专项08 综合与实践（大题专练）（安徽专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项08 综合实践与规律问题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 命题趋势： 综合实践与规律问题是安徽中考的“创新高地”，呈现“规律探索基础化、综合实践项目化、推理逻辑严密化”的三大发展趋势。 2026年预测：2026年规律探索将侧重“新定义+周期探究”，综合实践将继续深化“项目式学习”模式，跨学科融合与真实问题解决能力将成为区分高分的关键． 题型01 代数类综合与实践 析典例·建模型 1．（2026·安徽合肥·一模）在数学活动课中，某兴趣小组观察能被11整除的数时，发现以下规律： 原数 各位上数字的和差 结论 1210 0是11的整数倍，1210能被11整除 1529 11是11的整数倍，1529能被11整除 3608 11是11的整数倍，3608能被11整除 ______ ______ －11是11的倍数，原数能被11整除 (1)根据以上规律，补齐表格中空白部分； (2)请利用上述规律判断2026是否能被11整除，请说明理由； (3)将千位、百位、十位、个位分别是的四位数用表示，请叙述能被11整除的四位数的特征，并证明． 【思路分析】（1）观察例子可知，四位数的和差计算规则为个位数字+百位数字−十位数字−千位数字，已知和差为可求个位为． （2）按照规律计算： ， 不是的整数倍，因此． （3）把化为，由此即可证明结论． 【规范答题】（1）解：，故原数为 （2）解：， 不是的整数倍，故不能被11整除． （3）特征：四位数能被11整除，当且仅当是11的整数倍． ， ， ∵a，b，c，d都是整数， 所以一定是11的倍数， 因此当且仅当是11的整数倍时， 能被11整除． 研考点·通技法 常见考点： 1.代数推理（如等式性质、不等式性质、整式运算的几何意义）。 2.方案优化（如购物方案、运输方案），利用方程或不等式求最优解。 3.代数模型应用（如增长率模型、储蓄模型、工程问题中的分段计费）。 解题技法： 1.阅读理解：先读懂材料中的定义或规则，提取关键数据。 2.建立模型：将实际问题转化为代数式、方程、不等式或函数。 3.求最值时，常用二次函数的顶点坐标或一次函数的增减性，结合自变量实际范围（如整数、非负数）确定最优解。 注意：方案问题往往需要分类讨论，比较各方案结果得出结论。 破类题·提能力 1．（2026·安徽·模拟预测）【综合与实践关于“勾股数”的再探究，观察下列各组勾股数的组成特点： 第1组：，，； 第2组：，，； 第3组：，，； 第4组：，，； … (1)第7组勾股数是 ， ， ； (2)若一个正整数能表示成两个连续正整数的平方差，即（为大于1的正整数），则称这个正整数为“和谐数”．试判断第7组勾股数中的最大数是否为“和谐数”； (3)当为正整数时，在第组勾股数中，点在一条确定的直线上，这条直线的表达式是 ． 【答案】(1)15，112，113 (2)第7组勾股数中的最大数113是“和谐数” (3) 【分析】本题主要考查了勾股数的规律探究、新定义概念的理解与应用以及一次函数表达式的求解． （1）通过观察已知组的规律：第组勾股数中，，，（为组号），故可知当时对应的勾股数； （2）根据“和谐数”的定义去判定即可解答； （3）第组勾股数中，，，即，对应直线表达式为． 【详解】（1）解：第组，， ， ； （2）因为，根据“和谐数”的定义，故第7组勾股数中的最大数113是“和谐数”； （3）在第组中，，，即，故当为正整数时，在第组勾股数中，点在一条确定的直线上，这条直线的表达式是． 2．（2026·安徽蚌埠·一模）新考法 项目式学习探究在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式： ， ， ， ， ， … 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： (1)填空： （i） ； （ii） (2)有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且， 则等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为 左边， 右边， ∴左边右边[ ]，为11的倍数． 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容． 【答案】(1)（i）792，297；（ii）23，32 (2) 【分析】（1）观察题中等式即可发现规律； （2）根据整式的运算法则即可求解． 【详解】（1）解：根据题中等式的规律可得，（i）； （ii）； （2）解：对左边式子提取公因式11： ， 对右边式子提取公因式11： ， ∴横线上填：． 3．（2026·安徽·模拟预测）综合与实践 制定排队方案 素材 育才学校八年级学生在劳动实践基地参加研学活动，并按8人一寝分配住宿．根据研学作息时间表，每个寝室8位同学需要在睡前排队完成洗漱，且同一时间仅有一人能进行洗漱．下表为某寝室第一天8人洗漱用时（以每人5分钟为标准，超出记为正数，不足记为负数）． 学生 A B C D E F G H 用时（分） 0 洗漱期间，每人开始洗漱前的时间称为排队时间．第一天，该寝室按的顺序排队，A同学排队时间为0分钟，C同学排队时间为分钟．该寝室同学希望探究出一种最合适的排队方案，使得所有人的总排队时间最短． 任务1：分析数据 计算第一天F同学的排队时间； 任务2：推理计算 计算第一天该寝室所有同学的总排队时间； 任务3：确定方案 请设计一种排队方案，使得该寝室所有人总排队时间最短，并求出最短总排队时间． 【答案】任务1：分钟；任务2：分钟；任务3：最短排队时间方案：，分钟 【分析】任务1：计算每个同学的洗漱时间，再将同学的洗漱时间相加； 任务2：总排队时间等于每位同学的洗漱时间乘以其后面排队的人数，再将所有结果相加； 任务3：按洗漱用时从少至多排序再计算等待时间即可． 【详解】解：任务1：计算每个同学的洗漱时间为： 学生 A B C D E F G H 用时（分） 0 洗漱时间（分） 7 8 5 4 3 6 则F同学的排队时间为（分钟）． 任务2：（分钟）． 任务3：最短排队时间方案：按洗漱用时从少至多排序：， 排队时间为：（分钟）． 题型02 图形类综合与实践问题 析典例·建模型 1．（2026·安徽合肥·一模）综合与实践 阅读下列材料，完成相关任务： 如图，有一种类型的装饰图案是在边长为1的小正方形组成的网格中裁剪而成，数学兴趣小组成员在计算这些图案的面积时，积极采用数学课上同学们总结出来的方法．小明采用了如图甲的“割法”，小亮采取了如图乙的“补法”，但都分别求出图1的面积，图2的面积，图3的面积，图4的面积，… (1)从小明和小亮的方法中任选一种，写出图5的面积______； (2)若用小明的方法求图的面积，______，用小亮的方法求图的面积______； (3)在研究这些装饰图案的面积时，小明还发现前面三个图案的面积符合，于是猜想其他连续的三个图案面积也满足上述关系，请你判断小明的猜想是否正确，并说明理由． 【思路分析】（1）根据前四项，即可写出图5的面积； （2）分别根据小明的“割法”和小亮的“补法”，根据前四项，总结规律，即可求解； （3）小明的猜想：，利用规律根据乘法公式分别计算左右两边的式子，比较即可判断． 【规范答题】（1）解：，，，，…， 计算相邻两项的差，，，， 差是3，5，7，是连续的奇数，下一个差为9， ∴； （2）解：小明的“割法”： ， ， ， ， ， ； 小亮的“补法”： 补法是把图案补成一个大正方形，再减去多余部分， 图1补成正方形，面积9，减去4个小正方形(每个面积1)，； 图2补成正方形，面积16，减去8个小正方形，； 图3补成正方形，面积25，减去12个小正方形，； 图4补成正方形，面积36，减去16个小正方形，； 规律：大正方形边长为，面积，减去个小正方形， 即：； （3）解：小明的猜想：， 左边： ； 右边： ； 比较：， ∴小明的猜想错误． 研考点·通技法 常见考点： 1.图形密铺（如正三角形与正六边形拼接）的数量、长度、成本计算。 2.图形分割与拼接（如面积相等、周长最短）。 3.几何图形的实际应用（如花坛设计、栅栏围建、零件截面）。 解题技法： 1.密铺问题：抓住拼接单元的变化规律（每增加一个单元，增加多少种图形，长度增加多少），建立代数式。 2.图形分割：利用面积守恒、全等或相似，通过方程求边长或数量。 3.实际应用：画出几何示意图，将实际问题转化为解直角三角形、求面积、求最值等问题。 注意：网格作图题中，利用格点确定位置，借助勾股定理、全等等知识求解 破类题·提能力 1.（2026·安徽滁州·一模）某数学兴趣小组为探究剪切多边形纸片所得三角形纸片张数问题，先从三角形纸片开始探究．如图，先在三角形纸片内依次添加1个点、2个点、3个点……，包含三角形顶点在内的所有点中每三个点均不共线，然后用剪刀沿两点的连线（图中虚线，不交叉）剪开，得到若干张三角形小纸片，列出小纸片的张数与点的个数（含三角形三个顶点）的关系如下表： 点的个数 4 5 6 7 8 … 小纸片的张数 3 5 7 9 … 类比剪切三角形纸片的方法，依次探究四边形和五边形纸片的剪切问题． 在四边形纸片上剪切，列出三角形小纸片的张数与点的个数的关系如下表： 点的个数 5 6 7 8 … 小纸片的张数 4 6 8 10 … 在五边形纸片上剪切，列出三角形小纸片的张数与点的个数的关系如下表： 点的个数 6 7 8 9 … 小纸片的张数 5 7 9 11 … 依据以上信息，完成下列问题： (1)的值是_________； (2)直接写出与的关系式，并求当四边形纸片上共有100个点（含顶点，每三个点不共线）时，可以剪切成多少张三角形小纸片； (3)若四边形纸片上点的个数比五边形纸片上点的个数少1（含顶点，每三个点不共线），且两张纸片共剪切成2025张三角形小纸片，求四边形纸片上点的个数． 【答案】(1)11 (2)194张 (3)509 【分析】（1）由已知数据可知，点数每增加1，小纸片的张数增加2； （2）根据已知数据找出两者间数量关系，即可求解； （3）先找出p与q的关系，设四边形纸片上点的个数为个，则五边形纸片上点的个数为个，根据“两张纸片共剪切成2025张三角形小纸片”列一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：点的个数为8时，小纸片的张数为11，即的值是11； （2）解：与的关系式为， 时，， 可以剪194张小纸片． （3）解：p与q的关系式为， 设四边形纸片上点的个数为个，则五边形纸片上点的个数为个． 根据题意得，解得 答：四边形纸片上点的个数为509． 2．（2026·安徽合肥·一模）综合与实践 【项目主题】 如果一个多边形的所有顶点都位于正方形网格的交点上，那么这样的多边形被称为格点多边形．教师展示一系列基础的格点多边形（图1），学生尝试计算它们的面积，随后教师提出问题：格点多边形的面积与哪些因素有关？ 【项目分析】学生交流讨论，教师收集意见，形成个子问题，具体如表． 表1 子问题 格点多边形的面积与它的边数（或顶点个数）有关 子问题 格点多边形的面积与它的周长有关 子问题 格点多边形的面积与它内部的格点数有关 子问题 格点多边形的面积与它的边上格点数有关 【项目探究】 当存在多个变量时，如何确定某一变量对结果有无影响，学生提出用控制变量法，即保证其它量不变，看该量变化是否使结果改变．结合图，用控制变量法进一步探究． 任务一：问题筛选 （1）图中第一组，其顶点个数、内部格点数、边上格点数相同，周长不同但面积相同，说明子问题 ① 不成立． （2）图中第二组，其内部格点数、边上格点数相同，顶点个数不同但面积相同，说明子问题 ② 不成立． 任务二：探究论证 （3）控制内部格点数为，改变边上格点数，学生通过操作、计算、思考，并制得表2．可发现规律：内部格点数为时，边上格点数每增加，格点多边形面积增加． 表 边上格点数 … 多边形面积 … 表 内部格点数 … 多边形面积 ③ ④ … （4）控制边上格点数为，改变内部格点数，学生通过操作、计算、思考，并制得表．完成表格填空，可发现规律： ⑤ ． 任务三：公式归纳 不妨设格点多边形的面积为，边上格点数为，内部格点数为，尝试建立三者之间的数量关系．有了之前活动的经验，在教师的引导下，学生可想到采用控制变量的方法，以“分步归纳”的方式进行推理． （ⅰ）当时，根据表的实验数据，可归纳出； （ⅱ）当时，动手实验，记录新的数据，整理如表，由表可归纳出； 表  时，与的关系 … 4 … 表  时，与的关系 … … （ⅲ）当时，动手实验，记录新的数据，整理如表，由表可归纳出； 以此类推，可以发现、、之间的数量关系式为 ⑥ ，这就是著名的皮克公式． 【项目应用】 将地图上公园（部分）轮廓抽象为格点多边形，通过几何画板调整网格使其顶点落于格点（个别不在格点上的顶点，用附近格点代替），利用皮克公式计算面积，结合比例尺换算出公园实际面积． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①____________    ②____________    ③____________    ④____________ ⑤_________________________________    ⑥__________________ 【答案】①；②；③；④；⑤边上格点数为时，内部格点数每增加，格点多边形面积增加；⑥ 【分析】任务一：（1）①根据控制变量法，可以得出格点多边形的周长的变化不会使格点多边形的面积改变，即子问题不成立； （2）②根据控制变量法，可以得出格点多边形的顶点个数的变化不会使格点多边形的面积改变，即子问题不成立； 任务二：（3）③在网格图中，确定一个边上格点数为，内部格点数为的格点多边形，求其面积即可； ④在网格图中，确定一个边上格点数为，内部格点数为的格点多边形，求其面积即可； （4）⑤通过对表格分析，即可求解； 任务三：⑥找出格点多边形的面积为，边上格点数为，内部格点数为之间的关系，即可求解． 【详解】任务一：（1）①图中第一组，这两个三角形的顶点个数、内部格点数、边上格点数相同，两个三角形的周长不同但面积相同，说明格点多边形的周长的变化不会使格点多边形的面积改变，即子问题不成立． （2）②图中第二组，这两个格点多边形的内部格点数、边上格点数相同，两个格点多边形的顶点个数不同但面积相同，说明格点多边形的顶点个数的变化不会使格点多边形的面积改变，即子问题不成立． 任务二：（3）③控制边上格点数为，内部格点数为时，如图： 格点多边形的面积为． ④控制边上格点数为，内部格点数为时，如图： 格点多边形的面积为． （4）⑤根据表格可得，边上格点数为时，内部格点数每增加，格点多边形面积增加． 任务三：⑥根据题意可得，当时，； 当时，； 当时，； 以此类推，、、之间的数量关系式为． 3．（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【活动主题】 班级甲、乙两个劳动实践小组到乡镇企业开展综合实践活动，利用边角料制作机械配件． 【问题背景】 在两块全等的等腰直角三角形铝板中裁剪出两个面积不同的正方形配件． 【工具准备】 卷尺、测角仪、切割机、计算器等． 请你完成以下任务（1）和（2）． 甲小组活动流程： 【测量过程】 如图1，测得，，． 【任务要求】 裁剪出的正方形配件的面积为，点D，G分别在，边上． 【数据信息】 用计算器计算得如下参考数据：，，． 【任务完成】 (1)请你根据以上数据信息，求的长度； 乙小组活动流程： 【测量过程】 如图2，测得， 【任务要求】 裁剪出的正方形配件的面积为，点，，分别在，、上． 【数据信息】 【任务完成】 (2)请你根据以上数据信息，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作于H，解直角求出，，再证明是等腰直角三角形，得到，根据可得结论； （2）作于，证明，得，，设，，则，得，在直角中由勾股定理得方程，求解方程可得结论． 【详解】（1）解：如图，作于H， ∵正方形的面积为， ∴， 在直角中，，， ∴，， ∵，， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 答：的长度约为． （2）解：如图，作于，则， 又， ∴， ， 又，， ∴， ∴，， 设，，则， ∴， 在直角中，， 化简得， 解得， ∴． 答：的长度约为． 题型03 函数类综合与实践问题 析典例·建模型 1．（2026·安徽合肥·一模）综合与实践 【项目主题】探究算力应用中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 算力是数字经济的核心生产力,它是指计算机处理数据、进行运算的能力，常用“每秒运算次数（次/秒）”衡量．某科技小组开展“算力应用实践”活动，探究不同设备的算力差异、算力与任务完成时间的关系，以及算力优化中的数学方法，体验数学在科技领域的实用价值，培养数据分析与运算求解素养． 【项目准备】 1.设备选取：选取3种常见设备（手机、平板电脑、笔记本电脑），分别记为设备A、设备B、设备C，测量并记录每种设备的基础算力； 2.任务设定：选取同一份数据处理任务，该任务的总运算量固定（单位：次），记为M； 3.实验原理：在理想状态下（即设备在20℃环境温度下性能完全发挥），设备完成任务的时间t（单位：秒）与设备算力p（单位：次/秒）成反比例关系，即（M为定值，且，）； 4.实验数据：小组完成3组实验,记录的设备在20℃时的理想算力与对应任务完成时间如下表： 设备类型 理想算力p（次/秒） 完成时间t（秒） 设备A（手机） 120 设备B（平板电脑） a 设备C（笔记本电脑） 30 【项目探究】 (1)根据实验原理，该数据处理任务的总运算量 次， ． (2)在实际应用中，设备的实际算力会受环境温度影响．实验表明，在范围内，设备A和设备B的实际算力,（单位：次/秒）与环境温度x（单位：℃）满足一次函数关系，其表达式分别为：，．若将设备A和设备B组成一个“联合算力组”同时处理该任务，其总算力为两者实际算力之和．求当环境温度为30℃时，该联合算力组完成总运算量M所需的时间． (3)设备C的实际算力（次/秒）与环境温度x（）（）也满足一次函数关系，其表达式为：．若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中联合算力组在时的完成时间，求环境温度x的取值范围． 【思路分析】（1）根据得，代入数据计算即可； （2）当时,求出，，，依据计算即可； （3）由题意得，设备C完成该任务的实际时间,列式为，解得，合自变量的取值范围即可解答． 【规范答题】（1）解：该数据处理任务的总运算量（次），； （2）解：当时, （次/秒）, （次/秒）. 联合算力组总算力：（次/秒） 由（1）知次,所需时间： （秒）. 答：该联合算力组完成总运算量M所需时间为50秒. （3）解：由第（2）问可知,联合算力组在时的完成时间为50秒. 设备C完成该任务的实际时间,依题意：. 因为, 所以解不等式得：. 结合自变量的取值范围,得：. 答：环境温度x的取值范围. 研考点·通技法 常见考点： 1.函数图象信息提取（如行程问题中的s-t图、利润与销量关系图）。 2.函数模型应用（如二次函数求最值、一次函数求方案选择）。 3.两种函数的比较与选择（如哪种方式更省钱、哪种速度更快）。 解题技法： 1.读图：横纵坐标意义，关键点（交点、顶点、端点）坐标，图象走势（上升/下降）。 2.求函数解析式：用待定系数法，根据已知点坐标或实际意义确定。 3.方案比较：先写出两种方案的费用（或时间）关于自变量的函数，再作差或解不等式比较大小。 4.最值问题：若为二次函数，利用顶点坐标求最值；若为分段函数，分别求各段最值再比较。 破类题·提能力 1．（2026·江苏南京·一模）综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)函数图像见解析， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图像，正确得出反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图像．根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可； （3）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：描点并连线，函数图像如图所示． 由图像可得y与x之间是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为：． （2）解：当时，代入得，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是． （3）解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离， 由题意得：， 解得． ∴在移动前托盘B中的砝码质量为． 2．（2026·安徽合肥·一模）综合与实践 【项目主题】探究算力应用中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 算力是数字经济的核心生产力,它是指计算机处理数据、进行运算的能力，常用“每秒运算次数（次/秒）”衡量．某科技小组开展“算力应用实践”活动，探究不同设备的算力差异、算力与任务完成时间的关系，以及算力优化中的数学方法，体验数学在科技领域的实用价值，培养数据分析与运算求解素养． 【项目准备】 1.设备选取：选取3种常见设备（手机、平板电脑、笔记本电脑），分别记为设备A、设备B、设备C，测量并记录每种设备的基础算力； 2.任务设定：选取同一份数据处理任务，该任务的总运算量固定（单位：次），记为M； 3.实验原理：在理想状态下（即设备在20℃环境温度下性能完全发挥），设备完成任务的时间t（单位：秒）与设备算力p（单位：次/秒）成反比例关系，即（M为定值，且，）； 4.实验数据：小组完成3组实验,记录的设备在20℃时的理想算力与对应任务完成时间如下表： 设备类型 理想算力p（次/秒） 完成时间t（秒） 设备A（手机） 120 设备B（平板电脑） a 设备C（笔记本电脑） 30 【项目探究】 (1)根据实验原理，该数据处理任务的总运算量 次， ． (2)在实际应用中，设备的实际算力会受环境温度影响．实验表明，在范围内，设备A和设备B的实际算力,（单位：次/秒）与环境温度x（单位：℃）满足一次函数关系，其表达式分别为：，．若将设备A和设备B组成一个“联合算力组”同时处理该任务，其总算力为两者实际算力之和．求当环境温度为30℃时，该联合算力组完成总运算量M所需的时间． (3)设备C的实际算力（次/秒）与环境温度x（）（）也满足一次函数关系，其表达式为：．若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中联合算力组在时的完成时间，求环境温度x的取值范围． 【答案】(1)，60 (2)该联合算力组完成总运算量M所需时间为50秒 (3)环境温度x的取值范围 【分析】（1）根据得，代入数据计算即可； （2）当时,求出，，，依据计算即可； （3）由题意得，设备C完成该任务的实际时间,列式为，解得，合自变量的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：该数据处理任务的总运算量（次），； （2）解：当时, （次/秒）, （次/秒）. 联合算力组总算力：（次/秒） 由（1）知次,所需时间： （秒）. 答：该联合算力组完成总运算量M所需时间为50秒. （3）解：由第（2）问可知,联合算力组在时的完成时间为50秒. 设备C完成该任务的实际时间,依题意：. 因为, 所以解不等式得：. 结合自变量的取值范围,得：. 答：环境温度x的取值范围. 3. （2026辽宁抚顺一模）请根据以下材料，完成探究任务． 无人机 背景 无人机，它融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援，以“上帝视角”丰富体验、提升效率，成为贴近日常的实用科技伙伴． 建模 某数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程．如图，以无人机的地面起飞点为原点O，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 它在起飞后开启直线上升模式，上升到点A后，此时点A距离地面千米，保持这个高度以20千米／小时的速度水平飞行一定距离后到达点B，此时，发现前方距离起点6千米处出现一座高塔，千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行路径呈抛物线形状，当无人机到达抛物线最高点后降落到地面点F处．将无人机的飞行路径近似看成直线，直线和抛物线 任务 (1)若仪表监测到水平飞行时间为小时，求m的值；（结果精确到，） (2)为保证无人机避障成功，求无人机水平飞行的时间t的取值范围．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点A的坐标，根据题意得出，求出点的坐标．将点代入，求出． （2）由题意知，点的坐标为，令，求出或．再分情况求出，即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴点A的坐标为． ∵， ∴点的坐标为． 将点代入，得， 解得：． ∴或． ∵， ∴． （2）解：由题意知，点的坐标为， 令， 解得：或． 当时，， 当时，， 解得：， ∵， ∴点B的横坐标为， ， ； 当时，， 当时，， 解得：， ∵， ∴点B的横坐标为， ， ∴， ∴t的取值范围是． 题型04 几何类综合与实践问题 析典例·建模型 1．（2026山西晋中一模）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系．已知在矩形中，分别是的中点，点在边的延长线上，且，连接． (1)特例分析：如图1，小睿同学画出了时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段与的数量关系，并证明你的结论； 拓展探究：小玫同学继续进行探究．如图2，已知在矩形中，，她提出如下问题，请你解答： (2)①求此时的值； ②将图2中的从当前位置开始，沿射线的方向平移得到（其中点分别是点的对应点），点是平面内的一点，请直接写出以点为顶点的四边形是菱形时，平移的距离． 【思路分析】（1）根据题意可知，由勾股定理得，结合，即可证得结论； （2）①根据题意得到，由勾股定理求得，结合可求得，进而求得，即可解答； ②分三种情况讨论：；；；分别利用勾股定理结合图形求解即可． 【规范答题】（1）解：，理由如下， ∵四边形是矩形， ， 分别是的中点， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ∵点G在边的延长线上， ， ，即． （2）解：①∵四边形是矩形， ， 分别是的中点， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ， ，点G在边的延长线上， ， ； ②平移的距离是或． 如图1，若， ∴点在线段的垂直平分线上， 由①得， ∴； 若，连接，过点作于点M，过点作的延长线于点N，如图所示： ∴，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 此时； 如图3，若，过点G作，过点作的延长线于点M， 根据题意得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 研考点·通技法 常见考点： 图形变换与设计（如密铺、折叠、剪拼、旋转构图）。 实际情境中的几何测量与计算（如隧道截面、零件截面、池塘宽度）。 几何最值问题（如路径最短、面积最小、材料最省）。 几何模型的探究与应用（如一线三等角、手拉手模型、中点模型）。 解题技法： 密铺与拼接问题：抓住基本单元，分析每增加一个单元，各类图形的数量及总长度的变化规律，建立代数式。根据总长度限制，列不等式或方程求解最多单元数，再计算所需材料数量及总成本。 折叠与剪拼问题：折叠前后对应点连线被折痕垂直平分，对应角、对应边相等。 折痕是轴对称图形的对称轴，常构造全等三角形或利用勾股定理建立方程。 剪拼问题注意面积守恒，通过割补法将不规则图形转化为规则图形。 几何模型应用： 一线三等角：当三个相等的角共线时，常构造相似三角形。 手拉手模型：两个等腰三角形共顶点旋转，可得全等或相似三角形。 中点模型：遇到中点，常考虑倍长中线构造全等、连接中位线或构造直角三角形斜边中线。 破类题·提能力 1．（2026河南郑州一模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“对补四边形”进行研究．定义：对角互补的四边形叫作对补四边形． (1)初步认识 某学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． 如图1，四边形是对补四边形，若，则的度数为________． (2)性质探究 该学习小组就“对补四边形”的边和对角线继续进行探究： ①如图2，四边形是对补四边形，若对角线平分，求证：； ②如图3，四边形是对补四边形，，连接，若，求的度数．（用含的式子表示） (3)拓展应用 如图4，在边长为4的等边中，D是边的中点，E是边上一动点，将沿ED翻折，得到，延长交直线于点G，若，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3)或 【分析】（1）设，再根据对补四边形的定义得，求出方程的解，可得，然后根据定义得出答案； （2）①作，，根据角平分线的性质得，，再根据对补四边形的定义得，然后根据“角角边”证明，则答案可证； ②作，，根据“角角边”证明，可得，再根据角平分线的判定定理得出答案； （3）当点在线段上时，连接，作，，先说明四边形是对补四边形，可得平分，根据角平分线的性质得，，再证明，可得，接下来根据直角三角形的性质求出，最后根据求出，则答案可求；当点在的延长线上时，画出图形，仿照上述过程解答即可． 【详解】（1）解：由，设， ∵四边形是对补四边形， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． （2）①证明：过点分别作于点，交的延长线于点，如图2所示． 对角线平分，，， ，． 四边形是对补四边形， ． ， ． 在和中， ， ． ②解：过点A分别作于点交的延长线于点，如图3所示， 则． ，， ． 又，， ， ． ∴点A在的平分线上， ∴． （3）解：①当点在线段上时，如图4，连接，作于，于， ∵是等边三角形， ∴． 根据折叠得， ∴， ∴， ∴四边形是对补四边形，则平分， ，． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， 当时，， ，， ． ②当点在射线上时，如图5． 当点在的延长线上时，如图5，连接，作于，于， ∵是等边三角形， ∴． 根据折叠得， ∴， ∴， ∴四边形是对补四边形，则平分， ，． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， 当时，， ，， ． 故答案为：或． 2．（2026广东珠海一模）综合与实践． 主题：纸张规格的奥秘． 材料：纸张尺寸是将纸张的长、宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活的便利性． 探究：如图，系列长方形纸张的规格特征是： ①各长方形纸张的长宽比都相等； ②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，，纸对裁后可以得到两张纸，我们把符合这种形状的纸称为系纸． (1)直接写出系纸长与宽的比______． (2)如图2，折叠系纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开．点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点，四边形纸片是否是系纸片？如果是，请证明，如果不是请求出长与宽的比． (3)在图2中，四边形纸片是否是系纸片？如果不是请在纸片中折出系纸片，画出图形，并加以证明． 【答案】(1) (2)四边形纸片不是系纸片，长与宽的比为； (3)四边形纸片不是系纸片，折纸画图及其证明过程见解析． 【分析】（1）设纸的长为，宽为，则纸的长为，宽为，根据系列长方形纸张的规格特征，可得，即可得系纸长与宽的比； （2）由折叠可得，四边形是矩形，，，连接，设，，由勾股定理可得，根据，代入化简，即可求解； （3）设，则，由系纸片长与宽的比可得，可得，计算，结合系纸片长与宽的比进行判断，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，由折叠过程，结合平行线的性质，可得四边形是正方形，四边形是矩形，，，计算，即可证明是系纸片． 【详解】（1）解：设纸的长为，宽为，则纸的长为，宽为， ∵系纸各长方形纸张的长宽比都相等， ∴， ∴， ∴， ∴系纸长与宽的比为． （2）解：四边形纸片不是系纸片， 在长方形中，，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， 由折叠可得，， 连接， 设，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形纸片不是系纸片，长与宽的比为． （3）解：设，则， ∵四边形是系纸片， ∴， ∴， ∴， ∴四边形纸片不是系纸片， 如图，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，纸片为系纸片， 证明：由折叠可得，， 又∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形，，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形纸片是系纸片． 3．（2026河南郑州一模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“对补四边形”进行研究．定义：对角互补的四边形叫作对补四边形． (1)初步认识 某学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． 如图1，四边形是对补四边形，若，则的度数为________． (2)性质探究 该学习小组就“对补四边形”的边和对角线继续进行探究： ①如图2，四边形是对补四边形，若对角线平分，求证：； ②如图3，四边形是对补四边形，，连接，若，求的度数．（用含的式子表示） (3)拓展应用 如图4，在边长为4的等边中，D是边的中点，E是边上一动点，将沿ED翻折，得到，延长交直线于点G，若，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3)或 【分析】（1）设，再根据对补四边形的定义得，求出方程的解，可得，然后根据定义得出答案； （2）①作，，根据角平分线的性质得，，再根据对补四边形的定义得，然后根据“角角边”证明，则答案可证； ②作，，根据“角角边”证明，可得，再根据角平分线的判定定理得出答案； （3）当点在线段上时，连接，作，，先说明四边形是对补四边形，可得平分，根据角平分线的性质得，，再证明，可得，接下来根据直角三角形的性质求出，最后根据求出，则答案可求；当点在的延长线上时，画出图形，仿照上述过程解答即可． 【详解】（1）解：由，设， ∵四边形是对补四边形， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． （2）①证明：过点分别作于点，交的延长线于点，如图2所示． 对角线平分，，， ，． 四边形是对补四边形， ． ， ． 在和中， ， ． ②解：过点A分别作于点交的延长线于点，如图3所示， 则． ，， ． 又，， ， ． ∴点A在的平分线上， ∴． （3）解：①当点在线段上时，如图4，连接，作于，于， ∵是等边三角形， ∴． 根据折叠得， ∴， ∴， ∴四边形是对补四边形，则平分， ，． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， 当时，， ，， ． ②当点在射线上时，如图5． 当点在的延长线上时，如图5，连接，作于，于， ∵是等边三角形， ∴． 根据折叠得， ∴， ∴， ∴四边形是对补四边形，则平分， ，． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， 当时，， ，， ． 故答案为：或． 题型05 规律探究问题 析典例·建模型 1.（2026·安徽安庆·一模）用长度相等的木棍按一定规律拼成的图案，其中第1个图案用了12根木棍拼成1个正六边形和2个正方形，第2个图案用了20根木棍拼成2个正六边形和3个正方形： (1)第3个图案中用了28根木棍拼成了_____________个正六边形和_____________个正方形； (2)第个图案中用的木棍根数为_____________个（用含的代数式表示）； (3)如果现有木棍根数为212个，求拼成的图案中正六边形的个数和正方形的个数． 【思路分析】（1）先算第3个图案：从第1个到第2个：正六边形数：1→2增加 1正方形数：2→3，增加 1木棍数：12→20，增加 8第 (2) 问：找木棍总数公式设第n个图案中：正六边形an=n 正方形bn=n+1，Tn=12+(n−1)×8=8n+4第 (3) 问：已知Tn=212，求an,bn 8n+4=212解得 n=26所以：正六边形个数：an=n=26正方形个数：bn=n+1=27 【规范答题】（1）解：第3个图案中用了28根木棍拼成了3个正六边形和4个正方形； （2）解：第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， ……， 第个图案用了根木棍； （3）解：由题意得， 解得， 第1个图案拼成1个正六边形和2个正方形， 第2个图案拼成2个正六边形和3个正方形， 第3个图案拼成3个正六边形和4个正方形， ……， 第个图案拼成26个正六边形和27个正方形． 答：由212根木棍拼成的图案中正六边形有26个，正方形有27个． 研考点·通技法 常见考点： 1.数式规律（如等式序列、数列、新定义运算）。 2.图形规律（如图案中某种图形的个数、拼接长度）。 3.与函数、方程结合，求第n个表达式或验证猜想。 解题技法： 1.观察相邻项的变化量（差、比、增量），猜想通项公式。 2.数式规律：常与序号n相关，可写成含n的代数式，注意验证前几项。 3.图形规律：将图形分解为基本单元，找出每增加一个单元增加的数量或长度。 4.证明猜想：常用归纳法，或转化为代数恒等式（如平方差公式、完全平方公式）进行验证。 注意：规律题有时会与一元二次方程结合，根据规律列方程求n。 破类题·提能力 1．（2026·安徽蚌埠·一模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)第个等式为，证明见解析 【分析】（1）观察前4个等式的规律即可； （2）使用平方差公式进行展开即可． 【详解】（1）解：观察规律可得，第5个等式为； （2）解：猜想：第个等式为， 证明：∵左边， 又∵右边． ∴左边=右边， ∴原等式成立． 2.（2025·安徽安庆·一模）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】本题考查了数字类规律的探索，与实数运算相关的规律题，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键． （1）仿照题干即可求解； （2）仿照题干即可求解； （3）将原式变形为，再运用结论求解． 【详解】解：（1）∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式： （2）根据规律可得：； （3）解：原式 ． 3．（2026安徽六安一模）我们知道形状相同的三角形或四边形均可以进行镶嵌．如图，用正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律拼图案． (1)按图中所示的规律拼接， 完成平面镶嵌；（填“能”或“不能”） (2)第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，…，按此规律摆下去，则第个图案有个正方形；（用含的代数式表示） (3)若正多边形的边长为，在上面的一组图案中是否存在这样的图案：所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大？若存在，求出是第几个图案；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)能； (2)； (3)不存在，见解析． 【分析】（1）算出正三角形、正四边形和正六边形的内角，根据平面镶嵌的性质判断即可； （2）根据图案的规律进行推理即可； （3）根据图案规律推出第第个图案中正方形、正六边形的个数，再根据所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大，列方程求解即可． 【详解】（1）能，∵正三角形的每一个内角是，正方形的每一个内角是，正六边形的每一个内角是， 观察图案的拼接点，可发现：，拼接点处的内角和恰好为，满足平面镶嵌的条件； （2）第个图案有个正方形，即， 第个图案有个正方形，即， 第个图案有个正方形，即， …… 观察以上规律，第个图案有个正方形 （3）不存在，理由如下： 设第个图案中所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大， ∵由（2）可得第个图案中有个正方形， ∵由图案观察，第个图案中有个正六边形， 即：， 解得：， ∴显然不符合题意， ∴不存在这样的图案． 44 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项08 综合实践与规律问题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 命题趋势： 综合实践与规律问题是安徽中考的“创新高地”，呈现“规律探索基础化、综合实践项目化、推理逻辑严密化”的三大发展趋势。 2026年预测：2026年规律探索将侧重“新定义+周期探究”，综合实践将继续深化“项目式学习”模式，跨学科融合与真实问题解决能力将成为区分高分的关键． 题型01 代数类综合与实践 析典例·建模型 1．（2026·安徽合肥·一模）在数学活动课中，某兴趣小组观察能被11整除的数时，发现以下规律： 原数 各位上数字的和差 结论 1210 0是11的整数倍，1210能被11整除 1529 11是11的整数倍，1529能被11整除 3608 11是11的整数倍，3608能被11整除 ______ ______ －11是11的倍数，原数能被11整除 (1)根据以上规律，补齐表格中空白部分； (2)请利用上述规律判断2026是否能被11整除，请说明理由； (3)将千位、百位、十位、个位分别是的四位数用表示，请叙述能被11整除的四位数的特征，并证明． 【思路分析】（1）观察例子可知，四位数的和差计算规则为个位数字+百位数字−十位数字−千位数字，已知和差为可求个位为． （2）按照规律计算： ， 不是的整数倍，因此． （3）把化为，由此即可证明结论． 【规范答题】（1）解：，故原数为 （2）解：， 不是的整数倍，故不能被11整除． （3）特征：四位数能被11整除，当且仅当是11的整数倍． ， ， ∵a，b，c，d都是整数， 所以一定是11的倍数， 因此当且仅当是11的整数倍时， 能被11整除． 研考点·通技法 常见考点： 1.代数推理（如等式性质、不等式性质、整式运算的几何意义）。 2.方案优化（如购物方案、运输方案），利用方程或不等式求最优解。 3.代数模型应用（如增长率模型、储蓄模型、工程问题中的分段计费）。 解题技法： 1.阅读理解：先读懂材料中的定义或规则，提取关键数据。 2.建立模型：将实际问题转化为代数式、方程、不等式或函数。 3.求最值时，常用二次函数的顶点坐标或一次函数的增减性，结合自变量实际范围（如整数、非负数）确定最优解。 注意：方案问题往往需要分类讨论，比较各方案结果得出结论。 破类题·提能力 1．（2026·安徽·模拟预测）【综合与实践关于“勾股数”的再探究，观察下列各组勾股数的组成特点： 第1组：，，； 第2组：，，； 第3组：，，； 第4组：，，； … (1)第7组勾股数是 ， ， ； (2)若一个正整数能表示成两个连续正整数的平方差，即（为大于1的正整数），则称这个正整数为“和谐数”．试判断第7组勾股数中的最大数是否为“和谐数”； (3)当为正整数时，在第组勾股数中，点在一条确定的直线上，这条直线的表达式是 ． 2．（2026·安徽蚌埠·一模）新考法 项目式学习探究在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式： ， ， ， ， ， … 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： (1)填空： （i） ； （ii） (2)有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且， 则等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为 左边， 右边， ∴左边右边[ ]，为11的倍数． 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容． 3．（2026·安徽·模拟预测）综合与实践 制定排队方案 素材 育才学校八年级学生在劳动实践基地参加研学活动，并按8人一寝分配住宿．根据研学作息时间表，每个寝室8位同学需要在睡前排队完成洗漱，且同一时间仅有一人能进行洗漱．下表为某寝室第一天8人洗漱用时（以每人5分钟为标准，超出记为正数，不足记为负数）． 学生 A B C D E F G H 用时（分） 0 洗漱期间，每人开始洗漱前的时间称为排队时间．第一天，该寝室按的顺序排队，A同学排队时间为0分钟，C同学排队时间为分钟．该寝室同学希望探究出一种最合适的排队方案，使得所有人的总排队时间最短． 任务1：分析数据 计算第一天F同学的排队时间； 任务2：推理计算 计算第一天该寝室所有同学的总排队时间； 任务3：确定方案 请设计一种排队方案，使得该寝室所有人总排队时间最短，并求出最短总排队时间． 题型02 图形类综合与实践问题 析典例·建模型 1．（2026·安徽合肥·一模）综合与实践 阅读下列材料，完成相关任务： 如图，有一种类型的装饰图案是在边长为1的小正方形组成的网格中裁剪而成，数学兴趣小组成员在计算这些图案的面积时，积极采用数学课上同学们总结出来的方法．小明采用了如图甲的“割法”，小亮采取了如图乙的“补法”，但都分别求出图1的面积，图2的面积，图3的面积，图4的面积，… (1)从小明和小亮的方法中任选一种，写出图5的面积______； (2)若用小明的方法求图的面积，______，用小亮的方法求图的面积______； (3)在研究这些装饰图案的面积时，小明还发现前面三个图案的面积符合，于是猜想其他连续的三个图案面积也满足上述关系，请你判断小明的猜想是否正确，并说明理由． 【思路分析】（1）根据前四项，即可写出图5的面积； （2）分别根据小明的“割法”和小亮的“补法”，根据前四项，总结规律，即可求解； （3）小明的猜想：，利用规律根据乘法公式分别计算左右两边的式子，比较即可判断． 【规范答题】（1）解：，，，，…， 计算相邻两项的差，，，， 差是3，5，7，是连续的奇数，下一个差为9， ∴； （2）解：小明的“割法”： ， ， ， ， ， ； 小亮的“补法”： 补法是把图案补成一个大正方形，再减去多余部分， 图1补成正方形，面积9，减去4个小正方形(每个面积1)，； 图2补成正方形，面积16，减去8个小正方形，； 图3补成正方形，面积25，减去12个小正方形，； 图4补成正方形，面积36，减去16个小正方形，； 规律：大正方形边长为，面积，减去个小正方形， 即：； （3）解：小明的猜想：， 左边： ； 右边： ； 比较：， ∴小明的猜想错误． 研考点·通技法 常见考点： 1.图形密铺（如正三角形与正六边形拼接）的数量、长度、成本计算。 2.图形分割与拼接（如面积相等、周长最短）。 3.几何图形的实际应用（如花坛设计、栅栏围建、零件截面）。 解题技法： 1.密铺问题：抓住拼接单元的变化规律（每增加一个单元，增加多少种图形，长度增加多少），建立代数式。 2.图形分割：利用面积守恒、全等或相似，通过方程求边长或数量。 3.实际应用：画出几何示意图，将实际问题转化为解直角三角形、求面积、求最值等问题。 注意：网格作图题中，利用格点确定位置，借助勾股定理、全等等知识求解 破类题·提能力 1.（2026·安徽滁州·一模）某数学兴趣小组为探究剪切多边形纸片所得三角形纸片张数问题，先从三角形纸片开始探究．如图，先在三角形纸片内依次添加1个点、2个点、3个点……，包含三角形顶点在内的所有点中每三个点均不共线，然后用剪刀沿两点的连线（图中虚线，不交叉）剪开，得到若干张三角形小纸片，列出小纸片的张数与点的个数（含三角形三个顶点）的关系如下表： 点的个数 4 5 6 7 8 … 小纸片的张数 3 5 7 9 … 类比剪切三角形纸片的方法，依次探究四边形和五边形纸片的剪切问题． 在四边形纸片上剪切，列出三角形小纸片的张数与点的个数的关系如下表： 点的个数 5 6 7 8 … 小纸片的张数 4 6 8 10 … 在五边形纸片上剪切，列出三角形小纸片的张数与点的个数的关系如下表： 点的个数 6 7 8 9 … 小纸片的张数 5 7 9 11 … 依据以上信息，完成下列问题： (1)的值是_________； (2)直接写出与的关系式，并求当四边形纸片上共有100个点（含顶点，每三个点不共线）时，可以剪切成多少张三角形小纸片； (3)若四边形纸片上点的个数比五边形纸片上点的个数少1（含顶点，每三个点不共线），且两张纸片共剪切成2025张三角形小纸片，求四边形纸片上点的个数． 2．（2026·安徽合肥·一模）综合与实践 【项目主题】 如果一个多边形的所有顶点都位于正方形网格的交点上，那么这样的多边形被称为格点多边形．教师展示一系列基础的格点多边形（图1），学生尝试计算它们的面积，随后教师提出问题：格点多边形的面积与哪些因素有关？ 【项目分析】学生交流讨论，教师收集意见，形成个子问题，具体如表． 表1 子问题 格点多边形的面积与它的边数（或顶点个数）有关 子问题 格点多边形的面积与它的周长有关 子问题 格点多边形的面积与它内部的格点数有关 子问题 格点多边形的面积与它的边上格点数有关 【项目探究】 当存在多个变量时，如何确定某一变量对结果有无影响，学生提出用控制变量法，即保证其它量不变，看该量变化是否使结果改变．结合图，用控制变量法进一步探究． 任务一：问题筛选 （1）图中第一组，其顶点个数、内部格点数、边上格点数相同，周长不同但面积相同，说明子问题 ① 不成立． （2）图中第二组，其内部格点数、边上格点数相同，顶点个数不同但面积相同，说明子问题 ② 不成立． 任务二：探究论证 （3）控制内部格点数为，改变边上格点数，学生通过操作、计算、思考，并制得表2．可发现规律：内部格点数为时，边上格点数每增加，格点多边形面积增加． 表 边上格点数 … 多边形面积 … 表 内部格点数 … 多边形面积 ③ ④ … （4）控制边上格点数为，改变内部格点数，学生通过操作、计算、思考，并制得表．完成表格填空，可发现规律： ⑤ ． 任务三：公式归纳 不妨设格点多边形的面积为，边上格点数为，内部格点数为，尝试建立三者之间的数量关系．有了之前活动的经验，在教师的引导下，学生可想到采用控制变量的方法，以“分步归纳”的方式进行推理． （ⅰ）当时，根据表的实验数据，可归纳出； （ⅱ）当时，动手实验，记录新的数据，整理如表，由表可归纳出； 表  时，与的关系 … 4 … 表  时，与的关系 … … （ⅲ）当时，动手实验，记录新的数据，整理如表，由表可归纳出； 以此类推，可以发现、、之间的数量关系式为 ⑥ ，这就是著名的皮克公式． 【项目应用】 将地图上公园（部分）轮廓抽象为格点多边形，通过几何画板调整网格使其顶点落于格点（个别不在格点上的顶点，用附近格点代替），利用皮克公式计算面积，结合比例尺换算出公园实际面积． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①____________    ②____________    ③____________    ④____________ ⑤_________________________________    ⑥__________________ 3．（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【活动主题】 班级甲、乙两个劳动实践小组到乡镇企业开展综合实践活动，利用边角料制作机械配件． 【问题背景】 在两块全等的等腰直角三角形铝板中裁剪出两个面积不同的正方形配件． 【工具准备】 卷尺、测角仪、切割机、计算器等． 请你完成以下任务（1）和（2）． 甲小组活动流程： 【测量过程】 如图1，测得，，． 【任务要求】 裁剪出的正方形配件的面积为，点D，G分别在，边上． 【数据信息】 用计算器计算得如下参考数据：，，． 【任务完成】 (1)请你根据以上数据信息，求的长度； 乙小组活动流程： 【测量过程】 如图2，测得， 【任务要求】 裁剪出的正方形配件的面积为，点，，分别在，、上． 【数据信息】 【任务完成】 (2)请你根据以上数据信息，求的长度． 题型03 函数类综合与实践问题 析典例·建模型 1．（2026·安徽合肥·一模）综合与实践 【项目主题】探究算力应用中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 算力是数字经济的核心生产力,它是指计算机处理数据、进行运算的能力，常用“每秒运算次数（次/秒）”衡量．某科技小组开展“算力应用实践”活动，探究不同设备的算力差异、算力与任务完成时间的关系，以及算力优化中的数学方法，体验数学在科技领域的实用价值，培养数据分析与运算求解素养． 【项目准备】 1.设备选取：选取3种常见设备（手机、平板电脑、笔记本电脑），分别记为设备A、设备B、设备C，测量并记录每种设备的基础算力； 2.任务设定：选取同一份数据处理任务，该任务的总运算量固定（单位：次），记为M； 3.实验原理：在理想状态下（即设备在20℃环境温度下性能完全发挥），设备完成任务的时间t（单位：秒）与设备算力p（单位：次/秒）成反比例关系，即（M为定值，且，）； 4.实验数据：小组完成3组实验,记录的设备在20℃时的理想算力与对应任务完成时间如下表： 设备类型 理想算力p（次/秒） 完成时间t（秒） 设备A（手机） 120 设备B（平板电脑） a 设备C（笔记本电脑） 30 【项目探究】 (1)根据实验原理，该数据处理任务的总运算量 次， ． (2)在实际应用中，设备的实际算力会受环境温度影响．实验表明，在范围内，设备A和设备B的实际算力,（单位：次/秒）与环境温度x（单位：℃）满足一次函数关系，其表达式分别为：，．若将设备A和设备B组成一个“联合算力组”同时处理该任务，其总算力为两者实际算力之和．求当环境温度为30℃时，该联合算力组完成总运算量M所需的时间． (3)设备C的实际算力（次/秒）与环境温度x（）（）也满足一次函数关系，其表达式为：．若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中联合算力组在时的完成时间，求环境温度x的取值范围． 【思路分析】（1）根据得，代入数据计算即可； （2）当时,求出，，，依据计算即可； （3）由题意得，设备C完成该任务的实际时间,列式为，解得，合自变量的取值范围即可解答． 【规范答题】（1）解：该数据处理任务的总运算量（次），； （2）解：当时, （次/秒）, （次/秒）. 联合算力组总算力：（次/秒） 由（1）知次,所需时间： （秒）. 答：该联合算力组完成总运算量M所需时间为50秒. （3）解：由第（2）问可知,联合算力组在时的完成时间为50秒. 设备C完成该任务的实际时间,依题意：. 因为, 所以解不等式得：. 结合自变量的取值范围,得：. 答：环境温度x的取值范围. 研考点·通技法 常见考点： 1.函数图象信息提取（如行程问题中的s-t图、利润与销量关系图）。 2.函数模型应用（如二次函数求最值、一次函数求方案选择）。 3.两种函数的比较与选择（如哪种方式更省钱、哪种速度更快）。 解题技法： 1.读图：横纵坐标意义，关键点（交点、顶点、端点）坐标，图象走势（上升/下降）。 2.求函数解析式：用待定系数法，根据已知点坐标或实际意义确定。 3.方案比较：先写出两种方案的费用（或时间）关于自变量的函数，再作差或解不等式比较大小。 4.最值问题：若为二次函数，利用顶点坐标求最值；若为分段函数，分别求各段最值再比较。 破类题·提能力 1．（2026·江苏南京·一模）综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 2．（2026·安徽合肥·一模）综合与实践 【项目主题】探究算力应用中的数学规律，提升数据运算与模型构建能力 算力是数字经济的核心生产力,它是指计算机处理数据、进行运算的能力，常用“每秒运算次数（次/秒）”衡量．某科技小组开展“算力应用实践”活动，探究不同设备的算力差异、算力与任务完成时间的关系，以及算力优化中的数学方法，体验数学在科技领域的实用价值，培养数据分析与运算求解素养． 【项目准备】 1.设备选取：选取3种常见设备（手机、平板电脑、笔记本电脑），分别记为设备A、设备B、设备C，测量并记录每种设备的基础算力； 2.任务设定：选取同一份数据处理任务，该任务的总运算量固定（单位：次），记为M； 3.实验原理：在理想状态下（即设备在20℃环境温度下性能完全发挥），设备完成任务的时间t（单位：秒）与设备算力p（单位：次/秒）成反比例关系，即（M为定值，且，）； 4.实验数据：小组完成3组实验,记录的设备在20℃时的理想算力与对应任务完成时间如下表： 设备类型 理想算力p（次/秒） 完成时间t（秒） 设备A（手机） 120 设备B（平板电脑） a 设备C（笔记本电脑） 30 【项目探究】 (1)根据实验原理，该数据处理任务的总运算量 次， ． (2)在实际应用中，设备的实际算力会受环境温度影响．实验表明，在范围内，设备A和设备B的实际算力,（单位：次/秒）与环境温度x（单位：℃）满足一次函数关系，其表达式分别为：，．若将设备A和设备B组成一个“联合算力组”同时处理该任务，其总算力为两者实际算力之和．求当环境温度为30℃时，该联合算力组完成总运算量M所需的时间． (3)设备C的实际算力（次/秒）与环境温度x（）（）也满足一次函数关系，其表达式为：．若要使设备C完成该任务的实际时间不超过第（2）问中联合算力组在时的完成时间，求环境温度x的取值范围． 3. （2026辽宁抚顺一模）请根据以下材料，完成探究任务． 无人机 背景 无人机，它融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援，以“上帝视角”丰富体验、提升效率，成为贴近日常的实用科技伙伴． 建模 某数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程．如图，以无人机的地面起飞点为原点O，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 它在起飞后开启直线上升模式，上升到点A后，此时点A距离地面千米，保持这个高度以20千米／小时的速度水平飞行一定距离后到达点B，此时，发现前方距离起点6千米处出现一座高塔，千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行路径呈抛物线形状，当无人机到达抛物线最高点后降落到地面点F处．将无人机的飞行路径近似看成直线，直线和抛物线 任务 (1)若仪表监测到水平飞行时间为小时，求m的值；（结果精确到，） (2)为保证无人机避障成功，求无人机水平飞行的时间t的取值范围．（结果保留根号） 题型04 几何类综合与实践问题 析典例·建模型 1．（2026山西晋中一模）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系．已知在矩形中，分别是的中点，点在边的延长线上，且，连接． (1)特例分析：如图1，小睿同学画出了时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段与的数量关系，并证明你的结论； 拓展探究：小玫同学继续进行探究．如图2，已知在矩形中，，她提出如下问题，请你解答： (2)①求此时的值； ②将图2中的从当前位置开始，沿射线的方向平移得到（其中点分别是点的对应点），点是平面内的一点，请直接写出以点为顶点的四边形是菱形时，平移的距离． 【思路分析】（1）根据题意可知，由勾股定理得，结合，即可证得结论； （2）①根据题意得到，由勾股定理求得，结合可求得，进而求得，即可解答； ②分三种情况讨论：；；；分别利用勾股定理结合图形求解即可． 【规范答题】（1）解：，理由如下， ∵四边形是矩形， ， 分别是的中点， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ∵点G在边的延长线上， ， ，即． （2）解：①∵四边形是矩形， ， 分别是的中点， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ， ，点G在边的延长线上， ， ； ②平移的距离是或． 如图1，若， ∴点在线段的垂直平分线上， 由①得， ∴； 若，连接，过点作于点M，过点作的延长线于点N，如图所示： ∴，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 此时； 如图3，若，过点G作，过点作的延长线于点M， 根据题意得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 研考点·通技法 常见考点： 图形变换与设计（如密铺、折叠、剪拼、旋转构图）。 实际情境中的几何测量与计算（如隧道截面、零件截面、池塘宽度）。 几何最值问题（如路径最短、面积最小、材料最省）。 几何模型的探究与应用（如一线三等角、手拉手模型、中点模型）。 解题技法： 密铺与拼接问题：抓住基本单元，分析每增加一个单元，各类图形的数量及总长度的变化规律，建立代数式。根据总长度限制，列不等式或方程求解最多单元数，再计算所需材料数量及总成本。 折叠与剪拼问题：折叠前后对应点连线被折痕垂直平分，对应角、对应边相等。 折痕是轴对称图形的对称轴，常构造全等三角形或利用勾股定理建立方程。 剪拼问题注意面积守恒，通过割补法将不规则图形转化为规则图形。 几何模型应用： 一线三等角：当三个相等的角共线时，常构造相似三角形。 手拉手模型：两个等腰三角形共顶点旋转，可得全等或相似三角形。 中点模型：遇到中点，常考虑倍长中线构造全等、连接中位线或构造直角三角形斜边中线。 破类题·提能力 1．（2026河南郑州一模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“对补四边形”进行研究．定义：对角互补的四边形叫作对补四边形． (1)初步认识 某学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． 如图1，四边形是对补四边形，若，则的度数为________． (2)性质探究 该学习小组就“对补四边形”的边和对角线继续进行探究： ①如图2，四边形是对补四边形，若对角线平分，求证：； ②如图3，四边形是对补四边形，，连接，若，求的度数．（用含的式子表示） (3)拓展应用 如图4，在边长为4的等边中，D是边的中点，E是边上一动点，将沿ED翻折，得到，延长交直线于点G，若，请直接写出的长． 2．（2026广东珠海一模）综合与实践． 主题：纸张规格的奥秘． 材料：纸张尺寸是将纸张的长、宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活的便利性． 探究：如图，系列长方形纸张的规格特征是： ①各长方形纸张的长宽比都相等； ②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，，纸对裁后可以得到两张纸，我们把符合这种形状的纸称为系纸． (1)直接写出系纸长与宽的比______． (2)如图2，折叠系纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开．点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点，四边形纸片是否是系纸片？如果是，请证明，如果不是请求出长与宽的比． (3)在图2中，四边形纸片是否是系纸片？如果不是请在纸片中折出系纸片，画出图形，并加以证明． 3．（2026河南郑州一模）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“对补四边形”进行研究．定义：对角互补的四边形叫作对补四边形． (1)初步认识 某学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． 如图1，四边形是对补四边形，若，则的度数为________． (2)性质探究 该学习小组就“对补四边形”的边和对角线继续进行探究： ①如图2，四边形是对补四边形，若对角线平分，求证：； ②如图3，四边形是对补四边形，，连接，若，求的度数．（用含的式子表示） (3)拓展应用 如图4，在边长为4的等边中，D是边的中点，E是边上一动点，将沿ED翻折，得到，延长交直线于点G，若，请直接写出的长． 题型05 规律探究问题 析典例·建模型 1.（2026·安徽安庆·一模）用长度相等的木棍按一定规律拼成的图案，其中第1个图案用了12根木棍拼成1个正六边形和2个正方形，第2个图案用了20根木棍拼成2个正六边形和3个正方形： (1)第3个图案中用了28根木棍拼成了_____________个正六边形和_____________个正方形； (2)第个图案中用的木棍根数为_____________个（用含的代数式表示）； (3)如果现有木棍根数为212个，求拼成的图案中正六边形的个数和正方形的个数． 【思路分析】（1）先算第3个图案：从第1个到第2个：正六边形数：1→2增加 1正方形数：2→3，增加 1木棍数：12→20，增加 8第 (2) 问：找木棍总数公式设第n个图案中：正六边形an=n 正方形bn=n+1，Tn=12+(n−1)×8=8n+4第 (3) 问：已知Tn=212，求an,bn 8n+4=212解得 n=26所以：正六边形个数：an=n=26正方形个数：bn=n+1=27 【规范答题】（1）解：第3个图案中用了28根木棍拼成了3个正六边形和4个正方形； （2）解：第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， ……， 第个图案用了根木棍； （3）解：由题意得， 解得， 第1个图案拼成1个正六边形和2个正方形， 第2个图案拼成2个正六边形和3个正方形， 第3个图案拼成3个正六边形和4个正方形， ……， 第个图案拼成26个正六边形和27个正方形． 答：由212根木棍拼成的图案中正六边形有26个，正方形有27个． 研考点·通技法 常见考点： 1.数式规律（如等式序列、数列、新定义运算）。 2.图形规律（如图案中某种图形的个数、拼接长度）。 3.与函数、方程结合，求第n个表达式或验证猜想。 解题技法： 1.观察相邻项的变化量（差、比、增量），猜想通项公式。 2.数式规律：常与序号n相关，可写成含n的代数式，注意验证前几项。 3.图形规律：将图形分解为基本单元，找出每增加一个单元增加的数量或长度。 4.证明猜想：常用归纳法，或转化为代数恒等式（如平方差公式、完全平方公式）进行验证。 注意：规律题有时会与一元二次方程结合，根据规律列方程求n。 破类题·提能力 1．（2026·安徽蚌埠·一模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 2.（2025·安徽安庆·一模）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 3．（2026安徽六安一模）我们知道形状相同的三角形或四边形均可以进行镶嵌．如图，用正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律拼图案． (1)按图中所示的规律拼接， 完成平面镶嵌；（填“能”或“不能”） (2)第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，…，按此规律摆下去，则第个图案有个正方形；（用含的代数式表示） (3)若正多边形的边长为，在上面的一组图案中是否存在这样的图案：所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大？若存在，求出是第几个图案；若不存在，请说明理由． 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $