专题04矩形期中复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

专题04矩形期中复习讲义 消期中复习重点 )定义核心：有一个角为直角的平行四边形是矩形。 )必背性质：四角都是直角，对边平行且相等；对角线平分又相等；双轴对称 +中心对称。 )三大判定：一矩定平行四边形；三角直定四边形；对角线等定平行四边形。 )高频模型：对角线分等腰三角形；直角三角形斜边中线模型。 √解题关键：判定先证平行四边形，再补条件；计算巧用勾股定理、等边三角 形性质。 ★易错避坑提醒： ①判定误写：切勿直接用“对角线相等的四边形是矩形”，前提必须是平行四 边形。 2性质混淆：矩形对角线相等不垂直，别和菱形对角线性质记混（正方形除 外)。 3审题疏漏：未先判定平行四边形，直接套用矩形性质，逻辑不成立。 消核心题型归纳 题型1根据矩形的性质求角度 题型2根据矩形的性质求线段长 试卷第1页，共3页 题型3根据矩形的性质求面积 题型4利用矩形的性质证明 题型5求矩形在坐标系中的坐标 题型6矩形与折叠问题 题型7矩形的判定定理理解 题型8添一条件使四边形是矩形 题型9根据矩形的性质与判定求线段 题型10根据矩形的性质与判定求面积 长 题型11平行线间的距离 题型12提升测试 消重点知识梳理 知识点01矩形的定义 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形（又称长方形）。 2.核心：矩形具备平行四边形全部性质：（1)对边平行且相等；(2)对角相 等、邻角互补；(3)对角线互相平分；(4)是中心对称图形. 3.矩形自身独特性质：(1)四个角都是直角(90°)；(2)矩形对角线相等； (3矩形是轴对称图形. 试卷第2页，共3页 知识点02矩形核心性质 1边：对边平行且相等。 几何语言：.四边形ABCD是矩形， ABIICD,ADIlBC,AB=CD,AD=BC; 2.角：四个角均为直角 几何语言：.'四边形ABCD是矩形，∴.∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAC=90°； 3.对角线：相等且互相平分， 几何语言：四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O,∴. AC=BD,AO=OC=AC,BO=OD=BD; 4对称性：既是中心对称图形（对角线交点为对称中心）， B 试卷第3页，共3页 5.推论：（1)矩形对角线分矩形为四个全等直角三角形，斜边均为矩形对角 线； (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； (3)矩形邻边垂直，可直接用勾股定理求对角线长度。 知识点03矩形判定方法 1定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形： 2角判定法：有三个角是直角的四边形是矩形； 3对角线判定法：对角线相等的平行四边形是矩形。 知识点04矩形的计算与应用 1.边长、周长：利用对边相等、直角条件，结合勾股定理求解； 2对角线：结合"相等且互相平分”性质，结合勾股定理灵活求解； 3.面积：S=长×宽，也可用平行四边形“底×高”公式，结合平行线间距离性 质快速求解。 知识点05平行线间距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度： 2核心性质：处处相等，长度仅与平行线位置有关； 试卷第4页，共3页 3.考查关联：结合矩形、平行四边形，求边长、面积或解决线段/面积相等问 题； 4易错点：混淆与点到直线的距离，忽略“平行”前提，未准确作垂线段。 知识点06期中易错点提醒 1判定易错：忽略“对角线相等的平行四边形是矩形的前提是平行四边形， 2性质易错：忽略矩形轴对称性，求解折叠题遗漏对应边、角相等条件； 3计算易错：面积计算混淆底与对应高， 勾股定理应用出错。 题型解析◆精准备者 题型1根据矩形的性质求角度 1.如图，矩形1BCD的对角线MC和BD相交于点O,AE平分∠BAD交 BC于点E,如果B0=BE,那么∠BOE 的度数为() A.55° B.650 C.75° D.67.5° 【答案】C 试卷第5页，共3页 【分析】根据矩形性质得出∠BAD=∠ABC=90°，AC=BD, A0=C0=,4C,B0=D0=)BD,根据等腰三角形的判定得出 2 AB=BE,证明△MBO 为等边三角形，得出∠AB0=60° 根据等腰三角形的 性质得出∠B0E=∠B0=10,30=75 2 即可. 【详解】解：四边形ABCD是矩形， ∠BAD=∠ABC=90,4C=BD,A0=C0-4C,B0=D0=BD ...AO=BO=CO=DO .'AE平分∠BAD, .∠BAE=∠DAE=45°， .∠BAE=∠BEA=45°， .AB=BE, ..BO=BE, .AB=BO, ·.AB=AO=BO 试卷第6页，共3页 .△ABO为等边三角形， .∠AB0=60°， .∠0BE=90°-60°=30°， ..BO=BE .∠B0E=∠BE0=180°-30 =75° 2 2.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD, E/C,若∠CAB=28°，则∠E= E D 0 B 【答案】124 【分析】先根据矩形的性质得到对角线相等且互相平分，求得∠DOC的度数， 再判定四边形OCED是平行四边形，得到∠E=∠DOC. 【详解】解：在矩形ABCD中，AO=CO=BO=DO, .∠OBA=∠CAB=28° ∴.∠DOC=∠AOB=180°-2∠CAB=124° 试卷第7页，共3页 :CE BD DE∥AC ∴四边形OCED是平行四边形， .∠E=∠DOC=124° 3.如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EC平分∠BED.若AB=1 ,BC=V2,求∠ECD的度数. 【答案】 ∠ECD=22.5 【分析】本题考查了角平分线与矩形的性质，利用角平分线的性质、正确地作 出辅助线是解决本题的关键 过点C作CM⊥BE交BE于点M,先证明△EMC≌△EDC,求得 ∠MCE=∠DCE,再证明△BMC为等腰直角三角形，求出∠MCD,最终求 得<ECD 【详解】解：过点C作CM⊥BE交BE于点M,如图. 试卷第8页，共3页 ·四边形ABCD是矩形， ∴.∠EDC=∠EMC=90° :BC平分∠BED ∴.∠CEM=∠CED 在△EMC和△EDC中， ∠EMC=∠EDC, ∠CEM=∠CED, EC=EC, .AEMC≌△EDC(AAS) :∠MCE=∠OCE MC=DC=AB=1 在Rt△BMC中，BM=VBC2-MC=V(W2)2-1P=1=MC, △BMC为等腰直角三角形， .∠BCM=45° ∴.∠MCD=45° ∴.∠ECD=22.5° 题型2根据矩形的性质求线段长 1.如图，四边形ABCD和AEFC都是矩形，点B在边EF上.若AB=1, AC=2,则CF的长为() 试卷第9页，共3页 √5 2 A.1 B.2 C.2 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出BC的长，进而求出S.c,根据矩形的性质可得 AC‖EF且CF L AC,从而得出CF为△ABC边AC上的高，利用面积公 式即可求解. 【详解】解：~四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=90° 在Rt△ABC中，AB=1,AC=2, 由勾股定理得：BC=√AC2-AB2=√22-1P=√5 2 “四边形AEFC 是矩形， .ACIEF∠ACF=90° ∴.CF⊥AC ∴.CF的长即为平行线1C与EP之间的距离. 试卷第10页，共3页 专题04矩形期中复习讲义 期中复习◆重点 ✅ 定义核心：有一个角为直角的平行四边形是矩形。 ✅ 必背性质：四角都是直角，对边平行且相等；对角线平分又相等；双轴对称+中心对称。 ✅ 三大判定：一矩定平行四边形；三角直定四边形；对角线等定平行四边形。 ✅ 高频模型：对角线分等腰三角形；直角三角形斜边中线模型。 ✅ 解题关键：判定先证平行四边形，再补条件；计算巧用勾股定理、等边三角形性质。 ★易错避坑提醒： ❶ 判定误写：切勿直接用“对角线相等的四边形是矩形”，前提必须是平行四边形。 ❷ 性质混淆：矩形对角线相等不垂直，别和菱形对角线性质记混（正方形除外）。 ❸ 审题疏漏：未先判定平行四边形，直接套用矩形性质，逻辑不成立。 核心题型◆归纳 题型1根据矩形的性质求角度 题型2根据矩形的性质求线段长 题型3根据矩形的性质求面积 题型4利用矩形的性质证明 题型5求矩形在坐标系中的坐标 题型6矩形与折叠问题 题型7矩形的判定定理理解 题型8添一条件使四边形是矩形 题型9根据矩形的性质与判定求线段长 题型10根据矩形的性质与判定求面积 题型11平行线间的距离 题型12提升测试 重点知识◆梳理 知识点01矩形的定义 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形（又称长方形）。 2.核心：矩形具备平行四边形全部性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等、邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）是中心对称图形. 3.矩形自身独特性质：（1）四个角都是直角（90°）；（2）矩形对角线相等；（3矩形是轴对称图形. 知识点02矩形核心性质 1.边：对边平行且相等. 几何语言：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC； 2.角：四个角均为直角 几何语言：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAC=90°； 3.对角线：相等且互相平分， 几何语言：∵ 四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O，∴ AC=BD，AO=OC=AC，BO=OD=BD； 4.对称性：既是中心对称图形（对角线交点为对称中心）， 5.推论：（1）矩形对角线分矩形为四个全等直角三角形，斜边均为矩形对角线； （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （3）矩形邻边垂直，可直接用勾股定理求对角线长度。 知识点03矩形判定方法 1.定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2.角判定法：有三个角是直角的四边形是矩形； 3.对角线判定法：对角线相等的平行四边形是矩形。 知识点04矩形的计算与应用 1.边长、周长：利用对边相等、直角条件，结合勾股定理求解； 2.对角线：结合“相等且互相平分”性质，结合勾股定理灵活求解； 3.面积：S=长×宽，也可用平行四边形“底×高”公式，结合平行线间距离性质快速求解。 知识点05平行线间距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度； 2.核心性质：处处相等，长度仅与平行线位置有关； 3.考查关联：结合矩形、平行四边形，求边长、面积或解决线段/面积相等问题； 4.易错点：混淆与点到直线的距离，忽略“平行”前提，未准确作垂线段。 知识点06期中易错点提醒 1.判定易错：忽略“对角线相等的平行四边形是矩形的前提是平行四边形； 2.性质易错：忽略矩形轴对称性，求解折叠题遗漏对应边、角相等条件； 3.计算易错：面积计算混淆底与对应高，勾股定理应用出错。 题型解析◆精准备考 题型1根据矩形的性质求角度 1．如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，矩形的对角线，相交于点O，， ，若，则__________． 3．如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EC平分．若，，求的度数． 题型2根据矩形的性质求线段长 1．如图，四边形和都是矩形，点B在边上．若，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 2．矩形对角线夹角为，较短的边长为12，则对角线长为__________． 3．如图，矩形的对角线相交于点，，，求的长度． 题型3根据矩形的性质求面积 1．如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为、，则它们的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．如图：矩形内有两个相邻的正方形，且左右两边的正方形面积分别为和，那么图中阴影部分的面积为_______． 3．已知：如图，是矩形的两条对角线，相交于点O，，． (1)求矩形对角线的长． (2)求矩形的面积． 题型4利用矩形的性质证明 1．如图，在矩形ABCD中，的平分线DE交AB于点E，，于点H，连结AH并延长，交CB于点F，连结给出下列结论：；；的面积是矩形ABCD面积的；；其中正确的有（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，为上一点，且，为的中点，下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的序号是_______． 3．如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E，F． (1)求证：； (2)若，连接，求四边形的周长． 题型5求矩形在坐标系中的坐标 1．如图，点、分别在直线和直线上，、是轴上两点，若四边形是矩形，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为_____． 3．在平面直角坐标系中，组成矩形，直线与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)直线交矩形于不同的两点，直接写出的取值范围． 题型6矩形与折叠问题 1．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，矩形中，点E在边上，将矩形沿直线折叠，点A恰好落在边的点F处．若，则为______． 3．如图，是一张矩形纸片，，．在矩形的边上取一点E，在上取一点F，且E、F不与矩形的顶点重合，将纸片沿折叠，使与交于点G，得到． (1)若，则________； (2)探究的形状，并说明理由； (3)如何折叠能够使面积最大？请你利用备用图探究并求出最大值． 题型7矩形的判定定理理解 1．下列命题中，假命题是（    ） A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形； B．有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形； C．有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形； D．有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形． 2．如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 3．如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)求证∶ 为直角三角形． (2)画出边上的高，并说明理由． 题型8添一条件使四边形是矩形 1．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（   ） A．B．C．D． 2．如图，在中、相交于点，，当____时，是矩形． 3．如图，，，点C，F在上，且，连接，． (1)求证：； (2)连接，．请添加一个条件，使四边形是矩形．（不需要说明理由） 题型9根据矩形的性质与判定求线段长 1．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 2．如图，已知在梯形中，，，，平分，交边于点．如果是直角三角形，那么的长为_____． 3．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 题型10根据矩形的性质与判定求面积 1．如图，在菱形中，，，过菱形的顶点分别作对角线，的平行线，两两相交于点M，N，P，Q，则四边形的面积为（   ） A． B．4 C． D．8 2．如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为_____． 3．如图，在中，，是的角平分线，是的外角的平分线，，垂足为． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，若，，求的长． (3)仅用无刻度的直尺画出将面积平分的射线． 题型11平行线间的距离 1．如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于、、三点，若，，则平行线、之间的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，，、分别平分和，于E，且，则与之间的距离是___________． 3．如下图，在四边形中，，与相交于点．求证：． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列命题中正确的是（    ） A．矩形的对角线相互垂直 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．平行四边形是轴对称图形 D．平行四边形的对角线相等 2．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（   ） ①；②四边形是菱形；③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，连接，，，，则的长为（   ） A．8 B． C．4 D． 5．如图，在矩形中，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，则的值为（　　） A．5 B． C． D． 6．如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知四边形是平行四边形，根据矩形的定义，添加一个条件：______，可使它成为矩形． 8．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使、；然后摆放成如图②四边形；将直角尺紧靠窗框的一个角（如图③）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是__________形，根据的数学原理是：___________． 9．如图，，为，平分线的交点，交于，且，则与之间的距离等于________． 10．如图，矩形中，，垂足为，且，，则___________． 11．如图，在五边形中，，，，，连接，恰好平分，求的长度_____． 12．如图，在长方形中，在上取点E，连接，点D关于的对称点F落在边上，在，上分别取点G、H，连接，，．若，，且，，则的长是______． 三、解答题 13．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 14．在如图所示的方格纸中，是格点三角形，请按以下要求画格点三角形． (1)在图1中画一个，使得和全等； (2)在图2中画一个等腰，使得和的面积相等． 15．如图，在矩形中，点和点在边上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 16．如图1，矩形的顶点分别在轴，轴的正半轴，若点，且满足，若点为矩形的对角线的中点，过点作的垂线分别交于点，． (1)___________，___________； (2)连接： ①判断四边形的形状，并说明理由； ②求线段的长度． 17．如图1，将矩形绕点A逆时针方向旋转得到矩形，连接． (1)若，求的度数； (2)如图2，当点落在边上时，连接与交于点．求证：是的中点． 试卷第1页，共3页 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