专题02 因式分解 复习笔记 2025-2026学年北师大版八年级数学下册（期中备考）

专题02 因式分解 复习笔记八年级数学（北师大版下册+期中备考） 一、知识框架（思维导图式） 层级清晰，涵盖定义、方法、应用、易错点，贴合教材小节 二、核心知识点（教材同步） 必背必掌握，含定义、提公因式法、公式法及细节说明 三、易错点辨析 期中高频易错点，对比正误，规避丢分 四、典型例题 教材例题改编，分提公因式法、公式法、综合运用 五、期中备考题型练习 分基础、提升、压轴题，贴合期中考点 六、期中备考题型练习 详细答案讲解 每道练习题详细讲解，步骤清晰，贴合教材知识点 本章核心：理解因式分解的定义，掌握因式分解的两种基本方法——提公因式法和公式法，能熟练运用两种方法进行因式分解，区分因式分解与整式乘法的关系，是后续学习分式运算、一元二次方程的基础，期中备考重点集中在方法应用和易错辨析。 一、知识框架（贴合教材，核心梳理） 二、核心知识点（教材同步，必背必掌握） 知识点分类 具体内容 示例 （一）因式分解的定义（教材107页） 1. 概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（也叫分解因式）。 2. 关键辨析（易错重点）： · 因式分解的结果必须是“几个整式的积”，不能是和、差形式； · 因式分解与整式乘法是互逆运算：整式乘法是“积化和差”，因式分解是“和差化积”。 （整式乘法）； （因式分解）。 （二）提公因式法（教材110页） 1. 公因式的定义：多项式的各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2. 公因式的找法（三步法，教材重点）： · 找系数：取各项系数的最大公约数（若系数为负，通常将负号作为公因式的一部分）； · 找字母：取各项都含有的相同字母； · 找次数：取相同字母的最低次幂。 3. 提公因式法的步骤： 第一步：找出多项式各项的公因式； 第二步：将公因式提取出来，把多项式化为“公因式×另一个整式”的形式； 第三步：检查结果，确保另一个整式中不再含有公因式（因式分解要彻底）。 4. 注意事项： · 首项为负需提负号，括号内各项要变号； · 提取公因式后，括号内项数与原多项式一致； · 单独常数项也可作为公因式（各项都含时）。 公因式示例：的公因式是；的公因式是。 分解示例：。 （三）公式法（教材114页） 当多项式符合乘法公式的逆形式时，可利用公式进行因式分解，常用公式有2个（教材重点）： 1. 平方差公式： 逆用： 适用条件：二项式，两项都是平方形式，且两项符号相反（一正一负）。 2. 完全平方公式： 逆用：； 适用条件：三项式，首尾两项是平方形式（符号相同），第三项是这两项平方根乘积的2倍。 3. 注意事项： · 先判断是否符合公式适用条件； · 因式分解要彻底，可结合提公因式法； · 公式中“a”“b”可表示字母、单项式或多项式（整体思想）。 平方差公式：；。 完全平方公式：；。 三、易错点辨析（期中高频易错，教材同步） ❌ 易错点1：混淆因式分解与整式乘法（如将写成，是整式乘法，不是因式分解）； ✅ 正解：因式分解是“和差化积”，结果必须是整式的积，如。 ❌ 易错点2：提公因式不彻底（如，剩余部分仍含公因式）； ✅ 正解：，确保括号内无公因式。 ❌ 易错点3：运用平方差公式时，忽略“两项符号相反”（如，两项均为正，不能用平方差公式分解）； ✅ 正解：无法用平方差公式分解，是最简多项式。 ❌ 易错点4：运用完全平方公式时，忽略第三项是“2ab”（如，，不能用完全平方公式）； ✅ 正解：，第三项必须是两项平方根乘积的2倍。 ❌ 易错点5：提取负号时，括号内各项不变号（如，符号错误）； ✅ 正解：，提取负号后，括号内各项要变号。 四、典型例题（教材例题改编，期中常考） （一）提公因式法例题 例1：分解因式（教材111页例题改编） 解：公因式为，提取公因式得：； 剩余部分符合完全平方公式，继续分解：。 例2：分解因式（教材习题改编） 解：首项系数为负，提取公因式，括号内各项变号：。 （二）公式法例题 例1：分解因式（教材115页例题改编） 解：符合平方差公式，先分解为：； 剩余部分仍符合平方差公式，继续分解：。 例2：分解因式（教材116页例题改编） 解：符合完全平方公式，分解得：。 （三）综合运用例题（提公因式+公式法） 例：分解因式（教材习题改编） 解：先提取公因式，得：； 剩余部分无法继续分解，因式分解完成。 五、期中备考题型练习（分基础、提升、压轴，贴合教材） （一）基础题（必拿分，教材基础题型） 1、判断下列变形是否为因式分解：（1）；（2）；（3）。 2、分解因式：；；。 3、找出多项式的公因式，并说明找公因式的步骤。 4、判断多项式和能否用公式法分解，若能，写出分解过程；若不能，说明理由。 （二）提升题（期中常考，方法综合） 1、分解因式：；。 2、已知，，求的值（提示：先因式分解，再代入求值）。 3、分解因式：；。 4、已知，，求的值。 （三）压轴题（期中难点，结合后续知识） 1、分解因式：（提示：先利用完全平方公式，再利用平方差公式）。 2、已知多项式能分解成两个整式的积的形式，求m的值（提示：结合完全平方公式）。 六、期中备考题型练习 详细答案讲解 （一）基础题详细讲解 1、题目：判断下列变形是否为因式分解：（1）；（2）；（3）。 解：（1）是（和差化积，符合因式分解定义）；（2）是；（3）否（积化和差，是整式乘法）。 讲解：判断变形是否为因式分解，核心看两点：① 变形方向是“和差化积”（多项式→几个整式的积）；② 结果必须是整式的积的形式，不能是和、差或整式乘法的结果。 （1）是多项式（和差形式），变形后得到，即，是两个整式的积，符合因式分解定义，故是因式分解； （2）是多项式，变形后得到，是两个整式的积，符合因式分解定义，故是因式分解； （3）是两个整式的积，变形后得到（和差形式），是整式乘法，与因式分解（和差化积）方向相反，故不是因式分解。 2、题目：分解因式：；；。 解：；；。 讲解：分解因式需遵循“先提公因式，再看公式型”的原则，确保因式分解彻底。 ① 分解： 第一步找公因式：系数5和10的最大公约数是5，各项都含字母x，x的最低次幂是1，故公因式是； 第二步提取公因式：； 第三步检查：括号内无公因式，分解彻底，最终结果为。 ② 分解： 第一步找公因式：系数1和1的最大公约数是1，各项都含字母a、b，a的最低次幂是1，b的最低次幂是1，故公因式是； 第二步提取公因式：； 第三步检查：括号内符合平方差公式（二项式、两项平方、符号相反），继续分解：； 最终结果为。 ③ 分解： 第一步观察：无公因式（系数1、4、4的最大公约数是1，无共同字母），判断是否符合公式； 第二步分析：该式是三项式，，，两项为平方形式且符号相同，第三项，符合完全平方和公式； 第三步运用公式分解：，分解彻底，最终结果为。 3、题目：找出多项式的公因式，并说明找公因式的步骤。 解：公因式为；找公因式步骤：① 找系数：6、12、18的最大公约数是6；② 找字母：各项都含有的相同字母为x、y；③ 找次数：x的最低次幂是1，y的最低次幂是1，故公因式为。 讲解：本题核心考查公因式的找法，严格遵循“系数→字母→次数”三步法，贴合教材重点。 第一步找系数：找出多项式各项系数的最大公约数，6、12、18的最大公约数是6（能同时整除6、12、18的最大整数）； 第二步找字母：找出多项式各项都含有的相同字母，观察各项：含x、y，含x、y，含x、y、z，各项都含有的相同字母是x、y； 第三步找次数：找出相同字母的最低次幂，x在各项中的次数分别是2、1、1，最低次幂是1；y在各项中的次数分别是1、2、1，最低次幂是1；z仅在第三项出现，不是各项都含有的字母，故不纳入公因式； 综上，公因式是系数、相同字母、相同字母最低次幂的乘积，即。 4、题目：判断多项式和能否用公式法分解，若能，写出分解过程；若不能，说明理由。 解：能分解，符合完全平方公式；分解过程：；不能用公式法分解，理由：该式是三项式，但首尾两项和，6不是平方形式，不符合完全平方公式；两项符号相同，但不符合平方差公式（平方差公式是二项式）。 讲解：本题核心考查公式法的适用条件，需分别判断两个多项式是否符合平方差公式或完全平方公式的适用条件。 ① 判断： 该多项式是三项式，符合完全平方公式的适用前提（三项式）；首尾两项、，均为平方形式且符号相同（均为正）；第三项，是首尾两项平方根乘积的2倍，符合完全平方差公式，故能分解； 分解过程：。 ② 判断： 该多项式是三项式，先判断是否符合完全平方公式：首尾两项是平方形式，但不是平方形式（没有一个整数的平方等于6），不符合完全平方公式的适用条件； 再判断是否符合平方差公式：平方差公式适用于二项式，该多项式是三项式，不符合适用条件； 故该多项式不能用公式法分解。 （二）提升题详细讲解 1、题目：分解因式：；。 解：；。 讲解：提升题重点考查“提公因式+公式法”综合运用，注意首项为负的处理和整体思想的应用。 ① 分解： 第一步处理首项负号：首项系数为-3，提取公因式时将负号一并提取，公因式为； 第二步提取公因式：； 第三步检查：括号内符合完全平方差公式，继续分解：； 最终结果为。 ② 分解： 第一步整体思想：将看作一个整体（相当于公式中的“a”），观察式子结构； 第二步判断公式：该式是三项式，和是平方形式且符号相同，第三项，符合完全平方差公式； 第三步运用公式分解：，分解彻底，最终结果为。 2、题目：已知，，求的值（提示：先因式分解，再代入求值）。 解：，代入，，得。 讲解：此类题目核心是“因式分解化简，再代入求值”，避免直接代入计算繁琐，体现因式分解的简化运算作用。 第一步因式分解：观察，各项都含公因式，提取公因式得：； 第二步代入已知条件：已知，，将其代入化简后的式子：； 第三步得出结果：故的值为15。 3、题目：分解因式：；。 解：；。 讲解：本题重点考查“提公因式+公式法”的综合运用，需先提公因式，再判断剩余部分是否符合公式，确保分解彻底。 ① 分解： 第一步提取公因式：系数2和8的最大公约数是2，各项都含字母a、b（a仅在第一项，b仅在第二项，无共同字母），故公因式为； 提取公因式得：； 第二步运用公式分解：括号内符合平方差公式（二项式、两项平方、符号相反），继续分解：； 最终结果为。 ② 分解： 第一步观察结构：该式可看作二项式，和均为平方形式，且符号相反，符合平方差公式； 第二步运用平方差公式分解：； 第三步检查分解彻底性：两个括号内的式子均符合完全平方公式，继续分解：，； 最终结果为。 4、题目：已知，，求的值。 解：，代入，，得。 讲解：本题核心考查因式分解的应用——代入求值，需先对所求式子进行因式分解，转化为含已知条件（、）的形式，再代入计算。 第一步因式分解：观察式子，各项都含公因式，先提取公因式：； 第二步继续分解：括号内符合完全平方差公式，分解得：； 第三步化简式子：将分解结果代入，得； 第四步代入已知条件：，，代入得：； 最终结果为18。 （三）压轴题详细讲解 1、题目：分解因式：（提示：先利用完全平方公式，再利用平方差公式）。 解：。 讲解：压轴题重点考查“因式分解彻底”，需多次运用公式，注意观察式子结构的变化。 第一步观察结构：该式是三项式，，，两项为平方形式且符号相同，第三项，符合完全平方差公式； 第二步运用完全平方公式分解：； 第三步检查分解是否彻底：括号内符合平方差公式（二项式、两项平方、符号相反），继续分解：； 第四步整理结果：将分解结果代入，得； 最终结果为（分解彻底，无公因式、无法再用公式分解）。 2、题目：已知多项式能分解成两个整式的积的形式，求m的值（提示：结合完全平方公式）。 解：∵能分解为两个整式的积，且和均为平方形式，∴符合完全平方公式；，故或。 讲解：此类题目需结合因式分解的定义和公式，分析多项式的结构，找出符合条件的系数。 第一步分析多项式结构：是二次三项式，能分解成两个整式的积，且，或，故可考虑完全平方公式（二次三项式因式分解的常见形式）； 第二步回忆完全平方公式：，，将与公式对比，可得，或； 第三步分情况计算m的值： 情况1：当时，展开右边得，对比左右两边系数，可得； 情况2：当时，展开右边得，对比左右两边系数，可得； 第四步得出结论：综上，m的值为6或-6。 学科网（北京）股份有限公司 $