专项06 解直角三角形 （大题专练）（安徽专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项06 解直角三角形 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 连续五年均在第17~20题区间，以解答题形式出现以实际应用为背景，需建立直角三角形模型，运用三角函数求解 命题趋势：解直角三角形是安徽中考“图形与几何”板块的必考内容，近年呈现背景从单一几何走向跨学科融合、核心工具从特殊角走向一般角、能力要求从简单计算走向数学建模的三大转变 2026年预测：解直角三角形仍将稳定在第17~20题，以解答题形式呈现，分值8~10分，实际应用背景为主。“测高”类问题仍为主流，但背景将更加多元。跨学科融合将持续深化，对建模能力的要求进一步提升。 题型01 解直角三角形中仰角俯角问题 析典例·建模型 1．（2026·河北保定·模拟预测）如图1所示的开元寺塔位于河北省定州市，是现存最高的砖木结构古塔．某综合实践小组尝试利用无人机（无人机限高50米）测算开元寺塔的高度．如图2和图3，当无人机位于高度为28米的处（即米）时，测得塔顶处的仰角为． (1)若米，则开元寺塔的高度为_____米（用含的式子表示）； (2)嘉嘉发现．用现有数据．测量不出塔的高度．于是组内的淇淇又测量了下列两组数据：数据①：如图2，当无人机在处时，测得塔底处的俯角为；数据②：如图3，当无人机从处水平后退56米到达时，测得塔顶处的仰角为．请你任意选择一组数据．计算出开元寺塔的高度．（参考数据：，tan） 【思路分析】（1）解求出，再由求解即可； （2）选用数据①，解求出即可；选用数据②，解求出即可． 【规范答题】（1）解：由题意得，，， 在中， ∴， ∴（米）； （2）解：选用数据①： 如图2，由题意得，， ∴在中，， ∴， ∴（米）； 选用数据②： 如图3，由题意得，，， 在中， 解得 ∴（米）， 答：开元寺塔的高度为米． 研考点·通技法 常见考点： 1.测量建筑物高度、无人机上升高度、河宽等。 2.给出仰角（视线在水平线上方）或俯角（视线在水平线下方），以及部分距离，求未知高度或距离。 解题技法： 1.构造直角三角形：通常过观测点作水平线，将仰角/俯角转化为三角形内角。 2.选择三角函数：已知邻边求对边用正切，已知斜边求对边用正弦等。 3.注意：仰角和俯角是视线与水平线的夹角，常结合两个不同位置（如两次仰角）列方程。 4.参考数据：题目中会提供 sin、cos、tan 的近似值，按要求取精确度。 破类题·提能力 1．（2026·湖南株洲·一模）交警通常通过限速来降低交通事故发生的概率，而测速摄像头主要通过读取汽车的车牌来识别车辆身份．如图，某条笔直的公路限速，在公路上方高的位置A处有一个摄像头，第一次识别到B处一辆汽车，俯角为，后在C处再次识别到这辆车，俯角为，已知此车辆车牌位于地面高的位置，请判断这辆汽车是否超速，并说明理由．（参考数据：，，，，，） 2．（2026·陕西西安·一模）实践课上，老师组织学生测量学校主教学楼上校徽的高度，学生王雯由距离主教学楼米的大树的底部C处向后移动，当移动到达点D时，她恰好略过大树的顶端E看到校徽的顶端P，接着她继续向后移动到达点B处时，她又恰好略过大树的顶端E看到校徽的底部点Q，并测得（A、B、C、D在一条水平线上），请你利用文中数据帮助王雯计算校徽的高度（参考数据：，，）． 3．（2026·安徽合肥·一模）暑假期间，小华一家到某山景区游玩．他们从山脚入口出发，先沿斜坡步行到达缆车入口，再从坐缆车经过秒到达山顶平台．已知斜坡的坡角，缆车行驶路线（近似看成线段）与水平面的夹角，山顶平台到山脚水平面的垂直高度．假设、、、在同一平面内，求缆车行驶的平均速度．（结果精确到，参考数据：，，，） ． 题型02解直角三角形中方位角问题 析典例·建模型 1．（2026·江苏连云港·一模）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别去两港装载物资，B港位于C港西南方向，最后都运送到D港．甲货轮沿A港的南偏东方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东航行一定距离到达D港．乙货轮沿A港的正东方向航行一定距离到达C港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达D港．（参考数据：） (1)求两港之间的距离（结果保留根号）． (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠两港的时间相同），哪艘货轮先到达D港？请通过计算说明． 【思路分析】（1）作，可得再结合题意说明，然后求出，进而求出，最后根据得出答案； （2）作，由题意得，进而得出，再根据求出，然后求出，，接下来求出和，比较得出结论即可． 【规范答题】（1）解：作于点E，如图所示，则 由题意， 得海里， ∴， ∴． 在中，（海里），（海里）， ∴（海里）， 所以两港之间的距离是海里； （2）解：甲货轮先到，说明如下： 作于点F，如图所示，则， 由题意，得， 由（1）得（海里）， ∴， ∴． ∵，即， 解得， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）,（海里）． ∵，甲，乙两艘货轮的速度相同（停靠B，C两港的时间相同）， ∴甲货轮先到达D港． 研考点·通技法 常见考点： 1.以正北、正南为基准描述方向（如北偏东37°，南偏西53°）。 2.常结合航行、行走路线，求两点间距离或位置关系。 3.出现在“方向角”问题中，如测量河对岸两点距离、轮船航行等。 解题技法： 1.画方位图：以观测点为中心，画出正北、正南、正东、正西方向线。 2.将方位角转化为三角形内角：例如“北偏东37°”表示从北向东偏37°，与正东夹角为53°。 3.构造直角三角形：通过作垂线或利用已知方位关系，将问题转化为解直角三角形。 4.常用勾股定理、正切、正弦等。 破类题·提能力 1．（2026·浙江舟山·一模）如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏东方向上，位于景点的北偏东方向上，景点位于景点的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） 2．（2026·安徽合肥·一模）如图，为巢湖边上东西走向的滨湖大道，小宇沿滨湖大道参加“低碳生活、绿色出行”健步走公益活动、当小宇在点处时，某艘湖中作业船位于小宇南偏东的点处，作业船到滨湖大道的距离为400米；当小宇沿滨湖大道向东步行400米到达点时，作业船沿南偏西的方向航行至点处，此时作业船恰好在小宇的正南方向．求作业船从处航行到处的距离．（参考数据：，） 3．（2026·安徽·模拟预测）如图，某货轮向正北方向航行，在处时测得灯塔在货轮的北偏西方向，灯塔在货轮的北偏东方向．当货轮到达处时，测得灯塔在货轮的正西方向，灯塔在货轮的正东方向，且灯塔，相距海里． (1)处与灯塔的距离是多少海里？ (2)当货轮到达处时，测得货轮与灯塔的距离是600海里，此时灯塔在货轮的什么方向上？（参考数据：，，） 题型03 解直角三角形中坡度坡比问题 析典例·建模型 1．（2026·陕西汉中·一模）鹳雀楼有“黄河第一楼”之称，是国内唯一一座采用唐代彩画艺术恢复的唐代建筑．小辰用所学知识测量鹳雀楼的高度．在垂直地面的鹳雀楼前阶梯下有一广场，小辰在阶梯前米的A处（米）测得鹳雀楼顶B的仰角为，走上阶梯，在D处测得楼顶B的仰角为，已知阶梯的坡度，阶梯的坡面高度米，请你帮小辰计算鹳雀楼楼身的高度．（，得数保留整数） 【思路分析】由题意可得：四边形是矩形，即米，，由阶梯的坡度可求得米；设米，米，在中，解直角三角形可得，即；在中可得，据此列关于x的方程求解即可． 【规范答题】解：由题意可得：四边形是矩形，即米，， ∵阶梯的坡度，阶梯的坡面高度米， ∴，即，解得：米． 设米，米， 在中，， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴米， 在中，， ∴， ∴，解得：米． 答：鹳雀楼楼身的高度 约为米． 研考点·通技法 常见考点： 1.坡度 i = 坡高 : 水平距离 = tanα（α为坡角）。 2.常以 1:m 的形式给出，如 i = 1:1.5。 3.涉及堤坝、斜坡、楼梯、地下通道等实际工程问题。 解题技法： 1.理解坡度定义：坡度 = 垂直高度 / 水平距离。 2.构造直角三角形：坡高对应直角边，水平距离对应另一直角边。 3.若给出坡比，可设垂直高度为 k，水平距离为 mk，再利用勾股定理求斜边长。 4.注意：坡度与坡角互化，tanα = i。 破类题·提能力 1．（2026·陕西西安·三模）如图，西安曲江池遗址公园内有标志性建筑阅江楼垂直于水平地面．阳光下，楼的影子落在水平地面和山坡上，测得水平地面上的影长，坡面上的影长．已知山坡坡度，同一时刻，身高的小明在水平地面上的影长为，求阅江楼的高度． （结果精确到，参考数据：） 2．（2026·陕西西安·一模）如图，山坡长为26米，坡度为，底端A在地面上，山坡与对面的山之间有一条小河，对面山顶D处立有高15米的铁塔．数学实践小组的同学欲测量山高，他们在B处测得塔顶C的仰角，又测得塔底D的仰角．已知点C，D，E在同一条直线上，与水平线垂直，图中点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，请计算山高．（测倾器的高度忽略不计，结果精确到1米．参考数据：，，） 3．（2026·江苏盐城·三模）如图，一架无人机静止悬浮在空中处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡度，处到地面的距离为10米，水平地面长为30米． (1)求山坡的长； (2)求此时无人机离地面的高度的长（精确到0.1米）．（参考数据：，，） 题型04 解直角三角形中综合实践 析典例·建模型 1．（2026·山东枣庄·一模）综合与实践 【阅读材料】如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点C； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间的距离．（参考数据：，，） 【思路分析】利用三角形内角和定理求出，根据题意可得，代入数据求出的长，即可解答； 【规范答题】解：，， ， 由题意得，， ， ， 答：，两岛间的距离为； 研考点·通技法 常见考点： 1.结合生活实际（如光的折射、隧道截面、栅栏设计、零件截面等）。 2.综合运用解直角三角形、相似三角形、二次函数、最值问题等。 3.往往需要建立几何模型，进行多步计算。 解题技法： 1.认真审题，提取关键数据（长度、角度、参考数据）。 2.画出几何示意图，标出已知量和未知量。 3.分解问题：可能需要多次解直角三角形，或结合相似比例。 4.注意单位换算、精确度要求（如精确到 0.1m）。 5.对于最值问题，常将目标表示为二次函数，利用顶点坐标求最值。 破类题·提能力 1．（2026·广东茂名·一模）淋浴房喷头位置的数学建模探究 题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统．请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题： 已知条件 喷头结构 手柄，与墙面的夹角（称为“调整角”）．水流射线，落点需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求．    淋浴房参数 矩形是淋浴房的截面图，．固定站立点满足．    人体工程学定义 “舒适喷淋点”（高度=身高）．已知父亲身高，小明身高． 参考数据 问题解决 (1)当父亲使用喷头时，调整角，水流恰好落于其“舒适喷淋点”处．求：点到地面的距离． (2)父亲使用后，固定器位置不变（长度固定），调整角改为．判断：小明站立于处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由．（计算结果精确到个位） 2．（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【活动主题】班级劳动实践小组到工厂开展综合实践活动，利用边角料制作机械配件． 【问题背景】如图，在一块三角形铝板中裁剪出一个矩形配件． 【工具准备】直尺、测角仪、切割机、计算器等． 【测量过程】在边上选取一点，量得，，矩形的一个顶点在边上，另两个顶点，均在边上，测得，． 【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：，，，，，． 【问题解决】求矩形配件的长和宽．（结果精确到） 3．（2026·辽宁抚顺·一模）综合与实践 【主题】某市海上灯塔的高度测量与航道安全规划 在某市海洋经济发展项目中，海上灯塔是保障航道安全的重要设施．某中学数学社团开展“海上灯塔的数学测量与航道规划”项目式学习活动，利用数学知识探究灯塔高度测量与航道安全距离的计算问题．请结合活动素材，完成以下实践探究． 【素材准备】 1．某市某港口附近有一座海上灯塔，其底部N位于海平面，顶部M为灯光发射点； 2．社团成员在港口岸边的A点使用测角仪测量灯塔顶部的仰角，测角仪的高度米（B为测角仪顶部）； 3．为保障航道安全，船只航行时与灯塔底部N的水平距离不得小于200米，该距离称为安全航道半径． 【实践探究一】 (1)如图1，若社团成员在A处测得灯塔顶部M的仰角为，从A点向灯塔方向沿直线行走50米到达D点，在D处测得灯塔顶部M的仰角为（所有点都在同一平面内，且点A，D，N在同一条水平线上），求灯塔的高度．（结果保留根号） 【实践探究二】 (2)如图2，已知灯塔灯光最远的照射点为P，此时最大照射距离米．某船只在灯塔正东方向的点F处，若从点F测得灯塔顶部M的仰角为，判断上述点F是否在安全航道以及灯光照射范围内，并说明理由（灯塔高度取实践探究一的结果，船只看作一个点）．（结果保留整数．参考数据：） 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项06 解直角三角形 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 连续五年均在第17~20题区间，以解答题形式出现以实际应用为背景，需建立直角三角形模型，运用三角函数求解 命题趋势：解直角三角形是安徽中考“图形与几何”板块的必考内容，近年呈现背景从单一几何走向跨学科融合、核心工具从特殊角走向一般角、能力要求从简单计算走向数学建模的三大转变 2026年预测：解直角三角形仍将稳定在第17~20题，以解答题形式呈现，分值8~10分，实际应用背景为主。“测高”类问题仍为主流，但背景将更加多元。跨学科融合将持续深化，对建模能力的要求进一步提升。 题型01 解直角三角形中仰角俯角问题 析典例·建模型 1．（2026·河北保定·模拟预测）如图1所示的开元寺塔位于河北省定州市，是现存最高的砖木结构古塔．某综合实践小组尝试利用无人机（无人机限高50米）测算开元寺塔的高度．如图2和图3，当无人机位于高度为28米的处（即米）时，测得塔顶处的仰角为． (1)若米，则开元寺塔的高度为_____米（用含的式子表示）； (2)嘉嘉发现．用现有数据．测量不出塔的高度．于是组内的淇淇又测量了下列两组数据：数据①：如图2，当无人机在处时，测得塔底处的俯角为；数据②：如图3，当无人机从处水平后退56米到达时，测得塔顶处的仰角为．请你任意选择一组数据．计算出开元寺塔的高度．（参考数据：，tan） 【思路分析】（1）解求出，再由求解即可； （2）选用数据①，解求出即可；选用数据②，解求出即可． 【规范答题】（1）解：由题意得，，， 在中， ∴， ∴（米）； （2）解：选用数据①： 如图2，由题意得，， ∴在中，， ∴， ∴（米）； 选用数据②： 如图3，由题意得，，， 在中， 解得 ∴（米）， 答：开元寺塔的高度为米． 研考点·通技法 常见考点： 1.测量建筑物高度、无人机上升高度、河宽等。 2.给出仰角（视线在水平线上方）或俯角（视线在水平线下方），以及部分距离，求未知高度或距离。 解题技法： 1.构造直角三角形：通常过观测点作水平线，将仰角/俯角转化为三角形内角。 2.选择三角函数：已知邻边求对边用正切，已知斜边求对边用正弦等。 3.注意：仰角和俯角是视线与水平线的夹角，常结合两个不同位置（如两次仰角）列方程。 4.参考数据：题目中会提供 sin、cos、tan 的近似值，按要求取精确度。 破类题·提能力 1．（2026·湖南株洲·一模）交警通常通过限速来降低交通事故发生的概率，而测速摄像头主要通过读取汽车的车牌来识别车辆身份．如图，某条笔直的公路限速，在公路上方高的位置A处有一个摄像头，第一次识别到B处一辆汽车，俯角为，后在C处再次识别到这辆车，俯角为，已知此车辆车牌位于地面高的位置，请判断这辆汽车是否超速，并说明理由．（参考数据：，，，，，） 【答案】这辆汽车没有超速，理由见解析 【分析】如图，过点A作交延长线于点D，首先求出，解直角三角形求出，，然后求出速度比较即可． 【详解】解：这辆汽车没有超速，理由如下： 如图，过点A作交延长线于点D， 根据题意得，，， ∴， ∴ ∴这辆汽车的速度为 ∴这辆汽车没有超速． 2．（2026·陕西西安·一模）实践课上，老师组织学生测量学校主教学楼上校徽的高度，学生王雯由距离主教学楼米的大树的底部C处向后移动，当移动到达点D时，她恰好略过大树的顶端E看到校徽的顶端P，接着她继续向后移动到达点B处时，她又恰好略过大树的顶端E看到校徽的底部点Q，并测得（A、B、C、D在一条水平线上），请你利用文中数据帮助王雯计算校徽的高度（参考数据：，，）． 【答案】校徽的高度为 【分析】过点F作于点D，求出，推导出，得到，则，代入求解即可． 【详解】解：过点F作于点D，如图 ， 由题知：， ， 又， ， ， ． 答：校徽的高度为． 3．（2026·安徽合肥·一模）暑假期间，小华一家到某山景区游玩．他们从山脚入口出发，先沿斜坡步行到达缆车入口，再从坐缆车经过秒到达山顶平台．已知斜坡的坡角，缆车行驶路线（近似看成线段）与水平面的夹角，山顶平台到山脚水平面的垂直高度．假设、、、在同一平面内，求缆车行驶的平均速度．（结果精确到，参考数据：，，，） ． 【答案】缆车行驶的平均速度约为． 【分析】过点分别作、的垂线，垂足为、，在直角中，利用三角函数计算出，容易证明四边形是矩形，则，进而求出．再利用三角函数求出，最后除以行驶时间即可得到速度． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，垂足为、， 由题意可知，，，，， 在直角中，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ 在直角中，， ∴缆车行驶的平均速度为． 答：缆车行驶的平均速度约为． 题型02解直角三角形中方位角问题 析典例·建模型 1．（2026·江苏连云港·一模）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别去两港装载物资，B港位于C港西南方向，最后都运送到D港．甲货轮沿A港的南偏东方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东航行一定距离到达D港．乙货轮沿A港的正东方向航行一定距离到达C港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达D港．（参考数据：） (1)求两港之间的距离（结果保留根号）． (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠两港的时间相同），哪艘货轮先到达D港？请通过计算说明． 【思路分析】（1）作，可得再结合题意说明，然后求出，进而求出，最后根据得出答案； （2）作，由题意得，进而得出，再根据求出，然后求出，，接下来求出和，比较得出结论即可． 【规范答题】（1）解：作于点E，如图所示，则 由题意， 得海里， ∴， ∴． 在中，（海里），（海里）， ∴（海里）， 所以两港之间的距离是海里； （2）解：甲货轮先到，说明如下： 作于点F，如图所示，则， 由题意，得， 由（1）得（海里）， ∴， ∴． ∵，即， 解得， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）,（海里）． ∵，甲，乙两艘货轮的速度相同（停靠B，C两港的时间相同）， ∴甲货轮先到达D港． 研考点·通技法 常见考点： 1.以正北、正南为基准描述方向（如北偏东37°，南偏西53°）。 2.常结合航行、行走路线，求两点间距离或位置关系。 3.出现在“方向角”问题中，如测量河对岸两点距离、轮船航行等。 解题技法： 1.画方位图：以观测点为中心，画出正北、正南、正东、正西方向线。 2.将方位角转化为三角形内角：例如“北偏东37°”表示从北向东偏37°，与正东夹角为53°。 3.构造直角三角形：通过作垂线或利用已知方位关系，将问题转化为解直角三角形。 4.常用勾股定理、正切、正弦等。 破类题·提能力 1．（2026·浙江舟山·一模）如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏东方向上，位于景点的北偏东方向上，景点位于景点的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得出，的度数，再根据即可求解； （2）通过计算的度数，得到，由等角对等边可得，在中，解直角三角形求出，，从而求出，再根据，，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，由题意可得，，，，． ，， ； （2）解：， ． 由（1）得， ． ． 在中，，， ， ， ． ，， ， ． 景点与景点之间的距离为． 2．（2026·安徽合肥·一模）如图，为巢湖边上东西走向的滨湖大道，小宇沿滨湖大道参加“低碳生活、绿色出行”健步走公益活动、当小宇在点处时，某艘湖中作业船位于小宇南偏东的点处，作业船到滨湖大道的距离为400米；当小宇沿滨湖大道向东步行400米到达点时，作业船沿南偏西的方向航行至点处，此时作业船恰好在小宇的正南方向．求作业船从处航行到处的距离．（参考数据：，） 【答案】925米 【分析】过点作于点，根据题意解直角三角形可得，由矩形的判定和性质得出，结合图形利用锐角三角函数解三角形即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，， 在中，， ， 米， 米， ， 四边形为矩形， 米， 在中，， ， 米， 答：作业船从C处航行到D处的距离为925米． 3．（2026·安徽·模拟预测）如图，某货轮向正北方向航行，在处时测得灯塔在货轮的北偏西方向，灯塔在货轮的北偏东方向．当货轮到达处时，测得灯塔在货轮的正西方向，灯塔在货轮的正东方向，且灯塔，相距海里． (1)处与灯塔的距离是多少海里？ (2)当货轮到达处时，测得货轮与灯塔的距离是600海里，此时灯塔在货轮的什么方向上？（参考数据：，，） 【答案】(1)处与灯塔的距离约是270海里 (2)灯塔在货轮的南偏东方向上 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用． （1）由题意得，，，则， 根据灯塔，相距海里，可得，在中，已知，利用三角函数定义即可解答； （2）由题意得为直角三角形，利用正弦函数定义，，故，结合方位角定义即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可知，，，，则， 灯塔，相距海里， ， 在中，， 解得（海里）， 故处与灯塔的距离约是270海里； （2）由（1）可得（海里）， 在中，， 所以，即灯塔在货轮的南偏东方向上． 题型03 解直角三角形中坡度坡比问题 析典例·建模型 1．（2026·陕西汉中·一模）鹳雀楼有“黄河第一楼”之称，是国内唯一一座采用唐代彩画艺术恢复的唐代建筑．小辰用所学知识测量鹳雀楼的高度．在垂直地面的鹳雀楼前阶梯下有一广场，小辰在阶梯前米的A处（米）测得鹳雀楼顶B的仰角为，走上阶梯，在D处测得楼顶B的仰角为，已知阶梯的坡度，阶梯的坡面高度米，请你帮小辰计算鹳雀楼楼身的高度．（，得数保留整数） 【思路分析】由题意可得：四边形是矩形，即米，，由阶梯的坡度可求得米；设米，米，在中，解直角三角形可得，即；在中可得，据此列关于x的方程求解即可． 【规范答题】解：由题意可得：四边形是矩形，即米，， ∵阶梯的坡度，阶梯的坡面高度米， ∴，即，解得：米． 设米，米， 在中，， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴米， 在中，， ∴， ∴，解得：米． 答：鹳雀楼楼身的高度 约为米． 研考点·通技法 常见考点： 1.坡度 i = 坡高 : 水平距离 = tanα（α为坡角）。 2.常以 1:m 的形式给出，如 i = 1:1.5。 3.涉及堤坝、斜坡、楼梯、地下通道等实际工程问题。 解题技法： 1.理解坡度定义：坡度 = 垂直高度 / 水平距离。 2.构造直角三角形：坡高对应直角边，水平距离对应另一直角边。 3.若给出坡比，可设垂直高度为 k，水平距离为 mk，再利用勾股定理求斜边长。 4.注意：坡度与坡角互化，tanα = i。 破类题·提能力 1．（2026·陕西西安·三模）如图，西安曲江池遗址公园内有标志性建筑阅江楼垂直于水平地面．阳光下，楼的影子落在水平地面和山坡上，测得水平地面上的影长，坡面上的影长．已知山坡坡度，同一时刻，身高的小明在水平地面上的影长为，求阅江楼的高度． （结果精确到，参考数据：） 【答案】阅江楼的高度约为． 【分析】作交延长线于点，作于点，利用坡度结合勾股定理求得，，再利用相似三角形的应用求解即可． 【详解】解：作交延长线于点，作于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∵山坡坡度，， ∴设，则， 由勾股定理得， 解得（负值已舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∵身高的小明在水平地面上的影长为， ∴，即， 解得， ∴， 答：阅江楼的高度约为． 2．（2026·陕西西安·一模）如图，山坡长为26米，坡度为，底端A在地面上，山坡与对面的山之间有一条小河，对面山顶D处立有高15米的铁塔．数学实践小组的同学欲测量山高，他们在B处测得塔顶C的仰角，又测得塔底D的仰角．已知点C，D，E在同一条直线上，与水平线垂直，图中点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，请计算山高．（测倾器的高度忽略不计，结果精确到1米．参考数据：，，） 【答案】山高为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．过作于，于，则四边形是矩形，，由坡度为，求出，，再根据，，得到，，最后根据，求出，最后根据计算即可． 【详解】解：过作于，于，则四边形是矩形，， ∵山坡长为26米，坡度为， ∴设，， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 答：山高为米． 3．（2026·江苏盐城·三模）如图，一架无人机静止悬浮在空中处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡度，处到地面的距离为10米，水平地面长为30米． (1)求山坡的长； (2)求此时无人机离地面的高度的长（精确到0.1米）．（参考数据：，，） 【答案】(1)山坡的长为米 (2)此时无人机离地面的高度的长米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作交的延长线于，由题意可得米，由山坡的坡比，求出米，再由勾股定理计算即可得解； （2）延长交于点，则，易得四边形为矩形，由矩形的性质可得米，，证明为等腰直角三角形，得出，设米，则米，米，解直角三角形，即可得解． 【详解】（1）解：如图，作交的延长线于， 由题意可得：米， ∵山坡的坡比， ∴， ∴米， ∴米， ∴山坡的长为米； （2）解：如图：延长交于点，则， 则：， ∴四边形为矩形， ∴米，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设米，则米，米， ∵， ∴， ∴米，即此时无人机离地面的高度的长米． 题型04 解直角三角形中综合实践 析典例·建模型 1．（2026·山东枣庄·一模）综合与实践 【阅读材料】如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点C； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间的距离．（参考数据：，，） 【思路分析】利用三角形内角和定理求出，根据题意可得，代入数据求出的长，即可解答； 【规范答题】解：，， ， 由题意得，， ， ， 答：，两岛间的距离为； 研考点·通技法 常见考点： 1.结合生活实际（如光的折射、隧道截面、栅栏设计、零件截面等）。 2.综合运用解直角三角形、相似三角形、二次函数、最值问题等。 3.往往需要建立几何模型，进行多步计算。 解题技法： 1.认真审题，提取关键数据（长度、角度、参考数据）。 2.画出几何示意图，标出已知量和未知量。 3.分解问题：可能需要多次解直角三角形，或结合相似比例。 4.注意单位换算、精确度要求（如精确到 0.1m）。 5.对于最值问题，常将目标表示为二次函数，利用顶点坐标求最值。 破类题·提能力 1．（2026·广东茂名·一模）淋浴房喷头位置的数学建模探究 题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统．请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题： 已知条件 喷头结构 手柄，与墙面的夹角（称为“调整角”）．水流射线，落点需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求．    淋浴房参数 矩形是淋浴房的截面图，．固定站立点满足．    人体工程学定义 “舒适喷淋点”（高度=身高）．已知父亲身高，小明身高． 参考数据 问题解决 (1)当父亲使用喷头时，调整角，水流恰好落于其“舒适喷淋点”处．求：点到地面的距离． (2)父亲使用后，固定器位置不变（长度固定），调整角改为．判断：小明站立于处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由．（计算结果精确到个位） 【答案】(1)； (2)水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处．理由见解析 【分析】（1）作于点N，延长交于点M，利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度； （2）利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度，再比较即可． 【详解】（1）解：作于点N，延长交于点M，则， ∵爸爸身高是，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：点A到地面的距离约为； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵小明的身高是， ∴小明的舒适距离， ∵， ∴水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处． 2．（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【活动主题】班级劳动实践小组到工厂开展综合实践活动，利用边角料制作机械配件． 【问题背景】如图，在一块三角形铝板中裁剪出一个矩形配件． 【工具准备】直尺、测角仪、切割机、计算器等． 【测量过程】在边上选取一点，量得，，矩形的一个顶点在边上，另两个顶点，均在边上，测得，． 【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：，，，，，． 【问题解决】求矩形配件的长和宽．（结果精确到） 【答案】矩形配件的长和宽分别约为， 【分析】作于H，解求出，解求出，，解求出，得出，即可解答． 【详解】解：如图，作于，在中，， ，， ， 在中，， ∵矩形，， ∴， ，， ， ∵， ， 在中，， ， ． ∴矩形配件的长和宽分别约为，． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）综合与实践 【主题】某市海上灯塔的高度测量与航道安全规划 在某市海洋经济发展项目中，海上灯塔是保障航道安全的重要设施．某中学数学社团开展“海上灯塔的数学测量与航道规划”项目式学习活动，利用数学知识探究灯塔高度测量与航道安全距离的计算问题．请结合活动素材，完成以下实践探究． 【素材准备】 1．某市某港口附近有一座海上灯塔，其底部N位于海平面，顶部M为灯光发射点； 2．社团成员在港口岸边的A点使用测角仪测量灯塔顶部的仰角，测角仪的高度米（B为测角仪顶部）； 3．为保障航道安全，船只航行时与灯塔底部N的水平距离不得小于200米，该距离称为安全航道半径． 【实践探究一】 (1)如图1，若社团成员在A处测得灯塔顶部M的仰角为，从A点向灯塔方向沿直线行走50米到达D点，在D处测得灯塔顶部M的仰角为（所有点都在同一平面内，且点A，D，N在同一条水平线上），求灯塔的高度．（结果保留根号） 【实践探究二】 (2)如图2，已知灯塔灯光最远的照射点为P，此时最大照射距离米．某船只在灯塔正东方向的点F处，若从点F测得灯塔顶部M的仰角为，判断上述点F是否在安全航道以及灯光照射范围内，并说明理由（灯塔高度取实践探究一的结果，船只看作一个点）．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】(1)米 (2)点F在安全航道范围内，且在灯光照射范围内．理由见解析 【分析】（1）连接并延长交于点E，则四边形是矩形，四边形是矩形，在中，，在中，，得，即可求解； （2）在中，，即，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接并延长交于点E，则四边形是矩形，四边形是矩形， ∴米，米． 在中，， ， 设米，则米． ∴米． 在中， ， ， 解得， 米． 米． 答：灯塔的高度为米． （2）解：点F在安全航道范围内，且在灯光照射范围内．理由如下： 如图2．由题意，得米． 在中， 即； ∴（米），（米）． ∴，； ∴点F在安全航道范围内，且在灯光照射范围内． 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $