题号猜押09 北京中考数学26～27题（解答题）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押09 北京中考数学26~27题（解答题） 考点1 特殊平行四边形综合（矩形、菱形、正方形） 1．（2026·北京·一模）如图，在四边形中，，E是的中点，，交于点F，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 2．（2026·北京海淀·模拟预测）已知：中，，直线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接交直线于． (1)喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段和线段的数量关系．于是他画了图1所示当在边上时的图形，并通过测量得到了线段与的数量关系．你认为小捷的猜想是___________（填“”，“”或“”）； (2)当在边的延长线上时请你根据题目要求补全图2，并找出与相等的角___________； (3)如图3，当在边的反向延长线上时，写出的数量关系（用等式表示），并证明． 3．（25-26·北京顺义·模拟预测）如图，在正方形中，P是边上的一动点（不与点D，C重合），，点D关于直线的对称点为E，连接，连接并延长交射线于点F，连接． (1)根据题意补全图形，并直接写出的大小（用含的代数式表示）； (2)求证：； (3)连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 4．（25-26·北京·模拟预测）正方形中对角线相交于O，E为上一点，交于G，交于F． (1)说明的理由； (2)在（1）中，若E为延长线上，交的延长线于G，的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“”还成立吗？请说明理由． 5．（25-26·北京·模拟预测）如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且，连接，，，，且与相交于点O． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求四边形的面积． (3)在复习完“平行四边形”一部分内容后，爱思考的小清画出了下面四个平行四边形并标出了部分阴影，则四个图形中阴影部分的面积一定等于平行四边形面积一半的是________． 6．（25-26·北京·模拟预测）如图，四边形ABCD为正方形，E为射线AC上一点，连接DE，过点E作，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． (1)如图①，当点E在线段AC的延长线上时，求证：矩形DEFG是正方形． (2)如图②，当点E在线段AC上时， ①若，，求CG的长度； ②当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是时，直接写出的度数：________________． 考点2 几何动点问题 1．（2025·北京顺义·二模）如图，在中，，，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)连接，求的大小（用含的代数式表示）； (2)过点作交的延长线于点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 2．（2026·北京·模拟预测）如图，在等边中，D是的延长线上一动点，连接，点E在线段上（不与端点重合），将射线绕点B逆时针旋转得到的射线与射线交于点F． (1)依题意补全图1，并证明； (2)若，判断点E的位置，并证明． (3)在（2）的条件下，连接．若等边的边长为a，当线段AE的长取得最小值时，直接写出此时线段的长（用含a的式子表示） 3．（2025·北京大兴·一模）在中，，，点D是线段上一个动点（不与点A，B重合），，以D为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的大小（用含的代数式表示）； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 4．（2025·北京海淀·模拟预测）在中，，．是边上的动点（不与点A，重合），连接．在上任取一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．延长交于点．    (1)如图1，当点在边上时，求证：； (2)如图2，当点在内时，作点关于直线的对称点，连接．取的中点，连接．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 5．（2026·北京·一模）在中，，，为的中点，D为线段AM上的动点（不与点，重合），过点作，且，连接． (1)如图1，当点在线段上时，求证：是的中点； (2)当位于图2位置时，连接，过点作，交于点．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 6．（24-25·北京石景山·模拟测试）在中，，，点是射线上的一个动点，过点作于点，射线交直线于点，连接． (1)如图1，当点在线段上时（不与端点，重合）， ①求证：； ②求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图2并用等式表示线段，，之间的数量关系． 考点3圆与切线性质、圆周角定理 1．（2026·北京·一模）如图，中，，是的外接圆，过点作的切线． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点，交于点，交于点．若，，求半径和的长． 2．（2026·北京·一模）对于线段PQ和，给出如下定义：若平移线段PQ可以得到的一条弦（点，分别为点P，Q的对应点），线段的长度的最大值为k，则称点Q为点P关于的“k-平移点”，称k为点P关于的“Q-最远平移距离”，在平面直角坐标系xOy中， (1)如图所示，已知点，的半径为1，那么点是点A关于的一个“平移点”． ①在点，，，中，点________是点A关于的“平移点”； ②若线段，则点A关于的“C-最远平移距离”k的最小值是________，最大值是________； (2)已知点，的半径为2．点P，Q是以点为圆心，2为半径的上距离为2的任意两点，若点P关于的“Q-最远平移距离”k的取值范围均满足，则t的取值范围是：________． 3．（2026·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为2．对于的弦和点E，给出如下定义：若上存在一点F，使得的中点在弦上，则称点E为弦的“中称点”；若点P和Q都是弦的“中称点”，且能取到的最大值为，则称弦为的“中称弦”． (1)如图，点． ①在点中，点________是弦的“中称点”； ②若弦为的“中称弦”，则点D的纵坐标的取值范围是________； (2)点M和点N分别是直线与x轴和y轴的交点，若线段上存在弦的“中称点”，且弦为的“中称弦”．直接写出b的取值范围． 4．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为，对于直线和线段，给出如下定义：若将线段关于直线对称，可以得到的一条弦（其中点的对应点是点，点的对应点是点），则称线段是以为轴的的关联线段． (1)如图，当时，点，，直线，线段是以为轴的的关联线段（其中点A，B的对应点为，） ①的所有可能值为______； ②若点在第四象限，则点的坐标为______： (2)当时，点，若存在过点，的直线和线段，使得是以为轴的的关联线段，且M，N，P三点在同一条直线上，直接写出的最大值和最小值，以及相应的的值． 5．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点Q和，给出如下定义：若存在点Q在内（包含圆周），则称为的关联三角形． (1)如图1，若点 ①已知点，，则在，中为⊙O的关联三角形的是 ； ②P是x轴上的动点，且为的关联三角形，则点P横坐标m的取值范围是 ； (2)如图2，若点，直线上存在点P使得．为的关联三角形，直接写出b的取值范围． 6．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，分别交于点D，交于点E，过D作于H，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接交于G，若，，求的值． 考点4相似三角形基础与比例线段 1．（2026·北京西城·模拟预测）如图，在中，，点D在线段上，E在线段上，连接和交于点． (1)求的度数； (2)作点B关于直线的对称点G，连接，取的中点M． ①依题意补全图形 ②连接，猜想线段的数量关系，并证明． 2．（2026·北京·模拟预测）如图，为的直径，，与分别相切于点，，连接，，与相交于点． (1)求证：； (2)连接交于点，补全图形，若，，求的长． 3．（2025·北京海淀·模拟预测）如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在边CD，AD，BC上，且于点，连接BH，满足． (1)求证：； (2)点为边上一点，若且，用等式表示和的数量关系，并证明． 4．（2025·北京顺义·二模）如图，在中，，，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)连接，求的大小（用含的代数式表示）； (2)过点作交的延长线于点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 5．（2025·北京石景山·一模）如图，是的直径，点C在上，交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)过点B作交于点M．若，，求半径的长． 6．（2024·北京西城·一模）在 中， ，于点是射线上的动点 (不与点 A， B重合)， 点 E 在射线上且满足． ，过点D 作直线的垂线交直线于点F， 垂足为点 G， 直线交射线于点P．      (1)如图1， 若点D在线段上， 当 时，求 的大小； (2)如图2，若点D在线段的延长线上，依题意补全图形，用等式表示线段，，的数量关系， 并证明． 1．（25-26·北京·模拟测试）如图，，，，分别是正方形四条边上的点，且． (1)求证：四边形是正方形． (2)若，，求四边形的周长． 2．（25-26·北京·模拟测试）如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若， ①求的长； ②求的长． 3．（25-26·北京海淀·模拟测试）如图，矩形中，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A，C同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为． (1)若G，H分别是，的中点，且，求证：以E，G，F，H为顶点的四边形始终是平行四边形． (2)在（1）的条件下，当t为何值时，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形？ 4．（24-25·北京大学·一模）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，且，点在轴上． (1)填空：点的坐标为 ， 度． (2)连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． ①如图2，当时，求的长度； ②求证：四边形是菱形． 5．（25-26·北京·模拟测试）如图，是的直径，点在上，平分． (1)求证：； (2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点．若，求半径的长． 6．（25-26·北京·模拟测试）如图，是的直径，点为一点，过点作的切线交的延长线于点D．连接，过点作的垂线，交于点，交于另一点． (1)求证：； (2)若，求的长． 7．（25-26·北京·模拟测试）如图，点C在以为直径的半圆O上，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D．过点A作，交半圆O于点E． (1)求证：； (2)连接，交于点，连接，，若，求的长． 8．（25-26·北京房山·模拟测试）如图，是的直径，点B在线段的延长线上，直线与相切于点D．连接． (1)尺规作图：过点A作，交延长线于点C（保留作图痕迹，不写作法）； (2)①求证：平分； ②若，求的长． 9．（25-26·北京·模拟测试）如图，在梯形中，，，，E是的中点． 动点P从点A出发沿向终点D运动，动点P平均每秒运动1 cm；同时动点Q从点C出发沿向终点B运动，动点Q平均每秒运动2 cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动． (1)当动点P运动t()秒时，则________；(用含t的代数式直接表示) (2)当动点Q运动t秒时， ① 若，则________；(用含t的代数式直接表示) ② 若，则________；(用含t的代数式直接表示) (3)当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？ 10．（25-26·北京·模拟测试）如图，在中，，，为线段上的动点（不与点重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当是中点时，连接，求证：； (2)如图2，过点作直线、交直线于点．作交射线于点，请补全图2．探究线段和线段的等量关系并证明； (3)如图3，若，，为的中点，为线段上的动点，为线段上的动点，，为线段的中点．直接写出线段的最小值． 11．（24-25·北京朝阳·模拟测试）如图，中，，，动点M从点D出发，按折线方向以的速度运动，动点N从点D出发，按折线方向以的速度运动，两点均运动到点D停止． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？ (2)在相遇前，是否存在过点M和N的直线将的面积平分？若存在，请求出所需时间：若不存在，请说明理由． (3)若点E在线段上，，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？ 12．（25·北京海淀·二模）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示______cm； (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 13．（25-26·北京·模拟测试）已知中，，，是射线上一点，连接，将射线绕点顺时针旋转得到射线，作，垂足为点，点是线段上一点，连接，． (1)如图，点为线段中点，点与重合，直接写出与之间的数量关系； (2)如图，点在线段延长线上，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 14．（25-26·北京·模拟测试）如图，在中，点在边上，点在边的延长线上，且，与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 15．（25-26·北京顺义·模拟测试）在中，，，点在边上，点在边上，试沿直线，将三角形翻折，使点落在边上，记为． (1)当点在中点时，求的值； (2)当点不是中点时，试探究与的大小，并说明理由． 16．（25-26·北京·模拟测试）如图，在中，，是中点，点在线段上，以点为中心，将线段逆时针旋转得线段，连接，． (1)比较与大小，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 题号猜押09北京中考数学26~27 押题预测 一考点1特殊平行四边形综合（矩形、菱形、正方形） 1. (1)证明：：DF=FB, F是DB的中点， 又E为AB的中点， .EF是△ABD的中位线， EF∥AD, 又AF∥DC, .四边形AFCD是平行四边形； 设AC与DF交于点O,则A0=C0, F E 又AB=BC,BO=B0, .△AB0≌△CB0(SSS), .∠AOB=∠C0B, 又A,O,C三点在同一条直线上， :∠AOB=∠C0B=x180°=90°，即DF1AC, 四边形AFCD是菱形： (2)√10 2. 1/31 上好每一堂课 题（解答题） 函学科网·上好课 www zxxk.com (1)= D' G (2) A ;∠ABD B D 图2 (3)4CA2+CD2=CD2,证明如下： 如图3，过D作D'M⊥AB,交AB延长线于点M, D D C ∠D'MB=∠BAD=90°， N 图3 :∠D'BD=90°， ∠D'BM+∠ABD=90°， :∠D'BM+∠BD'M=90°， .∠BD'M=∠ABD, D'B=DB, △D'BM≌△BDA(AAS), :D'M AB=AC,BM=AD :AM AB+BM AC+AD=CD, 过点C作CN⊥D'M,交D'M的延长线于N, .∠NMA=∠MAC=∠N=90°， :四边形AMNC是矩形， :CN=AM =CD,MN=AC=D'M .D'N2+CN2=CD2, 2/31 卷系一每并丁 画学科网·上好课 www zxxk.com .(2CA2+CD2=CD2, ..4CA2+CD2 CD2. C E (1) ∠ABF=45°+C (②)证明：由(1)知：AD=AE、∠ABF=∠BEA 在△AEF和△ADF中， AE=AD ∠EAF=∠DAF, AF=AF △AEF≌△ADF(SAS), .∠AEF=∠ADF, :∠BEA+∠AEF=180°， .∠ABE+∠ADF=180°， 在四边形ABFD中，∠BFD=360°-（∠ABE+∠ADF+∠BAD)=360° BF⊥DF; )AF =CF+2DF 4. (1)证明：在正方形ABCD中，A0=B0,∠AOF=∠B0E=90°， .L0BE+LBE0=90°， :AG⊥EB, ∴.∠AGE=90°， .∠GAE+∠AEG=90°， ∠OBE=LOAF, 3/31 上好每一堂课 -(180°+90）=90°， 学科网·上好课 在△AOF和△BOE中， I∠AOF=∠BOE A0=BO ∠OAF=∠OBE .△AOF≌ABOE(ASA), .OE=OF (2)解：OE=OF仍然成立，理由如下： .在正方形ABCD中，AO=BO,∠AOF= .∠FA0+∠F=90°， .AG⊥EB, .∠FGB=90°， .∠GBF+∠F=90°， .∠FAO=LFBG, .∠FBG=∠EBO, ∴.∠EBO=∠FAO 在△AOF和△BOE中， 「∠AOF=∠BOE A0=BO ∠FAO=∠EBO .△AOF≌ABOE(ASA), .OE OF. 所以结论仍然成立. 5. (I)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC、AEFC, ED =BF, :AD-ED =BC-BF :AE FC, www zxxk com ∠B0E=90°， 4/31 卷系一每并丁 函学科网·上好课 (2)24 (3)(2)(3)(4) 6. (I)证明：如图①，过点E作EP⊥DC, 边形CQEP为矩形， .∠EPD=∠EQF=∠PEQ=90°. :∠ECQ=∠BCA=∠ECP=∠DCA=45 .∠CEP=∠ECP=45°，CP=PE, .四边形CQEP为正方形，EQ=EP. EF⊥DE, .∠DEF=∠PEQ=90°， .∠QEF=∠PED. 在△EQF和△EPD中： ∠QEF=∠PED, EO=EP, ∠EQF=∠EPD, :.△EQF≌△EPD(ASA), .EF ED, .矩形DEFG是正方形. G 图① (2)①2√2，②130°或40° ◆考点2几何动点问题 www zxxk com 交DC的延长线于点P,EQ⊥ 5/31 上好每一堂课 BC,交BC的延长线于点Q,则四 学科网·上好课 1 (1) (2)解：①如图所示。 ②DM=BM, 证明：取AD中点P,连接PC,PM,PN, :∠ACD=90°，AN⊥DN, PC=DN=÷ADA 又：CM=MN,MP=MP, .△CMP≌aNMP(SSS), 1 ∴.∠CMP=∠NMP=∠CMN=a=∠B, .MP‖AB, ∴.△DMPn△DBA, DM DP 1 DB-AD2' .M点BD中点， .DM =BM. y (1)解：补全图形如下： 证明：：ABC是等边三角形， .AB=BC,LABC=LBAC=60°， 由旋转的性质得：∠EBF=60°， vww Zxx k.com 6/31 卷系一每并丁 命学科网·上好课 :∠FBA+∠ABE=60°， :∠FBA+∠BFC=LBAC=60°， :ZBFC ZABE (2)解：点E为CD的中点.理由如下： 过点D作DG∥BC,交BE的延长线于 G .LBDG+∠ABC=180°， :∠ABC=60°， .∠BDG=120°， ∠BAC=60°， .∠BAF=120°， .∠BAF=∠BDG, AF AD BC, AF AD BC AD AB DB, 由(1)得∠BFC=∠ABE, :△BAF≌△GDB(ASA, .BA DG, .BC=DG, :DG∥BC, .ZG ZEBC,ZGDE ZECB △DEG≌aCEB(ASA, .DE=CE, 点E为CD的中点； www .zxxk.com 点G,如图： 7/31 卷系一每并丁 可学科网·上好课 www.zxxk.com 1 3. (1) B D (2)45°-u (3)解：BC=√2AD+BE,证明如下： 如图，过点D作DM⊥AB,交AC于点F,交BC的延长线于点M,贝 M: B D E .LMDB-LBDC=∠CDE-∠BDC, 即：∠CDM=∠EDB, LMBD=45°， ∠M=90°-∠MBD=45°， .∠M=∠MBD=45°， .DM DB, 由旋转的性质可得：DC=DE, :.△DCM≌ADEB(SAS), .CM BE, ∠M=45°，∠ACB=90°， .∠FCM=180°-∠ACB=90°，LCFM=90°-∠M=45°， .∠CFM=∠M, 8/31 上好每一堂课 ∠MDB=∠CDE=90°， 学科网·上好课 www.zxxk.com .CF=CM, .CF =BE 在Rt△FAD中，∠A=45°， .∠AFD=∠CFM=45°， ∠AFD=∠A, ∴.AD=FD, AF=AD2+FD2=AD2+AD2=2AD, .AC=AF+FC, AC=2AD+FC, CF=BE,BC=AC, BC=√2AD+BE. 4 (1)解：：∠ACB=90°， .∠BCD+∠GCE=90°， :CD绕点E顺时针旋转90°得到线段EF, .∠CEG=90°， ∠CGF+∠GCE=90°， :ZCGF ZBCD (2)解：BE=√2BM,证明如下： 如图：连接EM并延长EM至N,使MN=EM,延长EF交BH于Q, G FMMH,∠FME=∠HMN M △EFM≌△NHM(SAS), 9/31 上好每一堂课 连接BN,HN. 学科网·上好课 .HN=EF,∠FEM=∠MNH, EF∥HN, ∴.∠BHN=∠GQH, :点C,H关于直线AB对称， CB=BH,∠CBH=2LCBA=90°， ,BH∥CA, .∴.∠CGO=∠GOH, 由(1)得∠CGQ=∠BCD, ∠BCD=∠BHN, CB=BH,HN=EF CE △BCE≌△BHN(SAS), .BC=BH,∠CBE=∠NBH, .∠NBE=∠HBC=90°， MN EM .BM⊥EM,BM=EM, BE=VBM2+EM2=√2BM. 5. (1)证明：：ABC中，∠ACB=90°，A .∠A=45°， DE⊥AB, .LAED=LA=45°， .DE=AD, DE =DM, .AD DM, 即D是AM的中点. (2)BF=2DE. 证明：如图，连接EA,EM. www.zxxk.com C=BC, 10/31 卷系一每并丁 题号猜押09 北京中考数学26~27题（解答题） 考点1 特殊平行四边形综合（矩形、菱形、正方形） 1．（2026·北京·一模）如图，在四边形中，，E是的中点，，交于点F，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明是的中位线，得，又，可得四边形是平行四边形，得；再证明，得，可证明四边形是菱形； （2）过点作于点，根据求出，，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的中点， 又为的中点， ∴是的中位线， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； 设与交于点，则， 又，， ∴， ∴， 又三点在同一条直线上， ∴，即， ∴四边形是菱形； （2）解：过点作于点，如图， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，． 2．（2026·北京海淀·模拟预测）已知：中，，直线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接交直线于． (1)喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段和线段的数量关系．于是他画了图1所示当在边上时的图形，并通过测量得到了线段与的数量关系．你认为小捷的猜想是___________（填“”，“”或“”）； (2)当在边的延长线上时请你根据题目要求补全图2，并找出与相等的角___________； (3)如图3，当在边的反向延长线上时，写出的数量关系（用等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)见解析； (3)，见解析 【分析】（1）作，再根据“同角的余角相等”得，然后根据“角角边”证明，可得，最后根据“角角边”证明，可得答案； （2）根据同角的余角相等解答即可； （3）作，交延长线于点，再根据“角角边”证明，可得，进而得出，然后作，交的延长线于，即可说明四边形是矩形，接下来可得，然后根据勾股定理得，最后整理得出答案． 【详解】（1）解：． 过点作，于点E， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：补全的图2如下： 与相等的角是. ∵ ∴． ∵， ∴， ∴； （3），证明如下： 如图3，过作，交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作，交的延长线于， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 3．（25-26·北京顺义·模拟预测）如图，在正方形中，P是边上的一动点（不与点D，C重合），，点D关于直线的对称点为E，连接，连接并延长交射线于点F，连接． (1)根据题意补全图形，并直接写出的大小（用含的代数式表示）； (2)求证：； (3)连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)图形见解析； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据对称的性质得到、，根据正方形的性质得到、，据此求解的大小即可； （2）易证得，进而得到，根据得到，从而得到，从而得出结论； （3）连接，过点D作交于点M，根据正方形的性质结合垂线的性质得到，由得到，进而得到，证明，进而得到，利用得到结论即可． 【详解】（1）解：如图， 点D关于直线的对称点为E， 、， 四边形是正方形， 、， ， ， ， ； （2）证明：由（1）知：、 在和中， ， ， ， ， ， 在四边形中，， ； （3）， 证明：连接，过点D作交于点M， 四边形是正方形， 、， 、， ， 由（2）知：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 4．（25-26·北京·模拟预测）正方形中对角线相交于O，E为上一点，交于G，交于F． (1)说明的理由； (2)在（1）中，若E为延长线上，交的延长线于G，的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“”还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)仍然成立，理由见解析． 【分析】（）根据正方形的性质利用判定，根据全等三角形的对应边相等得到； （）根据正方形的性质利用判定，根据全等三角形的对应边相等得到． 【详解】（1）证明：∵在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：仍然成立，理由如下： ∵在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴． 所以结论仍然成立． 5．（25-26·北京·模拟预测）如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且，连接，，，，且与相交于点O． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求四边形的面积． (3)在复习完“平行四边形”一部分内容后，爱思考的小清画出了下面四个平行四边形并标出了部分阴影，则四个图形中阴影部分的面积一定等于平行四边形面积一半的是________． 【答案】(1)见解析 (2)24 (3)（2）（3）（4） 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的性质、菱形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到、，进而得到，从而得出结论； （2）根据平行线和角平分线的性质得到，证明平行四边形是菱形 、、，根据可求出，再利用菱形面积公式进行计算即可； （3）分别分析每个图形，利用平行四边形的性质，即平行四边形的对角线将其分成面积相等的两部分，以及同底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半，判断阴影部分面积是否为平行四边形面积的一半． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， 、， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：， ， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形， 、、， ， 在中，， 即， ， ， ； （3）解：图（1）：阴影是对角两个小平行四边形，面积和随交点位置变化，不一定等于平行四边形面积一半，不符合； 图（2）：两个阴影三角形的高之和等于平行四边形的高，底等于平行四边形的底，则阴影部分面积和等于平行四边形面积的一半，符合； 图（3）：根据平行四边形的中心对称性，阴影部分面积和恰好为平行四边形面积的一半，符合； 图（4）：三个阴影三角形的底之和等于平行四边形的底，高都等于平行四边形的高，则根据三角形面积等于底高，得到阴影部分面积和等于平行四边形面积的一半，符合， 综上所述，四个图形中阴影部分的面积一定等于平行四边形面积一半的是（2）（3）（4）． 6．