专题02 直角三角形、垂直平分线与角平分线（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02直角三角形、垂直平分线与角平分线 题型归纳·内容导航 题型1利用直角三角形的性质求解（常考点） 题型4利用角平分线的性质求解（常考点） 题型2直角三角形全等的性质和HL综合（重点） 题型5垂直平分线与角平分线的综合（重点） 题型3利用垂直平分线的性质求解（常考点） 题型通关·靶向提分 题型一利用直角三角形的性质求解（共5小题） 1.(25-26八年级上山西吕梁期中)在△ABC中，∠A=70°，当锐角∠B= 时，△ABC为直 角三角形， 2.(25-26九年级上·浙江宁波·期中)如图，在等腰直角△ABC中，中线AE,CF相交于点G,若AB=6, 则AG长为 G B 3.(25-26八年级上·浙江杭州期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC,E 是AD中点，若BD=8,则CE的长为 4.(25-26八年级上·江苏扬州期中)如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2,点P是BC上的动点， 过点B作BE⊥AP,垂足为E.连接CE,在点P的运动过程中，CE的最小值为· 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B P 5。（25-26八年级上·贵州：期中)如图，在直角三角形18C中 中， ∠ACB=90,BC=3,AC=4,D为直 线AC上一个动点，连接BD将△ABD沿BD折叠，若点A恰好落在直线BC上的点E处，连接DE,则 CD的长为 题型二直角三角形全等的性质和HL综合（共5小题） 6.(24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期中)如图，已知AB=AC,DE L AB交AB的延长线于点E, DF⊥AC交AC的延长线于点F,DE=DF.求证：BD=CD B 7.(24-25八年级上·江西吉安·期中)如图，线段AD上有两点B,E,且AE=DB，,分别以AB,DE为直 角边在线段AD同侧作AC⊥AB,DF⊥DE,BC与EF相交于点G,且BC=EF. 求证：EG=BG G △ABC ∠BAC=90,AB=AC AC 8.(25-26八年级上·四川泸州期中)如图，在 中， ,D是边上一点，连 2/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 接BD,EC⊥AC,且AE=BD,AE与BC交于点F. (I)求证：CE=AD: (2)当AD=CF时，求∠ABD的度数. 9.(25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中)如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B=∠D=90°，点A、E、 C、F在同一条直线上，AE=CF,AB=ED,BC的延长线交DF于点M, B (I)求证：∠DMC=2∠F (2)若CM=3,DF=5,求BM. 10.(24-25七年级下四川成都·期中)己知：如图，在△ABC中，AB=AC,DE是过点A的直线， BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E,且AD=CE. 图① 图② (I)若BC在DE的同侧（如图①）求证：BA⊥AC (2)若BC在DE的两侧（如图②），问AB与AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由. 题型三利用垂直平分线的性质求解（共5小题） 山.(2425九年级下湖南长沙期中)如图，在A1BC中，分别以么，B两点为圆心，大于方B的长为半 径作弧，两弧相交于点M,N,直线MN与AC、AB分别相交于点D、E,若AE=3,△BDC的周长为 3/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10,则△ABC的周长是 A D C 12.(25-26八年级上四川成都期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①分别以 点A和B为圆心，大于B长为半径作弧，两弧相交于点M和②作直线MN交边EC于点D.若 CD=6,BD=10 AB ,则的长为 B D 13.(25-26八年级上山西朔州期中)如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB,BC于点 M,D,边AC的垂直平分线分别交AC,BC于点N,E.已知BC的长为lOCm,则△ADE的周长为 cm. B DE 14.(25-26七年级上山东烟台期中)如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧，交BC 于点D,再分别以点B和点D为圆心，大于D的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N,作直线 MN,交AB于点E.若△ADE的周长为11，AC=4,则AB的长为 4/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 15.(25-26八年级上·浙江金华·期中)在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交 所成的锐角为50°，且交AC于点E,交AB于点D,则∠EBC=°. 题型四利用角平分线的性质求解（共5小题） 16.(25-26八年级上广东广州期中)如图，OP平分∠AOB,∠AOP=15°，PC∥OA,PC=4, PD⊥OA,垂足为D,则PD= B C 15o D A 17.(24-25八年级上四川攀枝花期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半 径作弧，分别交AB,AC于点D'E:再分别以点D'E为圆心，大于2DE的长为半径作弧，两弧交于 点F,作射线AF,交BC于点G.若AB=14,CG=5,则△ABG的面积是 F B 18.(25-26八年级上·浙江温州期中)如图，己知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，,BD⊥CD, ∠A=∠ABD,若AC=9,BC=6,则BD的长为 B D 19.(25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期中)如图，AB∥CD,O为∠BAC,∠ACD平分线的交点， 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OE⊥AC于点E,且OE=3,则点O到CD的距离等于 A B E D 20.(25-26八年级上山东临沂·期中)如图，在∠AOB的边OA,OB上取点M,N,连接MN,MP平 分<Aw, 平分∠MNB MN=2△PMN 若 的面积是4，△CW OM+ON 的面积是6，则 的长是 A M 题型五垂直平分线与角平分线的综合（共7小题） 21.(25-26八年级上江苏苏州·期中)如图，△ABC中，∠ACB=100°，点D在边BC延长线上，∠ABC 的平分线交AD于点E,过点E作EH⊥BD,垂足为H,且∠CEH=50°. A B (I)求证：AE平分∠CAF: (2)若 AC+CD=16,4B=10 S.4CD=24 ，且 ,则△ABE的面积。 2.（25-26八年级上贵州遵义：期中)如图，在△18C 中， ∠ACB=90,∠B=30°，DE是AB 的垂直平分 线，分别交AB,BC于点D,E,连接CD,AE.求证： 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)△ADC是等边三角形： (2)AE垂直平分CD 23.(25-26八年级上·重庆期中)如图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,BE和CD相交于点 O,OA平分∠BAC. 2 o (1)求证：aBOC是等腰三角形. (2)求证：AO垂直平分DE. 24。(25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯期中)已知：如图，在△18C ∠B=60°，AD,CE 中， 分别是<BAC 与∠ACB角平分线，AD与CE相交于点F,FM LAB,FN⊥BC,垂足分别为M,N. B D N C (I)求证：F在∠ABC的角平分线上： (2)求证：FE=FD 25.(25-26八年级上·吉林长春·期中)如图，线段BD是△ABC的角平分线，DE L AB于点E, DF⊥BC于点F,连结EF. 7/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E D B (I)求证：点D在EF的垂直平分线上： (2)若AB=7,BC=8,△ABC的面积是18，则DE的长是 26.(25-26八年级上广东广州·期中)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别 是E,F,连接EF,EF与AD相交于点G. (I)求证：△AED≌△AFD; (2)求证：AD垂直平分EF; (3)若AB:AC=5:3△ABD 的面积为 S.4BD=15 I5,求△MBC的面积. 27.(25-26八年级上·河北衡水·期中)如图，在△ABC中，直线1垂直平分边BC,分别交AC,BC于点 D,E,连接BD (I若BD⊥AC,求∠DBC的度数： (2)若△ABD的周长是19，AC=10,求AB的长： (3)在线段DE上有一点P,其恰好也在边AC的垂直平分线上，求证：点P在边AB的垂直平分线上. 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9/9专题02 直角三角形、垂直平分线与角平分线 题型1 利用直角三角形的性质求解（常考点） 题型4 利用角平分线的性质求解（常考点） 题型2 直角三角形全等的性质和HL综合（重点） 题型5 垂直平分线与角平分线的综合（重点） 题型3 利用垂直平分线的性质求解（常考点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用直角三角形的性质求解（共5小题） 1．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）在中，，当锐角___________°时，为直角三角形． 【答案】20 【分析】本题主要考查直角三角形的两个锐角互余，直角三角形中有一个角为，结合和为锐角，可知，从而求出. 【详解】解：在中，， 若为直角三角形，则必有一个角为， 由于为锐角，因此， 即， 解得， 故答案为：20. 2．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，在等腰直角中，中线，相交于点G，若，则长为__________． 【答案】 【分析】根据重心的性质可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，进而得到，结合等腰三角形三线合一的性质可知，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵中线、相交于点 ∴交点为的重心， ∴， 又∵等腰直角中，，为中点， ∴，， ∴， ∴中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的重心的概念和性质、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，平分，是中点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，由直角三角形的性质可得，又平分，所以，则有，得，然后通过直角三角形性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是中点，， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，中，，，点P是上的动点，过点B作，垂足为E．连接，在点P的运动过程中，的最小值为____． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线性质、勾股定理及线段最值的“两点之间线段最短”原理，解题关键是通过构造定点确定定长，再结合的长度利用线段关系求的最小值． 取中点O，由直角三角形斜边中线性质得（定长）；用勾股定理算；由“两点之间线段最短”，当C、E、O共线时，CE最小． 【详解】取的中点，连接， ∵， ∴是直角三角形，是的斜边， ∴ ∵， ∴． 连接， ∵是中点， ∴． 又因为，， 在中，根据勾股定理 观察点C、E、O的位置，根据“两点之间，线段最短”，有 ∵、，得： ∴的最小值为． 5．（25-26八年级上·贵州·期中）如图，在直角三角形中，，，，D为直线上一个动点，连接将沿BD折叠，若点A恰好落在直线上的点E处，连接，则的长为______ ． 【答案】 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 过点D作于点F，先由勾股定理求出，设，则，由折叠性质得，进而得，再证明和全等得，则，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长． 【详解】解：过点D作于点F，如图所示： ， 在中，， 由勾股定理得：， 为直线上一个动点， 设，则， 由折叠性质得：， 是的平分线， 又于点F，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 即的长为 故答案为： 题型二 直角三角形全等的性质和HL综合（共5小题） 6．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知交的延长线于点E，交的延长线于点F，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由得，根据“”可证明得，根据，可得，可证明得． 【详解】证明：如图所示，连接 ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，线段上有两点B，E，且，分别以为直角边在线段同侧作，与相交于点G，且． 求证：． 【答案】见解析 【分析】根据证明，进而利用全等三角形的性质及等腰三角形的判定解答即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵， 在和中， ，， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用直角三角形全等的判定（HL）证明三角形全等，结合角度关系推导所求角． （1）通过证明，利用全等三角形的对应边相等得到； （2）结合等腰直角三角形的角度特征，再证明，通过等腰三角形的性质得到最后通过全等三角形的性质得到的度数． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，，，的延长线交于点， (1)求证：． (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由得到，即可证明，得到，根据三角形外角的性质即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 10．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：如图，在中，，是过点A的直线，于点D，于点E，且． (1)若在的同侧（如图①）求证：． (2)若在的两侧（如图②），问与仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据直角三角形全等的判定方法HL易证得，可得，再根据三角形内角和定理即可证得结论； （2）与（1）同理结论仍成立，即根据直角三角形全等的判定方法HL易证得，可得，再根据三角形内角和定理即可证得结论． 【详解】（1）证明：于D，于E， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 即； （2）解：， 于D，于E， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 即． 题型三 利用垂直平分线的性质求解（共5小题） 11．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，分别以A，B两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与、分别相交于点D、E，若，的周长为10，则的周长是_____． 【答案】16 【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形的周长，由作图可知垂直平分线段，得，，，根据三角形的周长公式即可解答． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴的周长为． 故答案为：16． 12．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边于点D．若，则的长为_______ ． 【答案】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理是解答本题的关键． 连接，由作图可知，直线为线段的垂直平分线，可得，分别在和中，由勾股定理计算即可． 【详解】解：连接， 由作图可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 在中，由勾股定理得，． 在中，由勾股定理得， ， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点M，D，边的垂直平分线分别交于点N，E．已知的长为，则的周长为________cm． 【答案】10 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质推出，即可得到的周长． 【详解】解：∵边的垂直平分线分别交于点M，D，边的垂直平分线分别交于点N，E ∴ ∴的周长 故答案为：10. 14．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，作直线，交于点若的周长为11，，则的长为______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，线段垂直平分线的性质等知识点，根据尺规作图可知，垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：由作图可知，， 的周长， ， ， 故答案为： 15．（25-26八年级上·浙江金华·期中）在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所成的锐角为，且交于点E，交于点D，则_____． 【答案】30或60/60或30 【分析】本题考查了线段垂直平分线的定义与性质，等腰三角形的性质等知识，理解题意，分类画出图形是解题关键．当交于点E时，根据是的垂直平分线得到，，进而求出，根据等边对等角求出，即可求出；当交于点E时，根据是的垂直平分线，得到，，进而求出，再求出，即可求出． 【详解】解：如图1，当交于点E时， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2当交于点E时， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：20或60 题型四 利用角平分线的性质求解（共5小题） 16．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，平分，，，，，垂足为D，则_______． 【答案】2 【详解】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点E，根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，由直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得，即可求得． 【解答】解：如图，过点作于点，    ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， 则在中，， ∴． 故答案为：2． 17．（24-25八年级上·四川攀枝花·期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，，则的面积是_______ ． 【答案】35 【分析】本题考查角平分线的性质、角平分线的作法，根据题意可得为的平分线，过点G作于点H，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，已知为内一点，平分，，．若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造出等腰三角形是解题关键．延长交于点，根据等腰三角形的判定和性质易得，然后可求出，进而得到． 【详解】解：延长交于点， ∵平分，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期中）如图，，O为，平分线的交点，于点E，且，则点O到的距离等于________．    【答案】3 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点作，根据角平分线的性质证得即可． 【详解】解：过点作，如图：   、平分， ， ， ， 故答案为：3． 20．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在的边，上取点，，连接，平分平分，若，的面积是4，的面积是6，则的长是_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查角平分线；过点P作，垂足为点E，过点P作，垂足为点F，过点P作，垂足为点G，连接．得到，，根据的面积是6，求出，得到，即可求出结果． 【详解】解：过点P作，垂足为点E，过点P作，垂足为点F，过点P作，垂足为点G，连接． ∵P是外角平分线的交点， ∴， ∵，的面积是4， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是6， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 题型五 垂直平分线与角平分线的综合（共7小题） 21．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)求证：平分； (2)若，且，则的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题考查了角的平分线判定定理和性质定理，三角形内角和定理，一元一次方程熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理分别求出的度数，过点作于点，作于点，利用角平分线的性质定理，推出，再利用角的平分线的判定证明即可． （2）设，利用，求出，从而求出的面积即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴平分， ∵平分，， ， ，， ， ， 又点在的内部， 平分； （2）解：由（1）得：， 设， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ， ∵， ∴的面积为． 22．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接．求证： (1)是等边三角形； (2)垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定和性质，综合应用上述知识点是解题的关键． （1）由含30度角的直角三角形的性质，可得．由是的垂直平分线，可得，进而可得，结合可证是等边三角形； （2）先证，根据角平分线的性质可得，推出点E在线段的垂直平分线上．结合，可得垂直平分． 【详解】（1）证明：在中，， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 又∵， ∴是等边三角形． （2）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． ∵， ∴， ∴点E在线段的垂直平分线上． 由（1）知，， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 23．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，，，垂足分别为、，和相交于点，平分． (1)求证：是等腰三角形． (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形与全等三角形的综合应用，解题的关键是用角平分线和双垂直模型，找到合适的全等三角形去推出自己想要的条件；本题的易错点在于找全等关系时需要找对判定条件，不要混淆． （1）利用角平分线和双垂直模型，利用角平分线上的点到线段两端距离相等，找到，从而再找条件得到，，得到等腰三角形； （2）根据，找到，，根据角平分线上的点到线段两端的距离相等，点，点在线段的垂直平分线上，即可得垂直平分； 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴（角平分线上的点到线段两端的距离相等）． ∵在与中， ∴ ∴， ∴是等腰三角形． （2）证明：∵，， ∴． ∴在与中， ∴， ∴，， ∴点，点在线段的垂直平分线上． ∵两确定一条直线， ∴垂直平分． 24．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知：如图，在中，分别是与角平分线，与相交于点，垂足分别为M，N． (1)求证：在的角平分线上； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键： （1）过点F作，根据角平分线的性质，推出，即可； （2）证明，即可得证； 【详解】（1）证明：（1）过点F作， ∵分别是与角平分线，， ，； ， ， 在的角平分线上； （2）， ， 分别是与角平分线， ， ， ， ， ， ∴， ， 在与中 ， ， ． 25．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，线段是的角平分线，于点，于点，连结． (1)求证：点在的垂直平分线上； (2)若，，的面积是，则的长是_____． 【答案】(1)见详解； (2)． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质定理直接得出是解答本题的关键． (1)根据角平分线的性质定理直接得出即可证明； (2) 先得出，结合，可得，问题即可得解． 【详解】（1）证明：连接、， 是的角平分线，于点，， ，， ， 点在的垂直平分线上； （2），， ，， 在(1)中有， ， ， ， ，，的面积是， ， ， 故答案为：． 26．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，是的角平分线，，垂足分别是，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求证：垂直平分； (3)若，的面积为，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)24 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意易得，，然后根据“”证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，结合“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”即可证明垂直平分； （3）首先确定，结合易得，然后由求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴垂直平分； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的面积为24． 27．（25-26八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交于点D，E，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长是19，，求的长； (3)在线段上有一点P，其恰好也在边的垂直平分线上，求证：点P在边的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)9 (3)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的周长公式、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由垂直的定义可得，由线段垂直平分线的性质得，再根据等边对等角以及三角形内角和定理即可解答； （2）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为19，即，进而求得的长； （3）由线段垂直平分线的性质得、，即，从而证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵直线l垂直平分边， ∴， ∴． （2）解：∵直线l垂直平分边， ∴， ∵的周长为19， ∴，即． ∵， ∴． （3）证明：如图：连接， ∵直线l垂直平分边，点P在直线l上， ∴， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上． $