题号猜押10 北京中考数学28题（解答题）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

品学科网·上好课 www zxxk com 题号猜押10北京中考数学28题 押题预测 (1)105°； (2)旋转角a的所有可能的度数是：15°，105°，150°； (3)拓展应用：当0°<<45°，∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°，保持不变， 如图4，设BD分别交AC、AE于点M、N, 图4 在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM=180°， :∠ANM=∠E+∠BDE,∠AMN=∠C+∠DBC, .∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°， :∠C=30°，∠E=45°， .∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°. 2 ()①R,B;②(-5,5)或-5，-5 (2)(15),V5<r<2 3. (1)①5,5；②2,4-5≤t≤3 24.3-25,子≤g≤25- 1/2 上好每一堂课 (解答题) 理由如下： 函学科网·上好课 4. (1)①B,B;②0<b≤4+43； (2)-25≤t≤25. 5. (1)(0,0) (2)点T坐标为-1,1；b=4 (3)-2≤t≤3 6. (1)2√2 (2)2√2 ③)2<ds 2 www.zxxk.com 2/2 卷系一每并丁 题号猜押10 北京中考数学28题（解答题） 1．（2026·北京·一模）如图（1），将三角板与三角板摆放在一起，其中，，；如图（2），固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记（）． 【操作发现】 （1）在旋转过程中，当α为 度时，； （2）当与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α的所有可能的度数； 【拓展应用】 （3）当时，连接，利用图（3）探究的值的大小是否变化，并说明理由． 【答案】（1）；（2）旋转角α的所有可能的度数是：，，；（3）当，，保持不变，理由见解析． 【分析】（1）如图1所示，记与的交点为F，根据三角形内角和定理得出，进而根据，即可求解； （2）分三种情况求解：①当时，②，③，再结合图形求解； （3）在中，根据三角形内角和定理，根据，，可得，即可得出． 【详解】解：（1）如图1所示，记与的交点为F， ， ， ， ， 即， 故答案为：； （2）①当时，如图2所示， 记与的交点为点F，与的交点为点G， ， ， ， ，即； ②当时，如图1所示， 结合（1）得，，， ∴； ③当时，如图3所示，， ， ，即， 综上所述：旋转角α的所有可能的度数是：，，； （3）拓展应用：当，，保持不变，理由如下： 如图4，设分别交、于点、， 在中，， ，， ， ，， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，垂直的定义，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 2．（2025·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，对于和外一点，给出如下定义：若的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦，则称点是的“-旋称点”，此时的是关于点的一条“-旋称弦”． (1)如图1，的半径为2． ①在点，，，中，的“-旋称点”可以是___________； ②弦的长为2，轴．若是关于点的“-旋称弦”，直接写出点的坐标； (2)如图2，，，．若点，，都是的“-旋称点”，且的边上存在关于点，，的“-旋称弦”，直接写出点的坐标，和的半径的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2)， 【分析】（1）①对于外任一点，连接，将绕点顺时针旋转交于、，其中设弦的中点为，连接，将绕点逆时针旋转交于、，其中设弦的中点为，当为的切线时，可求得，可知时，的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦，然后分别算出，，，判断即可；②取与轴的交点为，连接，延长，使得，连接，那么可知道是等腰直角三角形，可算出点的坐标，由题意可知，当点落在点时符合题意，延长，使得，同理可算得，满足条件； （2）由题意可知，在内部，、、三点都在外部，将绕逆时针旋转，将绕顺时针旋转，将绕顺时针旋转、将绕点逆时针旋转，将绕逆时针旋转，将绕点顺时针旋转，如图所示，其交点有两个，分别为和，当圆心在点时，根据定义舍去，当圆心在点时， ，先求得点的坐标，分别以为圆心，以、为半径画圆，那么当，满足题意． 【详解】（1）解：①对于外任一点，连接，将绕点顺时针旋转交于、，其中设弦的中点为，连接，将绕点逆时针旋转交于、，其中设弦的中点为，如图所示： 当为的切线时，，，， ， ， 那么当时，的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦； 在点，，，中， ，，，， ， 在点，，，中，的“-旋称点”可以是，； 故答案为：，； ②取与轴的交点为，连接，延长，使得，连接，如图所示： 弦的长为2，轴， ， ， ， ； 若是关于点的“-旋称弦”，那么点与点点重合时，满足条件； 延长，使得，同理可算得，满足条件； 综上，点坐标为：或； （2）解：对于半径为的外任一点，连接，将绕点顺时针旋转交于、，其中设弦的中点为，连接，将绕点逆时针旋转交于、，其中设弦的中点为，如图所示， 同（1）①，可求得当时，的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦； ，，．若点，，都是的“-旋称点”，且的边上存在关于点，，的“-旋称弦”， 在内部，、、三点都在外部； 将绕逆时针旋转，将绕顺时针旋转，将绕顺时针旋转、将绕点逆时针旋转，将绕逆时针旋转，将绕点顺时针旋转，如图所示，其交点有两个，分别为和， 由题意可知，当圆心在点时， ，点的横坐标在大于0，小于2， ， 在的垂直平分线上， 过点作于， ，， ，，， ，， ， ， ； 不妨设，那么，， ， ， ， 或， 点的横坐标大于0且小于2， ， ， ； 分别以为圆心，以、为半径画圆，如图所示： ， 边上不存在关于点，，的“-旋称弦”， 故不符合题意； 当圆心在点时， ， ， 点在的垂直平分线上， ，， 的纵坐标为， 过点作于， ， ，， ， ， ，， ，， ，， 分别以为圆心，以、为半径画圆，如图所示： 那么当，即，满足题意； 此时，满足； 综上，，． 【点睛】本题考查了“-旋称点”，“-旋称弦”，勾股定理，解直角三角形，垂径定理，等腰三角形的性质，读懂“-旋称点”，“-旋称弦”的定义，作出合适的辅助线利用数形结合的思想是解题的关键．问题也可转化为轴对称进行求解． 3．（2026·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，有两个图形和，为图形上一点，点到图形上任意一点的距离的最小值，称为点到图形的距离，若图形上任意一点到图形的距离中存在最大值，则称这个最大值为图形到图形的“距离”，记为．例如：如图，点，，，若图形为点和，图形为点和，则为线段的长度，即，为线段的长度，即．特殊地，若，则称图形和图形之间存在“距离”，记为． (1)图形为线段， ①若图形为线段，则___________，___________； ②点，点，图形为线段，直接写出的最小值，及当取得最小值时，的取值范围； (2)已知的半径为1，直线，图形为，图形为直线上的一条线段（点在点左侧），记点，的横坐标分别为，，若图形和图形之间存在“距离”，直接写出的最小值，及当取得最小值时，的最小值和对应的的取值范围． 【答案】(1)①5，5；②2， (2)4，， 【分析】（1）①根据题意，在线段上任意取一点，作，则的长度即为点到线段的距离，当点与点重合时，取得最大值，此时即为图形到图形的“距离”，然后根据点坐标即可求得答案；在线段上任意取一点，连接，则的长度即为点到线段的距离，根据点、、坐标可知当点与点重合时，取得最大值，此时即为图形到图形的“距离”，然后求得的长度即可得到答案；②分别讨论当，，，，时，利用数形结合的思想求得的值，即可得出结论； （2）设任意一点，过点作，垂足为，过作，延长交于点，根据题意可知任意一点到直线的最大距离为，以点为圆心，以5为半径画圆，交直线于，，连接交于，连接交于，得到，由图形为，图形为直线上的一条线段（点在点左侧），分情况讨论点、和点、、之间不同位置关系下的和，从而得到的最小值，然后利用已知两点坐标求距离的公式得到此时的值和的取值范围． 【详解】（1）解：①根据题意，在线段上任意取一点，作，如图所示， 则的长度即为点到线段的距离， 当点与点重合时，取得最大值，此时即为图形到图形的“距离”， ，， ， ； 在线段上任意取一点，连接，如图所示， 则的长度即为点到线段的距离， ，，， 当点与点重合时，取得最大值，此时即为图形到图形的“距离”， ， ； 故答案为：5，5； ②当时，连接，，作轴于点，如图所示： 点到轴距离为2，即， ， ； 当时，和重合， 此时， 当时，作于点，交于点，如图所示： 由图可知，， ， ，， ，解得； 当时，如图所示： 则； 当时，如图所示： 则， 综上所述，的最小值为2，此时； （2）解： 设任意一点，过点作，垂足为，过作，延长交于点，如图所示， 则任意一点到的距离为， 当与重合时，取得最大值，最大值为的长度； 设与轴相交于点，与轴相交于点 当时，；时，， ，， ， ， ，， ， ， ， 以点为圆心，以5为半径画圆，交直线于，，连接交于，连接交于，如图所示： ，， ， 同理，； 图形为，图形为直线上的一条线段（点在点左侧）， 当点与点重叠，而在（含端点）上运动时，或者当点与点重叠，而点在（含端点）上运动时， 此时，或， 当点在点的左侧，且点在点左侧时，或者当点在点的右侧，且点在点右侧时，或者当点在点的左侧，且点在点右侧时， 此时，， 为最小值， 设，，， ，，， ，，， ，，，（不合题意的值已舍去） 点，的横坐标分别为，，且最小时，点与重叠， 最小为：， 此时，在（含端点）上运动， 综上所述，的最小值为4，当取得最小值时，的最小值为，对应的的取值范围为． 【点睛】本题考查了“距离”的定义，一次函数与坐标轴的交点，已知两点坐标求两点距离，解直角三角形，读懂题中“距离”的定义，利用数形结合的思维是解题的关键． 4．（2025·北京西城·一模）对于点和，若在上或内存在一点，使得是顶角为的等腰三角形，则称点为点关于的“—关联点”． 在平面直角坐标系中． (1)已知点，的半径为2． ①在点，，，中，是点关于的“—关联点”的是______； ②若直线上存在点关于的“—关联点”，则的取值范围是______； (2)已知是轴上一动点，点满足，的半径为2，若点既是点关于的“－关联点”，也是点关于的“—关联点”，设点的纵坐标为，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；②； (2)． 【分析】（1）根据题意，分别连接、、、，然后利用网格把它们分别绕、、、旋转，得到对应的点，观察其是否在上或内即可得到答案； （2）设与轴的交点为，过点作，过点作轴，由题意可知，，，，可证为等边三角形，先求得点坐标，表示出，利用勾股定理，可表示出，接着证明以及，得到，由 为上或内存在一点，的半径为2，那么最大值为2，从而求得的最大值； （3）已知是轴上一动点，点满足，的半径为2，故以点为圆心，4为半径画圆，可知在上运动，再以点为圆心，2为半径画圆，有点既是点关于的“－关联点”，也是点关于的“—关联点”，可知和为等边三角形，从而得出四边形是菱形，推出，，，设与相交于点，由和为上或内存在一点，那么，故当、、三点共线时，最大，此时在圆上，，通过勾股定理可求得，此时，， 在上，符合题意，综上所述，可知，最大时，在上，在上，且，最后由，得出的范围． 【详解】（1）解：①根据题意，分别连接、、、，然后绕、、、旋转，如图所示， 由图可知点、在内， 点、是点关于的“—关联点”， 故答案为：、； ②设与轴的交点为，过点作，过点作轴，如图所示， 由题意可知，，，， ，， 为等边三角形， ，， ， ， 时，；当时，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 为上或内存在一点，的半径为2， 最大值为， 此时，，解得，如下图所示： ， ； （2）解：已知是轴上一动点，点满足，的半径为2， 以点为圆心，4为半径画圆，在上运动， 以点为圆心，2为半径画圆，如图所示： 点既是点关于的“－关联点”，也是点关于的“—关联点”， ，，，， ，， 和为等边三角形， ，， 四边形是菱形， ，，， 设与相交于点， 和为上或内存在一点， ，即， 当、、三点共线时，最大， 此时在圆上，，如图所示： ， ， ， 中，，， ， 不妨设，那么， ， ， ，， ， ， ， 此时在上，符合题意； 综上所述，可知，最大时，在上，在上，且， 设点的纵坐标为， ， ． 【点睛】本题考查了 “—关联点”，线段的旋转，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，一次函数与坐标轴的交点，解直角三角形，菱形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，数形结合，画出合适的辅助线是解题的关键． 5．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，对于点，，，给出如下定义：若点以点为中心逆时针旋转后，能与点重合，则称点为线段的“完美等直点”．      (1)如图1，当，，时，线段的“完美等直点”坐标是______； (2)如图2，当，时，若直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”，求点的坐标及的值； (3)当时，若点在以为圆心，为半径的圆上，点为线段的“完美等直点”，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)点坐标为； (3) 【分析】（1）根据“完美等值点”的定理，可得，则是等腰直角三角形，四边形是正方形，由此即可求解； （2）当，时，，设，根据题意可证，根据全等三角形的性质即可求解； （3）根据分类讨论，当时，根据正方形的判定和性质可得点的横坐标；当时，根据“完美等值点”的概念及计算方法即可求解． 【详解】（1）解：当，，时，，， ∴，, 如图所示， ∵点绕“完美等直点”逆时针旋转， ∴，则是等腰直角三角形， ∴点的中点坐标为 ∴，且， ∴旋转中心点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点于点重合， ∴点以点为中心逆时针旋转后， ∴线段的“完美等直点”坐标是， 故答案为：； （2）解：当，时，， ∵直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”， ∴设，， 如图所示，过点作轴于点，作轴于点， 在中，， ∴， ∵轴， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：如图所示，当时，，点在圆上，圆心坐标为，半径为， ∴， ∴点横坐标的取值范围为：，纵坐标的取值范围为：， 由（1）的推理可得，线段的中点坐标为，过点作线段的垂直平分线， ∴根据“完美等值点”的定义，旋转的性质可得，中心对称点在线段的垂直平分线线上，且， ∴，，即是等腰直角三角形， ∴由（1）中证明可得四边形是正方形， ∴， ∴的横坐标为； 当点三点共线时，线段的长度值最大，如图所示，以点作矩形， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即点的横坐标大于； 当时，，如图所示，作轴于点， ∴，，， ∴，则， ∴，即， ∵是的垂直平分线， ∴的横坐标为； 综上所述，的横坐标的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标中图形的变换规律，理解“完美等值点”的定义，掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形运动的规律，分类讨论思想，图形结合思想是解题的关键． 6．（2026·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，已知线段和直线，，线段关于直线，的“垂点距离”定义如下：过点P作于点M，过点Q作于点N，连接，称的长为线段关于直线和的“垂点距离”，记作d． (1)已知点，，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d为______； (2)如图1，线段在直线上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为______； (3)如图2，已知点，的半径为1，直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点P作于点M，过点Q作于点N，得到，，根据两点间距离公式即可求解， （2）设点，，得到，将代入，得到，结合，得，，由两点间距离公式得到，由，即可求解， （3）延长、交于点，作中点，由，，得到 ，，，进而得到等边三角形，根据线段垂直平分线的判定，及等腰三角形三线合一，得到，，，进而得到直线的解析式：，当点在点右侧时，，四点共圆，当点在点左侧时，四点共圆，根据直角所对弦是直径及圆周角定理，得到为的直径，是顶角为的等腰三角形，，设点，则，，根据直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），得到，进而得到的取值范围，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，连接， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：， （2）解：设点，， ∵点P，Q在直线上，轴，轴， ∴， 将代入，得：，解得：， ∴， ∴，整理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：， （3）解：设直线与轴交于点，与直线交于点，延长、交于点，作直线与轴交于点，连接，作中点，连接，，，， ∵直线的解析式为：， ∴，， ∵直线的解析式为：， ∴当时，，当时，，即：， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，则：，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点在点右侧时，， ∴， ∴四点共圆， 当点在点左侧时， ∴， ∴四点共圆， ∵，点为中点，， ∴为的直径，，， ∴是顶角为的等腰三角形， ∴， 设点，则， ∴， ∵直线与交于P，Q两点， ∴，即， ∵点P的横坐标大于点Q的横坐标， ∴点P在直线下方， 当时，，，解得：， ∴， ∴，即：， ∴，即：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了，两点间距离公式，圆周角定理，四点共圆，特殊角三角函数，解题的关键是：连接辅助线找到与相关线段的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押10 北京中考数学28题（解答题） 1．（2026·北京·一模）如图（1），将三角板与三角板摆放在一起，其中，，；如图（2），固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记（）． 【操作发现】 （1）在旋转过程中，当α为 度时，； （2）当与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α的所有可能的度数； 【拓展应用】 （3）当时，连接，利用图（3）探究的值的大小是否变化，并说明理由． 2．（2025·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，对于和外一点，给出如下定义：若的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦，则称点是的“-旋称点”，此时的是关于点的一条“-旋称弦”． (1)如图1，的半径为2． ①在点，，，中，的“-旋称点”可以是___________； ②弦的长为2，轴．若是关于点的“-旋称弦”，直接写出点的坐标； (2)如图2，，，．若点，，都是的“-旋称点”，且的边上存在关于点，，的“-旋称弦”，直接写出点的坐标，和的半径的取值范围． 3．（2026·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，有两个图形和，为图形上一点，点到图形上任意一点的距离的最小值，称为点到图形的距离，若图形上任意一点到图形的距离中存在最大值，则称这个最大值为图形到图形的“距离”，记为．例如：如图，点，，，若图形为点和，图形为点和，则为线段的长度，即，为线段的长度，即．特殊地，若，则称图形和图形之间存在“距离”，记为． (1)图形为线段， ①若图形为线段，则___________，___________； ②点，点，图形为线段，直接写出的最小值，及当取得最小值时，的取值范围； (2)已知的半径为1，直线，图形为，图形为直线上的一条线段（点在点左侧），记点，的横坐标分别为，，若图形和图形之间存在“距离”，直接写出的最小值，及当取得最小值时，的最小值和对应的的取值范围． 4．（2025·北京西城·一模）对于点和，若在上或内存在一点，使得是顶角为的等腰三角形，则称点为点关于的“—关联点”． 在平面直角坐标系中． (1)已知点，的半径为2． ①在点，，，中，是点关于的“—关联点”的是______； ②若直线上存在点关于的“—关联点”，则的取值范围是______； (2)已知是轴上一动点，点满足，的半径为2，若点既是点关于的“－关联点”，也是点关于的“—关联点”，设点的纵坐标为，直接写出的取值范围． 5．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，对于点，，，给出如下定义：若点以点为中心逆时针旋转后，能与点重合，则称点为线段的“完美等直点”．      (1)如图1，当，，时，线段的“完美等直点”坐标是______； (2)如图2，当，时，若直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”，求点的坐标及的值； (3)当时，若点在以为圆心，为半径的圆上，点为线段的“完美等直点”，直接写出点的横坐标的取值范围． 6．（2026·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，已知线段和直线，，线段关于直线，的“垂点距离”定义如下：过点P作于点M，过点Q作于点N，连接，称的长为线段关于直线和的“垂点距离”，记作d． (1)已知点，，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d为______； (2)如图1，线段在直线上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为______； (3)如图2，已知点，的半径为1，直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $