第八章 四边形【期中复习讲义培优版】 2025-2026学年数学苏科版八年级下册

2025-2026学年苏科版（新教材）数学八年级下册期中复习精讲精练讲义【题型讲练】 第八章 四边形【期中复习讲义】-培优版 （导图+知识梳理+23个题型讲练+能力提升训练 共55题） 原卷版 题型序列 题型讲练 题型讲练一 利用平行四边形的判定与性质求解 题型讲练二 平行四边形性质和判定的应用 题型讲练三 矩形与折叠问题 题型讲练四 根据矩形的性质与判定求角度 题型讲练五 根据矩形的性质与判定求线段长 题型讲练六 根据矩形的性质与判定求面积 题型讲练七 利用平行线间距离解决问题 题型讲练八 根据菱形的性质与判求角度 题型讲练九 根据菱形的性质与判定求线段长 题型讲练十 根据菱形的性质与判定求面积 题型讲练十一 正方形折叠问题 题型讲练十二 求正方形重叠部分面积 题型讲练十三 根据正方形的性质与判定证明 题型讲练十四 根据正方形的性质与判定求角度 题型讲练十五 根据正方形的性质与判定求线段长 题型讲练十六 根据正方形的性质与判定求面积 题型讲练十七 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 题型讲练十八 （特殊）平行四边形的动点问题 题型讲练十九 四边形中的线段最值问题 题型讲练二十 四边形其他综合问题 题型讲练二十一 三角形的中位线 题型讲练二十二 等腰梯形的性质定理 题型讲练二十三 等腰梯形的判定定理 知识点一 平行四边形 1、 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、 平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等； （2） 平行四边形的对角相等 （3）平行四边形的对角线互相平分。 3、 判定条件 （1） 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2） 一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3） 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4） 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 4、 反证法：反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。 知识点二 矩形、菱形、正方形 1、 矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.判定矩形条件 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2） 三个角是直角的四边形是矩形 （3） 对角线相等的平行四边形是矩形 3、 平行线之间的距离及其性质 性质：两条平行线之间的距离处处相等 4、 菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 5、判定菱形条件 （1） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2） 四边相等的四边形是菱形 （3） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6、 正方形的概念、性质和判定条件 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形条件： （1） 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2） 有一组邻边相等的矩形是正方形 （3） 有一个角是直角的菱形是正方形 知识点三 三角形的中位线 1、 三角形中线的概念和性质 连接三角形两边重点的线段； 三角形中位线平行且等于第三边的一半。 2、 三角形的中位线与中线的区别 （1） 区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。 （2） 联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。 知识点四 梯形的性质与判定 1.等腰梯形的定义及性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 2.等腰梯形判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 3.三角形、梯形的中位线 1、联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 2、联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 题型讲练一 利用平行四边形的判定与性质求解 【例题】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知与关于点成中心对称，过点作直线分别交，于点，，给出下列结论：①点与点、点与点分别是关于点的对称点；②直线必经过点；③四边形与四边形的面积相等；④与关于点成中心对称．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作，连接，则的最小值为______． 题型讲练二 平行四边形性质和判定的应用 【例题】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【变式】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 题型讲练三 矩形与折叠问题 【例题】把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于F． (1)求证：； (2)若，．求点F到的距离． 【变式】（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图，点是长方形纸片的边上一点，将纸片的一角沿折叠，使点的折叠点落在长方形外侧，．求证：． 【例题】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在直角三角形中，，，，，动点D在线段上运动（不与端点重合），点D关于边，的对称点分别为E，F，连接，点C在上，则在点D的运动过程中，线段长度的最小值是（） A． B． C．10 D． 【变式】（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，°，°，M是射线上的一动点，将线段绕点M逆时针旋转得到． (1)如图1，当点M与点C重合时，连接，求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，当点M在线段上(与点A，C都不重合时)，连接，过点M作垂直交于点E，连接，求的度数． (3)当点M与点A，C都不重合时，若，，请直接写出的长． 题型讲练五 根据矩形的性质与判定求线段长 【例题】如图，在中，，，，P为边上一动点，于点G，于点H，在点P的运动过程中，求的长度最小值（   ） A． B． C． D． 【变式】（2026·陕西西安·一模）如图，在边长为的正方形中，是的中点，分别是边上的动点，且交于点，则的最小值为______． 题型讲练六 根据矩形的性质与判定求面积 【例题】在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 【变式】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，将绕边的中点逆时针旋转得到，顶点落在边，边交边于点，连接，则的面积为______． 题型讲练七 利用平行线间距离解决问题 【例题】（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，直线，于点A，于点B，直线分别与，相交于点C和点D，，，．点E，F，G分别在线段，，上，且，，连接，，过点F，G分别作，的平行线相交于点H． (1)求证：； (2)若点H落在四边形内或其边上，求面积的最大值与最小值； (3)当为等腰三角形时，请画图确定H的位置，并简要说明理由． 题型讲练八 根据菱形的性质与判求角度 【例题】（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图1，四边形是正方形，对角线，交于点O，点E，F在上，平分，平分，点G在上，且，连接，． (1)求的度数． (2)如图2，延长，交于点H，连接． ①求证：四边形为菱形． ②若，求m的值． 【变式】如图1，在同一平面内有三条等距的平行线，，，点A在直线上，点B，D在直线上． (1)在直线上求作一点C，顺次连接点A，B，C，D，使得四边形为平行四边形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，如图2所示，连接交直线于点O，在直线上截取，连接，求证：四边形是矩形． 题型讲练九 根据菱形的性质与判定求线段长 【例题】如图，在中，，的平分线，分别与直线交于点，． (1)若，，则________； (2)若， ①当点与点重合时，求的长； ②当点与点重合时，求的长； (3)若点，，，相邻两点间的距离相等，求的值． 【变式】如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为，运动时间为秒，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动） (1)若，分别是，的中点，求证：四边形始终是平行四边形； (2)在（1）的条件下，当为何值时，四边形为矩形？ (3)若，分别是折线，上的动点，与，相同的速度同时出发，当为何值时，四边形为菱形？ 题型讲练十 根据菱形的性质与判定求面积 【例题】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形纸片中，，，点是上一点，将纸片沿折叠，点恰好落在点处，连接．    (1)判断四边形的形状并证明； (2)若，，求的长． 【变式】．（24-25八年级下·河南许昌·期末）综合与实践 “综合与实践”课上，李老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开得到两个全等的三角形纸片，表示为和（其中）．将两个三角形纸片按下列方式摆放，解决以下问题： (1)如图2，摆放和，使点重合，点共线．连接．则四边形形状为___________；面积___________． (2)固定的位置，使点重合（标记为），转动的位置进行摆放． ①如图3，转动、摆放的过程中，若，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； ②“乐学组”同学在转动、摆放的过程中，发现边有多种情况能与的一边平行，连接，请直接写出的值（写出2种答案即可）． 题型讲练十一 正方形折叠问题 【例题】（2025·河南周口·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 【变式】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）正方形的边长为，点是边上一点不与端点重合，将沿所在直线对折至，延长交边于点，连接，可得，连接． (1) ； (2)如图1，若，点为边的中点，求的面积； (3)如图2，若，判断与是否平行？并说明理由； (4)请直接写出 用含的式子表示． 题型讲练十二 求正方形重叠部分面积 【例题】（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【变式】如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 题型讲练十三 根据正方形的性质与判定证明 【例题】如图，正方形中，，点为正方形外一点，且，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．若，则的长为 _______ ． 【变式】正方形中，点E是对角线上一动点，过点E作交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，求的长； (3)当与正方形的某条边的夹角为时，直接写出的度数； (4)若点为中点，连接，试判断和的位置关系，并说明理由． 题型讲练十四 根据正方形的性质与判定求角度 【例题】（24-25八年级下·海南·期末）在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 【变式】在四边形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．点Q在的延长线上且． (1)如图1，若四边形是正方形． ①求的度数； ②探究与的数量关系并说明理由． (2)如图2，若四边形是菱形且．探究与的数量关系并说明理由． 题型讲练十五 根据正方形的性质与判定求线段长 【例题】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【变式】如图①，在矩形中，，，点从点出发，沿运动，已知沿运动时的速度为每秒6个单位长度，沿运动时的速度为每秒4个单位长度．点从点出发沿方向运动，速度为每秒2个单位长度．若、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．连接． (1)当点沿运动时，求的长（用含的代数式表示）． (2)过点作，交于点，连接，如图②．在点沿运动过程中，是否存在线段扫过的图形（阴影部分）被线段分成面积相等的两部分的情况，若存在，求出所有的值，若不存在，请说明理由． (3)设点、关于直线的对称点分别为、，在点沿运动过程中，时，求的值（直接写出结果）． 题型讲练十六 根据正方形的性质与判定求面积 【例题】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______ 【变式】如图1，在正方形中，E，F，G，H分别为边上的点，，连接，交点为O． (1)如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)将正方形沿线段剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形的边长为，，则图3中阴影部分的面积为 ． 题型讲练十七 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 【例题】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，且其中一条对角线平分另一条对角线，则称这个四边形为“和谐四边形”． (1)请从以下选项中选出属于“和谐四边形”的选项填在横线上． ___________ A．矩形    B．菱形    C．等腰梯形 (2)已知四边形是“和谐四边形”，对角线，平分于点若，求四边形面积___________． (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，平分，过点作交于点，交于点，．求证：四边形是“和谐四边形”． 【变式】如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 题型讲练十八 （特殊）平行四边形的动点问题 【例题】（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或．正确的是______（填序号） 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度．设运动时间为，其中． (1)若，分别是，的中点，则四边形一定是____________（，相遇时除外）． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． 题型讲练十九 四边形中的线段最值问题 【例题】（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________． 【变式】（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值．            题型讲练二十 四边形其他综合问题 【例题】（24-25九年级下·河南郑州·月考）定义：在凸四边形中，如果只有一组对角相等，我们把这类四边形叫作“奋进四边形”． (1)操作判断： 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“奋进四边形”的有______（填序号）； (2)性质探究： ①如图2，四边形是“奋进四边形”，，，，则的度数为______，的度数为______； ②如图3，四边形是“奋进四边形”，，，求证：； (3)四边形是“奋进四边形”，，，，，请直接写出对角线的长． 【变式】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，O为的中点，点E，M为同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线分别与的另一边交于点F，N，连接，下面四个推断： ①；②；③若是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；④对于任意的，存在无数个四边形是矩形；其中所有正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 考点讲练二十一 三角形的中位线 【例题】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，在梯形中，，、分别是、的中点，连接，叫做梯形的中位线．小华结合学习三角形中位线定理的经验对线段、与之间的位置和数量关系做了探究．通过连接，并延长交的延长线于点，证明，再结合三角形中位线的定理可得出，． 请利用上述方法解决问题： 如图②，在梯形中，和的平分线相交于点，且点在梯形中位线上．若梯形的周长为，求的长． 【变式】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，点M为的中点，为的外角平分线，且，若，，则的长为______． 题型讲练二十二 等腰梯形的性质定理 【例题】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，等腰梯形中，，，，，动点从点出发沿方向向终点运动，动点同时以相同速度从点出发沿方向向终点运动． (1)求的长； (2)探究：在边上是否存在点使得四边形是菱形？若存在，请找出点；不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，求：线段的中点运动的路程． 考点讲练二十三 等腰梯形的判定定理 【例题】如图1，梯形中，，，，，．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)若点是直线上的一点，直线交直线于点． ①当点在线段的延长线上时（如图2），设，，求关于的函数解析式并写出定义域； ②如果是等腰三角形，求的面积． 【变式】（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在四边形中，，于点B，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为．    (1)填空：当________s时，四边形为矩形； (2)若，求t的值； (3)填空：当________时，在点P、Q运动过程中，四边形能构成菱形． 1．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在长方形中，，，是上一个动点，于，于，则的值为（    ） A．4 B．4.6 C．4.8 D．5 2．如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（    ） A． B． C． D． 3．如图，周长为16的菱形中，点分别在边上，为上一动点，则线段的长最短为（    ） A．3 B．4 C． D．6 4．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：；；；；，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在菱形中，，点分别在边上，且，若菱形边长为，则四边形的面积为______． 6．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 7．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，点是矩形内部一个动点，满足为上一点且，当时，则的最小值为_____． 8．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，四边形中，，，点在边上，四边形为平行四边形，，动点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设点的运动时间为秒． (1)的长为_____，的长为_____； (2)若为等腰三角形，求的值； (3)在点运动过程中，作点关于直线的对称点，当直线与边或边平行或共线时，直接写出的值． 9．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在正方形中，点，（不在正方形的顶点上）分别在，上，，连接． (1)求证：． (2)已知分别是的高线和的中线，若，求的度数． 10．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点分别从点同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为（秒）． (1)当为何值时，四边形是平行四边形； (2)当为何值时，以为顶点的梯形面积等于？ (3)是否存在点，使？若存在，请直接写出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版（新教材）数学八年级下册期中复习精讲精练讲义【题型讲练】 第八章 四边形【期中复习讲义】-培优版 （导图+知识梳理+23个题型讲练+能力提升训练 共55题） 解析版 题型序列 题型讲练 题型讲练一 利用平行四边形的判定与性质求解 题型讲练二 平行四边形性质和判定的应用 题型讲练三 矩形与折叠问题 题型讲练四 根据矩形的性质与判定求角度 题型讲练五 根据矩形的性质与判定求线段长 题型讲练六 根据矩形的性质与判定求面积 题型讲练七 利用平行线间距离解决问题 题型讲练八 根据菱形的性质与判求角度 题型讲练九 根据菱形的性质与判定求线段长 题型讲练十 根据菱形的性质与判定求面积 题型讲练十一 正方形折叠问题 题型讲练十二 求正方形重叠部分面积 题型讲练十三 根据正方形的性质与判定证明 题型讲练十四 根据正方形的性质与判定求角度 题型讲练十五 根据正方形的性质与判定求线段长 题型讲练十六 根据正方形的性质与判定求面积 题型讲练十七 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 题型讲练十八 （特殊）平行四边形的动点问题 题型讲练十九 四边形中的线段最值问题 题型讲练二十 四边形其他综合问题 题型讲练二十一 三角形的中位线 题型讲练二十二 等腰梯形的性质定理 题型讲练二十三 等腰梯形的判定定理 知识点一 平行四边形 1、 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、 平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等； （2） 平行四边形的对角相等 （3）平行四边形的对角线互相平分。 3、 判定条件 （1） 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2） 一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3） 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4） 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 4、 反证法：反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。 知识点二 矩形、菱形、正方形 1、 矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.判定矩形条件 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2） 三个角是直角的四边形是矩形 （3） 对角线相等的平行四边形是矩形 3、 平行线之间的距离及其性质 性质：两条平行线之间的距离处处相等 4、 菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 5、判定菱形条件 （1） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2） 四边相等的四边形是菱形 （3） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6、 正方形的概念、性质和判定条件 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形条件： （1） 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2） 有一组邻边相等的矩形是正方形 （3） 有一个角是直角的菱形是正方形 知识点三 三角形的中位线 1、 三角形中线的概念和性质 连接三角形两边重点的线段； 三角形中位线平行且等于第三边的一半。 2、 三角形的中位线与中线的区别 （1） 区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。 （2） 联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。 知识点四 梯形的性质与判定 1.等腰梯形的定义及性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 2.等腰梯形判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 3.三角形、梯形的中位线 1、联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 2、联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 题型讲练一 利用平行四边形的判定与性质求解 【例题】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知与关于点成中心对称，过点作直线分别交，于点，，给出下列结论：①点与点、点与点分别是关于点的对称点；②直线必经过点；③四边形与四边形的面积相等；④与关于点成中心对称．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】根据与关于点中心对称得到，，，即可得到，即可得到答案； 【规范解答】解：∵与关于点中心对称， ∴，，， 在与中， ∵， ∴， ∴点和点是关于中心的对称点， ∴与成中心对称， ∵点和点是关于中心的对称点， ∴直线必经过点， ∴四边形与四边形也关于点对称， ∴， 综上，正确的是①②③④． 【变式】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作，连接，则的最小值为______． 【答案】 【思路引导】在延长线上截取，连接，，由平行四边形的判定和性质得出四边形是平行四边形，进而得出且，再证明是等腰直角三角形，由勾股定理得出，再由三角形三边关系得出，进而可求出的最小值． 【规范解答】解：在延长线上截取，连接，， 四边形是平行四边形，， ， ， 四边形是平行四边形， 且， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 题型讲练二 平行四边形性质和判定的应用 【例题】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明 ，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 【变式】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【思路引导】当运动的时间为时，，，因为四边形是平行四边形，所以，当时，四边形是平行四边形，可得关于的方程，解方程求出的值； 过点作于点，过点作于点，利用三角形的面积公式求出的长度，从而可求的面积，根据三角形中位线的性质可求出的长度，从而可求的面积，用的面积减去的面积即可得到四边形的面积． 【规范解答】（1）解：当时，四边形是平行四边形， 理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中，， ， ． ， ． ， ，即时， 四边形是平行四边形， 解得：； （2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ，，， 在中，由勾股定理，得， 由三角形的面积公式，得， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ． 【考点剖析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、动点问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质．本题的综合性较强，解决本题的关键是根据平行四边形的判定定理确定边之间需要满足的条件，根据条件列方程． 题型讲练三 矩形与折叠问题 【例题】把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于F． (1)求证：； (2)若，．求点F到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，由翻折的性质可知，进而得到； （2）过点F作于点H，设，则，根据列方程，求出的值，根据求出的值即可． 【规范解答】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 由翻折的性质可知，， ； （2）解：如图，过点F作于点H， 设， 四边形是矩形， ， ，， ， 解得， ， ， ． 【变式】（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图，点是长方形纸片的边上一点，将纸片的一角沿折叠，使点的折叠点落在长方形外侧，．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据长方形的性质以及翻折的性质求出相关角的度数，然后根据直角三角形的性质得出相关角的度数，得出，即可得出两直线平行． 【规范解答】证明：由长方形的性质以及翻折的性质，得， ，， 又， ． ， ． 题型讲练四 根据矩形的性质与判定求角度 【例题】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在直角三角形中，，，，，动点D在线段上运动（不与端点重合），点D关于边，的对称点分别为E，F，连接，点C在上，则在点D的运动过程中，线段长度的最小值是（） A． B． C．10 D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了轴对称的性质，矩形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据题意得出四边形为矩形，再由轴对称的性质得出点C为的中点，据此得出，最后由时，取得最小值即可解决问题． 【规范解答】解：连接， 点D关于边，的对称点分别为E，F， ，，， 又， ，， 四边形为矩形， ， ， ， 当时，取得最小值， 由面积法可知，， 的最小值为． 故选：A． 【变式】（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，°，°，M是射线上的一动点，将线段绕点M逆时针旋转得到． (1)如图1，当点M与点C重合时，连接，求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，当点M在线段上(与点A，C都不重合时)，连接，过点M作垂直交于点E，连接，求的度数． (3)当点M与点A，C都不重合时，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【思路引导】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定， 对于（1），先说明，再根据旋转性质得，即可得，，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出结论； 对于（2），先根据“边角边”证明，再说明四边形是矩形，即可得出答案； 对于（3），分两种情况：当点M在线段上时，作，交于点M，交于点E，连接，由（2）得是等腰直角三角形，四边形是矩形，可根据勾股定理求出，然后根据得出答案； 当点M在射线上时，作，交于点M，交的延长线于点E，连接，仿照上述根据求出答案． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴． 根据旋转，得， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴； （3）解：或． 当点M在线段上时，作，交于点M，交于点E，连接， 由（2），得是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理，得， ∴； 当点M在射线上时，作，交于点M，交的延长线于点E，连接， 由（2），得是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 所以的长为或． 题型讲练五 根据矩形的性质与判定求线段长 【例题】如图，在中，，，，P为边上一动点，于点G，于点H，在点P的运动过程中，求的长度最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】连接，由勾股定理的逆定理可证明，则可证明四边形是矩形，得到，由垂线段最短可知，当时，有最小值，即此时有最小值，据此利用等面积法求解即可． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵在中，，，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，即此时有最小值， ∴此时有， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【变式】（2026·陕西西安·一模）如图，在边长为的正方形中，是的中点，分别是边上的动点，且交于点，则的最小值为______． 【答案】 【思路引导】过作于点，将正方形沿翻折，得到正方形，连接，过点作交于点，由正方形性质可得，，，则有四边形是矩形，，，四边形是平行四边形，然后证明，，可得，由，要使有最小值，则有最小值，则当三点共线时，为线段的长，最后通过勾股定理即可求解． 【规范解答】解：如图，过作于点，将正方形沿翻折，得到正方形，连接，过点作交于点， ∴， ∵四边形，四边形是正方形， ∴，，， ∴，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴要使有最小值，则有最小值，则当三点共线时，为线段的长，如图， ∵， ∴， ∴的最小值为． 题型讲练六 根据矩形的性质与判定求面积 【例题】在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)或或或 【思路引导】（1）过点作交于，延长交于，结合矩形的判定及性质，由判定，由判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）由点的运动路径得，设，由直角三角形的特征得，可求，由勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）解：过点作交于，延长交于， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 四边形是矩形， ， ， 点是上的一个动点（点不与端点重合）， ， ， 设， 是的中点， ， ， 解得， ， 线段的长为整数， 为或或或， 为或或或， 当时， ， 同理可求时，， 时，， 时，， 综上，的长为或或或． 【变式】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，将绕边的中点逆时针旋转得到，顶点落在边，边交边于点，连接，则的面积为______． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理逆定理，旋转的性质，矩形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合，合理作出辅助线是关键． 根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，，根据旋转的性质，矩形的判定得到平行四边形是矩形，根据，，由即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵点是中点， ∴ ∵旋转， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴点是中点， ∴， 如图所示，连接， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： ． 题型讲练七 利用平行线间距离解决问题 【例题】（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【思路引导】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短．连接，过点作于,利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论． 【规范解答】解：连接，过点作于． 面积为，， ， ， 垂直平分线段， ， ， 当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， 的最小值为． 故选：C． 【变式】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，直线，于点A，于点B，直线分别与，相交于点C和点D，，，．点E，F，G分别在线段，，上，且，，连接，，过点F，G分别作，的平行线相交于点H． (1)求证：； (2)若点H落在四边形内或其边上，求面积的最大值与最小值； (3)当为等腰三角形时，请画图确定H的位置，并简要说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)面积的最大值为与最小值为 (3)见详解 【思路引导】（1）连接，由判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）过作，过作于点，由可判定，由全等三角形的性质，由三角形的面积得 ，①当与重合时，取得最大值， ②当在线段上时，取得最小值； （3）过作，是定值，在直线上运动，以为圆心长为半径画弧交于、；作的垂直平分线交于． 【规范解答】（1）证明：连接， 过点F，G分别作，的平行线相交于点H， ，， ， ， ， （）， ； （2）解：过作，过作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （）， ， ， ①当与重合时，取得最大值， 此时， 面积的最大值为： ； ②当在线段上时，取得最小值， 过作， 直线，，， 平行线之间的距离处处相等， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 面积的最小值为： ； 故面积的最大值为与最小值为； （3）解：过作， 是定值， 在直线上运动， 以为圆心长为半径画弧交于、， ， 、是等腰三角形； 如图，作的垂直平分线交于， ， 是等腰三角形． 【考点剖析】本题考查了平行线的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，掌握平行线的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 题型讲练八 根据菱形的性质与判求角度 【例题】（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图1，四边形是正方形，对角线，交于点O，点E，F在上，平分，平分，点G在上，且，连接，． (1)求的度数． (2)如图2，延长，交于点H，连接． ①求证：四边形为菱形． ②若，求m的值． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【思路引导】（1）根据正方形的性质得出，根据角平分线的定义求出，，即可求解； （2）根据正方形的性质，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质等可求出，，证明，得出，，进而求出，则可证，根据三角形的内角和定理求出，得出，根据等角对等边得出，则，然后根据菱形的判定即可得证； ②根据菱形的性质得出，，根据平行线的性质，正方形的性质得出， 则可判定是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，进而得出，即可求解． 【规范解答】（1）解∶∵四边形是正方形， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）①证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形为菱形； ②∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 【考点剖析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 【变式】如图1，在同一平面内有三条等距的平行线，，，点A在直线上，点B，D在直线上． (1)在直线上求作一点C，顺次连接点A，B，C，D，使得四边形为平行四边形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，如图2所示，连接交直线于点O，在直线上截取，连接，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查平行四边形的判定，尺规作图—复杂作图，菱形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，以点D为圆心，的长为半径作圆弧交于点C，连接点A，B，C，D即可； （2）先证明四边形为平行四边形，四边形为菱形，进而得到，即可得证． 【规范解答】（1）解：如图，四边形即为所求； 作，则， 由作图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形． 由（1）可知四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． ∴， ∴． ∴四边形为矩形． 题型讲练九 根据菱形的性质与判定求线段长 【例题】如图，在中，，的平分线，分别与直线交于点，． (1)若，，则________； (2)若， ①当点与点重合时，求的长； ②当点与点重合时，求的长； (3)若点，，，相邻两点间的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)或或2 【思路引导】（1）利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出，，根据即可求解； （2）①同（1）得出，，根据即可求解； ②证明出四边形的邻边相等，即可进一步推得四边都相等，即得答案； （3）先分情况讨论，再根据每种情况，利用，，以及点，，，相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可． 【规范解答】（1）解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 同理可得， ； （2）解：①如图1， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 同理可得， 点E与点F重合， ， ②如图2，当点E与点C重合时，， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是菱形； ∴ （3）解：情况1，如图3， 当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得， ， ， ， ， ； 情况2，如图4， 当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得， 即， ， ， ， ， ； 情况3，如图5， 当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得， ， ， ， ， ； 综上所述，的值为或或2． 综上可知，的值为：或或2． 【变式】如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为，运动时间为秒，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动） (1)若，分别是，的中点，求证：四边形始终是平行四边形； (2)在（1）的条件下，当为何值时，四边形为矩形？ (3)若，分别是折线，上的动点，与，相同的速度同时出发，当为何值时，四边形为菱形？ 【答案】(1)见解析 (2)t为或 (3)t为时，四边形为菱形 【思路引导】（1）由矩形的性质得出，，证明，得出，同理得出，即可得出结论； （2）由勾股定理求出，证明四边形是平行四边形，得出，当对角线时，平行四边形是矩形，分两种情况：①，得出，解方程即可；②，得出，解方程即可； （3）连接、，由菱形的性质得出，，，得出，，证出四边形是菱形，得出，设，则，由勾股定理得出方程，解方程求出，得出，即可得出t的值． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵G，H分别是，中点， ∴，， ∴， 根据题意得：， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 同理：， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 连接，如图， 由（1）得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当时，平行四边形是矩形， 分两种情况： ①当E、F相交前，，， 解得：； ②当E、F相交后，，， 解得：； 综上所述：当t为或时，四边形为矩形． （3）解：连接、，连接交于O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 设，则， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴t为时，四边形为菱形． 题型讲练十 根据菱形的性质与判定求面积 【例题】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形纸片中，，，点是上一点，将纸片沿折叠，点恰好落在点处，连接．    (1)判断四边形的形状并证明； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理： （1）根据平行线的性质以及折叠的性质可得，从而得到，进而得到，可证明四边形是平行四边形，再由，即可求证； （2）设，在中，利用勾股定理可得，连接，在中，利用勾股定理可得，然后根据，即可求解． 【规范解答】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 如图，   ， ． 纸片沿折叠， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ， 是菱形． （2）解：由（1）得， 设， 在中，， ∴， ∴， 解得：， 即， 连接，    在中，， ． ， ， ． 【变式】．（24-25八年级下·河南许昌·期末）综合与实践 “综合与实践”课上，李老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开得到两个全等的三角形纸片，表示为和（其中）．将两个三角形纸片按下列方式摆放，解决以下问题： (1)如图2，摆放和，使点重合，点共线．连接．则四边形形状为___________；面积___________． (2)固定的位置，使点重合（标记为），转动的位置进行摆放． ①如图3，转动、摆放的过程中，若，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； ②“乐学组”同学在转动、摆放的过程中，发现边有多种情况能与的一边平行，连接，请直接写出的值（写出2种答案即可）． 【答案】(1)菱形； (2)①四边形是正方形，详见解析；②72或144或 【思路引导】（1）证明，进而得到是四边形的对角线且互相垂直平分，即可证明四边形形状为菱形，根据30度角的性质结合勾股定理得到，即可求出面积； （2）①先证明四边形是矩形，再证明矩形是正方形； ②分三种情况计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴ ∴， ∵点共线， ∴， ∴点共线， ∴是四边形的对角线且互相垂直平分， ∴四边形形状为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形面积 故答案为：菱形；； （2）解：①四边形是正方形，理由如下： ∴四边形是矩形 ∴四边形是正方形； ②i．当时， 由（1）可知，， ∵， ∴ ∵， ∴； ii．当时， 如图，反向延长到F，过点B作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴在一条直线上， ∵， ∴在一条直线上， ∴， ∴； iii． 当时， 如图，过D作交延长线于F，作交延长线于G， 则四边形为矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴ ∴； 综上所述，的值为72或144或（写出2种答案即可）． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，30度角的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型讲练十一 正方形折叠问题 【例题】（2025·河南周口·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 【答案】或 【思路引导】分和两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可． 【规范解答】解：在正方形中，， ∴，， ∵点B落在边上的三等分点M处， ∴和， 设，则， 由折叠的性质得， 当时，则， 在中，，即， 解得； 当时，则， 在中，，即， 解得； 综上，线段的长为或． 【考点剖析】注意三等分点有和两种情况，不要遗漏． 【变式】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）正方形的边长为，点是边上一点不与端点重合，将沿所在直线对折至，延长交边于点，连接，可得，连接． (1) ； (2)如图1，若，点为边的中点，求的面积； (3)如图2，若，判断与是否平行？并说明理由； (4)请直接写出 用含的式子表示． 【答案】(1) (2) (3)与平行，理由见解析 (4) 【思路引导】本题考查正方形半角模型以及勾股定理和面积的应用，解题关键是能够熟练运用这些知识去解题． （1）通过证明，，进而得到答案； （2）设，结合，利用勾股定理解直角三角形得到的值，再通过相似即可得到答案； （3）通过勾股定理得到为中点，得到，通过倒角得到答案； （4）利用正方形的面积与三角形面积与五边形的面积的关系，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图1，四边形是正方形， ，， 将沿直线翻折，得到， ，，，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）作，垂足为点，如图， 设，则， 为中点， ， 由（1）知，， 在中，由勾股定理得， ， ， 整理得：， 解得：， ，， ， ， ； （3）与平行，理由如下， 设，则，如图， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 整理得：， ∴ ， ， 由折叠可知，， 又， ， ， ， ； （4）设，，则，，如图， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 整理得：，① 由 ，② ∴把①代入②得， ， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 题型讲练十二 求正方形重叠部分面积 【例题】（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【规范解答】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 【变式】如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 【答案】1 【思路引导】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答． 【规范解答】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积， ∴， 那么两个正方形重叠的部分的面积等于， 故答案为：． 题型讲练十三 根据正方形的性质与判定证明 【例题】如图，正方形中，，点为正方形外一点，且，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．若，则的长为 _______ ． 【答案】17 【思路引导】根据旋转的性质得出有关相等的角、相等的边，从而证明四边形为正方形，再根据勾股定理求出的长，就可得到． 【规范解答】解：∵将绕点逆时针方向旋转得到，， ∴, ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴． 设， ∵， ∴， 在正方形中，， 在中， 根据勾股定理，得， 解得， ∴． 【变式】正方形中，点E是对角线上一动点，过点E作交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，求的长； (3)当与正方形的某条边的夹角为时，直接写出的度数； (4)若点为中点，连接，试判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 (4)，理由见解析 【思路引导】（1）过点作于点，于点，然后证明，即可得到，即可证明； （2）先由勾股定理求解，则，再证明，即可得到； （3）分两种情况讨论，即与的夹角为或与的夹角为，根据正方形的性质以及四边形内角和定理求解即可； （4）可得此时重合，由四边形是正方形，得到． 【规范解答】（1）证明：过点作于点，于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：在正方形中， ∴ ∵ ∴， ∵在正方形中，， ∴ ∴， ∴； （3）解：当与的夹角为时，即，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵在四边形中，，而 ∴； 当与的夹角为时，即，如图，设交于点， 由题意得， ∵ ∴ 综上：的度数为或； （4）解：，理由如下： 如图， ∵在正方形中，， 又∵点为的中点， ∴，即， ∵，点在射线上， ∴此时重合， ∵四边形是正方形， ∴． 题型讲练十四 根据正方形的性质与判定求角度 【例题】（24-25八年级下·海南·期末）在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【思路引导】（1）①由菱形性质得到，由等腰三角形性质得到．从而有．由等量代换得到，从而可证； ②由全等的性质得出，由菱形的性质得出，从而有，最后有等量代换即可得到； （2）由菱形的性质可求出，从而得到为等边三角形，得到，从而可证结论； （3）证明四边形是正方形，得到，同（1）可证，得到，进而得到为等腰直角三角形，从而得到结论． 【规范解答】（1）证明∶①如图， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，即． ∴； ②∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴．即． （2）解：． 理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 由（1）知：， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下： 如图， ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴，即． ∴， ∴． ∵， ∴在中，． ∵． ∴． ∴． 【考点剖析】本题考查了菱形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用相关性质定理和判定定理是解题的关键． 【变式】在四边形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．点Q在的延长线上且． (1)如图1，若四边形是正方形． ①求的度数； ②探究与的数量关系并说明理由． (2)如图2，若四边形是菱形且．探究与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①；②，详见解析 (2)，详见解析 【思路引导】本题主要考查了正方形和菱形的性质、全等三角形的判定和性质、腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定等知识点，熟练掌握有关基础知识是解题的关键． （1）①先证明，进而推出；可得出，根据等边对等角和三角形内角和定理即可解答；②如图2，如图2，在上取一点N，使，连接，证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图3，过点D作于E，连接，先证明是等边三角形，再证明和，进而完成解答． 【规范解答】（1）解：①如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，理由如下： 如图2，在上取一点N，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 如图3，过点D作于E，连接， ∴，， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， 由（1）同理得：， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 题型讲练十五 根据正方形的性质与判定求线段长 【例题】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【思路引导】本题考查正方形的判定与性质和等边三角形的性质，根据题意推出四边形为正方形，先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知，连接，依据正方形的对称性可知， 则，由两点之间线段最短可知：当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值为的长. 【规范解答】： 连接，      ∵两个全等的等腰和等腰有公共斜边， ∴， ， ∴四边形为正方形， ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴与关于对称， ∴， ∴， ∴有最小值为， 故选： B． 【变式】如图①，在矩形中，，，点从点出发，沿运动，已知沿运动时的速度为每秒6个单位长度，沿运动时的速度为每秒4个单位长度．点从点出发沿方向运动，速度为每秒2个单位长度．若、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．连接． (1)当点沿运动时，求的长（用含的代数式表示）． (2)过点作，交于点，连接，如图②．在点沿运动过程中，是否存在线段扫过的图形（阴影部分）被线段分成面积相等的两部分的情况，若存在，求出所有的值，若不存在，请说明理由． (3)设点、关于直线的对称点分别为、，在点沿运动过程中，时，求的值（直接写出结果）． 【答案】(1)当点P沿运动时，；当点P沿运动时， (2)或 (3) 【思路引导】（1）分情况讨论，当P点沿运动时，当P点沿运动时分别表示出的值即可； （2）分P点在上和P点在上两种情况，利用三角形面积相等建立方程求解即可； （3）根据和的位置分情况讨论，先由轴对称得出四边形为正方形，再根据正方形的性质列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：当点P沿运动时，， 当点P沿运动时，； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴四边形是矩形， 分以下两种情况： 当P点在边上运动时， ∵的面积被平均分成两部分， ∴过的中点，即此时P点与A点重合， ∴； 当P点在上运动时， ∵四边形的面积被平均分成两部分， ∴此时P点与R点重合，， 即， 解得， 综上，符合条件的t的值为或； （3）解：由题意可得，， 当点运动到点时，； 当点运动到点时，； 当点运动到点又返回到点时，； 当点运动到点时，； 当时，或，解得或， 分以下三种情况： ①如图，当P沿运动时，，如图，此时， 由和折叠可得，， ∴， ∴，即， 解得（不合题意）； ②如图，当P沿运动时，在下方，此时，，， ∵点是C点的对称点，， ∴四边形是正方形， ∴， 同理， ∴， 即 解得（不符合题意舍去）； ③如图，当P沿运动时，在上方，此时，，， 同理②可得， 即， 解得（不符合题意舍去）； ④如图，当P沿运动时，在上方，此时，，， 同理②可得， 即， 解得（不符合题意舍去）； ⑤如图，当P沿运动时，在下方，此时，，， 同理②可得， ， 解得， 综上，符合条件的t的值为． 【考点剖析】熟练掌握矩形的性质，对称的性质，再根据点的运动列方程求解是解题的关键． 题型讲练十六 根据正方形的性质与判定求面积 【例题】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______ 【答案】// 【思路引导】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键． 由旋转得，，，，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则，，即可解答． 【规范解答】解：由旋转得，，，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 故答案为：． 【变式】如图1，在正方形中，E，F，G，H分别为边上的点，，连接，交点为O． (1)如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)将正方形沿线段剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形的边长为，，则图3中阴影部分的面积为 ． 【答案】(1)正方形，见解析 (2)1 【思路引导】（1）先证明全等，可得出四边形是菱形，再根据全等三角形角之间的关系，又可得出菱形的一个角是直角，那么就可得出四边形是正方形． （2）根据已知条件，可以知道重新拼成的四边形是正方形（因为正方形的对角线翻到了外边，做了新拼成的正方形的边长），利用勾股定理求出和的长，所的面积是10减去4个四边形的面积就是阴影部分的面积． 【规范解答】（1）解：四边形是正方形． 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，，， 全等， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． （2）解：∵， ∴， ∵由（1）知，四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 故答案为：1． 【考点剖析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，以及菱形的判定的综合运用． 题型讲练十七 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 【例题】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，且其中一条对角线平分另一条对角线，则称这个四边形为“和谐四边形”． (1)请从以下选项中选出属于“和谐四边形”的选项填在横线上． ___________ A．矩形    B．菱形    C．等腰梯形 (2)已知四边形是“和谐四边形”，对角线，平分于点若，求四边形面积___________． (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，平分，过点作交于点，交于点，．求证：四边形是“和谐四边形”． 【答案】(1)B (2)24 (3)详见解析 【思路引导】（1）根据“和谐四边形”的定义进行判断即可； （2）由于对角线互相垂直，所以四边形的面积可化为的和，再求解即可； （3）先证明，再证得，求得，由等腰三角形三线合一性质可得，从而证得结论． 【规范解答】（1）解：菱形的两条对角线互相垂直，且两条对角线互相平分，符合“和谐四边形”的定义， 故选：B； （2）解：设与相交于点， ， 的面积为：， 的面积为：， 四边形的面积：， ， ， ， 故答案为：24； （3）证明：，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， （三线合一性质）， 四边形是“和谐四边形”． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质及三角形的面积，解决本题的关键是熟练掌握对“和谐四边形”的理解． 【变式】如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【思路引导】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【规范解答】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 【考点剖析】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键． 题型讲练十八 （特殊）平行四边形的动点问题 【例题】（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或．正确的是______（填序号） 【答案】④ 【思路引导】用含t的式子表示出，，，的长度，当四边形为矩形时，根据列方程；当四边形为平行四边形时，根据列方程；当时分两种情况：一是四边形为平行四边形，二是四边形为等腰梯形，分别列方程求解即可． 【规范解答】解：由题意得，， ， ，， 当四边形为矩形时，， 即， 解得，故①错误； 当四边形为平行四边形时，， 即， 解得，故②错误； 当时分两种情况： 当四边形为平行四边形时，； 当四边形为等腰梯形时，过点M作于点G，过点C作于点H，如图所示， 则， ，， ， ， ， ，， 四边形为矩形， ， ， 解得， 综上可得，当时，或， 故③错误，④正确． 综上所述，正确的是④． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度．设运动时间为，其中． (1)若，分别是，的中点，则四边形一定是____________（，相遇时除外）． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． 【答案】(1)平行四边形 (2)2或8 【思路引导】（1）根据矩形的性质结合平行线的性质可得到，，通过中点可证明，进而证明，利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解． 【规范解答】（1）解：平行四边形． 由题意得：, ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，分别是，中点， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图①，连接． ，分别是，的中点，四边形是矩形， 四边形是矩形， ． 分以下两种情况讨论： ①如图①，当四边形是矩形时，． ，，， ． ， ， ； ②如图②，当四边形是矩形时，，． ， ， ． 综上所述，四边形为矩形时，的值为2或8． 【考点剖析】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用． 题型讲练十九 四边形中的线段最值问题 【例题】（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________． 【答案】 【思路引导】本题考查了斜中半定理，三角形中位线的性质以及运用将军饮马模型求线段和的最小值，综合运用以上知识是解题的关键．运用斜中半定理以及三角形中位线性质，证明四边形是平行四边形，求的最小值等同于求的最小值，最后运用将军饮马模型以及勾股定理求得最小值． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点M，N分别是，的中点， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴的最小值就是的最小值， 作点C关于直线对称点Q，连接、， ， 当点B、P、Q三点共线时，的最小值就是的长度， 在中，，，， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 【变式】（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值．            【答案】（）详见解析；（）． 【思路引导】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）连接，证明，即可求证； （2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解； 【规范解答】（1）证明：连接，   由折叠可得，． ∵四边形为矩形，． ∵为的中点，， ∴． 在与中， ∵，， ∴， ∴ （2）解：，点在移动过程中，不变． ∴点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，，    ∴， 当点在线段上时，有最小值． ∵，，， ∴． ∴， ∴的最小值为． 题型讲练二十 四边形其他综合问题 【例题】（24-25九年级下·河南郑州·月考）定义：在凸四边形中，如果只有一组对角相等，我们把这类四边形叫作“奋进四边形”． (1)操作判断： 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“奋进四边形”的有______（填序号）； (2)性质探究： ①如图2，四边形是“奋进四边形”，，，，则的度数为______，的度数为______； ②如图3，四边形是“奋进四边形”，，，求证：； (3)四边形是“奋进四边形”，，，，，请直接写出对角线的长． 【答案】(1)②④ (2)①，；②见解析 (3)或 【思路引导】（1）按照“奋进四边形”的定义逐个判断即可； （2）①根据“奋进四边形”的定义进行求解即可； ②连接，根据等腰三角形性质得出，证明，根据等边三角形的判定得出答案即可； （3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【规范解答】（1）解：图①中有两组对角相等，图③没有一组对角相等，因此不是奋进四边形，图②和图④有一组对角相等，是奋进四边形， 故答案为：②④； （2）解：①∵四边形是“奋进四边形”，，，， ∴，； ②证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：当时，如图2，延长、交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图3，作于点，于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，对角线的长为或． 【考点剖析】本题主要考查了等腰三角形判定与性质，勾股定理，多边形的内角和，直角三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质进行推理证明． 【变式】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，O为的中点，点E，M为同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线分别与的另一边交于点F，N，连接，下面四个推断： ①；②；③若是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；④对于任意的，存在无数个四边形是矩形；其中所有正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【思路引导】本题考查了矩形的判定，菱形的判定和性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 由“”可证，，可证四边形是平行四边形，可得，与不一定相等，故①错误，②正确，由菱形的判定和性质和矩形的判定可判断③错误，④正确． 【规范解答】解：如图1，∵O为对角线的中点， ∴，， ∴， 在和中， ，    ∴， ∴， 同理可得：， ∴，即； 又∵， ∴四边形是平行四边形，   ∴，故②正确； 根据现有条件无法证明，故①错误． 若平行四边形是菱形，则， ∴， ∵点E，M为边上任意两个不重合的动点(不与端点重合)， ∴， ∴四边形不可能是菱形，故③不正确； 如图2，当时，则， ∵四边形是平行四边形， ∴边形是矩形， 又∵存在无数个点E、M满足， ∴对于任意的，存在无数个四边形是矩形，故④正确；        综上所述，正确结论为②④． 故选：D． 考点讲练二十一 三角形的中位线 【例题】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，在梯形中，，、分别是、的中点，连接，叫做梯形的中位线．小华结合学习三角形中位线定理的经验对线段、与之间的位置和数量关系做了探究．通过连接，并延长交的延长线于点，证明，再结合三角形中位线的定理可得出，． 请利用上述方法解决问题： 如图②，在梯形中，和的平分线相交于点，且点在梯形中位线上．若梯形的周长为，求的长． 【答案】 【思路引导】平行线和角平分线结合构造出等腰三角形，推出，，等量代换得出，结合题干中得出的，即可求解． 【规范解答】解：，， ， 平分， ， ， ， 同理可得， ， ∵梯形的周长为， ， ． 【变式】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，点M为的中点，为的外角平分线，且，若，，则的长为______． 【答案】 【思路引导】延长交的延长线于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再求出，然后判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答． 【规范解答】解：延长交的延长线于E， ∵为的外角平分线，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵点M为的中点， ∴是的中位线， ∴． 题型讲练二十二 等腰梯形的性质定理 【例题】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，等腰梯形中，，，，，动点从点出发沿方向向终点运动，动点同时以相同速度从点出发沿方向向终点运动． (1)求的长； (2)探究：在边上是否存在点使得四边形是菱形？若存在，请找出点；不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，求：线段的中点运动的路程． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)． 【思路引导】（）首先过点作交于，得四边形是平行四边形，即可求得的长，继而可得是等边三角形，则可求得的长； （）若存在满足条件的点，则必须等于，即可求得恰为等边三角形，过点作于点，延长交于点，连接，则垂直平分，继而可得，则可求得的长； （）分析可得的中点运动的轨迹分为两部分；当在上时，的中点关于对称的一条线段，长度是相同的，起点是的中点、终点是的中点；当在上时，的中点始终不动，则可求得线段的中点运动的路程． 【规范解答】（1）解：过点作交于， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：存在满足条件的点，则必须等于， 设动点与的运动时间为， 于是， ∴， 此时，点的位置如图所示，恰为等边三角形， 则， 过点作于点，延长交于点，连接，则垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，即， ∴四边形是菱形， ∴存在满足条件的点，且； （3）解：的中点运动的轨迹分为两部分； 当在上时，的中点关于对称的一条线段，长度是相同的，起点是的中点、终点是的中点； 当在上时，的中点始终不动，此段中点运动的距离为， ∴线段的中点运动的路程为． 【考点剖析】此题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 考点讲练二十三 等腰梯形的判定定理 【例题】如图1，梯形中，，，，，．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)若点是直线上的一点，直线交直线于点． ①当点在线段的延长线上时（如图2），设，，求关于的函数解析式并写出定义域； ②如果是等腰三角形，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【思路引导】（1）如图所示，过点D作交于E，则，证明四边形是平行四边形，得到，进而推出，可证明是等边三角形，得到，即可证明，即四边形是等腰梯形； （2）①过点D作交延长线于F，求出，得到，则，由勾股定理即可得到；②求出，则当点M在点A下方时，只存在这一种情况，可得，如图3所示，过点B作于H，求出，得到，，则，即可得到；当点M在点A上方时，如图4所示，可证明是等边三角形，得到，进而可证明三点共线，则点N与点C重合，即可证明是等边三角形，过点M作于H，得到，则，可得． 【规范解答】（1）解：如图所示，过点D作交于E， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形． （2）解：①如图所示，过点D作交延长线于F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴当点M在点A下方时，只存在这一种情况， ∴， 如图3所示，过点B作于H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点M在点A上方时，如图4所示， ∵是等腰三角形，且 ， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）可得四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴点N与点C重合， ∴是等边三角形， 如图所示，过点M作于H， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 【考点剖析】本题主要考查了等腰梯形的判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式】（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在四边形中，，于点B，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为．    (1)填空：当________s时，四边形为矩形； (2)若，求t的值； (3)填空：当________时，在点P、Q运动过程中，四边形能构成菱形． 【答案】(1)； (2)的值为或； (3)． 【思路引导】（1）由可得当时，四边形是矩形，即可得方程： 解此方程即可求得答案； （2）根据①四边形为平行四边形，可得方程②四边形为等腰梯形，可求得当，即时， 四边形为等腰梯形，解此方程即可求得答案； （3）由菱形的性质得出得出解得：得出 作于，则得出 在中，由勾股定理求出，即可得出答案． 此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、等腰梯形的性质．熟练掌握平行四边形和矩形的判定，根据题意得出方程是解决问题的关键． 【规范解答】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴， ， ∵， ∴当时， 四边形是矩形， ∴， 解得：， 即当时， 四边形是矩形； 故答案为：； （2）解：若， 分两种情况： ①时， 则四边形是平行四边形， ， 即， 解得：， ②与不平行时， 四边形为等腰梯形， 则即 解得：， ∴的值为或； （3）解：若四边形为菱形， 则 解得： 作于，如图所示：    则 在中， ， ∴当时，在点运动过程中，四边形能构成菱形， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在长方形中，，，是上一个动点，于，于，则的值为（    ） A．4 B．4.6 C．4.8 D．5 【答案】C 【思路引导】先连接，再利用矩形的性质和勾股定理，得出，，最后根据，即可解答． 【规范解答】解：如图，连接， 四边形是矩形， ，，，， ， ． 在中，， ， ． ，，， ， 即， ． 2．如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断． 【规范解答】解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，该选项不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，该选项不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，该选项符合题意； D、因为四边形是平行四边形，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以平行四边形是菱形，该选项不符合题意． 3．如图，周长为16的菱形中，点分别在边上，为上一动点，则线段的长最短为（    ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】B 【思路引导】作点关于的对称点，则，，连接交于点，得到，可知当在一条直线上时，的值最小，此时，再证明四边形是平行四边形即可求解． 【规范解答】解：作点关于的对称点， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴点落在上， 则，，连接交于点， ∴， 由两点之间线段最短可知，当在一条直线上时，的值最小， 此时， ∵四边形为菱形，周长为， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值为． 4．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：；；；；，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】①根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得 ，从而得到，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形两底角相等求出，根据平角等于求出，从而判断出①正确； ②求出，，然后根据等角对等边可得，判断出②正确； ③求出，，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断出③正确； ④利用全等三角形的性质得到，利用矩形的性质和证明，证明得到，然后结合，可得，判断出④正确； ⑤判断出不是等边三角形，从而得到，即，得到⑤错误． 【规范解答】解：∵在矩形中，平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴ 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 又∵， ∴， 又∵(对顶角相等)， ∴， ∴． ∵， ， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，，故③正确； ∵在矩形中，，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，所以④正确； ∵，， ∴不是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，故⑤错误； 综上所述：结论正确的是①②③④，共4个． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在菱形中，，点分别在边上，且，若菱形边长为，则四边形的面积为______． 【答案】 【思路引导】连接，由菱形的性质可证明，得出，作，即可求出四边形的面积． 【规范解答】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴和都是等边三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 作交于点，    在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则四边形的面积为， 故答案为：． 6．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 【答案】 【思路引导】先得到四边形是平行四边形，则当时，四边形是菱形，然后表示出，再对运用勾股定理建立方程求解． 【规范解答】解：由题意得，，则， ∵四边形是矩形 ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∵ ∴， 解得 ∴四边形是菱形，则的值为． 7．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，点是矩形内部一个动点，满足为上一点且，当时，则的最小值为_____． 【答案】 【思路引导】在上截取，先证，得到，从而得出，当且仅当C、E、G三点共线时取等，再根据题干条件求解即可． 【规范解答】解：如图，在上截取，连接，， 在和中， ， ， ， ，当且仅当C、E、G三点共线时取等， ，且， ， ， 四边形是矩形，， 在中，， 即， 的最小值为． 8．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，四边形中，，，点在边上，四边形为平行四边形，，动点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设点的运动时间为秒． (1)的长为_____，的长为_____； (2)若为等腰三角形，求的值； (3)在点运动过程中，作点关于直线的对称点，当直线与边或边平行或共线时，直接写出的值． 【答案】(1)13，20 (2)或或 (3)5或 【思路引导】（1）先根据平行四边形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案． （2）作，连接，根据平行四边形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据为等腰三角形，分三种情况，分别列出方程求出解即可； （3）当共线时，则，根据可得，即可求出；当时，连接，先根据“边边边”证明，再说明，进而得出，即可得出四边形是菱形，然后根据边长相等可得答案． 【规范解答】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点E作，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴． 由（1）知由题意知， ∴． ∵为等腰三角形， ∴分三种情况： 当时，则， 解得； 当时， ∴即则， 解得； 当时，， ∵， ∴， 在中，，即， 解得． 综上所述，当为等腰三角形，t的值为或或； （3）解：∵点B，C，D在同一条直线上，点M与点D关于直线对称， ∴如图所示，当共线时，则， 同理（2）可得， ∴， ∴； 如图，当时，连接， 由对称的性质得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴点M在上，即四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形， ∴，即， 解得． 综上所述，当直线与边或边平行或共线时，t的值为5或． 9．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在正方形中，点，（不在正方形的顶点上）分别在，上，，连接． (1)求证：． (2)已知分别是的高线和的中线，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）由正方形的性质得到，据此利用可证明结论； （2）由三角形的高线的定义和直角三角形的两锐角互余求出的度数，由全等三角形的性质得到的度数，再由直角三角形的性质得到，据此由等腰三角形的性质可得答案． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：是的高线， ∴，即 ． ∵， ． 是斜边上的中线， ， ． 10．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点分别从点同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为（秒）． (1)当为何值时，四边形是平行四边形； (2)当为何值时，以为顶点的梯形面积等于？ (3)是否存在点，使？若存在，请直接写出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)或 (3)存在，的值为或 【思路引导】（）分从运动到和从运动到两种情况，根据平行四边形的性质列出方程解答即可求解； （）分从运动到和从运动到两种情况，根据梯形的面积公式列出方程解答即可求解； （）分从运动到和从运动到两种情况，根据等腰三角形和矩形的性质列出方程解答即可求解； 本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质等，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 当从运动到时， ∵，， ∴， 解得； 当从运动到时， ∵，， ∴， 解得； ∴当或时，四边形是平行四边形； （2）解：∵以为顶点的梯形面积等于， ∴， 当从运动到时，则， 解得； 当从运动到时，则， 解得； ∴当或时，以为顶点的梯形面积等于； （3）解：存在． 当从运动到时，如图，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴符合题意； 当点返回时，如图，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴符合题意； 综上，存在点，使，此时的值为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $