2025年中考数学复习创新题型——新定义问题解答题专题提升训练

2025年中考数学复习创新题型——新定义问题 解答题专题提升训练

1．新定义：如果，则叫做的“和谐角”．已知：，点E、F是直线、任意两点上，，，

(1)【操作发现】

如图1，小丽发现是的“和谐角”，你同意小丽的说法吗？并说明理由

(2)【探索证明】

如图2，点M、N在直线、上，H在线段上，连接，线段的延长线交延长线于Q，小明发现，当，是的“和谐角”时，和是互补的．你同意小明的说法吗？并说明理由

(3)【拓展应用】

①如图3，点M、N在直线、上，，过E作交直线于G，当是的“和谐角”时，直接写出的度数 ．

②如图4，将图3 中线段平移到的右侧，，过E作交直线于G，请画出图形，当和是“和谐角”时，求的度数．

2．定义：在平面直角坐标系中，若、的坐标分别为、，则称为若、的“绝对距离”，表示为．

【概念理解】

（1）一次函数图像与轴、轴分别交于、点．

①为_______；

②点为一次函数图像在第一象限内的一点，，求的坐标；

③一次函数的图像与轴、分别交于、点，为线段上的任意一点，试说明：；

【问题解决】

（2）点、为二次函数图像上的点，且在的右边，当时，．若，求的最大值；

（3）已知的坐标为，点为反比例函数图像上一点，且在的右边，，试说明满足条件的点有且只有一个．

3．定义：经过函数图像上的一点作x轴的平行线，将平行线上方的图像沿平行线向下翻折形成新的函数图像，我们把满足这种情况的函数图像称为经过这一点的“折叠函数”．

【基本应用】

(1)如图，点、、均在直线l上．

  

①请使用无刻度的直尺和圆规作出经过点C的“折叠函数”与x轴的交点D（异于点A）；

②求出经过点A、C、D的二次函数表达式；

(2)在（1）的条件下，点为二次函数图像上一动点，若经过点P的“折叠函数”与x轴至少有3个交点，求a的取值范围．

【创新应用】

(3)如果反比例函数的图像上有一点，则经过点M的“折叠函数”与x轴的

交点坐标为________．

4．对于由若干不相等的整数组成的数组和有理数，给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段，使得将数组中的每一个数乘以之后，计算的结果都能够用线段上的某个点来表示，就称为数组的收纳系数．

例如，对于数组：1，2，3，因为，，，取为原点，为表示数1的点，那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示，可以判断是的收纳系数．

已知是数组的收纳系数，此时线段的端点，表示的数分别为，．

(1)对数组：1，2，，在1，，这三个数中，可能是______；

(2)对数组：1，2，，若的最大值为，求的值；

(3)已知100个连续整数中第一个整数为，从中选择个数，组成数组．

①当，且时，直接写出的最大值；

②当时，直接写出的最大值和相应的的最小值．

5．对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：

线段上各点到x轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作．例如，如图，点，，则线段的“轴距”为3，记作．将经过点且垂直于y轴的直线记为直线．