22023’22023 4,6,12 12. 9W2 13.2 314 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.36或1 15.909 4/4