（25-26·北京·模拟预测）如图，四边形ABCD为正方形，E为射线AC上一点，连接DE，过点E作，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． (1)如图①，当点E在线段AC的延长线上时，求证：矩形DEFG是正方形． (2)如图②，当点E在线段AC上时， ①若，，求CG的长度； ②当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是时，直接写出的度数：________________． 【答案】(1)见解析 (2)①，②或 【分析】（1）要证明矩形是正方形，核心是证明矩形的邻边相等．利用正方形的对角线性质，构造辅助线，得到正方形；再通过角的互余关系证明，从而证得全等，推出，矩形即可判定为正方形． （2）①先由正方形边长，得对角线；结合​，可知，即为中点，此时与重合，矩形为正方形，故． ②分两种情况讨论：  当与夹角为时，利用正方形对角线的角性质和三角形内角和，计算得； 当与夹角为时，利用矩形和正方形的角性质，得． 【详解】（1）证明：如图①，过点E作，交DC的延长线于点P，，交BC的延长线于点Q，则四边形为矩形， ∴． ∵， ∴，， ∴四边形为正方形，． ∵， ∴， ∴． 在和中: ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2）解：①如图②，在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴点F与点C重合，此时是等腰直角三角形， ∴矩形是正方形，． ②分以下两种情况讨论：①如图③，当与的夹角为时，． ∵， ∴． ∵， ∴； ②如图④，当与的夹角为时， ∵， ∴． 综上所述，当线段与正方形的某条边的夹角是时，的度数为或． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、分类讨论思想，掌握正方形对角线平分内角、构造辅助线证明全等、分情况讨论角的位置是解题的关键． 考点2 几何动点问题 1．（2025·北京顺义·二模）如图，在中，，，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)连接，求的大小（用含的代数式表示）； (2)过点作交的延长线于点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）过点作于点H，由旋转的性质得：，易证是等腰三角形，进而推出，求出，根据，即可求解； （2）①根据题意补全图形即可；②连接AQ，取AQ中点M，连接MC，MD，证明，再根据证明得，得到，再根据平行线分线段成比例定理可得结论 【详解】（1）解：过点作于点H， 由旋转的性质得：， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①如图所示. ②， 证明：取中点P，连接， ∵，， ， 又，， ， ， ， ∴， ∴， ∴点中点， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识．添加适当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 2．（2026·北京·模拟预测）如图，在等边中，D是的延长线上一动点，连接，点E在线段上（不与端点重合），将射线绕点B逆时针旋转得到的射线与射线交于点F． (1)依题意补全图1，并证明； (2)若，判断点E的位置，并证明． (3)在（2）的条件下，连接．若等边的边长为a，当线段AE的长取得最小值时，直接写出此时线段的长（用含a的式子表示） 【答案】(1)详见解析 (2)点E为的中点，证明见解析 (3) 【分析】（1）依题意补全图形，由等边三角形的性质，可得，从而得到，即可解答； （2）过点D作，交的延长线于点G，可证，由，可得，可证明，可得到，即可得，即可解答； （3）取的中点N，连接，过C作交延长线于P，可得是的中位线，从而得到E在过N且与平行的直线上运动，当时，最小，可证明，即可解答． 【详解】（1）解：补全图形如下： 证明：∵是等边三角形， ∴， 由旋转的性质得：， ， ∵， ∴； （2）解：点E为的中点．理由如下： 过点D作，交的延长线于点G，如图： ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∵， ， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴点E为的中点； （3）解：取的中点N，连接，过C作交延长线于P，如图： 由（2）知E为中点， ∴是的中位线， ∴，即E在过N且与平行的直线上运动， ∴当时，最小， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形性质及应用，三角形中位线定理，解题的关键是正确画出图形和作出辅助线． 3．（2025·北京大兴·一模）在中，，，点D是线段上一个动点（不与点A，B重合），，以D为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的大小（用含的代数式表示）； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）依题意补全图形即可； （2）由等边对等角及三角形的内角和定理可得，再由三角形外角的性质可得，然后根据角的和差关系即可解答； （3）过点D作，交于点F，交的延长线于点M，先证明，可得，再证明，可得，进而证明，则，于是可得，然后由勾股定理可得，再根据线段的和差关系及等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意补全图形如下： （2）解：∵，， ∴， ∴， 将线段顺时针旋转得到线段， ， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，过点D作，交于点F，交的延长线于点M，则， ∴， 即：， ∵， ， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（2025·北京海淀·模拟预测）在中，，．是边上的动点（不与点A，重合），连接．在上任取一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．延长交于点．    (1)如图1，当点在边上时，求证：； (2)如图2，当点在内时，作点关于直线的对称点，连接．取的中点，连接．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． （1）由直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质以及直角三角形的性质可得，然后根据同角的余角相等即可证明结论； （2）如图：连接并延长至，使，延长交于，连接．易证可得；再根据垂直平分线的性质可得、；然后证明可得、，进而得到、，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：， ， 绕点顺时针旋转得到线段， ， ， ． （2）解：，证明如下： 如图：连接并延长至，使，延长交于，连接． ， ， ，， ， ， 点，关于直线对称， ，， ， ， 由（1）得， ， ，， ， ，， ， ， ，， ． 5．（2026·北京·一模）在中，，，为的中点，D为线段AM上的动点（不与点，重合），过点作，且，连接． (1)如图1，当点在线段上时，求证：是的中点； (2)当位于图2位置时，连接，过点作，交于点．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质推得，即可证明； （2）连接，，根据等腰三角形的判定和性质得出，，根据全等三角形的判定和性质可得，根据四边形内角和求出，根据等角的补角相等可得，根据等角对等边可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即是的中点． （2）． 证明：如图，连接，． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵在中，，，为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵在四边形中，，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵DE⊥AF， ∴为的中点， ∴， 即． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理，等角的补角相等，等角对等边等，作出辅助线证明是解题的关键． 6．（24-25·北京石景山·模拟测试）在中，，，点是射线上的一个动点，过点作于点，射线交直线于点，连接． (1)如图1，当点在线段上时（不与端点，重合）， ①求证：； ②求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图2并用等式表示线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)补全图形见解析， 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）①由，得出； ②作交于，可证得，，进而得出≌，从而，，从而得出，进一步得出结论； （2）作交于，得出，从而，，进而得出，进一步得出结论． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， ，， ， ； ②如图1，作交于F， ， ， ， ， ， 由①知， ， ， ， ， ； （2）解：补全图形如下所示： 作交BD于F， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， 考点3圆与切线性质、圆周角定理 1．（2026·北京·一模）如图，中，，是的外接圆，过点作的切线． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点，交于点，交于点．若，，求半径和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)半径的长为，的长为 【分析】（1）连接并延长，交于点，易得垂直平分，结合切线的性质可证，故可得，即可证出结果； （2）连接，令，则，得表达式，证明，得，，，再证，得，可解出的值，得半径的长，再证明，求得 ，进而证明，，即可求出的长． 【详解】（1）解：连接并延长，交于点，如下图所示： ∵， 由垂径定理得垂直平分，， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，作图如下： ∵为的直径， ∴，， 令，则， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，，， ，， ∵， ， ， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ， ． 2．（2026·北京·一模）对于线段PQ和，给出如下定义：若平移线段PQ可以得到的一条弦（点，分别为点P，Q的对应点），线段的长度的最大值为k，则称点Q为点P关于的“k-平移点”，称k为点P关于的“Q-最远平移距离”，在平面直角坐标系xOy中， (1)如图所示，已知点，的半径为1，那么点是点A关于的一个“平移点”． ①在点，，，中，点________是点A关于的“平移点”； ②若线段，则点A关于的“C-最远平移距离”k的最小值是________，最大值是________； (2)已知点，的半径为2．点P，Q是以点为圆心，2为半径的上距离为2的任意两点，若点P关于的“Q-最远平移距离”k的取值范围均满足，则t的取值范围是：________． 【答案】(1)①、；②， (2) 【分析】本题考查平移距离，点与圆的位置关系，勾股定理，坐标系中两点距离； （1）①根据“平移点”的定义判断即可；②连接并延长与交于，过点作的垂线交于，以为对称轴构造等边、等边，连接，由图可得：的最小值为，的最大值为； （2）令坐标为点，取中点，平移后为的弦，当取最大值时为，当取最小值时为，最后根据k的取值范围均满足，求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴，轴， 取点，，，如图所示， ∴，，即四点都在上， 点A关于的“平移点”，即点A平移个单位后到上，即为的位置或的位置， ∴线段、平移后得到的弦、，可满足平移长度的最大值为， 又∵点，的平移长度的最大值大于， ∴只有点、是点A关于的“平移点”． 故答案为：、． ②如图所示，连接并延长与交于，过点作的垂线交于，以为对称轴构造等边、等边，连接， ∴， 由①得，， ∴的最小值为， 同理可得：， ∴点最远可以平移到点， ∴的最大值为． 故答案为：，． （2）解：令坐标为点， ∵， ∴是等腰三角形， 取中点，平移后为的弦， ∴，， 如左图当共线时，为最大值， 此时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如右图，当取最小值时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上：t的取值范围是． 故答案为：． 3．（2026·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为2．对于的弦和点E，给出如下定义：若上存在一点F，使得的中点在弦上，则称点E为弦的“中称点”；若点P和Q都是弦的“中称点”，且能取到的最大值为，则称弦为的“中称弦”． (1)如图，点． ①在点中，点________是弦的“中称点”； ②若弦为的“中称弦”，则点D的纵坐标的取值范围是________； (2)点M和点N分别是直线与x轴和y轴的交点，若线段上存在弦的“中称点”，且弦为的“中称弦”．直接写出b的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或 【分析】（1）①以为圆心，2为半径画圆，以为圆心，2为半径画圆，作两圆的切线，，且满足，结合“中称点”的定义可知，弦的“中称点”在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界），再进一步分析即可；②以为圆心，2为半径画圆，延长至使得，以为圆心，2为半径画圆，作两圆的切线，，且满足，则弦的“中称点”在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界），再分析的两种极端位置，进而求出点D的纵坐标，再结合图形即可得出的取值范围； （2）将分别绕点，旋转得到，，连接，，，此时点在上，点在上，且，过点作和的切线，分别交，于，，作和的外公切线，连接，，根据弦为的“中称弦”可得，推出是等边三角形，则与的位置关系为外切，设与外切于点，连接交于点，进一步分析可知弦的“中称点”在以点为圆心，分别以6为半径，为半径的圆环上（包含边界），再结合线段上存在弦的“中称点”，利用一次函数的性质即可求出b的取值范围． 【详解】（1）解：①以为圆心，2为半径画圆，以为圆心，2为半径画圆，作两圆的切线，，且满足， 则弦的“中称点”在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界）， ∵，， ∴点在内，点在上， ∴点，是弦的“中称点”； 延长交轴于点，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 又∵，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点在直线的上方， ∴点不是弦的“中称点”； 综上，点，是弦的“中称点”； ②以为圆心，2为半径画圆，延长至使得，以为圆心，2为半径画圆，作两圆的切线，，且满足， 则弦的“中称点”在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界）； 当直线恰好经过点时，此时， 作轴于，连接，， 则， ∵， ∴， ∵是和的切线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴点D的纵坐标为； 当直线恰好经过点时，此时， 作轴于，连接，， 同理可得，点D的纵坐标为； ∵弦为的“中称弦”，且， ∴， 又∵， ∴点D的纵坐标的取值范围是； （2）解：将分别绕点，旋转得到，，连接，，， 此时点在上，点在上，且， 如图，过点作和的切线，分别交，于，，作和的外公切线，连接，， 同理（1）的方法可得， ∵弦为的“中称弦”， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵与的半径都为2，且， ∴与的位置关系为外切， 设与外切于点，连接交于点， ∵，， ∴，即， ∴， ∵是和的外公切线， ∴， ∴， ∴弦的“中称点”在以点为圆心，分别以6为半径，为半径的圆环上（包含边界）； 对于，当时，；当，； ∴，， 若， 当直线恰好与以点为圆心，6为半径的圆相切时，有最大值， 记此时点为，点为， 设切点为，连接，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点恰好在以点为圆心，为半径的圆上时，有最小值， 记此时点为，则， ∴b的取值范围为； 若，由对称性可知，，， ∴b的取值范围为； 综上，b的取值范围为或． 4．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为，对于直线和线段，给出如下定义：若将线段关于直线对称，可以得到的一条弦（其中点的对应点是点，点的对应点是点），则称线段是以为轴的的关联线段． (1)如图，当时，点，，直线，线段是以为轴的的关联线段（其中点A，B的对应点为，） ①的所有可能值为______； ②若点在第四象限，则点的坐标为______： (2)当时，点，若存在过点，的直线和线段，使得是以为轴的的关联线段，且M，N，P三点在同一条直线上，直接写出的最大值和最小值，以及相应的的值． 【答案】(1)①或；② (2)的最大值为，对应的的值为；的最小值为，对应的的值为 【分析】（1）①分两种情况，结合轴对称的性质计算即可得解；②当点的对称点在第四象限时，连接，则，从而可得是等边三角形，解直角三角形得出，再由轴对称的性质计算即可得解； （2）先求出是以为圆心，为半径的圆的切线，以为圆心，为半径作，则是以上的点为圆心，半径是的圆的切线，连接，交半径为的于，以为圆心，为半径作，作的切线，切点为，在直线上，此时最小，连接，证明出点与点关于直线对称，即可得出此时；延长，交半径为的于，以为圆心，为半径作，作切于，当在直线上时，最大，作的角平分线交轴于，则所在的直线是直线，再利用相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：①如图， 当点的对称点是时，， 当点的对称点是时，， 综上所述，的值为或； ②当点的对称点在第四象限时，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴点的坐标为，即， ∵， ∴； （2）解：如图：令交轴的负半轴于点，则，， ∵的弦，， ∴点到的距离为， ∴是以为圆心，为半径的圆的切线， 以为圆心，为半径作，则是以上的点为圆心，半径是的圆的切线， 连接，交半径为的于，以为圆心，为半径作，作的切线，切点为，在直线上，此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接，， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴点与点关于直线对称， ∴此时直线经过，， ∴； 如图： 延长，交半径为的于，以为圆心，为半径作，作切于，当在直线上时，最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， 作的角平分线交轴于，则所在的直线是直线，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时直线经过点和， ∴； 综上所述，的最大值为，对应的的值为；的最小值为，对应的的值为． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、圆的切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 5．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点Q和，给出如下定义：若存在点Q在内（包含圆周），则称为的关联三角形． (1)如图1，若点 ①已知点，，则在，中为⊙O的关联三角形的是 ； ②P是x轴上的动点，且为的关联三角形，则点P横坐标m的取值范围是 ； (2)如图2，若点，直线上存在点P使得．为的关联三角形，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一元二次不等式的解； （1）①Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的，根据旋转性质、等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质，可分别求出、的坐标，计算与圆心的距离可确定是否在圆内； ②P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在内，求出Q点坐标，利用来求出m的范围； （2）分将P顺时针和逆时针旋转来讨论，思路是一样的先求出对应的Q点的坐标，然后利用勾股定理计算出与圆心的距离，让这个距离小于等于2即可，要注意的是建立的关于t的一元二次不等式是含有参数b的，再利用一元二次不等式要有解，判别式来求出b范围. 【详解】（1）解：由题意得 ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的， ①如图所示，过A作轴平行线，过作，过作，过A作轴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， ∵在x轴上， ∴， ∴点的坐标为， ∵圆心为O的坐标为，圆的半径为2， ∴等于半径，小于半径， ∴、分别在的内部和圆周之上，都符合关联三角形的定义， ∴，都是的关联三角形. 故答案为：，. ②如图所示：P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在⊙O内（包含圆周） ∵P是x轴上的动点，点P横坐标m， ∴， 由①得， ∴Q点坐标， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即，即在数轴上m到的距离小于等于2， ∴， 故答案为：. （2）解：当点，点P在直线上，设P点坐标为，此时由Q点可由顺时针或逆时针旋转得到，分类讨论， 当Q由顺时针旋转得到时，如图所示： 由（2）得， ∴，， ∴Q点坐标为， 由勾股定理的， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即， 整理得， 若此时Q点存在，则此不等式一定要有解， ∴， 解得； 当Q由逆时针旋转得到时，如图所示： 同理可得Q点的坐标为， 由勾股定理的， 整理得， 同样的道理若要存在Q点，则此不等式要有解， ∴， 解得. 综上所述：或. 6．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，分别交于点D，交于点E，过D作于H，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接交于G，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据等腰三角形的性质及等量代换可得到，进而利用平行线的性质证明切线即可． （2）首先通过求的长，再利用得到的长，最后利用求的值即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线 （2）如图，连接， ， ，， ， ，， ，， ，， 是直径， ， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，中位线的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定，借助相似找到边长的等量关系是解决问题的关键． 考点4相似三角形基础与比例线段 1．（2026·北京西城·模拟预测）如图，在中，，点D在线段上，E在线段上，连接和交于点． (1)求的度数； (2)作点B关于直线的对称点G，连接，取的中点M． ①依题意补全图形 ②连接，猜想线段的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，由三角形外角的性质即可得到答案； （2）①根据题意作图即可；②过点B，G，M分别作直线的垂线，垂足分别为，可证明，得到，，证明是等腰直角三角形，推出；证明，得到，，求出，由勾股定理得，即． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，即为所求； ②，证明如下： 如图所示，过点B，G，M分别作直线的垂线，垂足分别为， ∴，； 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由（1）得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ∵点M为的中点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 2．（2026·北京·模拟预测）如图，为的直径，，与分别相切于点，，连接，，与相交于点． (1)求证：； (2)连接交于点，补全图形，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，如图．根据切线的性质得到，，．由垂直的定义得到．求得．于是得到结论； （2）连接交于点，利用解直角三角形、勾股定理、锐角三角比的定义和相似三角形的判定和性质进行解答即可； 【详解】（1）证明：连接，如图． ，与分别相切于点，， ，，． ． ， ． ， ∴ ． （2）解：连接交于点，如图． 是的直径， ． ． ， ， 又， ， ， 设 由勾股定理可得： ，， 解得： ，． ，， ． ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 3．（2025·北京海淀·模拟预测）如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在边CD，AD，BC上，且于点，连接BH，满足． (1)求证：； (2)点为边上一点，若且，用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）延长，，相交于点N，证明即可解答； （2）延长至点K，使得，连接，．证明得到，，从而，得到为等腰直角三角形，由得到，从而得到，进而推出，得到．设，，根据平行线分线段成比例得到，即整理，得，从而，，根据三角形的中位线定理得到，根据等腰直角三角形的性质得到，即可得到． 【详解】（1）证明：延长，，相交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴在四边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴ （2）解：，证明如下： 延长至点K，使得，连接，． ∵，， ∴， ∴，， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，即， ∵， ∴， ∴， 由（1）有，又， ∴设，， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，即 整理，得， ∴，， ∴， ∵在等腰中，， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，三角形中位线定理，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 4．（2025·北京顺义·二模）如图，在中，，，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)连接，求的大小（用含的代数式表示）； (2)过点作交的延长线于点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）过点作于点H，由旋转的性质得：，易证是等腰三角形，进而推出，求出，根据，即可求解； （2）①根据题意补全图形即可；②连接AQ，取AQ中点M，连接MC，MD，证明，再根据证明得，得到，再根据平行线分线段成比例定理可得结论 【详解】（1）解：过点作于点H， 由旋转的性质得：， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①如图所示. ②， 证明：取中点P，连接， ∵，， ， 又，， ， ， ， ∴， ∴， ∴点中点， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识．添加适当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 5．（2025·北京石景山·一模）如图，是的直径，点C在上，交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)过点B作交于点M．若，，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）延长交于F，先证明，，则可证明四边形是矩形，得到，再证明，推出，即可证明； （2）先证明，得到，即，设，则，，解直角三角形得到；，则，由相似三角形的性质得到，由矩形的性质得到，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，延长交于F， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴半径的长为20． 6．（2024·北京西城·一模）在 中， ，于点是射线上的动点 (不与点 A， B重合)， 点 E 在射线上且满足． ，过点D 作直线的垂线交直线于点F， 垂足为点 G， 直线交射线于点P．      (1)如图1， 若点D在线段上， 当 时，求 的大小； (2)如图2，若点D在线段的延长线上，依题意补全图形，用等式表示线段，，的数量关系， 并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求得，再根据等腰三角形性质与三我内角和定理求得，然后由余角性质得出，即可求解． （2）作交于点 Q，利用相似三角形的性质求得，证明，得到，由勾股定理得，即可由，得出结论． 【详解】（1）解∶如图4．    ∵在中，， ∴，，． ∵于点 M， ∵， ∵于点 G， ∴， ∴． （2）解：补全图形，如图5．    证明∶ 如图4， 作交于点 Q． ∵， ∴ ∴， ∵BM=CM， AM⊥BC， ∴， 于点 G， ∴   即． ∴ 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，角平分线有关的角的计算，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 1．（25-26·北京·模拟测试）如图，，，，分别是正方形四条边上的点，且． (1)求证：四边形是正方形． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）先利用正方形的边相等、角为直角的性质，结合已知线段相等，证明四个三角形全等，得出四边形的四边相等，再通过角的关系证明其有一个直角，从而判定为正方形； （2）根据和的长度，算出的长度，用勾股定理求出四边形的边长，再计算其周长． 【详解】（1）（1）证明：四边形是正方形， ，． ， ， ， ，， 四边形是菱形． ， ， ， 四边形是正方形． （2）解：，， ， ． 四边形是正方形， 四边形的周长． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，掌握正方形的边与角的性质、全等三角形的判定方法，及勾股定理的应用是解题的关键． 2．（25-26·北京·模拟测试）如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若， ①求的长； ②求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①2 ② 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，直角三角形的性质， 对于（1），根据菱形的性质得，再结合得出四边形是平行四边形，然后根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出结论； 对于（2），①根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得出答案； ②，先根据菱形的性质得出，再根据面积相等求出，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：①∵四边形是菱形， ∴． 在中，， ∴； ②∵四边形是菱形，且， ∴，． 在中，， ∴， 即， 解得． 根据勾股定理，得, 即， 解得． 3．（25-26·北京海淀·模拟测试）如图，矩形中，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A，C同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为． (1)若G，H分别是，的中点，且，求证：以E，G，F，H为顶点的四边形始终是平行四边形． (2)在（1）的条件下，当t为何值时，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形？ 【答案】(1)证明见解析 (2)4.5或0.5 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定； （1）由四边形是矩形可得，，可证明，从而得到，，即可得证； （2）以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形，即要平行四边形的对角线相等，，分类讨论，根据动点的速度列方程求解即可. 【详解】（1）证明∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵G，H分别是，的中点， ∴， ∴， ∵E，F是对角线上的两个动点，分别从A，C同时出发，相向而行，速度均为，且， ∴，E，F不重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴以E，G，F，H为顶点的四边形始终是平行四边形． （2）解：如图，连接，由（1）可知四边形是平行四边形， ∵G，H分别是的中点， ∴， ∴当时，四边形是矩形，分两种情况： 由题意可知，． ①若E，F相遇前，，则，解得； ②若E，F相遇后，，则，解得． 即当t为4.5或0.5时，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形． 4．（24-25·北京大学·一模）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，且，点在轴上． (1)填空：点的坐标为 ， 度． (2)连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． ①如图2，当时，求的长度； ②求证：四边形是菱形． 【答案】(1)， (2)① ②见解析 【分析】本题是四边形的综合题，考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并数形结合分类讨论是解题的关键． （1）利用勾股定理，可求得的长度，从而知道菱形的边长，再利用菱形的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，即可求得点的坐标和的度数； （2）①利用等腰三角形“三线合一”的性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半计算，即可得出答案； ②连接，设交于点，先利用菱形的性质，求得，接着利用外角得，从而推出，接着证明，得到，，接着证明，推出，从而知道，，借助，，可得到四边形是平行四边形，加上邻边相等，即可得证． 【详解】（1）解：∵点，的坐标分别是和， ∴，． ∵°， ∴， ∵以线段为边向右侧作菱形， ∴，， ∴，． ∴． 故答案为：，． （2）①解：当时，点在上时，作交于，如图， 由（1）可知，，，， ∴， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ②证明：连接，设交于点，如图所示， 由（1）可知，四边形是菱形，，，， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴四边形是平行四边形，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 5．（25-26·北京·模拟测试）如图，是的直径，点在上，平分． (1)求证：； (2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点．若，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用角平分线的定义和圆周角定理证明即可； （2）设，表示出相关线段的长度，证明，取的中点，连接，然后利用锐角三角函数进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 取的中点，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 解得 ∴的半径长为． 6．（25-26·北京·模拟测试）如图，是的直径，点为一点，过点作的切线交的延长线于点D．连接，过点作的垂线，交于点，交于另一点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由是切线得到，因此，根据得到，进而得到，因此，从而得证； （2）证明得到，因此，可得，，证明，得到，因此，，，根据勾股定理在求得，进而，由得到，即可求得，从而． 【详解】（1）证明：∵是切线，是直径， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26·北京·模拟测试）如图，点C在以为直径的半圆O上，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D．过点A作，交半圆O于点E． (1)求证：； (2)连接，交于点，连接，，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用圆的切线性质得到垂直关系，结合平行线的性质推出，再根据垂径定理证明弧相等； （2）通过等腰三角形性质和三角形内角和求出角度，判定等边三角形，得到圆的半径；结合直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求出线段长度；通过全等三角形判定与性质得到线段相等关系，再结合中点和三角函数求出的长，最后计算的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是半圆的切线， ， ， ， ； （2）解：如图，连接，，，， ， ， ， 又， ， ∵， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， 又为中点， ， ， 解得：， ， ， ． 8．（25-26·北京房山·模拟测试）如图，是的直径，点B在线段的延长线上，直线与相切于点D．连接． (1)尺规作图：过点A作，交延长线于点C（保留作图痕迹，不写作法）； (2)①求证：平分； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）利用过已知点作已知直线的垂线的作法画出图形即可； （2）①如图：连接，根据切线的性质可得，从而得到，再结合，可得即可证明结论；②在中，根据勾股定理可得，然后根据等边对等角、三角形外角的性质以及等量代换可得，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求. （2）①证明：如图：连接， ∵直线与相切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】对于含有切线的题目，连接圆心和切点常常成为解题的突破口。 9．（25-26·北京·模拟测试）如图，在梯形中，，，，E是的中点． 动点P从点A出发沿向终点D运动，动点P平均每秒运动1 cm；同时动点Q从点C出发沿向终点B运动，动点Q平均每秒运动2 cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动． (1)当动点P运动t()秒时，则________；(用含t的代数式直接表示) (2)当动点Q运动t秒时， ① 若，则________；(用含t的代数式直接表示) ② 若，则________；(用含t的代数式直接表示) (3)当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)； (2)①；② ； (3)t为3秒或7秒时． 【分析】（1）根据题意得：，，即可得出答案； （2）①若，，，即可得出；② 若，，，即可得出； （3）分别从当Q运动到E和C之间和当Q运动到E和B之间，去分析求解即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴， 故答案为：； （2）解：①若，，， ∴， 故答案为：； ② 若，，， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示： ∵E是的中点， ∴， ① 当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则： ， 解得：， ② 当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则： ， 解得：， ∴运动时间为3秒或7秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查梯形的性质以及平行四边形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想，分类讨论思想与方程思想的应用． 10．（25-26·北京·模拟测试）如图，在中，，，为线段上的动点（不与点重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当是中点时，连接，求证：； (2)如图2，过点作直线、交直线于点．作交射线于点，请补全图2．探究线段和线段的等量关系并证明； (3)如图3，若，，为的中点，为线段上的动点，为线段上的动点，，为线段的中点．直接写出线段的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)7 【分析】（1）由题意易得，然后根据可证，然后问题可求证； （2）按题意画出图形，连接，作，交于点D，证明得，，证明得，从而，再证明，进而可求出； （3）连接，先求出，，．确定点D在以点O为圆心，以2为半径的圆上运动，由可知最短时，线段的值最小．证明得，从而可知点Q在与成角的射线上运动，当时，的值最小，即线段取得的最小值，求出，即可求出线段的最小值． 【详解】（1）证明：由旋转可知：， ∵，点P是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意可得如图： 连接，作，交于点D， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵，， O为的中点， ∴，， ∴． ∵，D为线段的中点， ∴， ∴点D在以点O为圆心，以2为半径的圆上运动． ∵， ∴最短时，线段的值最小． 由旋转的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在与成角的射线上运动， ∴当时，的值最小，即线段取得的最小值． ∵， ∴线段取得的最小值为． 11．（24-25·北京朝阳·模拟测试）如图，中，，，动点M从点D出发，按折线方向以的速度运动，动点N从点D出发，按折线方向以的速度运动，两点均运动到点D停止． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？ (2)在相遇前，是否存在过点M和N的直线将的面积平分？若存在，请求出所需时间：若不存在，请说明理由． (3)若点E在线段上，，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？ 【答案】(1)动点同时出发，经过8秒钟两点相遇 (2)当经过4秒钟，过点和的直线将的面积平分 (3)点运动到第2秒或6秒钟时，点、、、组成平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，难度较大，点的运用会使学生感觉有一定的困难，但仔细分析后会发现考查的还是一些基本性质的运用． （1）相遇时，和所经过的路程正好是矩形的周长，在速度已知的情况下，只需列方程即可解答． （2）存在，当经过的中心时，过点和的直线将的面积平分，根据四边形是平行四边形，得到，推出，根据全等三角形的性质得到，同理，推出，列方程即可得到结论； （3）因为按照的速度和所走的路程，在相遇时包括相遇前，—直在上运动，当点运动到边上的时候，点、才可能组成平行四边形，其中有两种情况，即当到点时以及在上时，所以要分情况讨论． 【详解】（1）解：设秒时两点相遇， ∵在中，， ， ∴的周长， ∴，解得， ∴动点同时出发，经过8秒钟两点相遇； （2）解：存在，当经过的中心时，过点和的直线将的面积平分，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵，即， ∴， ∴当经过4秒钟，过点和的直线将的面积平分； （3）解：由（1）知，点一直在上运动，所以当点运动到边上的时候，点、、、才可能组成平行四边形，所以， 设经过秒，四点可组成平行四边形． 分两种情形： ①当点在点右侧， 如图2：此时，则四边形是平行四边形， ， ， ， 解得， ②当点在点与点之间，，解得， ∴点运动到第2秒或6秒钟时，点、、、组成平行四边形． 12．（25·北京海淀·二模）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)用含t的式子表示______cm； (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平行四边形的性质，列代数式： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）分两种情况，结合平行四边形的性质，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． （2）解：过点作，则：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 当直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形时，分两种情况： ①当四边形为平行四边形时：则：， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，则：， ∴， 解得：； 综上：或． 13．（25-26·北京·模拟测试）已知中，，，是射线上一点，连接，将射线绕点顺时针旋转得到射线，作，垂足为点，点是线段上一点，连接，． (1)如图，点为线段中点，点与重合，直接写出与之间的数量关系； (2)如图，点在线段延长线上，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】（1）由等边对等角可得，再由直角三角形的两锐角互余列式计算可得，最后由含角直角三角形的性质结合中点的性质等量代换即可得解； （2）在射线上取，连接，，由线段垂直平分线的判定与性质结合旋转的性质证明，可得，，进而结合三角形内角和定理、平角的定义证明，可得，即可证明，由相似三角形的对应边成比例即可得解． 【详解】（1）解：，，点为线段中点， ，，， ，． ， ，即， ； （2）解：； 证明：在射线上取，连接，， ， 垂直平分， ， 由旋转可得， ， ， 在中，，， ， ， ， ，即， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 14．（25-26·北京·模拟测试）如图，在中，点在边上，点在边的延长线上，且，与相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)22 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，再根据，最后根据平行四边形的判定定理证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例，代入求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ． 点在边上，点在边的延长线上，且， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ，． ，． ． ． ， ． ， ． ． ． 15．（25-26·北京顺义·模拟测试）在中，，，点在边上，点在边上，试沿直线，将三角形翻折，使点落在边上，记为． (1)当点在中点时，求的值； (2)当点不是中点时，试探究与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）连接，与交于D，先推导出是等腰直角三角形，且，进而求出，，得到，则，即可解答； （2）过点P作于D，于M，连接，推导出，得到，进而推导出，得到，则，由是由沿翻折得到，则，得到，即，即可解答． 【详解】（1）解：连接，与交于D，如图 ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∵P是的中点， ∴， ∵是折痕， ∴P与B关于对称， ∴且， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 过点P作于D，于M，连接，如图 ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 由翻折，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是由沿翻折得到， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26·北京·模拟测试）如图，在中，，是中点，点在线段上，以点为中心，将线段逆时针旋转得线段，连接，． (1)比较与大小，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)；，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质易证得，进而得到、，结合中点M的性质，从而得到，； （2）过点E作，交于点H，结合（1）中的结论易证得，进而得到，再证得，最后利用平行线分线段成比例的性质得到，从而得到结论． 【详解】（1）证明：；，证明过程如下： ， ， 由旋转的性质得、， ， ， 在和中， ， ， 、， ， 点是中点， ， ； （2）证明：，证明过程如下： 过点E作，交于点H， 由（1）可知， ， ， ， ， ， 、， ， ， ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $